ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria V: DYDAKTYKA MATEMATYKI 3 (1984)
M a ł g o r z a t a Ćw i k
K raków
Zdegenerowany formalizm w m yśleniu niektórych uczniów
szkoły średniej
1. CEL I PRZEBIEG BADAN
Niniejszy artykuł zawiera sprawozdanie z niewielkiego frag
mentu szerszych badań, prowadzonych na temat roli tzw. "ciąg
łe j” kontroli w procesie nauczania matematyki* Stanowi on także przyczynek do badań nad problemami nauczania matematyki uczniów słabych, którym poświęca się ciągle zbyt mało uwagi.
Te dwie grupy problemów są ściśle związane ze sobą, ciągła bowiem kontrola pełni szczególnie ważną rolę w procesie ucze
nia się matematyki przez takich właśnie uczniów.
Ciągła kontrola jest organizowanym przez nauczyciela kon
sekwentnym, stałym, wielostronnym zdobywaniem informacji do
tyczących nie tylko stanu wiedzy i umiejętności uczącego się, ale umożliwiającyoh w pewnej choćby mierze wgląd w istotę i przyczyny jego trudności, błędów, blokad w myśleniu oraz ocenę słuszności i skuteczności własnych koncepcji, zabiegów dydaktycznych na podstawie obserwacji reakcji ucznia na te zabiegi.
k6
Ciągła kontrola jest istotnym elementem pozytywnego sprzę
żenia zwrotnego aktywności nauczyciela z aktywnością ucznia.
¥ szczególności, informacje o tym, jak uczeń myśli, zdobyte w odpowiednim jeszcze momencie, dostatecznie wcześnie, mogą pomóc nauczycielowi w zapobieganiu,utrwalaniu i narastaniu różnych nieporozumień pojęciowych i luk w wiadomościach, pro
wadzących często bez jogo natychmiastowej interwencji, do nieodwracalnych już następnie skutków, z których jednym jest
"zdegenerowany formalizm". Prezentowany tu fragment badań ilustruje takie, w dużej mierze już utrwalone deformacje.
Zajmujemy się w tym fragmencie sytuacją następującą. ¥ pi
semnym zadaniu kontrolnym, tzw. zadaniu klasowym, badani ucz
niowie popełniają błąd w przekształceniu algebraicznym. Jeżeli błąd pojawia się w pracy ucznia sporadycznie, nauczyciel opie
rając się tylko na tekście pisanym nie może rozstrzygnąć, czy to jest pomyłka czy istotny błąd. ¥ toku lekcji poświęconej poprawie zadania tradycyjnie omawia się przede wszystkim błę
dy występujące najczęściej. Najbardziej aktywni są wtedy ucz
niowie, którzy błędu nie popełnili. Oni pokazują innym, jak go trzeba poprawić. Nauczyciel nie dowiaduje się w tym momen
cie niczego o genezie, istocie i uporczywości błędu popełnio
nego przez ucznia słabego.
Fragment badań, który tu omawiam, miał na celu uzyskanie w jednej z takich sytuacji danych pozwalających na bardziej wnikliwą analizę pewnych błędów. Starano się uzupełnić ograni
czone informacje odczytane z tekstu pisanego w toku bezpośred
nich rozmów z wszystkimi uczniami, którzy te błędy popełnili.
¥ rozmowach wzięło udział 12 uczniów drugiej klasy licealnej pod koniec roku szkolnego. Rekrutowali się oni z trzech klas o profilu ogólnym, prowadzonych przez trzech nauczycieli.
Uczniów tych zakodowano liczbami od 1 do 12. Pewne elementy ich szkolnej charakterystyki przedstawia tabela 1.
¥ rozmowie z uczniem, przed poprawą zadania w klasie, starano się dotrzeć do istotnego charakteru błędu, dlatego prowadzono ją tak, aby uczeń sam sprecyzował i poprawił ten błąd. Przed przeprowadzeniem wywiadu poinformowano uczniów o temacie rozmowy, która będzie dotyczyć rozwiązanego przez
ZDEGENEROWANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW ^7 Tabela 1
Czy powta- Ocena z matematyki Czy przesad! Opinia rżał (a)
ki. II?
I semestr kl. II
II semestr kl. II
(przeszła) do kl. III?
nauczy
ciela
1 nie ndt dst tak
zdolna, niesys
tematycz
na w pra
cy
2 nie dst dst tak
przecię
tnie zdo
lna, pra- cowita
3 nie dst dst tak
przecię
tnie zdo
lna , pra
cowita
k tak dst dst tak
niezdol
ny, nie- praocwity
5 nie dst dst tak
przecię
tnie zdo
lna, nie- pracowita
6 nie dst db tak
zdolny, niepra
cowity
7 nie ndt dst nie
przecię
tnie zdo
lny, nie- praĆtwLty
8 nie dst dst tak
zdolny, niepra
cowity
9 nie dst dst tak
mało zdo
lna , pia- oowi ta
10 nie ndt dst tak
zdolny, nie pra
cowity
11 nie dst dst tak
przecię
tnie pra
cowita i przecię
tnie zdolna
12 tak ndt dst tak
zdolna nie pra
cowita
48
nich zadania. Zapewniono ich, że informacje uzyskane w czasie wywiadu będą wykorzystane tylko do badań mających na celu ulepszanie nauczania, w czym ich szersze wypowiedzi mogą po
móc. Rozmowa odbywała się w swobodnej atmosferze, uczniowie wypowiadali się chętnie.
Aby w rozmowie być przez uczniów dobrze zrozumianym, uży
wano celowo żargonu uczniowskiego i nie przywiązywano wagi do ścisłości. Na przykład, mówiono "pierwiastek" zamiast
••pierwiastek kwadratowy", bo w tekście występowały tylko pier
wiastki kwadratowe. Nie formułowano założeń. Używano także obiegowych zwrotów podręcznikowych, mimo że można mieć w tym zakresie wiele zastrzeżeń co do ich wieloznaczności. Doświad
czenie dowodzi bowiem, że mówienie takim żargonem sprzyja na
wiązaniu z uczniem kontaktu, umożliwiającego wgląd w istotę rzeczy. Z drugiej strony jednak, jak wykażemy w analizie pro
tokółów wywiadów, żargon nie tylko uczniowski, ale i podręcz
nikowy, może prowadzić do poważnych nieporozumień.
Rozmowę zorganizowano na temat błędów o schematach:
(a)
( b )
(c)
Błędy (a), (b) popełniło 11 uczniów obliczając granicę funk
cji
Sześciu z nich napisało
li~ -i = lim
- ax - x x— — °*>
3
X" x - \J~slax - x:
czterech
lim 3 lim 3
»
a jeden
Z DEGENEROWANY- FORMALIZM ¥ MYŚLENIU UCZNIÓW ^9
_______ 2______ 3
lim . r s ---' = lim --- r r — • x— > -o* V x - ax - x x— ► -oo x - avx - x
Jedna uczennica iloraz różnicowy funkcji f(x) = \Zx^~+~4 dla x^ = -3» * 2 = obliczyła w następujący sposób:
t'(xj - f (x2) V 9 + V - \jk + V 3\/7 - 2\/2 . x 1 - x2 - 2 - 3 - 2 - 3
Zwróćmy uwagę na to, że błędy te uczniowie popełniają przy okazji rozwiązywania zagadnień z rachunku różniczkowego które wymagają zaawansowania pojęciowego i algorytmicznego, w szczególności, jeżeli chodzi o prawa działań, pojęcie pier wiastka, wzory skróconego mnożenia. W materiale szkolnym kilkakrotnie już do tych problemów powracano, przy czym wy
stępujące tu przekształcenia algebraiczne uczniowie wykony
wali często. Również z pojęciem liczby niewymiernej, w szcze gólności z sensem takich symboli, jak , \/~Z uczniowie spotykali się poprzednio w klasie ósmej szkoły podstawowej, a w klasie pierwszej licealnej pojęciem liczby niewymiernej zajmowano się już bardziej systematycznie.
Uczniowie, którzy popełnili błąd (a), nie zastanawiali się nad dziedziną otrzymanej po przekształceniu funkcji.
Żaden z nich nie zauważył, iż niemożliwe jest obliczenie jej granicy dla x zmierzającego do minus nieskończoności. Gra
nicę tę obliczali błędnie. Tę sprawę jednak wyłączyłam z ba
dania.
W rozmowach z 12 uczniami skoncentrowałam się więc na powtarzającym się w kilku wariantach błędzie polegającym na
"rozdzieleniu pierwiastka sumy" oraz na błędzie dotyczącym
"pierwiastka iloczynu".
Wywiad rozpoczynano od dania uczniowi do wglądu rozwią
zanego przez niego zadania, w którego tekście podkreślone były błędne fragmenty. Uczeń miał czas na analizę tego, co napisał, i jeżeli sam spontanicznie błędu nie poprawiał, pro ponowano mu dalej wyjaśnienie, w jaki sposób przekształcił on funkcję, której granicę obliczał. Pytano n p . : "Objaśnij, w jaki sposób przeszedłeś od tego ... do tego ... oraz pro-
szono o sprawdzenie, czy to jest poprawne, np. "sprawdź, czy to ... jest dobrze". Jeżeli uczeń powoływał się na jakieś
"prawo", pytano go: "Jak byś mnie przekonał, że to prawo za
chodzi?", "Sprawdź, czy napisane przez ciebie twierdzenie jest prawdziwe", "Jak sprawdzisz, czy to twierdzenie jest prawdziwe?", "¥ jaki sposób uzasadnisz, że przejście od tego
... do tego ... jest poprawne?", itp. Tak więc w toku rozmowy uczeń najpierw miał sobie uświadomić, jakie czynności wykonał przekształcając dane wyrażenie, następnie zaś zbadać, czy te czynności wykonał poprawnie.
Rozmowy nagrywano na magnetofonie, prowadzący badania rozporządzał też wszystkimi notatkami uczniów. Pozwoliło to na dokładne odtworzenie przebiegu rozmowy w postaci ścisłego protokołu, stanowiącego podstawę analizy i wysnutych z niej- wniosków. ¥ toku omawiania tych rozmów wskazuję wypowiadają
cego się ucznia, cytując w nawiasie numer mu przyporządkowa
ny według tabeli 1.
Oto dosłownie z protokołu cytowane fragmenty odpowiedzi na niektóre pytania w stosunku do przekształceń typu:
Vx^ - ax' = x - \fsL • '/z: lub \/x^ - ax = x - s[sl • x lub V x ^ - ax = x - aVx.
1 .
2.
3.
4.
(ó) "Ze względu na to, że to jest pod pierwiastkiem, no więc tutaj pierwiastek z x 2 to jest x , pierwias
tek z 9x to jest 3 Tak spod pierwiastka wy
ciągnąłem i mam x-3
(k) "Po prostu ja bezpośrednio tę liczbę wyjąłem spod pierwiastka. ¥yciągnąłem z 9x i wyszło mi 3x i z x , x". "Po prostu ten pierwiastek redukuje tę 2 potęgę".
(i) "Wyciągnąłem pierwiastek, aby się jego pozbyć. Zna
lazłem taicie wyrażenie, które podniesione do kwadratu daje to, co jest pod pierwiastkiem".
(3) "Z tego trzeba było wyciągnąć pierwiastek ... Tak po kolei wyciągałem ze składników, które znajdują
r 2 21
się pod pierwiastkiem ... V x — y = x - y , bo
Z D E G E N E R O W A Ć FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW 51
jeżeli podniesiemy po kolei do kwadratu, to otrzy- 2 2
mamy x - y ". "Jest takie prawo, które mówi, że pierwiastek z różnicy równa się różnicy pierwiastków".
"To jest po prostu wyciągnięcie spod pierwiastka i gdybym znowu wciągnęła pod pierwiastek, to mi wyj
dzie to samo".
"Po prostu spierwiastkowałera sobie to, co miałem pod pierwiastkiem. Stosowałem wzór - pierwiastek z róż
nicy równa się różnicy pierwiastków".
Analizując te i inne wypowiedzi uczniów można było stwierdzić, że nie mieliśmy do czynienia z pomyłkami, tylko z rzeczywistymi głęboko sięgającymi nieporozumieniami. Żaden z uczniów sam z własnej inicjatywy nie wyjaśnił, na czym polegał zasygnalizowany mu przez podkreślenie w tekście błąd.
Do próby wyjaśnienia skłoniło ich. dopiero pytanie prowadzą
cego badania.
Zaobserwowano następujące reakcje na polecenie sprawdze
nia poprawności wykonanego przekształcenia:
1. Dwaj uczniowie (i, 10) z własnej inicjatywy stosowali definicję pierwiastka, prawidłowo podnosili dwumian do kwadratu i poprawnie wyciągali wnioski; tym uczniom łatwo było uświadomić błąd i w trakcie dalszej rozmowy do błędu tego już nie powracali.
2. Dwóch innych uczniów (ó, 7) zaproponowało sprawdzenie przez podstawienie numerycznych wartości za zmienne.
Uczniowie ci też poprawnie z wyników podstawienia ko
rzystali i obalali napisaną równość. Jednakże obydwaj w ciągu dalszej rozmowy badając (na polecenie osoby przeprowadzającej wywiad), na podstawie definicji pier
wiastka, czy prawdziwa jest równość V^a - b = >/a - ''Tbf dali odpowiedź pozytywną, bo popełniali błąd w operacji odwrotnej, a więc rozumowali: (v^a - 'fb) 2 - “ (^/b*)2 = a - b.
Jeden z nich (ó) mówił: "Gdyby to było prawo, to a - b równałoby się - 'fb do kwadratu, a tak jest a — b = 5 - ( 2 )
6. (8)
52
a - ,b" • Zatem sprzeczność między wnioskiem z podstawienia numerycznego i rzekomym prawem nie skłania tego ucznia
do żadnej refleksji. Drugi ^7) tak samo popełnia błąd w podnoszeniu do kwadratu różnicy, ale w toku roz
mowy samodzielnie go poprawia. Pomimo tego przy końcu rozmowy na pytanie, jaki błąd popełnił w zadaniu, odpo- wiada "powinno być pierwiastek z x - kx. równy jest x - 2 \Zx" i zapisuje " \/x2 - kx = x - 2 V x " , a nie jak napisał w zadaniu V x 2 - kx = x - i.vT. W istocie rzeczy więc uczeń powraca do jednego z popełnionych błędów
(pierwiastkowanie sumy), poprawiająo tylko inny (pier
wiastek iloczynu).
3. Pozostałych siedmiu uczniów nie proponowało żadnego spo
sobu sprawdzenia, korzystali oni natomiast z sugestii osoby przeprowadzającej wywiad, "skorzystaj z definicji pierwiastka", "w jaki sposób przekonasz kogoś, że
n/36 = 6", itp. i wtedy dopiero stosowali dla sprawdze
nia definicję. Dwaj z nich (5, 8 ) poprawnie podnosili dwumian do kwadratu i prawidłowo wyciągali wnioski.
Inni (i3» 2, 9) sprawdzając popełniali błąd w operacji odwrotnej (potęgowanie sumy)• Na przykład, uczennica (3) uważa twierdzenie, z którego korzystała, za-prawdziwe, chociaż odwołuje się do definicji, "bo jeżeli podniesie
my do kwadratu po kolei, to otrzymamy ..."
Uczennica (2) uznaje zapis V x 2 - 4x' = x - 2\/x za po
prawny, ponieważ "to jest po prostu wyciągnięcie spod pierwiastka i gdybym znowu wciągnęła pod pierwiastek, to mi to samo wyjdzie".
Zdarzają się inne uzasadnienia. Uczeń [k) na pyta
nie:" jak mógłbyś sprawdzić, czy & - 9x s - 2x ?", (co napisał), odpow i a d a : "po prostu rozwiązałbym równa
nie"; zapisuje " Vx2 - 9x = x - 3x = - 2x". "Wyciągną
łem liczbę spod pierwiastka i już sprawdziłem". Tok myślenia tego ucznia przedstawiamy dalej dokładniej, cy
tując większe fragmenty protokółu.
Uczniowie (3» ostatecznie poprawnie pokazali, że nie jest prawdą \/x2 - y 2 ' = x - y (3) i nie jest prawdą
ZDEGENEROWANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW 53
\/x2 - k x = x - 2x (4) , nie umieli odpowiedzieć Jednak na pytanie, jak sprawdzić, czy Va - b = \/a - rfb . Uczniowie ci dysponowali odpowiednimi wiadomościami, umieli wyjaśnić, dlaczego \/8T = 9» można więc sądzić, że rozumieli definicję pierwiastka, ale nie umieli jej wykorzystać przy zmienionym zapisie symbolicznym.
Uczennica (11) na polecenie sprawdzenia, ozy
J 2 2' , . J 2 ,2 ^ J Ź . Z V a - b = a - b . pisze V a - b • V a - b =
m ^ 2 2
Y a - b = a -tab, ale związku tego rachunku z posta
wionym jej pytaniem nie umie wyjaśnić.
Analiza wywiadów ujawnia u większości badanych nie tylko brak elementarnych wiadomości, ale także chaos ich myśli, nieumiejętnośó wyciągania wniosków, przeprowadzenia nawet krótkiego rozumowania, co jest powodem kilkakrotnego w toku rozmowy powrotu do tego samego błędu, mimo, że za każdym razem wydawało się, że badany zrozumiał, na czym błąd polegał i umiał go poprawić. Taicie "kołowanie" szczególnie uderzające wystąpiło u trzech uczniów (<?» 12, 4). Wszys ko to składa się na myślenie, które za Z. Krygowską nazywamy "zdegenerowanym formalizmem" (l977)« Dla dokładniejszego zilustrowania tego,
jak przejawia się "zdegenerowany formalizm" zacytuję obszerne fragmenty trzech protokołów odtworzonych z taśm magnetofono
wych, w których to zjawisko wystąpiło w sposób szczególnie jaskrawy, (jakkolwiek i u innych uczniów też je obserwowaliś
my). Protokoły zredagowano w dwóch kolumnach, w pierwszej od
notowano wypowiedzi prowadzącego badania (p), w drugiej wypo
wiedzi ucznia (ustne i pisemne - u). Niektóre z wypowiedzi uczniów podkreślono, bo jak sądzę, są one szczególnie wyraź
nym sygnałem "zdegenerowanego formalizmu". Podkreślono też niektóre wypowiedzi prowadzącego badanie dla zwrócenia uwagi na możliwe nieporozumienie, tkwiące w samym żargonie matema
tyki szkolnej, który sprzyja tej degeneracji.
Fragmenty protokołu z rozmowy z uczennicą (9)5
5h
P U
1. Uzasadnij w jaki sposób doszłaś od t©go • •. (lnu |
x— > - Ob Vx -9x - x
do togo ... (lira ---- - ■ ■ — ).
x— > — o> x - 3x - x 2. Jak możesz inaczej zapisać
V 9 . i ?
3. Tutaj jakoś inaczej oblicza
łaś V9x , bo z 9 obliczyłaś pierwiastek, a z x n i e . Napisałaś V x — 9 x = x - 3x.
4. Inaczej wyciągasz pierwiastek z 9 * 2 niż z 9 • x.
V 9 • 2' = ^9 • a n/I^T = 3x.
5. Jak sprawdzisz, czy prawdą jest, że V 9x' = 3x
6. Czy Y 9• 2' = 3-2 ? Czy V1 8i = 6 ?
7. A tu może być '{six' = 3x ?
8. Tutaj obliczyłam V 13* twoim sposobem: YTs = Y? . 2 = 3 - 2
= 6. Mówisz, że to nie jest prawdą. Dlaczego?
9. No to sprawdź, czy V 9x = 3x 10. Czy to ... (wskazanie na
Y9x = 3x) jest dobrze?
11. Jakoś mówisz to bez przekona
nia.
Wyciągnęłam pierwiastek z x 2 , to jest x, wy
ciągnęłam pierwiastek z 9, to jest 3, czyli x odjąć 3x
Y x 2 - 9x = x - 3x.
Y9 • 21 = V1T • = n/Ts1.
Nie mogę napisać tylko 3«
bo skąd mi się x woź- mie?
Nie, bo z tego wyciągnę
łam pierwiastek (wskazu
je 9) t a z tego (wskazu
je 2) nie.
Wydaje mi się, że nie mogę zostawić tego x « muszę go tak wyciągnąć.
Dlatego, że 6 razy 6 równa się 3 6, a nie 1S.
(3x) 2 = 3x • 3x = 9x2 Stąd wynika, że nie, tu
taj jest 9x, a tutaj o 29x
No, bo mnie się wydawało, że dobrze robiłam, że
Y9x' = 3x, bo_ nie można
Z DEGENEROWANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW 55
1 2
.
13.
14.
15.
16.
17.
1 8.
19.
2 0
.
21.
2 2.
23.
24.
25.
Jaka' liczba podniesiona do kwadratu daje 9x ?
V 9x =s A; A2 = 9x
Jaką liczbę trzeba podnieść do kwadratu, aby otrzymać 9x ?
Jaką liozbę trzeba podnieść do kwadratu, aby otrzymać 15 ?
A żeby dostać dwa A znasz liczbę
Jest to długość przekątnej kwadratu o boku jeden. Pod
nieś V ? do kwadratu ! Jaka liczba podniesiona do kwadratu da ci 9x ?
Cłicesz mieć 9x, a nie 9x !2 Pomogę ci, oblicz V^x* • \/x^
gdy x ^ 0.
Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 9x ?
3x podniesione do kwadratu równa się 9x ; tak obliczy2 łaś przed chwilą
/ 2 1 Twierdzisz, że Y x -9x = x - 3 ST'&
Ogólnie, że < T ~ . B2 =
Powiedziałaś j V36 = 6, bo 6 = 3 6 . Sprawdź, czy zapisa2 ne przez ciebie twierdzenie
jest prawdziwe
napisać, że to jest 3. to byłoby nieprawdą, tylko 3x musi być, nie może być coś innego.
To ohyba będzie coś ze wzorami skróconego mnoże
n i a .
Nie da się takiej liczby obliczyć.
Nie ma takiej liczby Tak, jest to przekątna kwadratu o boku jeden.
[ f z ] 2 = 2
Na przykład, 3x, 3x razy 3x: 3x • 3x = 9x2 .
Nie wiem.
x.
3x.
3 V^.
Tak!
równa się /a2 - B*
Jest A 2 -
, bo B 2
A - B (pisze:
= A - B).
(A - B) 2 =
26. Co to znaczy podnieść do Icwa- Wyranożyć przez siebie dratu? (pisze: (a-b) 2=r A2-2AB+B2 27• N o to, ozy twierdzenie Jest prawdziwe.
V A2-B2 = A — B jest praw
dziwe?
V dalszej ozęści rozmowa "kołuje" dokoła tych samych stwierdzeń. Prowadzący rozmowę odwołuje się więc do weryfi
kacji numerycznej.
33. Niech A a 5, B s k. V25 - 16' = V 9 = 3.
Oblioz V 2 5 - 1 6 .
3k. A korzystając z twojego V 26 - 16 = V 52 - = twierdzenia o rozdzielaniu 5 - = 1 .
pierwiastka, jaki otrzymasz -
wynik?
35. Który wynik jest prawdziwy? 3.
36. A więc Va2 - B2 = A - B ? Właściwie z tego wynika, Czy to twierdzenie jest praw- że nie.
dziwę ?
3 7* A z czego wynika, że tak? Było takie twierdzenie, że pierwiastek z liczby podniesiony do kwadratu daje nam liczbę podpier—
wiastkową.
38. Ale. czy z tego twierdzenia No nie.
wynika, że ^ A2 - B2 = A - B ?
39. Dlaczego? —
^■0. Zastosuj to prawo, (^a ) 2 = A, Gdy podniosę (A - B ) do do tego ... Co powinniśmy kwadratu, to otrzymam otrzymać podnosząc A - B A2 - B 2 .
do kwadratu, gdyby to twier
dzenie było prawdziwe?
k \. Podnieś (A — b) do kwadratu, (pisze: (a - b) =
zapisz! A2 - 2AB + 3 2) .
Z DEGENEROWANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW 57 42. Czy twierdzenie VA ^ — B2 =
A — B Jest prawdziwe?
43. Cały czas na ten temat rozma
wiamy!
44. Oblicz (a - b)2 I 45. Skąd wiesz, że tak jest?
Przed chwilą mówiłaś, że (a - b) do kwadratu to jest A do kwadratu minus B do kwadratu, a teraz piszesz A 2 - 2AB + B 2 ?
46. Twoje rozumowanie było takie:
to prawo jest prawdziwe, po
nieważ (a - b) do kwadratu to jest A 2 - B 2 .
47. Udowodnij ten wzór!
48. Wyprowadź wzór, wiedząc, 00
to znaczy podnieść do kwadra
tu!
49. Cały czas koncentrowaliśmy się na tym, czy prawdziwe jest twierdzenie \^A2 - B 2 = A - B.
Co możesz na ten temat powie
dzieć?
50. Podstaw A = 5. B = 3 i ob
licz \/a2 - B 2' oraz A - B ! . Czy 4 równa się 2 ?
To będzie prawdziwe.
2 2
A - B możemy zapisać w postaci (a - b)2 , a to możemy zapisać jak A2 - 2AB + B 2 , bo jeżeli mamy jakąś różnicę liczb do kwadratu, to jest pie
rwsza liczba do kwadratu minus druga liczba do kwadratu.
(A - B) 2 = A2 - 2AB + B 2 .
Pomyliłam się przedtem.
Ja pomieszałam:
(A - b) 2 = A2 - 2AB + B2
(a - b) 2 s (a - b) (a - b)
= A2 - AB - BA + B2 s A2 - 2AB + B 2 .
— 5---- A — B , to możemy to rozpisać
Va2 — B2 = \ H F - n/b2*, a pierwiastek z A2 to jest A, a z B2 to jes B: /a2 - B*' =
= A - B.
\l 25 - 9 s /Tó1 = 4.
A - B = 5 - 3 = 2 . Nie, 4 ^ 2 .
51
rolet
58
52• Skorzystałaś z tego twierdze Nie nia; czy otrzymałaś równość?
53. Czy to prawo jest prawdziwe?
5*ł. Podsumujmy naszą rozmowę.
Twierdziłaś w trakcie rozmo- w y , że twierdzenie \jA2 - B2 s A - B jest prawdziwe.
Przekonałaś się, że nie.
Dlaczego?
Nie, bo nie tych samych twierdzenie prawdziwe•
o trzymali śmy liczb. To nie jest
Bo podstawiłam liczby i nie wyszła lewa strona równa prawej. Teraz już rozumiem, ale wcześniej m i się wydawało , że
V^A2 - B 2 = p T - Vb2=
= A - B.
Fragmenty protokołu rozmowy z uczennicą (12)
P U
1 Przeczytaj tekst zadania, popatrz na swoje rozwiązanie,
(wskazanie odpowiedniego frag
mentu tekstu zadania kontrol- nego, błędy są podkreślone:
f(x) = \Jx.2 + k
f(x,,)-f(x2) f i P k
3 P ? ■
- 2 X 2
2p2
- 3
2 - 3
2. Skąd otrzymałaś tę równość?
3. W tekście masz f(x) =
= V x2 + 1 . Nie zgadzają się dane. Czy zadania nie odpi
sywałaś? Gdybyś odpisała, nasza rozmowa nie miałaby sensu, nie byłaby to rozmo—
To było zadanie na iloraz różnicowy. Tu należało podstawić wartości. To była niespodziewana kart
kówka, nie powtarzałam tego w ogóle. Za czym doszłam do tych wzorów, wykoncypowalam, co tam trzeba zrobić i jak, to po prostu był koniec lekcji.
Już nie pamiętam.
Nie, nie odpisywałam; to zadanie było ostatnim zadaniem. Nie pamiętam dlaczego tak zrobiłam, tak podstawiłam, ale wtedy z całą świadomoś-
Z DEGENEROWANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓ W 59
k
mowa na temat twoich błędów.
Rozwiąż więc zadanie, które miałaś w tekście, przyjmując
5. Na jakiej podstawie chcesz tak napisać?
cią robiłam źle.
+ 1' - \/9 + 1 _ - 2 - 3
2 V*2
___
_ - \/To _ - /To
1
- 5 - 5
(kolejno skreśla 2 ^/~3» 2 ^ , zostawia 2 u ) . Dwa razy dwa jest cztery, więc tu powinno być dwa pierwiastki z czterech, nie chyba cztery pierwia
stki z dwóch.
Chciałam wyciągnąć coś przed pierwiastek. Chcia
łam pod pierwiastkiem zo
stawić to. z czego się nie da wyciągnąć pierwia
stka, a wyciągnąć tot z czego się da wyciągnąć pierwiastek. Czyli w przy
padku czterech byłby pier
wiastek równy dwa, stąd zostałby jeden, stąd
V k + 1 = 2 \Z~iT, ale to nie może być.
Prowadzący badanie przyjmuje, że "to nie może być"; wyraża sąd: nie jest prawdą VfT = 2 VIT, a więc wykonane przekształ
cenie nie jest poprawne. Chce jednak dokładniej wyjaśnić, jak uczennica myśli w innym kontekście, tj. w związku z błędem popełnionym w zadaniu kontrolnym, dlatego w dalszym ciągu rozmowy powraca do tego zadania.
7 Skąd otrzymałaś z ... to ...
(pokaz: 19 ♦ V - f T T R ,
Też na tej samej zasadzie, Wyciągnęłam pierwiastek
3 W - 2 VT
- 2 - 3 '
powrót do zapisu w zadaniu kontrolnym).
8, Błędnego, tylko dlaozego ono jest błędne?
9. Gdzie jest błąd?
10. Jakbyś mnie przekonała o tym, że tutaj jest błąd?
11. Czemu równa jest liczba 3 ?
12. Czemu jest równy ^9 + 4' ?
13. To samo zrobiłaś za pierw
szym i drugim razem. Popatrz, masz tutej pierwiastek z li
czby dziewięć plus cztery.
Co masz pod pierwiastkiem?
14. Czyli co masz zrobić z tymi liczbami?
15. No to dodaj!
1 6. Co ci nie wychodziło?
z dziewięciu, trzy, i zo
stało mi cztery, czyli
3 VT. Tak samo tutaj, z czterech dwa; znaczy — nie wiem na jakiej pod
stawie rozumowania, błęd
nego zresztą.
Tutaj w tym wyciąganiu
Można również wyciągnąć pierwiastek z czterech, czyli mamy trzy razy dwa, to jest sześć.
Wyciągnę pierwiastek z 9, czyli trzy pierwiastki z czterech, tutaj również się da wyciągnąć pierwias
tek, czyli trzy razy dwa równa się też 6:
V 9 + V = 3 \/T = 3 * 2 = 6
Mam znale plus.
Bodać.
No tak, no właśnie doda- łąm, ale mi nie wychodzi
ło więc zaczęłam częścio
w o .
No po prostu nie mogłam wyciągnąć z trzynastu
Z DEGENEROWANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW 61
17. Pierwiastek z trzynastu jest tak samo dobrą liczbą jak pierwiastek z dwóch.
18. Który rachunek jest popraw
ny: ^9 + V a /TJ, i 9 + ^ = 3 = 6 ?
pierwias tka« tylko w przy
bliżeniu.
Tak, ale ja ohoialam jesz
cze bardziej doprowadzić do prostszej postaci.
Trzeba najpierw dodać, oozywiśoie. Ten pierwszy jest dobry.
W dalszym ciągu toczy się rozmowa na temat definioji pierwiastka oraz twierdzenia o pierwiastku z iloczynu; po tej dyskusji uczennica zadaje nagle spontaniczne pytanie powraca
jąc do równości ''[$ = 2 \fTt o której poprzednio twierdziła
"to nie może być" (wypowiedź 5)•
31.
32. Sama odpowiedz na to pyta
nie.
33. Napisałaś, że pierwiastek z 5 to jest pierwiastek z czterech plus jeden, a to
jest dwa pierwiastki z jeden 3*Ł. A o czym?
Przepraszam, chciałam zapy*
tać, ozy to było prawdą, to co jest tutaj, wyciąga
łam pierwiastek, to było
= \/k + V = 2 VT, wy
ciągnęłam dwa, dwa pierwia
stki z jednego. Czy można tak zapisać?
Tak na pewno nie jest, nie myślałam o tym.
¥ ogóle nie przypominam sobie, jaki tok rozumowa
nia w ogóle miałam przed chwilą. Po prostu przypu
szczałam, że zrobię źle i czy zrobię w taki sposób czy w inny sposób zł y , to jest wszystko jedno. Fak-
62
35• Sarna postaraj się odpowie
dzieć na to pytanie.
36• Ile w przybliżeniu wynosi
37. Około 2,2. A \TT ?
38
.
\fT ?39. Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje jeden?
kO. Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje jeden?
k\ . Zero dwie dziesiąte razy zero dwie dziesiąte ...
setne
kZ. Cztery do kwadratu.
^3. Jest to taka liczba, która podniesiona do kwadratu daje jeden.
/
kk. Nie potrafię wskazać przy
czyny, dlaczego tak trudno było ci znaleźć pierwiastek z jedynki.
tycznie ja się zorientowa
łam potem, że ja to mogę pododawać. Ja się po pros
tu nie douczyłam, nie pow
tórzyłam sobie. Czyli to jest ź l e , tak?
Dwa i coś.
Jeden czterdzieści jeden.
Nie, przepraszam, jakieś coś koło pół. Nie zaraz, zaraz•
Coś koło zera i dwie dzie
siąte .
zero cztery - - -
Jakaś mała liczba cząstko
w a . Nie przepraszam, czte
ry i coś chyba
Szesnaście, nie - chyba zero i cztery dziesiąte.
No. nie ma takiej liczby.
¥ przybliżeniu można okre
ślić ... Nie! jeden! samo jeden!!! Jeden podniesione do kwadratu daje jeden.
Jestem straszliwie roztarg- niona. ¥ ogóle nie jestem matematykiem, jestem huma
nistą, nienawidzę matema
tyki.
ZDEGENEROVANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW 63 45. Doszłaś do wniosku, że tak
( V ? = 2 \f?) być nie może.
Pierwiastek z 5 jest w przy
bliżeniu równy 2,2, a 2 V ? to jest ...
Pierwiastek z pięciu nie jest równy dwa, bo dwa podniesione do kwadratu nie równa się pięć.
46. V 9 + 4' równa się ...
47. Nie jest to liczba równa ...
48. Dlaczego ?
49. V T T ^ 3 /4* = 3 • 2, bo gdy 6 podniesiemy do kwadratu, nie otrzymamy 13* Natomiast . /4 • 9’ = ^4" . \ /7= 2 . 3,
V 36 = 6 , bo 62 = 3 6.
50. Jak ci się wydaje, czy możesz zapisać inaczej wyrażenie
+ 4 ?
2 2
51. Powiedziałaś: 4 + x = 4x • Oblicz wartość wyrażenia
2 2
4 + x oraz 4x , dla x = 5 !
52. Czy 4x2 = 4 + x2 ? 53• Czy prawdą jest, że
r T --- ' V x + 4 = 2x
54. Trzeba było obliczyć ilo
raz różnicowy funkcji f(x) = V x 2 + 1, x 1 = -2,
Dwa \
\fTT
3 \/7
Tak, to jest dwa pierwia
stki z x 2 , bo x 2 + 4 to jest 4x , a więc to2 jest 2 to jest 2x,
\/x2 + 4' = 2 / x 2' = 2x.
x 2 plus cztery to jest 29; 4 razy 25 to jest sto.
N o , n i e l
Nie można tak zapisać, to jest oddzielne wyraże
nie, to są dwa odrębne człony, których, nie można dodać. No to, jak trzeba było rozwiązać ?
64
x2 = 3:
\/4 + 1 - ^9 + 1 _ / ? - VlO
- 2 - 3 - 5
_ >/? - / ? » / ?
- 5
Dalej można było jeszcze prze
kształcić ... Napisać to
się równa pierwiastek z 7 (pisże /? • n/? =
= VzJ.
55. Skąd wzięłaś 7 ? Pięć dodać dwa.
56. Gdzie masz znale dodawania? Dodałam zamiast mnożyć ! 57« Można było wyłączyć /51
przed nawias >r5 (1 - v2»
— 5
I tale zostawić ? 58. Tak!
59. A to zadanie, co ja robi
łam?
60. Trzeba było zostawić w postaci
— -— *.... — '\Ta ewentualnie napi- - 3 - 2
sać zamiast 8, 2 V2, bo Nie wiedziałam^ że można / Ś 1 = V4 . 2 = \Z*T . = zostawić pierwiastek
=2 vHT. z trzynastu !!!
fragmenty protokołu rozmowy z uczniem (4)
P U
1. Objaśnij w jaki sposób do- Wyjąłem liczbę spod szedłeś od tego ... pierwias tka
X ’
lim — - ■ 11 1— — -- Vx ^ - 9x - x do tego .
x*
lim
» — OO
X
3 3x - x
?
ZDEGENEROWANY FORMALIZM W MYŚLENIU UCZNIÓW 65 2. Co to znaczy "wyjąć" liczbę
spod pierwiastka?
3. Co to znaczy skrócić liozbę o połowę?
k. Na jakiej podstawie napisałeś więc J 2
V x - 9x = x - 3x ?
5. I dalej tale uważasz?
6. Sprawdź, czy poprawnie prze
kształciłeś?
7t Jak możesz sprawdzić, czy
\/x2 - 9x « - 2x ?
8. Jakie równanie?
9. Jak przekonasz kogoś, że /i T = 9 ?
10. VsT a 9, bo 92 = 81 . Jak możesz sprawdzić, czy
\f- - 9x = - 2x ?
Wyciągnąłem liczbę spod pierwiastka, to znaczy skróciłem tę liczbę o po
łowę. Nie, to źle zrobi
łem!
Podzielić przez dwa, tu nie dzieliłem przez dwa.
V x 2 - 9x = - 2x. Po pro
stu ja bezpośrednio tę liczbę wyjąłem spod pier
wiastka. Wyciągnąłem z 9x pierwiastek i wyszło mi 3x i z x 2 , x. Z te
go powodu wyszła mi taka liczba, myślałem, że tak można zrobić.
Tale.
Po prostu rozwiązałbym I 2--- ' to równanie: \Jx - 9x =
= x - 3x = - 2x.
Wyciągnąłem liczbę spod pierwiastka i już spraw
dziłem.
Wymnożę: 9 • 9 = 8 1.
Powinienem podnieść - 2x do kwadratu i otrzymać x 2 - 9x. Czyli to jest źle, błędnie wyciągnąłem spod pierwiastka.
To stwierdzenie nie wyjaśnia jeszcze^ na czym błąd polega.
Równość \/x2 - 9x = - 2x otrzymano popełniając dwa błędy V x 2 - 9x = \Jx^ - \j9x i V9x = 3x. W dalszym ciągu rozmowy prowadzący badania chce je odizolować. Uczeń poprawia błąd
\/9x = 3x; następnie przechodzi się do analizy błędu drugiego.
66 11 .
1 2
.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
2 0
.
21.
22.
23.
A gdyby byio \/x^ - 9x =
= x - 3 \/~x, bo = 3 \/x dla x}/ 0, a nie 3x? Czy by
łoby dobrze?
r2--- 1 Sprawdź, czy Vx - 9x =
= x - 3 /x.
Przed chwilą sprawdzaliśmy, czy Y x 2 - 9x = - 2x.
Jaki wniosek?
Skorzystałeś z fałszywego twierdzenia. Uzupełnij, jakie
Tak najpierw wyciągam je
den składnik, potem drugi.
to było twierdzenie Va2 - B Dlaczego to twierdzenie jest fałszywe?
Twierdzisz, że dla dowolnych.
A, B taki związek zachodzi?
Przekonaj mnie o tym.
Sprawdź, czy - B* =2* _
= A — B dla A = 5 , B = 2.
Oblicz V/2 ~ 2
(x - 3 ^ ) 2 = 2
21
- B oraz
= x - 2 * 3 x V x 1 + 9x.
Nie to samo.
= A - B
Ja uważam, że to jest prawdą, nie, to nie jest prawdą, bo tu jeszcze po
winno sig napisać, nie - to jest prawdą!
Tak zachodzi.
/s2 - 22 = V25 - =
= 5 - 2 = 3 .
Po prostu ten pierwiastek redukuje te potęgę.
& . bK V25 - V =V57 A - B, dla A = 5, B = 2
Jaki wniosek wyciągasz co do prawdziwości tego twierdzenia?
Nie wiem, o jaką resztę ci chodzi. Jaki wniosek wycią
gasz co do prawdziwości tego twierdzenia?
a - b = 5 - 2 = 3 ; to się temu nie równa.
Czyli nie da się tego wy
ciągnąć . bo gdy wyciągam, to zostaje reszta.
Spod pierwiastka daje się wyciągnąć te liczby, któ
re są, które się daje podnieść do drugiej potę-
Czy nie da się podnieść gi.
Da się tylko, że, czyli
