Formalizm kwantowej fizyki statystycznej

Formalizm kwantowej fizyki statystycznej

Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna

Instytut Fizyki

2015

Formalizm: przestrze´n Hilberta

• Role˛ przestrzeni fazowej odgrywaprzestrze´n HilbertaH:

• (zupełna, o´srodkowa) przestrze´n wektorowa (niekoniecznie o sko´nczonym wymiarze)

• z iloczynem skalarnym (unitarnym) h · | · i : H × H →Co własno´sciach a) h x | y i = h y | x i^∗

b) h x | y + z i = h x | y i + h x | z i c) h x | αy i = αh x | y i

d) h x | x i ­ 0, przy czym h x | x i = 0 ⇔ x = 0

• mo˙zna okre´sli´c długo´s´c dowolnego wektora x ∈ H jako |x| = p

h x | x i

Formalizm: przestrze´n Hilberta

• Role˛ przestrzeni fazowej odgrywaprzestrze´n HilbertaH:

• (zupełna, o´srodkowa) przestrze´n wektorowa (niekoniecznie o sko´nczonym wymiarze)

• z iloczynem skalarnym (unitarnym) h · | · i : H × H →Co własno´sciach a) h x | y i = h y | x i^∗

b) h x | y + z i = h x | y i + h x | z i c) h x | αy i = αh x | y i

d) h x | x i ­ 0, przy czym h x | x i = 0 ⇔ x = 0

• mo˙zna okre´sli´c długo´s´c dowolnego wektora x ∈ H jako |x| = p

h x | x i

Przykłady przestrzeni Hilberta

1 Przestrze´nCⁿ(sko´nczony wymiar) z iloczynem skalarnym h x | y i =

n

X

i=1

x^∗_iyi

gdzie x = (x1, . . . , xn) ∈Cⁿoraz y = (y1, . . . , yn) ∈Cⁿ

2 Przestrze´n funkcji L²(R) (niesko´nczony wymiar) z iloczynem skalarnym h f | g i =

Z

R

f^∗(x)g(x) dx

gdzie f, g ∈ L²(R^{) =} n

f :R^→C; h f | f i < ∞o

Przykłady przestrzeni Hilberta

1 Przestrze´nCⁿ(sko´nczony wymiar) z iloczynem skalarnym h x | y i =

n

X

i=1

x^∗_iyi

gdzie x = (x1, . . . , xn) ∈Cⁿoraz y = (y1, . . . , yn) ∈Cⁿ

2 Przestrze´n funkcji L²(R) (niesko´nczony wymiar) z iloczynem skalarnym h f | g i =

Z

R

f^∗(x)g(x) dx

gdzie f, g ∈ L²(R^{) =} n

f :R^→C; h f | f i < ∞o

Przykłady przestrzeni Hilberta

1 Przestrze´nCⁿ(sko´nczony wymiar) z iloczynem skalarnym h x | y i =

n

X

i=1

x^∗_iyi

gdzie x = (x1, . . . , xn) ∈Cⁿoraz y = (y1, . . . , yn) ∈Cⁿ

2 Przestrze´n funkcji L²(R) (niesko´nczony wymiar) z iloczynem skalarnym h f | g i =

Z

R

f^∗(x)g(x) dx

gdzie f, g ∈ L²(R^{) =} n

f :R^→C; h f | f i < ∞o

Obserwable

• Obserwable: liniowe, samosprze˛˙zone operatory działaja˛ce na H, tzn. A : H → Hb

• liniowo´s´c: ^{A(x + y) =}b ^{A(x) +}b ^{A(y) oraz}b ^{A(αx) = α}b ^A(x)b

• operatorem sprze˛˙zonym doA nazywamy taki operatorb ^Ab

∗, ˙ze

h x |^{Ay i = h}b ^Ab^{∗x | y i}

• operator jest samosprze˛˙zony, je´sli ^{A =}b ^Ab^∗

• Przykłady:Operatory poło˙zenia, pe˛du i hamiltonian na przestrzeni H = L²(R⁾ maja˛ odpowiednio posta´c

bx(ψ) = xψ , b^{p(ψ) = −i~}

∂ψ

∂x, H = i~b ∂

∂t

Obserwable

• Obserwable: liniowe, samosprze˛˙zone operatory działaja˛ce na H, tzn.

A : H → Hb

• liniowo´s´c: ^{A(x + y) =}b ^{A(x) +}b ^{A(y) oraz}b ^{A(αx) = α}b ^A(x)b

• operatorem sprze˛˙zonym doA nazywamy taki operatorb ^Ab

∗, ˙ze

h x |^{Ay i = h}b ^Ab^{∗x | y i}

• operator jest samosprze˛˙zony, je´sli ^{A =}b ^Ab^∗

• Przykłady:Operatory poło˙zenia, pe˛du i hamiltonian na przestrzeni H = L²(R⁾ maja˛ odpowiednio posta´c

bx(ψ) = xψ , b^{p(ψ) = −i~}

∂ψ

∂x, H = i~b ∂

∂t

Obserwable

• Obserwable: liniowe, samosprze˛˙zone operatory działaja˛ce na H, tzn.

A : H → Hb

• liniowo´s´c: ^{A(x + y) =}b ^{A(x) +}b ^{A(y) oraz}b ^{A(αx) = α}b ^A(x)b

• operatorem sprze˛˙zonym doA nazywamy taki operatorb ^Ab

∗, ˙ze

h x |^{Ay i = h}b ^Ab^{∗x | y i}

• operator jest samosprze˛˙zony, je´sli ^{A =}b ^Ab^∗

• Przykłady:Operatory poło˙zenia, pe˛du i hamiltonian na przestrzeni H = L²(R⁾ maja˛ odpowiednio posta´c

bx(ψ) = xψ , b^{p(ψ) = −i~}

∂ψ

∂x, H = i~b ∂

∂t

Obserwable

• Obserwable: liniowe, samosprze˛˙zone operatory działaja˛ce na H, tzn.

A : H → Hb

• liniowo´s´c: ^{A(x + y) =}b ^{A(x) +}b ^{A(y) oraz}b ^{A(αx) = α}b ^A(x)b

• operatorem sprze˛˙zonym doA nazywamy taki operatorb ^Ab

∗, ˙ze

h x |^{Ay i = h}b ^Ab^{∗x | y i}

• operator jest samosprze˛˙zony, je´sli ^{A =}b ^Ab^∗

• Przykłady:Operatory poło˙zenia, pe˛du i hamiltonian na przestrzeni H = L²(R⁾ maja˛ odpowiednio posta´c

bx(ψ) = xψ , ^{p(ψ) = −i~}b

∂ψ

∂x, H = i~b ∂

∂t

Stany układu kwantowego

1. Stany czyste —wektory z przestrzeni Hilberta o długo´sci 1, tzn.unormowane:

|x| = 1

• Stanom czystym odpowiadaja˛ operatory rzutu Pbx na kierunek wektora x, ich działanie jest naste˛puja˛ce Pbx(y) = h x | y ix

Pbx ←→ x ∈ H unormowany

2. Stany mieszane (statystyczne) —wypukłe kombinacje stanów czystych, tzn. je´sli xisa˛ stanami czystymi, to stan układu mieszanego okre´slaoperator ge˛sto´sci

bρ = X

i

piPbx_i, gdzie X

i

pi = 1

Stany układu kwantowego

1. Stany czyste —wektory z przestrzeni Hilberta o długo´sci 1, tzn.unormowane:

|x| = 1

• Stanom czystym odpowiadaja˛ operatory rzutu Pbx na kierunek wektora x, ich działanie jest naste˛puja˛ce Pbx(y) = h x | y ix

Pbx ←→ x ∈ H unormowany

2. Stany mieszane (statystyczne) —wypukłe kombinacje stanów czystych, tzn. je´sli xisa˛ stanami czystymi, to stan układu mieszanego okre´slaoperator ge˛sto´sci

bρ = X

i

piPbx_i, gdzie X

i

pi = 1

Stany układu kwantowego

1. Stany czyste —wektory z przestrzeni Hilberta o długo´sci 1, tzn.unormowane:

|x| = 1

• Stanom czystym odpowiadaja˛ operatory rzutu Pbx na kierunek wektora x, ich działanie jest naste˛puja˛ce Pbx(y) = h x | y ix

Pbx ←→ x ∈ H unormowany

2. Stany mieszane (statystyczne) —wypukłe kombinacje stanów czystych, tzn. je´sli xisa˛ stanami czystymi, to stan układu mieszanego okre´slaoperator ge˛sto´sci

bρ = X

i

piPbx_i, gdzie X

i

pi = 1

Stany układu kwantowego

1. Stany czyste —wektory z przestrzeni Hilberta o długo´sci 1, tzn.unormowane:

|x| = 1

• Stanom czystym odpowiadaja˛ operatory rzutu Pbx na kierunek wektora x, ich działanie jest naste˛puja˛ce Pbx(y) = h x | y ix

Pbx ←→ x ∈ H unormowany

2. Stany mieszane (statystyczne) —wypukłe kombinacje stanów czystych, tzn.

je´sli xisa˛ stanami czystymi, to stan układu mieszanego okre´slaoperator ge˛sto´sci

bρ = X

piPbx_i, gdzie X pi = 1

Własno´sci operatorów ge˛sto´sci

• dodatnio okre´slony, tzn. h x |^{ρ x i ­ 0}b

• samosprze˛˙zony, tzn.b^ρ

∗=^ρb

• klasy ´sladowej, tzn. Trb^{ρ =} P

ih bi|^{ρ b}b ^{ii = 1,}

• Zbiór stanów mieszanych P = n

ρ ;b ^{ρ ­ 0 ,}b ^ρb

∗=^{ρ , Tr}b ^{ρ = 1}b o

6. Srednia warto´s´c obserwabli´

hAibρˆ = Tr (^ρbA)b

Własno´sci operatorów ge˛sto´sci

• dodatnio okre´slony, tzn. h x |^{ρ x i ­ 0}b

• samosprze˛˙zony, tzn.b^ρ

∗=b^ρ

• klasy ´sladowej, tzn. Trb^{ρ =} P

ih bi|^{ρ b}b ^{ii = 1,}

• Zbiór stanów mieszanych P = n

ρ ;b ^{ρ ­ 0 ,}b ^ρb

∗=^{ρ , Tr}b ^{ρ = 1}b o

6. Srednia warto´s´c obserwabli´

hAibρˆ = Tr (^ρbA)b

Własno´sci operatorów ge˛sto´sci

• dodatnio okre´slony, tzn. h x |^{ρ x i ­ 0}b

• samosprze˛˙zony, tzn.b^ρ

∗=b^ρ

• klasy ´sladowej, tzn. Trb^{ρ =} P

ih bi|^{ρ b}b ^{ii = 1,}

• Zbiór stanów mieszanych P = n

ρ ;b ^{ρ ­ 0 ,}b ^ρb

∗=^{ρ , Tr}b ^{ρ = 1}b o

6. Srednia warto´s´c obserwabli´

hAibρˆ = Tr (^ρbA)b

Ewolucja stanu czystego

7. Ewolucja stanu czystego | ψ(t) i — równanie Schrödingera i~d

dt| ψ(t) i = H(t)| ψ(t) i ,b dla | ψ i ∈ H

• Rozwia˛zanie jest postaci

| ψ(t) i = Ubt,t0| ψ(t0) i , gdzie

Ubt,t₀= T exp h₁

i~

t

Z

t₀

H(s)dsˆ i

.

• {Ubt} tworza˛ grupe˛ operatorów unitarnych, tzn. U_t⁻¹= Ut^∗i spełniaja˛ równanie i~d

dtUbt,t₀=H(t)b Ubt,t₀, Ubt₀,t₀ = I

Ewolucja stanu czystego

7. Ewolucja stanu czystego | ψ(t) i — równanie Schrödingera i~d

dt| ψ(t) i = H(t)| ψ(t) i ,b dla | ψ i ∈ H

• Rozwia˛zanie jest postaci

| ψ(t) i = Ubt,t0| ψ(t0) i , gdzie

Ubt,t₀= T exp h₁

i~

t

Z

t₀

H(s)dsˆ i

.

• {Ubt} tworza˛ grupe˛ operatorów unitarnych, tzn. U_t⁻¹= Ut^∗i spełniaja˛ równanie i~d

dtUbt,t₀=H(t)b Ubt,t₀, Ubt₀,t₀ = I

Ewolucja stanu czystego

7. Ewolucja stanu czystego | ψ(t) i — równanie Schrödingera i~d

dt| ψ(t) i = H(t)| ψ(t) i ,b dla | ψ i ∈ H

• Rozwia˛zanie jest postaci

| ψ(t) i = Ubt,t0| ψ(t0) i , gdzie

Ubt,t₀= T exp h₁

i~

t

Z

t₀

H(s)dsˆ i

.

• {Ubt} tworza˛ grupe˛ operatorów unitarnych, tzn. U_t⁻¹= Ut^∗i spełniaja˛ równanie i~d

dtUbt,t₀=H(t)b Ubt,t₀, Ubt₀,t₀ = I

Ewolucja stanu czystego

7. Ewolucja stanu czystego | ψ(t) i — równanie Schrödingera i~d

dt| ψ(t) i = H(t)| ψ(t) i ,b dla | ψ i ∈ H

• Rozwia˛zanie jest postaci

| ψ(t) i = Ubt,t0| ψ(t0) i , gdzie

Ubt,t₀= T exp h₁

i~

t

Z

t₀

H(s)dsˆ i

.

• {Ubt} tworza˛ grupe˛ operatorów unitarnych, tzn. U_t⁻¹= Ut^∗i spełniaja˛ równanie i~d

dtUbt,t₀=H(t)b Ubt,t₀, Ubt₀,t₀ = I

Ewolucja stanu mieszanego

• Wychodza˛c ze stanu pocza˛tkowego ρ(tˆ 0) =X

α

pα| ψα(t0) ih ψα(t0) |

otrzymamy

ˆ

ρ(t) =Ubt,t0ρ(tˆ 0)Ubt,t^∗₀

8. Równanie von Neumanna — ewolucji stanu mieszanego ˆρ(t) i~d

dtρ(t) = [ˆ H(t), ˆb ρ(t)]

• Wprowadzaja˛c operator Liouville’a L(t) =_i~¹[H, · ] otrzymamy w ogólno´scib

ˆ

ρ(t) = T exp h

t

Z

t₀

L(s)dsi

Ewolucja stanu mieszanego

• Wychodza˛c ze stanu pocza˛tkowego ρ(tˆ 0) =X

α

pα| ψα(t0) ih ψα(t0) |

otrzymamy

ˆ

ρ(t) =Ubt,t0ρ(tˆ 0)Ub_t,t^∗₀

8. Równanie von Neumanna — ewolucji stanu mieszanego ˆρ(t) i~d

dtρ(t) = [ˆ H(t), ˆb ρ(t)]

• Wprowadzaja˛c operator Liouville’a L(t) =_i~¹[H, · ] otrzymamy w ogólno´scib

ˆ

ρ(t) = T exp h

t

Z

t₀

L(s)dsi

Ewolucja stanu mieszanego

• Wychodza˛c ze stanu pocza˛tkowego ρ(tˆ 0) =X

α

pα| ψα(t0) ih ψα(t0) |

otrzymamy

ˆ

ρ(t) =Ubt,t0ρ(tˆ 0)Ub_t,t^∗₀

8. Równanie von Neumanna — ewolucji stanu mieszanego ˆρ(t) i~d

dtρ(t) = [ˆ H(t), ˆb ρ(t)]

• Wprowadzaja˛c operator Liouville’a L(t) =_i~¹[H, · ] otrzymamy w ogólno´scib

t

Ewolucja układów otwartych

• Zredukowana dynamika układu zło˙zonego: układ (S) + rezerwuar (R) na przestrzeni Hilberta

H = HS⊗ HR

• Produktowy stan pocza˛tkowy b^{ρS(t0) ⊗}b^ρR(t0)

• Ewolucje˛ na H opisuje operator unitarnyUbt,t₀

ρ(t) =b Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀

• Stany układu S podlegaja˛zredukowanej dynamice

bρS(t) = TrR(b^{ρ(t)) = TrR}



Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀ gdzie

h φ1|TrRA| φb 2i =X

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i dla dowolnych stanów układu | φ1i oraz | φ2i i bazy | α i w przestrzeni rezerwuaru HR

Ewolucja układów otwartych

• Zredukowana dynamika układu zło˙zonego: układ (S) + rezerwuar (R) na przestrzeni Hilberta

H = HS⊗ HR

• Produktowy stan pocza˛tkowy b^{ρS(t0) ⊗}b^ρR(t0)

• Ewolucje˛ na H opisuje operator unitarnyUbt,t₀

ρ(t) =b Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀

• Stany układu S podlegaja˛zredukowanej dynamice

bρS(t) = TrR(b^{ρ(t)) = TrR}



Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀ gdzie

h φ1|TrRA| φb 2i =X

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i dla dowolnych stanów układu | φ1i oraz | φ2i i bazy | α i w przestrzeni rezerwuaru HR

Ewolucja układów otwartych

• Zredukowana dynamika układu zło˙zonego: układ (S) + rezerwuar (R) na przestrzeni Hilberta

H = HS⊗ HR

• Produktowy stan pocza˛tkowy b^{ρS(t0) ⊗}b^ρR(t0)

• Ewolucje˛ na H opisuje operator unitarnyUbt,t₀

ρ(t) =b Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀

• Stany układu S podlegaja˛zredukowanej dynamice

bρS(t) = TrR(b^{ρ(t)) = TrR}



Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀ gdzie

h φ1|TrRA| φb 2i =X

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i dla dowolnych stanów układu | φ1i oraz | φ2i i bazy | α i w przestrzeni rezerwuaru HR

Ewolucja układów otwartych

• Zredukowana dynamika układu zło˙zonego: układ (S) + rezerwuar (R) na przestrzeni Hilberta

H = HS⊗ HR

• Produktowy stan pocza˛tkowy b^{ρS(t0) ⊗}b^ρR(t0)

• Ewolucje˛ na H opisuje operator unitarnyUbt,t₀

bρ(t) =Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀

• Stany układu S podlegaja˛zredukowanej dynamice

bρS(t) = TrR(b^{ρ(t)) = TrR}



Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀ gdzie

h φ1|TrRA| φb 2i =X

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i dla dowolnych stanów układu | φ1i oraz | φ2i i bazy | α i w przestrzeni rezerwuaru HR

Ewolucja układów otwartych

• Zredukowana dynamika układu zło˙zonego: układ (S) + rezerwuar (R) na przestrzeni Hilberta

H = HS⊗ HR

• Produktowy stan pocza˛tkowy b^{ρS(t0) ⊗}b^ρR(t0)

• Ewolucje˛ na H opisuje operator unitarnyUbt,t₀

bρ(t) =Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀

• Stany układu S podlegaja˛zredukowanej dynamice

bρS(t) = TrR(b^{ρ(t)) = TrR}



Ubt,t₀( ˆρS(t0) ⊗ ˆρR(t0))Ub_t,t^∗₀ gdzie

h φ1|TrRA| φb 2i =X

α

h φ1| ⊗ h α |A| α i ⊗ | φb 2i dla dowolnych stanów układu | φ1i oraz | φ2i i bazy | α i w przestrzeni

Ewolucja zredukowana

• Hamiltonian H(t) = HS(t) ⊗ 1lR+ 1lS⊗ HR(t) + λHI(t)

• Ewolucja na H

ρ(t) = Ut,t₀ρ(t0)U_t,t^†

0

• Kompletnie dodatnia ewolucja zredukowana zachowuja˛ca ´slad ρS(t) =X

α,β

Wαβ(t, t0)ρS(t0)Wαβ(t, t0)^†= V (t, t0)ρS(t0)

• Rodzina {V (t, t0)}nie musispełnia´c prawa składania V (t⁰, s)V (s, t) = V (t⁰, t) t⁰> s > t ­ 0

• Je´sli spełnia prawo składania, to tworzy niejednorodna˛ półgrupe˛ dynamiczna˛, której generator L(t) spełnia relacje

V (t, t0) = T exph

t

Z

t₀

L(s)dsi

−→ ˙V (t, t0) = L(t)V (t, t0)

Ewolucja zredukowana

• Hamiltonian H(t) = HS(t) ⊗ 1lR+ 1lS⊗ HR(t) + λHI(t)

• Ewolucja na H

ρ(t) = Ut,t₀ρ(t0)U_t,t^†

0

• Kompletnie dodatnia ewolucja zredukowana zachowuja˛ca ´slad ρS(t) =X

α,β

Wαβ(t, t0)ρS(t0)Wαβ(t, t0)^†= V (t, t0)ρS(t0)

• Rodzina {V (t, t0)}nie musispełnia´c prawa składania V (t⁰, s)V (s, t) = V (t⁰, t) t⁰> s > t ­ 0

• Je´sli spełnia prawo składania, to tworzy niejednorodna˛ półgrupe˛ dynamiczna˛, której generator L(t) spełnia relacje

V (t, t0) = T exph

t

Z

t₀

L(s)dsi

−→ ˙V (t, t0) = L(t)V (t, t0)

Ewolucja zredukowana

• Hamiltonian H(t) = HS(t) ⊗ 1lR+ 1lS⊗ HR(t) + λHI(t)

• Ewolucja na H

ρ(t) = Ut,t₀ρ(t0)U_t,t^†₀

• Kompletnie dodatnia ewolucja zredukowana zachowuja˛ca ´slad ρS(t) =X

α,β

Wαβ(t, t0)ρS(t0)Wαβ(t, t0)^†= V (t, t0)ρS(t0)

• Rodzina {V (t, t0)}nie musispełnia´c prawa składania V (t⁰, s)V (s, t) = V (t⁰, t) t⁰> s > t ­ 0

• Je´sli spełnia prawo składania, to tworzy niejednorodna˛ półgrupe˛ dynamiczna˛, której generator L(t) spełnia relacje

V (t, t0) = T exph

t

Z

t₀

L(s)dsi

−→ ˙V (t, t0) = L(t)V (t, t0)

Ewolucja zredukowana

• Hamiltonian H(t) = HS(t) ⊗ 1lR+ 1lS⊗ HR(t) + λHI(t)

• Ewolucja na H

ρ(t) = Ut,t₀ρ(t0)U_t,t^†₀

• Kompletnie dodatnia ewolucja zredukowana zachowuja˛ca ´slad ρS(t) =X

α,β

Wαβ(t, t0)ρS(t0)Wαβ(t, t0)^†= V (t, t0)ρS(t0)

• Rodzina {V (t, t0)}nie musispełnia´c prawa składania V (t⁰, s)V (s, t) = V (t⁰, t) t⁰> s > t ­ 0

• Je´sli spełnia prawo składania, to tworzy niejednorodna˛ półgrupe˛ dynamiczna˛, której generator L(t) spełnia relacje

V (t, t0) = T exph

t

Z

t₀

L(s)dsi

−→ ˙V (t, t0) = L(t)V (t, t0)

Ewolucja zredukowana

• Hamiltonian H(t) = HS(t) ⊗ 1lR+ 1lS⊗ HR(t) + λHI(t)

• Ewolucja na H

ρ(t) = Ut,t₀ρ(t0)U_t,t^†₀

• Kompletnie dodatnia ewolucja zredukowana zachowuja˛ca ´slad ρS(t) =X

α,β

Wαβ(t, t0)ρS(t0)Wαβ(t, t0)^†= V (t, t0)ρS(t0)

• Rodzina {V (t, t0)}nie musispełnia´c prawa składania V (t⁰, s)V (s, t) = V (t⁰, t) t⁰> s > t ­ 0

• Je´sli spełnia prawo składania, to tworzy niejednorodna˛ półgrupe˛ dynamiczna˛, której generator L(t) spełnia relacje

V (t, t0) = T exph

t

Z

t₀

L(s)dsi

−→ ˙V (t, t0) = L(t)V (t, t0)

Ewolucja zredukowana

• Hamiltonian H(t) = HS(t) ⊗ 1lR+ 1lS⊗ HR(t) + λHI(t)

• Ewolucja na H

ρ(t) = Ut,t₀ρ(t0)U_t,t^†₀

• Kompletnie dodatnia ewolucja zredukowana zachowuja˛ca ´slad ρS(t) =X

α,β

Wαβ(t, t0)ρS(t0)Wαβ(t, t0)^†= V (t, t0)ρS(t0)

• Rodzina {V (t, t0)}nie musispełnia´c prawa składania V (t⁰, s)V (s, t) = V (t⁰, t) t⁰> s > t ­ 0

• Je´sli spełnia prawo składania, to tworzy niejednorodna˛ półgrupe˛ dynamiczna˛, której generator L(t) spełnia relacje

V (t, t0) = T exph

t

Z

t

L(s)dsi

−→ ˙V (t, t0) = L(t)V (t, t0)

Kwantowa półgrupa dynamiczna

• Je´sli Hamiltonian nie zale˙zy od czasu i ustalimy t0 = 0, to {V (t)}t­0jest rodzina˛ kompletnie dodatnich zachowuja˛cych ´slad przekształce´n dynamicznych, które jednaknie musza˛tworzy´c półgrupy.

• Je´sli {V (t)}t­0spełniaja˛ prawo składania

V (t)V (s) = V (t + s) t, s ­ 0 ,

to generatorem (jednorodnej) półgrupy nazywamy operator L, taki ˙ze V (t) = exp(Lt).

• ^ρb^S(t) spełnia (zamiast równania von Neumanna) równanie ró˙zniczkowe i~d

dtρˆS(t) = L( ˆρS(t)) z generatoremLindblada-Kossakowskiego(~ = 1)

L( ˆρS) = −i[H, ˆρS] +1 2

N²−1

X

i,j=1

aij



[FiρˆS, F_j^∗] + [Fi, ˆρSF_j^∗]

Kwantowa półgrupa dynamiczna

• Je´sli Hamiltonian nie zale˙zy od czasu i ustalimy t0= 0, to {V (t)}t­0jest rodzina˛ kompletnie dodatnich zachowuja˛cych ´slad przekształce´n dynamicznych, które jednaknie musza˛tworzy´c półgrupy.

• Je´sli {V (t)}t­0spełniaja˛ prawo składania

V (t)V (s) = V (t + s) t, s ­ 0 ,

to generatorem (jednorodnej) półgrupy nazywamy operator L, taki ˙ze V (t) = exp(Lt).

• ^ρb^S(t) spełnia (zamiast równania von Neumanna) równanie ró˙zniczkowe i~d

dtρˆS(t) = L( ˆρS(t)) z generatoremLindblada-Kossakowskiego(~ = 1)

L( ˆρS) = −i[H, ˆρS] +1 2

N²−1

X

i,j=1

aij



[FiρˆS, F_j^∗] + [Fi, ˆρSF_j^∗]

Kwantowa półgrupa dynamiczna

• Je´sli Hamiltonian nie zale˙zy od czasu i ustalimy t0= 0, to {V (t)}t­0jest rodzina˛ kompletnie dodatnich zachowuja˛cych ´slad przekształce´n dynamicznych, które jednaknie musza˛tworzy´c półgrupy.

• Je´sli {V (t)}t­0spełniaja˛ prawo składania

V (t)V (s) = V (t + s) t, s ­ 0 ,

to generatorem (jednorodnej) półgrupy nazywamy operator L, taki ˙ze V (t) = exp(Lt).

• ^ρb^S(t) spełnia (zamiast równania von Neumanna) równanie ró˙zniczkowe i~d

dtρˆS(t) = L( ˆρS(t)) z generatoremLindblada-Kossakowskiego(~ = 1)

L( ˆρS) = −i[H, ˆρS] +1 2

N²−1

X

i,j=1

aij



[FiρˆS, F_j^∗] + [Fi, ˆρSF_j^∗]

Kwantowa półgrupa dynamiczna

• Je´sli Hamiltonian nie zale˙zy od czasu i ustalimy t0= 0, to {V (t)}t­0jest rodzina˛ kompletnie dodatnich zachowuja˛cych ´slad przekształce´n dynamicznych, które jednaknie musza˛tworzy´c półgrupy.

• Je´sli {V (t)}t­0spełniaja˛ prawo składania

V (t)V (s) = V (t + s) t, s ­ 0 ,

to generatorem (jednorodnej) półgrupy nazywamy operator L, taki ˙ze V (t) = exp(Lt).

• ^ρb^S(t) spełnia (zamiast równania von Neumanna) równanie ró˙zniczkowe i~d

dtρˆS(t) = L( ˆρS(t)) z generatoremLindblada-Kossakowskiego(~ = 1)

L( ˆρS) = −i[H, ˆρS] +1 2

N²−1

X

i,j=1

aij



[FiρˆS, F_j^∗] + [Fi, ˆρSF_j^∗]

Entropia von Neumanna i entropia wzgle˛dna

• Entropia von Neumanna S(ρ) =

 −kTr(ρ ln ρ)

+∞ ρ ln ρ nie jest klasy ´sladowej

• Entropia wzgle˛dna S(ρ|σ) =

 kTr(ρ ln ρ) − kTr(ρ ln σ)

+∞ Ker σ ∩ Supp ρ 6= Ø

gdzie Ker σ = {x : σx = 0} oraz Suppρ = {x : ρx = λx , λ 6= 0}

Entropia von Neumanna i entropia wzgle˛dna

• Entropia von Neumanna S(ρ) =

 −kTr(ρ ln ρ)

+∞ ρ ln ρ nie jest klasy ´sladowej

• Entropia wzgle˛dna S(ρ|σ) =

 kTr(ρ ln ρ) − kTr(ρ ln σ)

+∞ Ker σ ∩ Supp ρ 6= Ø

gdzie Ker σ = {x : σx = 0} oraz Suppρ = {x : ρx = λx , λ 6= 0}

Entropia von Neumanna i entropia wzgle˛dna

• Entropia von Neumanna S(ρ) =

 −kTr(ρ ln ρ)

+∞ ρ ln ρ nie jest klasy ´sladowej

• Entropia wzgle˛dna S(ρ|σ) =

 kTr(ρ ln ρ) − kTr(ρ ln σ)

+∞ Ker σ ∩ Supp ρ 6= Ø

gdzie Ker σ = {x : σx = 0} oraz Suppρ = {x : ρx = λx , λ 6= 0}

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Własno´sci entropii

• Nierówno´s´c Kleina S(ρ|σ) ­ 0

• Dla dimH = N 0 ¬ S(ρ) ¬ k ln N

• Subaddytywno´s´c ze wzgle˛du na podukłady: S(ρAB) ¬ S(ρA) + S(ρB)

• Wkle˛sło´s´c entropii: S(αρ1+ (1 − α)ρ2) ­ αS(ρ1) + (1 − α)S(ρ2)

• Addytywno´s´c z uwagi na iloczyn tensorowy S(ρ1⊗ ρ2) = S(ρ1) + S(ρ2)

• S(ρ1⊗ σ|ρ2⊗ σ) = S(ρ1|ρ2)

• Unitarna niezmienniczo´s´c S(U ρU^†|U σU^†) = S(ρ|σ)

Nieodwracalno´s´c ewolucji

• Ewolucja entropii wzgle˛dnej

S(V (t)ρ|V (t)σ) ¬ S(ρ|σ)

• Niech σ be˛dzie stanem stacjonarnym dla V (t), tzn. V (t)σ = σ S(V (t)ρ|V (t)σ) = S(V (t)ρ|σ) ¬ S(ρ|σ)

• Zmiana entropii

∆S = S(V (t)ρ) − S(ρ) = ∆pS − ∆eS gdzie

∆pS = S(ρ|σ) − S(V (t)ρ|σ) ­ 0

∆eS = kTr[(V (t)ρ − ρ) ln σ]

Nieodwracalno´s´c ewolucji

• Ewolucja entropii wzgle˛dnej

S(V (t)ρ|V (t)σ) ¬ S(ρ|σ)

• Niech σ be˛dzie stanem stacjonarnym dla V (t), tzn. V (t)σ = σ S(V (t)ρ|V (t)σ) = S(V (t)ρ|σ) ¬ S(ρ|σ)

• Zmiana entropii

∆S = S(V (t)ρ) − S(ρ) = ∆pS − ∆eS gdzie

∆pS = S(ρ|σ) − S(V (t)ρ|σ) ­ 0

∆eS = kTr[(V (t)ρ − ρ) ln σ]

Nieodwracalno´s´c ewolucji

• Ewolucja entropii wzgle˛dnej

S(V (t)ρ|V (t)σ) ¬ S(ρ|σ)

• Niech σ be˛dzie stanem stacjonarnym dla V (t), tzn. V (t)σ = σ S(V (t)ρ|V (t)σ) = S(V (t)ρ|σ) ¬ S(ρ|σ)

• Zmiana entropii

∆S = S(V (t)ρ) − S(ρ) = ∆pS − ∆eS gdzie

∆pS = S(ρ|σ) − S(V (t)ρ|σ) ­ 0

∆eS = kTr[(V (t)ρ − ρ) ln σ]

Nieodwracalno´s´c ewolucji

• Ewolucja entropii wzgle˛dnej

S(V (t)ρ|V (t)σ) ¬ S(ρ|σ)

• Niech σ be˛dzie stanem stacjonarnym dla V (t), tzn. V (t)σ = σ S(V (t)ρ|V (t)σ) = S(V (t)ρ|σ) ¬ S(ρ|σ)

• Zmiana entropii

∆S = S(V (t)ρ) − S(ρ) = ∆pS − ∆eS gdzie

Bilans zmian entropii

• Niech stanem stacjonarnym σ be˛dzie stan Gibbsa σ = 1

Ze^−βH

• Szybko´s´c produkcji entropii

Π = lim

∆t→0

∆pS

∆t = −d

dtS(V (t)ρ|σ)

= −kTr[Lρ ln(V (t)ρ)] + kTr(Lρ ln σ)

• Strumie´n entropii

J = lim

∆t→0

∆eS

∆t = kTr(Lρ ln σ)

• Z ∆S = ∆pS − ∆eS wynika bilans entropii Π =dS

dt + J

Bilans zmian entropii

• Niech stanem stacjonarnym σ be˛dzie stan Gibbsa σ = 1

Ze^−βH

• Szybko´s´c produkcji entropii

Π = lim

∆t→0

∆pS

∆t = −d

dtS(V (t)ρ|σ)

= −kTr[Lρ ln(V (t)ρ)] + kTr(Lρ ln σ)

• Strumie´n entropii

J = lim

∆t→0

∆eS

∆t = kTr(Lρ ln σ)

• Z ∆S = ∆pS − ∆eS wynika bilans entropii Π =dS

dt + J

Bilans zmian entropii

• Niech stanem stacjonarnym σ be˛dzie stan Gibbsa σ = 1

Ze^−βH

• Szybko´s´c produkcji entropii

Π = lim

∆t→0

∆pS

∆t = −d

dtS(V (t)ρ|σ)

= −kTr[Lρ ln(V (t)ρ)] + kTr(Lρ ln σ)

• Strumie´n entropii

J = lim

∆t→0

∆eS

∆t = kTr(Lρ ln σ)

• Z ∆S = ∆pS − ∆eS wynika bilans entropii Π =dS

dt + J

Bilans zmian entropii

• Niech stanem stacjonarnym σ be˛dzie stan Gibbsa σ = 1

Ze^−βH

• Szybko´s´c produkcji entropii

Π = lim

∆t→0

∆pS

∆t = −d

dtS(V (t)ρ|σ)

= −kTr[Lρ ln(V (t)ρ)] + kTr(Lρ ln σ)

• Strumie´n entropii

J = lim

∆t→0

∆eS

∆t = kTr(Lρ ln σ)

• Z ∆S = ∆pS − ∆eS wynika bilans entropii Π =dS

dt + J

Bilans zmian entropii

• Niech stanem stacjonarnym σ be˛dzie stan Gibbsa σ = 1

Ze^−βH

• Szybko´s´c produkcji entropii

Π = lim

∆t→0

∆pS

∆t = −d

dtS(V (t)ρ|σ)

= −kTr[Lρ ln(V (t)ρ)] + kTr(Lρ ln σ)

• Strumie´n entropii

J = lim

∆t→0

∆eS

∆t = kTr(Lρ ln σ)

• Z ∆S = ∆pS − ∆eS wynika bilans entropii Π =dS

dt + J

Stany równowagi

10. Makrostany kwantowe ze wzgle˛du na obserwable Ab1, . . . ,Abr

KAˆ₁,..., ˆAr = n

ρ ∈ P ; hAbiiρˆ = mi, i = 1, . . . , r o

11. Rozkład reprezentatywny makrostanu kwantowego KAˆ1,..., ˆAr

ρb^∗ = Z⁻¹(λ1, . . . , λr) exph

−

r

X

i=1

λiAbi

i

gdzie Z(λ1, . . . , λr) = Tr exp h

−

r

X

i=1

λiAbi

i

oraz mi = −∂ ln Z

∂λi

przy i = 1, . . . , r.

Stany równowagi

10. Makrostany kwantowe ze wzgle˛du na obserwable Ab1, . . . ,Abr

KAˆ₁,..., ˆAr = n

ρ ∈ P ; hAbiiρˆ = mi, i = 1, . . . , r o

11. Rozkład reprezentatywny makrostanu kwantowego KAˆ1,..., ˆAr

ρb^∗ = Z⁻¹(λ1, . . . , λr) exph

−

r

X

i=1

λiAbi

i

gdzie Z(λ1, . . . , λr) = Tr exp h

−

r

X

i=1

λiAbi

i

oraz mi = −∂ ln Z

∂λi

przy i = 1, . . . , r.

Stany równowagi

10. Makrostany kwantowe ze wzgle˛du na obserwable Ab1, . . . ,Abr

KAˆ₁,..., ˆAr = n

ρ ∈ P ; hAbiiρˆ = mi, i = 1, . . . , r o

11. Rozkład reprezentatywny makrostanu kwantowego KAˆ1,..., ˆAr

ρb^∗ = Z⁻¹(λ1, . . . , λr) exph

−

r

X

i=1

λiAbi

i

gdzie Z(λ1, . . . , λr) = Tr exp h

−

r

X

i=1

λiAbi

i

∂ ln Z

Stany równowagi

Postulat

Stan równowagi układu kwantowego okre´slamy jako rozkład reprezentatywny kwan- towego makrostanu zwia˛zanego z operatorem HamiltonaH oraz operatorem liczbyb cza˛stekN , tzn.b

KH, ˆˆN = n

ρ ∈ P ; hHib ρˆ = U , hN ib ρˆ = No

Stan równowagi ma posta´c

bρ^∗ = Z⁻¹(β, µ) exph

β(µN −b H)b i gdzie

Z(β, µ) = Tr exp h

β(µN −b H)b i U − µN = −∂ ln Z

∂β βN = ∂ ln Z

∂µ

Stany równowagi

Postulat

Stan równowagi układu kwantowego okre´slamy jako rozkład reprezentatywny kwan- towego makrostanu zwia˛zanego z operatorem HamiltonaH oraz operatorem liczbyb cza˛stekN , tzn.b

KH, ˆˆN = n

ρ ∈ P ; hHib ρˆ = U , hN ib ρˆ = No

Stan równowagi ma posta´c

bρ^∗ = Z⁻¹(β, µ) exph

β(µN −b H)b i gdzie

Z(β, µ) = Tr exp h

β(µN −b H)b i U − µN = −∂ ln Z

∂β βN = ∂ ln Z

∂µ