MODELOWANIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTNYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH Z RDZENIEM FALISTYM ZGINANIE I WYBOCZENIE

43, s. 145-154, Gliwice 2012

MODELOWANIE SPRĘŻYSTYCH PROSTOKĄTNYCH PŁYT TRÓJWARSTWOWYCH Z RDZENIEM FALISTYM

ZGINANIE I WYBOCZENIE

K

RZYSZTOF

M

AGNUCKI^1,2)

, M

ARCIN

K

RUŚ²⁾

, P

AWEŁ

K

ULIGOWSKI²⁾

, L

ESZEK

W

ITTENBECK²⁾

1) Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska, ²⁾ Instytut Pojazdów Szynowych TABOR, Poznań e-mail:¹⁾ krzysztof.magnucki@ put.poznan.pl, ²⁾ obliczenia@tabor.com.pl

Streszczenie. Przedmiotem pracy jest prostokątna płyta trójwarstwowa z rdzeniem falistym poddana zginaniu i ściskaniu. Opisano właściwości geometryczne przekrojów płyty oraz jej sztywności. Wyznaczono analitycznie i numerycznie - MES ugięcia i obciążenia krytyczne. Wyniki obliczeń z dwóch metod porównano.

1. WPROWADZENIE

Konstrukcje trójwarstwowe charakteryzuje warstwa środkowa - rdzeń, którego masa jest znacznie mniejsza od masy okładzin. Model teoretyczny struktur trójwarstwowych został sformułowany w połowie XX wieku. Vinson [20] omówił elastyczne zachowanie struktur trójwarstwowych. Hohe i Becker [9] opisali rdzenie o budowie komórkowej, wyróżnili klasyczny model ulowy. Szczególną grupę stanowią rdzenie wykonane z blachy falistej.

Carlsson i in. [6] wyznaczyli sztywności na rozciąganie, ścinanie, zginanie oraz skręcanie konstrukcji trójwarstwowych z pofałdowanym rdzeniem oraz porównali je z wynikami badań eksperymentalnych. Aboura i in. [2] przedstawili ocenę elastycznych własności tektury falistej na podstawie porównania rezultatów obliczeń analitycznych, numerycznych MES oraz badań stanowiskowych. Briassoulis [3] wyprowadził zależności na sztywność blachy falistej.

Gilchrist i in. [8], wykorzystując metodę elementów skończonych MES, analizowali zginanie i skręcanie pofałdowanych płyt. Natomiast Cheng i in. [7], stosując MES, określili sztywności zastępcze płyt trójwarstwowych o różnej budowie rdzenia. Buannic i in. [5] omówili metodę homogenizacji płyt trójwarstwowych z rdzeniem falistym. Abbes i Guo [1] opisali analityczną homogenizację dla skręcania tektury falistej. Talbi i in. [18] przedstawili możliwość wykorzystania MES w homogenizacji na przykładzie tektury falistej. Rubino i in. [15]

omówili porównanie dynamicznego zachowania całkowicie utwierdzonej płyty jednorodnej oraz trójwarstwowej z rdzeniem falistym lub w kształcie „Y”. Seong i in. [16] zaprezentowali rezultaty zginania płyty trójwarstwowej z rdzeniem pofałdowanym w dwóch kierunkach.

Magnucki i Wittenbeck [13], [21] wyznaczyli sztywności cylindrycznego zbiornika o budowie dwuwarstwowej, w którym warstwa wewnętrzna jest pofałdowana. Przedstawili również rezultaty analiz stateczności takiej konstrukcji. Magnucki i in. [14] opisali zachowanie belek trójwarstwowych z pofałdowanym rdzeniem oraz porównali wyniki obliczeń analitycznych i numerycznych z rezultatami badań eksperymentalnych. Ji i in. [10]

omówili przykład zastosowania płyt trójwarstwowych z pofałdowanym rdzeniem wykonanych z włókna szklanego wzmocnionego polimerem do budowy mostu drogowego.

Przedmiotem pracy jest klejona płyta trójwarstwowa z rdzeniem wykonanym z cienkiej blachy falistej. Okładziny płaskie o grubościach t_f połączone są za pomocą kleju z blachą falistą o grubości t , podziałce pofałdowania ₀ a oraz wysokości ₀ t (rys.1). Grubość _c całkowita płyty h 2t_f t_c. Warstwy wykonane są ze stopów aluminium. Płyta podparta jest przegubowo na czterech brzegach. Rozpatrzono dwa przypadki obciążeń. Płytę poddano zginaniu ciśnieniem p równomiernie rozłożonym na powierzchni okładziny (rys.2) oraz ₀ ściskaniu w płaszczyźnie środkowej obciążeniem równomiernie rozłożonym w obu kierunkach o stałych intensywnościach N_x



N mm



oraz N_y



N mm



(rys.3), aż do utraty stateczności.

Rys.1. Przekrój płyty trójwarstwowej

Rys.2. Schemat płyty trójwarstwowej obciążonej ciśnieniem p ₀

Rys.3. Schemat płyty trójwarstwowej obciążonej w płaszczyźnie środkowej

Szerokość i długość płyty są a i b . Pofałdowanie blachy rdzenia jest wzdłuż osi x . Brzegi płyty są zamknięte przegrodami płaskimi o grubościach okładzin.

2. SZTYWNOŚCI PŁYTY

Płyta, z uwagi na budowę rdzenia – pofałdowanie, jest ortotropowa. Modelowanie płyt lub powłok o ortotropii konstrukcyjnej opisali Brzoska [4], Kołakowski [11], Kotelko i in.[12], Singer [17] oraz Ventsel i Krauthammer [19]. Wyróżniono, zgodne z układem współrzędnych

y

x, , dwa kierunki główne. Odpowiednie sztywności płyty na jednostkę długości dla tych kierunków na podstawie rys. 1, 2 i 3 zapisano:

 sztywność na rozciąganie-ściskanie w kierunku poprzecznym do pofałdowania rdzenia (kierunek osi x )



_x



c

x Et x k

B 

  2

1 ^{2 1 , (1)}

gdzie

 



4



2 0 1

2 0 1

3 0

1 3

4x x S x S

k_x x



  ,

tc

x₀ t⁰ ,

c f

t x ₁ t ,

tc

x₂  a⁰ ,



_

 



4 1

0 2 2

0

1 1 cos 2

 c

S d ,

 

 c

 

 d S sin 2 1 ₀²cos² 2

1

0 2

2 



 ^{, S 4 1}₄^S2,

2 0 0

1 x

c x

 ,

a0

 x

 .

 sztywność na rozciąganie-ściskanie w kierunku zgodnym z pofałdowaniem rdzenia (kierunek osi y)



_{0 0 1}



2 2

1Et x S x

B_y ^c 

 

 , (2)

gdzie ^



^{1 }

 

0

2 2 0

0 1 c cos 2 d

S .

 sztywność na zginanie w kierunku osi x



^c



^x

^{ }

ⁱ

x Et f x

D ₂

3

1 12 

 , i0,1,2, (3)

gdzie

 

₁



₁



² ₁³

0 3

0 6x 1 x 2x

S x x

f_{x i}     .

 sztywność na zginanie w kierunku osi y



^c



^y

^{ }

ⁱ

y Et f x

D ₂

3

1 12 

 , i0,1,2, (4)

gdzie f_y

 

x_i 3x₀



1x₀



²S₂6x₁



1x₁



² 2x₁³.

 sztywność na skręcanie



^Etc



^fxy

^{ }

^xi

H ₂

3

1 12 

 , i0,1,2, (5)

gdzie f_xy

 

x_{i }



f_x

 

x_{i } f_y

 

x_i



_



_

  

f_s x_i 1

2 6 ^,

   

1 2 1 2 0 2 0 1

2 1

3 1

1 x x x x

x x x x x

f_{s i} 



 



 



  .

3. UGIĘCIE PŁYTY

3.1. Rozwiązanie analityczne

Równanie równowagi trójwarstwowej płyty prostokątnej z rdzeniem falistym, ortotropowym, obciążonej ciśnieniem p (rys.2) jest postaci [19] ₀

 

x y y p

D w y x H w x

D_x ⁴w₄ 2 ₂⁴ _{2 x} ⁴₄  ₀ ,



 





 



 , (6)

gdzie: D , _x H, D_y - sztywności płyty, p₀(x,y)- obciążenie powierzchniowe-ciśnienie.

Ugięcie płaszczyzny środkowej płyty opisano

 





 



 



 



 

b y a

w x y x

w  

sin sin

, ₁ , (7)

gdzie ^w₁

 

^mm jest parametrem ugięcia.

Funkcja (7) spełnia warunki podparcia przegubowego na czterech brzegach:

 brzegi x0 i x  ; ugięcie a w

   

0  aw 0 oraz moment zginający

 

0 M

 

a 0

M_{x x} ,

 brzegi y0 i y b; ugięcie ^w

   

^{0  aw 0} oraz moment zginający

 

0 M

 

b 0

M_{y y} .

Podstawiając funkcję (7) do równania (6) i przenosząc p na lewą stronę równania, ₀ otrzymano

 

, ₁ ⁴ 2 ^{2 2 4} sin sin p₀

b y a

D x H b

b D a

w a y

x _{x y} 



 



 



 















 



 







 



 



 



 



 



 

       . (8)

Równanie (8) rozwiązano w przybliżony sposób stosując metodę Bubnowa-Galerkina.

Warunek ortogonalności przyjmuje postać

 

, sin sin 0

0 0

 



 



 



 



 



^{a b x y }_a^{x }_b^{y dydx . (9)}

Po wykonaniu całkowania i uwzględnieniu (3), (4) i (5) uzyskano

 











 



 





 



 



 

y xy

x

c f

b f a a f

D b

p

w ₂ ab ₂

6

0 2 1

2 16



, (10)

gdzie



²



3

1 12 

 ^c

c

D Et .

Obliczenia wykonano dla płyty trójwarstwowej o następujących danych materiałowych i geometrycznych: E 69000 MPa,  0.33, ab504mm, a₀ 14mm, h11.5mm,

mm

t_f 1.0 , t₀ 0.3mm, t_c h2t_f oraz ciśnienia p₀ 0.1MPa.

3.2. Rozwiązanie numeryczne MES

Ogólny widok modelu numerycznego w metodzie elementów skończonych MES płyty trójwarstwowej pokazano na rys.4. Ze względu na symetrię geometrii i obciążeń rozpatrzono ćwiartkę konstrukcji płyty. Niezbędne obliczenia przeprowadzono w systemie ABAQUS.

Okładziny płaskie i blachę falistą modelowano elementami powłokowymi („shell”). Warstwy klejowe pomiędzy okładzinami a rdzeniem zamodelowano za pomocą odpowiedniego, dostępnego w systemie obliczeniowym, elementu łączącego („tie constraint”).

Przykładowy kształt ugięcia płyty dla obciążenia ciśnieniem p₀ 0.1MPa równomiernie rozłożonym na powierzchni płyty przedstawiono na rys.5. Porównanie wartości ugięcia środka płyty w kierunku pionowym uzyskane analitycznie i numerycznie MES przedstawiono w tabeli 1.

Rys.4. Widok ogólny modelu numerycznego MES płyty trójwarstwowej

Rys.5. Rozkład przemieszczeń pionowych płyty trójwarstwowej pod działaniem ciśnienia równomiernie rozłożonego

Tabela 1. Porównanie wyników analitycznych i numerycznych MES Środek płyty

]

)[

(

1 mm

w^Anal 7.890

]

)[

(

1 mm

w^FEM 7.822

4. WYBOCZENIE PŁYTY 4.1. Rozwiązanie analityczne

Równanie równowagi trójwarstwowej płyty prostokątnej z rdzeniem falistym, ortotropowym, obciążonej w płaszczyźnie środkowej (rys.3) jest postaci [19]



 







 



 

 

 





 





2 2 2

2 4

4 2

2 4 4

4

2 y

N w x N w y

D w y x H w x

D_x w _{x x y} , (11)

gdzie: D , _x H, D_y - sztywności płyty, N i _x N_y - intensywności obciążeń.

Ugięcie - wyboczenie płaszczyzny środkowej płyty w stanie krytycznym

 





 



 



 



 

b y n a

x w m

y x

w  

sin sin

, ₁ , (12)

gdzie ^w1

 

^mm jest parametrem ugięcia, m,n - liczby naturalne.

Funkcja (12) spełnia warunki podparcia przegubowego na czterech brzegach:

 brzegi x0 i x  ; ugięcie a w

   

0  aw 0 oraz moment zginający

 

0 M

 

a 0

M_{x x} ,

 brzegi y0 i y b; ugięcie ^w

   

^{0  aw 0} oraz moment zginający

 

0 M

 

b 0

M_{y y} .

Podstawiając funkcję (12) do równania (11) otrzymano, po prostych przekształceniach, następujące obciążenia krytyczne dla następujących trzech przypadków obciążeń:

 płyta ściskana wzdłuż osi x (N_x 0,N_y 0)



^{D D H}



b X

H D D b X

N _x ^y _{x y}

CR X

x  



 



 



 



  



 





2 2

2 2

,  min 2 2 

, (13)

gdzie parametr

a mb X  .

Po uwzględnieniu (3), (4) i (5) zapisano

c CR CR

x f

b

N Et_{2 2}

3 2

, 12(1  )



  , (14)

gdzie

) (

2 _{x y xy}

CR f f f

f   .

 płyta ściskana wzdłuż osi y (N_x 0,N_y 0)



^{D D H}



D a Y Y H

D

N a ^x _{y x y}

CR Y

y  



 



 



 



  



 





2 2

2 2

,  min 2 2 

, (15) gdzie parametr

b na Y  .

Po uwzględnieniu (3), (4) i (5) zapisano

c CR CR

y f

a

N Et_{2 2}

3 2

, 12(1  )



  . (16)

 płyta ściskana jednocześnie w obu kierunkach (N_x 0,N_y 0)























 



 



 





 



 







 



  ₂

2 2

2

, ,

1 2 min

na k mb

mb D H na na D

mb a

N m

N

y x

n CR m y

 , gdzie

y x

N N

k  N . (17)

Dane materiałowe i wymiary gabarytowe przyjęto identyczne jak punkcie 3.

Przeanalizowano szereg przypadków różniących się konfiguracją grubości okładzin mm

t_f (0.8;1.0;1.2) oraz blachy falistej rdzenia t₀ (0.2;0.3;0.4)mm. 4.2. Rozwiązanie numeryczne MES

Analizę utraty stateczności przeprowadzono również za pomocą metody elementów skończonych MES. Model obliczeniowy zbudowano w identyczny sposób jak dla analizy zginania opisany w punkcie 3.2.

Parametry geometryczne i materiałowe oraz obciążenia dla poszczególnych przypadków obliczeniowych przyjęto analogicznie jak dla rozwiązania analitycznego. Przykładową postać wyboczenia przedstawiono na rys.6.

Rys.6. Postać wyboczenia ściskanej płyty trójwarstwowej w kierunku osi y

Porównanie wyników rozwiązań analitycznych i numerycznych MES przedstawiono w postaci tabel 2 i 3 oraz wykresów na rys.7 i 8.

Tabela 2. Obciążenia krytyczne dla różnych grubości tf okładzin oraz mm

t₀ 0.3 ,a₀ 14mm

 

^mm

t_f 0.8 1.0 1.2

 



^{N mm}



N_x,^Anal_CR 450.8 528.8 599.9

 



N mm



N_x,^MES_CR 440.8 526.4 612.1

Rys.7. Porównanie wyników rozwiązań analitycznych i numerycznych MES w zależności od grubości okładzin płaskich tf

Tabela 3. Obciążenia krytyczne dla różnych wartości podziałki a0 pofałdowania blachy rdzenia oraz t₀ 0.3mm,t_f 1.0mm

 

mm

a₀ 10 12 14 16

 



N mm



N_x,^Anal_CR 517.3 523.0 528.8 534.3

 



N mm



N_x,^MES_CR 515.0 521.7 525.8 529.5

Rys.8. Porównanie wyników rozwiązań analitycznych i numerycznych MES w zależności od podziałki pofałdowania blachy rdzenia a0

5. ZAKOŃCZENIE

Przedmiotem pracy jest płyta trójwarstwowa z rdzeniem wykonanym z blachy falistej.

Wyznaczono sztywności na rozciąganie-ściskanie, zginanie oraz skręcanie. Rozpatrzono dwa przypadki obciążenia. Pierwszym z nich jest zginanie płyty pod wpływem ciśnienia p ₀ równomiernie rozłożonego na powierzchni okładziny płaskiej. Z porównania wyników

Zależność intensywności obciążenia krytycznego od grubości okładzin płaskich (grubość blachy falistej t0=0,3 mm)

360 410 460 510 560 610 660

0,8 1,0 1,2

Grubość okładziny płaskiej tf [mm]

Intensywność NX,CR [N/mm]

Numerycznie MES Analitycznie

Intensywność obciążenia krytycznego w zależności od podziałki pofałdowania

510,00 515,00 520,00 525,00 530,00 535,00

10 12 14 16

Podziałka pofałdow ania a0 [mm]

Intensywność NX,CR[N/mm]

Numerycznie MES Analitycznie

obliczeń analitycznych i numerycznych MES, zestawionych w tabeli 1. wynika, że różnica między nimi nie przekracza 1.0 %.

Dla drugiego przypadku obciążenia ściskania płyty w płaszczyźnie środkowej w dwóch prostopadłych kierunkach obciążeniami równomiernie rozłożonymi omówiono problem globalnej stateczności sprężystej. Z przeprowadzonych analiz wynika, że dla kwadratowych płyt ortotropowych (a=b) wartość obciążenia krytycznego nie jest zależna od kierunku ściskania, co wynika z wyrażeń (14) i (16). Właściwość tę potwierdzają badania numeryczne MES. Uzyskane wyniki dla różnych grubości okładzin płaskich (tabela 2) nie wykazują różnic większych niż 2.5 %, a dla różnych podziałek pofałdowania blachy rdzenia (tabela 3) nie przekraczają 1.0 %. Obciążenia krytyczne dla płyty prostokątnej (a≠b), ściskanej jednocześnie w dwóch kierunkach lub odrębnie w każdym z nich, będą różne.

Na podstawie przeprowadzonych analiz można stwierdzić, że zaproponowane modele, analityczny oraz numeryczny MES, płyty trójwarstwowej z rdzeniem falistym wykazują wystarczającą zgodność uzyskanych rezultatów.

LITERATURA

1. Abbes B., Guo Y.Q.: Analytic homogenization for torsion of orthotropic sandwich plates:

Application to corrugated cardboard. “Composite Structures” 2010, Vol.92, p. 699-706.

2. Aboura Z., Talbi N., Allaoui S., Benzeggagh M.L.: Elastic behaviour of corrugated cardboard: experiments and modelling. “Composite Structures” 2004, Vol.63, p.53-62.

3. Briassoulis D.: Equivalent orthotropic properties of corrugated sheets. “Computers and Structures” 1986, Vol.23(2), p.129-128.

4. Brzoska Z.: Statyka i stateczność konstrukcji prętowych i cienkościennych. Warszawa:

PWN, 1965.

5. Buannic N., Cartraud P., Quesnel T.: Homogenization of corrugated core sandwich panels. “Composite Structures” 2003, Vol.59, p. 299–312.

6. Carlsson L.A., Nordstrand T., Westerlind B.: On the elastic stiffnesses of corrugated core sandwich. “Journal of Sandwich Structures and Materials” 2001, Vol.3, p. 253-267.

7. Cheng Q.H., Lee H.P., Lu C.: A numerical analysis approach for evaluation elastic constants of sandwich structures with various cores. “Composite Structures” 2006, Vol.74, p. 226-236.

8. Gilchrist A.C., Suhling J.C., Urbanik T.J.: Nonlinear finite element modelling of corrugated board. “Mechanics of Cellulosic Materials” 1999, Vol. AMD 231/MD 85, p. 101-106.

9. Hohe J., Becker W.: Effective stress-strain relations for two-dimensional cellular sandwich core: Homogenization, materials models, and properties. “Applied Mechanics Reviews” 2002, Vol.55(1), p. 61-87.

10. Ji H.S., Song W., Ma Z.J.: Design, test and field application of a GFRP corrugated-core sandwich bridge. “Engineering Structures” 2010, Vol.32, p. 2814-2824.

11. Kołakowski Z: Podstawy wytrzymałości i stateczności płytowych konstrukcji kompozytowych. Łódź: Wyd. Politechniki Łódzkiej, 2008.

12. Kotelko M., Kowal-Michalska K., Kubiak T., Kołakowski Z., Gradzki R.: Estimation of load-carrying capacity of multi-layered plated structures. “Thin-Walled Structures” 2008, Vol.46, p. 1003-1010.

13. Magnucki K., Wittenbeck L.: Stability of elastic orthotropic circular cylindrical vessel. In:

Proceedings of the ASME 2010 Pressure Vessels and Piping Division Conference 2010, Bellevue, Washington, USA, (PVP2010-25221), p. 1-7.

14. Magnucki K., Krus M., Kuligowski P., Wittenbeck L.: Strength of sandwich beams with corrugated core under pure bending. In: The 2011 World Congress on Advances in Structural Engineering and Mechanics (ASEM’11+), Volume of Abstracts, Seoul, Korea, 2011, CD p. 321-330.

15. Rubino, V., Deshpande, V.S., Fleck N.A.: The dynamic response of clamped rectangular Y-frame and corrugated core sandwich plates. “European Journal of Mechanics A/Solids”

2009, Vol.28, p. 14-24.

16. Seong, D.Y., Jung, C.G., Yang, D.Y., Moon, K.J., Ahn, D.G.: Quasi-isotropic bending responses of metallic sandwich plates with bi-directionally corrugated cores. “Materials and Design” 2010, Vol.31, p. 2804-2812.

17. Singer J.: Stiffened cylindrical shells. In Buckling of thin metal shells. J.G. Teng, J.M.

Rotter (Eds.). London, New York: Spon Press, Tayolor & Francis Group, 2004, p.286-343.

18. Talbi N., Batti A., Ayad R., Guo Y.Q.: An analytical homogenization model for finite element modelling of corrugated cardboard. “Composite Structures” 2009, Vol.88, p. 280-289.

19. Ventsel E., Krauthammer T.: Thin plates and shells: theory, analysis, and applications.

New York, Basel: Marcel Dekker Inc., 2001.

20. Vinson, J.R.: Sandwich structures. “Applied Mechanics Reviews, ASME” 2001, Vol.54(3), p. 201-214.

21. Wittenbeck L., Magnucki K.: Elastic buckling of orthotropic cylindrical vessel. In: The 12^th Intl Conference on Pressure Vessel Technology, ICPVT-12. Phoenix Island, Jeju, Korea, Abstract Book 2009, pp. 16, (CD p.98-100).

PROBLEMS OF BENDING AND BUCKLING MODELLING OF RECTANGULAR SANDWICH PLATES

WITH CORRUGATED CORE

Summary. The subject of the paper is a sandwich rectangular plate with corrugated core. Geometric properties and rigidities of the plate are described.

Analytical and numerical - FEM calculations are presented. Results of both methods for bending and global buckling compared.

Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego Grant nr 10 0047 06.