DRGANIA PERIODYCZNYCH STRUKTUR TRÓJWARSTWOWYCH Z RDZENIEM MURAKAMIEGO

(1)

DRGANIA PERIODYCZNYCH STRUKTUR TRÓJWARSTWOWYCH Z RDZENIEM

MURAKAMIEGO

Jakub Marczak

^1a

, Jarosław Jędrysiak

^1b

1Katedra Mechaniki Konstrukcji, Politechnika Łódzka

ajakub.marczak@p.lodz.pl, ^bjarek@p.lodz.pl

Streszczenie

Przedmiotem rozważań jest analiza dynamiczna struktur trójwarstwowych o periodycznie zmiennych własno- ściach. Konstrukcja tego typu została wymodelowana jako układ dwóch płyt cienkich, połączonych ze sobą za pomocą materiału sprężystego Murakamiego. W tym celu rdzeń konstrukcji zastąpiono szeregiem jednorodnych prętów o stałych przekrojach, wykonujących niezależnie od siebie drgania podłużne. Dodatkowo założono, że każda z warstw konstrukcji może mieć periodycznie zmienną grubość i/lub własności materiałowe. Równania różniczkowe ruchu rozpatrywanej struktury są równaniami o periodycznie zmiennych, nieciągłych i silnie oscylują- cych współczynnikach, które z wykorzystaniem metody tolerancyjnego uśredniania da się sprowadzić do wygodnej do rozwiązania postaci o stałych współczynnikach.

Słowa kluczowe: drgania, płyty trójwarstwowe, tolerancyjne uśrednianie, inercyjny rdzeń

VIBRATIONS OF PERIODIC SANDWICH STRUCTURE WITH MURAKAMI'S TYPE INERT CORE

Summary

In this work the vibrations of periodic sandwich structures are considered. The model of such structure consists of two thin plates (outer layers), undergoing transverse vibrations, connected with each other by the inner layer, so called core, which is being modelled as a Murakami's type elastic material. Additionally, it is assumed, that every each of those layers can be characterised by certain periodic microstructure (both periodically varying thickness and material properties). The governing equations of such structure are partial differential equations with periodic, non-continuous and highly oscillating coefficients, which are very difficult to solve. In this work, the tolerance averaging technique is used to transform the mentioned system of equations into the form with con- stant coefficients, which is very convenient in solving many engineering problems.

Keywords: vibrations, sandwich plates, tolerance averaging technique, Murakami's type inert core

1. WSTĘP

Przedmiotem rozważań jest analiza dynamiczna struktur trójwarstwowych o periodycznie zmiennych własno- ściach. Płyty trójwarstwowe, zwane też w literaturze

"sandwiczowymi", składają się z zewnętrznych warstw nośnych wykonanych z materiałów o wysokiej wytrzy- małości, oraz z rozdzielającej je lekkiej warstwy we- wnętrznej, tzw. rdzenia. Zastosowanie lekkiego rdzenia w strukturze sandwiczowej ma swoje liczne konsekwencje.

Taki typ wypełnienia nie jest bowiem w stanie przenosić żadnych obciążeń, przyłożonych do struktury, jednakże

umożliwia on zwiększenie sztywności struktury przez nadanie jej odpowiedniej grubości. Dodatkowo, wykona- ny z porowatych materiałów rdzeń charakteryzuje się dobrymi własnościami izolacyjnymi. W efekcie uzyskuje się stosunkowo lekką konstrukcję o bardzo wysokiej sztywności oraz dobrych właściwościach izolacyjnych, która może znaleźć zastosowanie w wielu nowoczesnych konstrukcjach inżynierskich.

(2)

W literaturze funkcjonuje wiele różnych sposobów modelowania struktur sandwiczowych. Jednym z naj- prostszych, inżynierskich rozwiązań jest rozpatrzenie konstrukcji jako układu dwóch płyt cienkich połączo- nych ze sobą za pomocą elastycznego materiału wypeł- nienia, por. Szcześniak [6,7], Oniszczuk [3]. W przeci- wieństwie do zacytowanych prac, w naszych rozważa- niach rdzeń konstrukcji zostanie wymodelowany z wykorzystaniem materiału sprężystego typu Muraka- miego. W ramach tego modelu cały rdzeń zastępowany jest szeregiem jednorodnych prętów o stałych przekrojach, wykonujących niezależnie od siebie drgania po- dłużne, wywołane drganiami warstw zewnętrznych.

Dodatkowym założeniem będzie periodyczna zmienność grubości i/lub materiałów, z których wykonane zostały poszczególne warstwy konstrukcji.

Drgania opisanej struktury opisane są równaniami różniczkowymi o periodycznie zmiennych, nieciągłych i silnie oscylujących współczynnikach, którego rozwiązanie analityczne jest możliwe w wyjątkowych, szczególnych przypadkach obliczeniowych. W celu uzyskania uniwer- salnego modelu, który byłby rozwiązywalny nawet dla struktur o bardzo skomplikowanej (w tym także niecią- głej) mikrostrukturze, wykorzystana zostanie metoda tolerancyjnego modelowania. W ramach tej metody możliwe jest przekształcenie wyjściowego układu równań różniczkowych ruchu w układ o stałych współczynni- kach. W przeciwieństwie jednak do znanej metody homogenizacji tolerancyjne modelowanie pozwala na zbadanie wpływu mikrostruktury na pracę całej konstrukcji.

2. PODSTAWY MODELOWANIA

Niech Ox1x2x3 będzie kartezjańskim układem współrzęd- nych, a t współrzędną czasową. Oznaczmy jako L₁, L2 wymiary charakterystyczne konstrukcji trójwar- stwowej odpowiednio w kierunkach x1, x2. Płaszczyzna środkowa struktury dana jest jako: Π≡[0,L₁]×[0,L₂], natomiast dowolny punkt na tej płaszczyźnie -

) , (x₁ x₂

≡

x . Oznaczając jako H(x) całkowitą grubość struktury trójwarstwowej, obszar zajmowany przez strukturę można zdefiniować następująco:

} , 2 / ) ( 2

/ ) ( : ) ,

{( ₃ − ≤ ₃≤ ∈Π

≡

Ω x x H x x H x x .

Rys. 1. Fragment rozpatrywanej struktury trójwarstwowej Wprowadźmy następujące oznaczenia własności me- chanicznych zewnętrznych warstw (okładzin) struktury:

, ) , ( )

(

, ) , ( )

(

, ] 2

) ( ) [ (

) , ˆ ( )

(

, 2 ]

) ( ) [ (

) , ˆ ( )

(

) ( 2 / ) (

2 / )

( 3 3

2 / ) (

) ( 2 / )

( 3 3

3 2 3

) ( 2 / ) (

2 / )

( 3

3 2 3

2 / ) (

) ( 2 / )

( 3

∫

+

− +

−

+ + +

−

− −

−

+

+ +

+ αβγδ αβγδ

−

− αβγδ

ρ

= µ

ρ

= µ

+ +

⋅

=

+ +

⋅

=

x x x x

x x

x x x x

x x

h h h

c h h h

c h

h h

c c c c c c c c

dx x

h dx x h

x C B

h dx x h

x C B

(1)

gdzie B_αβγδ⁻ (x),B_αβγδ⁺ (x) są tensorami sztywności odpowiednio górnej i dolnej okładziny,

) , ˆ ( , ) , ˆ (

3

3 C x

x

C_αβγδ⁻ x _αβγδ⁺ x - tensorami sprężystości okładzin, µ₋(x),µ₊(x) - gęstościami masy okładzin na jednostkę powierzchni, ρ₋(x,x₃),ρ₊(x,x₃) - gęstościami masy okładzin, h₋(x),h₊(x) - grubościami okładzin, a h_c( x)- grubością rdzenia, por. rys. 1.

Rdzeń konstrukcji, modelowany jako warstwa sprę- żysta typu Murakamiego, charakteryzowany jest trzema współczynnikami: modułem Younga Ec(x), gęstością masy na jednostkę powierzchni µ_c( x), daną jako:

∫

₋ ^ρ

=

µ ⁽ ⁾^/²

2 / )

( ( , 3) 3, )

( ^x

x

x ^c

c

h

h c

c x dx (2)

gdzie ρ_c(x,x₃) jest gęstością masy rdzenia, oraz dodat- kowo współczynnikiem sprężystości k(x).

Założono, że ze względu na swoją periodyczną mikro- strukturę, całą rozpatrywaną konstrukcję trójwarstwową da się podzielić na wiele małych, jednakże powtarzal- nych, elementów nazywanych komórkami periodyczno- ści. Komórki te przyjmują kształt prostokąta o wymia- rach l1 oraz l2 odpowiednio w kierunkach osi x1 i x2. Dowolną komórkę periodyczności da się opisać wobec tego jako ∆≡[−l₁/2,l₁/2]×[−l₂/2,l₂/2],∆∈Π, nato- miast jej przekątna będzie określana mianem parametru mikrostruktury l oraz będzie musiała spełniać następują- ce warunki: max[h₋(x),h₊(x)]<<l, l<<min[L₁,L₂]. Wykorzystując podane oznaczenia, można myślowo podzielić rdzeń konstrukcji na szereg jednorodnych prętów, o znanych wymiarach, wykonujących niezależne od siebie drgania podłużne, wymuszone przez poprzeczne drgania okładzin struktury. Przy założeniu odpowied- nich warunków brzegowych równanie ruchu dowolnego pręta wypełnienia przyjmuje następującą postać:

), )sin(

2 / ) ( sin(

2 1

) )cos(

2 / ) ( cos(

2 1

3 3

h ax a

u u h ax a

u u u

c c c

x x

+

− +

−

− − + +

=

(3)

gdzie u-, u+ są ugięciami odpowiednio górnej i dolnej okładziny, natomiast współczynnik a:

(3)

), (

)

2 (

2

x x

c c

a ρE ω

≡ (4)

gdzie ω jest częstością drgań okładzin. Równanie róż- niczkowe ruchu (3) służy do określenia oddziaływań prętów wypełnienia na okładziny zewnętrzne struktury, zgodnie z zależnościami:

. )

( ) (

, )

( ) (

) , 2 / , ( 3

t h c c

c c

x h u k f

x x

∂

− ∂

=

∂

= ∂

+

−

(5)

Ostatecznie równania różniczkowe ruchu okładzin rozpatrywanej struktury trójwarstwowej można zapisać w następującej formie:

, )

(

, )

(

+ + + + + + γδ αβγδ αβ

−

− γδ αβγδ αβ

+

= µ +

∂

+

= µ +

∂

f p u u B

&

(6)

co przy uwzględnieniu zależności (5) oraz po wprowa- dzeniu następujących oznaczeń:

( ) ( )

(

( )/2

) (

( )/2

)

].

[ ) ( ) 2 ( ) 1 (

], 2 / ) ( 2

/ ) ( [ ) ( ) 2 ( ) 1 (

2 1

x x

x x x

x x

x x x

c c

c

c c

c

ah tg ah

ctg a h k k

ah tg ah

ctg a h k k

+

⋅

=

−

⋅

=

(7)

daje się przedstawić w postaci:

. )

(

, )

(

2 1

+

− + + + + + γδ αβγδ αβ

− +

−

=

− + µ +

∂

=

− + µ +

∂

p u k u k u u B

&

(8)

Układ równań (8) wraz z oznaczeniami (4) oraz (7) stanowi wyjściowy układ równań różniczkowych ruchu rozpatrywanej struktury trójwarstwowej z rdzeniem Murakamiego. Należy zauważyć, że występujące w tym układzie równań współczynniki są funkcjami współrzęd- nej położenia punktu na płaszczyźnie środkowej x, a co za tym idzie, mogą być periodycznie zmienne, nieciągłe i silnie oscylujące, co znacząco utrudnia jego rozwiązanie.

Warto podkreślić, że występujący w ramach współczyn- ników k1, k2 współczynnik a jest funkcją częstości drgań okładzin struktury trójwarstwowej (por. (4)), co stanowi dodatkową trudność. W celu uzyskania użytecznego modelu badanej struktury równania (8) w dalszej części pracy zostaną sprowadzone do postaci o stałych współ- czynnikach z wykorzystaniem metody tolerancyjnego uśredniania.

3. PODSTAWY METODY TOLERANCYJNEGO UŚREDNIANIA

Metoda tolerancyjnego modelowania została szczegółowo opisana w pracach pod redakcją Woźniaka (por. [8]), a ze względu na swoją uniwersalność znalazła zastosowanie w modelowaniu wielu różnych złożonych zagadnień

współczesnej mechaniki, takich jak: nieliniowe modelowanie zginania periodycznych płyt [1], termosprężystość laminatów [5] czy też przepływ ciepła w periodycznych przewodnikach cylindrycznych [4]. Autorzy z powodze- niem stosowali ją także do modelowania struktur trój- warstwowych [2].

W ramach metody tolerancyjnego modelowania wykorzystywane są pewne pojęcia podstawowe, takie jak:

parametr tolerancji (δ), komórka periodyczności (Δ), funkcja tolerancyjnie periodyczna (TP_δ²

( )

∆ ), wolno- zmienna (SV_δ²

( )

∆ ), silnie oscylująca (HO_δ²

( )

∆ ) oraz funkcja kształtu (FS_δ²

( )

∆ ), które zostały szczegółowo opisane w literaturze (por. [8]). W procesie modelowania bardzo istotną rolę odgrywa operacja uśrednienia, która dla zagadnienia dwuwymiarowego przyjmuje następują- cą postać:

∫

∆

∆ =

=

>

∂

<

) (

)

( ( , ) , 0,1,2,

~ ) 1

(

x

x f y dy k

f ^k

k (9)

gdzie ∆(x )≡x+∆ jest komórką periodyczności o środku w punkcie x, a ~₍ ₎( , )

y

f ^k x jest periodyczną aproksymacją k-tego gradientu dowolnej funkcji f( x). W efekcie operacji uśrednienia periodycznej funkcji f( x) otrzymu- je się pewną stałą, uśrednioną wartość funkcji.

Metoda tolerancyjnego uśredniania opiera się na dwóch podstawowych założeniach. Pierwszym z nich jest heu- rystyczne założenie mikro-makrodekompozycji, zgodnie z którym ugięcia okładzin rozpatrywanej struktury trój- warstwowej u-(∙,t), u+(∙,t) można wyrazić w postaci sumy makrougięć w-(∙,t), w+(∙,t) oraz iloczynów modalnych funkcji kształtu h-

A(∙), h₊^A(∙) i amplitud fluktuacji v_-^A(∙,t), v₊^B(∙,t), związanych z mikrodrganiami konstrukcji:

. ,..., 1 , ), , ( ) ( ) , ( ) , (

), , ( ) ( ) , ( ) , (

N B A t v h t w t u

t v h t w t u

B B

A A

= +

=

+

=

+ + +

+

−

x x x

x

x x x

x (10)

Zakłada się, że zarówno makrougięcia jak i funkcje amplitud fluktuacji są funkcjami wolnozmiennymi na komórce periodyczności

( )

∆

∈ _δ

+

− +

−( ,t),w ( ,t),v ( ,t),v ( ,t) SV2

w x x ^A x ^B x .

Dodatkowo, w procesie tolerancyjnego modelowania wykorzystywane są przybliżenia tolerancyjnego uśred- niania, w ramach których pewne wyrażenia traktuje się jako sobie równe z dokładnością do pewnej pomijalnie małej wielkości O(δ):

( )

).

( ),

( ,

, 1 0 , 2 , 1 ,

), ( ) ( )

( ) (

), ( ) ( ) ( )

(

), ( ) ( ) ( ) (

), ( )

~ ( ) (

2 2

2 ∆ ∈ ∆ ∈ ∆

∈ Φ φ

<<

δ

<

= β Π

∈

δ +

>

∂ Φ φ

<

−

=

>

Φ φ

∂

<

δ +

>

∂ φ

<

=

>

∂ φ

<

δ +

>

φ

<

=

>

φ

<

δ +

>

φ

<

=

>

φ

<

δ δ

δ

β β

FS g SV

F TP

O g

g

O F g gF

O F F

O

x

x x

x x x

x x

(11)

(4)

Dowody powyższych zależności można znaleźć w literaturze, por. [8].

4. RÓWNANIA MODELI 4.1 MODEL TOLERANCYJNY

Na początku procedury tolerancyjnego modelowania należy całą konstrukcję podzielić na małe, powtarzalne elementy (komórki periodyczności) oraz dla dowolnie wybranego elementu zapisać układ równań postaci (8).

W dalszej kolejności układ równań powinien być prze- kształcony z wykorzystaniem mikro-makrodekompozycji ugięć okładzin struktury oraz uśredniony zgodnie z definicją operacji uśrednienia (9). Następnie badany jest warunek ortogonalizacji otrzymanych uśrednionych równań różniczkowych ruchu z modalnymi funkcjami kształtu, czego efektem jest powstanie 2N dodatkowych równań. Ostatecznie w celu sprowadzenia układu do dogodnej do obliczeń postaci, wykorzystywane są przy- bliżenia tolerancyjnego uśredniania (11). W ten sposób, z wyjściowych różniczkowych równań ruchu (8), otrzymano następujący układ równań stanowiący model tolerancyjny periodycznej struktury trójwarstwowej:

( )

. , ,

,

2

1 2

1 2 1

2 1

2

1 2

1 2 1

2 1

>

<

=

>

<

−

+

>

<

+

>

<

−

+

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

+

∂

>

∂

<

>

=<

>

<

−

>

<

+

>

<

−

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

+

∂

>

<

∂

>

<

=

>

<

−

+

>

<

+

>

<

−

+

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

+

∂

>

∂

<

>

<

=

>

<

−

>

<

+

>

<

−

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

+

∂

>

<

∂

+ +

− +

−

+ + +

− +

+ + + + + +

+ + γδ + + αβ αβγδ +

γδ + + αβ αβγδ

+

−

− +

+

− +

+ +

+ + γδ + αβγδ +

γδ + αβγδ αβ

−

− +

−

− +

−

− γδ

− αβ

− αβγδ

− γδ

− αβ

− αβγδ

− + +

−

+

−

− γδ αβγδ

−

L A

B L B L

L B L B

B B L L

A A B

B

B B K B

K B

A K A K

K A K A

A A K K

B B A

A

A A

h p v h h k

v h h k w h k

w h k v h h

v h h B

w h B

p v h k v h k

w k w k w

v h B w B

h p v h h k

v h h k w h k

w h k v h h

v h h B

w h

B

p v h k v h k

w k w k w

v h B w B

&

(12)

Powyższy układ równań jest układem 2N+2 równań o stałych współczynnikach, gdzie głównymi niewiado- mymi są funkcje makrougięć w-(∙,t), w₊(∙,t) oraz amplitud fluktuacji v-A(∙,t), v₊^B(∙,t). Liczba równań zależy od liczby przyjętych modalnych funkcji kształtu, por. (10). Dla powyższego modelu należy sprecyzować 8 warunków brzegowych (po cztery dla każdego makrougięcia) oraz 4+4N warunków początkowych (po dwa dla każdej niewiadomej). Warto podkreślić, że otrzymany model nie wymaga stawiania warunków brzegowych dla amplitud fluktuacji v-A(∙,t), v₊^B(∙,t), co może spowodować, że suma- ryczne ugięcia okładzin u-(∙,t), u+(∙,t) nie będą dokładnie spełniać narzuconych warunków brzegowych zadania.

Powstały błąd nie będzie miał jednak znaczącego wpły- wu na dokładność otrzymywanych w ramach modelu tolerancyjnego wyników. Podkreślone w równaniach (12) współczynniki są zależne od wielkości parametru mikro- struktury l.

4.2 MODEL ASYMPTOTYCZNO- TOLERANCYJNY

Procedura asymptotyczno-tolerancyjnego modelowania składa się z dwóch zasadniczych kroków. W pierwszym z nich poszukiwane jest rozwiązanie asymptotyczne zagadnienia dla zadanej periodycznej struktury trójwar- stwowej. W tym celu cała konstrukcja dzielona jest na małe, powtarzalne elementy, nazywane komórkami periodyczności z parametrem skali ε (Δ_ε). Następnie dla wybranej komórki zapisywane są równania ruchu postaci (8), uwzględniające tzw. asymptotyczną dekompozycję ugięć okładzin struktury, zapisywaną jako:

).

(

), , ( ) , ( ,

,..., 1

), , ( ) , ( ) , ( ) , ,

( ²

x y

x y y x

y y x y

y x

ε

ε ε ε

∆

∈

= ε

=

ε +

=

A A

h h

N A

t v h t w t u

(13)

Uzyskane równania podlegają uśrednieniu zgodnie z definicją (9), po czym, analogicznie jak w przypadku procedury modelowania tolerancyjnego, badany jest warunek ortogonalizacji otrzymanych równań z przyję- tymi modalnymi funkcjami kształtu. Ostatecznie obli- czane jest przejście graniczne z parametrem skali ε do zera, co kończy pierwszy krok modelowania asymptotyczno-tolerancyjnego. Efektem przekształceń jest układ równań różniczkowych opisujący makrodrgania konstrukcji o periodycznej mikrostrukturze.

W drugim kroku powtarzana jest procedura tolerancyjnego modelowania opisana w poprzednim podpunkcie.

Jedyna różnica w modelowaniu polega na zmodyfikowa- niu założenia mikro-makrodekompozycji ugięć okładzin w taki sposób, by zamiast dowolnej, nieznanej funkcji makrougięć w(x,t), przyjąć już znaną funkcję w0(x,t), wyznaczoną na podstawie rozwiązania asymptotycznego zagadnienia, otrzymanego w pierwszym kroku modelowania. Zmodyfikowana postać mikro- makrodekompozycji może być zapisana w postaci:

, ,..., 1 ),

, ( ) ( ) , ( ) ,

( t w₀ t g V t K N

u x = x + ^K x _K x = (14)

a równania modelu asymptotyczno-tolerancyjnego otrzymywane w wyniku opisanej procedury:

(5)

=

>

<

−

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

>

∂

<

∂

>

∂

<

−

=

>

=<

>

<

−

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

+

∂

>

<

∂

>

∂

<

∂

>

∂

<

−

=

>

=<

>

<

−

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

+

∂

>

<

∂

+

− +

−

− αβ

− γδ

− αβγδ

+ γδ + αβ + αβγδ +

γδ + αβ + αβγδ +

+

− +

+ +

+ + γδ + αβγδ +

γδ + αβγδ αβ

− γδ

−

− αβ αβγδ

− γδ

−

− αβ αβγδ

−

− +

−

− γδ

− αβγδ

− γδ

− αβγδ αβ

B K B A

K A

A K A A

K A

B L L

B

B B

A K K

A

A A

V g g k V g g k

V g g V

g g B

h h B

w h B

v

p w k w k w

v h B w B

h h B

w h

B v

p w k w k w

v h B

w B

2 1

, /

, )

(

, /

, )

(

&

. ,

2 1

− + +

+

+ γδ + αβ + αβγδ +

+

− +

+ +

+ + + + + + αβ + + γδ αβγδ

+

−

− γδ

− αβ

− αβγδ

−

>

<

+

>

<

−

+

∂

>

∂

<

−

>

=<

=

>

<

−

>

<

+

>

µ

<

+

>

∂

<

>

<

+

>

<

−

+

∂

>

∂

<

−

>

=<

w g k w g k

w g

B g

p

V g g k V g g k

V g g V

g g B

w g k w g k

w g

B g

p

L L

A L A B

L B

B L B B

L B

K K

&

(15)

Korzystając z procedury modelowania asymptotyczno-tolerancyjnego otrzymano dwa rozprzęgające się układy równań różniczkowych, w których rolę głównych niewiadomych pełnią makrougięcia konstrukcji w-(∙,t), w+(∙,t) oraz jej amplitudy fluktuacji V-A

(∙,t), V+B(∙,t).

Zaletą modelu jest fakt, iż równania (15)1-4, opisujące makrodrgania konstrukcji, można rozwiązać niezależnie od równań (15)5-6, opisujących jej mikrodrgania. Liczba warunków brzegowych i początkowych, niezbędnych do otrzymania rozwiązania badanego zagadnienia, jest dokładnie taka sama jak w przypadku modelu tolerancyjnego.

5. PRZYKŁAD OBLICZEŃ

W poniższym rozdziale przedstawiono przykład obliczeń częstości drgań własnych struktur trójwarstwowych o skomplikowanej mikrostrukturze z wykorzystaniem dwóch wyprowadzonych modeli: tolerancyjnego oraz asymptotyczno-tolerancyjnego. Dodatkowo pokazano zgodność wyników otrzymanych w ramach metody tolerancyjnego uśredniania oraz metody elementów skończonych.

Rys. 2. Podstawowa komórka periodyczności w przykładzie obliczeniowym

Przedmiotem rozważań będą prostokątne konstrukcje trójwarstwowe swobodnie podparte na wszystkich czterech brzegach, których podstawowa komórka periodycz- ności została przedstawiona na rys. 2. Założono, że w rozpatrywanej strukturze górne i dolne okładziny są identyczne, tj. zostały wykonane z dokładnie takich samych, izotropowych materiałów oraz mają dokładnie takie same grubości. Dodatkowo wszystkie materiały wchodzące w skład okładzin konstrukcji mają dokładnie takie same współczynniki Poissona ν. W celu przedsta- wienia otrzymanych wyników w postaci bezwymiarowej, założono pewne zależności między własnościami materia- łowymi wypełnienia oraz okładzin:

, ,

,

1 1

1 E

E l

k E^c ^c ξ≡ ^c ρ

≡ρ ζ

≡ (16)

gdzie ζ i ξ są bezwymiarowymi współczynnikami.

5.1 MODEL TOLERANCYJNY

W celu obliczenia częstości drgań własnych struktury trójwarstwowej w ramach modelu tolerancyjnego pomi- nięto w równaniach (12) wszystkie człony zawierające obciążenia zewnętrzne p-, p+. Dodatkowo założono tylko jedną, przybliżoną modalną funkcję kształtu, taką samą zarówno dla górnej jak i dla dolnej okładziny, w postaci:

3 ,

1 ] 1 ) / 2 ][cos(

1 ) / 2 [cos(

) ( ) ( ) (

2 2 1

2 1 1

1 1

l c x l

l x

h h g

− +

− π

−

= π

=

≡ ₋ x ₊ x x

(17)

gdzie c jest stałą wyznaczaną na podstawie warunku

=0

>

µ

< g . Wizualizację funkcji kształtu dla c = 0 przed- stawiono na Rys. 3.

Rys. 3. Przyjęta modalna funkcja kształtu dla rozpatrywanego przypadku obliczeniowego.

Rozwiązanie zagadnienia poszukiwane jest w postaci spełniającej warunki brzegowe swobodnego podparcia na wszystkich czterech krawędziach:

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

2 2 1 1 1

2 2 1 1

t i v

t w i

t i w

e x x

A v

e x x

A v

e x x

A w

e x x

A w

+ ω +

− ω

− + ω +

− ω

−

λ λ

=

λ λ

=

λ λ

=

λ λ

=

(18)

(6)

gdzie Aw-, Aw+, Av-, Av+ są amplitudami makro- i mikro- drgań, λ1, λ₂ są liczbami falowymi, a ω - częstością drgań. Ostatecznie, po uwzględnieniu wszystkich powyż- szych założeń, możliwe jest przedstawienie układu równań (12) w uproszczonej postaci:

, 0 ˆ

,

~ 0

~ ˆ ~

)

~(

, 0 ˆ

,

~ 0

~ ˆ ~

)

~(

22 12

21

11 2

2 2

1

21 11

2

1 2

2 2 2 1

22 12

21

11 2

2 2

1

21 11

2

1 2

1 2 2

2 2 1

=

− +

−

+ +

ω

− +

−

=

− +

−

+ +

ω

−

− λ

+ λ

=

− +

−

+ +

ω

− +

−

=

− +

−

+ + ω

−

− λ

+ λ

− +

−

+ +

− +

−

+ +

+

− +

−

+

− +

−

v v

w

w v

v w

v v

w

w w

v w

v v

w

w v

v w

v v

w

w w

v w

A K A K A K

A K A M A D A D

A K A K A K

A K A M A D A D

A K A K A K

A K A M A D A D

A K A K A K

A K A M A D A D

(19)

gdzie:

, ˆ ,

~ ,

,

~ ,

22 1122 11

1111 11

1

2 2 22 1 2 1 11 1 1 1111

2

>

∂

<

+

>

∂

≡<

λ + λ

=

>

≡<

>

µ

≡<

>

µ

≡<

g B g B D

D D

D B

D

gg M

M

. ,

~ ,

, ,

~ ,

), 2

( 2

,

2 22 2

21 2 2

1 12 1

11 1 1

12 12 1212 22

11 1122

22 22 2222 11

11 1111 2

11 2211 22

2222 22

1

>

≡<

>

≡<

>

≡<

>

≡<

>

≡<

>

≡<

>

∂

<

+

>

∂

<

+

>

∂

<

+

>

∂

≡<

>

∂

<

+

>

∂

≡<

gg k K g k K k K

g g B g g B

g g B g g B D

g B g B

D (20)

Kolejnym krokiem modelowania jest zapisanie równania charakterystycznego w postaci wyznacznika układu równań (19) przyrównanego do zera. W efekcie otrzymywane jest równanie, którego pierwiastki są często- ściami drgań własnych układu. Warto zauważyć, że równanie charakterystyczne nie jest równaniem wielo- mianowym, gdyż wszystkie wyrazy zawierające w sobie współczynniki k1, k2 są funkcjami częstości drgań (por.

(7) i (4)). Pierwiastki tego równania mogą być zatem wyznaczone jedynie z wykorzystaniem metod numerycznych.

5.2 MODEL ASYMPTOTYCZNO- TOLERANCYJNY

Częstości drgań własnych struktury trójwarstwowej w ramach modelu asymptotyczno-tolerancyjnego można

wyznaczyć na podstawie równań (15) po pominięciu obciążeń zewnętrznych p-, p+. Podobnie jak w przypadku modelu tolerancyjnego założona została tylko jedna, przybliżona modalna funkcja kształtu, taka sama dla górnej i dolnej okładziny:

3 ,

1 ] 1 ) / 2 ][cos(

1 ) / 2 [cos(

) ( ) ( ) ( ) ( ) (

2 2 1

2 1 1

1 1 1 1

l c x l

l x

g g h h g

− +

− π

−

= π

=

≡ ₋ x ₊ x ₋ x ₊ x

x

(21)

gdzie c jest stałą wyznaczaną na podstawie warunku

=0

>

µ

< g . Poszukując rozwiązania zagadnienia w postaci spełniającej warunki brzegowe swobodnego podparcia na wszystkich czterech krawędziach, zakładamy:

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

, ) sin(

) sin(

2 2 1 1 1

2 2 1 1

t i V

t i v

t i w

e x x

A V

e x x

A V

e x x

A v

e x x

A v

e x x

A w

e x x

A w

+ ω +

− ω

− + ω +

− ω

− + ω +

− ω

−

λ λ

=

λ λ

=

λ λ

=

λ λ

=

λ λ

=

λ λ

=

(22)

gdzie Aw-, Aw+, Av-, Av+, AV-, AV+ są amplitudami makro- i mikrodrgań, λ1, λ₂ są liczbami falowymi, a ω - częstością drgań. Opisane założenia modelowania pozwalają na uproszczenie wyjściowych równań modelu (15) do postaci:

( ) ( )

, 0

, 0 ,

~ 0

~

ˆ ~ ) ˆ

~(

,

~ 0

~

ˆ ~ ) ˆ

~(

22 2 12

2 2

22 12

2 2 2

2 1

1 2 1 2 2

2 2 1

2 1

1 2 1 2

2 2 2 1

=

− +

ω

−

=

− +

ω

−

=

− +

+ ω

−

− λ

+ λ

=

− +

+ ω

−

− λ

+ λ

− +

+ +

+

−

− +

+

− + +

+

−

− −

−

V V

w w

w w w

w w

w

A K A K A M A D

A K A K

A M A D D D A D

A K A K

A M A D D D A D

(23)

gdzie stosowane są oznaczenia (20). Zapisując wyznacz- nik układu równań (23) i przyrównując go do zera, otrzymano równanie charakterystyczne modelu

Tab.1. Wyniki częstości drgań własnych dla zadanej struktury trójwarstwowej

Bezwymiarowe częstości drgań własnych

Model Tolerancyjny Model Asymptotyczno-Tolerancyjny

E2=2E1 E2=5E1 E2=2E1 E2=5E1

ξ=0.01 ξ=0.05 ξ=0.01 ξ=0.05 ξ=0.01 ξ=0.05 ξ=0.01 ξ=0.05

ρ2=2ρ1 ζ=0.01

S

−:

ω - - - - 9.08E-05 4.06E-05 0.000117 5.23E-05

AS

−:

ω 0.382896 0.382897 0.382896 0.382897 0.382896 0.382896 0.382896 0.382896

S +:

ω 1.045771 0.467728 1.369673 0.612647 1.04577 0.467731 1.369673 0.612647

AS +:

ω 1.130595 0.629849 1.437668 0.744609 1.130596 0.629848 1.437668 0.744609

(7)

ζ=0.025

S

−:

ω - - - - 0.000143 6.38E-05 0.000184 8.21E-05

AS

−:

ω 0.604026 0.604027 0.604027 0.604027 0.604027 0.604027 0.604027 0.604027

S +:

ω 1.638994 0.73346 2.145447 0.960617 1.638994 0.73346 2.145446 0.960617

AS +:

ω 1.782632 0.993129 2.266723 1.174073 1.782632 0.993128 2.266723 1.174074

ζ=0.05

:S

ω− - - - - 0.000199 8.92E-05 0.000257 0.000115

AS

−:

ω 0.85098 0.85098 0.85098 0.85098 0.85098 0.85098 0.85098 0.85098

S +:

ω 2.281719 1.023145 2.979944 1.339582 2.281719 1.023145 2.979944 1.339582

AS +:

ω 2.509124 1.398048 3.190111 1.652731 2.509124 1.398048 3.190111 1.652731

ρ2=5ρ1 ζ=0.01

S

−:

ω - - - - 6.79E-05 3.04E-05 8.75E-05 3.91E-05

AS

−:

ω 0.286053 0.286055 0.286053 0.286055 0.286055 0.286055 0.286055 0.286055

S +:

ω 0.956759 0.427912 1.253115 0.560493 0.956759 0.427912 1.253115 0.560493

AS +:

ω 1.047289 0.599198 1.325461 0.700749 1.047289 0.599198 1.325461 0.700749

ζ=0.025

S

−:

ω - - - - 0.000107 4.79E-05 0.000138 6.16E-05

AS

−:

ω 0.451715 0.451715 0.451714 0.451715 0.451715 0.451715 0.451715 0.451715

:S

ω+ 1.499792 0.671086 1.963482 0.878943 1.499792 0.671086 1.963482 0.878943

AS +:

ω 1.651339 0.944827 2.089896 1.104949 1.651339 0.944827 2.089896 1.104949

ζ=0.05

S

−:

ω - - - - 0.00015 6.73E-05 0.000194 8.66E-05

AS

−:

ω 0.637464 0.637464 0.637464 0.637464 0.637464 0.637464 0.637464 0.637464

S +:

ω 2.089172 0.936325 2.730249 1.226007 2.089172 0.936325 2.730249 1.226007

AS +:

ω 2.324493 1.33012 2.941531 1.555509 2.324493 1.33012 2.941531 1.555509 Oznaczenia: ω−:S - pierwsza niższa synchroniczna bezwymiarowa częstość drgań własnych;

AS

−:

ω - pierwsza niższa asynchroniczna bezwymiarowa częstość drgań własnych;

S +:

ω - pierwsza wyższa synchroniczna bezwymiarowa częstość drgań własnych;

AS +:

ω - pierwsza wyższa asynchroniczna bezwymiarowa częstość drgań własnych.

asymptotyczno-tolerancyjnego, którego pierwiastki, wyznaczane z wykorzystaniem metod numerycznych, są częstościami drgań własnych rozpatrywanej struktury trójwarstwowej.

5.3 PORÓWNANIE WYNIKÓW MODELI UŚREDNIONYCH

Na potrzeby obliczeń przyjęto następujące relacje mię- dzy wymiarami charakterystycznymi struktury oraz wymiarami jej podstawowej komórki periodyczności:

L2/L1 = 2, l2/l1 = 2, L1/l1 = L2/l2 = 60. Bazując na powyż- szych wymiarach, przyjęto następujące wartości liczb falowych: λ1 = 0.05/l1 oraz λ2 = 0.05/l2, opisujących pod- stawową postać drgań układu. Założono stałą wartość współczynnika Poissona dla materiałów okładzin:

ν = 0.2. Wszystkie uzyskane wyniki sprowadzono do postaci bezwymiarowej za pomocą następującego prze- kształcenia:

.

1 2 1 1

E ρl ω

≡

ω ₍₂₄₎

W tabeli 1 zestawiono wyniki czterech częstości drgań własnych uzyskanych w ramach modelu tolerancyjnego oraz asymptotyczno-tolerancyjnego: dwóch niższych częstości (ω−:S,ω−:AS), opisujących odpowiednio syn-

chroniczną i asynchroniczną postać drgań, oraz dwóch wyższych częstości (ω₊_:_S,ω₊_:_AS), należących do innego, wyższego pasma częstości, także opisujących drgania synchroniczne i asynchroniczne.

Uzyskane wyniki charakteryzują się bardzo dobrą zgodnością. Należy zauważyć, że w ramach modelu tolerancyjnego struktury trójwarstwowej nie udało się otrzymać najniższej częstości drgań ze względu na zbytnie uwikłanie równania charakterystycznego. Jed- nakże w przypadku modelu asymptotyczno- tolerancyjnego, w którym równania opisujące mikro- i makrodrgania układu rozprzęgają się, wyznaczenie częstości drgań metodami numerycznymi nie stwarza już trudności. Wobec czego model ten może stanowić proste, inżynierskie narzędzie służące do szacowania częstości drgań rozpatrywanych struktur trójwarstwowych o skomplikowanej mikrostrukturze.

Bardzo istotna jest prawidłowa interpretacja fizyczna przedstawionych wyników. Biorąc pod uwagę przyjęte postaci rozwiązań układu równań różniczkowych (22), pierwsza, najniższa uzyskana częstość drgań ω−:S będzie opisywać ruch układu, w którym zarówno górna jak i dolna okładzina wykonują drgania o dokładnie tej samej postaci, tej samej amplitudzie i o tym samym okresie.

Uzyskuje się wobec tego drgania synchroniczne układu