WYBOCZENIE-ZMARSZCZENIE OKŁADZINY BELKI TRÓJWARSTWOWEJ PRZY CZYSTYM ZGINANIU P

41, s. 151-156, Gliwice 2011

WYBOCZENIE-ZMARSZCZENIE OKŁADZINY BELKI TRÓJWARSTWOWEJ PRZY CZYSTYM ZGINANIU

PAWEŁ JASION, KRZYSZTOF MAGNUCKI

Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska

e-mail: pawel.jasion@put.poznan.pl, krzysztof.magnucki@ put.poznan.pl

Streszczenie. Przedmiotem pracy są belki trójwarstwowe poddane czystemu zginaniu. Opisano i rozwiązano problem wyboczenia-zmarszczenia okładziny ściskanej. Równanie równowagi wyznaczono z zasady stacjonarności całkowitej energii potencjalnej, którego całką są funkcje hiperboliczne. Badania numeryczne przeprowadzono dla rodziny belek o różnych właściwościach mechanicznych rdzenia. Ponadto przeprowadzono badania numeryczne MES. Obciążenia krytyczne otrzymane z obu metod zestawiono w tabelach i na wykresach.

1. WPROWADZENIE

Konstrukcje trójwarstwowe znane są od połowy dwudziestego wieku. Pierwsze modele teoretyczne tych konstrukcji przedstawili C. Libove i S.B. Butdorf [4] oraz E. Reissner [6] w 1948 roku. Problemy wyboczenia ogólnego oraz miejscowego konstrukcji trójwarstwowych opisali w monografiach Plantema [5], Volmir [8] oraz Allen [1]. Współcześnie, z uwagi na rozwój technologii wytwarzania materiałów porowatych, pozostają przedmiotem badań.

Wyboczenie miejscowe zginanej belki trójwarstwowej objawia się zmarszczeniem okładziny ściskanej. Modelowanie tego zjawiska sprowadzono do problemu wyboczenia cienkiego pasma płyty prostokątnej na podłożu sprężystym, którego podstawy matematyczne przedstawili Vlasov i Leontiev [7]. Rozwiązania analityczne i numeryczne MES marszczenia okładzin belek trójwarstwowych przedstawili Hadi [2] oraz Koissin i inni [3]. Rdzeń belki pełni funkcję podłoża sprężystego o skończonych wymiarach. W pracy uogólniono znany od wielu lat model Winklera dla podłoża sprężystego i stosowany również w opisach marszczenia okładzin belek trójwarstwowych.

Belka trójwarstwowa o długości L i szerokości b składa się z dwóch metalowych okładzin o grubości tf oraz rdzenia o grubości tc wykonanego z pianki metalowej (rys. 1).

Rys. 1. Belka trójwarstwowa z rdzeniem z pianki metalowej

2. MODEL MATEMATYCZNY WYBOCZENIA OKŁADZINY BELKI

Belka na obu końcach obciążona jest momentami – parami sił. Założono, że w stanie krytycznym górna okładzina ściskana zmarszczy się – wyboczy, natomiast dolna rozciągana pozostanie płaska (rys. 2).

Rys. 2. Schemat belki z wyboczoną okładziną ściskaną

Pole przemieszczeń (rys. 3) dla dowolnego punktu przekroju poprzecznego belki trójwarstwowej z górną okładziną wyboczoną zapisano

( )

x^,z ≡⁰

u ,

( ) ( )

L x z m w w z x

w , = ₁ sin π , (1)

gdzie: ^{u ,}

( )

^{x z} - przemieszczenie wzdłużne, ^{w ,}

( )

^{x z} - przemieszczenie poprzeczne – ugięcie.

Rys. 3. Schemat przemieszczenia poprzecznego w rdzeniu i ugięcia okładziny Zmarszczenie-ugięcie okładziny ściskanej (z=−t_c 2) jest więc w postaci

( )

L

x w m x t

w x

w_f ^c sin π

, 2⎟= ₁

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= . (2)

Warunki brzegowe dla nieznanej funkcji ^w

( )

^z są następujące:

( )

z _{z= c−t} 2 =¹

w oraz w

( )

z _{z= ct} 2=⁰. (3) Odkształcenia rdzenia:

≡0

∂

=∂ x u

εx ,

z w

z ∂

=∂

ε ,

x w x w z u

xz ∂

=∂

∂ +∂

∂

=∂

γ . (4)

Energia odkształcenia sprężystego rdzenia

( )

(

^Eb

)

^dxdz

U

tc

tc L

xz c z z x c x c

c c

−

∫ ∫

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + −

= −

2

2 0

2 2

2

2 2

2 1 1

2 ε ν εε ε ν γ

ε ν , (5)

a po wprowadzeniu funkcji (1) i wykonaniu całkowania po długości belki zapisano

( )

(

^EbL

)

^{w dwdz}

^{( )}

^{z mL w}

^{( )}

^{z dz}

U

tc

tc

c c

c

c ⁼ _{− −}

∫

_⎢^⎢_⎣^⎡⎛_⎝^{⎜ ⎞}_⎠^{⎟ + − ⎜⎛}_{⎝ ⎠}^⎟⎞ _⎥^⎤_⎦^⎥

2 /

2 /

2 2 2

2 2 1

2 1 1

4

π ν

ε ν , (6)

gdzie: E - moduł Younga pianki rdzenia, _c ν - liczba Poissona pianki rdzenia. _c Energia odkształcenia sprężystego okładziny ściskanej

( ) ( ) ²

1 4 3 2

0 2 2

48 1 2

1 w

mL bLt E dx dx

w J d

E

U _{f f}

L f f y f

f ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=

∫

⎛ ^π

ε , (7)

gdzie E - moduł Younga materiału okładziny, _f ^{( ) 3} 12

1

f f

y bt

J = - moment bezwładności przekroju poprzecznego okładziny.

Praca obciążenia

2 1 2 2

0 4

1 2

1 w

L L m N dx dx

N dw

W _f

L

f ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=

∫

⎛ ^{π . (8)}

Z zasady stacjonarności całkowitej energii potencjalnej

( ) ( )

(

^Uε^{c +U}ε^{f −W}

)

⁼⁰

δ (9)

otrzymano równanie różniczkowe równowagi

( )

²

( )

⁰

2 2

=

−k wz dz

z w

d , gdzie

2 2

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= L

k ν^c mπ , (10) którego całka, po uwzględnieniu warunków brzegowych (3), jest w postaci

( )

⁼

( )

^⎢_⎣^⎡ _⎜⎜⎝^{⎛ −} c_⎟⎟⎠^⎞⎥_⎦^⎤ c

c t

C z z C

w 2

sinh 1 sinh

1 , gdzie

L m t

kt

C_{c c} ^{c c}

2 1 ν

π −

=

= . (11)

Ponadto z zasady stacjonarności (9) wyznaczono naprężenie krytyczne

( )^{= , =min}Cc _⎣^⎡⎢ c^tanh1

( )

c ^{+ 2 c2⎤}_⎦^⎥ f

CR f f

CR C

C C bt

N α α

σ , (12)

gdzie:

( )

¹

1 21 x

E

c c

α ν

= + ,

(

c

)

fx E α ν

= − 1 6

2 1

2 - współczynniki,

c f

t

x1=t , - parametr.

Wartości naprężeń krytycznych σ oraz współczynnika _CR^{( )f} C wyznacza się numerycznie w c

minimalizacji wyrażenia (12). W szczególnym przypadku, gdy Cc<<1, tanh

( )

Cc ≈Cc, wówczas rdzeń jest klasycznym podłożem sprężystym zgodnym z modelem Winklera, zatem

( )

(

c

)

^{f ( )yf}

c f c c c

C f

Winkler

CR E E x cE J

C C 2

1

min 2 2 ² 3 ₂¹

1

, =

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= α α ν

σ , (13)

gdzie

c c c

t E b

c ₂

1−ν

= - stała podłoża.

Szczegółowy opis wyboczenia belek na podłożu sprężystym – model Winklera przedstawił np. Życzkowki [9]. Wskazał na podstawowe założenie dotyczące proporcjonalności obciążenia-nacisku do ugięcia-przemieszczenia podłoża oraz warunki brzegowe.

3. OBLICZENIA NUMERYCZNE – MODEL ANALITYCZNY

Rozwiązanie analityczne modelu belki trójwarstwowej zawiera przemieszczenia poprzeczne w rdzeniu (11) oraz naprężenia krytyczne wyboczenia-zmarszczenia okładziny ściskanej (12). Obliczenia numeryczne wykonano dla rodziny belek o grubości okładzin tf = 1 mm i module Younga Ef = 65600 MPa (stop aluminium) oraz różnych grubościach rdzenia tc = 18, 28, 38, 48, 58 mm, stałej liczbie Poissona νc = 0,3 i różnych wartościach modułu Younga Ec = 10, 50, 100 MPa . Wyniki tych obliczeń zestawiono w tabelach 1, 2 i 3.

Tabela 1. Naprężenia krytyczne dla okładziny – moduł rdzenia Ec = 10 MPa

[ ]

^mm

t_c 18 28 38 48 58

C c 1,10 1,56 2,00 2,46 2,92

( )^f

[

^MPa

]

σCR 136,9 123,8 119,1 117,2 116,6

( )^fWinkler

[

^MPa

]

σCR, 115,5 92,6 79,5 70,8 64,4

Tabela 2. Naprężenia krytyczne dla okładziny – moduł rdzenia Ec = 50 MPa

[ ]

^mm

t_c 18 28 38 48 58

C c 1,67 2,44 3,25 4,09 4,94

( )^f

[

^MPa

]

σCR 356,9 342,7 339,8 339,2 339,1

( )^fWinkler

[

^MPa

]

σCR, 258,4 207,1 177,8 158,2 143,9

Tabela 3. Naprężenia krytyczne dla okładziny – moduł rdzenia Ec = 100 MPa

[ ]

^mm

t_c 18 28 38 48 58

C c 2,04 3,03 4,08 5,15 6,21

( )^f

[

^MPa

]

σCR 551,6 540,0 538,4 538,3 538,3

( )^fWinkler

[

^MPa

]

σCR, 365,4 292,9 251,5 223,7 219,2

Różnice między wartościami naprężeń krytycznych wyznaczone z przedstawionego modelu i klasycznego modelu Winklera są znaczne. Różnice te rosną ze wzrostem grubości rdzenia. Opracowany model rdzenia belki trójwarstwowej uwzględnia rozciąganie-ściskanie i ścinanie, natomiast w modelu Winklera uwzględnione jest jedynie rozciąganie-ściskanie.

4. OBLICZENIA NUMERYCZNE – MODEL MES

Model MES belki trójwarstwowej opracowano w systemie ABAQUS. Okładziny dyskretyzowano prostokątnymi elementami powłokowymi, rdzeń natomiast sześciościanowymi elementami bryłowymi (rys. 4). Górną i dolną okładzinę odsunięto od rdzenia o połowę ich grubości. Pomiędzy okładzinami i rdzeniem zadano warunki powiązania. Model belki podparto na obu końcach tak, że zablokowano przemieszczenia węzłów okładzin i rdzenia w płaszczyźnie prostopadłej do osi belki. Siły przyłożono do krawędzi okładzin: ściskającą do krawędzi górnej i rozciągającą do krawędzi dolnej. Z uwagi na symetrię układu zamodelowano jedynie ćwiartkę belki, zadając w dwóch płaszczyznach symetrii odpowiednie warunki brzegowe.

Rys.4. Model MES belki trójwarstwowej

Badania MES przeprowadzono na rodzinie belek, dla których moduł Younga Ec = 50 MPa.

Pozostałe parametry jak w obliczeniach dla modelu analitycznego. Badanie polegało na wyznaczeniu wartości naprężeń krytycznych oraz postaci wyboczenia. Niezależnie od grubości belki, postać wyboczenia była taka sama. Dwie przykładowe belki z pofałdowaną równomiernie okładziną przedstawiono na rys. 5.

Rys. 5. Pierwsze postacie wyboczenia belek trójwarstwowych (Ec = 50 MPa) Wartości naprężeń krytycznych uzyskanych w analizie MES porównano z tymi, które otrzymano z zaproponowanego modelu i z modelu Winklera. Porównanie, przedstawione na rys. 6, wskazuje na dużą zgodność rozwiązania analitycznego z rozwiązaniem MES.

Rys. 6. Porównanie wartości naprężeń krytycznych otrzymanych różnymi metodami (Ec = 50 MPa)

5. ZAKOŃCZENIE

W pracy przedstawiono model analityczny opisujący wyboczenie-zmarszczenie ściskanej okładziny belki trójwarstwowej poddanej czystemu zginaniu. Zaproponowany model pozwolił wyznaczyć wartości naprężeń krytycznych. Otrzymane w ten sposób wyniki są zgodne z wynikami uzyskanymi metodą elementów skończonych. Dla porównania, przedstawione zagadnienie rozwiązano, stosując klasyczny model Winklera uwzględniający jedynie rozciąganie-ściskanie. Wyniki uzyskane w ten sposób znacznie odbiegają od tych, otrzymanych z zaproponowanego modelu i modelu MES, gdzie oprócz rozciągania-ściskania uwzględniono również efekt ścinania.

Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego – Grant nr 0807/B/T02/2010/38.

LITERATURA

1. Allen HG.: Analysis and design of structural sandwich panels. London: Pergamon Press, 1969.

2. Hadi B.K.: Wrinkling of sandwich column: comparison between finite element analysis and analytical solutions. “Composite Structures” 2001, Vol.53, p. 477-482.

3. Koissin V., Shipsha A., Skvortsov V.: Effect of physical nonlinearity on local buckling in sandwich beams. “Journal of Sandwich structures and materials” 2010, Vol.12, p.477-494.

4. Libove C., Butdorf S.B.: A general small-deflection theory for flat sandwich plates.

NACA TN 1526, 1948.

5. Plantema F.J.: Sandwich construction: The bending and buckling of sandwich beams, plates and shells. New York: John Wiley and Sons, 1966.

6. Reissner E.: Finite deflections of sandwich plates. “Journal of the Aeronautical Science”

1948, 15(7), p. 435-440.

7. Власов В.З., Леонтев Н.Н. Балки, пластины и оболочки на упругом основании. Физ- Мат-Лит. Москва 1960.

8. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. Изд. НАУКА. Москва 1967.

9. Życzkowski M.: Wytrzymałość elementów konstrukcyjnych.W: Mechanika techniczna T.IX. Warszawa: PWN, 1988.

BUCKLING-WRINKLING OF FACES OF SANDWICH BEAM UNDER PURE BENDING

Summary. The subject of the paper are sandwich beams under pure bending. The problem of buckling-wrinkling of a compression face is described and solved. The equation of equilibrium is obtained based on the principle of stationary total potential energy. The analytical solution of this equation is composed of hyperbolic functions. Numerical calculations are realized for a family of sandwich beams with different mechanical properties of the core. Moreover, FEM investigations are realized. Results of both methods are compared and presented in tables and figures.