Acta Sci. Pol. Architectura 14 (3) 2015, 3–20
ZASTOSOWANIE ROZKàADU WARTOĝCI OSOBLIWYCH DO ANALIZY JAKOĝCIOWEJ KRATOWNIC
I KONSTRUKCJI TENSEGRITY
Wojciech Gilewski
1, Joanna Káosowska
2, Paulina Obara
21Politechnika Warszawska, Warszawa
2Politechnika ĝwiĊtokrzyska, Kielce
Streszczenie. W pracy przedstawiono zastosowanie rozkáadu wartoĞci osobliwych (SVD) macierzy wydáuĪeĔ do analizy jakoĞciowej kratownic oraz konstrukcji tensegrity. Rozkáad taki pozwala na okreĞlenie mechanizmów in¿ nitezymalnych oraz stanów samorównowaĪ- nych siá podáuĪnych konstrukcji. ZnajomoĞü takich stanów pozwala z kolei okreĞliü, czy rozwaĪana kratownica znajduje siĊ w kon¿ guracji tensegrity. RozwaĪania teoretyczne zi- lustrowano na przykáadach.
Sáowa kluczowe: rozkáad wartoĞci osobliwych, kratownica, tensegrity
WSTĉP
Kratownice páaskie i przestrzenne są jednymi z najczĊĞciej wykorzystywanych w bu- downictwie ustrojów noĞnych. Obliczanie przemieszczeĔ i siá wewnĊtrznych potrzeb- nych do projektowania jest rutynowym dziaáaniem inĪyniera. Istnieją jednak dziedziny ich zastosowania, które wykraczają poza ramy dziaáaĔ rutynowych. MoĪna tu wymieniü rosnące zainteresowanie szczególnym typem kratownic – konstrukcjami tensegrity [Mo- tro 2003, Skelton i de Oliveira 2009], w których dopuszcza siĊ wystĊpowanie in¿ nitezy- malnych mechanizmów, stabilizowanych przez samorównowaĪne ukáady siá podáuĪnych.
Konstrukcje tensegrity mają szczególne cechy, które pozwalają na aktywną kontrolĊ i sterowanie ich wáasnoĞciami [Gilewski i Al Sabouni-Zawadzka 2015]. Jednak kon¿ - guracja wĊzáów i prĊtów, na ogóá przestrzenna, wymaga szczególnej uwagi projektanta i zastosowania niekonwencjonalnych technik obliczeniowych [Motro 2003, Skelton i de Oliveira 2009, Gilewski i Kasprzak 2012]. W niniejszej pracy do oceny jakoĞciowej kra- Adres do korespondencji – Corresponding author: Wojciech Gilewski, Politechnika Warszawska, Wydziaá InĪynierii Lądowej, Instytut InĪynierii Budowlanej, al. Armii Ludowej 16, 00-637 Warszawa, e-mail: w.gilewski@il.pw.edu.pl
© Copyright by Wydawnictwo SGGW, Warszawa 2015
townic wykorzystano metodĊ rozkáadu macierzy wedáug wartoĞci osobliwych. Metoda ta pozwala na zidenty¿ kowanie szczególnych cech kratownic oraz poszukiwanie i ocenĊ wáaĞciwej kon¿ guracji wĊzáów i prĊtów. W pracy przedstawiono istotĊ rozkáadu wartoĞci osobliwych macierzy oraz szczegóáowo omówiono ten rozkáad na przykáadzie macierzy opisującej wydáuĪenia w kratownicach páaskich i przestrzennych. Podano kilka prostych przykáadów wyjaĞniających, jakie informacje o konstrukcji moĪna uzyskaü z tego roz- káadu.
ROZKàAD WARTOĝCI OSOBLIWYCH MACIERZY
Jednym z rodzajów zastosowania (numerycznych i teoretycznych) macierzy jest jej przedstawienie w postaci iloczynu kilku macierzy o okreĞlonych wáasnoĞciach (por. [Mc Guire i Gallagher 1979, Strang 1993, Leon 1994, Stewart 1998]). Skáadowymi iloczy- nów są macierze ortogonalne, diagonalne, trójkątne i inne. Wymieniü tu moĪna rozkáady:
Jordana, biegunowy, Choleskiego-Banachiewicza, QR, LR [Mc Guire, Gallagher 1979, Strang 1993, Leon 1994, Stewart 1998]. Jednym z takich rozkáadów jest rozkáad wartoĞci osobliwych (gáównych) (singular value decomposition – SVD) [Golub i Kahan 1965, Klema 1980, Long 1983, Strang 1993, Stewart 1998]). W rozkáadzie tym przedstawia siĊ daną macierz w postaci iloczynu kwadratowej macierzy unitarnej, prostokątnej dia- gonalnej macierzy o rzeczywistych nieujemnych wspóáczynnikach i sprzĊĪenia hermi- towskiego unitarnej macierzy kwadratowej. Wspóáczynniki macierzy diagonalnej nazy- wa siĊ wartoĞciami osobliwymi lub wartoĞciami gáównymi rozkáadanej macierzy. Gdy dana macierz ma wspóáczynniki rzeczywiste, to macierze unitarne stają siĊ ortonormalne, a sprzĊĪenie hermitowskie – transpozycją. Rozkáad wartoĞci osobliwych znajduje licz- ne zastosowanie w analizie sygnaáów, rozwiązaniach problemów odwrotnych, analizie informacji o charakterze kwantowym, meteorologii [Klema 1980, Stewart 1998] oraz innych dziedzinach matematyki i techniki.
Jedną z moĪliwoĞci zastosowania rozkáadu wartoĞci osobliwych jest analiza kratow- nic [Pellegrino i Calladine 1986, Rahami i in. 2013], w której konieczne są informacje, czy konstrukcja jest in¿ nitezymalnie geometrycznie zmienna oraz czy wystĊpują w niej stany samorównowaĪnych siá podáuĪnych. Informacje takie mogą byü wykorzystane na przykáad do aktywnej kontroli i sterowania wáasnoĞciami kratownic i tensegrity [Gilew- ski i Al Sabouni-Zawadzka 2015].
MACIERZOWE RÓWNANIA MECHANIKI KRATOWNIC I TENSEGRITY Przedmiotem rozwaĪaĔ w niniejszej pracy bĊdą páaskie i przestrzenne kratownice podparte. Opis mechaniki kratownic moĪna przedstawiü w postaci szeregu wektorów oraz równaĔ macierzowych [Pellegrino i Calladine 1986, Gilewski i Kasprzak 2012].
Dla analizowanej kratownicy zde¿ niowano trzy wektory niewiadomych:
q – wektor przemieszczeĔ kratownicy – dáugoĞü M
¨ – wektor wydáuĪeĔ prĊtów w kratownicy – dáugoĞü N, S – wektor siá podáuĪnych w kratownicy – dáugoĞü N,
oraz wektor obciąĪeĔ:
P – wektor obciąĪeĔ wĊzáowych – dáugoĞü M.
Dodatkowo znajomoĞü staáych materiaáowych (Ee), pól przekroju (Ae) i dáugoĞci prĊ- tów (Le) kratownicy N-elementowej pozwala zde¿ niowaü diagonalną macierz sprĊĪysto- Ğci:
1 1 1
2 2 2
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... N N
N
E A L
E A L
E A L
ª º
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
E (1)
Relacje pomiĊdzy powyĪszymi wielkoĞciami moĪna opisaü za pomocą nastĊpujących równaĔ:
związki geometryczne
ǻ Bq (2)
związki ¿ zyczne
S Eǻ (3)
równania równowagi
B ST P (4)
gdzie: B – macierz wydáuĪeĔ prĊtów w kratownicy, pozwalająca wyraziü wydáuĪenie prĊtów przez przemieszczenia ich koĔców.
Ukáad równaĔ przemieszczeniowych problemu ma postaü:
KLq = P (5)
gdzie:
KL = BTEB (6)
jest macierzą sztywnoĞci liniowej konstrukcji. Z kolei ukáad równaĔ naprĊĪeniowych najlepiej przedstawiü po symetryzacji równaĔ równowagi (4) w postaci:
DS = BP (7)
gdzie:
D = BBT (8)
–
–
–
Macierz wydáuĪeĔ B moĪna wyznaczyü na podstawie geometrii konstrukcji w sposób bezpoĞredni, ale w przypadku zadaĔ trójwymiarowych bardziej praktyczne jest wykorzy- stanie formalizmu metody elementów skoĔczonych [Bathe 1996, Zienkiewicz i Taylor 2000]. Algorytm wyznaczania macierzy B w ten sposób jest nastĊpujący:
OkreĞlenie wspóárzĊdnych koĔców i początków prĊtów.
Wyznaczenie dáugoĞci i kosinusów kierunkowych prĊtów.
Wyznaczenie uogólnionych macierzy Boole’a (alokacja i transformacja) prĊtów Ce(e = 1, ..., N) o wymiarach 2 × M.
Wyznaczenie wydáuĪeĔ prĊtów:
''e = beq; be = BeCe; Be = [–1 1] (9) Wyznaczenie macierzy wydáuĪeĔ z macierzy jednowierszowych be:
1 2
...
N
ª º
« »
« »
« »
« »
¬ ¼ b B b
b
(10)
Macierz sztywnoĞci liniowej KL moĪna wyznaczyü na podstawie wzoru (6) lub wy- korzystując formalizm MES [Bathe 1996, Zienkiewicz i Taylor 2000] poprzez agregacjĊ macierzy sztywnoĞci liniowej pojedynczych elementów skoĔczonych:
1 2
1 1
1 1 ;
Le e e Le
e
E A u
u L
ª º
ª º
« »
« »
¬ ¼ ¬ ¼
K q (11)
przetransformowanych z opisu lokalnego do globalnego za pomocą uogólnionych ma- cierzy Boole’a:
1
N T
L e Le e
¦e
K C K C (12)
Przedstawiony powyĪej opis wystarcza do analizy iloĞciowej struktur kratowych w zakresie geometrycznie i ¿ zycznie liniowym. Zanim jednak przeprowadzi siĊ taką ana- lizĊ, konieczna jest jakoĞciowa ocena konstrukcji, która pozwoli okreĞliü, czy kratow- nica jest poprawnie zde¿ niowana, czy wystĊpują w niej skoĔczone lub in¿ nitezymalne mechanizmy oraz czy w kratownicy moĪliwe jest wystĊpowanie samorównowaĪnych ukáadów siá podáuĪnych. OdpowiedĨ na te jakoĞciowe pytania jest moĪliwa na podstawie analizy wáasnoĞci macierzy wydáuĪeĔ B, przez zastosowanie rozkáadu tej macierzy we- dáug wartoĞci osobliwych (rozkáad SVD) [Calladine 1982, Pellegrino 1990, 1993, Raha- mi i in. 2013]. W literaturze podaje siĊ na ogóá rozwaĪania dotyczące ukáadów statycznie wyznaczalnych, gdy macierz B jest kwadratowa. W niniejszej pracy uporządkowano roz- waĪania teoretyczne i przedstawiono przykáady rozkáadów macierzy konstrukcji róĪnych jakoĞciowo.
1.
2.
3.
4.
5.
Na uĪytek niniejszej pracy konstrukcjĊ tensegrity naleĪy rozumieü jako kratownicĊ o szczególnej kon¿ guracji wĊzáów i prĊtów, w której wystĊpuje in¿ nitezymalny mecha- nizm, równowaĪony przez samorównowaĪny ukáad siá podáuĪnych [Motro 2003, Skel- toni de Oliveira 2009, Gilewski i Kasprzak 2012]. Poszukiwanie formy tensegrity lub wery¿ kacja, czy rozwaĪana kon¿ guracja kratownicy jest tensegrity, jest czĊsto trudna, zwáaszcza w ustrojach trójwymiarowych. Zastosowany w pracy rozkáad SVD moĪe byü przydatny do takiej analizy czy oceny.
ROZKàAD SVD MACIERZY WYDàUĩEē B
Interesującą moĪliwoĞcią zastosowania rozkáadu SVD jest analiza wáasnoĞci kratow- nic poprzez analizĊ macierzy wydáuĪeĔ B, która jest macierzą rzeczywistą o wymiarach N × M. Macierz B jest kwadratowa, gdy zadanie jest statycznie wyznaczalne. Rozkáad SVD dla macierzy wydáuĪeĔ ma postaü:
B = YNXT (13)
gdzie macierze Y (o wymiarach N × N) i X (o wymiarach M × M) są ortogonalne, a ma- -cierz N (o wymiarach N × M) jest diagonalna (por. np. Stewart [1998] – macierz prosto- kątna o niezerowych wspóáczynnikach w wierszach i kolumnach o jednakowych nume- rach). Macierze ortogonalne Y, X zbudowane są z wektorów wáasnych iloczynów macie- rzy BBT i BTB, natomiast macierz N zawiera pierwiastki kwadratowe wartoĞci wáasnych ww. iloczynów macierzy.
W celu wyjaĞnienia cech rozkáadu SVD macierzy wydáuĪeĔ B przedstawione zostaną dwa zadania pomocnicze. Pierwsze z nich dotyczy znalezienia wartoĞci i wektorów wáa- snych pierwszego z rozwaĪanych iloczynów:
BBTP I y
0 (14)
którego rozwiązanie stanowią pary:
1, ;1 2, 2; ...; N, N
P y P y P y (15)
Wszystkie rozwiązania zagadnienia (14) moĪna przedstawiü w postaci:
BBT = YMYT (16)
gdzie wartoĞci wáasne i unormowane wektory wáasne zgrupowano w macierze:
1 2
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... N
P P
P
ª º
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
M (17)
Y = [y1y2 ... yN] (18)
przy czym:
YTY = I (19)
NaleĪy zauwaĪyü, Īe iloczyn BBT, wystĊpujący w równaniu (16), jest macierzą zsyme- tryzowanych równaĔ równowagi (8). WartoĞci wáasne, zgrupowane w macierzy (17), po- winny byü nieujemne. Ewentualna zerowa wartoĞü wáasna odpowiada za istnienie niezero- wego rozwiązania jednorodnego ukáadu równaĔ równowagi – równanie macierzowe (7) dla P = 0, czyli samorównowaĪnego ukáadu siá podáuĪnych. Siáy te moĪna znaleĨü w wekto- rze wáasnym odpowiadającym zerowej wartoĞci wáasnej.
Drugie zadanie pomocnicze dotyczy znalezienia wartoĞci i wektorów wáasnych dru- giego z rozwaĪanych iloczynów:
B BT O I x
0 (20)
którego rozwiązanie stanowią pary:
1, ;1 2, 2; ...; N, N
O x O x O x (21)
Wszystkie rozwiązania zagadnienia (20) moĪna przedstawiü w postaci:
BTB = XLXT (22)
gdzie wartoĞci wáasne i unormowane wektory wáasne zgrupowano w macierze:
1 2
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... N O
O
O
ª º
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
L (23)
X = [x1 x2 ... xN] (24)
przy czym:
XTX = I (25)
NaleĪy zauwaĪyü, Īe iloczyn BTB, wystĊpujący w równaniu (22), jest równowaĪ- ny szczególnej postaci macierzy sztywnoĞci liniowej (6), przy jednostkowej macierzy sprĊĪystoĞci E Ł I. Zawsze moĪna tak dobraü moduáy Younga i pola przekroju prĊtów, aby taka zaleĪnoĞü zachodziáa. WartoĞci wáasne zgrupowane w macierzy (23) powinny byü nieujemne. Ewentualna zerowa wartoĞü wáasna odpowiada za istnienie niezerowego rozwiązania jednorodnego ukáadu równaĔ przemieszczeniowych – równanie macierzo- we (5) dla P = 0, czyli za wystĊpowanie mechanizmu. Postaü takiego mechanizmu moĪna znaleĨü w wektorze wáasnym odpowiadającym zerowej wartoĞci wáasnej. Mechanizm moĪe byü skoĔczony lub in¿ nitezymalny. Identy¿ kacja typu mechanizmu wymaga anali- zy drugiego rzĊdu, przy wykorzystaniu macierzy sztywnoĞci geometrycznej. Aby jednak taką macierz zbudowaü w konstrukcji, musi istnieü samorównowaĪny ukáad siá podáuĪ- nych. Brak moĪliwoĞci istnienia takiego ukáadu oznacza automatycznie identy¿ kacjĊ
mechanizmu jako skoĔczony. Kratownica, w której istnieje in¿ nitezymalny mechanizm równowaĪony przez samorównowaĪny ukáad siá, jest tensegrity.
Na bazie powyĪszych dwóch zagadnieĔ pomocniczych áatwo udowodniü twierdzenie o rozkáadzie SVD macierzy wydáuĪeĔ B. NaleĪy w tym celu zaáoĪyü, Īe istnieje rozkáad postaci (13), a nastĊpnie obliczyü iloczyny BBT i BTB, wykorzystując przy tym odpo- wiednio związki (25) i (19):
T T T T T T T
BB YNX XN Y YNN Y YMY (26)
T T T T T T T
B B XN Y YNX XN NX XLX (27)
gdzie:
M = NNT (28)
L = NTN (29)
Otrzymane zaleĪnoĞci (26) i (27) są identyczne odpowiednio z zaleĪnoĞciami (16) i (22), co naleĪaáo udowodniü.
PRZYKàADY OBLICZEē
W dalszej czĊĞci pracy dla szeĞciu róĪnych jakoĞciowo kratownic przedstawiono roz- káad macierzy wydáuĪeĔ B wedáug wartoĞci osobliwych (SVD), zgodnie z zaleĪnoĞcią (13), wyjaĞniając tym samym, jakie informacje o konstrukcji moĪna uzyskaü z tego roz- káadu.
Obliczenia wykonano w Ğrodowisku Mathematica, w którym napisano programy ob- liczeniowe oparte na metodzie elementów skoĔczonych, umoĪliwiające analizĊ kratownic páaskich i przestrzennych.
Przykáad 1
W pierwszej kolejnoĞci przeprowadzono analizĊ dla kratownicy dwuprĊtowej (rys. 1) o dwóch przemieszczeniach q
^
q1 q2`
. Wektor siá podáuĪnych dla tej kratownicy jest dwuelementowy S^
S1 S2`
, a macierz wydáuĪeĔ ma postaü:1 0 1 0
ª º
«¬ »¼
B (30)
a
2
1 3
1
a
2
q2
q1
Rys. 1. Schemat kratownicy dwuprĊtowej Fig. 1. The scheme of the two rod truss
Dokonując rozkáadu SVD (13) macierzy (30), otrzymano:
2 2
2 0 1 0
2 2 ; ;
0 0 0 1
2 2
2 2
ª º
« » ª º ª º
« » « » « »
« » «¬ »¼ ¬ ¼
« »
¬ ¼
Y N X (31)
Zgodnie ze wzorami (28) i (29), po wykorzystaniu zalenoĞci (31)2, macierze wartoĞci wáasnych iloczynów BBT i BTB moĪna zapisaü w postaci:
2 0 0 0
ª º
« »
¬ ¼
M L (32)
Zerowa wartoĞü wáasna wystĊpująca w macierzy M (32) odpowiada za istnienie sa- morównowaĪnego ukáadu siá podáuĪnych (rys. 2a), okreĞlonego przez wektor wáasny od- powiadający tej wartoĞci:
2 0 2 S
P « »ª ºS
y ¬ ¼ (33)
gdzie: 2. S 2
Zerowa wartoĞü wáasna wystĊpująca w macierzy L (32) odpowiada za wystĊpowanie mechanizmu (rys. 2b), którego postaü okreĞla wektor:
2 2
0 0
O « »ª º1
x ¬ ¼ (34)
Wektor (34), z uwagi na istniejący samorównowaĪny ukáad siá podáuĪnych (33), od- powiada mechanizmowi in¿ nitezymalnemu.
Rozkáad SVD macierzy wydáuĪeĔ B nie umoĪliwia jednak identy¿ kacji, czy konstruk- cja jest tensegrity – nie daje odpowiedzi na pytanie, czy stan samonaprĊĪenia równowaĪy powstaáy mechanizm in¿ nitezymalny. W tym celu naleĪy przeprowadziü analizĊ drugie- go rzĊdu przy wykorzystaniu macierzy sztywnoĞci geometrycznej. Po przeprowadzeniu dla rozwaĪanego przypadku takiej analizy udowodniono, Īe konstrukcja jest tensegrity
2
1 3
2'
1
b)
2
1 3
S S
a b
Rys. 2. Stan samonaprĊĪenia (a) i mechanizm (b) kratownicy dwuprĊtowej Fig. 2. The self-stress state (a) and the mechanism (b) of the two rod truss
(jest to najprostszy przypadek) i jest zdolna do przenoszenia obciąĪenia zgodnie z teorią nieliniową geometrycznie.
Przykáad 2
W przykáadzie drugim przeprowadzono analizĊ dla kratownicy dwuprĊtowej (rys. 3a) o trzech przemieszczeniach q
^
q1 q2 q3`
. Wektor siá podáuĪnych dla tej kratownicy jest dwuelementowy S^
S1 S2`
, a macierz wydáuĪeĔ ma postaü:1 0 0
1 0 1
ª º
«¬ »¼
B (35)
Dokonując rozkáadu SVD (13) macierzy (35), otrzymano:
–0,525731 0,850651 1,61803 0 0 0,850651 0,525731 ; 0 0,618034 0 –0,850651 0,525731 0
0 0 1
0,525731 0,850651 0
ª º ª º
« » « »
¬ ¼ ¬ ¼
ª º
« »
« »
« »
¬ ¼
Y N
X
(36)
Zgodnie ze wzorami (28) i (29), po wykorzystaniu zaleĪnoĞci (36)2, macierze warto- Ğci wáasnych iloczynów BBT i BTB zapisano odpowiednio w postaci:
2,61803 0 0 0,38197
ª º
« »
¬ ¼
M (37)
2,61803 0 0
0 0,38197 0
0 0 0
ª º
« »
« »
« »
¬ ¼
L (38)
W macierzy (37) nie ma zerowej wartoĞci wáasnej, co oznacza, Īe nie istnieje sa- morównowaĪny ukáad siá podáuĪnych. Zerowa wartoĞü wáasna, wystĊpująca w macierzy (38), odpowiada za wystĊpowanie mechanizmu (rys. 3b), którego postaü okreĞla wektor:
b)
2
1 3
2'
2 a
1 3
1
a
2 1
q2
q1 q3
a b
Rys. 3. Schemat (a) i mechanizm (b) kratownicy dwuprĊtowej przesuwnej Fig. 3. The scheme (a) and the mechanism (b)of the sliding two rod truss
3 3
0
0 1
0 O
ª º« » « »
« »¬ ¼
x (39)
Wektor (39), z uwagi na brak samorównowaĪnego ukáadu siá podáuĪnych, odpowiada mechanizmowi skoĔczonemu, co oznacza, Īe kratownica jest báĊdnie skonstruowana.
Przykáad 3
W kolejnym przykáadzie przeprowadzono analizĊ dla kratownicy dwuprĊtowej typu odwróconego V (rys. 4), o dwóch przemieszczeniach q
^
q1 q2`
. Wektor siá podáuĪ- nych dla tej kratownicy jest dwuelementowy S^
S1 S2`
, a macierz wydáuĪeĔ ma po- staü:3 1
2 2
3 1
2 2
ª º
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
B (40)
Dokonując rozkáadu SVD (13) macierzy (40), otrzymano:
2 2 6
0 1 0
2 2 ; 2 ;
2 2 2 0 1
2 2 0 2
ª º ª º
« » « » ª º
« » « » « »
« » « » ¬ ¼
« » « »
¬ ¼ ¬ ¼
Y N X (41)
Zgodnie ze wzorami (28) i (29), po wykorzystaniu zaleĪnoĞci (41)2, macierze warto- Ğci wáasnych iloczynów BBT i BTB zapisano w postaci:
1,5 0 0 0,5
ª º
« »
¬ ¼
M L (42)
a
2
1
3 1
a
2
q2
q1
Rys. 4. Schemat kratownicy typu odwrócone V Fig. 4. The scheme of the upside-down V-type truss
Brak zerowych wartoĞci wáasnych w macierzy (42) oznacza, Īe niemoĪliwy jest stan samonaprĊĪenia i nie ma mechanizmu.
Przykáad 4
W przykáadzie czwartym przeprowadzono analizĊ dla kratownicy typu X (rys. 5a) o piĊciu przemieszczeniach q
^
q1 q2 q3 q4 q5`
. Wektor siá podáuĪnych dla tej kratownicy jest szeĞcioelementowy S^
S1 S2 S3 S4 S5 S6`
, a macierz wydáu- ĪeĔ ma postaü:1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0,70711 0,70711
0,70711 0,70711 0,70711 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 1 0
ª º
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
B (43)
Dokonując rozkáadu SVD (13) macierzy (43), otrzymano:
0,21332 –0,353553 0,245509 –0,707107 –0,379763 0,353553 0,21332 –0,353553 0,245509 0,707107 –0,379763 0,353553
0,30168 0,5 0,347202 0 –0,537066 –0,5
0,569942 –0,5 0,123401 0 0,399923 –0,5
0,112914 0,353553 0,690766 0 0,50999 Y
2 0,353553 0,693106 0,353553 –0,516251 0 0,0555842 0,353553
ª º
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
(44)1
b)
Sr Sr
Sr
Ss Ss
1 1
a
6
2
3 4
2 5
3 4
a
q3
q2
1 2
3 Sr 4
q1
q5
q4
a b
Rys. 5. Schemat (a) i stan samonaprĊĪenia (b) kratownicy typu X Fig. 5. The scheme (a) and the self-stress state (b) X type truss
1,69977 0 0 0 0
0 1,41421 0 0 0
0 0 1,16422 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0,505327
0 0 0 0 0
ª º
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
N (44)2
0,362595 –0,5 0,285828 –0,707107 –0,191905
–0,64486 0 0,36848 0 –0,669611
0,362595 –0,5 0,285828 0,707107 –0,191905 0,533263 0,5 –0,232551 0 –0,641522 0,191928 0,5 0,804206 0 0,257713
ª º
« »
« »
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
X (44)3
Zgodnie ze wzorami (28) i (29), po wykorzystaniu zaleĪnoĞci (44)2, macierze warto- Ğci wáasnych iloczynów BBT i BTB zapisano odpowiednio w postaci:
2,88923 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 1,35542 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0, 25535 0
0 0 0 0 0 0
ª º
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
M (45)
2,88923 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 1,35542 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0, 25535
ª º
« »
« »
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
L (46)
Zerowa wartoĞü wáasna, wystĊpująca w macierzy (45), odpowiada za istnienie samo- równowaĪnego ukáadu siá podáuĪnych (rys. 5b), okreĞlonego przez wektor wáasny odpo- wiadający tej wartoĞci:
^ `
6 0 6 Sr Sr Ss Ss Sr Sr
P y (47)
gdzie: Sr = 0,353553; Ss = –0,5
W macierzy (46) nie ma zerowej wartoĞci wáasnej, co oznacza, Īe nie istnieje mecha- nizm.
W analizowanym przykáadzie wystĊpuje samorównowaĪny ukáad siá podáuĪnych, ale nie wystĊpuje mechanizm, co oznacza, Īe konstrukcja nie jest tensegrity.
Przykáad 5
W przykáadzie piątym przeprowadzono analizĊ dla kratownicy przestrzennej (rys. 6, 7). Wektory niezerowych przemieszczeĔ kratownicy oraz siá podáuĪnych mają od-
2
1
3 5
4
6 8
7
3 4
6
9 1
10 12 11
5
2
q
q3i-1 3i
i
z x y
q3i-2
Rys. 6. Schemat kratownicy 3D typu N w aksonometrii Fig. 6. The 3D scheme of the N type truss in axonometry
a
1=4 2=5
3=6
4 5 6
1 3 2
x
1=3 4=6 5
2
y
a a a
a
y Rys. 7. Widok kratownicy 3D typu N w rzutach Monge’a Fig. 7. The view of the 3D N type truss in Monge’s views
powiednio postaü: q
^
q2 q4 q7 q10 q11 q12 q13 q14 q15 q16 q17 q18`
oraz S
^
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12`
.Macierz wydáuĪeĔ B jest macierzą kwadratową o wymiarach 12 × 12. W pracy poda- no skáadowe diagonalnej macierzy N (o wymiarach 12 × 12), która zawiera pierwiastki kwadratowe wartoĞci wáasnych iloczynów macierzy BBT i BTB:
^ `
diag 1,87 1, 49 1, 46 1, 22 1,18 1,13 1,10 1,00 0, 48 0,37 0,33 0, 23 N
(48) W macierzy (48) nie ma zerowej wartoĞci wáasnej, co oznacza, Īe dla analizowanego przypadku niemoĪliwy jest stan samonaprĊĪenia oraz nie ma mechanizmu.
Przykáad 6
Jako ostatni rozpatrzono przypadek kratownicy przestrzennej z przykáadu 5, w któ- rej górny trójkąt jest obrócony wzglĊdem dolnego o kąt 150 stopni (rys. 8, 9) – jest to przykáad konstrukcji tensegrity Simplex. Wektory niezerowych przemieszczeĔ kratow- nicy oraz siá podáuĪnych są takie same jak w przykáadzie poprzednim, ale macierz N ma postaü:
^ `
diag 1,95 1,59 1,52 1,33 1, 23 1,13 1,04 0,93 0, 45 0,32 0, 25 0 N
(49) Zgodnie ze wzorami (28) i (29), po wykorzystaniu zaleĪnoĞci (49), macierze wartoĞci wáasnych iloczynów BBT i BTB, tj. M i L, są takie same i zawierają jedną zerową war- toĞü wáasną. Zerowa wartoĞü wáasna ȝ12 = 0 odpowiada za istnienie samorównowaĪnego ukáadu siá podáuĪnych (rys. 10), okreĞlonego przez wektor wáasny odpowiadający tej wartoĞci:
^ `
12 Sr1 Sr1 Sr1 Sr1 Sr1 Sr1 Ss Ss Ss Sr2 Sr2 Sr2
y (50)
gdzie: Sr1 0,17, Sr2 0,3, Ss 0, 43,
natomiast zerowa wartoĞü wáasna Ȝ12 odpowiada za wystĊpowanie mechanizmu (rys. 11), którego postaü okreĞla wektor:
^ `
12 0 0 0 0, 48 0, 28 0,16 0, 48 0, 28 0,16 0 0,55 0,16
x (51)
Wektor (51), z uwagi na istniejący samorównowaĪny ukáad siá podáuĪnych (50), od- powiada mechanizmowi in¿ nitezymalnemu.
Po przeprowadzeniu dla rozwaĪanego przypadku analizy drugiego rzĊdu udowod- niono, Īe konstrukcja jest tensegrity i jest zdolna do przenoszenia obciąĪenia zgodnie z teorią nieliniową geometrycznie.
2
1
3 4
5 6
3 1
2 4
6
5
7 10
11 8
9
q
q3i-1 3i
i
z x y
q3i-2
12
Rys. 8. Schemat tensegrity typu Simplex w aksonometrii Fig. 8. The scheme of the Simplex type truss in axonometry
1 2
3
6 4
5
4=5 6
2 1
3 2 1=3
6 4
a
a
5
x y
z
y
Rys. 9. Widok tensegrity typu Simplex w rzutach Monge’a Fig. 9. The view of the Simplex type truss in Monge’s views
WNIOSKI
W pracy omówiono zastosowanie rozkáadu wartoĞci osobliwych do analizy jakoĞcio- wej kratownic, w tym struktur tensegrity. Przeprowadzona analiza pozwala na wyciągniĊ- cie nastĊpujących wniosków:
Do analizy jakoĞciowej wáasnoĞci kratownicy, w tym kon¿ guracji wĊzáów i prĊtów, wystarcza znajomoĞü macierzy wydáuĪeĔ prĊtów B, a zatem opis jedynie geometryczny – nie jest konieczna znajomoĞü przekrojów prĊtów i ich wáasnoĞci materiaáowych.
1=1' 2=2'
3=3'
4' 6'
2=2' 1=1'
3=3' 2=2' 1=1'=3=3'
6' 4'
a
5'
x y
z
y
4'
6'
5' 5'
6 4
5 4=5
6 4 6 5
Rys. 11. Widok mechanizmu tensegrity typu Simplex w rzutach Monge’a
Fig. 11. The view of the tensegrity mechanism of the Simplex type truss in Monge’s views
2
1
3 4
5 6
Sr1 Sr1
Sr1
Sr1 Sr1
Sr1
Sr2
Sr2
Sr2
Ss
Ss
Ss
Rys. 10. Stan samonaprĊĪenia tensegrity typu Simplex
Fig. 10. The tensegrity self-stress state of the Simplex type truss
Rozkáad wartoĞci osobliwych pozwala na zidenty¿ kowanie mechanizmu geome- trycznej zmiennoĞci kratownicy i zaliczenie go do skoĔczonych lub in¿ nitezymalnych.
Rozkáad wartoĞci osobliwych pozwala na okreĞlenie samorównowaĪnych ukáadów siá podáuĪnych w kratownicach, jeĞli takie wystĊpują.
Rozkáad wartoĞci osobliwych pozwala, wraz z zastosowaniem teorii drugiego rzĊ- du, na stwierdzenie, czy kratownica jest tensegrity.
Rozkáad wartoĞci osobliwych pozwala na stwierdzenie, czy kratownica nie jest tensegrity.
RozwaĪania przedstawione w pracy moĪna wykorzystaü do analizy kratownic páa- skich i przestrzennych, gdzie podejĞcie intuicyjne jest czĊsto zawodne.
PIĝMIENNICTWO
Bathe, K.J. (1996). Finite element procedures in engineering analysis. Prentice Hall, New York.
Calladine, C.R. (1982). Modal stiffnesses of a pretensioned cable net. International Journal of Sol- ids and Structures, 18, 10, 829–846.
Gilewski, W., Al Sabouni-Zawadzka, A. (2015). On possible applications of smart structures con- trolled by self-stress. Archives of Civil and Mechanical Engineering, 15, 2, 469–478.
Gilewski, W., Kasprzak, A. (2012). WstĊp do mechaniki moduáów tensegrity. W: Teoretyczne pod- stawy budownictwa. T. 1. Mechanika materiaáów i konstrukcji. Red. S. Jemioáo, Sz. Lu- tomirski, OWPW, Warszawa, 83–94.
Golub, G., Kahan, W. (1965). Calculating the singular values and pseudo-inverse of a matrix. SIAM Journal Numerical Analysis, B, 2, 2, 2015–2024.
Klema, V.C. (1980). The singular value decomposition: it’s computation and some applications.
IEEE Transactions on Automatic Control, AC-25, 2, 164–176.
Leon, S.J. (1994). Linear algebra with applications. Macmillan, New York.
Long, C. (1983). Visualization of matrix singular value decomposition. Mathematics Magazine, 56, 3, 161–167.
Mc Guire, W., Gallagher, R.H. (1979). Matrix structural analysis. Wiley, New York.
Motro, R. (2003). Tensegrity. Structural systems for the future. Kogan Page, London-Sterling.
Pellegrino, S. (1990). Analysis of prestressed mechanisms. International Journal of Solids and Structures, 26, 12, 1329–1350.
Pellegrino, S. (1993). Structural computations with the singular value decomposition of the equili- brium matrix. International Journal of Solids and Structures, 30, 21, 3025–3035.
Pellegrino, S., Calladine, C.R. (1986). Matrix analysis of statically and kinematically indeterminate frameworks. International Journal of Solids and Structures, 22, 4, 409–428.
Rahami, H., Kaveh, A., Ardalan Asl, M., Mirghaderi, S.R. (2013). Analysis of near-regular structu- res with node irregularity using SVD of equilibrium matrix. International Journal of Civil Engineering, 11, 4, 226–239.
Skelton, R.E., de Oliveira, M.C. (2009). Tensegrity systems. Springer, London.
Stewart, G.W. (1998). Matrix algorithms: basic decompositions. SIAM, Philadelphia.
Strang, G. (1993). Introduction to linear algebra. Wellesley-Cambridge Press.
Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. (2000). The ¿ nite element method. Vol. 1. The basis. Butterworth- -Heinemann, New Jersey.
APPLICATION OF SINGULAR VALUE DECOMPOSITION FOR
QUALITATIVE ANALYSIS OF TRUSS AND TENSEGRITY STRUCTURES
Abstract. The present paper is dedicated to the application of singular value decomposition (SVD) of extension matrix to the qualitative analysis of truss and tensegrity structures. The decomposition allow to de¿ ne in¿ nitesimal mechanisms as well as self-stress states of the truss. It can help to recognize if the truss is in tensegrity con¿ guration. Theoretical consid- erations are illustrated on several examples.
Key words: singular value decomposition, truss, tensegrity
Uwaga! Recenzja artykuáu wraz z odpowiedzią autorów znajduje siĊ w Redakcji do wglądu zainteresowanych.
Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 28.09.2915
Cytowanie: Gilewski, W., Káosowska, J., Obara, P. (2015). Zastosowanie rozkáadu wartoĞci oso- bliwych do analizy jakoĞciowej kratownic i konstrukcji tensegrity. Acta Sci. Pol., Architectura, 14 (3), 3–20.
