1.10 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Poiseuille’a (M15)
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości wody. Współczynnik ten wyznaczany jest z prawa Poiseuille’a na podstawie pomiarów czasu stacjonarnego wy- pływu z naczynia o znanej objętości.
Zagadnienia do przygotowania:
– definicje i molekularne pochodzenie współczynnika lepkości;
– prawo Hagena - Poisseulle’a, rozkład prędkości warstw cieczy w przepływie przez rurę, rurki kapilarne;
– zasada działania butli Mariotte’a.
1.10.1 Podstawowe pojęcia i definicje Butla Mariotte’a
Na rysunku 1.10.1 przedstawiony jest schemat butli Mariotte’a. Górny otwór na- czynia zakończony jest korkiem szczelnie przylegającym do jego brzegów. Przez korek przechodzi szklana rurka na której znajduje się kranik. Dzięki temu powietrze może wchodzić do butli wyłącznie przez tą rurkę, jeżeli kranik jest otwarty. W dolnej czę- ści naczynia znajduje się otwór odcinany kranikiem. Przy otwartym kraniku przez ten otwór może wypływać znajdująca się w butli ciecz.
kranik 1 rurka
h hAB
hC
A B
C p
pat
kranik 2 woda
Rys. 1.10.1: Schemat butli Mariotte’a.
Załóżmy, że początkowo poziomy cieczy w rurce oraz w butli pokrywają się, a powie- trze znajdujące w naczyniu ma ciśnienie atmosferyczne pat. Po otwarciu obu kraników, ciecz zaczyna wypływać. Poziomy cieczy w rurce oraz w naczyniu obniżają się (w rurce znacznie szybciej). Cały czas jest jednak spełniony warunek równowagi:
pat= p + ρghAB, (1.10.1) gdzie p - ciśnienie powietrza w naczyniu, ρ - gęstość cieczy, pat- ciśnienie atmosferyczne, hAB - różnica wysokości punktów A i B.
Z powyższego równania wynika, że p < pat, a więc w butli nad powierzchnią cieczy panuje podciśnienie. Ponieważ na poziomie lustra cieczy w rurce (punkt B) cały czas panuje ciśnienie atmosferyczne, ciśnienie w punkcie C jest równe:
pC = pat+ ρghC. (1.10.2)
Ciśnienie pC początkowo maleje wraz z obniżającym się poziomem cieczy w rurce aż do momentu, kiedy dojdzie on do końca rurki. Wtedy dalszemu wypływowi cieczy towarzyszyć będzie tylko obniżanie się jej poziomu w butli. Powstanie więc sytuacja, kiedy mimo ubywania cieczy ciśnienie w punkcie C będzie miało stałą wartość równą:
pC = pat+ ρgh. (1.10.3)
Oznacza to, że dopóki poziom wody w naczyniu nie opadnie poniżej końca rurki, ciecz będzie wypływać z naczynia pod stałym ciśnieniem (czyli ze stałą prędkością).
Jeśli do butli dołączyć kapilarę, to różnica ciśnień wymuszająca ruch cieczy bę- dzie równa ciśnieniu hydrostatycznemu cieczy między końcem rurki a końcem kapilary (rysunek 1.10.2):
∆p = ρg (hr− hk) , (1.10.4)
gdzie hr - wysokość końca rurki, hk - wysokość końca kapilary.
Prawo Hagena - Poisseulle’a
Prawo to opisuje przepływ cieczy lepkiej przez rurkę pod wpływem różnicy ciśnień.
Rozważmy rurkę o kołowym przekroju poprzecznym (rysunek 1.10.3) o promieniu r0
oœ rurki r dr+
r r0
Rys. 1.10.3: Przekrój poprzeczny przez rurkę.
i długości hk. Wybieramy warstwy cieczy w postaci koncentrycznych cylindrów współosiowych z rurką.
Różnica prędkości przepływu warstw o promieniu r i dr wynosi dv. Wielkość dv/dr jest miarą zmiany prędkości przepływu w kierunku poprzecznym do ruchu cieczy. Powodem zmian prędkości w miarę oddalania się od osi rurki jest występowanie tarcia lepkościowego pomiędzy warstwami. Ciecz stykają- ca się z powierzchnią wewnętrzną rurki nie przesu- wa się, czyli v(r0) = 0. Siła lepkości F jest pro- porcjonalna do gradientu prędkości i powierzchni styku cieczy i rurki:
kranik 1 rurka
woda
kapilara
kranik 2
hk hr
Rys. 1.10.2: Schemat butli Mariotte’a z dołączoną kapilarą.
F = −2πηhkrdv
dr, (1.10.5)
gdzie współczynnik proporcjonalności η opisuje lepkość cieczy. Jednostajny i laminarny przepływ cieczy wywołany jest przez różnicę ciśnienia ∆p między końcami rurki, która musi równoważyć siłę oporu pochodzącą od lepkości
πr2∆p = −2πηhkrdv
dr, (1.10.6)
Aby otrzymać zależność prędkości poszczególnych warstw od ich promienia v(r), musimy równanie (1.10.6) przekształcić i wycałkować po promieniu w granicach od r0 do danego r oraz po prędkości w granicach od v(r0) = 0 do v(r).
v (r) =
v(r)
Z
0
dv = − ∆p 2ηhk
r
Z
r0
rdr = ∆p 4ηhk
r02− r2 . (1.10.7) Zależność prędkości od promienia pokazana jest na rysunku 1.10.4.
W celu obliczenia objętości V płynu przepływającego w czasie t należy prędkość v(r) pomnożyć przez elementarny wycinek wewnętrznej powierzchni przekroju po- przecznego rurki i scałkować po całym przekroju rurki:
oœ rurki
r dr + r r
0u
Rys. 1.10.4: Zależność prędkości cieczy w rurce od odległości od osi rurki.
V t =
r0
Z
0
v (r) 2πrdr = πr04 8ηhk
∆p. (1.10.8)
Równanie (1.10.8) nazywane jest prawem Hagena - Poiseulle’a.
1.10.2 Przebieg pomiarów Układ doświadczalny
Przyrządy: butla Mariotte’a, kapilara, zlewka, waga laboratoryjna, odważniki, mi- kroskop, termometr, katemometr, stoper.
Przebieg doświadczenia
Zmierzyć długość kapilary hk oraz wysokość końca rurki hr przy pomocy katemo- metru. Zważyć naczyńko pomiarowe. Podstawić naczyńko pomiarowe pod wylot rurki, zbierając wypływającą wodę (20-40 cm3) mierząc jednocześnie stoperem czas wypły- wu. Zważyć naczyńko pomiarowe z wodą i wyznaczyć masę wody m, która wypłynęła.
Zmierzyć temperaturę wody a następnie osuszyć naczyńko pomiarowe. Powtórzyć kil- kakrotnie pomiary zbierając różną ilość wody.
1.10.3 Opracowanie wyników
W opracowaniu wyników należy obliczyć współczynnik lepkości wody z prawa Ha- gena - Poiseulle’a, czyli z wzoru (1.10.8). We wzorze tym za objętość należy podstawić V = m/ρ oraz wyrażenie na ∆p - wzór (1.10.4). Otrzymuje się wtedy zależność:
η = πr40ρ2g (hr− hk) t 8mhk
. (1.10.9)
Wyniki przedstawić w tabeli wraz z odpowiednio obliczonymi niepewnościami poje- dynczego pomiaru. Wyznaczyć średnią wartość współczynnika lepkości wraz z jego niepewnością pomiarową.
Drugą metodą opracowania wyników jest zastosowanie regresji liniowej. Po prze- kształceniu równania (1.10.9) otrzymuje się:
m = πr40ρ2g (hr− hk)
8hkη t. (1.10.10)
Ze współczynnika kierunkowego otrzymanego z regresji liniowej można prosto obliczyć współczynnik lepkości oraz jego niepewność pomiarową.
