q o i v e ii in

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT AFDELING DER CIVIELE TECHNIEK VAKGROEP VLOEISTOFMECHANICA

COLLEGE b73A OEFENING I

De e e r s t e o e f e n i n g i s b e d o e l d a l s een k e n n i s m a k i n g met " l a n g e g o l v e n " . Be-schouwd w o r d t een open l e i d i n g w a a r i n z i c h een g e t i j g o l f kan v o o r t p l a n t e n . Voor een probleem d a t z i c h i n de n a t u i i r v o o r d o e t kan men, door meer o f m i n d e r t e s c h e m a t i s e r e n , een mathematisch model o p s t e l l e n . Het d o e l van deze o e f e n i n g i s ook een b e p a a l d f y s i s c h p r o b l e e m s t a p v o o r s t a p wat n a u w k e u r i g e r t e benade-ren.

Gegevens: /ét/c .' ,1 , t

I n een b e n e d e n r i v i e r b e v i n d t z i c h een stuwcomplex ( b i j v . H a g e s t e i n ) , waar-d o o r waar-de r i v i e r i s a f g e s l o t e n en h e t waar-d e b i e t ( r e s p . waar-de s t r o o m s n e l h e i waar-d ) v o o r a l l e waarden van t g e l i j k n u l kan worden g e s t e l d .

Op een p l a a t s 12000 m s t r o o m a f w a a r t s van de stuw ( z i e : f i g . 1 ) w o r d t v o o r deze opgave aangenomen d a t h e t v e r t i k a a l g e t i j h 1 ( t ) i s gegeven ( z i e : b i j ¬ l a g e 1 ) . De p e r i o d e van deze p e r i o d i e k e f u n k t i e T = 12 u u r en 25 m i n u t e n = i+HVOO sec.

Van h e t t u s s e n de stuw ( p u n t 2 ) en h e t p u n t 1 g e l e g e n bekken z i j n ook a l l e andere n o o d z a k e l i j k e gegevens door m e t i n g bekend. De a f m e t i n g e n van h e t d w a r s p r o f i e l z u l l e n u i t e r a a r d variëren met de p l a a t s . Voor h e t g e h e l e bekken i s e c h t e r een r e p r e s e n t a t i e f d w a r s p r o f i e l v a s t g e s t e l d , zodat men hiermee mag u i t g a a n van een p r i s m a t i s c h e open l e i d i n g van 12000 m l e n g t e ( z i e : f i g . 1 en 2 ) .

A f h a n k e l i j k van de vorm van d i t d w a r s p r o f i e l variëren - h e t d o o r s t r o m i n g s p r o f i e l A en

- de bergende b r e e d t e b

nog met de hoogte van de w a t e r s t a n d en dus met de t i j d .

Zoals op h e t c o l l e g e i s a f g e l e i d kan de v o o r t p l a n t i n g van een l a n g e g o l f i n een open l e i d i n g worden b e s c h r e v e n met twee partiële d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n . Onder bepaalde v o o r o n d e r s t e l l i n g e n ( z i e d i c t a a t ) l u i d e n deze v e r g e -l i j k i n g e n u i t g e d r u k t i n h en Q a -l s v o -l g t :

T M - 3h _ 1 9Q 1 2b 9h b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g si" " " i X "sï " "2721 ^ ^ " 2 ^ C A J\ gA . „ . 3Q , 3h continuïteitsvergelijking — = - b -rr oS oX

Z o a l s ook l a t e r nog z a l b l i j k e n z i j n v o o r h e t o p l o s s e n van deze D.V. twee randvoorwaarden n o d i g . Voor h e t beschouwde p r o b l e e m z i j n gegeven h K t ) , en

Q2(t) = O, v o o r a l l e waarden van t .

I n de c o l l e g e s V l o e i s t o f m e c h a n i c a b73 worden v o o r deze en andere " l a n g e g o l f -problemen" v e r s c h i l l e n d e o p l o s s i n g s m e t h o d e n b e h a n d e l d . I n h e t volgende w o r d t v o o r h e t bovenbedoelde p r o b l e e m gevraagd een a a n t a l opgaven a c h t e r e e n v o l g e n s u i t t e werken.

Opgaven O e f e n i n g I e e r s t e g e d e e l t e :

a. Welke namen hebben de 3 termen i n h e t r e c h t e r l i d van de bew. v e r g . èn waarom h e t e n ze zo? Welke d i m e n s i e hebben ze?

b. De bovenstaande d i f f e r e n t i a a l - v e r g e l i j k i n g e n worden n a d e r beschouwd.

Geef zeer k o r t d r i e v o o r o n d e r s t e l l i n g e n weer, d i e v o o r deze v e r g e l i j k i n g e n na de algemene a f l e i d i n g reeds z i j n gedaan.

c. A l s gegeven i s d a t de gemiddelde w a t e r d i e p t e a^ = 3,60 m, w o r d t g e v r a a g d de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d c van een v e r s t o r i n g i n h e t bekken t e benaderen. H i e r b i j mag worden aangenomen d a t de bergende b r e e d t e b g e l i j k i s aan de k o n s t a n t e stroomvoerende b r e e d t e b^.

d. Hoe g r o o t w o r d t b i j de onder a berekende v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d de g o l f -l e n g t e v o o r de beschouwde g e t i j g o -l f ?

e. Op h e t c o l l e g e w o r d t g e s t e l d , d a t i n g e v a l l e n , w a a r i n de v e r h o u d i n g A/L voldoende g r o o t i s , een eenvoudige b e n a d e r i n g van h e t l a n g e - g o l f p r o b l e e m

91i m o g e l i j k i s , door t e s t e l l e n : — = O

ds

Hoe g r o o t i s i n d i t g e v a l de v e r h o u d i n g X/L?

We nemen nu v e r d e r aan, d a t deze v e r h o u d i n g g r o o t genoeg i s en s t e l l e n dus 9h

— = 0. Een en ander b e t e k e n t , d a t de w a t e r s p i e g e l i n h e t bekken a l s een 3s

h o r i z o n t a a l v l a k op en n e e r gaat i n de t i j d .

Ga v o o r u z e l f na d a t a l s — = O de continuïteitsvergelijking g e s c h r e v e n kan worden a l s : — = - b — .

3s d t

A l s s = O b i j de stuw ( p u n t 2) w o r d t gekozen w o r d t g e v r a a g d , door deze v e r -g e l i j k i n -g p a r t i e e l n a a r s t e i n t e -g r e r e n , een u i t d r u k k i n -g op t e s t e l l e n v o o r h e t d e b i e t op een p l a a t s s = x m e t e r s t r o o m a f w a a r t s van de stuw.

3

-f . I n d i e n v o o r x de b e k k e n l e n g t e L w o r d t genomen, Wat w o r d t dan de u i t d r u k k i n g v o o r h e t d e b i e t i n p u n t 1?

g. De bergende b r e e d t e b v a r i e e r t met de w a t e r s t a n d h z o a l s i s gegeven op b i j -l a g e 2.

Aangenomen mag worden d a t de w a t e r s p i e g e l i n h e t g e h e l e bekken overeenkomt met de gegeven randvoorwaarde h 1 ( t ) ( z i e b i j l a g e 1 ) .

Gevraagd w o r d t v o o r s l e c h t s ^• v e r s c h i l l e n d e t i j d s t i p p e n de waarde Q 1 ( t ) t e benaderen, w a a r b i j de v a r i a t i e van b v e r d i s c o n t e e r d moet worden ( z i e : t a b e l a n t w o o r d f o r m u l i e r ) . Deze waarden, kunnen worden u i t g e z e t op b i j l a g e 1 . h. I n h e t tweede g e d e e l t e van deze o e f e n i n g I z u l l e n de termen van de

bewegingsv e r g e l i j k i n g nader worden beschouwd. I n deze termen komen de bewegingsvolgende f a k -t o r e n v o o r :

Gegeven i s de stroomvoerende b r e e d t e b^ = c o n s t a n t = 160 m, de h y d r a u l i s c h e s t r a a l R = de d i e p t e a,

de coëfficiënt van de Chezy C = 50 m^ sec , de gemiddelde d i e p t e = a^ = N.A.P. -3.60 m.

Gevraagd w o r d t v o o r twee v e r s c h i l l e n d e w a t e r s t a n d e n de waarden van de d r i e f a k t o r e n t e berekenen:

9>

/ i~/ is jeen -/i^c^-f/uf^sc tafi-a/-foe-.

L'^-o-3, ilt.if is een C^én-Jffimsionejc <sèroa7ir>j

I ? . * 10* ' '''' ''^ ^ -eS 3) 1. h l Q 5" 0 8 0 \\o 11,1 / 7 ^ 3 8 • 0 _{57, . °5is-} 1 3 '

h) H,^ * i ^ o * t 735- m^' A':r fl/^fifoc ^^ié" ID*

3

COLLEGE b 7 3 A O E F E N I N G 1

FIGUREN

©

_©

+

9 3 L = 12000 m F i g . l N.A.P. REPRESENTATIEF DWARSPROFIEL A = bsa ^ A ( h ) dus A ( t ) De bergende breedte b ( h ) dus b { t )

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT AFDELING DER CIVIELE TECHNIEK VLOEISTOFMECHANICA

C o l l e g e b73A

Opgaven o e f e n i n g I tweede g e d e e l t e

De opgaven van d i t g e d e e l t e l i g g e n g e h e e l i n h e t v e r l e n g d e van d i e van h e t e e r s t e g e d e e l t e van o e f e n i n g I , d i e u r e e d s u i t g e w e r k t h e e f t .

Z o a l s b l i j k t u i t v r a a g e van h e t e e r s t e g e d e e l t e , werd aangenomen, d a t de v e r ¬ — — —

h o u d i n g X/L g r o o t genoeg was om t e s t e l l e n : = O» waardoor een zogenaamde kombergingsbeschouwing m o g e l i j k werd. Nu kan nagegaan worden, o f deze v e r o n d e r s t e l l i n g w e l g e r e c h t v a a r d i g d was. Daartoe moeten de termen u i t de bewegings-v e r g e l i j k i n g berekend worden. Deze b e r e k e n i n g e n kunnen worden u i t g e bewegings-v o e r d met b e h u l p van r e k e n f o r m u l i e r b i j l a g e 6.

Aangezien de " f a k t o r e n " van de termen ondermeer van s a f h a n g e n , d i e n e n v o o r een b e p a a l d vak gemiddelde waarden v o o r de v e r s c h i l l e n d e g r o o t h e d e n t e worden b e p a a l d .

Voor Q nemen we "^"^^^ "® ^^^^ '^^ mond, omdat b e t e r e bena-d e r i n g e n v o o r a l s n o g o n t b r e k e n . Deze s c h a t t i n g e n komen bena-dus e i g e n l i j k u i t een kombergingsbeschouwing met s = j L i n - Qj_ = - bs — , z o a l s u i n h e t e e r s t e g e d e e l t e van deze o e f e n i n g g e z i e n h e e f t .

De b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g en de continuïteitsvergelijking z i j n vervangen door d i f f e r e n t i e - v e r g e l i j k i n g e n ( z i e b i j l a g e 6 ) .

Hiermee i s h e t verhang o v e r h e t bekken t e berekenen. U i t d i t verhang i s h e t v e r v a l o v e r h e t bekken t e b e p a l e n en daarmee h e t v e r l o o p van de w a t e r h o o g t e b i j de stuw. Met b e h u l p van deze s c h a t t i n g voor h2 w o r d t een nieuwe h ^ be-p a a l d . De b e r e k e n i n g kan z o l a n g h e r h a a l d worden t o t d a t Q2 = - AQ = 0.

Van u w o r d t e c h t e r a l l e e n de u i t v o e r i n g van de e e r s t e s t a p van d i t i t e r a t i e -proces gevraagd.

Opm. A l s u uw i n g e l e v e r d e a n t w o o r d f o r m u l i e r t e r u g o n t v a n g t , i s h i e r b i j een u i t w e r k i n g gevoegd, waarop h e t i t e r a t i e p r o c e s e n k e l e s t a p p e n v e r d e r i s u i t -gevoerd. Er z u l l e n dan ook v e r s c h i l l e n t e z i e n z i j n t u s s e n uw u i t k o m s t e n en d i e van de b i j g e v o e g d e u i t w e r k i n g .

a. Op b i j l a g e 3 z i j n de f u n k t i e s h l ( t ) en Q l ( t ) u i t g e z e t . Voor de volgende opgaven w o r d t aangenomen d a t de g e s c h a t t e f u n k t i e ^ - i — - een goede benade-r i n g i s v o o benade-r de "gemiddelde s t benade-r o o m " i n h e t g e h e l e bekken Q. V e benade-r d e benade-r w o benade-r d t aangenomen d a t h l ( t ) overeenkomt met de gemiddelde h van h e t bekken hg.

2

-Gevraagd w o r d t nu v o o r d r i e termen van de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g : de t r a a g h e i d s t e r m

de w e e r s t a n d s t e r m de B e r n o u l l i - t e r m

op e n k e l e v e r s c h i l l e n d e t i j d s t i p p e n c o n c r e t e waarden t e berekenen. D i t kan door a l l e i n deze termen voorkomende g r o o t h e d e n zo goed m o g e l i j k t e benaderen. H i e r b i j kan g e b r u i k worden gemaakt van de gegevens op de b i j l a g e n 3, 14 en 5. De b e r e k e n i n g e n moeten worden u i t g e v o e r d op h e t r e k e n f o r ' m u l i e r ( z i e b i j l a g e 6) v o o r 4 v e r s c h i l l e n d e t i j d s t i p p e n :

3.00 u., 5.00 u., 8.00 u. en 12.00 u.

b. De gemiddelde waarden v o o r de d r i e termen u i t de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g vormen e l k een b i j d r a g e t o t h e t gemiddelde verhang i n h e t bekken.

Gevraagd w o r d t voor de onder a genoemde t i j d s t i p p e n t e berekenen w e l k e b i j -drage de d r i e termen l e v e r e n aan h e t v e r v a l o v e r h e t gehele bekken. Deze b e r e k e n i n g e n moeten eveneens worden u i t g e v o e r d op de b i j l a g e ^ _ 6 .

c. Beschouw de onder a en b gevonden u i t k o m s t e n k r i t i s c h .

Ga b i j v o o r b e e l d v o o r u z e l f na waarom op h e t t i j d s t i p 6.00 u. de w a t e r -s p i e g e l i n p u n t 2 hoger i -s dan i n p u n t 1 t e r w i j l h e t d e b i e t n e g a t i e f i -s ( v l o e d s t r o o m ) .

d. Teken een e e n v o u d i g l e n g t e p r o f i e l van h e t bekken en g e e f d a a r i n h e t v e r l o o p aan van de w a t e r s p i e g e l v o o r de v i e r v e r s c h i l l e n d e t i j d s t i p p e n :

de r e c h t e l i j n e n t u s s e n de p u n t e n 1 en 2 z i j n een b e n a d e r i n g van de "momentane v e r h a n g l i j n e n " .

e. De f a k t o r a = — i s g e l i j k aan 1 g e s t e l d .

Bereken de waarde van de f a k t o r v o o r de twee t i j d s t i p p e n 6.00 u. en 12,00 u. Het a n t w o o r d f o r m u l i e r b i j l a g e 6 moet i n de week, w a a r i n h e t 5e c o l l e g e

GEGEVENS wvQterstand h in m t . o . v . N . A . P . gem. diepte a in m gem. bergende breedte b in m gem. FACTOREN wvQterstand h in m t . o . v . N . A . P . gem. diepte a in m gem. bergende breedte b in m stroomvoerend profiel A = 05. a in 102 in lO'^M^SEC^ b - 2b wvQterstand h in m t . o . v . N . A . P . gem. diepte a in m gem. bergende breedte b in m stroomvoerend profiel A = 05. a in 102 in lO'^M^SEC^ in « g in 10-^M""*SEC^ 2,00 5,60 290 8,96 0,89 1.75 S.bS 270 S,S6 i,o2 0,7ff tso ^.io 2SS 8.fs 1,25 f , f 8 f . 2 f ^.8S 240 i,Z7 0,8* f , oo ^.60 2d5 7,^1 i, Sf 0,88 0.75 22ff 6, '36 /.•^6 1,90 o,9ff 0, So 220 6,56 Z.27 1,04 0.2^ 5. Sff 2t6 £,f6 2,7^ 1, f6 0, 00 5,60 ZfO 5,76 5.55 i.29 _ 0, 2S 205 5,56 /.90 -O, eo 3, /O 200 2, as f , GS

-0,7S 2.35 f9S- A.56 2,2A 6.75 i.9f

_ /, 00 2, GO f9o A, f6 2,^S S,39 2.2^

l e n g t e van het bekken l = 12000 m gem. s t r o o m voerende b r e e d t e b g = 1G0 m h y d r a u l i s c h e s t r a a l R = a m c o ë f f . v a n de C h é z y C = 50 f / ^ S E C ' ^ g e s t e l d m a g w o r d e n ol=i 1 ( l a t e r te c o n t r o l e r e n ) . T H D E L F T A F D E L I N G V\/&W LEERSTOEL VLOEISTOFMECHANICA COLLEGE b 7 3 A O E F E N I N G 1 BIJLAGE

U . M I N 0 . 0 0 1. 00 2. 00 3. 00 I,. 00 5 00 6 . 0 0 7. 00 8 . 0 0 9 . 0 0 10.00 11.00 12.00 12.25 over at = 1200 sed in m t G . V N.A.R 1200 in .«-3 - \ Iff msec

®

-O.Sf 0,29 *o,eo •/•t. If •f-i.tti *o,6o *o,2S • o.S'S .0.3S •t-/,l6 •-'.IS •^o.it.

®

.O.S5 -0,2,3 -O,o3 -H.li^ *o,9bS *o, 625 •f-o.oZ .0,29 . -o, 09 •^o. If -0,03-•O.IOS -o.f Ah, o. oys •f-O. 02 S •f-a 07^ •1-0,002 •f-o ffy •f-o.fty f-o,o6y a. o^e • o.osa -o.ost - o.eêb -0.07s i n " r r r s e c - ^ A Q over at = 12(X)9ec -f- f6o . -rao 2SO -300 -3Zo -ISO ^izo */9o TtfSe So -9o .fSo • fSo -3S ^fOS i-fZo •f-rrs 1-95 10) -ts Aa 1200 in m^sec-^ in 10-^ .3 2 m sec -o, of7 ~o, 02s -aof3 • o,ooê -fo - 0, eoif fl-0,038 •f-oozs FACTOREN ( Z I E B I J L . ) m 2. Of 2.09 t.7S /.60 f.l>s f itf /.iff f.Sf f.6i /.7a .o.oty 1.95 S.or W in 10-10 _6 2 m sec ^.90 S-.So 3.4-5 in 10-^ m \ e c ^ b in m f,6o t.70 /.SO 2,60 t.as f.ifS f.jo Z/e A ga f.lo o.Stf 0.99 f.f£> '•2.9 /.J/0 I, So 20' 199 20^ 209 2/a 227 £39 J3' 2o^ 2of T E R M E N BEW. VERG. m AQ i n 10 1200 w Q / Q / in 10-^ 06) — o, 00s • +0,01/ •f-o, os6 •f-0,00' . o.oos -o,ob& a. oSif -0,0^,7 •*-o,oi 9 •fo.oza 0.038 1200 in 10 .4 -o, o to -0,0 to ..0,01s -0.019 -0,0 ts -0,007 -0,00s B E R E K E N I N G VERVAL ..IN m t r a a g h — t e r m

®

/ o. 073 w e e r s t . -t e r m -AX (17) .o,os>7 B e r n . _ t e r m + AX (JB) TOTAAL A h = l - h 2 .0,012. / o, 006 •f-o, o3o -f-o.oty ^•0,007 ~o,otb o.oof •fo. o/S *o,otii e •^0,0 if 3 -o,ots> •(•0,0?' - o, 00 & ~ O.Ohif - 0,0.1, g -e.obj — o,aoS .0,0 It -o, o rX a, 00 8 ¥•0, og t *0, oódf *o,oSS •f-O.Oit, • o.ost -o.ooS i II eras o,ss-f 0,0<S4, O.S3S •1-0.766 •H.ISI * I, leg -o.lSi. CO NT VERG. a h g 1200 .o,ofS -f-o, OOG a Q = _ a x (24j i n m^se"c^ V- tso ¥o,ofS -f-o, or9 .f-o, 027 • f<FO -228 2i c3 o <, " II -o.o'r y. i;,z •f zot, • 0,0 f 9 • 0.017 •/-22S •f-ti.^ *Z2S + Z07 y- tSo DE BEWEGINGSVERG. DE CONTINUITEITS VERG. WAARIN: m = J ™ , w g A A O - - w Q / d / be Q &hg A t A t Qi - Q2 = A X At

= — J , b = J _ b _ EN b GEMIDDELDEN ZIJN OVER A X. C2A2 R g A2

T.H. DELFT AFDELING W & W

LEERSTOEL VLOEISTOF MECHANICA

COLLEGE b73A

OEFENING 1

BULAGE 8

/ • - - ^ c/c OS ,65-.«:4. •/ c C I —CP/ iS to/1 ' f>i"0 J A / '/// V :--0

er komen Jo,, t / f / V ' / / / f / f v A Z / ' p A ^ - , , {f^--^ PV -JC^^O-^^J

. 4 0 ii.iLH) yf^fto A \ «2, 0 0 0 •M ?,9' ,'I'J SI i D O O 1 (/'-e/z^/Jc/e: 7^ iJ'i

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT AFDELING DER CIVIELE TECHNIEK VAKGROEP VLOEISTOFMECHANICA . O 9 K o l l e g e b73A O e f e n i n g I I e e r s t e g e d e e l t e Deze o e f e n i n g i s b e d o e l d , om de methode d e r k a r a k t e r i s t i e k e n , d i e i n h e t k o l l e -ge u i t g e b r e i d e aandacht k r i j g t , t e l e r e n t o e p a s s e n .

Beschouwd w o r d t de v o o r t p l a n t i n g van een bepaalde v e r s t o r i n g i n een open l e i -d i n g .

De partiële d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g ( b i j v . i n v en h ) , d i e de v o o r t p l a n t i n g van zo'n v e r s t o r i n g b e s c h r i j v e n , kunnen l a n g s k a r a k t e r i s t i e k e n geïntegreerd worden ( z i e d i k t a a t ) . //.p , De k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g e n z i j n ( z i e k o l l e g e d i k t a a t ) : i n d i e n A dv _^ 1 b dan -TT + 7" d t h b s Voor deze o e f e n i n g w o r d t v e r o n d e r s t e l d , d a t - de b o d e m h e l l i n g I j ^ = O

- de stroomvoerende b r e e d t e b^ g e l i j k i s aan de bergende b r e e d t e b , dus bg= b. - de gemiddelde s n e l h e i d v k l e i n i s t . o . v . "^gh'

A l s ook nog de w e e r s t a n d w o r d t v e r w a a r l o o s d , dan worden v o o r de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g e n de v o l g e n d e v e r g e l i j k i n g e n ge^vonden:

i n d i e n = - ± °

Gegevens. De b e r e k e n i n g kan worden u i t g e v o e r d met b e h u l p van de b i j l a g e . De h i e r o p vermelde gegevens worden h i e r n a omschreven.

Beschouwd w o r d t de v o o r t p l a n t i n g van een t r a n s l a t i e g o l f i n een k a n a a l , d a t u i t m o n d t i n een z e e r b r e e d , z e e r d i e p meer, waarvan de w a t e r s t a n d k o n s t a n t i s . I n d i t k a n a a l z i j n twee stuwen g e p l a a t s t op een o n d e r l i n g e a f s t a n d van 2400 m. Stuw I I b e v i n d t z i c h i n de mond van h e t k a n a a l .

De bergende b r e e d t e i s g e l i j k aan de stroomvoerende b r e e d t e b = b^ = 100 m. De hoogte van de w a t e r s p i e g e l t . o . v . de kanaalbodem i s h , i n m e t e r s . I n h e t k a n a a l i s e r e e r s t sprake van een s t a t i o n a i r e t o e s t a n d met v = 0,60 m/s en h =

3,60 m (de e v e n w i c h t s d i e p t e ) . V e r o n d e r s t e l d w o r d t , d a t de i n v l o e d van de weer-s t a n d g e h e e l mag worden v e r w a a r l o o weer-s d . Dan i weer-s 1^^ = | | = 0. Het g e v o l g h i e r v a n i weer-s dat de s-as h o r i z o n t a a l l i g t en samenvalt met de x-as.

B i j de u i t w e r k i n g van de opgave op h e t r e k e n f o r m u l i e r , mag v o o r de eenvoud worden aangenomen, d a t de v a r i a t i e s van h v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n z i j n t . o . v . de d i e p t e h^. Daardoor mag g e s t e l d w o r d e n , d a t de g r o o t h e i d c = ^|gh~, v o o r de ge-h e l e opgave k o n s t a n t i s : c = ^ g ge-h ^ = 6 m/s.

De p o s i t i e v e r i c h t i n g van de x-as w o r d t gekozen van stuw I n a a r h e t meer. Op t = O w o r d t i n een v e r w a a r l o o s b a a r k o r t e t i j d , de s c h u i f van stuw I ge¬ s l o t e n . Deze s c h u i f b l i j f t i n h e t v e r v o l g van d i t v r a a g s t u k d i c h t . De s c h u i f van stuw I I b l i j f t nog 200 sec, openstaan en w o r d t dan eveneens i n een v e r ¬ w a a r l o o s b a a r k o r t e t i j d g e s l o t e n , dus op h e t t i j d s t i p t = 200 sec.

De b e d o e l i n g i s , om met de gegeven b e g i n v o o r w a a r d e n en randvoorwaarden de v o o r t p l a n t i n g van de t r a n s l a t i e g o l f i n h e t k a n a a l p a n d , o n t s t a a n door h e t p l o t s e -l i n g s -l u i t e n van a c h t e r e e n v o -l g e n s stuw I en stuw I I t e benaderen.

U w o r d t v e r z o c h t , om na b e s t u d e r i n g van h e t k o l l e g e d i k t a a t , de volgende op-gaven u i t t e werken.

a. Maak v o o r u z e l f op een n i e t t e k l e i n e s c h a a l een l e n g t e p r o f i e l van h e t

bekken en t e k e n daar d i r e k t onder een s / t - d i a g r a m met de t i j d a s n a a r beneden g e r i c h t . G e b r u i k d i t e i g e n s / t - d i a g r a m t i j d e l i j k samen met h e t v/h-diagram van h e t r e k e n f o r m u l i e r . Met b e h u l p van de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g e n i s h e t m o g e l i j k , om u i t g a a n d e van twee v e r s c h i l l e n d e p u n t e n met een bekende. t o e s t a n d (bekende waarden v o o r h en v ) , de t o e s t a n d t e b e p a l e n i n een ander p u n t van h e t s / t - d i a g r a m .

Vat de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g e n op a l s d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n : As Ah _ - i / i r

= i c r e s p . ^

-Om de berekeningsmethode t e kunnen s t a r t e n , z i j n b e g i n v o o r w a a r d e n n o o d z a k e l i j k - op t = O i s v o o r a l l e waarden van s de t o e s t a n d bekend:

h ( s , 0 ) = 3,60 m. v ( s , 0 ) = 0,60 m/s.

Voer de o p l o s s i n g s m e t h o d e n u z o v e r a l s m o g e l i j k i s u i t , wanneer a l l e e n deze beginvoorwaardenworden g e b r u i k t . moet i n h e t s / t - d i a g r a m a l s r e s u l t a a t

een ( g r o o t ) a a n t a l p u n t e n b i n n e n een g e l i j k b e n i g e d r i e h o e k met de t o p n a a r beneden k r i j g e n . )

3

-b. Om v e r d e r t e kunnen rekenen z i j n weer v e r s c h i l l e n d e p u n t e n met bekende t o e s t a n d n o d i g . E n e r z i j d s z i j n d i t de p u n t e n op de k a r a k t e r i s t i e k e n , d i e bovenbedoelde d r i e h o e k vormen, a n d e r z i j d s s t a a t s l e c h t s i n f o r m a t i e t e r be-s c h i k k i n g i n p u n t e n aan de randen van h e t door onbe-s bebe-schouwde k a n a a l p a n d . De randvoorwaarden b l i j k e n dus e s s e n t i e e l v o o r h e t v o o r t z e t t e n van de be-r e k e n i n g /

Deze randvoorwaarden kunnen de volgende gedaanten hebben: - h ( t ) gegeven

- v ( t ) gegeven

- een o f ander v e r b a n d t u s s e n v en h gegeven.

Voor h e t v o o r t z e t t e n van de b e r e k e n i n g ^ n a a r stuw I t o e , i s een randvoorwaarde I n o d i g :

- de randvoorwaarde b i j stuw I i s , d a t v o o r s = O en v o o r t > O v ( t ) = 0.

Voor h e t v o o r t z e t t e n van de b e r e k e n i n g ^ n a a r stuw I I t o e ^ i s randvoorwaarde I I n o d i g :

- de randvoorwaarde b i j stuw I I i s , d a t voor x = 2400 en v o o r O < t ^ 200 sec: h ( t ) = 3,60 m. ( k o n s t a n t e w a t e r s p i e g e l i n h e t m e e r ) .

Voor t > 200 sec, i s de randvoorwaarde b i j stuw I I ( s c h u i f d i c h t ) v ( t ) = O

Voer de b e r e k e n i n g met n i e t a l t e g r o t e stappen u i t op h e t e i g e n f o r m u l i e r t o t t = 200 sec.

c. I s de gang van zaken d u i d e l i j k , dan i s h e t de b e d o e l i n g , d a t u de b e r e k e n i n g u i t v o e r t op h e t b i j g e v o e g d e r e k e n f o r m u l i e r t o t b i j v . t = 700 sec.

R e a l i s e e r t u z i c h , d a t i n een n e t w e r k p u n t d a t op de r a n d l i g t op een t i j d -s t i p d a t de randvoorwaarde w i j z i g t , nog j u i -s t de "oude t o e -s t a n d " h e e r -s t , d.w.z. op t = O g e l d t de b e g i n v o o r w a a r d e op s = O', o n m i d d e l l i j k na f = O g e l d t h i e r randvoorwaarde I v = 0. Zo ook i n de r a a i s = 2400:

Op t = 200 sec. g e l d t nog h = 3,60 ( h o r i z o n t a l e l i j n i n v / h - d i a g r a m ) ; on-m i d d e l l i j k na t = 200 g e l d t v = O ( v e r t i c a l e l i j n i n v / h - d i a g r a on-m ) . d. Wat i s de t o e s t a n d i n h e t p u n t x = 1800 m, t = 300 s e c ? Wat i s de t o e s t a n d o n m i d d e l l i j k l i n k s van d i t p u n t ( b i j v . x = 1780, t = 300)? Wat i s de t o e s t a n d o n m i d d e l l i j k r e c h t s van d i t p u n t ? Wat i s de t o e s t a n d i n s = 1800 m e n k e l e seconden l a t e r ( b i j v . t = 305 s e c ) ? e. Wat i s de t o e s t a n d i n p u n t s = O, t = 650 s e c ?

f . Geef nu h e t v e r l o o p van h en h e t v e r l o o p van v i n h e t k a n a a l p a n d v o o r r e s p . de t i j d s t i p p e n t = 200, 300, 400 en 500 seconden.

Wat z a l e r i n de u i t v o e r i n g van de methode v e r a n d e r e n a l s men de p o s i t i e v e x-as i n omgekeerde r i c h t i n g k i e s t , met h a n d h a v i n g van h e t reeds g e b r u i k t e v/h-diagram?

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT

AFDELING DER WEG- EN WATERBOUWKUNDE VAKGROEP VLOEISTOFMECHANICA

K o l l e g e b73A O e f e n i n g I I tweede g e d e e l t e

Het tweede g e d e e l t e van deze o e f e n i n g I I s l u i t g e h e e l aan op h e t e e r s t e g e d e e l t e Om d i t tweede g e d e e l t e met succes t e kunnen u i t v o e r e n i s h e t a b s o l u u t noodzake-l i j k e e r s t h e t e e r s t e g e d e e noodzake-l t e t e hebben u i t g e w e r k t .

De i n h e t e e r s t e g e d e e l t e g e b r u i k t e gegevens, worden h i e r s l e c h t s k o r t gememo-r e e gememo-r d . Beschouwd w o gememo-r d t de v o o gememo-r t p l a n t i n g van een v e gememo-r s t o gememo-r i n g i n een k a n a a l p a n d ,

l a n g 2400 m en aan b e i d e z i j d e n v o o r z i e n van een stuw. Het k a n a a l mondt u i t i n een zeer b r e e d en z e e r d i e p meer. De gemiddelde w a t e r s t a n d i n h e t k a n a a l

h = 3,60 m. O ' Beginvoorwaarden: h = 3,60 m, v = 0,60 m/s. Randvoorwaarde I : v ( t ) = O v o o r t > O Randvoorwaarde I I : h ( t ) = 3,60 m O < t < 200. sec. v ( t ) = 0 t > 200 sec.

I n h e t e e r s t e g e d e e l t e van deze o e f e n i n g werd g e v r a a g d , om met b e h u l p van de methode d e r k a r a k t e r i s t i e k e n de t o e s t a n d i n h e t pand t e b e p a l e n op v e r s c h i l l e n de t i j d s t i p p e n , t o t t = 700 sec. t o e .

Vanaf t = 700 sec, w o r d t de randvoorwaarde aan h e t meer, dus randvoorwaarde I I g e w i j z i g d . Op d a t t i j d s t i p w o r d t n a m e l i j k de s c h u i f van stuw I I een s t u k om-hooggehaald. D i t b e t e k e n t , d a t e r v a n a f d a t moment weer w a t e r i n o f u i t h e t kanaalpand kan stromen. De u i t s t r o o m . o p e n i n g b l i j f t r e l a t i e f k l e i n , zodat t e r p l a a t s e van deze s c h u i f v e r t r a g i n g s v e r l i e z e n z u l l e n o p t r e d e n . Het t e k e n ( p l u s o f min) van deze v e r l i e z e n w o r d t b e p a a l d door de r i c h t i n g w a a r i n h e t w a t e r s t r o o m t , dus door h e t t e k e n van de s n e l h e i d . (N.B. Denk aan de t e k e n a f s p r a a k t u s s e n +v en + s ) .

^ N e r t r . - ^ - 2 r

Ook de w e e r s t a n d z a l n u i n h e t p r o b l e e m b e t r o k k e n worden. Z o a l s békend, w o r d t de w e e r s t a n d weergegeven door Ah = — p e r s t r e k k e n d e meter. Voor h e t

ge-C R v / v / h e l e pand i s dus h e t v e r l i e s aan piëzometrisch n i v e a u Ah^^ = ~ — L. D i t

w e e r s t a n d s v e r v a l kan g e c o n c e n t r e e r d worden gedacht b i j stuw I I ? E i g e n l i j k w o r d t d a a r clan een d e n k b e e l d i g e v e r n a u w i n g a a n g e b r a c h t , d i e een v e r t r a g i n g s -v e r l i e s g e e f t , d a t e-ven g r o o t i s a l s h e t w r i j -v i n g s -v e r l i e s o -v e r h e t g e h e l e

v/v/ v / v / k a n a a l p a n d . Het " t o t a l e v e r l i e s " b i j de stuw I I w o r d t dan Ah^^ = ~ — ^ L + g

2 -H i e r d o o r w o r d t de w a t e r h o o g t e b i j stuw I I : h^^ = + ~ 2 — ^ ^ 2g " (Opm. L e t op h e t t e k e n van v f ) Gegevens. C = 49 zodat = 2500 m/s^. R = 3,60 m. g = 10 m/s^ ? = 1 L = 2400 m. h = 3,60 m. meer Dan w o r d t h^^ = 3,60 + 0,33 v / v / m.

D i t verband t u s s e n h ( 2 4 0 0 , t ) en v( 2 4 b o, t ) i s de nieuwe randvoorwaarde I I v o o r t > 700 sec. I n h e t v/h-diagram w o r d t deze r e l a t i e t u s s e n h en v weergegeven door twee p a r a b o o l h e l f t e n door h e t p u n t ( h = 3,60, v = 0 ) .

3

-Opgaven

a. De t o e s t a n d i n h e t k a n a a l p a n d i s op t = 700 sec. bekend ( z i e u i t w e r k i n g

oef. 2 e e r s t e g e d e e l t e ) . Z e t de t o e s t a n d i n de p u n t e n 0.07, 1.07, 2.07, 3.07 en 4.07 u i t i n h e t v/hdiagram. De t o e s t a n d e n i n deze p u n t e n z i j n de b e g i n -voorwaarden v o o r d e v e r d e r e u i t w e r k i n g van) deze opgave. Voer nu de methode der k a r a k t e r i s t i e k e n z o v e r u i t a l s m o g e l i j k , met a l l e e n deze b e g i n v o o r -waarde en de n i e t g e w i j z i g d e randvoor-waarde v ( t ) = O op s = 0.

R e a l i s e e r t u z i c h , d a t uw r e s u l t a t e n ook zouden worden gevonden b i j een v e r -dere u i t v o e r i n g van o e f e n i n g 2 e e r s t e g e d e e l t e .

b. Teken i n h e t v / h _ v l a k de f u n k t i e h ( 2 4 0 0 , t ) = 3,60 + 0,33 v / v / .

D i t i s de nieuwe randvoorwaarde I I , dus op s = 2400 m v o o r t > 700 sec. c. Voer de methode nu u i t t o t h e t t i j d s t i p t = 1000 sec.

d. Wat i s de t o e s t a n d i n s = 600 m, t = 1000 s e c ? Wat i s de t o e s t a n d o n m i d d e l l i j k l i n k s van d i t p u n t ( b i j v . s = 590 m, t = 1000 sec)? Wat i s de t o e s t a n d o n m i d d e l l i j k r e c h t s van d i t p u n t ( b i j v . s = 610 m, t = 1000 sec)? e. Geef i n v i e r g r a f i e k e n de t o e s t a n d i n h e t kanaalpand op de t i j d s t i p p e n t = 700, 800, 900 en 1000 seconden. f . A l s g e s t e l d w o r d t d a t v n i e t i s t e v e r w a a r l o z e n t . o . v . c = \/gh ,wat zouden ds • dan de k a r a k t e r i s t i e k e r i c h t i n g e n — i n h e t s / t - d i a g r a m worden i n b i j v . de p u n t e n ( s = O, t = 600 s e c . ) en ( s = 1200 m, t = 600 s e c . ) ?

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT A f d e l i n g d e r VJEG- en WATERBOUWKUNDE VAKGROEP VLOEISTOFMECHANICA C o l l e g e b 73 k OEFENING ij; I n l e i d i n g Na de o p l o s s i n g s m e t h o d e " I n t e g r a t i e m.b.v. K a r a k t e r i s t i e k e n " vrordt i n h e t l a a t s t e g e d e e l t e van h e t c o l l e g e b 73 A de Harmonische Methode b e h a n d e l d . Omdat h i e r spral<e i s van een Al^IALYTISCHE o p l o s s i n g s m e t h o d e mag men een b e l a n g r i j k e b i j d r a g e t . b . v . h e t i n z i c h t v e r w a c h t e n .

Gebleken i s d a t deze methode b i j v e l e n a l s m o e i l i j k w o r d t e r v a r e n , n i e t i n de l a a t s t e p l a a t s om h e t f e i t d a t g e w e r k t vjordt met complexe f u n k t i e s . B e s l o t e n i s om de m o g e l i j k h e d e n v o o r z e l f s t u d i e u i t t e b r e i d e n door h e t b e s c h i k b a a r s t e l l e n van deze o e f e n i n g M-. Door een a a n t a l g e r i c h t e v r a g e n vrordt a.h.w. g e d e m o n s t r e e r d hoe men b i j de methode t e werk gaat en welke m o g e l i j k h e d e n men h e e f t .

Voor de t h e o r i e van de Harmonische Methode kan worden verwezen n a a r h e t b e t r e f f e n d e g e d e e l t e van h e t d i c t a a t . De b e s c h r i j v i n g van de h i e r n a volgende opgaven s l u i t daar z e e r nauw b i j aan.

V o o r g e s t e l d e gang van zaken:

De opgaven z i j n g e s p l i t s t i n twee g e d e e l t e n .

Gedeelte ^• A b e v a t een p a a r eenvoudige v r a g e r , d i e h e t b e s t kunnen worden beantwoord i n a a n s l u i t i n g op de b e h a n d e l i n g van de Harmonische Methode op h e t c o l l e g e .

Deze v r a g e n hebben b e t r e k k i n g op de t h e o r i e en op h e t r e k e n e n met complexe f u n k t i e s . I n g e d e e l t e HB z i j n e n k e l e opgaven onder g e b r a c h t , d i e b e t r e k k i n g hebben op h e t l a n g e g o l f - p r o b l e e m d a t r e e d s i n o e f e n i n g 1 i s b e s c h r e v e n . De u i t w e r k i n g van deze l a a t s t e opgaven z a l ook n i e t meer dan e n k e l e u r e n v e r g e n .

Deze o e f e n i n g 4- i n z i j n g e h e e l i s een i n t r o d u c t i e t o t de b e r e k e n i n g s m e t h o d e . Gead-v i s e e r d w o r d t om t . z . t . ( b i j de d e f i n i t i e Gead-v e z e l f s t u d i e a l s Gead-v e o r b e r e i d i n g Gead-v o o r h e t t e n t a m e n ) a a n s l u i t e n d op h e t g e d e e l t e 4B o'ók e n k e l e tentamen-opgaven b e t r e f f e n d e d i t onderwerp z e l f s t a n d i g u i t t e werken. I n d i e n daarna de u i t w e r k i n g e n v a n deze tentamen opgaven w o r d ^ ^ g e r a a d p l e e g d moet men e r r e k e n i n g mee houden d a t deze " i n t e l e g r a m s t i j l " z i j n g e s t e l d , w a a r b i j e r v a n i s u i t g e g a a n d a t de benodigde i n f o r m a t i e i n h e t c o l l e g e - d i c t a a t i s t e v i n d e n .

Voor deze o e f e n i n g 4 b e h o e f t geen a n t w o o r d - f o r m u l i e r t e worden i n g e l e v e r d .

Omdat de opgaven v o l l e d i g a a n s l u i t e n op h e t bestaande c o l l e g e - d i c t a a t , i s ook geen b e s p r e k i n g n o d i g .

2

-4 A Beschouwd w o r d t een r i v i e r g e d e e l t e met een l e n g t e 1, d a t a l s éên vak mag worde/^ o p g e v a t . Z o a l s bekend w o r d t b i j de Harmonische Methode v e r o n d e r s t e l d d a t de g o l f b e w e g i n g PERIODIEK i s ( v o l l e d i g i n g e s p e e l d ) en z i j n de D.V.n v o o r a f g e l i n e a r i s e e r d . De v o o r t p l a n t i n g van een SINUSVORMIGE p e r i o d i e k e g o l f kan worde^-berekend m.b.v. de " v i e r p o o l - v e r g e l i j k i n g e n " . I n een eenvoudige gedaante kunnen deze v e r g e l i j k i n g e n a l s v o l g t worden geschreven:

( I ) h ^ ( l ) = L^: h ^ ( 0 ) + M^QJO) ( I I ) Q ^ ( l ) = \ h ^ ( 0 ) + Ö^Q^(O)

I n de nu i n g e v o e r d e g r o o t h e d e n L , M , N^ en 0^ komen v o o r a l de eigenschappen van h e t t u s s e n h e t p u n t A en h e t p u n t B g e l e g e n vak)-, t o t u i t d r u k k i n g . Deze g r o o t h e d e n worden de VAK-KONSTANTEN genoemd.

A i B

-I- 4.

^ ^

^

1. Hoe z i e t de u i t d r u k k i n g v o o r e l k van de g r o o t h e d e n L^, M^, N^ en 0^ e r u i t ? 2. De v o o r t p l a n t i n g s k o n s t a n t e r i s i n h e t algemeen een complexe g r o o t h e i d

be-staande u i t een reëel d e e l p en een i m a g i n a i r d e e l q. Geef v o o r de b e i d e d e l e n p en q een d e f i n i t i e .

3. Op welke w i j z e komt de w e e r s t a n d r e s p . de t r a a g h e i d i n de v o o r t p l a n t i n g s -k o n s t a n t e r t o t u i t i n g ?

I n d i e n de w e e r s t a n d v o l l e d i g w o r d t v e r w a a r l o o s d wat worden dan de u i t d r u k -k i n g e n v o o r p en q ?

Bovengenoemde v i e r p o o l - v e r g e l i j k i n g e n l e g g e n een v e r b a n d t u s s e n de f u n k t i e s h ( 0 ) en Q ( 0 ) aan de ene z i j d e van een vak en de f u n k t i e s h ( 1 ) en Q„(l)

c c c

aan de andere z i j d e van h e t beschouvjde vak.

De f u n k t i e s h ( O ) , Q ( 0 ) , h ( 1 ) en Q ( 1 ) z i j n complexe g r o o t h e d e n . c c c c

Om d a t t e o n d e r s t r e p e n z i j n deze f u n k t i e s met een i n d e x c o n d e r s c h e i d e n .

Het i s van b e l a n g d a t de RELATIE t u s s e n de reële g r o o t h e d e n , w a a r i n we geïnteres-s e e r d z i j n , en de complexe g r o o t h e d e n , waarmee gerekend w o r d t , DUIDELIJK v a geïnteres-s t w o r d t g e l e g d .

Deze r e l a t i e i s een a f s p r a a k , d i e men een maal moet maken en waaraan men z i c h daarna moet houden.

A l s v o o r b e e l d w o r d t een f u n k t i e h ( A , t ) beschouwd, d i e a l s v o l g t k a n worden b e s c h r e v e n :

( I I I ) h ( A , t ) = h^ih) •!- h ^ ( A ) cos { w t + K ^ ( A ) }

B i j de E n k e l v o u d i g e Harmonische Me •.'ode zonder b o v e n a f v o e r g a a t h e t a l l e e n om de tweede t e r m van h e t r e c h t e r l i d . De complexe f u n k t i e , d i e v o o r h ( A , t ) i n de b e r e k e n i n g e n w o r d t i n g e v o e r d , kan nu a l s v o l g t worden g e d e f i n i e e r d : h ^ ( A ) = h ^ ( A ) I cos K ^ ( A ) t i s i n K.^{h) V S t e l l e n we n u h ( A ) = @ + i ( 5 ) ^ ™ ' C^"" ^^^^ C O S - K ^ ( A ) en (h)= h ( A ) s i n - K ^ ( A ) V o l g t n u bv. u i t een b e r e k e n i n g d a t de complexe f u n k t i e h ^ ( B ) = (J) + i ( £ ) , dan kunnen we f l a a r u i t de reële f u n k t i e h ( B , t ) a f l e i d e n . Men i s d a a r b i j naftóürlijk aan de gemaakte a f s p r a a k gebonden.

- {

h ( B , t ) = h ^ ( B ) cos I tot + K ^ ( B )

H i e r i n i s dan h , ( B ) = \ / c ^ + d^ en K ( B ) = a r c t g

.^Dj - ' ^ - - i ^ v " ' O c

Opin.: u i t h e t bovenstaande b l i j k t d i r e k t de z i n van de complexe r e k e n w i j z e . Een complexe f u n k t i e b e v a t een dubbele i n f o r m a t i e ;

n . l . b e t r e f f e n d e de AMPLITUDE èn de FASE van de reële f u n k t i e .

S t e l n u d a t h ( A , t ) door ( I I I ) i s gegeven, w a a r b i j

hQ(A) 0,33 m ( h e t n i v e a u v.d. middenstand t . o . v . een r e f e -r e n t i e - v l a k )

h ( A ) = 0 , 7 5 m ( d e a m p l i t u d e v . d . s i n u s v o r m i g e v a r i a t i e ) '1^

K ^ ( A ) = - 200° de fasehoek ( v o o r t = 0 )

4. B e p a a l h e t reële d e e l 0 en h e t i m a g i n a i r e d e e l ( b j van de complexe f u n k t i e h ( A ) , d i e i n een b e r e k e n i n g z u l l e n worden i n g e v o e r d b i j de h i e r b o v e n gemaakte

c

a f s p r a k e n .

5. K o n t r o l e e r de gevonden waarden, door u i t ( a ) en ( b ) de a m p l i t u d e h ^ ( A ) en de fasehoek K ^ ( A ) weer t e b e p a l e n .

h~ 7,CX>' V I / V CO.- I> i 5 i . , s V r r - s ^ vri ! f ^ 1 (Jt-s. : r ; 7 è \c CA) ^ L, h, ré) 3 h^^ iooy qj-t,^;o®

^ 4

-6. V e r o n d e r s t e l l e n we v e r v o l g e n s d a t i n h e t p u n t B ( s = i ) de r i v i e r i s a f g e _ s l o t e n , dan v o l g t d a a r u i t de randvoorwaarde:

Q ( B , t ) = O v o o r a l l e waarden van t .

Wat k r i j g t men i n d a t g e v a l v o o r de v e r g e l i j k i n g e n ( I ) en ( I I )?

7, I n d i e n men de p o s i t i e v e s as k i e s t vèn B nêar A dan geven de v i e r p o o l -v e r g e l i j k i n g e n i n h e t onder 6. -v e r o n d e r s t e l d e g e -v a l ( Q^(B) ~ 0 ) een-voudige r e l a t i e s .

Welke z i j n d a t ?

B, U i t eên van de onder 7. bedoelde r e l a t i e s v o l g t d i r e k t : h j B ) = ^ h ^ ( A )

V

S t e l d a t b i j een bepaalde b e r t k e n i n g b l i j k t d a t g e l i j k i s aan: = 0,48 + 0,57 i

wat w o r d t dan h ( B ) a l s v o o r h ( A ) h e t onder 4. gevonden complexe g e t a l w o r d t c c

aangehouden?

9. Bepaal de a m p l i t u d e en de f a s e v o o r h e t gevonden complexe g e t a l h ^ ( B ) .

Na de onder 9 gevonden r e s u l t a t e n l i j k t h e t I n t e r e s s a n t om v o o r h e t r e l a t i e f k o r t e bekken, d a t i n de o e f e n i n g 1 i s beschouwd, een waarde v o o r de g r o o t h e i d L t e b e p a l e n ,

We k e r e n i n g e d e e l t e 4 B tei?ug n a a r een p r o b l e e m , waarvan we reeds v e e l weten.

Een t o e p a s s i n g van de e n k e l v o u d i g e Harmonische Methode v o o r j i e _ l J > r o b l e e m ^ ^ o e f e n i n g 1,

Voor a l l e benodigde gegevens w o r d t verwezen n a a r de t e k s t en de b i j l a g e n van de o e f e n i n g 1 ( e e r s t e en tweede g e d e e l t e ) .

Door de vakgroep V l o e i s t o f m e c h a n i c a i s een b e r e k e n i n g u i t g e v o e r d , d i e n u e e r s t v r i j u i t v o e r i g z a l worden b e s p r o k e n .

Het bekken met een l e n g t e van 12.000 m werd v e r d e e l d i n twee vakken. Voor deze twee vakken i s de Harmonische Methode t o e g e p a s t . De d a a r b i j g e b r u i k t e g r o o t h e d e n z i j n a l l e n v e r m e l d op de b i j l a g e 1 van deze o e f e n i n g 4. De randvoorwaarde h ( l , t ) i s weergegeven op b i j l a g e 3 van o e f e n i n g 1.

Deze f u n k t i e i s p e r i o d i e k i n de t i j d .

We moeten deze f u n k t i e nu door een e n k e l v o u d i g e s i n u s v o r m i g e f u n k t i e v e r v a n g e n . Men kan de f u n k t i e o n t w i k k e l e n i n een r e e k s v o l g e n s F o u r i e r . Doet men d i t dan v i n d t men.,

a l s ü) = 2 If en T = 12 u u r 25 rain. ^•^rlOO seconden

h( l , t ) = h + A cos üJt + B s i n w t + A cos 2ü)t + B^ s i n 2wt + De componenten met een hogere f r e k w e n t i e 3 to , 4Ü) e t c . b l i j k e n k l e i n e r dan b.v. 0,01 m t e z i j n , zodat deze v e r d e r b u i t e n beschouwing b l i j v e n .

B i j de E n k e l v o u d i g e Harmonische Methode vjordt a l l e e n de e e r s t e hamonische

component i n de b e r e k e n i n g b e t r o k k e n . D i t b e t e k e n t d a t de f u n k t i e w o r d t vervangen door: h ( l , t ) = h^ + A^ cos ü)t + A f g e r o n d b l i j k e n h^^, A^ en r e s p , : hg = 0,31 m, tot A^ = - 0,75 m en B = - 0,25 m t e z i j n , De l a a t s t e u i t d r u k k i n g i s ook t e s c h r i j v e n a l s : ( I V ) h ( l , t ) = h ^ + h ^ cos ( w t — " K ^ ) H i e r b i j i s h A ^ t B ^ en a r c t g We v i n d e n u i t de r e e k s o n t w i k k e l i n g dan oolc d a t : .,0 h ^ - 0,79 m en = 198

10. Z e t de nu gevonden f u n k t i e ( I V ) u i t t e g e n de t i j d door de p e r i o d e van 12 u u r 25 m i n u t e n - 44700 s i n 12 g e l i j k e d e l e n t e v e r d e l e n .

Deze d e l e n worden "maanuren" genoemd. K i e s v o o r de t i j d s c h a a l :

1 u u r = 30 m i l l i m e t e r ( m i l l i m e t e r - p a p i e r A 3 - f o r m a a t ) dan i s 1 maanuur - 31 m i l l i m e t e r K i e s v o o r de h o o g t e - s c h a a l 1 m = 0.10 m. Het v e r d i s c o n t e r e n van de w e e r s t a n d : De w e e r s t a n d s t e r m i n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g kan worden g e l i n e a r i s e e r d v o l g e n s L o r e n t z ( z i e c o l l e g e - d i c t a a t ) . De t e r m v j o r d t d a a r b i j vervangen door de t e r m : w a a r i n k l—^-x- I — Q k Q 2 2 'gem 3 TT

Het g e v o l g van een en ander i s d a t men v o o r de g r o o t h e i d Q een goede s c h a t t i n g moet maken. D i t i m p l i c e e r t h e t u i t v o e r e n van een ITERATIEPROCES'.

Het bekken i s v e r d e e l d i n twee vakken d a t b e t e k e n t d a t v o o r e l k vak een s c h a t t i n g v o o r Q i s gemaaktJ

- e e r s t m.b.Vo een kombergingsbeschouwing ( z i e o e f , 1 e e r s t e g e d e e l t e ) - daarna door r e k e n i n g t e houden met de u i t een e e r s t e b e r e k e n i n g v e r k r e g e n

u i t k o m s t e n .

De gegevens op de b i j l a g e hebben b e t r e k k i n g op de tweede b e r e k e n i n g .

Voor d i t k o r t e bekken i s deze tweede b e r e k e n i n g reeds voldoende n a u w k e u r i g , omdat de w e e r s t a n d een g e r i n g e i n v l o e d h e e f t .

Voor e l k vaJc z i j n de v a k k o n s t a n t e n berekend. De v i e r p o o l v e r g e l i j k i n g e n geven v o o r de b e i d e vakken 2 maal 2 dus i n t o t a a l 1 v e r g e l i j k i n g e n .

h ^ ( L ) h ^ ( L / 2 ) h ^ ( 0 ) Q ( L ) Q ( L / 2 ) Q ( 0 ) c c c i 4 — ^ \ ^ — ( L ) ( L / 2 ) + s < \ ( 0 ) A l s we e r r e k e n i n g mee houden d a t u i t de s p l i t s i n g s p u n t - v o o r w a e u ? d e n i n d i t g e v a l v o l g t d a t v o o r de b e i d e vakken i n h e t p u n t ( L / 2 ) de f u n k t i e s h ^ en d e z e l f d e z i j n , dan z i j n e r i n t o t a a l 6 onbekende f u n k t i e s .

Er z i j n dus twee randvoorv/aarden n o d i g . Gegeven z i j n : h ^ ( L ) en

Door h e t o p l o s s e n van 4 v e r g e l i j k i n g e n met '+ onbekenden kunnen de o v e r i g e complexe f u n k t i e s worden b e p a a l d ( z i e b l z . 2 van de b i j l a g e van deze o e f e n i n g 4 ) ,

De r e s u l t a t e n van de u i t g e v o e r d e b e r e k e n i n g e n , d i e zi'^n v e r m e l d op b l z . 3 van de b i j l a g e kunnen worden g e b r u i k t b i j de volgende opgaven.

Gevraagd w o r d t h e t g e h e l e bekken a l s eên vak t e beschouwend

Na de bovenomschreven b e r e k e n i n g komen de v o l g e n d e bex'ekeningen n e e r op c o n t r o l e -b e r e k e n i n g e n , w a a r -b i j v o o r h e t -benaderen van de i n v l o e d van de w e e r s t a n d h e t d e -b i e t i n h e t midden van h e t beschouwde vak bekend i s : Q(L/2 5 t ) .

1 1 . Bepaal een waarde v o o r de f a k t o r k v o o r h e t beschouwde vak s = O t o t s = L. 12. Bereken waarden v o o r de g r o o t h e d e n p en q.

13. Bereken de v a k k o n s t a n t e n v o o r h e t beschouwde vak. , c

14. Omdat gegeven i s Q^(0) = O kan men de v e r h o u d i n g j ^ T o T ®®"^°^'^^S b e p a l e n . A l s gegeven i s h ( L ) = - 0,75 + 0,25 i , bereken dan ° h ( 0 ) .

c c 15. Wat worden de a m p l i t u d e en de fase-hoek van de f u n k t i e h ( 0 , t ) ?

16. Bepaal t e v e n s de a m p l i t u d e en de fase-hoek van de f u n k t i e ,Q(L3t)

17. V e r g e l i j k de onder 15 en 16. v e r k r e g e n r e s u l t a t e n met de r e s u l t a t e n van de o e f e n i n g 1 ( z i e de b i j l a g e 7 en 3 van o e f e n i n g 1 ) .

U i t e r a a r d b l i j k t ook nu d a t e r geen g r o t e v e r s c h i l l e n zi.'n t u s s e n de f u n k t i e h(Ö,t) en de f u n k t i e h ( L , t ) . Het f a s e - v e r s c h i l t u s s e n de f u n k t i e s Q ( L , t ) en h ( L , t ) bedraagt nog ongeveer o f 90°, omdat h e t bekken r e l a t i e f k o r t i s .

TECHNISCHE HOGE--SCHOOL DELFT OSJi'BNIMGEN h 73 A A f d e l i n g d e r C i v i e l e T e c l m i e k

Mlsaia

&^Ji

V a k g r o e p V i o e i s t o f i i i e c h a n i c a

,!iyj:.aM㪟lLLJ.

B L vak 1 v a k I I s O 4^ S v a k l e n g t e strooBivoereïide b r e e d t e b e r g e n d e b r e e d t e coëff, v a n de Ché'zy g e s c h a t t e Q geai, d i e p t e gero, r ïs p -5- i s-i r l - p l + i qï v a k k O n g t a n t e n ; L V M V N BANDVOOEWAAÏIBIN i viik 1 oOOO sa 16() m 215 m 3 3 0 ffi 0,,987^r3 +0,026661 v a k I I 6000 ïfl 160 m 215 BI 50 A ^ ' -80 3,90 (o.OgóT-f O, 2 8 0 4 1 ) 1 0 0 , 0 5 8 0 1 + 0 , 1 6 8 2 7 1 .-4 0,98753 '^0,009721 C-^0,10C;8...0,13741)10 -'3 0,5900 -O 1 8 0 5 0,98753 'hOp00972i Q ( O j t ) « O v o o r all<? «aarden v a n t , d u s O f o ) » O c h ( L , t ) = 0,yi 'h{l.)coB\y-t. ~ ^ r( L ) | tó 1,405 10'"^^ r a d . / s t e r ^ ? i j l h{L)== O j 7 9 B i -en K ( L ) - 198*", 7 o o r h^_(L) k a n -worden i n g e v o e r d 2 w a a r i n h ( L ) ~Oj75öO + 0,2500 i V o o r e l k v a k g e l d e n twee v i e r p o o l - v e r g o l i j k i a g c n , v a a r m e e V i e r o n b e k e n d e f u n k t i e s k u n n e n w o r d e n o p g e l o e t , ïte her ugen a i j i i v e r z a m e l d op de v o l g e n d e b l a d z i j d e v a n deze b i j l a g e .

Vak ïï. % O - (0 3 8 7 5 3 4- 0,00972:1) h^Xü)

li^(o) -

( 0 3 9 0 0 0 0 3 8 0 4 9 - . i 0 ' 3 h^^(O) O Q (0) - O ( a ) Q ( i L ) « ( 0 3 9 0 0 0 - 0,18049 10-3) b^JO) ( b ) Vak I M Q (|rl,) - (.-0,02538 i - 9 .!•>• ! i M j ) h ( L )

( 3

h^^(|L) - ( 0 3 0 3 3 6 - 0 , 1 7 B 9 5 i ) -Ur^ ü^,(0) Cl ( - I I ) - ( 0 , 0 0 9 3 9 - 1 ) , 1 7 8 2 0 1 ) 10'^ h J O ) (0^00875 - 0,357151) h^V*>) A l s de t w e e d e r a n d x r o o r w a a r d e .woxnlt v e r d i s c o n t e e r t i j h^^(ïj) (^.0,7500 + 0,2900 i ) ( . , ^ .^.-0 779011 -t-: 0,25001 d a n v o l g t u i t ( c J ; h ^ ^ 3 ) ^4), 75868 +0 3 3 4 i 9 i O3494B 0 3 8 B 7 2 i H i e r u i t v o l g t w e e r d a t ff'-s, _ ^, " * *'7*^ " L ^ ' D a a r n a " v o l g t t i i t ( a ) \u) eïi ; «cn <..ei-«^vuvtt x gen»

s - 0 3 5 2 4 7 4 07322651 -....-IS: 5 . L. , ( L ) 203^' 13-^

Q 7 i L ) « + 0 3 9 9 8 7 +•

.3 3 '--'(lO^

293'' 35'

b i f " - ' s « L 4' 3 }i(h. t ) s l i( L) c o 8| w i > 3 ( L ) f l ( L ) . . 0,79 m I C ( L ) - 198' Q ( L ) - 296 n i 7 = f ( L ) - 29S 2'22'

[ k

('9h)

- 0,82 ra

IC ( l i

9 « 9i!3"ll3'

q(917'" ^(0)=, 0,Ö9 r» B i j de opgaTövi 1 1 . t / i i t l?„ c l e s ; e l l l . ^ r a u d v o o r w a a r d e n ge¬

g e v e n en mag n e t b e k k e n s i s 3E9 i^nk^-i V9S w o r d e n o p g e v a t .

s » L -¥ S s « O — 4 SCHEMA G„Verspuy f e b r u a r i 1973

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT A f d e l i n g d e r

l-JEG" en WATERBOUWKUNDE V l o e i s t o f m e c h a n i c a

S c h r i f t e l i j k t e n t a m e n b 73A "Lange Golven A"

7 j u n i 1973 van 11.00 t o t 17.00 u u r

De u i t t e werken v r a a g s t u k k e n 1 , 2 en 3 hebben een g e l i j k • g e w i c h t " , zodat w o r d t aangeraden aan i e d e r v r a a g s t u k ongeveer even v e e l t i j d t e besteden.

B i j de b e o o r d e l i n g z a l worden g e l e t op een goede s y s t e m a t i s c h e aanpak en een o v e r z i c h t e l i j k e u i t w e r k i n g van de v r a a g s t u k k e n .

I n d i e n b i j de u i t w e r k i n g bepaalde v e r o n d e r s t e l l i n g e n worden gedaan dan moeten deze d u i d e l i j k worden v e r m e l d .

Geef waar n o d i g een beknOpt kommentaar en g e e f d u i d e l i j k aan waarom een

bepaalde v e r o n d e r s t e l l i n g t o e l a a t b a a r i s .

T i j d e n s h e t tentamen mag een v o o r a f b e s c h i k b a a r g e s t e l d f o r m u l e - b l a d worden g e r a a d p l e e g d , waarop ook ei;:?;en a a n t e k e n i n g e n inogen voorkomen.

N.B. Voor i e d e r v r a a g s t u k d i e n t een APART d u b b e l v e l p a p i e r t e worden g e b r u i k t , v o o r z i e n van NAAM en stamnummer.

~ 1 ~

V r a a g s t u k 1

Een l a n g g e r e k t r e s e r v o i r v o o r h e t o p s l a a n van z o e t w a t e r s t a a t d.m.v. een i n l a a t - w e r k i n v e r b i n d i n g met een b e n e d e n r i v i e r .

beneden-r i v i e beneden-r A TALUD ' 1 1 1 1 : 4 40m X B f . , \ s loom C X

'

TALUD 1 _{1 1 1} 1 : M- 40m loom, 3000 m De l e n g t e van h e t p r i s m a t i s c h e r e s e r v o i r i s 3000 m, t e r w i j l h e t dwars-p r o f i e l de vorm h e e f t van een t r a dwars-p e z i u m ( z i e o n d e r s t a a n d e f i g u u r ) . N.B. De f i g u r e n z i j n n i e t op s c h a a l g e t e k e n d . + M-.OO m d w a r s p r o f i e l r e s e r v o i r 40 m 100 m De bodem v a n h e t r e s e r v o i r i s h o r i z o n t a a l en l i g t op een n i v e a u N.A.P. - 6.00 m.

Het i n l a a t - w e r k b e s t a a t u i t een a f s l u i t b a r e l e i d i n g met een l e n g t e ^ van 100 m en een r e c h t h o e k i g d w a r s p r o f i e l ( k o k e r ) v a n 10 x 4 = 40 m . / ^

I n het v o l g e n d e w o r d t e r van u i t gegaan d a t h e t i n l a a t - w e r k g e h e e l i s geopend en dat de l e i d i n g s t e e d s onder w a t e r l i g t .

Door de dubbeldaagse g e t i j - b e w e g i n g i n de b e n e d e n r i v i e r z a l z i c h i n h e t systeem i n l a a t w e r k - r e s e r v o i r een l a n g e - g o l f v e r s c h i j n s e l v o o r d o e n . l . a . Gegeven i s d a t de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d v a n een ( e v e n t u e l e ) d r u k -g o l f i n de l e i d i n -g - k o k e r -g e l i j k i s aan c = 1000 m/s. I s h e t v o l g e n s U g e o o r l o o f d om de l e i d i n g b i j de beschouwde g e t i j -beweging ^'STAR" t e v e r o n d e r s t e l l e n ? M o t i v e e r uw a n t w o o r d .

~ 2 -l . b . L e i d t u i t de c o n t i n u i t e i t s ^ v e r g e -l i j k i n g v o o r h e t r e s e r v o i r een u i t d r u k k i n g v o o r Q ( s , t ) a f , w a a r i n n a a s t de o n a f h a n k e l i j k v a r i a b e l e n s en t a l l e e n h e t n i v e a u van de v j a t e r s p i e g e l t . o . v . de bodem h voorkomt. I . e . L e i d t een u i t d r u k k i n g a f v o o r h e t d e b i e t b i j B : Q g ( t ) .

Het v e r l o o p van de w a t e r s p i e g e l i n p u n t C i s door m e t i n g bekend en i s

V7eergegeven op de b i j l a g e : h^-Xt), u i t g e z e t t . o . v . N.A.P. ï l . d . Bereken v o o r h e t t i j d s t i p t - 5 u u r h e t v e r v a l h^ - h g , d a t z i c h v o o r d o e t o v e r h e t i n l a a t v / e r k , i n d i e n : - de i n t r e e - v e r l i e z e n en de u i t t r e e - v e r l i e z e n tesamen g e l i j k z i j n aan „ 2g h

— de vv-eerstandsterm zovrel a l s de t r a a g h e i d s t e r m vrordt berekend. 1

Voor de coëff. van de Chézy kan 50 m^/s worden aangehouden. I . e . Geef met i n achtname van de onder a t/m d. gevonden r e s u l t a t e n een d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g , ^ waarmee de v o o r t p l a n t i n g v a n de g e t i j

-g o l f i n h e t beschouv/de systeem i n voldoende mate kan worden -geschreven.

I B De l a a t s t e v r a a g van d i t v r a a g s t u k 1 s t a a t g e h e e l op z i c h z e l f .

H00GV1ATER60LVEN p l a n t e n z i c h v o o r t i n b o v e n r i v i e r e n , h e t -geen a a n l e i d i n g g e e f t t o t s p e c i a l e l a n g e - g o l f p r o b l e m e n .

V/elke van de ondei'staande v e r o n d e r s t e l l i n g e n ( i s ) z i j n b i j d a t b i j z o n d e r e t y p e l a n g e g o l v e n t o e l a a t b a a r ?

N.B. Geef de v e r a n t w o o r d e v e r o n d e r s t e l l i n g (-en) aan door deze l e t t e r l i j k over t e nemen ( t . b . v , h e t c o r r i g e r e n ) .

de stroomvoerende b r e e d t e i s g e l i j k aan de bergende b r e e d t e ; de v e r s n e l l i n g s - t e r m e n i n de s ~ r i c h t i n g z i j n v e r w a a r l o o s b a a r ; de w e e r s t a n d s t e r m i s v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n ; de b o d e m h e l l i n g I^,^ i s ongeveer n u l ; de v e r t i k a l e v e r s n e l l i n g e n i n een v l a k l o o d r e c h t op de s - r i c h t i n g mogen worden v e r w a a r l o o s d ; de b e r g i n g mag worden v e r v i a a r l o o s d .

3

-V r a a g s t u k 2

I n een brede open l e i d i n g ( b a k p r o f i e l , z i e f i g u u r ) s t r o o m t w a t e r met een gemiddelde s n e l h e i d v = 0,60 m/s i n de aangegeven r i c h t i n g .

Op een o n d e r l i n g a f s t a n d L = 4000 m b e v i n d e n z i c h twee stuwen, d i e on-a f h on-a n k e l i j k von-an e l k on-a on-a r kunnen worden geopend en g e s l o t e n .

TL

X

<

L = HOOO 11 _m B o v e n a a n z i c h t De v j a t e r d i e p t e t . p . v . stuw I I i s h = 10.00 m.

2.1. Gevraagd vrordt e e r s t g l o b a a l t e b e p a l e n v;at b i j permanente s t r o m i n g h e t v e r v a l t . g . v . van de w e e r s t a n d z a l z i j n , i n d i e n v o o r de^coëff73-an de Ch ëzy C = 63~mï7s w o r d t aangehouden.

De i n v l o e d van de w e e r s t a n d mag v e r d e r i n d i t v r a a g s t u k g e h e e l b u i t e n be-schouwing b l i j v e n en de bodem kan h o r i z o n t a a l vrorden v e r o n d e r s t e l d . Voor h e t v o l g e n d e w o r d t e e r s t v e r o n d e r s t e l d :

hoewel d i t n i e t g e h e e l o v e r e e n s t e m t met de w e r k e l i j k h e i d .

Gevraagd w o r d t de o n d e r d e l e n 2.2 en 2.3 t e beantwoorden door de o p l o s s i n g s m e -t h o d e ' ' I n -t e g r a -t i e m.b.v. K a r a k -t e r i s -t i e k e n ' ' i n d e -t a i l -t o e -t e passen. D a a r -t o e w o r d t een d u b b e l v e l m i l l i m e t e r p a p i e r u i t g e r e i k t .

G e a d v i s e e r d vrorden de v o l g e n d e s c h a l e n :

t i j d : 100 s = 1 cm; s n e l h e d e n 1 m/s = 5 cm; l e n g t e lOOOm ~ 2 cm; h o o g t e : 0.10 m = 1 cm.

Op een b e p a a l d t i j d s t i p t - t ^ w o r d t de stuw i n hel: punt I PLOTSELING v o l l e d i g , g e s l o t e n .

2.2. Geef o v e r h e t vak I - I I h e t v e r l o o p van de w a t e r s t a n d en van de s n e l h e i d op h e t t i j d s t i p

t = t + 200 seconden, o

14

-Op h e t onder 2 . 2 . genoemde t i j d s t i p t = t ^ + 2 0 0 s w o r d t ook de stuw b i j I I i n een v e r w a a r l o o s b a a r k o r t e t i j d v o l l e d i g g e s l o t e n .

2 . 3 . Geef h e t v e r l o o p van de waterötand en van de s n e l h e i d over h e t vak I - I I op de v o l g e n d e t i j d s t i p p e n : t = I Q + 3 0 0 seconden èn t = I Q + 5 0 0 seconden 2 . 1 . Geef i n e n k e l e k o r t e z i n n e n aan w a t e r z a l v e r a n d e r e n i n d i e n n i e t g e s t e l d wordt — , , , v ^ ^ \ / g h V r a a g s t u k 3.

Tv/ee havens s t a a n i n open v e r b i n d i n g met een d i e p e z e e , waarvan de d i e p t e d = 1 0 . 0 0 m.

De b e i d e a f g e s l o t e n bekkens hebben een p r i s m a t i s c h d w a r s p r o f i e l met v e r t i k a l e wanden ( b = b ) , t e r w i j l v e r d e r gegeven i s : s = 2 0 0 0 m = 1 0 0 0 m zee d = hO.OO m 1y. 3 x d^ = 1 1 . 1 0 m d^ = 1 0 . 0 0 m b^ = b^ = 1 0 0 m ( z i e f i g u u r ) > i —— l ^ r - ^ gem. d i e p t e d -4^ I n d i t v r a a g s t u k mag s t e e d s v e r o n d e r s t e l d worden d a t de w a t e r s t a n d e n i n de p u n t e n en (T) op i e d e r t i j d s t i p g e l i j k z i j n aan e l k a a r .

Op de zee doen z i c h v e r s c h i l l e n d e v a r i a t i e s van de w a t e r s t a n d v o o r , waarvan i n d i t v r a a g s t u k s l e c h t s eên bepaalde PERIODIEKE v a r i a t i e met een f r e k w e n t i e v a n :

UJ ~

2000

( r a d i a l e n p e r seconde)

- 5 ~ De randvoorwaarde i s de p u n t e n (T) èn (5) i s ; h ( t ) = h„(t) - R cos w t , w a a r i n E = o.10 m 1 3 z z 27/' t e r w i j l = ( z i e boven) . I n de b e i d e havens w o r d t a c h t e r i n t . p . v . r e s p . p u n t (2) en punt ( H ) de w a t e r s t a n d k o n t l n u g e r e g i s t r e e r d . U i t de r e g i s t r a t i e s b l i j k t d a t de v a r i a t i e s van de v r a t e r s p i e g e l i n h e t p u n t (4) s t e r k e r i s dan d i e i n h e t p u n t I

Voor een g l o b a l e a n a l y s e van de r e g i s t r a t i e s zou men i n e e r s t e i n s t a n t i e de i n -v l o e d -van de w e e r s t a n d g e h e e l b u i t e n beschouwing kunnen l a t e n

3.1. Bepaal u i t g a a n d e van de v e r o n d e r s t e l l i n g Weerstand = NUL de a m p l i t u d e van de f u n k t i e s

h 2 ( t ) en h ^ ^ ( t ) .

3.2. Bepaal v e r v o l g e n s de v e r h o u d i n g t u s s e n de onder 3.1. genoemde a m p l i t u d e n en g e e f h e t f a s e - v e r s c h i l t u s s e n h ^ C t ) en h j ^ ( t ) aan.

3.3. Geef een k o r t e v e r k l a r i n g v o o r de onder 3.2. gevonden numerieke waarden.

I n d i e n de i n v l o e d van de w e e r s t a n d NIET ( g e h e e l ) b u i t e n beschouwing b l i j f t , k r i j g t men met minder eenvoudige u i t d r u k k i n g e n t e maken.

3.4. Geef een a n a l y t i s c h e u i t d r u k k i n g , w a a r u i t i n h e t onder B b e d o e l d e ^ g e v a l de v e r h o u d i n g t u s s e n de a m p l i t u d e n van de f u n k t i e s ^2^^'^ ®" d i r e k t kan worden b e p a a l d .

3.5. Geef i n e n k e l e k o r t e z i n n e n aan op welke w i j z e de i n v l o e d van de w e e r s t a n d kan vrorden v e r d i s c o n t e e r d .

3.6. Vat h e t bekken t u s s e n de p u n t e n (s) en ( 4 ) o p a l s eên vak en g e e f een e e r s t e b e n a d e r i n g v o o r de f a k t o r k i n de w e e r s t a n d s t e r m .

3.7. Toon aan d a t h e t v e r d i s c o n t e r e n van de w e e r s t a n d t o t g e v o l g h e e f t d a t de p e r i o d i e k e g o l f gedempt w o r d t .

A WD.

'^m

MaAcgvoe p ? 1 o e i B t o fïm clian i c a ( J ) i (.f ' r p , ,11(1 1 ' 1 i ! 11 U a , G e o o r l o o f d , omdal l o o p t i j d C.^ « 0 , 1 s ï^lêr k l e i a i s

1000

t.o.v» p e r i o d e T«

44700

s v a n de besjohouwde g o l f ^ , Q ( s , t ) j ^:JlO0 + 8h) ^ 4 d B . K i e s s-0 i n G, A . SIS 120 . ( A c h t e r a f t e k o n t r i ) S t e l . y l 0 . omdat de v s r h o u d i x i g

Omdat dan h.konstao-t i s i n de B - " . r i o h t i n g , v i n d t men s

Q(0ï.t)« -(b„ + 8h) _{r t} d h leOs U i t h e t v o o r g a a n d e v o l g t dirökt v o o r L 3 C i g ( t ) - ( 1 0 0 4 8h) g L * 1.»d« V o o r b.v* de t i j d s t i p p e n t« 4 'o^^r , t=. 5 «^^7 en 6 rair k u n n e n de w a a r d e n v a n Qg('fc) fior-den b e p a a l d s f h i f l meter-s t * o ^ v ^ de bodem t = 4 XMlf t =:

5

u u r t ~

6

u u r 7.14 6 5 6 O ai), d t i n

"0,1

!>/3fe00

"-Oj2t^/3oOO i ^^Oj 31/3600 1 5 3 + 19*3 + 3 6 , 2 + 39^5 De geM'onden waarden v o o r Q. imnnen w o r d a n u i t g e z e t op de b i j l a g e V8,n de opgaveue "

üit h e t ^ g e r l o o p ifan t k ( t ) k a n op h e t t i j d s t i p t « 5 u u r een waarde

(ii)

t=5 uD/r

39,5

-

19,3

7200

+

2ï8

10' ,~3

_.v=-t

De l e n g t e v a n d-e k o k e r i s 1 * 100 De b i j d r a g e v a n de t r a a g h o i d s t e r m aan h e t - v e r v a l XB S 2,8 1ü"^ 10üj5j - O J 10""-* m 2 I n t r e e - en v d t t r e e - v e r l i e z - e n t ^_ J_|2^ („^jj..) Dö -weeTRi^nndMtcirm g o e f t een b i j d r a g e s / H I 3 4 3 m | ^ f, ^ . ....

2

. X O j 0 5 an 1 0 0

_{0,023 rn}