W aldem ar K A C Z M A R C Z Y K A kadem ia G ó rn iczo -H u tn icza
M O D E L E P L C P L A N O W A N I A W I E L K O Ś C I I S Z E R E G O W A N I A P A R T I I Z I D E N T Y C Z N Y M I L I N I A M I R Ó W N O L E G Ł Y M I
S tr e s z c z e n i e . P ra c a opisuje m odele p ro g ram o w an ia całkow itoliczbow ego m ieszanego z a d a ń p lan o w an ia wielkości i szeregow ania p a r tii w ielu p ro d u k tó w n a identy czn y ch liniach p ro d u k c y jn y c h o ograniczonej w y dajn ości. D la p rz y p a d k u , gdy w jed n y m okresie m ogą być p ro d u k o w an e dw a p ro d u k ty , zap ro p o n o w an y z o sta ł now y m odel ze zm iennym i całkow itoliczbow ym i, opi
su jący m i liczbę m aszy n p rz ezb ro jo n y c h do w ykonyw ania d aneg o w yrobu.
M I P M O D E L S F O R L O T - S I Z I N G A N D S C H E D U L I N G W I T H I D E N T I C A L P A R A L L E L L I N E S
S u m m a r y . T h is p a p e r addresses m ix ed integer p ro g ram m in g m odels of th e lot-sizin g and, scheduling pro b lem s for several p ro d u c ts on id en tical p arallel lines w ith lim ited capacity. F or th e case w ith tw o p ro d u c ts p ro d u c e d in single p e rio d h a s b een p ro p o sed new m odel w ith in teg er variab les describ ing n u m b e r of m achines se t u p to pro cess som e p ro d u c t.
1. W p r o w a d z e n i e
N iniejsza p ra c a opisuje sposoby m odelow ania z a d a ń planow ania wielkości i szeregowania partii z a p o m o cą p ro gram ow ania całkow itoliczbow ego m ieszanego.
O m aw iane t u m o d ele z a d a ń z w ielom a p ro d u k ta m i, rów noległym i lin ia m i p ro d u k cyjnym i z w ielom a sta d ia m i, m ogą w p rzyszłości ud oskonalić lub w ręcz z a s tą p ić p ro ced u ry obliczeniow e M R P II (np. D rexl i K im m s [3]). W św ietle d y n am iczn e
go rozw oju te c h n ik p ro g ram o w an ia m ate m a ty c z n e g o p e rsp ek ty w a t a nie je s t ta k odległa.
C elem tej p ra c y nie je s t je d n a k p rz ed staw ien ie bo gateg o p rz eg ląd u lite
ra tu r y n a te n te m a t, lecz w yjaśnienie p odstaw o w y ch różn ic p om ięd zy m odelam i.
P o n a d to zap ro p o n o w an y zo stan ie now y m odel um ożliw dający w ykonyw anie dw óch różnych p a r tii w je d n y m okresie, k o rz y sta ją c y ze zm iennych calkow itoliczbow ych a nie b in arn y c h . D zięki te m u m a on ciaśniejsze relak sacje liniowce i je s t zn acznie łatw iejszy do rozw iązan ia.
24 W . K aczm arczy k
M otyw ację do n a p isa n ia tego a rty k u ł d a ła p ra c a n a d m e to d a m i w yzn acza
nia głów nego p la n u pro d u k cji (ang. M aster P ro d u c tio n Schedule, M P S ) w ła ń c u chu do staw , w k tó ry m w ytw arzan e są telefony kom órkowe M otoroli. S k ła d a się on z kilku fab ry k m o n tażu elektronicznego (ang. Surface M o un t Technology, SM T ) oraz k ilk u centrów d y stry b u cy jn y ch , gdzie przeprow ad za się o sta te c z n y m o n ta ż [5].
W fabrykach S M T p ra cu je zazw yczaj wiele rów noległych linii p ro d u k c y jn y c h , a p rz e z b ro je n ia są b ard zo czasochłonne i kosztow ne. D ane w y k o rz y stan e do obliczeń w niniejszej p ra c y z o sta ły o p a rte n a inform acjach zebranych w tra k c ie realizacji teg o p ro je k tu .
M odelom P L C d la z a d a ń planowania wielkości i szeregowania partii pośw ię
cono ju ż sporo uwagi. D rexl i K im m s [3] przedstaw ili szeroki p rz eg ląd ta k ic h m o de
li, ale za d an io m z rów noległym i liniam i nie poświęcili zb yt wiele uw agi. T ak i m odel był ju ż je d n a k p rz ed staw ian y we wcześniejszych p ra cac h d la linii ró żniący ch się w y dajnością, np. K im m sa i D re x la [7] czy S alom ona i innych [9]. W y k o rzy sty w an e są w nich zm ienne b in a rn e do opisu przezb ro jeń poszczególnych linii. B elvaux a n d W olsay [1] om ówili ró żn o ro d n e sposoby m odelow ania z a d ań p lanow ania wielkości i szeregowania partii, w ty m ta k ż e z a d ań z różnym i rów noległym i lin iam i, a ta k ż e sposoby d o d aw an ia nowych ciaśniejszych ograniczeń. K an g i in ni [6] za p ro p o n o w a
li niekonw encjonalny m odel i alg o ry tm d la p rz y p a d k u z m aszy n a m i rów noległym i i k o sztam i p rz ezb ro jeń zależnym i o d kolejności p a rtii. M ejT [8] p rz e d sta w ił m odel ze zm iennym i b in arn y m i oraz alg o ry tm sym ulow anego w yżarzan ia.
D rexl i H aase [2] przedstaw ili m odel z liniam i rów noległym i, w k tó ry m każdy z p ro d u k tó w je s t n a s ta łe p rzy p isan y do jednej m aszyny. B y ły b y to więc w istocie kilka niezależnych za d ań , gdyby nie fa k t, że m odel te n u w zględn ia p o p y t zależny, tz n . je d n e p ro d u k ty są częściam i innych p ro d u k tó w .
2 . M o d e l e z p o j e d y n c z ą m a s z y n ą
W klasie z a d a ń planow ania wielkości i szeregowania partii w y ró ż n ia się tzw . big (tim e ) bucket models, d o p uszczające wiele przezb ro jeń w p o je d y n c z y m okresie planow ania, oraz smali (tim e) bucket models, dopuszczające ty lk o je d n o . W tej p ra c y opisyw ane są w yłącznie za d an ia z tej drugiej grupy. W m o d elac h ty c h rze
czyw iste okresy p lan isty czn e s ą dzielone n a szereg fikcyjnych, m n iejszy ch okresów', ab y u ła tw ić znalezienie jakiegoś dobrego czy wręcz dopuszczalnego ro zw iązania.
Im więcej okresowy ty m lepsze rozw iązanie m ożna znaleźć, ale ty m tru d n ie j ta k ie za d an ie rozw iązać.
M odele z jed n y m p rzezbro jeniem n a okres dzielą się n a d w a ro d z a je . W pierw szym p rz ezb ro je n ie m aszyny m a m iejsce n a p o c z ą tk u okresu, a d op uszczal
ne je s t w ykonyw anie tylko jednego wyrobu w okresie. Jeżeli nie m a konieczności p ełn eg o w y k o rz y sta n ia zdolności produ kcyjnych, to otrzy m u jem y tzwu C o n tin u ons S etup Lot-sizing Problem (C S L P ). R ó w n an ia (1) p rz e d s ta w ia ją w łaśn ie ta k i m0ŁleL min £ E (s j z j t + h j l j t ) (la)
j e M t e T
T a b e la 1 P a ra m e try i zm ienne w spólne d la w szystkich m odelP
T = ( 1 , T ) - zbiór okresów, Ać — ( 1 , . . . , n ) - zbiór p ro d u k tó w ,
L - dłu g o ść okresu,
L j ^ L - czas p rz e z b ro je n ia p rzed p ro d u k te m j ,
5j = L j / L - u ła m e k okresu, ja k i trz e b a pośw ięcić n a p rzezb ro jen ie p rz ed p ro d u k te m j ,
Sj - koszt p rz ezb ro je n ia p rz ed p ro d u k te m j , Pj - czas w ykonyw ania p ro d u k tu j ,
C j = L / p j - zdolność p ro d u k c y jn a d la p ro d u k tu j ,
h j - koszt m ag azy n o w an ia p o rcji C j p ro d u k tu j przez jed en okres, djt - p o p y t n a p ro d u k t j w okresie t jak o w ielokrotność C j,
Ij t - za p as p ro d u k tu j n a koniec okresu t jak o w ielokrotność C j, IjO - p o czątk o w y za p as p ro d u k tu j jak o w ielokrotność C j,
Xjt - wielkość p ro d u k c ji p ro d u k tu j w okresie i jak o w ielokrotność Cj.
f P o z o sta łe zm ienne, w ty m opisujące p rz ezb ro je n ia , m a ją ró ż n ą p o s ta ć w róż
nych m od elach i d lateg o z o sta ły opisane ob o k o dpow iednich m odeli.
T a b e la 2 Z m ienne decyzyjne d la m odeli z je d n ą m aszy n ą
yj( - jeżeli m aszy n a w okresie t je s t gotow a do p ro d u k c ji p ro d u k tu j , UjO - początk o w y s ta n m aszyny,
Zjt - zm ie n n a b in a rn a ró w n a 1, jeżeli m aszy n a w okresie t je s t p rz e z b ra ja n a do p ro d u k c ji p ro d u k tu j , p o d czas gdy p o p rzedn iego d n ia w yk on yw ała jak iś in n y p ro d u k t.
I j t —i T %jt djt — I j t , j € t f , t e T , ( ib )
%jt T SjZjt '{¡jt, j £ M , t G T , (lc )
§ II H-* t e T , ( ld )
Ujt Ujt—l ^ zjti j € N , t G T , (le )
«ir* V o j e M , t ę. T , (If)
Xjt € [0,1], i GAĆ, t G T , (Ig )
Ujti zj t £ {0 , 1}, j GAĆ, t e r . ( lh ) O g raniczen ie ( lb ) z a p ew n ia p o p raw n y b ila n s p ro d u k cji, zapasów i p o p y tu . O g ra
niczenie ( lc ) nie d o pu szcza do n ad m iern eg o o b ciąż an ia m aszyny. O graniczenie ( ld ) zap ew n ia, że s ta n m aszyny je s t jednoznaczny, a ograniczenie (le ) sp rzęga zm ien n e opisu jące s ta n m aszyny y jt ze zm ien n y m i opisującym i jego zm ian y z j t . N ależy zw rócić uwagę, że zm iennych Zjt nie trz e b a deklarow ać jak o zm ienn ych bi
26 W . K aczm arczyk
narn y ch , gdyż ograniczone są one od d o łu w y rażen iem b in arn y m , więc i ta k b ę d ą m iały w a rto ść 0 lu b 1.
Jeżeli przyjm iem y, że w każdym okresie zdolność produkcyjna m u si być m a k sym alnie w ykorzystyw ana (ang. all or n o th in g ), a ta k ż e p om iniem y czasy prze- zb ro je ń , to z o g raniczenia ( lc ) w ynika, że x j t — y j t ■ Z m ienn a x j t m oże więc w c a ły m m o d elu zo stać z a s tą p io n a przez y j t , a w sp o m n ian e ograniczenie s ta je się zbędne. W te n sp osób o trzy m u jem y tzw . D iscrete Lot-sizing and Scheduling P r o blem (D L S P ) opisan y przez F le isch m an a [4]. M a on ciekawe w łasności u ła tw ia ją c e b u d ow anie efektyw nych algorytm ów .
Jeżeli dopuszczalne je s t w ykonyw anie dwóch wyrobów w okresie, jed n eg o p rz ed a drugiego po p rz ezb ro je n iu , to o trz y m u je m y tzw . Proportional Lot-sizing and Scheduling Problem (P L S P ) z a p ro p o n o w an y przez D rex la a n d H aasego [2], M odel te n m a tę przew agę n a d C SLP, że um o żliw ia znalezienie d o b ry c h rozw iązań p rzy m niejszej liczbie okresów.
A by p rz ek ształcić m odel C S L P w P L S P , trz e b a og raniczenie (lc ) z a stą p ić o graniczeniam i (2). Dzięki (2a) p ro d u k c ja j e s t m ożliw a ta k ż e w okresie, w k tó ry m n a stę p u je p rz ezb ro je n ie do w ykon yw ania innego p ro d u k tu , b ezp o śred n io przed przezbrojeniem . N a to m ia st ograniczenie (2b) zap ew n ia, że zdolność p ro d u k c y jn a nie zo stan ie p rzek ro czo n a ta k ż e w tedy, g d y w je d n y m okresie w ykonyw ane są dw a p ro d u k ty .
W olsay i B elvaux [1] p ro p o n u ją nieco in n y sp osó b opisu teg o zad an ia, w k tó ry m zm ienn e dw óch w yrobów m ogą rów nocześnie przyjm ow ać w arto ść 1,
t-j- ^ ^
3 . M o d e l e z r ó w n o l e g ły m i li n i a m i
B ard zo isto tn e z p rak ty c zn eg o p u n k tu w idzenia są m od ele z rów noległy
m i liniam i z w ielom a sta d ia m i p ro d u k c y jn y m i. M ożna je bow iem w yk orzystać do u sp ra w n ien ia M R P II [3]. U w zględnienie w ielu stad ió w w m o d elach p lan o w an ia w ielkości p a rtii spro w adza się n a ogól do d o d a n ia o g raniczeń za p ew n iając y ch , że nie zo stan ie p rzek ro czo n a ich zdolność p ro d u k c y jn a . J e s t to dość p ro ste rozszerze
nie w cześniejszych m odeli ([3], [7]). N ie u w zg lęd n ia się n a to m ia s t kolejności ty c h stadiów . M ożn a ta k ie m odele poró w n ać do w ielow ym iarow ych z a d a ń pakow ania.
U w zględnienie rów noległych linii je s t ju ż znaczn ie tru d n iejsze . D otychczas z n a n e m odele w y k o rz y stu ją zm ienne b in a rn e od dzieln e d la każdej z linii, przez co są b a rd z o tru d n e do rozw iązania. Ich sto so w an ie je s t uspraw iedliw ione, gdy linie m a ją różną wydajność. W n a stę p n y m p o d ro z d ziale p rzed staw io n y je s t w łaśnie ta k i m odel. Dalej p rz ed staw io n y je s t m o d el w}'-korzystujący zm ienn e całkow ite do o pisu liczby p rz ezb ro jo n y c h id en tyc zn ych linii.
Xjt < U jt-i + y j t, j e -A7, t e T . (2a) 5 3 (x j t &jzjt ) ^ u (2b)
je/V
t e T .
T ab e la 3 D odatkow e p a r a m e try d la z a d a ń z rów noległym i liniam i
m - liczb a linii pro d u k cy jn y ch ,
C = { 1 , . . . , m } - zbiór linii p roduk cy jnych, M - zbiór stad ió w w liniach p rodu kcyjnych, Pij - czas w ykonyw ania p ro d u k tu j w sta d iu m i.
3.1. M odele d la dow olnych linii rów noległych
T ab e la 4 Z m ienne decyzyjne d la z a d a n ia z dow olnym i lin iam i rów noległym i
x ijt - wielkość p ro d u k cji p ro d u k tu j n a linii l w okresie t ,
yijt - zm ien n a b in a rn a ró w n a 1, jeżeli lin ia l w okresie t je s t gotow a do w ykony
w a n ia p ro d u k tu j ,
zijt - zm ien n a b in a rn a ró w n a 1, jeżeli lin ia l w okresie t je s t p rz e z b ra ja n a do p ro d u k cji p ro d u k tu j , p o d czas gdy p o p rzedn iego d n ia w yko ny w ała jak iś in n y p ro d u k t.
R ozszerzenie jednom aszynow ego m odelu P L S P p rz ed staw io n e n p. w p ra c y K im m sa i D rex la [7] p oleg a n a oddzielnym o p isan iu poszczególnych m aszy n ta k ja k w m o d elu z je d n ą m aszy n ą , a ta k ż e sum ow aniu ich p rz e z b ro je ó w funkcji celu (3a) oraz p ro d u k cji W ograniczeniach bilansu jący ch p ro d u k c ję , za p asy i p o p y t (3b).
m in E E Z Z jeJ^f te T leC I j t —i T E -Pji ~~ djt = Ijti
lec
z ljt + h j l j t ) j e AĆ, t g r ,
(3a) (3b) x ijt + S jzijt < y i j t - 1 + yijt, j e-Ać, t g T , l G £ , (3c) E fe ljt + 3jz ljt) ^ h
j e N
i e M . t g T , l G £ , (3d)
E y i j t = jeAf
t e T , l G £ , (3e)
-»-i'o*bTV/
7•«-»
l$5 j € Ać, t G T , l G £ , (3f)
o
A\ j 6 M , t G T , l G £ , (3g)
Xljt € [Oj !■]) j e M , t G T , Z G £ , (3h) y iju zijt £ {0 ) j e A f, t G T , l G £ . (3i)
4 . M o d e l e d l a i d e n t y c z n y c h lin ii r ó w n o le g ły c h
A by uprościć m odel (3), n ależy w ykorzystać fa k t, że d la linii identycznych nie je s t w ażne, k tó re z n ich w yk o n u ją p a rtie d anego p ro d u k tu , ale ile z nich.
28 W . K aczm arczyk
T a b e la 5 Zm ienne decyzyjne d la m odeli z identycznym i lin iam i rów noległym i yjt - liczba linii gotow ych w okresie t do w ykonyw ania p ro d u k tu j , Zjt - liczba linii p rzezb ro jo n y ch w okresie t do w yko ny w an ia p ro d u k tu j ,
k tó re w p o p rzed n im okresie w ykonyw ały ja k iś in n y p ro d u k t.
Poniżej p rzed staw io n e są dw a m odele. P ierw szy z nich je s t p ro sty m rozsze
rzeniem C SL P (m odel (1)), tz n . dop uszcza w ykonyw anie tylko jednego p ro d u k tu w każdym okresie. Z apis tego m odelu je s t niem al ta k i sam ja k m od elu d la po jedynczej m aszyny. In n a je s t je d n a k in te rp re ta c ja zm ien ny ch decyzyjnych, p a trz ta b . 5, inne też m ogą one przyjm ow ać w artości. S tą d w m iejsce o g ran iczen ia (Id ) w staw ić trz e b a ograniczenie (4a), a zm ienne p rz e z b ro je n ia nie są ju ż b in arn e , co d ek laru je (4b).
E
Vjt = rn, t e T (4a)je.
yj t , zj t 6 { 0 , . . . , m } , j € M , t e T . (4b) D użo w iększe m ożliwości m a je d n a k m odel zezw alający n a w ykonyw anie dwóch p ro d u k tó w w jed n y m okresie, jednego przed , a drugiego po p rz ezb ro je n iu . Dzięki te m u je s t on elastyczniejszy, tj. um ożliw ia znalezienie lepszych rozw iązań p rz y m niejszej liczbie okresów planistycznych.
P rzed staw io n y poniżej ta k i m odel je s t rozw inięciem dw óch ró żny ch m ode
li. Z jed n ej stro n y w ykorzystuje on zm ienne i og ran iczen ia p o d o b n e ja k w C S L P (m odel (1)), z drugiej stro n y z a p o m o cą dodatk o w y ch zm iennych ciąg ły ch i d o datkow ych ograniczeń kopiuje logikę m odelu P L S P (2) zap ro po no w an ego przez D rex la i H aasego [2].
T a b e la 6 D odatkow e zm ienne decyzyjne d la nowego m o delu
Wjt - liczba linii, k tó re w okresie i — 1 w ykonyw ały p ro d u k t j i z o sta ły w okresie t przezb ro jo n e do w ykonyw ania innego p ro d u k tu ,
bjt - czas p ra cy linii przed ich przezbrojeniem w okresie t zarezerw ow any do w y
konyw ania p ro d u k tu j , ty ch linii, k tó re w p o p rz ed n im okresie w ykonyw ały p ro d u k t j ,
a,jt - czas p ra cy linii po ich przezbrojeniu w okresie t, zarezerw ow any ju ż do w y
konyw ania p ro d u k tu j . ty ch linii, k tó re w p o p rz ed n im okresie w ykonyw ały inny p ro d u k t.
m in E E i sj zj t + h j l j t ) j e \ r teT
(5a)
I j t —i T %jt djt — I jt, 3 G Ań, t G T , (5b) Z jt T öjZjt ^ Ujt ~ Zjt T O-jt T bjti 3 G Ar, t e T , i e M (5c)
E y jt = " b jeJS
t e T (5d)
Vjt ~ Ujt—i — zjt ~~ wjtt 3 G Ań, t e T (5e)
E (ajt T bjt) = E zjt>
j e .Ać jeAf
t e T (5f)
bj * Zjt ajt 'a Z jt, j 'G Ań, t e T (5g)
bjt < Wjt { 1 - 5), j g Ań, t e T (5h)
I j t ^ o, 3 € Ań, t e T (5i)
ajt) bjt, Zjt € [0 ,m ], j e Ań, t e T (5j)
y j t ,W jt,Z jt G { 0 , . . . , m } , 3 G Ań, t e T . (5k) W ograniczeniu (5e) w yznaczane są p rz y ro st z jt oraz zm niejszenie Wjt liczby linii gotow ych do w ykonyw ania w yrobu j . P o prawnej s tro n ie o g ran iczen ia (5c) liczba linii gotow ych w okresie t do w ykonyw ania w y ro b u j n a jp ie rw p o m n iejszan a je st o liczbę linii, k tó re dopiero w ty m okresie z o s ta ły p rzezb ro jo n e, a z a te m nie m ogą być w»- p e łn i w ykorzystane d la w yro b u j . N a stę p n ie d o d aw an y je s t czas ajt zarezerw ow any d la w yrobu j ju ż po przezb ro jen iu .
Jeżeli żad n e linie nie s ą p rz e z b ra ja n e d la w y ro b u j , to m ogą być ta k ie , k tó re w ykonyw ały p ro d u k t j w p o p rz ed n im okresie t — l i z o sta ły p rz ezb ro jo n e w- okre
sie t d la innego w yrobu. M ogą one jeszcze p rz ed ich p rz ezb ro je n ie m w ykonyw ać p ro d u k t j . T en czas p ra c y linii re p rez en tu je zm ie n n a bjt.
D opuszczalne w artości ajt oraz bjt zdefiniow ane s ą w o g ran iczen iach (5f)- (5h). N ależy zaznaczyć, że czas p rz ezb ro je n ia je s t zaliczan y do czasu w yko ny w ania nowego w yrobu ftp.
5. E k s p e r y m e n t y o b lic z e n io w e
Do p rz etesto w an ia nowego m odelu w y k o rzy stan e z o sta ły rzeczyw iste d an e zeb ran e w z a k ła d ach m o n tażu elektronicznego (ang. S urface M o u n t Technology, S M T ). W z a k ła d a c h ty ch z uw agi n a m a łą liczbę p ro d u k tó w , d u ż ą liczbę linii oraz d ługie czasy p rz ezb ro je ń m o żn a w ykonać co n ajw y żej jed n o p rz ezb ro je n ie danej linii dziennie. W ta k im p rz y p a d k u bez tw o rzen ia fikcyjnych okresów- m o żna w p ro st zastosow ać ta k ie m odele, ja k C S L P i P L S P . W o d różnieniu od przykładów ' z fikcyjnym i okresam i p o p y t p o ja w ia się tu ta j we w szystkich okresach a nie tylko w okresie o d p o w iad a ją cy m końcow i okresu rzeczyw istego.
Z budow ane z o sta ły dw a zestaw}' d an y ch - pierw szy z 3 p ro d u k ta m i oraz 4 liniam i, a d ru g i z 5 p ro d u k ta m i oraz 7 liniam i. W obu p rz y p ad k ac h uw zględnio
no dw a s ta d ia p ro d u k c y jn e lim itu ją c e zdohiość p ro d u k c y jn ą . W obu p rzy p ad k ac h d o stęp n e b y ły d a n e o popycie za 30 dni. D la o b u zestawww rozw iązano p o 4 p rzy k ła d y kolejno d la pierw szych 15, 20, 25 oraz 30 dn i za p o m o cą trz e c h m odeli:
30 W . K aczm arczyk
T ab e la 7 Jakość obliczeń d la p rz y k ła d o w y ch zestaw ów d an ych Zestaw
danych T V[%]
Model
PLSP/całkow ity CSLP/całkowity PLSP/binarny 7[%] 6[%] ' 7 [%] S[%] ' 7 [%] ń[%]
Przypadek 1. z 3 produktam i oraz 4 liniami
15 64 0 0 1,1 0 0 31
20 71 0 0 5,4 0 0 38
25 80 0 0 6,7 0 1,8 49
30 88 0 14 0,7 0 12,2 46
Przypadek 2. z 5 produktam i oraz 7 liniami
15 37 0 0 0,8 0 0 46
20 39 0 0 0,4 0 17,8 62
25 49 0 0 3.1 0 69,6 80
30 61 0 10 0,2 0 54,2 67
T - liczba okresów, g - obciążenie linii, tj. stosunek czasu pracy do czasu dysponowanego, 7 = ( / — /* ) / / * - względna odległość wartości funkcji celu znalezionego rozwiązania / od najlepszego rozwiązania /* , 6 - procentowa różnica pomiędzy znalezionym rozwiązaniem całkowitym a jego relaksacją liniową.
P L S P ze zm iennym i całkow itym i C S L P ze zm iennym i całkow itym i, oraz P L S P ze zm iennym i b in arn y m i.
Do obliczeń w y k o rzy stan o G L P K ( G N U L in e a r Program m ing K i t) , prosty, d arm o w y p ro g ra m rozw iązyw ania z a d a ń p ro g ram o w an ia całkow itoliczbow ego. O b
liczenia w ykonano n a k o m p u te rz e z proceso rem A M D 64 A th lo n 3 0 0 0 + 1.8 GHz.
W e w szystkich p rz y p ad k ac h czas obliczeń ogran iczono do 1800 sekund.
W ta b e li 7 p rz ed staw io n e s a w yniki obliczeń ilu stru ją c e jako ść uzyskanych w yników . N ależy zw rócić uw agę że we w szy stkich p rz y p ad k ac h P L S P ze zm ien
nym i całkow itym i d a ł n a jle p sz ą w a rto ść funkcji celu, a je d y n ie d la najw ięk szych p rz y k ła d ó w nie zn a la zł ro z w iąza n ia opty m aln eg o . M odel C SLP, naw et jeżeli zn a
lezione z o s ta ją o p ty m aln e d la niego ro zw iązania, d a je w arto ść funkcji celu nieco gorszą o d P L S P ze zm iennym i całkow itym i. D la P L S P ze zm ienn ym i b in arn y m i ty lk o d la 3 p rz y k ła d ó w znalezione z o sta ły ro z w iąza n ia o p ty m aln e.
S zczególną uw agę należy zw rócić n a różnicę p om ięd zy ro zw iązan iam i cał
k ow itym i i ich rela k sacjam i liniow ym i. M odel P L S P ze zm ienny m i b in arn y m i je s t p o d ty m w zględem dużo gorszy, n aw et dla p rz y k ład ó w , d la k tó ry c h znaleziono ro z w iąza n ia o p ty m aln e.
W ta b e li 8 ze b ran o w yniki ilu stru ją c e złożoność b a d a n y c h m odeli. J a k wi
dać, m odel C S L P zo stał rozw iązany o p ty m a ln ie d la w szy stk ich p rzypadków , a m o d el P L S P ze zm iennym i całkow itym i d la sześciu. M odel P L S P ze zm iennym i b in a rn y m i z n a la zł co p ra w d a w trz e c h p rz y p ad k ac h ro z w iąza n ia o p ty m aln e, ale
T ab e la 8 Z łożoność obliczeń d la p rz y k ład o w y ch zestaw ów d an y c h
Zestaw Model
danych PLSP/calkow ity CSLP/calkowity PLSP/binarny
T Vl%] OW ZW t [s] OW ZW t is] OW ZW t[s j
Przypadek 1. z 3 produktami oraz 4 liniami
15 64 0 117 0,3 0 75 0,1 48 071 128 925 1800
20 71 0 207 0,6 0 1 223 1,1 81 762 27 357 1800
25 80 0 20 441 107 0 18 915 27 61 136 11 513 1800
30 88 37 296 98 225 1800 0 27 559 63 26 128 48 640 1800
Przypadek 2. z 5 produktam i oraz 7 liniami
15 37 0 91 0,3 0 19 0.1 9 961 8 138 1800
20 39 0 10 147 83 0 8 523 17 4 025 2 617 1800
25 49 0 10 157 149 0 5 991 21 7 778 1 528 1800
30 61 13 335 43 111 1800 0 45 689 229 3 901 1 367 1800
T - liczba okresów, rj - obciążenie linii, tj. stosunek czasu pracy do czasu dysponowanego, OW - liczba otwartych, ZW - zamkniętych węzłów drzewa przeglądu, t - czas obliczeń [sek].
nie zakończył p rz e g lą d a n ia w szystkich ro zw iązań. D zieje się ta k z dw óch p rz y czyn. D la m ały ch m odeli liczb a węzłów drzew a p rz eg ląd u rozw iązań je s t b ard zo duża, a d la d użych p rz y k ła d ó w każdy węzeł je s t b a rd z o praco chło nn y, przez co nie u d a ło się p rzejrzeć ich zb y t wiele.
P o d su m o w u jąc m o żn a stw ierdzić, że m odel P L S P ze zm ienn ym i całko w ity
m i je s t dużo łatw iejszy do ro z w iązan ia niż ze zm ien n y m i b in arn y m i. N a to m ia st m odel C S L P je s t nieco prostszy, ale d a je gorsze rozw iązania.
T a p ra c a p o w sta ła w ra m a c h p ro je k tu badaw czego n r 3 T 1 1 F 010 28.
L IT E R A T U R A
1. B elvaux G ., W olsey L.A .: M odelling P ra c tic a l L o t-S izin g P ro b lem s as M ixed- In teg e r P ro g ra m s. M an ag em en t Science, 2001, Vol. 47, No. 7, p. 993-1007.
2. D rexl A., H aase K.: P ro p o rtio n a l lo tsizing a n d scheduling. In te rn a tio n a l Jo u rn a l of P ro d u c tio n E conom ics, 40, 1995, p. 73-87.
3. D rexl A ., K im m s A.: L ot sizing a n d scheduling — survey a n d extensions.
E u ro p e a n J o u rn a l of O p e ra tio n a l R esearch, 99 ,1997, p. 221-235.
4. F leisch m an B.: T h e d iscre te lot-sizing a n d sched u lin g p ro b lem , E u ro p e a n J o u rn a l of O p e ra tio n a l R esearch, 44, 1990, p. 337-348.
32 W . K aczm arczy k
5. K aczm arczy k W ., Saw ik T ., S challer A ., T irp a k T .: P ro d u c tio n p la n n in g a n d co o rd in a tio n in cu sto m er driv en s u p p ly chains. IX K on feren cja L ogistyki Stosow anej T o tal L ogistic M an egem nt, Z akopane 2005, w d ru k u .
6. K a n g S., M alik K ., T h o m a s L.: L otsizing a n d sched uling on p arallel m ach in es w ith seq u e n ce-d ep en d en t s e tu p costs. M an a g em en t Science, 45 (2), 1999, p.
273-289.
7. K im m s A ., D rexl A.: P ro p o rtio n a l lotsizing a n d scheduling: som e E xten sio n s.
N etw orks, 32 (2), 1998, p. 85-101.
8. M eyr H.: S im u ltan eo u s lotsizing an d scheduling on p a ra lle l m achines. E u ro p e a n J o u rn a l of O p e ra tio n a l R esearch, 139, 2002, p. 277-292.
9. S alom on M ., K uik R ., van W assenhove L.N .: S ta tis tic a l search m e th o d s for lotsizing problem s. A n n a ls of O p e ra tio n s R esearch , 41, 1993, p. 453-468.
R ecenzent: P ro f. d r h ab . inż. C zeslaw S m utnicki
A b s t r a c t
P re se n te d p a p e r co n tain s d esc rip tio n o M IP m odels for c a p a c ite d lo t-sizing an d scheduling pro b lem s w ith m an y p ro d u c ts, p arallel lines a n d several p ro d u c tio n stages. P re se n te d are so called sm all b u ck et m odels allow ing only one s ta r t- u p p e r period.
P ro p o sed m odel for th e case w ith id en tical p arallel lines uses in teg er v a ria bles to describe n u m b er of lines set u p to p rocess som e p ro d u c t. T h e new m o d el is b ased on so called C o n tin u o u s S e tu p L o t-sizin g P ro b lem (C S L P ), b u t it al
lows to process u p to tw o p ro d u c ts p e r p e rio d as in P ro p o rtio n a l L ot-sizing a n d S cheduling P ro b lem (P L S P ).
Several ex p e rim en ts b ase d on re alistic d a ta for S u rface M ount T echnology lines show t h a t p ro p o sed m odels have m uch b e tte r c o m p u ta tio n a l ch a ra c te ristic s as alread y know n m odel b ase d on b in a ry variables.
