Redukcje wielomianowe

(1)

Redukcje wielomianowe

Marcin Pilipczuk

Algorytmika @ Uniwersytet Warszawski

30 marca 2020

Marcin Pilipczuk Redukcje wielomianowe 1/15

(2)

Plan na dziś

Dziś o pokazywaniu, że czegoś się nie da zrobić.

... tj. nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T ... tj. chyba nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T ... tj. mam całkiem niezłe argumenty, że chyba nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T

Dziś dowód przez autorytet: 3-kolorowania nie da się rozwiązać w czasie wielomianowym od rozmiaru grafu.

(3)

Plan na dziś

... tj. nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T

... tj. chyba nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T ... tj. mam całkiem niezłe argumenty, że chyba nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T

(4)

Plan na dziś

... tj. nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T ... tj. chyba nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T

... tj. mam całkiem niezłe argumenty, że chyba nie istnieje algorytm, który rozwiązuje A w czasie T

(5)

Plan na dziś

(6)

Plan na dziś

(7)

3-kolorowanie

Wejście: graf nieskierowany G , n := |V (G )|

Wyjście: Czy istnieje 3-kolorowanie G , tj. funkcja

f : V (G ) → {red ,green,blue} taka, że dla każdej uv ∈ E (G ) mamy f (u) 6= f (v )? TAK/NIE

Próbowano znaleźć szybki algorytm, np. O(n), O(n²), O(n⁴)... Beigel, Eppstein: O(1.3289ⁿ).

Przez autorytet: nie istnieje algorytm A i wielomian f taki, że A, mając dany graf G , rozwiązuje problem 3-kolorowania G w czasie f (|V (G )|).

„3-kolorowania nie da się rozwiązać w czasie wielomianowym”

(8)

3-kolorowanie

Próbowano znaleźć szybki algorytm, np. O(n), O(n²), O(n⁴)... Beigel, Eppstein: O(1.3289ⁿ).

(9)

3-kolorowanie

Próbowano znaleźć szybki algorytm, np. O(n), O(n²), O(n⁴)...

Beigel, Eppstein: O(1.3289ⁿ).

(10)

3-kolorowanie

(11)

3-kolorowanie

(12)

3-kolorowanie

(13)

Zbiór niezależny

A co z innymi problemami?

Zbiór niezależny

Wejście: graf G , liczba naturalna k.

Wyjście: czy istnieje zbiór A ⊆ V (G ), taki, że |A| = k oraz nie istnieje uv ∈ E (G ), że u, v ∈ A?

A może ten problem jest trudniejszy?

Też nie umiemy go szybko rozwiązać... (O(1.221ⁿ)).

Redukcje: sposób na pokazanie, że jeden problem jest nieprostszy od drugiego.

Następny slajd: zbiór niezależny jest nieprostszy od 3-kolorowania.

(14)

Zbiór niezależny

(15)

Zbiór niezależny

(16)

Zbiór niezależny

(17)

Zbiór niezależny

(18)

Zbiór niezależny

(19)

Zbiór niezależny

(20)

3-kolorowanie −→ zbiór niezależny

Bob

n = |V (G )| m = |E (G )|

Alicja

umie w zbiór niezależny

k = n czas O(n + m)

3n wierzchołków, 3n + 3m krawędzi

(21)

3-kolorowanie −→ zbiór niezależny

Bob

n = |V (G )|

m = |E (G )|

Alicja

(22)

3-kolorowanie −→ zbiór niezależny

Bob

n = |V (G )|

m = |E (G )|

Alicja

(23)

3-kolorowanie −→ zbiór niezależny

Bob

n = |V (G )|

m = |E (G )|

Alicja

k = n

czas O(n + m)

(24)

3-kolorowanie −→ zbiór niezależny

Bob

n = |V (G )|

m = |E (G )|

Alicja

k = n

czas O(n + m)

(25)

3-kolorowanie −→ zbiór niezależny

Bob

n = |V (G )|

m = |E (G )|

Alicja

k = n

czas O(n + m)

(26)

3-kolorowanie −→ zbiór niezależny

Bob

n = |V (G )|

m = |E (G )|

Alicja

(27)

Redukcja wielomianowa

Bob

Egzemplarz problemu A wielkości n

rozwiązany!

Alicja umie w problem B

Równoważny egzemplarz problemu B

rozwiązany! czas poly(n)

wielkość poly(n)

1. Konstrukcja Boba. 2. Bob ⇒ Alicja. 3. Alicja ⇒ Bob.

(28)

Redukcja wielomianowa

Bob

rozwiązany!

wielkość poly(n)

(29)

Redukcja wielomianowa

Bob

rozwiązany!

wielkość poly(n)

(30)

Redukcja wielomianowa

Bob

rozwiązany!

czas poly(n)

wielkość poly(n)

(31)

Redukcja wielomianowa

Bob

rozwiązany!

czas poly(n)

wielkość poly(n)

(32)

Redukcja wielomianowa

Bob

rozwiązany!

czas poly(n)

wielkość poly(n)

(33)

Redukcja wielomianowa

Bob

rozwiązany!

czas poly(n)

wielkość poly(n)

1. Konstrukcja Boba.

2. Bob ⇒ Alicja.

3. Alicja ⇒ Bob.

(34)

Dalsze redukcje

3-kolorowanie

zbiór niezależny

G 7→ ¯G ` := n − k

klika

Wyjście: czy istnieje A ⊆ V (G ),

|A| = k, G [A] to klika?

pokrycie wierzchołkowe

Wejście: graf G , liczba naturalna `.

Wyjście: czy istnieje B ⊆ V (G ),

|B| ¬ `, każda krawędź G ma co najmniej jeden koniec w B?

(35)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

n zmiennych x1, x2, . . . , xn

literały x_i oraz ¯x_i klauzula

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

formuła — koniunkcja klauzul Φ =Vm

j =1Cj

Wejście: Φ,

(n zmiennych, m klauzul)

Rozwiązanie wartościowanie

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

α( ¯xi) 6= α(xi) α spełnia C ⇔

∃`_i∈ C α(`_i) = >

α spełnia Φ ⇔

∀Ci Φ spełnia C_i. Wyjście: czy istnieje α spełniające Φ?

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨ ¯x3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨ ¯x4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(36)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

literały x_i oraz ¯x_i

klauzula

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

j =1Cj

Wejście: Φ,

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

α( ¯xi) 6= α(xi)

α spełnia C ⇔

∃`_i∈ C α(`_i) = >

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨ ¯x3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨ ¯x4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(37)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

j =1Cj

Wejście: Φ,

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

∃`_i∈ C α(`_i) = >

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨ ¯x3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨ ¯x4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(38)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

j =1Cj

Wejście: Φ,

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

∃`_i∈ C α(`_i) = >

∀Ci Φ spełnia Ci.

Wyjście: czy istnieje α spełniające Φ?

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨ ¯x3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨ ¯x4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(39)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

j =1Cj

Wejście: Φ,

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

∃`_i∈ C α(`_i) = >

∀Ci Φ spełnia Ci. Wyjście: czy istnieje α spełniające Φ?

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨ ¯x3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨ ¯x4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(40)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

j =1Cj

Wejście: Φ,

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

∃`_i∈ C α(`_i) = >

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨ ¯x3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨ ¯x4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(41)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

j =1Cj

Wejście: Φ,

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

∃`_i∈ C α(`_i) = >

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨ ¯x3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨ ¯x4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(42)

Spełnialność formuł d -CNF-SAT

Instancja

C = (`1∨ `2∨ . . . ∨ `d⁰), d⁰¬ d np. (x1∨ x3∨ ¯x7)

j =1Cj

Wejście: Φ,

α : {x₁, . . . , x_n} → {>, ⊥}

∃`_i∈ C α(`_i) = >

Przykład:

Φ = (x1∨ x2∨ x3) ∧ (¯x2∨x¯3∨ x4) ∧ (¯x1∨ x3∨x¯4).

α(x₁) = >, α(x₂) = ⊥, α(x₃) = ⊥, α(x₄) = ⊥

(43)

Trudność 3-CNF-SAT

Theorem (za moich czasów było na ASD)

Spełnialność formuł 2-CNF-SAT można sprawdzać w czasie O(n + m).

Teraz:

Sprawdzanie spełnialności formuł 3-CNF-SAT jest nieprostsze od 3-kolorowania.

(44)

Trudność 3-CNF-SAT

Theorem (za moich czasów było na ASD)

Spełnialność formuł 2-CNF-SAT można sprawdzać w czasie O(n + m).

Teraz:

Sprawdzanie spełnialności formuł 3-CNF-SAT jest nieprostsze od 3-kolorowania.

(45)

Trudność 3-CNF-SAT

3-kolorowanie

Spełnialność formuły 3-CNF-SAT

wierzchołek i −→ zmienne x_i^r, x_i^g, x_i^b wierzchołek i −→ klauzula (x_i^r∨ x_i^g∨ x_i^b) krawędź ij −→ klauzule (¯x_i^r∨ ¯x_j^r) (¯x_i^g∨ ¯x_j^g) (¯x_i^b∨ ¯x_j^b) dla pedantów

wierzchołek i −→ klauzule (¯x_i^r∨ ¯x_i^g) (¯x_i^g∨ ¯x_i^b) (¯x_i^b∨ ¯x_i^r)

(46)

Trudność 3-CNF-SAT

3-kolorowanie

wierzchołek i −→ zmienne x_i^r, x_i^g, x_i^b

wierzchołek i −→ klauzula (x_i^r∨ x_i^g∨ x_i^b) krawędź ij −→ klauzule (¯x_i^r∨ ¯x_j^r) (¯x_i^g∨ ¯x_j^g) (¯x_i^b∨ ¯x_j^b) dla pedantów

(47)

Trudność 3-CNF-SAT

3-kolorowanie

wierzchołek i −→ zmienne x_i^r, x_i^g, x_i^b wierzchołek i −→ klauzula (x_i^r∨ x_i^g∨ x_i^b)

krawędź ij −→ klauzule (¯x_i^r∨ ¯x_j^r) (¯x_i^g∨ ¯x_j^g) (¯x_i^b∨ ¯x_j^b) dla pedantów

(48)

Trudność 3-CNF-SAT

3-kolorowanie

wierzchołek i −→ zmienne x_i^r, x_i^g, x_i^b wierzchołek i −→ klauzula (x_i^r∨ x_i^g∨ x_i^b) krawędź ij −→ klauzule (¯x_i^r∨ ¯x_j^r) (¯x_i^g∨ ¯x_j^g) (¯x_i^b∨ ¯x_j^b)

dla pedantów

(49)

Trudność 3-CNF-SAT

3-kolorowanie

wierzchołek i −→ zmienne x_i^r, x_i^g, x_i^b wierzchołek i −→ klauzula (x_i^r∨ x_i^g∨ x_i^b) krawędź ij −→ klauzule (¯x_i^r∨ ¯x_j^r) (¯x_i^g∨ ¯x_j^g) (¯x_i^b∨ ¯x_j^b) dla pedantów

(50)

Ścieżka Hamiltona

Wejście: graf skierowany G , wyróżnione s, t ∈ V (G )

Wyjście: czy istnieje ścieżka w G z końcami s i t, odwiedzająca każdy wierzchołek dokładnie raz.

s t

Teraz:

Ścieżka Hamiltona jest nieprostsza od spełnialności formuł 3-CNF-SAT.

(51)

Ścieżka Hamiltona

s t

Teraz:

(52)

Ścieżka Hamiltona

s t

Teraz:

(53)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥ α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(54)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥ α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(55)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥ α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(56)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥ α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(57)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(58)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(59)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3)

(¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(60)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3)

(¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(61)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3)

(¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(62)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3)

(¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(63)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(64)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(65)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(66)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(67)

3-CNF-SAT −→ ścieżka Hamiltona

. . .

s t

x1 x2 x3 xn

α(x1) = >

α(x1) = ⊥

α(x2) = ⊥ α(x3) = > α(xn) = >

(¯x1∨ x2∨ x3) (¯x2∨ x3∨ ¯xn)

(68)

Redukcje

3-kolorowanie

zbiór niezależny

klika pokrycie wierzchołkowe 3-CNF-SAT

ścieżka Hamiltona

Teraz:

3-kolorowanie jest nieprostsze od spełnialności formuł 3-CNF-SAT

(69)

Redukcje

3-kolorowanie

zbiór niezależny

ścieżka Hamiltona

Teraz:

3-kolorowanie jest nieprostsze od spełnialności formuł 3-CNF-SAT

(70)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(71)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(72)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(73)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(74)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(75)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(76)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(77)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(78)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(79)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(80)

3-CNF-SAT −→ 3-kolorowanie

F T

x1 x¯1 x2 x¯2 x3 x¯3 xn x¯n

. . .

(x1∨ ¯x2∨ x3)

(81)

Podsumowanie

3-kolorowanie

zbiór niezależny

ścieżka Hamiltona

Powyższe redukcje wielomianowe

3-kolorowanie trudne, bo tak

Za tydzień: formalizacja + argumenty, dlaczego trudne Dzisiejsza trudność nazywa się NP-trudność.

(82)

Podsumowanie

3-kolorowanie

zbiór niezależny

ścieżka Hamiltona

Powyższe redukcje wielomianowe 3-kolorowanie trudne, bo tak

(83)

Podsumowanie

3-kolorowanie

zbiór niezależny

ścieżka Hamiltona

Za tydzień: formalizacja + argumenty, dlaczego trudne

Dzisiejsza trudność nazywa się NP-trudność.

(84)

Podsumowanie

3-kolorowanie

zbiór niezależny

ścieżka Hamiltona