Wielomiany, równania i nierówności wielomianowe
1. Wykonaj dzielenia wielomianów:
(a) (x3− x2+ 2x + 2) : (x2+ x + 1)
(b) (2x4− 3x3+ 4x2− 5x + 6) : (x2− 4x + 7) (c) (4x2− 2x + 2) : (2x2− x + 1)
(d) (3x5− x4+ 11x − 15) : (x3+ 2x + 1) (e) (x6− x2+ 12x − 10) : (x2− 3x + 3)
(f) (x10−x8+2x6+3x4−x3+1) : (x4−x3+x2−x+1) (g) (4x9+ 8x8− 4x5+ 3x2+ 13) : (2x3+ x2− 4x + 11) (h) (x7− x6+ 5x5) : (x2+ 4x)
(i) (x8− 1) : (x7+ x6+ x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1) (j) (x3+ 27) : (x + 3)
2. Korzystając ze schematu Hornera, wykonaj dzielenia wielomianów:
(a) (x2+ x + 1) : (x − 4) (b) (x3+ 2x2+ 1) : (x + 1)
(c) (x4− x2+ 2x − 3) : (x − 2) (d) (x7+ 1) : (x + 1)
(e) (x4− x3+ 10) : (x + 5)
(f) (x3+ 3x2− x + 2) : (x − 1) (g) (x3+ x + 1) : (x − 6) (h) (x2− x) : (x − 3)
(i) (2x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1) : (x + 1) (j) (3x4− 2x3+ 1) : (x + 3)
3. Rozwiąż równania wielomianowe:
(a) x4− 7x3+ 18x2− 20x + 8 = 0 (b) x12− x10+ x2− 1 = 0
(c) x6+ 2x4− 31x2+ 28 = 0 (d) 3x3+ 3x2+ 3x + 3 = 0
(e) 16x4− 24x3− 2x + 3 = 0
(f) x5−12x4+14x3−18x2+161 = 0 (g) x4+ 3x3+ 4x2+ 6x + 4 = 0 (h) x5+ 1 = 0
(i) x13− x12− x7+ x6= 0 (j) x4+ 4x3− 18x2− 12x + 9 = 0
4. Rozwiąż nierówności wielomianowe:
(a) x4+ x3− 7x2− x + 6 < 0
(b) 10(x + 4)(x + 3)x(x − 2)2(x − 5)3> 0 (c) (1 − 2x)3(3x + 2)2(x −12) 0
(d) (x + 1)3(x − 5)2¬ 0 (e) 2x3− 5x2− 2x + 5 > 0
(f) (2x2+ 3x − 1)3(x − 4)6< 0
(g) (12x3− 16x2+ 7x − 1)10(−10x2+ 3x + 1)5> 0 (h) (x + 2)(x + 1)x(x − 9) 0
(i) (x − 4)(x2+ 5x − 6)(−x2+ 2x + 1) < 0 (j) −x4+ 5x3− 5x2− x + 2 0
5. Reszta z dzielenia wielomianu f przez dwumian (x + 4) jest równa 4, aprzy dzieleniu przez (x − 2) jest równa
−2. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu f przez (x2+ 2x − 8).
6. Wyznacz wartości paramatru a, dla których wielomian f (x) = x3+ ax2− a2x + 1 ma dwa różne pierwiastki całkowite.
Źródło wykorzystane do orpacowania materiału: Wielomiany, dr Tadeusz Werbiński, platforma OLAT
1
