Funkcje analityczne Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej

Funkcje analityczne

Wykład 13. Zastosowanie rachunku residuów do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej

Paweł Mleczko

Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)

Plan wykładu

W czasie wykładu omawiać będziemy zastosowanie metod analizy zespolonej (w szczególności twier- dzenia o residuach) do rozwiązywania problemów analizy rzeczywistej, w tym

| znajdowania wartości całek niewłaściwych

| znajdowania sum szeregów liczbowych

| znajdowania całek Riemanna funkcji trygonometrycznych.

1. Obliczanie całek niewłaściwych

Całka niewłaściwa: definicja

Niech f : R → R będzie funkcją całkowalną na dowolnym przedziale. Jeśli poniższa granica istnieje Z ∞

a

f (x) dx, to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji f .

Podobnie definiujemy całkę niewłaściwąRb

−∞f (x) dx.

Jeśli obie granice

Z b

−∞

f (x) dx oraz Z ∞

b

f (x) dx istnieją, to całkę niewłaściwąR∞

−∞f (x) dx definiujemy następująco Z ∞

−∞

f (x) dx = Z b

−∞

f (x) dx + Z ∞

b

f (x) dx b ∈ R.

Wartość główna całki

Niech f : R → R. Jeśli poniższa granica

r→∞lim Z r

−r

f (x) dx

istnieje, to nazywamy ją wartością główną całki i oznaczamy p.v.

Z ∞

−∞

f (x) dx.

Jeśli całka niewłaściwa istnieje, to istnieje również wartość główna całki oraz p.v.

Z ∞

−∞

f (x) dx = Z ∞

−∞

f (x) dx.

Obliczanie całki niewłaściwe: przykład Zadanie 1. Proszę obliczyć

Z ∞

−∞

x² (x²+ 4)²dx.

Zauważmy, że całka powyższa istnieje (tzn. odpowiednia granica istnieje i jest skończona), więc p.v.

Z ∞

−∞

x²

(x²+ 4)²dx = Z ∞

−∞

x² (x²+ 4)²dx.

Obliczanie całki niewłaściwe: opis procedury Z ∞

−∞

x² (x²+ 4)²dx.

| Będziemy całkować funkcję Z

Cr

z²

(z²+ 4)²dz = Z r

−r

x²

(x²+ 4)²dx + Z

γ_r

z² (z²+ 4)²dz wzdłuż krzywej zamkniętej Crja na rysunku obok.

−r γ_r C_r

r

| Pokażemy, że całka po górnym półokręgu γ_rdąży do zera, gdy r dąży do nieskończoności.

| Obliczymy powyższą całkę korzystając np. z twierdzenia o residuach.

Obliczanie całki niewłaściwe: szacowanie

Z

γ_r

z² (z²+ 4)²dz

−r γ_r

r Skorzystamy z nierówności ML oraz nierówności trójkąta (

|a| − |b|

¬ |a − b|). Mamy 

  Z

γr

z² (z²+ 4)²dz

¬ |γr| sup

z∈γr

z² (z²+ 4)²

= πr sup

z∈γr

|z|²

|z²+ 4|²

¬ πr sup

z∈γ_r

|z|² (|z| − 4)²

¬ πr sup

γ_r

r²

(r²− 4)² ∼ r³ r⁴ −−−→

r→∞ 0 Obliczanie całki niewłaściwe: twierdzenie o residuach

Funkcja

z² (z²+ 4)²

ma jeden punkt osobliwy w górnej półpłaszczyźnie: z₁= 2i – jest to biegun drugiego rzędu. Stąd res z²

(z²+ 4)², z1



= lim

z→z1



(z − z1)² z² (z − z1)²(z − z2)²

0

= lim

z→z1

2 z z + 2i

2i

(z + 2i)² = 1 8i

Z twierdzenia o residuach wynika teraz, że Z

Cr

z²

(z²+ 4)²dz = 2πi res z² (z²+ 4)², z1



=π 4. Zatem

Z ∞

−∞

x²

(x²+ 4)²dx =π 4.

Lemat Jordana

Kluczowe w sukcesie metody jest fakt, że    Z

γ_r

z² (z²+ 4)²dz

 −−−→

r→∞ 0.

Zauważmy, że szacowanie, które przeprowadziliśmy jest uniwersalne dla funkcji wymiernych, o ile tylko stopień wielomianu w liczniku jest większy o co najmniej dwa.

Jeśli tak nie jest, wówczas czasami daje się zastosować tzw. lemat Jordana.

Niech f będzie funkcją zespoloną ciągłą na górnym półokręgu CR= {Re^iθ : θ ∈ [0, π]}.

Jeśli f jest postaci

f (z) = e^iazg(z), z ∈ C_R, gdzie a > 0, to

    Z

CR

f (z) dz    

¬ π

aM_R gdzie M_R:= max

θ∈[0,π]

g Re^iθ
 .

Obliczanie całek niewłaściwych Zadanie 2. Proszę obliczyć

Z ∞ 0

sin x x dx.

Zauważmy, że funkcja x 7→ ^{sin x}_x jest parzysta, więc Z ∞

0

sin x x dx =1

2 Z ∞

−∞

sin x x dx Obliczanie całek niewłaściwych

Scałkujmy funkcję z 7→ ^e_z^iz wzdłuż krzywej C przedstawio- nej na rysunku obok. Z twierdzenia Cauchy’ego i tego, że po- wyższa funkcja jest holomorficzna w obszarze ograniczonym krzywą oraz z własności całki krzywoliniowej otrzymujemy:

CR

C_r

C2

C1

C

0 = Z

C

e^iz z dz =

Z

C1

e^iz z dz +

Z

C2

e^iz z dz +

Z

Cr

e^iz z dz +

Z

CR

e^iz z dz Dla krzywych C1 oraz C2 mamy

Z

C₁

e^iz z dz =

Z −r

−R

e^ix x dx =

Z r R

e^−ix

−x (−1) dx = − Z R

r

e^−ix x dx Z

C₂

e^iz z dz =

Z R r

e^ix x dx Z

C₁

e^iz z dz +

Z

C₂

e^iz z dz =

Z R r

e^ix− e^−ix

x dx = 2i Z R

r

sin x x dx.

Obliczanie całek niewłaściwych Zauważmy, że

e^iz z =1

z

∞

X

n=0

iⁿzⁿ n! =

∞

X

n=0

iⁿzⁿ⁻¹

n! =

∞

X

n=−1

iⁿ⁺¹zⁿ (n + 1)! = 1

z+

∞

X

n=0

iⁿ⁺¹zⁿ⁺¹ (n + 1)!

Stąd

Z

C_r

e^iz z dz =

Z

C_r

dz z +

Z

C_r

∞

X

n=0

iⁿ⁺¹zⁿ⁺¹

(n + 1)! dz = −πi + Z

C_r

∞

X

n=0

iⁿ⁺¹zⁿ⁺¹ (n + 1)! dz Mamy zatem

0 = Z

C

e^iz z dz =

Z

C1

e^iz z dz +

Z

C2

e^iz z dz +

Z

Cr

e^iz z dz +

Z

CR

e^iz z dz

= 2i Z R

r

sin x

x dx − πi + Z

C_r

∞

X

n=0

iⁿ⁺¹zⁿ⁺¹ (n + 1)! dz +

Z

C_R

e^iz z dz

Obliczanie całek niewłaściwych Zauważmy, że

r→0lim^∗    Z

Cr

∞

X

n=0

iⁿ⁺¹zⁿ⁺¹ (n + 1)! dz

 ¬ lim

r→0^∗πr  

∞

X

n=0

iⁿ⁺¹zⁿ⁺¹ (n + 1)!

  = 0, gdyż funkcjaP∞

n=0

iⁿ⁺¹zⁿ⁺¹

(n+1)! jest holomorficzna na płaszczyźnie. Ponadto z lematu Jordana wynika, że lim

R→∞

Z

CR

e^iz

z dz = 0.

Zatem

lim

r→0⁺ R→∞

2i Z R

r

sin x

x dx = πi, więc

Z ∞ 0

sin x

x dx =π 2

2. Obliczanie sum szeregów

Obliczanie sum szeregów: przykład Zadanie 3. Proszę obliczyć

∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .

Powyższą sumę można obliczyć korzystając m.in. z metod analizy szeregów Fouriera. Wskażemy inny sposób odwołujący się do rachunku residuów.

Obliczanie sum szeregów

Rozpatrzymy

Z

C_N

cos πz z²sin πzdz.

Zauważmy, że w każdym punkcie z = ±1, ±2, . . . , ±N funkcja pod całką ma biegun pierwszego rzędu, natomiast w z = 0 istnieje biegun rzędu trzeciego.

N N + 1 N

N + 1 C_N

Dla k = ±1, ±2, . . . , ±N mamy res cos πz

z²sin πz, k

= lim

z→k(z − k) cos πz

z²sin πz = cos πk k² lim

z→k

π(z − k)

π sin(π(z − k)) = 1 πk² Jeśli z = 0, to można policzyć, że

res cos πz z²sin πz, 0

= −π 3.

Obliczanie sum szeregów

Skorzystamy teraz z twierdzenia o residuach Z

CN

cos πz

z²sin πzdz = 2πi

−π 3 +

N

X

k=−N

1 πk²



= 2πi

−π 3 + 2

n

X

k=1

1 πk²



Aby zakończyć dowód wystarczy zauważyć (korzystając z nierówności ML), że 

  Z

C_N

cos πz z²sin πzdz

¬ (8N + 1) sup

z∈C_N

cos πz z²sin πz

¬ 8N + 1 N² sup

z∈C_N

cos πz sin πz   

¬ 8N + 1

N² M −−−−→

N →∞ 0 gdyż ^{cos πz}_{sin πz} jest ograniczona na C_N (dość techniczne!). Zatem

∞

X

n=1

1

n² = lim

N →∞

N

X

k=1

1 k² =π²

6 .

Obliczanie sum szeregów: opis procedury Twierdzenie 1. Jeśli |f (z)| ¬ _|z|^A, to

| _∞

X

n=−∞

f (n) = −πX

k

res

f (z)cos πz sin πz, zk



| _∞

X

n=−∞

(−1)ⁿf (n) = −πX

k

res

f (z) 1 sin πz, z_k

3. Obliczanie całek Riemanna funkcji zawierających funkcje trygonometryczne

Obliczanie całek Riemanna: przykład Zadanie 4. Proszę obliczyć całkę

Z 2π 0

1 a + cos xdx, gdzie a > 1.

Całkę można obliczyć korzystając z tzw. podstawienia uniwersalnego cos x = 1 − t²

t²− 1 dx = 2

t²+ 1dt.

Zaprezentujemy ogólną metodę korzystającą z twierdzenia o residuach.

Obliczanie całek Riemanna: obserwacja

Z

|z|=1

f (z)dz iz =

z = e^it

dz = ie^itdt = izdt

dz iz = dt

= Z 2π

0

f (e^it) dt

Obliczanie całek Riemanna: opis procedury Załóżmy, że mamy do obliczenia całkę

Z 2π 0

R(sin x, cos x) dx,

gdzie (x, y) 7→ R(x, y) jest funkcją wymierną.

Korzystając ze wzorów Eulera, wykonujemy następujące podstawienia cos t = e^it+ e^−it

2 = z + z⁻¹ 2 sin t = e^it− e^−it

2i = z − z⁻¹ 2i . Wówczas

Z 2π 0

R(sin t, cos t) dt = Z

|z|=1

Rz − z⁻¹

2i ,z + z⁻¹ 2

dz iz

Obliczanie całek Riemanna: przykład Z 2π

0

1

a + cos xdx, gdzie a > 1 Mamy

Z 2π 0

1

a + cos xdx = Z

|z|=1

1 a +^z+z₂⁻¹

dz iz =2

i Z

|z|=1

dz (2a + z + z⁻¹)z

=2 i

Z

|z|=1

dz z²+ 2az + 1

=2

i · 2πi res 1

z²+ 2az + 1, −a +p a²− 1

= 2π

√ a²− 1,

gdyż

z²+ 2az + 1 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z = −a ±p a²− 1, ale −a −√

a²− 1 nie należy do dysku.