Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Literatura

1

Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Literatura

W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

W. Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona, PZWS, Warszawa, 1986.

W. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej, PZWS, Warszawa, 1974.

W.Żakowski i inni: Analiza matematyczna. Cz. I - IV, WNT, Warszawa, 2003.

Wykład 1 ANALIZA RZECZYWISTA 1

1.1. Pierścień, algebra i σ-algebra zbiorów.

1.2. Miara. Miara Lebesgue’a..

1.1. Pierścień, algebra i σ-algebra zbiorów

Przypominamy określenia równości, sumy, iloczynu oraz różnicy zbiorów.

1A1 Definicja (równość zbiorów)

Mówimy, że zbiór A jest równy zbiorowi B i piszemy A  B jeżeli każdy element zbioru A jest elementom zbioru B i na odwrót.

1A2 Definicja (działania na zbiorach)

2.1) do sumy A  należą wszystkie te i tylko te elementy, które należą do zbioru A B lub do zbioru B :

 ^{( ) ( ) ;} 

x    A B x  A   x B

2.2) do iloczynu A  należą wszystkie te i tylko te elementy, które należą do zbioru B A i do zbioru B :

 ^{( ) ( ) ;} 

x    A B x  A   x B

2.3) do różnicy A  B (lub A \ B

należą wszystkie te i tylko te elementy, które należą do zbioru A , natomiast nie należą do zbioru : B

 ^{( ) ( ) .} 

x    A B x  A   x B

Na Rys. 1 -3 przedstawiono tzw. diagramy Vena, ilustrujące określone działania:

2

A B

A∪B Rys. 1

1A3 Definicja (inkluzja): ^{A   B}  ^{( x  A )   ( x B ) .}  ^{Jeżeli A}  (lub B A ^B  ), to A nazywamy podzbiorem zbioru B .

1A4 Przykład. Zbiór pusty  jest podzbiorem każdego zbioru.

1A5 Definicja (dopełnienie zbioru do przestrzeni)

Przypuśćmy, że wszystkie zbiory rozpatrywane są podzbiorami jednego ustalonego zbioru U , który w takim przypadku będziemy nazywali przestrzenią. Wtedy

dopełnienie zbioru A do przestrzeni U , które oznaczamy symbolem A (lub A ) określamy wzorem:

 

.

1A+B6 Twierdzenie (zasada dualności). Niech A  U B ,  U . Wtedy

6.1) dopełnienie (do przestrzeni U ) sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień: A    B A B ;

6.2) dopełnienie (do przestrzeni U ) iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:

.

  

Dowód (poziom B) pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie.

1A7 Przykład. Niech A  {1,2,3,0,9}, B {1,3,4,5,7}.  Wtedy {0,1,2,3,4,5,7,9},

A   B ^{A  B = 1, 3 ,}   ^{A  B = 0,2,9 .}  

1A+B8 Ćwiczenie. Udowodnić, że A    A , A  A A ,   dla dowolnego A U zbioru A  U .

1B+C9 Ćwiczenie. Rozwiązać równania

9.1) A   gdzie zbiory , X B , A B są podane, zbiór X jest niewiadomy:

9.2) A   X B , gdzie zbiory , A B są podane, zbiór X jest niewiadomy,

, , .

A  U B  U X  U

1B10 Ćwiczenie. Rozwiązać równania 1B+C9, jeżeli A  {0,1,2,3,9}, B {1,3},  ,

U  gdzie jest zbiorem liczb rzeczywistych.

A B

A\B Rys. 3

A B

A∩B Rys. 2

3

1A11 Definicja (pierścień zbiorów)

Rodzinę  zbiorów nazywamy pierścieniem, jeśli z każdymi dwoma zbiorami ,

A   B do rodziny  należały także zbiory A  B oraz A B   :

, , .

A        B A B A B

Poniżej podajemy własności pierścieni.

1A+B12 Twierdzenie. Jeśli  jest pierścieniem, to 12.1)  (zbiór pusty należy do  );

12.2) A     . , B A B

Dowód. Wynika z definicji 1A11, jeżeli zauważyć, że     A A oraz

( ) .

A    B A A  B 

1B13 Wniosek. Każdy pierścień  jest zamknięty ze względu na sumę oraz iloczyn skończone, tzn.

1 1

, 1,2,..., oraz .

m m

i i i

i i

A i m A A

 

      

1B14 Twierdzenie

Iloczyn (część wspólna) pierścieni jest pierścieniem.

Dowód:

, , , , , .

i

i i i i

I

A B A B A B A B A B A B

    

            

1A+B15 Wniosek. Dla każdej niepustej klasy K zbiorów istnieje jednoznacznie określony pierścień ( )  K (nazywany pierścieniem najmniejszym nad K ), który zawiera się w dowolnym pierścieniu, zawierającym klasę K . Ten pierścień jest złożony ze zbiorów rodziny K oraz skończonych sum i iloczynów tych zbiorów.

1A+B16 Uwaga

Z twierdzenie 1A+B12.2 wynika, że rodzina zbiorów  która jest zamknięta ze względu na sumę i różnice jest także zamknięta i ze względu na iloczyn zbiorów.

Zauważmy jednak, że rodzina zbiorów która jest zamknięta ze względu na iloczyn i różnice nie koniecznie jest zamknięta ze względu na sumę zbiorów o czym mówi kontrprzykład:    { , [0,1], [2,3]}.

1A+B17 Przykłady (pierścieni)

17.1)    (rodzina { }  jest złożona z jednego tylko pustego zbioru);

17.2)     

{ ,

} (rodzina  jest złożona ze zbioru X i pustego zbioru  ),

4

gdzie X jest dowolnym zbiorem;

17.3) rodzina   

jest złożona ze wszystkich podzbiorów zbioru X ;

17.4) rodzina   

jest złożona ze wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X ; 17.5) rodzina   

jest złożona ze wszystkich co najwyżej przeliczalnych

podzbiorów zbioru X i ich dopełnień;

17.6) rodzina   

jest złożona ze wszystkich ograniczonych podzbiorów zbioru X 

przestrzeni euklidesowej

;

17.7) rodzina  jest złożona ze wszystkich skończonych (albo wszystkich skończonych i nieskończonych) przedziałów prostej rzeczywistej oraz skończonych systemów takich przedziałów bez wspólnych punktów;

17.8) rodzina   

jest złożona ze wszystkich skończonych (albo wszystkich skończonych i nieskończonych) przedziałów zawartych w podanym zbiorze X  oraz skończonych systemów takich przedziałów bez wspólnych punktów;

17.9) rodzina  jest złożona ze wszystkich przedziałów postaci [ , )   (albo [ , )   i [ ,   albo [ , ) i ( ),    , ),  albo [ , ), [ ,      ), ( , ), (    ) prostej , )

rzeczywistej oraz skończonych systemów takich przedziałów bez wspólnych punktów;

17.10) rodzina  jest złożona ze wszystkich przedziałów postaci [ , )   (albo [ , )   i [ ,   albo [ , ) i ( ),    , ),  albo [ , ), [ ,      ), ( , ), (    ) prostej , ) rzeczywistej oraz skończonych systemów takich przedziałów zawartych w podanym zbiorze X  bez wspólnych punktów.

1B18 Przykład. Rodzina  złożoną ze wszystkich skończonych (albo wszystkich skończonych i nieskończonych) przedziałów prostej rzeczywistej nie jest

pierścieniem (jest półpierścieniem) ponieważ różnica przedziałów może nie być przedziałem.

1A19 Definicja (pierścień z jednością)

Niech rodzina  jest pierścieniem zbiorów. Wtedy zbiór

A

J A

  nazywamy

jedynką rodziny , co jest równoważnie A J   dla dowolnego zbioru A A . Jeżeli J , to  nazywamy pierścień z jedynką (jednością).

1A20 Definicja (σ-pierścień zbiorów)

5

Pierścień  nazywamy σ-pierścieniem lub borelowskim pierścieniem, jeśli on jest zamknięty ze względu na sumę przeliczalne, tzn.

1 _i

dla

, 1,2,...

i

A A i



 

 

1A21 Definicja (algebra i σ-algebra zbiorów)

Niech będzie dany zbiór X (który będziemy nazywali przestrzenią) i pewna rodzina (klasa)   

jego podzbiorów. Mówimy, że  jest algebrą (lub ciałem) zbiorów, jeżeli są spełnione następujące warunki:

21.1) X   , ; 21.2) A    A ;

21.3) A      , B A B oraz A   B . Jeżeli dodatkowo jest spełniony warunek

21.4)

 dla

 1,2,3,... 





  ...

to F nazywamy σ-algebrą lub σ- ciałem, lub przeliczalnie addytywnym ciałem zbiorów.

Zauważmy, że algebra (lub σ-algebra) zbiorów jest to pierścień (odpowiednio σ- pierścień) z jedynką (przestrzenią X ).

1A+B22 Uwaga

Inaczej mówiąc, σ-algebrą (borelowską algebrą)   

jest każda klasa podzbiorów przestrzeni X , która zawiera tę przestrzeń X i jest zamknięta ze względu na sumę oraz iloczyn przeliczalne i różnice.

1A+B23 Przykłady

Klasa  w 1A+B17.1 1A+B17.3 jest algebrą (nawet borelowską algebrą) zbiorów (w 1A+B17.1 jedynką jest zbiór pusty; w 1A+B17.2, 1A+B17.3 jedynką jest przestrzeń

X ).

W 1A+B17.4 klasa 

jest algebrą (nawet σ-algebrą), jeżeli zbiór X jest skończony;

w 1A+B17.5 

jest algebrą (nawet σ-algebrą), jeżeli zbiór X jest skończony lub przeliczalny.

W 1A+B17.6 klasa 

jest algebrą (nawet σ-algebrą) w przypadku zbioru X ograniczonego i nie jest algebrą, jeżeli zbiór X jest nieograniczony.

W 1A+B17.7 klasa  nie jest algebrą, jeżeli chodzi o przedziałach skończonych;

natomiast  jest algebrą z jedynką (   w przypadku przedziałów skończonych i , )

nieskończonych.

6

Przykłady 1A+B17.7 1A+B17.10 pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie.

Zauważmy, że w 1A+B17.7 1A+B17.10 odpowiedni pierścieni nie są borelowski.

1A+B24 Przykład. Znaleźć najmniejszą σ-algebrę  

( )

nad przedziałem [0,3]

X 

zawierającą rodzinę zbiorów

 [0, 2),(2,3] . 

Rozwiązanie. Rodzinę 

należy powiększyć o taki zbiory, aby powiększona rodzina była zamknięta względem sumy przeliczalnej oraz różnicy zbiorów należących do K , w szczególności, żeby do ( )  K należały zbiory  , X oraz wyniki działań

mnogościowych (dodawania, mnożenia, odejmowania oraz dopełniania). Mamy zatem

 

( ) K ,[0,2),(2,3],[0,2) (2,3],{2},[0,2],[2,3] .

   

1B+C25 Przykład. Jeżeli   

jest  -algebrą zbiorów na przestrzeni X ( X jest jedynką), zestaw  ^{    , , , , , X}  ( oznacza dopełnianie) jest algebrą Boole’a.

1A+B26 Definicja (borelowskie zbiory w

)

Niech 

jest najmniejszą (borelowską) algebrą nad rodziną wszystkich podzbiorów domkniętych (równoważnie, otwartych) przestrzeni euklidesowej

. Wtedy

elementy 

nazywamy zbiorami borelowskimi lub B-zbiorami w tej przestrzeni.

1B27 Fakt (borelowskie zbiory w )

Niech

,

,

,

,

będą rodzinami przedziałów na prostej rzeczywistej odpowiednio postaci [ , ], ( , ), [ , ) albo ( , ], [ ,           ) albo ( ,   ),

(  , ) albo (   , ] 

Wtedy najmniejsza algebra nad każde rodziną będzie taka sama (borelowska algebra na prostej rzeczywistej) oraz jej elementy będą B-zbiorami na tej prostej. Więc, B-zbiory na prostej rzeczywistej można traktować jako otwarty

przedziały oraz sumy skończone i przeliczalne takich przedziałów na tej prostej

1.2. Miara. Miara Lebesgue’a 1A28 Definicja (ogólne pojęcie miary)

Funkcję rzeczywistą  określoną na pewnej rodzinie K zbiorów nazywamy miarą, jeżeli ona jest nieujemna, addytywna oraz monotoniczna, tj. są spełnione następujące warunki (aksjomaty miary):

28.1) ( )  A  dla każdego zbioru A K 0  ;

28.2) (  A  B )   ( ) A   ( ) B dla dowolnych rozłączonych zbiorów , A B  K ,

A    B (addytywność miary);

7

28.3) ( )  A   ( ) B dla dowolnych zbiorów A B ,  K , A  (monotoniczność miary). B Jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek (przeliczalna addytywność miary):

28.4)

1 1

i

( )

i i

A A





 

   

 

   dla dowolnych rozłączonych zbiorów



,  1,2,...

Wartość (liczbę) ( )  A miary  dla danego zbioru A nazywamy miarą zbioru .

A

1A29 Definicja (zbiory

)

Jeżeli w rodzinie K jest określona miara  , to zbiory A K  nazywamy mierzalnymi (w sensie miary  ).

1A+B30 Przykłady

30.1) K jest dowolną rodziną zbiorów oraz ( )  A  dla każdego A K 0   jest  miarą (nawet przeliczalne addytywnej miarą);

30.2) miara prawdopodobieństwa (miara probabilistyczna) jest to dowolna przeliczalne addytywna miara  określoną na pewnej borelowskiej algebrze  zbiorów z jedynką  oraz ( ) 1    (zbiory A    są tu zdarzeniami, , A ,  i  pełnią rolę odpowiednio przestrzeni zdarzeń elementarnych i zdarzenia niemożliwego,

 jest   algebrą zdarzeń losowych).

30.3) rodzina

jest złożona ze wszystkich skończonych przedziałów postaci [ , ]   prostej rzeczywistej, funkcję ([ , ])      (długość przedziału   [ , ]   ) jest miarą na

; analogicznie miarą będzie funkcja ([ , ])     f ( )   f ( ),  gdzie funkcja

jest niemalejąca, w szczególności, dla rodziny przedziałów materialnych miarą może służyć ich masę;

30.4) dla rodziny

złożonej ze wszystkich prostokątów postaci A  A

 {( , ) : x y    x   ,   w płaszczyźnie Oxy miarą może służyć połę tych y  } prostokątów:   ^A

  ⁽      ⁾⁽  ⁾ (analogicznie, ich masę);

30.5) dla rodziny

złożonej ze wszystkich prostopadłościanów postaci

1 1 2 2 3 3

a b a b a b

A 

1 1 2 2 3 3

{( , , ) :

 

,  

,  

} w przestrzeni Oxyz miarą może służyć objętość tych prostopadłościanów:   A

  ( b

 a

)( b

 a

)( b

 a

)

(analogicznie, ich masę).

1A+B31 Fakt (własności miary określonej na pierścieniu)

8

Niech w definicji 1A28 rodzina K   jest pierścieniem,  jest miarą na . Wtedy 31.1) założenie 1A28.3 monotoniczności miary można opuścić;

31.2) miara zbioru pustego wynosi 0: ( )    0;

31.3) (  A B  )   ( ) A   ( ) B dla dowolnych zbiorów , A B  , B  ; A 31.4) (  A B  )   ( ) A   ( ) B   ( A  B ) dla dowolnych zbiorów A B  ; , Dowód:

31.1): , A B  , A     B B A , B   A ( B  A )  ( ) B ( ) A ( B A ) ( ); A

       

31.2):      ^     ^     ^     ^     ^0;

31.3): , A B  , B   A

( ), ( ) ( ) ( ) ( );

A   B A B B   A B      A   B   A B  31.4): , A B  

( ), ( ) , ( ),

A    B A B  A A  B  A   B    A B A  B A    B B

( A B ) ( ) A ( B A ), ( B A ) ( ) B ( A B )

             

1A+B32 Uwaga (wprowadzenie miary nieskończonej)

W pewnych zastosowaniach jest potrzeba w rozpatrywaniu zbiorów miary

nieskończonej (zobacz 1B27: borelowskie zbiory w ). Niech dalej   

będzie

 -algebrą podzbiorów przestrzeni X . Wtedy określoną na  funkcję rzeczywistą ( ), A

   gdzie A , nazywamy miarą (przeliczalna addytywną), jeżeli są spełnione następujące warunki:

32.1) 0   ( ) A   dla każdego zbioru A , ( )    0;

32.2) jeżeli

  ,

1,2,..., są zbiorami rozłącznymi, tzn. A

 dla A

i  to j ,

1 1

i

( )

i i

A A





 

   

 

   (przeliczalna addytywność miary).

1A33 Uwaga (rozszerzoną prosta rzeczywista)

Z warunku 1A32.1 definicji miary wynika, że  będziemy uważać za liczbę.

Uzasadniamy również uznanie  za liczbę. Wtedy zbiór liczbowy

9

{ , }

    będziemy nazywali prostą rzeczywistą rozszerzoną oraz elementy zbioru nazywać będziemy liczbami skończonymi.

1A+B34 Uwaga (miara Lebesgue’a w przestrzeni

) Rozważmy w przestrzeni

przedział domknięty

 ^{( ,}

^,...,

⁾

^:

^,

^{, ...,}



^,

I  x x x  a   x b a  x  b a  x  b 

gdzie a

 b

( i  1,2,..., ) k są liczbami skończonymi; miarę   

  I określamy (zgodnie ze 1A+B30.5) wzorem: 

  I  ( b

 a

)( b

 a

)...( b

 a

).

Dla dowolnego zbioru otwartego

w przestrzeni

i liczby naturalnej

wprowadzimy zbiór

n

n n

I A

A I

 

będący sumą wszystkich zawartych w zbiorze

przedziałów domkniętych

postaci

1 1 2 2

1 2 1 1 1 1 2 1 1 1

1 1 1

( , ,..., ) : , , ..., ,

2 2 2 2 2 2

k k k k

n k n n n n n k n

i i i i i i

I    x x x  

  x



 x 



 x 

  

 

gdzie

,...,

są dowolnymi liczbami całkowitymi, w szczególności, w przypadku

przedziały

są kwadratami, na które dzieli płaszczyznę siatka utworzona przez dwie rodziny prostych:

,

( , 0, 1, 2,...)

2

2

i j

x 

x 

i j   

Biorąc pod uwagę, że każdy z przedziałów

jest sumą 2

przedziałów

, przedziały

mają rozłączone wnętrza, definiujemy miarę

jako sumę miar tych przedziałów:

 

^{ }

n

k n n

I A

A I

 

 

gdzie A

 A

, 

  A

 

  A

, n  1,2,...

Mamy zatem

* 1 n

A

A



 

Dowód:



,

jest zbiorem otwartym, więc zawiera pewną kulę o środku w

i o

promieniu r ; istnieje liczba naturalna n taka, że ten z przedziałów

, do którego

należy

, zawiera się w

, skąd wynika, że z

 A

.

10

Wtedy miarę 

( )

zbioru otwartego A 

definiujemy jako granicę miar zbiorów

*

A :

( ) lim ( *).

k k n

n

A A

 

 

Teraz pozostaje rozszerzyć pojęcie miary na możliwie szerokie  -ciało 

borelowskich zbiorów w przestrzeni

. Zbiór A 

zaliczamy do klasy 

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby   istnieją takie zbiory otwarte 0 U 

i V 

, że



,  

oraz 

( )

  .

Zbiory

będziemy nazywali mierzalnymi w sensie Lebesgue’a (albo krócej:

mierzalnymi). Przez miarę Lebesgue’a 

zbioru

będziemy rozumieli kres dolny miar wszystkich zbiorów otwartych U 

zawierających zbiór A .

Zauważmy, że zbiór otwarty A 

jest mierzalny w sensie Lebesgue,a; jego miara jest identyczna z miarą w sensie dotąd przyjętym dla zbiorów otwartych.

Dowód. Dla zbioru otwartego A 

i każdego   możemy wziąć 0 U  A V ,   ; druga część tezy wynika z tego, że dla zbiorów otwartych A U  zachodzi

 

 

k An k Un



 więc w granicy 

 



 

:

1B35 Fakt (własności zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a)

35.1) klasa 

zbiorów mierzalnych (w sensie Lebesgue’a) jest  -ciałem (  -algebrą B-zbiorów w przestrzeni

);

35.2) dopełnienie zbioru mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) jest zbiorem mierzalnym (więc dowolny zbiór domknięty jest mierzalny jako dopełnienie zbiory otwartego);

35.3) wszystkie ograniczone B-zbiory w

mają skończone miarę Lebesgue’a;

35.4) każdy podzbiór zbioru miary Lebesgue’a zero też jest zbiorem miary zero;

35.5) każdy mierzalny w sensie Lebesgue’a zbiór dodatniej miary ma podzbiór, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a;

35.6) w przypadku miary Lebesgue’a w każdy zbiór przeliczalny jest miary zero, ale istnieją i nieprzeliczalne zbiory miary zero, na przykład doskonały zbiór Cantora;

35.7) przy dowolnej mierze zbiory miary zero stanowią co najmniej  -pierścień.

Dowód części twierdzeń 1B35 jest dość trudny i dla tego z niego zrezygnujemy.

11

1B36 Przykłady:

36.1) A B są zbiorami mierzalnymi oraz i A  B , ( )  B    ( B A ) ( ) B ( ); A

     

36.2) A B są zbiorami mierzalnymi oraz i A  B , ( )  B   0 (  A  B )   ( A  B )   ( ); A

36.3)

( 1, 2,...) są zbiorami mierzalnymi oraz



(  1,2,...), ( 

)   

1

( ) lim ( );

i

A

A





 

 

36.4) udowodnić, że przedział otwarty ( , )   jest mierzalny w sensie Lebesgue’a na prostej rzeczywistej i wyznaczyć jego miarę (wskazówka: skorzystać z przedziałów

domkniętych postaci , , 1, 2,...

2 2 n

n n

   

 ^  ^

    

 

  );

36.5) udowodnić, że zbiór (0,1)  [1,2)  (2,3]  [3,4] jest mierzalny w sensie Lebesgue’a na prostej rzeczywistej i wyznaczyć jego miarę;

36.6) udowodnić, że każdy co najwyżej przeliczalny zbiór na prostej rzeczywistej ma miarę Lebesgue’a 0;

36.7) udowodnić, że każdy odcinek w przestrzeni

ma w

miarę Lebesgue’a 0;

36.7) udowodnić, że wykres funkcji y  x

, x  w przestrzeni ,

ma miarę

Lebesgue’a 0.