Cykliczne systemy obshigi masowej

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO SERI A III: MATEMATYKA STOSOWANA I (1973)

JOANNA HUK i J. LUKASZEWICZ (Wroclaw)

Cykliczne systemy obshigi masowej

I. Wst?p. W niniejszej pracy b?dziem y si? zajm ow ali m atem aty czn y m m odelem transportu w kopalni zw iru. W kop aln i p racu je je d n a kop ark a i N w y w rotek . K o p ark a ta- duje w y dobyw any zwir n a w y w ro tk i, k to re ro zw o z^ urobek do jed n eg o lub wi?cej od- biorcow (betoniam ie, b u d o w y itp .). Czas zalad u n k u jednej w yw ro tki je st zm ienn^losow ^, podobnie ja k czas jazd y w yw ro tk i (liczony od chwili zakonczenia ladow ania do chwili po- w ro tu pustej w yw ro tk i).

W w arunkach losow ych czas(5w zalad un ku i jazd y w yw rotek obserw uje si? niekiedy przestoje koparki, gdy w pu n k cie zaladow czym b rakuje pu sty ch w y w ro tek do ladow ania, a kiedy indziej kolejk? w y w ro tek czekaj^cych n a zatadunek. J e d n o i drugie zjawisko je st niekorzystne z p u n k tu w idzenia efektyw no^ci gospodarczej przedsi?biorstw a. S traty wy- nikaj3.ce z tego p ow o d u m ozn a wyeliminowa<? calkowicie ty lko w p rzy p ad k u stalego cza- su zaladunku i stalego czasu jazd y , b^d^cego calkow it^ w ielo k ro tn o sci^ czasu zaladunku.

W przy padk u losow ych czasow ja z d y i zaladunku, dla w yboru o pty m aln y ch w arunkow eksploatacji system u chcialo by si? znalezc oczekiw ane wartos'ci strat w ynikaj^cych z prze- stojdw koparki i w yw rotek. Warto^ci oczekiw ane takich strat la tw o b ? d z ie obliczy^, gdy p rak ty k p o d a ceny jedn ej godziny p rzesto ju k o p ark i i w yw rotek a m a tem a ty k obliczy rozklad praw do po d o b ieristw a stanow procesu stochastycznego opisuj^cego sytuacje w sy- stem ie. Z takim zagadnieniem zw rocil si? p rzed k ilko m a laty do m a te m a ty k6w wroclaw- skich d o cen t J e rz y W olszczan z In s ty tu tu E k o n o m ik i T ransportu P olitechniki Szczecin- skiej. Zagadnienie to je s t zadaniem z teorii obshigi m asowej, zwanej row niez te o ri^ k o le- jek (patrz np. [4] lub [5]), k to ra zajm uje si? wlas'nie m atem aty czn y m i m odelam i syste-

mow, w k to ry c h losow o zglaszaj^ce si? je d n o stk i p o trz e b u j^ obslugi o losow ym czasie trwania. W kopalni zw iru zglaszaj^cymi si? je d n o stk am i s3.p o w racaj3.ce pu ste w yw rotki, a obsluga polega na ich zaladunku. Poniew az m am y do czynienia tylk o z ustalong. liczb%

jed n ostek, k to re p o zakoriczeniu obslugi p o pew nym czasie z n6w si? zg laszaj^d o obshigi, system taki nazyw am y z a m k n i q t y m lub c y k l i c z n y m s y s te m em obstugi masowej.

Cz?3ciowe rozw i^zania zagadnienia W olszczana przedstaw ione S3, w pracach I. K opo- ciriskiej ([1] i [2]). O becna p raca uzu pelnia dotychczasow e w yniki analityczne doswiad- czeniam i uzyskanym i z zastosow ania m eto d y sym ulacji system u n a elektronicznej ma- szynie cyfrow ej.

2. Sform ulow anie zagadnienia. Z alozm y, ze w chwili pocz^tkow ej t = 0 k o p ark a roz- poczyna ladow anie, a w szystkie w yw ro tk i s^ pu ste i zn ajd u j^si? w kolejce do zaladunku.

Dalsze zachow anie si? system u b?dzie w pelni okres'lone przez p od anie dw u ci^gow licz- bow ych: ci^gu czasow trw ania kolejnych zaladunkdw

x i , x 2,

DOI: 10.14708/ma.v1i0.299

8 6

J.

oraz ci^gu czasdw jazd y kolejno zaladow anych w yw rotek

y i, yi, •••

P rzyjm ujem y na razie, ze w szystkie w yw ro tk i s% jednakow e i obowi%zuje d o w olny re- gulam in w y b o ru w yw rotki do ladow ania spo^rod p u sty ch w yw rotek czekaj^cych n a zala- dunek.

O zdefiniow anych ci^gach zalozym y, ze w yrazy pierwszego z nich s^. realizacjam i ci^- gu niezaleznych zm iennych losow ych

X l t X 2 t ...

maj^cych wspoln^. d y stry b u an t^

F(X) = V r { X k < X)

a w yrazy drugiego s^. realizacjam i ci^gu niezaleznych zm iennych losow ych

Yu Y2t

o wspolnej dy stry b u ancie

G ( y ) = P r { Y l < y } .

Zalozym y p o n ad to , ze d y stry b u an ty F( x) i G(y) m aj^ w zerze p raw o stro n n e granice row ne zeru

F{ 0+-) = G (0+ ) = 0

(co oznacza, ze zarow no czas zaladunku jak i czas jazdy z praw dopodobieristw em row- nym jednos'ci m a w artosc dodatni^.), oraz ze istniej^ skonczone calki

oo oo

E X = / < ■ —F ( x) ) dx = J * x dF(x) = a,

0 0

oo oo

EY = f ( 1_G tv)Vy = f y

) =

0 0

row ne odpow iednio w artosci oczekiw anej czasu zaladunku i czasu jazdy.

W dow olnej chwili t ^ 0 sytuacj? w kopalni zwiru opisuje w pefni (z p u n k tu w idzenia ekonom iki przedsi^biorstw a) proces stochastyczny N( t) , k to ry przyjm uje w artosc k (k = 0,1, ..., N) w tedy i ty lk o w tedy,gdy w chwili t w punkcie zaladow czym znajduje si?

k w yw rotek. Jezeli w pew nej chwili m am y N ( t i) = 0,

C ykliczn e s y ste m y obstugi masowej 8 7

to w m om encie tym w pun kcie zaladow czym nie m a zadnej w y w rotki i kop arka nie pra- cuje. Je§li n ato m iast w chw ili t 2 je st

N ( t 2) = m > 1,

to w danej chwili je d n a w y w ro tk a je st ladow ana, a m — 1 p u sty ch w yw rotek czeka na za- fadunek.

Niech

Pk ( t ) = P r { N ( t ) = k } , k = 0 , l , . . . , N ,

oznacza rozklad p raw d o p o d o b ieiistw a standw procesu N(t) w chwili t ^ 0. Jezeli istniej^

granice

(1) p , = lim P . (f),

£-> oo

to nazyw am y je gra ni cz nymi lub s t a c j o n a m y m i prawdopodobienstwarni standw procesu N(t). S tacjonarny rozklad praw d o p o d o b ieiistw a opisuje zachow anie si? system u w chwi- lach dostateczn ie odleghych od m o m en tu rozpocz?cia pracy, a je g o znajom osc pozw ala dad odpow iedz na wi?kszos'<5 fo rm u low any ch przez p ra k ty k a py tan d o tycz^cych wskaz- nikow ekonom icznej efektyw nos'ci system u.

W dotychczasow ej literatu rz e nie s% znane ogolne m eto d y analityczne pozw alaj^ce w yznaczyc zalezne od czasu, lub chocby ty lk o graniczne, ro zklady praw dopodobieiistw a standw p rocesu N ( t ) przy do w o ln ych rozkladach czasow pracy i zaladunku. M etody ta- kie istniej^ n ato m iast dla pew nych szczegolnych przy pad k o w system u.

3. In n a in terp retacja m odelu i znane rozw i^zania analityczne. Model m atem atyczny sko nstruow any w p o p rzed n im paragrafie je st row niez stosow any do opisu innych syste- mdw w yst?puj^cych w p ra k ty c e, np. system u konserw acji m aszyn. YVyobrazmy sobie, ze w h a li fabrycznej zainstalow anych je s t N au to m atd w , kto re ulegaj^. awariom w losow ych m o m en tach czasu. Z epsute a u to m aty wymagaj^. konserw acji, k to ra trw a losow ^dhigosc czasu i w pelni p rzyw raca zdolnosc produkcyjn^, au to m atu . Zalozm y, ze konserw acja wy- k o n y w a n a je st przez jed n eg o k on serw ato ra, w chwili pocz^tkow ej w szystkie au to m aty s^

zepsute, liczby x {, x 2 , ... ozn aczaj^ czasy konserw acji kolejno napraw ianych autom atow , a liczby y { , y 2 , ... czasy ich pracy od m o m en tu zakoriczenia napraw y do nast?pnej awa- rii. Pow tarzaj^c zalozenia p o przed n ieg o paragrafu rnozem y teraz zdefiniow ac proces N(t) o w arto^ciach row nych liczbie niepracuj^cych au to m atdw w chwili t, ktory m a identycz- ne rozklady p raw d o p od ob ieiistw a stanow z u p rzed n io zdefiniow anym procesem rdw nym liczbie w y w ro tek znajduj^cych si? w chwili t w punkcie zaladow czym kopalni zwiru.

Zagadnienie tran sp o rtu w kopalni zwiru je st wi?c z m atem atycznego p u n k tu widze- nia row now azne zagadnieniu k o n serw ato ra. M ozna je row niez sform ulow ac w oderw aniu od takiej czy innej sytuacji p rak ty cznej ja k o zagadnienie d o tycz^ce zam kni?tego system u obslugi masowej lub system u otw artego ze szczegdlnym rodzajem sprz?zenia zw rotnego m i?dzy strum ieniem zgloszeii i lic z b ^ je d n o ste k znajduj^cych si? aktualnie w systemie.

D okonajm y obecnie przegl^du znanych rozwi^zari analitycznych sform ulow anego zagadnienia.

A. Wykladniczy rozklad czasow z aladunku i jazdy. Z najprostszym przypadkiem ma- my do czynienia, gdy zarow no czasy zaladunku jak i czasy jazd y m aj^ rozklady wyklad- nicze

8 8 J . H u k i j . t u k a s z e w i c z

(2) F(x) =

\ —e x / a dla x > 0;

(3)

Proces N( t) jest w tedy procesem M arkowa, a graniczne praw dopodobieristw a (1) ist- niej^. i w yrazaj^ si? tak zwanym wz o re m Erlanga

(4)

Ten klasyczny ju z w ynik uzyskal C. Palm [6] w roku 1947.

B. Doivolny rozktad czasow zaladunku i wyktadniczy rozklad czasow jazdy. Gdy G ( x ) w yraza si? w zorem (3), a czasy zatadunku nie m aj^ rozkfadu w ykladniczego, proces N(t) nie je st ju z procesem M arkowa. Pom im o tego L. Takdcs [7] znalazl rozktad p raw d o ­ podobieristw a stanow procesu N(t). Nie b^dziem y tu przytaczali odpow iednich w zo r6w w yrazaj^cych praw d o p od ob ien stw a graniczne p^ za pom oc^ transform aty L aplace’a-Stiel- tjesa d y stry b u an ty F(x).

Niezaleznie od granicznych praw dopodobieiistw (1) m ozna w tym p rzy p ad k u zdefi- niowac i obliczyd graniczne praw dopodobieristw a stanow w tozonego laricucha M arkowa.

Wt oz on ym tancuchem Markowa nazyw am y ci^g warto^ci procesu w tak w y branych mo- m entach, aby ci^g ten tw orzyt taricuch M arkowa. Dla rozpatryw anego procesu N( t) w wa- runkach w yktadniczego rozkladu czasow jazd y i dow olnego rozktadu czasow zatadunku odpow iednim i m om entam i s% m o m en ty Tr zakonczenia koleinych zatadunkow . Ci^g zm iennych losow ych

N r = N(Tr + 0), r = 1 , 2 ,. ..

tw orzy taricuch M arkowa, a graniczne praw dopodobieristw a

p k = lim PrjvV r = k \ , k = 0, 1, N - \ y

charakteryzuj^. sytuacj^ na punkcie zaJadow czym w m om entach odjazdu zaiadow anych

■wywrotek. W zory na obliczanie tych granicznych praw dopodobieiistw podane s^.w pracy Kopociriskiej [1].

G raniczne praw dopodobieristw a w lozonego laricucha M arkow a nie s^ id en ty cz n e z granicznym i praw dopodobieristw am i p^ procesu N( t) zaleznego od ci^gtego p aram etru t. Z ogolniejszego tW ierdzenia Ilony i Boleslawa K opocinskich (patrz [3], tw ierdzenie 4) w ynika je d n ak , ze w przy p ad k u system u cyldicznego z dow olnym rozkfadem czasow za- tadunku i w ykladniczym rozktadem czasow jazdy praw dopodobieristw a p^ i p^ zwi^zane s^. nastepuj^cym i zaleznosciam i:

(5) a(N - k ) p k = b ( \ — p o ) Pk , k ~ 0, 1, N — 1,

z k td ry ch m ozna latw o obliczyc ro zk ta d /?^ , gdy znany je st rozktad p ^ i na o dw r6t.

C yklicznc system y obsiugi masowej 8 9

C. D owol ny rozklad czasow zatadunku i rozklad Erlanga czasow jazdy. O statnim wy- nikiem analitycznym do ty cz^cy m sform ulow anego zagadnienia je st m eto d a obliczania

granicznego rozkladu p raw d o podobieristw a stan6w w m om entach odjazdu zatadow anych w yw rotek w p rzy p ad k u system u o dow olnym rozkiadzie czasow zatadunku i rozkiadzie Erlanga rz^du k czasow jazd y

G(y) =

bk (k-

k y

-1)! 0

k - 1 e - k u / b du d l a y >

Q

P aram etr k je st liczbcj. naturalnq., a d y stry b u a n ta G ( y ) je st k - t \ pot^g^ splotowg. dystry- buan ty rozktadu w ykladniczego o w arto^ci oczekiw anej b/k.

M etoda op arta na rozbudow ie stanow system u i badaniu w fozonego w ektorow ego tancucha M arkow a opisana je st w pracy K opocinskiej [2], gdzie p o d an y je st rdw niez przyktad liczbow y dla p rzy p ad k u k = 2.

4. P rzypadek d o w o lny ch rozkladow czasow zaiadunku i jazdy . J a k pokazalism y w po- przednim paragrafie, znane rozw i^zania analityczne nie obejmuj^. w szystkich m ozliw ych ro zktad6w czasow jazd y i zaiadunku. P on adto p rak ty czn e zastosow anie niekt<5rych wyni- kow anaiitycznych w ym aga niekiedy dose skom plikow anych operacji znajdow ania trans­

fo rm at L ap lace’a-Stieltjesa i ich odw racania, a w innych p rzypadkach dose uci^zliw ych obliczeri n um erycznych. Metod^. pozw alaj^c^ badac dow olne system y cykliczne jest obserw acja em pirycznych rozkladow stanu system u na podstaw ie m odelow ania jego p ra­

cy na elektronicznej m aszynie cyfrow ej. Maj^c do dyspozyeji generatory liczb losow ych 0 odpow iednich rozkiadach m ozem y tw orzyc realizacj? kolejnych czasow zaiadunku X j, x 2 , ... i czasdw jazd y y { , y 2 , ... Te dw a ci^gi determ inujq, zachow anie si? system u w czasie. Rejestruj^c em piryczne frekw encje roznych stanow w realizacji m odelow anej na'm aszynie otrzym ujem y przyblizenie teoretycznego rozkiadu granicznego.

Realizacje procesu stochastycznego N ( t) s^fu n k ejam i przedzialam i staiym i, przyjm u- j^cym i w arto^ci calkow ite 0, 1, ..., N i m aj^cym i p u n k ty nieci^gto^ci w m o m entach za- koiiczenia iadow ania (jednostkow y spadek w artosci N(t) ) oraz w m om entach p o w ro tu pustych w yw ro tek (p rzy ro sty do datn ie). Wykres na rysunku la p o k a z u je przykiad reali­

zacji procesu N(t). P rzykiad ten skonstruowali&my przyjm uj^c, ze w kopalni pracuj^.4 w yw rotki, a realizacje czas6w zaiadunku i czasow jazd y s^ ci^gi liczbow e (w m inutach):

{x 1={8, 6, 14, 8, 19, 9, 13, 17, 13, 10, 7, 15, 12,

| y n }= { n , 34, 44, 39, 40, 27, 25, 48, 30, 30, 46, 45, 37, ...j.

Poza p rzypadkiem obu ro zk lad6w w ykiadniczych (2) i (3) proces N( t) nie je st proce- sem M arkow a. W dalszym tek^cie pokazem y ja k m o zn a zdefiniow ac w ek toro w y proces M arkowa, k t6ry b^dzie opisyw al stan system u przy dow olnych rozkiadach czasow jazd y 1 zaiadunku.

D la okreslenia procesu N ( t ) nie trzeba byio precyzow ac regulam inu kolejki pu stych w y w rotek. W dalszych rozw azaniach w ygodniej b^dzie to zrobitf. B^dziemy teraz rozroz- niali poszczeg61ne w y w rotki nadaj^c im num ery 1, 2, N okreSlaj^ce jednoczesnie p rio ­ ry te ty w kolejce do zaiadunku. Tak wi^c b?dziem y zakladali, ze jesli w m om encie zakori- czenia iadow ania Tr w pu nk cie zaiadow czym znajduje siq kolejka ziozona z wi?cej niz jed-

II

9 0 J* H u k i J . L u k a s z e w i c z

Rys. 1. Przyktad realizacji procesow N{t), Wi {t ), W2 {t), ^ ( f ) , W$(t), K(t) i L( t )

Cykliczne sy ste m y obstugi masowej 9 1

nej pustej w yw rotki, to d o nast?pnego zaiad un ku w ybiera si? sposr6d czekaj^cych w y ­ w rotek t?, k to ra m a najnizszy num er.

Id entyfik acja poszczegdlnych w y w ro tek i ustalenie p rio ry teto w pozw ala nam zdefi- niowac w ektorow y proces sto chasty czn y

W(t) = [ W i (t), W2 ( t)... WN ( t ) l

k torego skladow e opisuje ak tualne p oiozenie poszczegdlnych w yw ro tek , a mianowicie:

jezeli w chwili t w y w ro tk a o num erze k znajduje si? w punkcie zaia­

dow czym ;

jezeli w chwili t w y w ro tk a o num erze k znajduje si? na trasie i w r6ci do p u n k tu zaladow czego po czasie iv.

ReaUzacje poszczegolnych skladow ych procesu W(t) s^ fu n k cjam i przedzialam i linio- w ym i (patrz w ykresy na rysunkach lb ,c ,d ,e ). P unktam i nieci^glosci skladowej W^{t) s^

m o m en ty odjazdu z kop aln i w yw rotki o num erze k, a d o d atn ie skoki w tych p u n k tach s^czasam i rozpoczynaj^cych si? w ted y jazd . O dcinki poziom e na osi czasowej oznaczaje okresy p o sto ju £-tej w y w ro tk i w pu nkcie zaiadow czym (czekanie w kolejce i zaladunek).

W ykresy przykladow ej realizacji skladow ych W\ (t ), W2 (t ), W3 (£) i W^{t) sporz^dzilism y n a podstaw ie ci^gow (6) i przyj?tego regulam inu kolejki.

Z w rocm y uwag? na fak t, ze w ektorow y proces W{t) w yznacza jednoznacznie proces N(t). W kazdej chwili t ^ 0 w artosci^ procesu N (t ) je st liczba zerow ych skladow ych wek- to ra W{t). Proces N( t) nie w yznacza n ato m iast procesu W(t) p o za w yj^tkow ym i przypad- kam i specjalnym i (np. gdy m am y tylko je d n ^ w y w ro tk ?, lub gdy przyjm iem y specjalne zalozenia o rozkladzie czasow ja z d y ).

Z definiujem y jeszcze dw a procesy, charakteryzuj^ce sytuacj? w punkcie zaiadow ­ czym . Niech:

K (t ) oznacza czas ja k i uplynie od chw ili t do m o m en tu zakonczenia najblizszego za­

iad u n k u ;

L ( t ) oznacza n um er w y w rotki, ktorej zaladunek zostanie zakonczony w m om encie

t + K(t).

R ealizacjip ierw szeg o z nich je st fu n k cja przedzialam i liniow a (patrz w ykres na ry- sunku If), a drugiego funkcja przedzialam i stala (wykres n a rysunku lg). P odobnie jak proces W(t) oba procesy K( t) i L ( t ) m a j^ p u n k ty nieci^gloSci w m o m entach Tr zakoncze­

nia Iadow ania kolejno lad ow anych w yw rotek (r = 1 ,2 , ...). Przyjm iem y d o d atk o w o Tq = 0 i u m6w im y si?, ze w p u n k ta ch nieci^glosci w arto^ciam i procesow W(t), K ( t) i L(t) s^. ich p raw o stro n n e granice.

Zdefiniujem y teraz w ektorow y proces stochastyczny

Z(t) = [ W ^ t ) , W2 ( t ) , W N (t), K ( t ) , L ( t ) ] .

Z przy j?tego na p o cz^ tk u zalozenia, ze w chwili t = 0 w szystkie w yw rotki s^ p u ste i zn ajd u je si? w punkcie zaiadow czym , oraz z p rzyj?ty ch p rio ry teto w obslugi i z definicji skladow ych procesu Z(t) w ynikaje nast?pujq.ce fakty.

(i) W chwili pocz^tkow ej t = 0 w artosc procesu Z ( t ) zalezy tylko od realizacji zmien- nej losow ej (czas zaiadunku pierwszej w yw ro tk i):

w k (t) =

0,

W > 0,

9 2 J. H u k i J . L u k a s z e w i c z

W^ (0) = 0 dla k = \ , 2 , ..., N,

(7) K( 0) = X lt

L ( 0) = 1 .

(ii) Dla kazdej realizacji procesu Z( t) i kazdego ^ 0 istnieje liczba n atu ra ln a * taka, ze

r _ , < t 0 < r ,

a najblizszy po chwili £0 p u n k t nieci^gtosci T- procesu Z(t) m ozna w yrazic przez w artosc procesu Z(t) w punkcie t 0

<8 > T . = to + K{to).

(iii) Znajomos'c w artosci procesu Z(t) w punkcie t o w yznacza d eterm in isty czn ie jego przebieg w przedziale (t0 , T-). Dla dow olnego t € (t0 , T-) je st

IVk (t ) = m ax [0, VIh (t 0 ) - ( t - t 0 )], k = 1 , 2 , N,

‘ K ( t ) = K ( t 0 ) - ( t - t 0 ), L ( t ) = * L ( t o

).

(iv) Wartosc procesu Z ( t ) w punkcie T^jest w yznaczona przez wartosd: Z( to ) i realiza- cje zm iennych losow ych X - + j oraz Y •:

Y d la k = L ( t 0 ),

m ax [0, Wk (t0 ) — K ( t 0 )], dla k ^ L ( t 0 ),

(9)

1 < I < N

L ( r .) = m in {/ : W. ( r . )= m in W ( r .)} .

* I J 1 1 < I < N L 1 J

Z pow yzszych faktow oraz z niezaleznosci ci^gow zm iennych losow ych , ...

i Y

i,

TW IERDZENIE 1. Przy d o w o l n y c h rozkladach czasow zatadunku i czasow jazdy w e k t o r o w y proces st och as ty czny Z(t) j e st procesem Markowa.

Zw rocm y tu uwag$ na fak t, ze proces w ektorow y W{t) nie je st procesem M arkow a.

D opiero dol^czenie sktadow ych K ( t ) i L ( t ) pow oduje wlasnosc m arkow skosci procesu Z{t). Przez odpow iednie po dstaw ien ia we w zorach (9) otrzym ujem y jed n ak , ze

(10) Wk (Tt.) =

| k , dla k = L (t._ j ),.

^ m ax [0, Wk (T._ J ) - X { - ^ ^min ^ ,)] , dla k * L (t,._ l \

Cykliczne sy ste m y obstugi masowej 9 3

gdzie

L (Ti - l ) = m in min W,

Z pow yzszego w zoru w ynika, ze w artosc procesu w ektorow ego W{t) w pu n kcie Tz- jest w pelni okre& ona przez w artosc tego p rocesu w punkcie T-_ j oraz przez realizacje zm iennych losow ych X±, Y w lasnosc m o zn a wyslowic w form ie nast^puj^cego twier- dzenia.

TW IERDZI izie

jest w l o z o n y m lancuchem Markowa dla procesu wekt or oweg o W{t).

W yslow ionych tu tw ierdzeri nie um iem y w yzyskac do analitycznego w yznaczenia rozkladu praw d op o d ob ieiistw a procesu stochastycznego N( t) . Je d n a k z e w zory (7)-(10) w skazuj^ droge latw ego sym ulow ania realizacji procesu W{t), a wi^c rdw niez procesu N(t).

5. Syraulow anie p racy cyklicznego system u obshigi masowej. Dla r6znych rozkladow czasow zaladunku i ja z d y generow alism y na m aszynie cyfrow ej realizacje w lozonego lari- cucha M arkow a jW rj. Dla kazdego r = 1 ,2 , ... realizacja w ektorow ej zm iennej Iosowej Wr pozw ala obliczyc realizacja zm iennej Iosowej N r, r6w n^ liczbie zerow ych skladow ych w ek to ra Wr. Tak obliczona realizacja iVr = N{Tr + 0) oznacza liczby w yw rotek w punkcie zaladow czym bezp o sred n io p o o d je id zie r-tej zaladow anej w yw rotki. Zm ienne losowe N r przyjm uj^ w artosci 0, 1, ..., N —l (jedna w y w ro tk a wlasnie odjechala). Nas b^d^. intereso- waly graniczne rozklady praw d o po d o b ieiistw a

J a k o przyblizenie granicznego rozkladu (1 1 ) b^dziem y przyjm ow ali em piryczne frek- w encje poszczegdlnych stanow na pew nym odcinku realizacji ci^gu zm iennych losowych N r. Sym ulacj? realizow alism y w edhig nastepuj^cego schem atu post^pow ania.

(a) U stalam y w arunki pocz^tkow e:

(b) Zwi^kszamy w artosc i o jed en , generujem y realizacje zm iennych losow ych X- oraz Y ■, a nast?pnie stosuj^c w zor (1 0) obliczam y now e w artosci skladow ych w ektora W-.

(c) O bliczam y wartos'c N ■ ja k o liczby zerow ych skladow ych w ek to ra W ■.

(d) K roki (b) i (c) po w tarzam y tak dhigo az p o raz pierwszy uzyskam y w artosc Nj = 0.

(e) K roki (b) i (c) pow tarzam y jeszcze u stalo n ^liczb y ^ ra z y .

D otychczasow e czynnosci okre^laly tak zw any jalow y przebieg symulacji. Jeg o ce- lem bylo doprow adzenie system u do losow ego stanu. Dalej b^dziem y konty nu ow ali sy- mulacjq z jedno czesn ym rejestrow aniem zaobserw ow anych stanow ci|gu|^V A W tym celu post^pujem y jak nast^puje.

( i i ) k = 0, 1, N - l .

Wk (Ti )= 0, k = 1 ,2 , N,

9 4 J . H u k i J. L u k a s z e w i c z

(f) Zerujem y odpow iednie liczniki, a nast^pnie pow tarzam y kroki (b) i (c) okreglon^

liczb? CO razy. Przy kazdym pow torzeniu tych k ro k6w zw i^kszam y o jednodd stan licznika , jezeli k je st zaobserw ow an^ w artoscieA^-

(g) Po w ykonaniu przew idzianej liczby CJ krokdw dzielimy stany licznikow A ^ przez liczb? CO. O trzym ujem y w ten sposdb em piryczne frekw encje , b?d%ce przybli- zeniami granicznych praw dopodobieristw p ^ (k = 0, 1, ..., N —l).

Generuj^c realizacj? zm iennych losow ych X i o dystrybuancie F (x) oraz zm iennych losow ych Y • o dystry b u an cie G(y) korzystalism y z generatora pseudolosow ych liczb £n o rozkladzie jed n o stajn y m w przedziale (0, 1), pracuj^cego na zasadzie rekurencyjnego wzoru

£ . = cz?sc ulam kow a liczby (£ , + 2£ ),

VI * 1 Yl Yl

So = \ / 3 / 2 ,

= V 5 /7 .

Realizacje x- i y ■ zm iennych losow ych X^ i Y ■ obliczalismy nast?pnie za p o rn o c^

wzorow

", = r ' (««>•

Vi = c - 1 ({2l.+ 1).

Stosuj^c opisany algorytm przyjm ow alism y V= 10 i C0= 2000. P o r6w nanie uzyski- w anych w ynikow z analitycznym i rozw iezaniam i (w p rzypadku, gdy takie rozw i^zania s^

znane) doprow adzito nas do w niosku, ze 2 0 0 0 rejestrow anych realizacji daje stosunkow o d o b re zgodnosc em pirycznych frek w en cji/^ z teoretycznym i p raw d o p o d o b ien stw am ip ^ .

Opisany tu schem at p o stfp o w an ia przy symulacji cyklicznego system u wyszczeg61- nia tylko czynno^ci p o trze b n e do obliczenia em pirycznych frek w en cji/^ stan6w ci^gu losowego^A^r|. W rzeczyw isto^ci w ykonyw ane byly jeszcze pew ne czynnoSci d o d atk o w e, a m ianow icie:

(h) W kazdym p o w to rzen iu krokow (b) i (c) po okresie jalow ego przebiegu sym ulacji zw i?kszano o jed n o sc licznik kursow w yw rotki o num erze L{T-_ j).

(i) K azdorazow o po zaobserw ow aniu stanu N ■ = 0 obliczano czas przesto ju koparki

U= min

1 < K N 1 • ’

a nast£pnie dlugosc okresu nieprzerw anej pracy koparki V= X . + X.+ , + ... + X ..

i i

+1

1

gdzie s - 1, 2, ...je s t liczby zaladow anych w yw rotek do nast?pnego przestoju k o ­ parki

j =

^:j>

= o |.

O bserw ow ane wartos'ci U, V oraz ich kw adraty U2, V2 byly sum ow ane w odpo- w iednich rejestrach program u.

Cykliczne s y s te m y obshigi masowej 95

Po zakoriczeniu sym ulacji stany licznikriw kursow zawieraly interesujqc^ inform acj?

0 stopniu w yk o rzy stan ia w yw ro tek o rozn ych num erach (ile razy d an a w y w ro tk a byla ladow ana), n a to m ia st zaw artosci rejestrow sum U, U2, V i V2 pozw alaly obliczad ^rednie 1 dyspersje dhigos'ci okresow przestoju i okresow nieprzerw anej pracy koparki.

6. W yniki sym ulacji. W dalszym ci^gu b^dziem y si^ zajmowali w yl^cznie system am i cyklicznym i, dla k to ry c h oczekiw any czas zaladunku je st row ny

E X = a = 5 m in u t,

a oczekiw any czas jazd y

E Y = 6 = 5 0 m inu t.

Takie w artosci obserw ow al J . W olszczan w istniej^cej kopalni zwiru i d la takich w artosci podane s^ przyklady w pracy I. K opociriskiej [1]. Przy takich w artosciach oczekiw anych naiwny sposob rozu m o w ania ustala liczb? p o trz e b n y c h w yw rotek na poziom ie N = 11.

Skoro bow iem pelny cykl o b ro tu jednej w y w ro tk i trw a srednio 55 m in u t, to w tym cza­

sie koparka zaladuje srednio 11 w yw rotek. W dalszym tekscie pokazem y m i^dzy innym i jakie s% konsekw encje takiego ustalenia liczby w y w ro tek przy roznych rozkladach praw-

dopodobieristw a czasow zalradunku i jazdy .

Jezeli przyjm iem y, ze oba rozklady s^. w ykladnicze (2) i (3), to dla ustalo n y ch w arto ­ sci param etrow a, b i dla N = 11 w y w ro tek p rzep ro w ad zo n a sym ulacja daje frekw encje

p okazane w drugiej kolum nie tablicy 1. W czw artej kolum nie tej tablicy p o d an e s^gra- niczne p raw do po do b ieiistw a stanow p rocesu N ( t ) z param etrem ci^glym. to liczby zdefiniow ane w zorem (1) i obliczone analitycznie przy uzyciu w zoru (4). Stosuj^c w zor (5) obliczylism y z nich graniczne p raw d op od ob ieiistw a p ^ stan6w w lozonego lancucha

TABLICA 1

Wyniki sym ulacji oraz teo rety czn e rozklady graniczne p k i p^ dla system u cyklicznego z w ykladniczym i rozkladam i czasow zaladu nk u i ja zd y (a = 5 m in, b = 50 m in, N = 11 w yw rotek):

k f k Pk Pk liczba kursow

&-tej w yw rotki

0 0,2105 0,2146 0,16323 —

1 0,20 80 0,2146 0,17956 179

2 0,1955 0,1931 0,17956 190

3 0 ,16 0 0 0,1545 0 ,1 6160 185

4 0 ,1060 0,1081 0,12928 195

5 0,0630 0,0649 0,09050 2 0 1

6 0,0325 0,0324 0 ,05430 206

7 0,01 70 0,01 30 0,02715 184

8 0,0 0 7 0 0,0039 0,01086 182

9 0,0005 0,0008 0,00326 164

1 0 0 , 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0,00065 152

1 1 —

|

U = 4,61 m in, 6 (U) = 6,59 m in, V= 23,02 min, 6 (V) = 51,78 m in.

9 6 J. H u k i J . L u k a s z e w i c z

Markowa 1 ^ 1 (trzecia kolum na tablicy 1). Pi^ta kolum na tablicy 1 pokazuje liczby kur- sow poszczegolnych w yw rotek. Na dole tablicy podane sq. zaobserw ow ane srednie i dys- persje dlugosci okresow przestoju i okresow nieprzerw anej pracy koparki.

Porow nanie drugiej i trzeciej kolum ny tablicy 1 w ykazuje duz^ zgodnosc frekw encji f k uzyskanych drog^. symulacji i analitycznie obliczonych praw dopodobieristw p ^ . Po-

dobn^. zgodnosc stwierdzilism y rowniez w przy pad k u innych w artosci liczby w yw ro tek N oraz innych ro zk la d6w, dla k torych um iem y analitycznie obliczyc praw dopodobieristw a pfr (np. w p rzy p ad ku determ inistycznego czasu zaladunku i w ykladniczego ro zk lad u cza- sow jazdy).

G raniczne praw dopodobieristw o p Q procesu N( t) je st w aznym w skaznikiem efektyw - nosci rozpatryw anego system u. OkreSla ono frakcj? czasu, w k to ry m k o p ark a nie pracuje.

W tablicy 1 o dczytujem y, ze przy 11 w yw rotkach i w ykladniczych rozkladach czasu jazd y i zaladunku frakcja ta je s t ro w n a p0 = 0,16323. W takich w arunkach rzeczyw ista wydaj- nosd kopalni osi^ga w artosc rriwnq. 1 — p Q = 0,83677 potencjalnej w ydajnosci (to je st wy- dajnosci, k to r^ zapew nilaby nieprzerw ana praca koparki).

Zw rocm y uwag? na fakt, ze oszacowanie realnej w ydajnosci 1 — p Q nie w y n ik a bez- posrednio z uzyskiw anych poprzez sym ulacj? frek w en cji/^ stanow ci^gu|A^r|. W p rzy ­ padku, gdy spelniona je st zaleznosc (5) m i?dzy praw dopodobieristw am i p ^ i p ^ (a wi?c w szczeg61nosci w przy pad ku obu rozkladow w ykladniczych) m ozem y znaiezc oszacowa-

A ^ ^ ^

nie praw dopodobieristw a p Q nodstaw iaj^c w (5) k = 0 i/ 0 w m ie js c e p 0< Rozwi^zuj^c otrzym ane w ten sposob row nanie d l a / Q = 0,2105 dostajem y

p 0 = 0,1606 i l - p 0 = 0,8394.

Wartosci te s ^ b a rd z o zblizone do w ynikow uzyskanych z dokladnego rozkladu uzyskane- go metod^. analityczn%.

M ozna row niez zaproponow ac inn^. m eto d ? oszacow ania rzeczywistej w ydajnosci na podstaw ie w ynikow symulacji. M etoda ta w ykorzystuj^ca w artosci srednie U i V nie je st ograniczona do system ow , w k tory ch spelniona jest zaleznosc (5). R zeczyw ista wydaj- nosd, czyli frakcja przepracow anego czasu przez kopark?, je st ilorazem w artosci oczeki- wanej dlugosci okresu nieprzerw anej pracy do sumy w artosci oczekiw anej dlugos'ci okre- su nieprzerw anej pracy i w artosci oczekiwanej dlugosci okresu bezczynnosci. Zast?puj^c nieznane wartos'ci oczekiw ane srednimi uzyskanym i podczas sym ulacji uzyskujem y w oma- w ianym p rzy p ad k u

(12) 1 - p 0 0,8335.

U+ V

O trzym ana w artosc je st znow bardzo bliska w artosci dokladnej.

Przyjrzyjm y si? jeszcze liczbom U i O(U). W przypadku gdy czasy jazd y majq. rozklad w ykladniczy (3) dlugos'c okresu bezczynnosci koparki U m a row niez rozklad w ykladni- czy z w artoSci^ oczekiw an^

E U = b / N .

Jesli bow iem w chwili T- w szystkie w yw rotki s^ na trasie (zaczyna si? okres bezczynnosci koparki), to resztow e czasy jazd y W^ (Tj) poszczegolnych w y w rotek s^. niezaleznym i zm iennym i losow ym i o rozkladzie takim sam ym jak rozklad calego czasu jazd y , a m ini­

m um niezaleznych zm iennych losow ych o jedn ako w y m rozkladzie w ykladniczym m a r6w niez rozklad w ykladniczy. W naszym przy p ad k u

Cykliczne sy s te m y obshigi masowej 9 7

E U = 5 0 /1 1 ^ 4,55 m inut.

Poniew az zm ienna losow a o rozkladzie w ykladniczym m a dyspersja row n^ w artosci oczekiw anej, wi^c ty sam y w artosc m a dyspersja dlugo^ci okresu bezczynnosci koparki.

O trzym ana przez sy m ulacji w artosc U = 4,61 m in u t bardzo dobrze p rzybliza te o rety czn y w artosc oczekiw any czasu bezczynnosci, n ato m iast em piryczna dyspersja 0 ( U ) = 6,59m i- n u t rozn i si^ bardziej od w artosci teoretyczn ej.

Dlugosc okresu nieprzerw anej p racy V m a rozklad dose skom plikow any. Takacs [7]

podaje transform at^ L ap lace’a-Stieltjesa tego ro zkladu w p rzy p ad k u dow olnego rozkladu czasow zaladunku i w ykladniczego ro zkladu czasow jazdy. Dla obu rozkladow wykladni- czych i p rzy jety ch tutaj w artosci p aram etro w m ozem y z w zorow Takacsa obliczyc pierw- sze dw a m o m en ty dlugosci okresu nieprzerw anej pracy koparki

E V = 2 3,30 m in u t, o( V) = 4 4 ,7 4 m in u t.

W artosc oczekiwany, m ozna obliczyc row niez przez rozw iyzanie wzgl^dem E V row- nos'ci

E U

E U + E V ~ P o ’

co w naszym p rzy p ad k u daje w ynik

E V =---E U = 2 3 ,3 0 m inut.E U Po

Porow nujyc m o m en ty teo rety czn e z zaobserw ow anym i podczas sym ulacji w arto&ia- mi em pirycznej sredniej V = 23,02 m in u t i em pirycznej dyspersji 0{V) = 51,78 m inut stw ierdzim y znow u bardzo d o b ry zgodnosc srednich i nieco gorszy zgodnosc dyspersji.

S tosu nk o w o m aly inform acje zaw iera o statn ia kolum na tablicy 1. Widac, ze zaw arte w niej liczby kursow 1 1 w yw rotek p rzy w ykladniczych rozkladach czasow zaladunku i ja zd y m alo rozniy si$ m i?dzy soby. L osow e bl^dy poszczegolnych pozyeji zacierajy wplyw przyj^tego regulam inu p rio ry te to w w kolejce, k to ry oszcz^dza w y w ro tk i o wyz- szych num erach.

Przeprow adzilis'm y row niez sym ulacje system ow cyklicznych w p rzy p ad k u innych rozkladow czasow zaladunku i jazd y. W szczegolnosci interesow aly nas rozklady prosto- kytne i rozklady trdjkytne. R o z k l a d e m pr ost okq, tnym w przedziale (r, 5) nazyw am y roz- klad praw d op od obieiistw a o g^stosci pokazanej n a rysunku 2a. D y stry b u an t? takiego roz­

kladu b^dziem y oznaczali s y m b o le m /^ 5(-). R o z k t a d e m t r dj kq tn ym w przedziale (r, s) b^dziem y n ato m iast nazyw ali rozklad p raw d o po do bieiistw a o gqstosci pokazanej na ry­

sunku 2b. D y stry b u an te tego ro zkladu b^dziem y oznaczali sym bolem Tr (•). W p rzy p ad ­ ku gdy p rzedzial (r, s) redukuje si^ d o p u n k tu r sym bol Pr r (-) b^dzie oznaczal dystry- buant£ stalej r. W artosciy oczekiw any zm iennej Iosowej o rozkladzie p ro sto k y tn y m lub trd jk ytny m je s t oczywiscie srodek przedzialu.

R ozpatrzm y szes'c rozkladdw p ro sto k y tn y c h czasu zaladunku:

/'( X) = 'P5 ,5 (X)’ ^ 4 ,6 ^ P ?>yl ^ y ^ 2 , 8 P l,9^x ^ ^ 0 ,1 0 ^ ^ i szes'c rozkladdw p ro sto k y tn y ch czasu ja zd y :

9 8 J. H u k i j . L u k a s z e w i c z

Rys. 2a. Wykres g?stosci prostok^tnego rozkladu prawdopodobienstwa w przedzialc (r, s)

Rys. 2b. Wykres g?stosci trojk^tnego rozkladu prawdopodobienstwa w przedziale (r, 5)

= ^ 50 , 50 ^ ) ’ ^ 40 , 60 ^ ) ’ ^ 30 , 70 ^ ^ ^ 20 , 80 ^^’

^ 1 0 ,9 0 ^ )* ^ 0 ,1 0 0 ^ ^

Dla kazdej z 36 p ar [^ (x ), G (y)], jakie m ozna utw orzyc z tych rozkladdw , przeprow adzi- lismy sym ulacj? cyklicznego system u obshigi z 1 1 w yw rotkam i i w yznaczylism y empi- ryczne frekw encje stanc5w ci^g u jA ^j. Nie b?dziem y tu pokazyw ali uzyskanych rozkladow zadawalaj^c si? je d y n ie pokazaniem 36 zaobserw ow anych w ydajnosci takich system6w (patrz tablica 2). System o determ inisty czn y ch czasach zaiadunku i jazd y [P5

^ 5 0 5 0 ^ ) 1 ch arak tery zu je si? oczywi^cie p eln ^ w ydajnosci^. Dla takiego system u p o roz- ladow aniu pocz^tkow ej kolejki ustala si? stan stafy N ( t ) = 1 i nie bylo p o trzeb y przepro- w adzenia sym ulacji. Dla w szystkich pozostalych przypadkow rzeczyw ista w ydajnosd sy­

stem u je s t nizsza od jed n o sci. Interesuj^cym je st fak t, ze w przewazaj^cej cz?£ci tablicy 2 zaobserw ow ana wydajnost! rzeczyw ista (obliczona w ediug w zoru (1 2)) w ykazuje zniko- me w ahania. Na ry sunku 3 pokazane s^em p iry czn e frekw encje stanow ci^gu { N r} dla w ybranych 5 system dw z prostokcjtnym i rozkladam i czas6w zaiadunku i jazdy. Dla po- rdw nania narysow ane s^ tam row niez em piryczne frekw encje / • z tablicy 1 (w ykladnicze rozklady czas6w zaiadunku i jazdy ).

P odobne sym ulacje w ykonalism y dla system ow , w k to ry ch pracuje 11 w yw rotek, a rozklady czasow zaiadunku i jazd y szj, roznym i rozkladam i trojk^tnym i. Z uzyskanych

Cykliczne system y obstugi masowej 9 9

TABLICA 2

Zaobserw ow ane w ydajnosci rzeczyw iste w 36 system ach z 11 w y w rotkam i i ro znym i roz­

kladam i p ro sto k ^ tn y m i czasow zaladunku i ja zd y :

G( y) P 5,5^x ) p 4 fe ( x ) ^3 ,7 (x ) P 2 , 8 ^ ^ 1 >9(*) p o , i o W

P ^ 0 ,5 0 ^ ) 1,000 0,979 0,959 0,939 0,921 0,903

* 4 0 , 6 0 ^ 0,923 0,924 0,9 2 0 0,908 0,898 0,886

^ 3 0 , 7 0 ^ 0,90 0 0,899 0,896 0,890 0,882 0,873

P 2 0 , 8 0 ^ 0,893 0,891 0,887 0,882 0,875 0,869

^ 1 0 ,9 0 ^ 0 ,886 0,886 0,882 0,877 0,871 0,864

^ 0 , 1 0 0 ^ 0,879 0,878 0,876 0,873 0,868 0,861

w ynikdw pokazem y tu ty lk o em piryczne frekw encje stanow ci^gujA/p j dla w ybranych 5 system ow z rozkladam i tro jk ^tn y m i. P rzedstaw ione s^. one na ry sunku 4, gdzie, podob- nie jak p oprzednio, narysow alism y row niez em piryczne frekw encje stan6w dla system u z rozkladam i w ykladniczym i.

Porow nanie rysunkow 3 i 4 po zw ala zaobserw ow ac duze podobieA stw o ksztaltu empi- rycznych rozkladow stanow w system ach z rozkladam i p ro sto k ^ tn y m i i w system ach z rozkladam i tro jk ^tny m i. W obu p rzy p ad k ach w m iar? w zrostu dlugosci przedzialow (a co za tym idzie takze w zrostu dyspersji czasow zaladunku i jazd y ) obserw ujem y zbliza- nie si? rozkladu em pirycznych frekw encji d o ro zk lad u odpow iadaj^cego w ykladniczym rozkladom czasow zaladunku i ja zd y . Dla u stalo n y ch w artosci oczekiw anych (a = 5 m inut, b = 50 m in u t) w klasie rozkladow p ro sto k ^ tn y ch (w przedzialach lez^cych n a p o lo si nie- ujem nej) najwi?ksze dyspersje maj^:

dla czasow zaladunku Pq i q ^ ) ~ dyspersja 2,88 m in, dla czasow jazd y Pq jq0 ^ ) ~ dyspersja 5 0 /\/3 " s=! 28,8 min.

W klasie odpow iednich rozkladow tro jk ^tn y ch najwi?ksze dyspersje maj^:

dla czasow zaladunku Tq i q{x) — dyspersja 5 / y / 6 ^ 2,04 m in, dla czasow jazd y Tq ~ dyspersja 5 0/x/6~^ 20,4 min.

W obu skrajnych przy padk ach dyspersje s^jeszcze znacznie mniejsze od dyspersji rozkla­

dow w ykladniczych (2) i (3) (dyspersja czasow zalad u n ku = 5 m in, dyspersja czasow ja z ­ dy = 50 m in). W yjasnia to p rzyczy n ? tego, ze n a ry su n k ach 3 i 4 em piryczne frekw encje dla system ow z rozkladam i w ykladniczym i w yraznie odbiegaj^ od em pirycznych frekw en­

cji po zo stalych system dw .

N iew ykorzystanie p otencjalnej w ydajnosci ko palni zm usza do zastanow ienia si$ nad mozliwos'ciami zw i?kszenia rzeczyw istej w ydajnosci system u. M ozna to osi^gn^c przez zw i?kszenie liczby w y w ro tek N. Celowos'c takiej zm iany m ozna ocenid na podstaw ie zna- jom osci zw i^zanych z tym k osztdw eksploatacji d o d atk o w y ch w y w ro tek i uzyskiw anego p rzy ro stu rzeczyw istej w ydajnosci system u. T? ostatni^. w ielkosc m ozem y ocenic prze- prow adzaj^c sym ulacj? dla system u ze zwi?kszon^, liczby w yw rotek i odejm uj^c rzeczy­

w iste w ydajnosci zaobserw ow ane w ob u system ach. Tak np. pordw nujqc w ydajnosci sy­

stem ow z N i N + 1 w y w rotkam i m ozem y obliczyc p rz y ro st rzeczyw istej w ydajnosci, czy- li zysk z w prow adzenia d o eksploatacji (N + l)-ej w yw ro tk i.

Dla kazdego z 36 system ow , k td ry c h rzeczyw iste w ydajnosci pokazane s%w tablicy 2 obliczylism y zysk z w prow adzenia do eksploatacji 12-tej wywrotki.. Przedstaw ione w ta-

ooLO

F W = P4 f i M

^ ( v ) = ^4o,6o(y)

0 1 2 3 4 oo od lo cn lo

to oo o oo o oo o o

F (*)= P

8 ( y ) = P 10i90(y )

cn CSJ Csj

I ■

3 4 5 6

'3- cn CO cn co cn oo o

51 o o o

F M = P 3,7(

)

0 1 2 3 4 5 OO CO Cvj PO CO CD to CM o CO ^ O

CO OO t— O O

F (x)= P ojoM

( ? ( y ) = f 0iioo(y)

0 1 2 3 4 5 6 IT og io cn ^ cn

00 CO CO o T—

CSJ CVI r - r - o O

F{x)=Plfi(x)

0 ( ( / ) = p 2o,8o(y)

0 1 2 3 CD O O CD

lo oo cn co r - CSJ CSJ V-

I 1

4 5 6

co

o o O

F {x)=

6(y)=/l-e~y/50

h

0 1 2 3 4 5 6 7 8

T— O O t O O C O O O C O C ^ C ^ O c n c o o c o r o r - o

C S J C S l v - T — v - o o o o

t*

CX*

pc/i NCD S ON

Rys. 3. Empiryczne frekwencje stanow ci?gu Nr dla 11 wywrotek i roznych rozktadow ezasow zaiadunku i jazdy

10 0

H x ) = h / x ) G ( y ) = h o f i o ( y )

F M = T 3

(

)

F (x) = T 2/ x)

£(y)=7~ 2o,8o(y)

0 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

_■

5

' ' t CNl_CNJ oo tr>CD CD^LO OOo c nco ^CNJr — ^LO COo c n^LO o^{LO CNJ^}—

T— lo CvJ o ^— CO CO O co co o o

F ( x ) = T ^ { x ) F ( x ) = T 0 ^j 0 ^(x) F(x)

G(y)—Tv)fio(y) G(y)—T o,ioo(y) ^G(y)

0 1 2 3 4 5 6 I I I

. . .

o 1 ;2 3 4 5 6 0 1 ;’ 3 4 5 6 7 8

l o c d o c o c o l o

L O O C O C O t ' - O

V - O O O s J V - O O O

cn oo o cn r— o oo

l o o o c o o

«c— CSJ CM v- O O O

x— oo cd o co co co C1'*

o c d c o o c d c o ^- o CNJ CNI t- t— r— O O O O

Rys. 4. Em piryczne frekwencje stanow ci^gu N r dla 11 w yw rotek i roznych rozkladow czasow zaladunku i jazdy

Cykliczne systemy obslugi masowej101

Xc 7T

CK

&>

Rys. 5. Zysk z n-tej w yw rotki przy roznych rozkJadach czasow zatadunku i jazdy

102

Cykliczne sy ste m y obslugi masowej 1 0 3

blicy 3 w yniki takiego rach u nk u wykazuj^. d u z ^ stabilnosc ze wzgl^du na rozklady cza- sc5w zaladunku i jazdy. Zysk z w p ro w ad zen ia do eksploatacji 12-tej w yw rotki w system ie o w ykladniczych rozkladach czas6w zaladunku i jazd y m ozem y obliczyc analitycznie ko- rzystaj^c ze w zoru (4). Zysk ten je s t row ny 0,0435.

TABLICA 3

Zysk z 12-tej w yw rotki w 36 system ach o ro zny ch rozkladach p ro sto k ^ tn y ch czas6w za­

ladunku ija z d y : F(x)

G( y) P 5 , 5 ^ ) P4 , 6 ^ P 3 j7 (x)

P 2 , 8 ^ p o ,io ( * )

p 5o,5o(y) 0,000 0,016 0,031 0,035 0,035 0,033

p 4o, 6o(y) 0,056 0,055 0,052 0,049 0,046 0,044

P 30, 70(y ) 0 ,054 0,054 0,052 0,051 0,050 0,049

P 20, 80( y ) 0,052 0,053 0,053 0,053 0,052 0,050

P 10,9 0 ^ 0,049 0,049 0,049 0,049 0,050 0,050

^ 0 ,1 0 0 ^ ^ 0,046 0,047 0,048 0,048 0,047 0,047

Dla system ow o rozkladach p ro sto k ^ tn y ch [Pq ^ 0 1 0 0 ^ ^ 1 sYstem ^ w ° roz’

kladach trojkqtnych [7"q iq (x ), ^0 1 0 0 ^ ^ w ykonalism y sym ulacje dla kolejnych liczb N = 1, 2, ..., 16 w y w rotek, tak aby m o zna by lo w tym zakresie obliczyc zysk z kazdej w yw rotki. Wyniki sym ulacji po k azan e s^, na ry su n k u 5. PrzedstawiliSmy tarn row niez zy- ski z kolejno w prow adzanych d o eksploatacji w y w ro tek w system ie o rozkladach w y klad ­ niczych oraz w system ie o d eterm in isty czn y ch czasach zaladunku i jazd y . Pierwsze z nich obliczono analitycznie, n ato m iast jasn y m je st, ze p rzy determ in isty czn ych czasach zaladunku i ja zd y kazd a no w a w y w ro tk a do 11-tej wlgcznie zwi^ksza wydajnos<5 rze- czywistq. o 1/11 w ydajnosci po tencjalnej. Przy 11 w yw rotkach zostaje osi^gni^ta pelna w ydajnosc po ten cjaln a i dalsze zw i?kszanie liczby w yw rotek nie przynosi ju z zadnego zysku.

Wykresy przedstaw ione na ry su n k u 5 w ykazu j^ dose zblizony przebieg krzyw ych zy­

sku dla system ow z ro zn ym i losow ym i ro zkladam i czasow zaladunku i jazd y .

Sym ulacje, k td ry ch w yniki przedstaw ilism y w niniejszej pracy zostaly w ykonane na m aszynach ELLIO TT 803 i O DRA 1204 w C entrum O bliczeniowym In s ty tu tu Matema- tycznego U niw ersytetu W roclawskiego. P rzeprow adzone obliczenia w ykazuj^ przydatnoSc m eto dy symulacji do b ad an ia og61nych system ow cyklicznych a takze duz^. stabilno^c w ynikdw ze wzgl^du na rozne rozklady czasdw zaladunku i jazdy.

Bibliografia

[1] I. K o p o c i n s k <L,Matematyczne modele kolejek cyklicznych, Inwestycje i budownictwo 12 (1968), str. 22-25.

[2] I. K o p o c i n s k a, Repairman problem with an arbitrary distribution o f rep airmen t and Erlan- gian distribution o f working time, Bull. Acad. Polon. Sci., S^r. Sci. Math. Astronom. Phys. 19

(1971), Nr 7, str. 649-654.

[3] I. K o p o c i r i s k a i B . K o p o c i n s k i, Queueing systems with feedback, Bull. Acad. Polon.

Sci., S^r. Sci. Math. Astronom. Phys. 19 (1971), Nr 5, str. 397-401.

[4] I. K o p o c i n s k a i j . L u k a s z e w i c z , Teoria obslugi masowej (rozdziat IV w pracy zbio- rowej Elementy nowoczesnej matematyki dla inzynierdw pod redakcj^H. Steinhausa), Warsza­

w a —Wroclaw 1971, str. 93-140.

1 0 4 J. H u k i J . L u k a s z e w i c z

[5 ] J . L u k a s z e w i c z , Teoria kolejek c z y li obstugi m asow ej, Zastosow. Mat. 8 (1 9 6 5 ), str.

13-27.

[6 ] C. P a 1 m, R o zsta w ien ie konserw atordiv do obslugi a u to m a ty c zn y c h m a szyn (w j?z. szwedz- kim), Industitidningen Norden 75 (1 9 4 7 ), str. 75-80, 90-94, 119-123.

[7 ] L. T a k £ c s, In tr o d u c tio n to the theory o f queues, N ew York 1962.

INSTYTUT MATEMATYCZNY UNIWERSYTETU WROCLAWSKIEGO