Lista 5. Szeregi, czyli sumy nieskończone

(1)

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że sumowanie nieskończenie wielu liczb powinno dawać nieskończoność, czyli w pewnym sensie nie być wykonywalne. I owszem, jeśli np. dodajemy 1 + 2 + 3 + 4 + ... to nam wyjdzie nieskończoność. Może się jednak zdarzyć, że sumujemy liczby coraz mniejsze, np. 1 + ¹₂+¹₃+¹₄+ ... albo 1 +¹₂+¹₄+¹₈+ .... Co wtedy? Czy wyjdzie nieskończoność, czy może jakaś konkretna liczba? A może coś jeszcze innego? Co gorsza - możemy jeszcze dodać liczby ujemne do naszego sumowania. Więc jak policzyć np. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ... lub 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ...? No więc zacznijmy od paru możliwie prostych przykładów.

1. Wykorzystując interpretację geometryczną policz sumę:

1 2 +1

4+1 8 + 1

16+ ...

2. Zapisz poniższe liczby wymierne z rozwinięciem okresowym jako sumę oraz policz ile wynoszą te sumy:

• 0, (7), 0, (9),

• 0, (12), 0, (345),

• 12, 34(56), 111, (3456).

3. Czy 1 + 1 + 1 + 1 + ... może być jakąś liczbą rzeczywistą?

Po wstępnych rachunkach zanim przejdziemy do dalszych, ciekawszych przykładów musimy sprecyzo- wać co to znaczy, że suma nieskończona a1+ a2+ a3+ ... jest równa S.

Definicja (Zbieżność sumy). Mówimy, że szereg (="suma nieskończona") a1+ a2+ a3+ ... ma sumę S, jeśli dodając "wystarczająco dużo" wyrazów zbliżymy się "dowolnie blisko" liczby S. Dokładniej, ciąg S_N = a₁+ a₂+ ... + a_N ma granicę S przy N dążącym do nieskończoności. Taki fakt zapisujemy:

a₁+ a2+ a3+ ... = S

Definicja (Suma nieskończona). Jeśli w poprzedniej definicji mamy wyrazy a_n  0 oraz S_N rośnie do nieskończoności, to mówimy, że szereg daje sumę nieskończoność, co zapisujemy:

a₁+ a₂+ a₃+ ... = ∞

4. Ustal sobie (w myśli, np. N = 1000) N . Policz S_N (czyli dodaj pierwsze N składników) dla sum:

1 + 2 + 3 + 4 + ...

1 + 1 2+1

4+1 8 + ...

5 7+25

49+125 343+ ...

Czy widzisz co się będzie działo z SN, gdy N → ∞?

5. Wykorzystując wzór _k(k+1)¹ policz SN dla szeregu:

1 1 · 2+ 1

2 · 3+ 1 3 · 4+ 1

4 · 5+ ...

Ile zatem wynosi ta suma nieskończona?

6. Podobnie jak wyżej policz sumę:

1 2 · 5+ 1

5 · 8+ 1

8 · 11 + 1 11 · 14+ ...

1

(2)

7. Ile wynosi suma:

1 1 +1

2 +1 3+1

4 + ...

Czy jest skończona, czy nieskończona?

Wskazówka: Uzasadnij, że 1 2^k + 1

2^k+ 1+ 1

2^k+ 2 + 1

2^k+1− 1 1 2

8. Policz sumę ciągów geometrycznych, tzn. takich, w których każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tą samą liczbę, np.

4 + 2 + 1 +1 2 +1

4 + ...

1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + ...

2 3+4

9+ 8 27+16

81+ ...

q + q²+ q³+ q⁴+ ... q ∈ (−1, 1) q + q²+ q³+ q⁴+ ... q = −1 lub q = 1 q + q²+ q³+ q⁴+ ... q ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) 9. Polcz sumę szeregu

2

3 +2 + 4

9 +2 + 4 + 8

27 +2 + 4 + 8 + 16 81 + ...

10. Uzasadnij, że szereg

1 + 1 4+1

9 + 1 16 + ...

nie jest nieskończonością, więc musi mieć sumę. Jak duża może być ta suma?

11. Uzasadnij, że jeśli szereg a1+ a2+ a3+ ... miałby być zbieżny, to wyrazy a1, a2, a3, ... muszą się zbliżać do zera.

12. Który z szeregów

1 1−1

2+1 3 −1

4+ ... 1 1 + 1

√2 + 1

√3+ 1

√4+ ...

jest skończony? Czy możesz podać jego sumę?

13. Uzasadnij, że szereg

1 0!+ 1

1!+ 1 2!+ 1

3!+ 1 4!+ ...

jest liczbą dodatnią mniejszą od 3.

A na koniec dla odmiany do policzenia jeden iloczyn nieskończony (żeby go policzyć trzeba policzyć

"długi" iloczyn skończony i zobaczyć do czego dąży).

14. Policz:

n→∞lim a5· a6· a7· ... · an = a5· a6· a7· ..., gdzie

a_k = k⁴− 17k²+ 16 k⁴− 8k²+ 16 Wskazówka: Rozłóż wielomiany na czynniki. Skracaj ułamiki.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl www.math.uni.wroc.pl/˜preisner

2