Lineaire algebra: Deel 2

, 1

.

LINEAIRE

ALGEBRA

deel 2

TH. PIPEKARU

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1821 5493

1111111111111

C 556482 1

[1111

I

I

1

I

II

I

~

II1 :! III

11 lil!

l

il!

I

~IIII

I,

IIII

I

rilli

l

~IIII~

I

1II1I I

I!

I~

111111 111111111\1111.11111111111"11\111

I"!

I

IIII

I

1111111 IIIi 11111111 IIII! 1111111:1111 1 IHiI UIII

.---~L~:E2.~AgEN

32

I

/

<j

:; ) <~\ C) :.J -' ,/ L,

)0'0. :J

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft - 2e druk 1975

l 1

I

'\:_"'_"1"'_''1"'' IJ I / I I " ! ' _ _ 'MP".' • • • • "_!PWIiH~""'.' ,H I _

;A2I1'?I' ' y

....

'

1

1'

I 1 11!1: "'lil !!!!tf'=u",'rlEN',

INHOUD

HOOFDSTUK IV: LINEAIRE AFBEELDINGEN. 181

§ 1. Definitie 181

§ 2. Lineaire afbeeldingen en matrices 189

§3. Kern en beeldruimte. Lineaire vergelijkingen en lineaire variëteiten

3.1. Kern en beeldruimte

205 205 3.2. Rang van een matrix. Stelsels homogene vergelijkingen 209

3.3. Projectie-afbeeldingen 213

3.4. Stelsels niet-homogene lineaire vergelijkingen §4. Lineaire afbeeldingen en matrix rekening

4.1. Lineaire combinaties van afbeeldingen 4.2. Product-afbeeldingen

4.3. Lineaire afbeeldingen van vectorruimten in zichzelf 4.4. Inverteerbare lineaire afbeeldingen van een

vector-ruimte in zichzelf § 5. Basistransformaties

§ 6. Eigenwaarden en eigenruimten 6.1. Algemene beschouwingen

6.2. Eigenwaarde-theorie voor lineaire afbeeldingen van een eindig-dimensionale vectorruimte in zichzelf 6.3. De karakteristieke vergelijking

6.4. Diagonaliseerbare en defecte afbeeldingen en matrices 6.5. Eigenwaarden en eigenruimten van functies van

lineaire afbeeldingen en matrices

HOOFDSTUK V; INWENDIG PRODUCTRUIMTEN. § I. Inwendig product en norm; orthogonaliteit

l.I. Definitie inwendig product

1.2. De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz; genormeerde ruimten

1.3.0rthogonaliteit

1.4. Constructie van een orthonormale basis l.S. Orthogonaal complementaire deelruimten in

Euclidische ruimten 1.6. Orthogonale projectie

1.7. Orthogonale complement en orthogonale projectie in oneindig dimensionale ruimten

1.8. Determinant van Gram

§ 2. Lineaire afbeeldingen in Euclidische ruimten

2.1. Orthonormale basistransformatie ; orthogonale matrix 2.2. Symmetrische afbeelding

2.3. Orthogonale afbeelding

2.4. Homogene kwadratische vormen Trefwoordenregister 216 226 226 229 236 242 251 263 263 268 273 279 295 303 303 303 309 313 318 322 328 332 337 344 344 348 359 371 381 iii - - - ,"'rr

1

.

"

.

r-__

~!~.---~----~----~---

__

~

____________________

~~!.rl"

__

~.t~.~jWjJ~I!~!.~!!~J!~~~·~Al~J! _ _ _ _ ~~J ~ IV-I

IV. LINEAIRE AFBEELDINGEN.

§

1. Definitie

Q

Laten X en Y vectorruimten zijn. In dit hoofdstuk word t weer verondersteld dat alle voorkomende vectorruimten reëel zijn.

Zij

A

een afbeelding van X in Y. of, in de gebruikelijke notatie,

A

:

X + Y.

We herinneren eraan dat dit betekent dat aan ieder element ~ € X precies één element A~ € Y is toegevoegd. A~ heet het beeld van ~ onder afbeelding

A.

Niet elk element van Y behoeft het beeld te zijn van een element van X.

Ander-zijds kunnen er elementen ~ van Y zijn, die het beeld zijn van meer dan één element van X, elk van deze elementen heet een origineel van ~.

Indien bij de afbeelding

A :

X"* Y ieder element van Y als beeld optreedt van een of mee~ elementen van X, dan noemt men

A

een afbeelding van X op Y. Is er sprake van een afbeelding

A

van X in Y, dan is het dus niet uitgesloten dat

A

een afbeelding is van X op Y.

Twee afbeeldingen

A:

X + Y en

13:

X + Y zijn identiek,

A

=

13,

als voor iedere

K€X, A~ =

BX.

De ruimten X en Y mogen identiek zijn. Dan is

A

een afbeelding van X in zich-zelf,

A :

X + X.

Definitie 1: De afbeelding

A:

X + Y heet lineair als voor ieder tweetal vectoren X en K' in X

A(~_+

i)

=

AK +

AK',

en als voor iedere vector K € X en ieder getal a,

A(aK)

=

aAK. I LÇ X I / / / 7 / / fig. I Á(~

+

K') =

AK +

A~'

Ag=

Q Y \ \ \

In plaats van 'lineaire afbeelding' spreekt men ook wel van 'lineaire transformatie' of 'lineaire opera tor'.

Een onmiddellijk gevolg van definitie 1 is dat voor iedere lineaire afbeelding

A:

X+ Y geldt:

AQ

= Q..

Want

AQ. =

A(OK)

=

OAK

=

Q. als ~e X. Merk op dat de 'Q.' in het linkerlid het neutrale element is van X, de 'Q.' in het rechterlid het neutrale element van Y.

AQ

=

Q

is nodig opdat

A

lineair is, maar niet voldoende; als

AQ =1=

Q

is

A

IV - 1 Voorbeelden.

I. Laat 1 een lijn zijn door de oorsprong in de meetkundige vectorruimte M 2. Beschouw van ieder punt A van M

2 de loodrechte projectie A' op 1. Laat

de afbeelding

P :

M

2 + M2 gedefinieerd zijn als volgt:

Q

o

fig. 2a b

---

---A ç

/1

/ 1 I--l~ 1

h=i,

waarin l!. de vector is met eindpunt A en l!.' de vector met eindpunt A'. Het kan gemakkelijk worden geverifieerd dat

P

een lineaire afbeelding is, zie fig. 2b. q

/ Û

Q

11'

_a 1 ~ 1 I I Q

E

~ R b a-2. Q c

=

a

+

b

2

=i'

+~'

fig. 2b

Merk op dat uitsluitend de vectoren met eindpunt op 1 het beeld kunnen zijn van vectoren van M2' en dat alle vectoren, waar-van de eindpunten op een loodlijn op I liggen, hetzelfde beeld hebben.

Laat voor elk punt A in M₂ het lijnstuk OA over een vaste hoek a worden gedraaid om 0, zodat het lijnstuk OA' ontstaat. Als l!.. en i!' de bij A resp. A' behorende vectoren

q = Àp ~' =

ÀË.'

0<3

fig.2c fig. 3a

R

a\ a \ A' \

\

_I I I

zijn, dan is blijkbaar aan elke vector !! € M

2 I A

precies één vector l!.' € M

2 toegevoegd. .l!.

Op deze wijze is een afbeelding gedefinieerd van M

2 in (op) M2 die we zullen aangeven met Ra: M

2 + M2 . Het is gemakkelijk in te zien dat

Ra

lineair is,

zie fig. 3b. , R (a+b)=R a+R b \ a - - a- a-, \

R

(Àp)

=

ÀR

p a - a-fig. 3b Q

Merk op dat iedere vector van M₂ het beeld is van één en slechts één vector van M₂. Verder laat deze afbeelding de hoeken tussen vectoren en de lengten van vectoren invariant. Hierop komen we terug in V-2-3.

3. Laat I een lijn zijn door de oorsprong van M 2. Beschouw bij ieder punt A van M

2 het spiegelbeeld A' t.o.v. l. Als l!. en

si

de bij A resp. A' behorende vectoren zijn, dan wordt op deze wijze aan elke

Q

---~---~

IV- )

vector ~ € M

2 precies één vector !!' € M2 toegevoegd, zodat een afbeelding

~s gedefinieerd van M

2 in (op) zichzelf, die we § zullen noemen. De afbeelding

S is lineair, zoals gemakkelijk blijkt uit fig. 4.

____ - - - -

-

- - -

-

-

~/

i

fl + 12 a ' ~' , I Sa, _-

_,

, , ',I" ... - - - 'S(!!+12) = Sg + S12

,ÀE

I I , I --~Q~---+L----~ fig. 4 ,

,

_,

, SO'E)

=

ÀSE

Elke vector van M₂ is het beeld van één en slechts één vector van M₂.

Ook deze afbeelding laat hoeken en afstanden invariant. Hierop komen we terug in V -2-3.

4. Laat X een vectorruimte zijn. De afbeelding Ê : X + X, gedefinieerd door Ê ~ = X voor alle iS, € X heet de identieke, of eenheidsafbeelding. Ê is lineair, want Ê(iS,) + iS,2) = iS,) + iS,2 = ÊlÇ) + ÊiS,2 voor alle iS,) en lÇ2 in X,

en Ê(ÀiS,) = ÀlÇ = ÀÊK voor alle getallen À en vectoren iS, € X Bij iedere vectorruimte bestaat er precies één eenheidsafbeelding. Er zijn dus oneindig veel verschillende eenheidsafbeeldingen. Als geen verwarring mogelijk is, zal elk van deze eenheidsafbeeldingen worden aangeduid met de letter

'E'.

5. Laten X en Y vectorruimten zijn. De nulafbeelding Ó : X + Y, gedefinieerd

door ÓX = Q € Y voor alle lÇ € X is lineair, want Ó~) + lÇ2) = Q = Q + Q =

= Ó~) + Ó~2 voor alle ~l en]!.2 in X, en Ó(À~) = Q = ÀQ. = ÀÓ~ voor alle getallen À en vectoren K € X.

6. Zij X een vectorruimte, zij .!! € X. Laat de afbeelding A : X + X gedefinieerd zijn als volgt: AK = l! +.lÇ voor alle ~ € X.

Als l! = Q. is dit de eenheidsafbeelding Ê : X + X. Als !! =F Q is A niet lineair, want AQ = .!!. + Q. = l! =F Q. Deze afbeelding wordt translatie genoemd.

7. Laat X de vectorruimte zijn van alle reële differentieerbare functies f(x), gedefinieerd op een interval I c IR. Laat Y de vectorruimte zijn van alle reële functies, gedefinieerd op I. Zij D: X + Y gedefinieerd als volgt:

8.

Voor alle f(x) € X is Df(x) = f'(x), waarin ['(x) de afgeleide is van f(x). Deze afbeelding is lineair, want D(f(x) + g(x)) = [' (x) + g' (x) voor alle f(x) en g(x) in X, en D(cf(x)) = cf'(x) voor alle getallen c en alle f(x) € X. Be(:ch)ouw(de afbee)lding A: R4(: R

13

,

gedefinieerd als volgt:

1 x - 2x 1

A

\

:~

= 1 x0 3 3 voor alle

:~

iE R4.

\x

4 x4j

1(

X)

(y

t

!

x

+

y \

1 1 1 1 X

+

Y - 2(x

+

y )\

Er volgt: • x 2 +\Y2 =A(X2 +Y 2:= (1 10 3 3 J= x3 Y3) x3 +Y3 1 \

I , x₃ + Y 3 X 4 Y4 _{, X 4 +Y4 ' I} \

( l (

(x

~ ~)

(X \

(Y)

x - 2x Y - 2y 1 1 1 1

=

1

°

3

+

i

lO 3)

= A\:2 + A\Y 2 ,voor alle :2 en Y 2 van R₄,

x

I \

Y 3 Y 3 _{3) Y 3}

lV-ol

en

À({J{~)=(XXI~:~'

)

=f

{')=x{}

voo,

.u,

g,"U,n X ,n ,,"o"n

(~~)

"n

R,

À is dus lineair. Zie ook voorbeeld 10. 9. De afbeelding À: R4 + R

3, gedefinieerd door

We zullen laten zien dat door middel van een matrix, en door gebruik te maken van de regels van de matrixrekening, zie 111-3-2, een lineaire atbeelding gede-finieerd kan worden van R in R .

Lu' A

=

('U

:.

"~"),:ij,:';

=

"

...

,m;j

=

1, ... ,n.

We vatten

daeme:~~~:~e:

x =

(~l

\

van R op als nx I-matrices (en die van

R

- • I n m

xnJ

als m x I-matrices). Dit is geoorloofd, want de optelling in Rn (en Rm) en de vermenigvuldiging met een scalar gedragen zich als de overeenkomstige bewer-kingen van nx I (mx l)-matrices.

184

---ZiJ' - =(all ...

aln

\.'

~I)_ (~l)_

(

allXI+

... +a 1nxn) AX

~~·:·.·.·a~~)\~n

-A

<

-\~~;~I·~·'·'·'·~

~

~·~x;

eRm'

Hiermee is A gedefinieerd als afbeelding van Rn in Rm'

À is lineair. Want als ook _-y

=

(

~

_. 1) € R _n ,dan is voor alle

~

en y _- in R , _n

ÁÜ

+

X) =

At)

+

\

~

:))

= { )

+

~J:)

= Á.

+

h

op grond van de distributieve wetten van de matrixvermenigvuldiging. En voor elk getal À en iedere x eR is

/ (X1)\

-

(

XI\

À(",) =

A

\\

J,

J

= ÀA

V

,

)

= ÀÁ.

,,"n,,",.op

"wnd

"n

d, "",', ..

n

d, matrixrekening.

In IV - 2 zal worden aangetoond dat er geen andere lineaire afbeeldingen zijn van

R in R ,dan die van het bovenstaande type (zie stelling 3a van IV - 2).

n m

Voorbeelden.

10. De afbeelding in voorbeeld 8 kan worden beschreven als volgt:

( X - 2x

j

(1 0 -2 O)(X 1 ) (Xl) (1 0 -2

À~

= I 0 3 = 0 0 0 0 x2

=

A x2 met A = 0 0 0 x 3 0 0 1 0 x_x3 x3 0 0 1 4 x4 ~ eR₄·

Dus ook op grond van hetgeen hierboven is besproken, is À lineair. 11. Zij gegeven het stelsel lineaire vergelijkingen in XI' ... _,xn'

(8)l

~~ ~ ~~.~:

: '

.

~

.a.

l

.

n

.

x

.

n

.. : .b.l.

amlx l + ._{.. +amnxn-b m}

van III - 1 - 1.

IV- I

S'oI A

=

(::'1

•.•

:~'J'

=(::)- •

=

(:J

( )

L .. , Á, R, + Rm d, hn,,;,e ,Ib"'din,, ,;jn "'d'fin',,,d dno< Á, = A ::

voor alle x eR. _{- n}

• =

(J:)

~

eon .op'.o,,'n, "n

(S) ,', h,' b,,'d

Á. "n.

"Hjk

~

"n •

In IV -3- 2 en IV -3-4 zal verder worden ingegaan op het verband tussen lineaire vergelijkingen en lineaire afbeeldingen.

12. In voorbeeld 6 van 11-1 is uiteengezet dat de verzameling van de reële getallen IR kan worden opgevat als reële vectorruimte. De dimensie van deze vector-ruimte is 1. Reële functies van reële veranderlijken f(x) kunnen worden opge-vat als afbeeldingen van de vectorruimte IR in de vectorruimte IR. De vraag wanneer f: IR + IR lineair is in de zin van definitie I, is dus zinvol. 185

IV -1

Het antwoord luidt: dan en slechts dan als f(x) = ax voor alle x e IR; a is een reële constante.

Want als f(x) = ax, dan volgt voor iedere x en y in IR dat f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y); en voor iedere À en x in IR volgt f(Àx) = aÀx = Àax = Àf(x). Omgekeerd, zij f: IR + IR lineair in de zin van definitie 1, en zij f( I) = a, a e IR. Dan volgt f(x) = f(x I) = xf(l) = xa = ax voor alle x f IR.

Als a = 0, dan is f(x) = 0 voor alle x f IR. In dit geval is f de nul-afbeelding Ó: IR + IR.

Als a = I, dan is f(x) = x voor alle x f IR. Dan is f de eenheids-afbeelding Ê: IR + IR.

De veeltermen van de graad ten hoogste 1, f(x) = ax + b, zijl1 dus slechts lineair in de zin van definitie 1, als b = O.

Laten X en Y vectorruimten zijn.

StellingJ: De afbeelding Ä: X + Y is lineair dan en slechts dan als voor alle reële getallen a 1 en a₂, _{en voor alle vectoren lf.l en} ~2 van X geld t

A(aIK I + a2~2) = al A!!;} + a2A2I:2· Bewijs:

I) Zij gegeven dat A lineair is. Dan volgt op grond van definitie 1: Ä( al ~ 1 +

a

₂ ~2) = = Ä(a l Xl) + Ä(a2X2) = al Ä~l + a2Äx2·

2) Zij gegeven dat Ä(al~l + a

2

x

2) =aIÄ.x1 +a2ÄX2 voor alle getallen al ena2, en alle lf. l en ~2 van X. Door te kiezen al = a

2 = 1 volgt hieruit Ä(~l + ~2) =

= Ä~l + A!!;2' voor alle ~l en ~2 van X. Door te kiezen a₂ = 0 volgt A(al!!;l) = al A.l!;l voor alle getallen al en vectoren lf. l f X.

Gevolg: Als Á : X + Y lineair is, als al' ... ,a_n getallen zijn en als ~l' ... '~n

vectoren zijn van X, dan volgt door herhaalde toepassing van stelling 1 (volledige inductie) dat

V raagstukk en.

I. Bewijs de volgende stelling:

De afbeelding Ä van de lineaire ruimte X in de lineaire ruimte Y is lineair, dan en slechts dan als Ä(a~ + .x') = aÄlf. + Äi. voor alle

a

€ IR en alle lf. en

i

in X.

2. Laat X de vectorruimte zijn van de reële functies f(x) gedefinieerd op het interval I c IR. Laat de functie g(x) een vaste vector zijn van X. De afbeelding Á : X + X is gedefinieerd als volgt:

Áf(x) = g(x)f(x), voor alle f(x) f X. a) Toon aan dat Á lineair is.

b) Voor welke g(x) is Á de eenheidsafbeelding Ê: X + X?

c) Voor welke g(x) is Á de nul-afbeelding Ó : X + X?

3. Laat X de vectorruimte zijn van de reële functies f(x) gedefinieerd op IR. Welke van de volgende afbeeldingen zijn lineair, welke niet?

a) Äf(x) = f(a_l) - 2f(a

2) + 4f(a3), al ,a2 en a3 in IR, voor alle f(x) in X. b) Af(x) = I + f(x), voor alle f(x) in X.

c) Áf(x) = {f(0)}2 , voor alle f(x) in X.

186

4. Laat X de vectorruimte zijn van de reële continue functies f(x), gedefinieerd op

_ _ b

[a,b 1 c IR. Toon aan dat de afbeelding A : X + IR, Af =

f

f(x)dx, lineair is.

a

5. Laat X de vectorruimte zijn van de reële functies, gedefinieerd op IR. Welke van de volgende afbeeldingen A: X + X zijn lineair, welke niet?

6. 7. 8. a) Af(x) = f( -x). b) Af(x) = {f(x)}2. c) Af(x)=f(x 2).

d) Áf(x) = f(g(x», waarin g(x) een gegeven reële functie is, gedefinieerd op IR.

Laat Pn de vectorruimte zijn van de veeltermen p(x), x € IR, met reële coëf-ficiënten en met graad

<:

n.

Welke van de volgende afbeeldingen zijn lineair, welke niet?

a) A : Pn + Pn+l ' gedefinieerd door Ap(x) = xp(x).

b) A: Pn + P_n, gedefinieerd door Ap(x) =

~xp(À).

c) A : P _n + P _n-l' gedefinieerd door ~(anxn + ... + al x + a o) = anx n_-I _{+ ... + a} 2x + al; ai € IR, i = 0, ... ,no d) A : Pn + Pn+l' gedefinieerd door

A(anxn+ ... +alx+aO)=anxn+l+ ... +alx2 +aox+l; ai€lR,

_ • x

e) A : P + P +1' gedefinieerd door Ap(x) = f p(t)dt. n n o

i= 0, ... ,no

Laat X de vectorruimte zijn van de lxm~matrices van reële getallen, Y die van de kxn-matrices van reële getallen (zie opmerking 2 van 111-3-2). Laten Pen Q gegeven kxl-resp. mxn-matrices zijn van reële getallen. Toon aan dat de afbeelding A: X + Y, gedefinieerd door Á M = PMQ voor alle M € X,

lineair is.

Onderzoek welke van de volgende afbeeldingen A : R + R lineair zijn. n m

Schrijf, indien mogelijk, de rechterleden als product van een mxn-matrix

'n"nnx!-m"rix

(J)

.)

{~)=

(:J

_ (Xl) _ (Xl -

2:~

+ x3) b) A x2 - \ _{Xl -} 2 _x ' 2

+ x

3 x3

°

c) A(XI)

= (

~xI

_{x 22\ ,} X₂ Xl +

Xi)

d)

À(:~)

=

(x: :

:~)

,

,)

{~)

=

x,

(

~)+

{i)

+

x'(r)

+

X4(~)

187

IV - 1

9. Laat X een vectorruimte zijn, a een getal. Toon aan dat de afbeelding À : X + X,gedefinieerd door ÀX

=

aK voor alle K € X, lineair is.

Gegeven is de matrix A

=

(~ ~ ~! ~)

en de afbeelding À : Rs + R4'

3 2 5 7 I \4 I 5 6 -2 10.

g,d,fini"", doo<

Äx

=

{~)

voo"lI • • ' R,

Geef de vectoren in Rs waarvan de volgende vectoren in R4 het beeld zijn

::l~F:ltlr

ol

m

ANTWOORDEN VAN DE VRAAGSTUKKEN IN IV -1.

2. 3. 5. 6. 8. 10. 188 b)g(x)==l. c) g(x) ==

o

.

a; b en c niet. a, c en d; b niet. a, b, c en e; d niet.

.l

lin"i,;

(~

o

0 0)

o

0 0 . 000

(

I

-2

I)

. . 0 1 0 b) ImeaIr; I -2 1 .

o

0 0 c) en d) niet lineair.

(

0 -3 0 2)

2 -I 0 0 e) lineair; 3 2 2 I .

o

I I 0

o

I 0 0

.l

(~}{~)+{!)+> t~) a,~en>

d , li

l

@=

W+i}{r)+>m

a,~,n>inm

,

c) géén vector in Rs.

____________________

____________________

____

__

____

____________ __

§

2. Lineaire afbeeldingen en matrices.

Laten X en Y vectorruimten zijn (X en Y mogen identiek zijn). Een afbeelding A : X + Y is bepaald als aan ieder element ~ E X precies één element A~ E Y

is toegevoegd. Als A lineair is, dan is deze toevoeging echter aan zekere regels gebonden. We hebben bijvoorbeeld reeds opgemerkt dat dan noodzakelijk AQ. = Q.

En algemener, als l!. E X afhankelijk is van {l!." ... ,l!.k}e X, dus als er getallen a" . .. ,a_{k bestaan zodanig dat l!.} = a,.l!., + ... + ~l!.k' dan is Al!. = a, Al!., + ... + + a_k A~k op grond van stelling I van IV -1. Het beeld Al!. van l!.ligt blijkbaar vast als Al!" ... ,Ai!k gegeven zijn en als A lineair is.

Stelling 1: Laat X een eindig-dimensionale vectorruimte zijn, Y een willekeurige. Zij {l!1' ... ,l!.J een basis van X, en Ü~,,··· ,l'n} een willekeurig gegeven stelsel in Y. Dan bestaat er precies één lineaire afbeelding A : X + Y zodanig dat A~j =

l'j'

i

=

I, ... ,no

Bewijs: Op grond van stelling I van II-5 bestaat er bij iedere ~ E X precies één stel getallen x" ... ,x n zodanig dat ~ = X,l!, + ... + xn~n. Door te definiëren A~ = x,l, + ... + xn~n' is aan ieder element ~ E X precies één element A~ E Y toegevoegd. A is dus een afbeelding. En A is lineair, want als K' = X;l!., + ... + <.l!.n dan is Á(~+i)=A((x, +x;)l!.., + .. . +(xn+X:)~)=(x, +X;)l, + ... + + (x + x ')y = (x,y, _{n n -n -} + ... + x Y ) _n-n + (xl'y, _- + ... + x'y )= _n-n A~ + A~', en

A(a~)=A(ax,9., + .. . +ax _n-n a )=ax,y, _- + ... +ax _n-n y =a(x,y, _- + ... +x _n-u y)=

=

aA~. Op grond van definitie I van IV -I is A lineair.

Inderdaad is voor afbeelding A, op grond van de gemaakte afspraak, A.l!., = A(ll!., + Ol!2 + ... + O~n) = l~, + Ol2 + ... + 0l'n = ~" Al!.2=A(Ol!.,+1.l!.2+···+ 0.l!.n)=Ol, +II2 + ... +O~ =}'2'

Al!.n = A(Ol!., + Ol!..2 + ... + I~) = O~, + O~2 + _{... + 11::n} = 1'n·

Stel dat ook de afbeelding B : X + Y lineair is, en de eigenschap heeft dat B.l!.j = Xi' i = I, ... ,no Dan is voor iedere X = x,~, + ... + Xnlln EX,

Ax = x,~, + ... + xn~n' op grond van de gemaakte afspraak, en

Bx = B(x,.!!, + ... + xn~n) = x, B9., + ... + xnBi!n = x,l, + ... _{+ xnXn, omdat}

B lineair is.

Dus is Ax = BX voor iedere X E X, zodat A = B.

Er is dus precies één lineaire afbeelding met de gestelde eigenschappen. De volgende twee stellingen volgen onmiddellijk uit de bovenstaande stelling. Stelling 1 a: Als X een eindig - dimensionale vectorruimte is, en Y een willekeurige, ~s A: X + Y lineair is, e~ als {~" , ... '~n} een willekeurige basis is van X, dan is A eenduidig bepaald als Al!l' ... ,A.!!n gegeven zijn.

Stelling 1 b: Als A en B lineaire afbeeldingen zijn van een eindig-dimensionale vectorruimte X in een willekeurige vectorruimte Y, en als {ll" .. . ..l!n} een willekeurige basis is van X, dan geldt:

A = B Ç:? AllI = Bill' ... ,Alln = B.l!.n· Voorbeeld 1. Van een lineaire afbeelding A : R3 + R

2 is gegeven dat

A(~)

=

(~)

en

A(~)

=

(n.

tV-2

lli,ruit vol" d., { ;

H-:)

·

w.n'

( J - 2 ( ;

HH

wd., { ; )

=

-2AW

+

Am

=

-2 (:)

+ (:)

=

(_!)

AI, bovondi,n

nogg"",n

'ou ,;in d.,

Á

(~

) = (:) •

m" (:)"

(_:)

• d", 'Ou

À dus geen lineaire afbeelding kunnen zijn.

Door de eerste twee gegevens is de lineaire afbeelding A echter niet bepaald, want

{( i) ·

m} "

ni,' "n b.o, von

R,

V.n d' voo'o"n von

R,

di, ni,' in

[m

.

(~~

liggen kan het beeld niet worden gevonden.

Laat

(l),

(~)

worden aangevuld tot basis van R3' bijvoorbeeld als volgt:

{m·(~)· ~)}

I

A:' nu no, "n will,k ,uri, ,lom,n , von

R,

wo,d' ."",w,,,n

.~

b"ld

À

(~)

voo

(~).

d.n

"À

ondubb,l,;nni, b'p"ld op ,>ond von d, bovon""nd, ",Ilin,.

Laten nu X en Y beide eindig-dimensionaal zijn; zij (I) {!!.l' ... '~n} een basis van X,

(11) {!~"l' •.. ,Qm} een basis van Y.

Volgens stelling 1 is een lineaire afbeelding A : X ~ Y volledig en ondubbelzinnig bepaald als de beeld vectoren A!!l' ... ,A!!n gegeven zijn. Deze bevinden zich in de ruimte Yen zijn dus eenduidige lineaire combinaties van de vectoren hl' · .. ,h_m. Laat

A!!j = a1jQ.l + .. _{. + amj hm, j = 1}, ... ,n, waarin aij , i = 1, ... ,m; j = 1, ... ,n getallen zijn.

De afbeelding A is nu dus geheel bepaald door de coëfficiënten aij' i = 1, ... ,m;

jA:ll~.~: ::~ :e.b~~: a:alk~:d

=

(v~~

ld)e notatie ingevoerd in 11-5 kunnen we schrijven:

aml II

A!ln =alnQ.1 + ... _{+amnh m} =(al;n ) . a_mn 11

We zullen nu onderzoeken hoe het beeld ~ = A1Ç van een willekeurige vector 1Ç € X

kan worden beschreven mei behulp van de coëfficiënten a .._IJ .

1Ç is een eenduidige lineaire combinatie van de vectoren van basis (I):

op grond van de regels van de matrixrekening, zie III - 3 - 2. Blijkbaar voldoet voor iedere X € X de kentallenmatrix

(

_Ym

Y:l)

van }:' = ÁJS t.o.v. basis (11) aan de betrekking

(Y:\)

_Ym =

(~~ ~

a_ml ... ...

~~

a_mn

~) (~l),

x_n

w .. rin

(J:)

d, "n',U,nm,'rix ;, nn. t.O.v. b,,;, (I). De matrix A =

(~~

~

...

~~ ~)

wordt verkregen als volgt:

a_ml ... a_mn

D' j' kolom

(::J

~

do "n"U,n-m,'rix t.o.v. b,,;, (11) nn h" b",ld

A.;

nn

de je basisvector 1!j van basis (I). A is eenduidig bepaald door de afbeelding Á en de bases (I) en (II).

Definitie 1: De door de afbeelding Á en de bases (I) en (11) eenduidig bepaalde matrix A =

(~l.l

...

~l.n.),

waarvan de je kolom de kentallenmatrix is van

Á~j

a_{ml ... amn}

t.o.v. basis (11), heet de matrix van Á t.o.v. (I) en (II).

Voo, d' k,n"llonm,'rix t.o.v. b";, (I) nn • wn,n w, "hrijvon X

=(::)-

Voo, d, kon',U,nm,'rix

'.0.

v. b",;q II) nn

r

=

Az,

,uU,n w",hrijvon Y

=(:

U

'

Dan voldoet Y aan de betrekking Y=AX.

Als X en Y dezelfde ruimte zijn, dus als Á : X + X, dan wordt slechts gebruik gemaakt van basis (I).

Hiermee is bewezen

Stelling 2a: Zij gegeven een n-dimensionale vectorruimte X met basis (I) @.\' ... '~n}' een m-dimensionale vectorruimte Y met basis (11) {Ql' ... ,Qm} en een lineaire af-beelding Á: X + Y. Dan is er precies één mxn-matrix A =(.a.

l . l . : : :

~~

~.),

zodanig am 1 ._{.. amn} 191

r

tV-2

dat voor iedere ~ = XI!!I + ... + Xniln de kentallenmatrix van A~ = ~ t.O.V. (11)

gelijk is aan de mx I-matrix

(

yt)=(all ...

aln)(~I)

.

Ym aml .._{. amn xn} A is de matrix van A t.O.V. de bases (I) en (II).

Opmerking.

1. Men zegt dat A door de matrix A wordt gerepresenteerd. Op de matrix-representatie van lineaire afbeeldingen wordt nader ingegaan in IV -4-1 en IV -4-3.

Omgekeerd geldt: (a I I ... In a )

Stelling 2b : Zij gegeven een willekeurige mxn-matrix A = ... . aml···a mn Zij X een willekeurige n-dimensionale vectorruimte met willekeurige basis (I) {al' ... ,il_{n}, en zij} Y een willekeurige m-dimensionale vectorruimte met willekeurige basis (11) {!21 ' .. . ,Qm}'

Dan bestaat er precies één lineaire afbeelding A: X + Y, zodanig dat A de matrix is van À t.o.V. (I) en (11).

Bewijs: Volgens stelling 1 van IV·· 2 bestaat er precies één lineaire afbeelding

À : X + Y waarvoor geldt:

Ä'

I

=(:J

11····

·

Ä."

=

(:jll

Van deze afbeelding is A de matrix t.o.v. (I) en (11). Zou ook

13:

X + Y lineair zijn met matrix A t.O.V. (I) en (11), _{dan zou Bil l = AlIl} ' ... _{,B!!n = Ailn. Dan volgt}

B = À (zie stelling 1 b van IV - 2).

Zijn gegeven de n-dimensionale vectorruimten X en Y met bases (I) resp. (11), dan hebben op grond van de stellingen 2a en 2b , niet-identieke lineaire afbeel-dingen van X in Y dus niet-identieke matrices t.o.v. (I) en (11); en lineaire afbeel-dingen van X in Y met niet-identieke matrices t.o.v. (I) en (11) zijn dus niet-iden-tiek.

Daarentegen heeft een gegeven lineaire afbeelding van de eindig-dimensionale vectorruimte X in de eindig-dimensionale vectorruimte Y in het algemeen niet-identieke matrices t.O.V. niet-niet-identieke paren van bases van X en Y. In IV-5 zullen we hierop nader ingaan.

Voorbeelden.

2. Laten X en Y eindig-dimensionale vectorruimten zijn met bases (I) {a,ÇU<} resp.

(11) Ü~,gJ

Zij A: X + Y lineair, en zij gegeven Al! = 2!? - g, Ab = Q, Aç = g. De matrix van A t.O.V. de gegeven bases is

( 2

°

0)

A = -1

°

1 '

192

---3.

want de eerste kolom (_

~

) bevat de kent allen van Al!, de tweede kolom

(~)

die van ÀQ, en de derde kolom

(~)

bevat de kent allen van ÀÇ<, t.O.V. {p,g} De kent allen van het beeld l: = A~ t.o.V. Ü~,g}, van een willekeurige vector

~ = al! + {jQ + 'yç worden gevonden als volgt:

(_~

~

~)(~)

{a

':J

OU,

l:'

A.'

A(aa +

ilI>

+

,,),

'aE

+

(-a

+

1)g Laten we de theorie toetsen aan dit voorbeeld:

l: = À2'; = À(al! + (3Q + -yç) = aÀ~ + (3Àll + -y À~ =

, r

a('F - g)

+

~Q

+

19 '

'aE

+

(-a

+

1)9 , } , (

'a)

=a(_nIl

+~(~t

+-Y(~)I(

-a+-y

11

Beschouw de 2-dimensionale meetkundige vectorruimte M₂ met de orthonormale basis (I) {!<I '!<2}' Laat Z de deellijn zijn van een der hoeken van de dragers van ~I

en ~2' zie fig. la. Laat S de afbeelding zijn die aan elke ':.ector van M

2 zijn spiegelbeeld toevoegt t.O.v. l. Dan is

S : M

2 + M2 lineair, zie voorbeeld 3 van IV -I.

S~I

=~2

=O~I

+ 1!:l2

=(~),

Se _-2 =e = _-1 Ie _{- I} +Oe _-2 =(1) _{0 1}

De matrix S van

S

t.O.v. {5<1,!:l2} is dus

(~ ~).

Beschouw nu de orthonormale basis

(I ') { , ~ 1 '~2 '} ' waarvan s< 1 de lijn , I tot drager heeft, zie fig. lb.

DanvOlgtA, , , , (I)

S ~l =!:ll = I!<l

+

05<2 = 0 I"~ Se A =-e , =Oe , - Ie , =

(0)

,

-I -2 - 1 -2 - I '

De matrix S' van

S

t.O.V. (I') is dus

(~

_

~).

Blijkbaar is

s*

S'.

fig. I a

fig. I b

Ook verandering van de volgorde van de vectoren in de bases (I) en (U) van X en Y is in het algemeen van invloed op de matrix van À.. Als basis (I') uit basis (I) ontstaat door verwisseling van de ie en je vector, dan ontstaat de matrix A' van À t.o.v. (I') en (H) uit de matrix A van

A

t.O.v. (I) en (Il), door hierin de ie en je kolom te verwisselen.

Als basis (11') uit basis (H) ontstaat door hierin de k e en Ze vector te verwisselen, dan ontstaat de matrix A" van

A

t.o.v. (I) en (ll') uit A, door hierin de ke en Ie rij te verwisselen.

Het is hier dus van belang om een basis op te vatten als een geordend stelsel veeto-ren, zie opmerking 3 van II -4.

IV-2 Voorbeeld.

4. Laat gegeven zijn de lineaire afbeelding P : M₂ + M₂ van voorbeeld I in IV -I. Kies de orthonormale basis (I) {~l '~2}' waarvan ~l de lijn I tot drager heeft

~zie

fig. 2

a

).

~-2

P!<I =~I = I~I +O!<2'

P~=Q=0~1+0~.

( )

De matrix van P t.O.V. (I) is dus P =

~ ~

.

_~

.

l

Q e

Verwisselt men de vectoren ~I en!<2' zie figuur 2b, dan krijgt

P

de matrix

p/=(~ ~).

p' ontstaat uit P door de rijen en kolommen' te verwisselen, in overeenstemming met hetgeen is opgemerkt in voorbeeld 3.

fig. 2a -I

Een lineaire afbeelding van een eindig-dimensionale vectorruimte X in een eindig-dimensionale vectorruimte Y kán een zelfde matrix hebben t.O.V. verschillende paren van bases van X en Y.

Voorbeelden.

5. Laten X en Yeen n- resp. m-dimensionale vectorruimte zijn. De nul-afbeelding

6 :

X + Y van

voorbe(e~~ ~

.

~)IV

-I heeft t.O.V. ieder paar bases van X en Y de mxn-nulmatrix 0 = ... .

0 ... 0

6. Laat X een n-dimensionale vectorruimte zijn. De eenheidsafbeeJding Ê : X + X

van voorbeeld 4 in IV -I heeft t.O.V. iedere basis van X de n xn-eenheidsmatrix

(

I 0 .

.

. 0)

F.

=

~

.

.

1 ... 0 .

o

0 ... 1

7. Laat V_n de vectorruimte zijn van veeltermen in x, x € IR, met reële coëfficiënten

en met graad';;;; n, zie voorbeeld 5 van II - 1. Beschou w de differentiaal-operator

D : V

3 + V3· Deze is lineair, zie

voorbeeld 7 van IV -1. We zullen de matrix D van D bepalen t.O.V. de basis {l,x,x2 _,x3

} van V

3 (zie voorbeeld 3 van II-4):

01 = 0 = 0.1 + O.x + O.xl + 0.x3, Ox = 1 = 1.1 + O.X + O.xl + 0.x3, Ox2 = 2x = 0.1 + 2.x + O.xl + 0.x3_, Ox3 =3x2 =0.1 +0.x+3.xl +0.x3. D

=

(~ ~ ~ ~)

_{o 0 0 3}

.

o

0 0 0 Dus

Vervolgens zullen we de matrix D' van 0 bepalen t.o.v. de basis {I,l + x,I + x + x2,1 + x + x2 + x3} van V

3 (zie ook vraagstuk 13 van 11-4):

01 = 0.1+0(1 +x)+O(1 +x+x2_{)+0(1 +x+x}2 +x3 ), DO + x) = 1.1 + 0(1 + x) + 0(1 + x + x2) + 0(1 + x + x2 + x3), D(1 +x+x2_{) =-1.1 +2(1 +x)+O(1 +x+x}2_{)+0(1 +x+x}2 _+x3 ), 0(1 + X + x2 + x3) = -1.1 - 1(1 + x) + 3(1 + x + x2) + 0(1 + x + x2 + x3).

Dus D' =

(~ ~ -~

=:).

o

0 0 0

Tenslotte zullen we de matrix D" van D bepalen t.o.v. de basis {I,I + x,( I + X)2 ,( I + X)3} van V

3 (ga na dat dit een basis is van V3):

DI =0 =0.1 +00 +x)+O(I +x)2 +00 +X)3, DO + x) = I = 1.1 + 0(1 + x) + 0(1 + X)2 + O( I + x)3 , 0(1 + X)2 = 2(1 + x) = 0.1 + 2(1 + x) + 0(1 + x)2 + 0(1 + X)3 , 0(1 + X)3 = 3(1 + X)2 = 0.1 + 0(1 + x) + 3(1 + X)2 + 0(1 + x)3 . /0 I 0

~

.\

Dus D" _ ! 0 0 2 - : 0 0 0 3 i· \0 0 0 0/ Blijkbaar is D"* D', maar D = D". IV-2

Beschouw de veelterm v(x) = 2 - 3x + x2 - 2x 3. Het beeld Dv(x) van v(x) is de afgeleide van v(x), dus Dv(x) = -3 + 2x - 6x2.

We zullen Dv(x) ook bepalen door gebruik te maken van de matrices D, D' en

Dil van D.

,) T.o.'. d' b.m, {I ,x,x' ,x'} hoeft

*)

d, koo"nenm"rix

(~~).

D, koo"n,om"ri,

van Dv(x) t.o.v. deze basis is D

(~:l· (~ ~ ~ ~)

(-:)

=

(~~),

zodat

-2/ 0 0 0 0 -2 0

Dv(x)

=

-3 + 2x -~ 6x2 •

b) T.o.v. de basis {I,I + x,1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3} heeft v(x) de

kentallen--m,"ix

(jJ.

D'

koo"noom,'ri' "0 Dv(x) t.o.v.

d",

bru;i, i,

I -4 0 0 2 -I -4 8

(

5) (0 -I

_1)(

5) (-5) D

_~

=

~ ~ ~ ~ _~

=

_~

,zodat

Dv(x) = -5.1 + 8(1 + x) - 6(1 + x + x2_{) = -3 + 2x - 6x}2_•

c) T.o.v. de basis {I,I + x,(1 + X)2,(1 + X)3} heeft v(x) de kentallenmatrix

(~1

i)

D,

koo"n,om"rix " 0 Dv(x) t.O.v. d,,, bru;i,"

D"UH~ ~ ~ ~)U)f~)Wd"

nrLlW' r lWl • •

IV-2

Ov(x)

=

-lU + 14(1 + x) - 6(1 + X)2

=

-3 + 2x - 6x2.

d We zien dat de antwoorden in a), b) en c) alle overeenstemmen. met dx v(x). Het zij nog opgemerkt dat deze differentiaaloperator ook kan worden opgevat als lineaire afbeelding

0

I : V

3 + V2. T.O.V. bijvoorbeeld de bases (I) {I ,x,x

2 _,x3 } van V 3 en (II) {1,x,x 2 } van V

2 is de matrix DI van Ol gelijk aan

(

~ ~ ~ ~).

0 0 0 3

v(xl

=

U}

,

kv(xl

=

({j)t

=(

(~ ~ ~ ~)U)

t

=(Jt =-3+

2x 6x',

in overeenstemming met de eerder gevonden antwoorden.

In IV -I hebben we een lineaire afbeelding À : R + R gedefinieerd door middel

van een m xn-matrix A =

(~~ ~

. : .. :

~~ ~)

als

VO~gt:

m

a ml ... amn Voo",d,,,, •

=

(J

,

)

'R.

i, Ä.

=

AC)·

n n

We zullen nu onderzoeken wat de plaats is van dit soort afbeeldingen in de alge-mene theorie. Daartoe hebben we behoefte aan een bijzondere basis van Rn'

n,fm;ti, 2, Hol ,tolrel

{(t),(I)

,

, ,

{~)} h~t

n"uu,hj" b"i, "n R.

(zie ook voorbeeld 2 van 11 -4).

l,d" ,I,m,nt •

= (}}

R. k,n wom,n g'"hreven ,I, •

=

(}:) =

= x 1

(i)

+

, '

, +

x.

(J

Voo, d' "nt,ll'nm,trix X V"" • 1.0, V, d' n,tu udijk, b";,

"n R. volgtdu, X =

C)

Bhjk b,,", X d",lfd, n: I-m,tri,," h,t ,I,m,nt • =

C')

'R.

"lf,

n

Laten we met 'I' en '11' aanduiden de natuurlijke bases van Rn resp. Rm. Beschouw weer de afbeelding

.

.

! !

! ! ! 't' me!! ,""A' 1l1li1[411 II IrWl''''*,", Lil ij cil' IV-2

D,n kunn'n

w'

nu du, ",hrijv," Á, =

re))

omd" ook in Rm do "oIoren gelijk

zijn aan hun kent allen-matrices t.O.V. de

natu:rlijI~e

basis. De vector

K

=(

:1)

kan

wor-n den opgevat als kent allen-matrix van K t.o.V. de natuurlijke basis (I") van Rn'

De matrix A is blijkbaar de matrix van A t.o.v. de natuurlijke bases (I) en (JI) van Rn' resp. Rm'

Stelling 2a, hierop toegepast, luidt

SteUing 3a: Bij iedere lineaire afbeelding Á : R + R

n m matrix A

=

(~~ ~

. '. : :

~~~

)

,

zodanig dat Ax

=

A(:l)

a

m1 . . . amn n

behoort precies één m x

n-voo",d,,,

,=

C' )

'Rn

n A is de matrix van A t.o.v. de natuurlijke basesvan Rn en Rm'

Stelling 2b, hierop toegepast, luidt

Stelling 3h : Bij iedere m x n-matrix A =

(~~ ~

. '. '. '.

~1. ~

) behoort precies één lineaire a_m 1 ... _amn

afbeelding Á : R _n + R _m ,zodanig dat A de matrix is van Á t.O.V. de natuurlijke bases

À~ ~;d:~i~~;'d

doo, Á. = { ' ), voo< i,d", , { ' ) 'Rn

n n

In IV -5 zal gebruik worden gemaakt van de volgende stelling. Stelling 4: Als A en B mxn-matrices zijn, dan geldt:

{:)

=

{:)

vomll,

c:l

'Rn

~

A

=

B

Bewijs: Laten A en

H

de lineaire afbeeldingen zijn van R in R met matrices A n "m

resp. B t.O.V. de natuurlijke bases van R en R ,zie stelling 3b . Dan geldt: A2Ç =

HlS,

voor alle

lS,

€ Rn

~

A

=

H

~

Ä

=

B (Stelling 3a).

De juistheid van de bewering kan ook gemakkelijk worden aangetoond met behulp van matrices alleen:

Neem voor

(:1)

de elementen van de natuurlijke basis van Rn' n

Voorbeelden.

8. Gegeven is de lineaire afbeelding A : R3 + R4' met matrix

(

~

_:

~)

t.o.v. de natuurlijke bases van R3 en R4' Geef het beeld Ax

-I 2' -1

von

.=

m

p I j ' i I i!!!! i

,. ·1··.··'.·· .. - II!

·_-

__

W' '& • _

IV-2

9.

Een lineaire afbeelding Á : R + R is ondubbelzinnig bepaald als de beelden

n m

gegeven zijn van de elementen van een basis van R , zie stelling I (I a). Als de n

beelden gegeven zijn van de elementen van de natuurlijke basis van Rn' dan kan

.

.

men de matrix van de afbeelding t.O.V. de natuurlijke bases van Rn en Rm onmid-dellijk opschrijven, zie voorbeeld 9. We zullen aan de hand van voorbeeld 10 laten zien hoe men de matrix van een lineaire afbeelding Á : R + R t.o.v. de

natuur-n m

lijke bases, kan bepalen als de beelden van de elementen van een willekeurige basis gegeven zijn.

Voorbeeld.

10. Van de lineaire afbeelding Á : R3 + R₂ is gegeven:

Onderzoek of hierdoor Á ondubbelzinnig is bepaald en geef de matrix A van Á t.o.v. de natuurlijke bases van R3 en R₂.

Bereken

Á(:)'

Oplossing: De eerste kolom van A bevat de kentallen van

Á

(

~),

de tweede die van

Am,.n d. d"d. rumn

Am

Toov.l1ig komt

A

(~)

=( -:)

voo"n d. ",gmn,.

1 I

\

r

I

I

f

=

U) -

(-! )

-

C~)

=

(-~).

Dus

Á(D

=1(-~)

=

(;~J

.

Hi"uhlgt A = (-:

~~

_

~)

on

Am

=

Am

= (-:

~~,

j

(iH

~~)

De afbeelding Á is ondubbelzinnig bepaald door de gegevens, want

I

m,

G

).(

f) \

i, blijkb", oen

bM~

"n R,

Het bepalen van de matrix A kan ook worden uitgevoerd door middel van een 'veeg-procedure' met de kolommen:

Á À

--

--G

3 -1 1

;

)

-

(~

0 0 -1 2

-~H~

0 0 -1 -4

-

~) ~

2 0 2 2 0 2 0 1 3 0 Á

--(I 0

0 -1 -2

,)

(-I -2 ')

~ _{0 1 0} -2 ' dus A

=

1 3/2 -2 .

o

0 3/2

Ook deze methode berust hierop dat het beeld van een lineaire combinatie van vec-toren de overeenkomstige lineaire combinatie is van de beelden van die vecvec-toren, als de afbeelding lineair is. Voert men links van de streep een elementaire kolomoperatie uit,

dan moet men rechts van de streep de overeenkomstige operatie uitvoeren. Teneinde A te verkrijgen moet men zodanig 'vegen' dat links van de streep de eenheidsmatrix ontstaat.

Op deze wijze komt vanzelf aan het licht of de vectoren, waarvan de beelden zijn gegeven, een basis vormen van Rn ; en, indien dit niet het geval is, of de gegevens niet tegenstrijdig zijn.

We zullen dit laten zien aan de hand van de gegevens van voorbeeld 1:

(

~ ~

_!

1 3 1) _

(~ _~ _~ ~ _~ _~) _ (~ ~ ~ ~).

1 1 -1 2 1 -3 1 -2 -2 1 2

Conclusie: De gegevens zijn niet tegenstrijdig, maar onvolledig.

( 1 3 1 2 0 -4 1 1 -1 1 3 a _ 2 -6 -6 ) ( 1 0 0 2 1 b 1 -2 -2 1 0 a- I) 2 -5 b- 2 .

Conclusie: De gegevens zijn tegenstrijdig, tenzij a- I

=

0 en b - 2

=

-5, dus tenzij

a

=

1 Ab = -3.

We beschouwen tenslotte het volgende bijzondere geval.

Zij Y de vectorruimte IR van de reële getallen, zie voorbeeld 6 van 11 -1. De afbeelding

Á:X"'IR

199

IV-2

wordt in dit geval 'lineaire functionaal' genoemd. In plaats van het symbool À

zullen we hier het symbool F gebruiken. Laat (1) ~I' ...

&,)

een basis zijn van X.

Neem in IR de basis (11) {l}. Laat

F:X+IR

lineair (een lineaire functionaal) zijn.

Zij Fl!.1 = f_{l ,} ... ,F!!n = _{fn ; fl}, ... ,fn zijn vectoren in IR, dus gewone reële getal-len. De matrix F van F t.O.V. (1) en (H) is de 1 xn-matrix (1) ... _{(fl ,} ... ,fn)' want fj = fj"l, i = 1, ... ,no

Als ~€X,danzijnergetallen xl,···,xn,zodanigdat K=XIJ!.I + ... +xn!!n'

Er volgt:

F~=F(xI!!1 + ... + Xn!!n)= xIF!!1 + .. ,+xnF~ =xlf_{l +} ... _{+xnfn =}

=

(f

1 . . .

f")e).

in

ovoreon~,mming

m,t

(1). n

Voorbeeld.

11. Zij X de ruimte van polynomen p(x), XE [0,1], met reële coëfficiënten en graad':;;; 3. We zullen enkele functionalen op X beschouwen. In X kiezen we

de basis (I) {l,x,x2,x3} en in IR de basis (11) {I}.

200

Dat de hierna volgende afbeeldingen F I en F 2 lineair zijn (lineaire functio-nalen zijn op X) is gemakkelijk in te zien.

i) Zij FI : X + IR gedefinieerd door

A I FI p(x) =

J

p(x)dx. o 1 Fil =

f

1 dx = 1

o

FIx

=jXdx

=t

o

F x2

=j

x2dx=1 1 0 3 F x3 =

j

x3_{dx = 1} I 0 4

De matrix FI van FI t.o.v. (I) en (11) is dus

Hieruit volgt Fla + bx + cx2 + dx3) = (I

1 in overeenstemming met

f

(a + b x + C x2 _{+ d x}3 _{)dx = a +}

_-1

b +

j-c

+

!-ct.

o

ü) Zij F 2 : X + IR gedefinieerd door F₂p(x)=p(x_o), xo€[O,I]. De matrix F

2 van F2 t.O.V: (I) en (II) is dus F 2

=

(I x 0 x ~ (<

g ).

HieruitvolgtF (a+bx+cx2 _+dx3_{)=(I x x}2

X3_)(:)=

2 0 0 0 c

d

=a+bx_{o+cXo +dxo}3 ,

hetgeen uiteraard ook weer onmiddellijk volgt uit de definitie van

1\.

Vraagstukken.

1. Beschouw de lineaire afbeelding Ra: M₂ + M

2 van voorbeeld 2 van IV -1.

Geef de matrix Ra van Ra t.o.v. een orthonormale basis van M₂·

Laat

~

€ M₂ de kentallenmatrix X =

(:~)

hebben t.O.V. deze basis. Geef de kentallenmatrix van Ra~ t.O.V. deze basis.

2. a) Laat X een vectorruimte zijn met basis h,j;J,ç}. Laat

T:

X + X lineair zijn

en zodanig dat A~ =

g,

A!2 = ç, Aç = .i!. Geef de matrix van A t.o.v. de

gegeven basis.

3.

4.

Zij X = X1.i!

+ x

2Q + x3ç,·

Bepaal Ax, met, en zonder gebruik te maken van de matrix.

Beantwoord dezelfde vragen, maar nu voor X achtereenvolgens met basis b) {j;J,ç,V,

C) {ç,Q,!!},

d) {l!,~+l>,~+Q+ç}.

A

'

R,

+

R,

i, geddinimd dON

A(:;)

=

a) Toon aan dat A lineair is.

b) Geef de matrix van A t.O.V. de natuurlijke bases van R3' en R4'

a) Is Á hierdoor bepaald?

-

(~\

b) Bepaal A 3

0)

oj "P'&

A@

wd.nig d,t

Am

=

m

5. De volgende schema's hebben betrekking op een lineaire afbeelding

Á : R + R " zoals behandeld is in voorbeeld 10. Beantwoord voor elk der

n m

schema's de volgende vragen:

~"'!I" 'I . w - · ' I t , IV-2

i) geef n en m.

ü) Onderzoek of de gegevens al of niet tegenstrijdig zijn en / of al of niet volledig.

iii)Geef de matrix van de lineaire afbeelding t.o.v. de natuurlijke bases van Rn en Rm indien de gegevens niet tegenstrijdig zijn en volledig.

Geef in dit geval A C l n

,l

(~

2

'l

(:

0

-1)

2

4

6 9

12)

2 3 7 . 7 5 3 . 3 3 2

hl

(~

2 I

(:

I 2

o

-I

~)

2

4

-2 6 9 12 -3) f) 2 0 3 7 I 0 7 5 3 2 . 3 3 2 c) (

~

2 g) (: 2

₄

₁

0 -I 5

I:).

2

4

6 9 10) 2 0 3 3 7

4

7 5 3 . 3 1 5 3 2 5 10 d)

(~

2 1

1

6 _h)

(~

1 1 5 5 1) 2 _{2 7} 9

-

_{o .}

I)

1 2 -I 3 -5 . I -2 5 0 3 2

4

-2

6. Laat V₂ de lineaire ruimte zijn van veeltermen in x, x € IR, met reêle coëffici-enten en met graad';;;; 2. De afbeelding A : V

2 + V2 is gedefinieerd door

_ d2 _d

Av(x) = x 2 dx2v(x) - 2x

dxv(x) + 2v(x), voor alle v(x) E V2.

a) Toon aan dat A lineair is.

b) Geef de matrix A van A t.o.v. de basis {I,x,x2} van V

2.

c) Bepaal A(ax

+

b x2), a,b willekeurig reëel, door directe berekening, en door gebruik te maken van de matrix A.

7. Laat Pn de vectorruimte zijn van polynomen -in x, x € [0, I) , met reële coëfficiënten en met graad';;;; n.

De afbeelding A : P₂ + P₃ is gedefinieerd door Ap(x) = p(x) +

J

p(t)dt, voor

o

alle p(x) € P

2.

a) Toon aan dat A lineair is.

b) Geef de matrix A van A t.o.v. de basis {I ,x,x2} van P

2 en {I ,X,X 2

,x 3}

van P

3.

c) Bepaal A( 1 + x + x2) door directe berekening en door gebruik te maken

ANTWOORDEN VAN DE VRAAGSTUKKEN IN IV-2. 1. (COS

a

-sin

a).

(Xl cos

a

-

x2sin

a)

sin

a

cos

a

'

xl sin

a

+ x₂eos

a

.

2. a)

(

O~

0 1

I.

o

~r

b)

(!

~ ~); x3~+xI~+x2~

'

0)

G

~

!l

'

x3,+x,.+x2~

( -1 -1 d) 1 0

o

1 ( 0 1

o

0 3. b) 1 2

o

0 4. a) nee. b b)

(i).

0)

nl

-~)

-1 . 1 5. a) Á : R3 ~ _{R 2,}

niet-tegenstrijdig, maar onvolledig. b) Á : R3 ~ R2'

niet-tegenstrijdig, maar onvolledig.

e) Á : R3 ~ R2' tegenstrijdig. d) Á : R3 ~ R2' niet-tegenstrijdig, volledig,

(;

~

:); {;) . (X,

;::!

::X3).

e) e) Á : R3 ~ R3'

niet-tegenstrijdig, maar onvolledig. f) Á : R3 ~ R3' niet-tegenstrijdig, volledig,

(231 -~ ~); A(:~)= (2:~

_{1 -1 x} 3 3x1

"'.

IV-2

203

IV-2 g) Á : R3 + R3' niet-tegenstrijdig, volledig, 6. b)

G

o

00

0)

.

o

0

c) Á(ax+bx2)=0. ( 1 0

Ol

1 1 0 7. b) 0 1/2 1 .

o

0 1/3 c) Á(1 +X+X2)= 1

+2X+~X2

+j x3.

§

3. Kern en beeldruimte. Lineaire vergelijkingen en lineaire variëteiten.

3.1 Kern en beeldruimte.

Laten X en Y vectorruimten zijn. Zij A: X + Y lineair en Ue X.

Definitie 1: AU= {A1.!1 11 E U}. AU heet het beeld van de verzameling U onder afbeelding Á.

Stelling 1. ÁX is een deelruimte van Y.

Bewijs: AX -=1= <p, want Q E X, dus AQ = Q E AX.

Als ~ 1 en ~ 2 tot AX behoren, dan zijn er elemen ten ~ j en lf

2 in X zodanig dat

}'l = A~l' l'2 =

k

₂· X is een vectorruimte, dus al ~l + a₂25:₂ E X voor alle reële al en

a

₂·

Uit A(a_l25:_j

+

a₂25:₂) E AX, of al

A2f

₁ +

a

₂

A2f

₂ E ÁX,

volgt al l:l + a2l' 2 E AX voor alle reële a I e_{n a2 .}

Op grond van stelling I b van II - 2 is AX een deelruimte van Y.

Definitie 2: AX, het beeld van X onder A, heet beeldruimte van Á. Vraagstuk.

I. Bewijs dat AU een deelruimte is van Yals U een deelruimte is van X. Stelling 2. Zij X een eindig-dimensionale vectorruimte.

a) Als dimX~I,danheeftXeenbasis {i!l,· .. ,i!n};danis AX=[Ai!l' .. . ,Ai!nl en dim AX ~ dim X.

b) Als dim X = 0, dan is X = {Q}, ÁX = {Q} en dim AX = dim X = O.

Bewijs: al) ÁX e [Ai!.l' .. . ,Ai!n

I

.

Want als l' E ÁX dan is er een lf E X zodanig

dat l' = Alf. En dan zijn er coëfficiënten xl" _{.. ,xn'} zodanig dat

2f= x l i!.1 + ... +xni!n·

Dan volgt 1: = A2f = X I AllI + ... + X_{n Ai!n E [Ai!} j , . . . ,Ailn I.

a2) [Ail l , ... ,A!!n] c ÁX. Want als 12 E [A!!l' ... ,Al!n] dan zijn er getallen bI" .. _{,b n,} zodanig dat

!2.

= bI _Aill + ... + bnAl!n' en volgt

12=A(bllll + ... +bnl!n)· Omdat bI.!!.1 + ... +bn.i!nEX volgt QE ÁX.

a I) en a2) geven AX = [Al!l ' ... ,Ai!n

J

.

Omdat {Al!l" .. ,Al!n} niet onafhankelijk behoeft te zijn, volgt dim AX ~ n = dim X.

b) Het triviale geval X = {Q} behoeft geen nadere toelichting. Vraagstuk.

2. Bewijs de volgende stelling: Als X en Y vectorruimten zijn, als de afbeelding A : X + Y lineair is en als U een eindig-dimensionale deelruimte is van X, dan is dim AU~ dim U.

Voorbeelden.

I. A) Laten X en Y vectorruimten zijn en laat

0

:

X + Y de nulafbeelding zijn, zie voorbeeld 5 van IV -I. Dan is OX = {Q}, dus dim OX = O.

Als X een dimensie heeft, dan is 0 = dim OX ~ dim X.

B) Voor de eenheidsafbeelding Ê : X + X (zie voorbeeld 4 van IV - I) volgt ÊX

=

X. Als X eindig-dimensionaal is geldt dus dim ÊX

=

dim X.

205

IV-3- 1

2. Laten X en Y vectorruimten zijn met bases (I) {!!,g,ç,g} resp. (II) {p,g,r}. Laat

A:

X + Y lineair zijn en laat

A =

(~ -~

-!

~)

3 0 -3 6

de matrix zijn van

A

t.O.V. (I) en (Il). Dan is

Al!=(~) ,Ah=

(-~),

AÇ=(-!),

Ag=(~) ,

3 II 0 11 -3 II 6 11

en ÁX =

U(~)

,

(-~)

,(-!)

,

(~)]

.

~

3 11 0 II -3 11 6 11

Door vegen (zie voorbeeld 2 van 11-5), kan een basis worden geconstrueerd van

AX:

(

~

-~

.

-!

~) ~

(~ -~ -~o

~) ~

(~

~).

3 0 -3 6 3 -6 -12 6 3 6

Een b'''",n

ÁX i, d",

{(~)

j

~)

J.

d" i, {p

+

29

+

3r.59

+

6r}.

Omdat geen twee vectoren uit

{(~)

,(-

~)

,(-!)

,

(~)

)

afhankelijk zijn, 3 11 0 11 -3 11 6 11

en omdat

AX

2-dimensionaal is, is elk tweetal vectoren uit dit stelsel een basis van

AX.

Dim AX= 2; dim X= 4.

3. Beschouw de afbeelding

A :

R4 + R3 gedefinieerd door

A(:~)

=

(XI :

2:~

+ x

3:

~::)

voor alle

(:~)

€ R4'

3 X + 2x - x 3

x4 I

3 4

_x4

Deze afbeelding is lineair, en zijn matrix t.o.v. de natuurlijke bases van

:4=en(t3_~ ~

_:).

I 0 2 -I

Du,i, ÁR,"

m

mm

·

m

Door vegen kan een basis worden geconstrueerd van ÁR

4:

(

o

I

-I

2 0 3)

1 -2 ~

(I

0 -I

0 0

I -2

0) (I

~ 0 1 .

0)

1 0 2 -I I -2 2 -4 I 2

206

ÀR4 is blijkbaar 2-dimensionaal. Omdat elk tweetal vectoren uit het

",~,I

{m

,

Hl, G

).(=

m

on,fh,nk,ijjkj"

~

,Ik Iw"'M ""oren uit dit stelsel een basis van ÀR4'

4. Laat V de vectorruimte zijn van veeltermen in x, x € n _ IR, met reële coëfficiënten _

en met graad ~ n. _{_} Laat D: V _n + V _n de differentiaaloperator zijn. D is lineair. De beeldruimte DV

n is de deelruimte Vn_l van Vn0

Laten X en Y vectorruimten zijn, laat de afbeelding À : X + Y lineair zijn, en zij

WcY.

Definitie 3. Kl W = {~€ X

I

Á.~ € W} . À-I W heet het volledige origineel van W

onder afbeelding À.

Opmerking 1. À-I W

=

t/>~ÀXn W

=

t/>.

Definitie 4. À-I {Q} heet de kern K(À) van Á.

Dus K(À) = {~€

XI

À~ = Q}.

Stelling 3. K(À) is een deelruimte van X.

Bewijs: Uit ÀQ = Q volgt Q € K(À). K(À) is dus niet leeg. Laten Kl en K₂ elementen zijn van K(À): ÀKI = À~2 = Q. Dan volgt voor ieder tweetal reële getallen al en a₂:

À(al~l +a_{2K2)=aIÀX I +a2À~2 =2, dusal~l +a2~2 €K(À). Op grond van} stelling I b van IJ -2 is K(À) een deelruimte van X.

Vraagstuk.

3. Als X en Y reële vectorruimten zijn en als À: X + Y lineair is, dan is À-I V

een deelruimte van X als Veen deelruimte is van Y. Bewijs dit.

Opmerking 2. Omdat K(À) c X, is dim K(À) ~ dim X als X eindig-dimensionaal is.

Voorbeelden.

la. Beschouw voorbeeld I. Voor Ó : X + Y is K(Ó)

=

X.

Voor Ë : X+X is K(Ë)= {Q}.

2a. Beschouw de afbeelding À : X + Y van voorbeeld 2.

L,,' X =

(~j)

d, kon"n,nm",;, ûjn.,n . ' X t.o.'. b,,;, (1),1", Y d,

kentallenmatrix zijn van ~ = Àx t.O.V. basis (II). Dan is AX = Y.

lÇ € K(À) als zijn kentallenmatrix X voldoet aan

AX =

Gl,

dat is aan

(

~ -~

-!

~l(:~)

=

(~l

,

of, gelijkwaardig hiermee, 3 0 -3 6 x3 ₀

x

₄

I

xl + _{2x2 + 3x3} = 0 2x I - _{x 2 - 4x3} + 5x₄ : 0 3x_I - 3x 3 + 6x4 - O. ; c 207

..

IV-3- 1

Oplossen volgens II1- 2-} levert

"

'}

3a. van voorbeeld 1...K(A)

_.

_{_}

_{-_}

is de oplossing ..

_

----

_

...

-

--Beschouw de afbeelding A : R4 + R3

van

(~ -~ ~ -~)(:~)

=

(~).

'

I 0 2 -I x3 ₀

x₄

Oplo"en "'"

(~~)

,doomgen volgen.JIl- 2 - I lev«!

k

~-2~~

_{2: '}

(~}{l)+~m a'n~,~,l

DU:

K(Á)"

~JO)l

K(A) is blijkbaar 2-dimensionaal.

4a. Beschouw de afbeelding Î> : V _n + V _n van voorbeeld 4. K(λ is de verzameling

d

-van veeltermen v(x), waarvoor -v(x)

=

O. Dus isK(D) de verzameling van dx

constante functies, K(λ

= [

I]. K(λ is blijkbaar I-dimensionaal.

Laten X en Y vectorruimten zijn, zij A: X + Y lineair. Als X eindig-dimensionaal is, dan zijn AX en K(A) ook eindig-dimensionaal en hun dimensies zijn kleiner dan of gelijk aan dim X. Er bestaat dan een verband tussen de dimensies van X, ÀX

en K(A). .

Stelling 4. Als X eindig-dimensionaal is, dan is dim X

=

dim AX + dim K(A). Bewijs: Zij dim X = n.

a) In het triviale geval dat n

=

0, d.i. X

=

{Q}, is de bewering waar. Want dan is ook K(A) = {Q} (c X) en AX = {Q} (c Y), zodat

dim X= dim AX= dim K(.4) =

o

.

b) Zij n

>

O.

K(A) is een deel ruimte van X. We onderscheiden drie gevallen: (i) K(A) = {Q}, dim K(A) = 0;

IV- 3"-2

(ii) K(À)

=

X, dim K(À)

=

n;

(iii) {Q} =I=-K(À) =I=-X, 0

<

dim K(À)

<

n.

We zullen eerst geval (iii) behandelen.

Laat {~1' ... '~m} een basis zijn van K(A). Vul deze basis aan tot basis

{~1' ... '~m '~m+l' ... '~n} van X, zie stelling2e van 11-4. Op grond van stelling 2

fs

ÀX

=

[À)!:!' ...

,À~m

,À)!:m+l' ... ,ÀAn)' En omdat

~

l' ... ')!:m tot K(Ä) behoren, volgt

ÀX

=

[9, ... ,Q,Ä)!:m+1 ' ... ,ÀKn)

=

[ÄKm+l' ... ,ÀAn)' We zullen nu aantonen dat {À~m+l"" ,À~n} onafhankelijk is.

Laat am+l A~m+l + ... + a_n AAn = g, am+l" .. ,an reëel. Dan volgt À(am+l ~m+1 + ... + a_n Kn) = g, dus _am+_{1 Am+1} + ... + _{a nAn} € K(À). Omdat i)!: l' ... 'Am} een basis is van K(À) zijn er dus getallen

"'1' .

.

.

''''m' zodanig dat a_m+1 ~m+1 + ... + an~n

= ""

~1 + ... + "'m ~m'

Dus is -"" ~1 - ... - "'m~m +

am

+1 _{Am+l + ..} . + a nAn

=

Q. Maar

{A l' ...

'~m

'Am +1 ' ... 'An} is een basis van X. Op grond van stelling 2 b van

11-3 volgt -"'I

= ... =

-"'m

=

a_m+1

= ..

.

=

a_n

=

O.

Op grond van dezelfde stelling volgt dat {À~m+l' ... ,ÀAn} onafhankelijk is.

Dus is {À~m+1' ... ,À~n} een basis van Àx. Blijkbaar is dim X

=

n, dim AX

=

n - m, dim K(Ä) = m, zodat de stelling is bewezen.

In geval (i) is de basis van K(À) leeg (m

=

0). Als {Al' ... 'An} een basis is van X, dan blijkt op dezelfde manier als boven dat nu {À~l' ... ,À~n}

onafhankelijk is, dus een basis is van

AX.

Dan is dim ÀX = n en vanwege dim K(Ä) = 0 is de bewering bewezen.

In geval (ii) is ÀX

=

{Q}. Dan is dim ÀX

=

0, dim K(À)

=

n, waaruit blijkt dat de bewering juist is.

Voorbeeld.

S. Stelling 4 kan worden geverifieerd aan de hand van de voorbeelden 2,2a; 3,3a;

4,4 a en I, I a als hierin word t verondersteld dat X eindig-dimensionaal is.

3.2 Rang van een matrix. Stelsels homogene lineaire vergelijkingen.

We zullen nu de theorie van kern en beeldruimte beschouwen in samenhang met de theorie van de stelsels homogene lineaire vergelijkingen, zie opmerking 3 van III -1- 2 en opmerking 5 van III - 2-2.

In III -1- 2 en III - 2 - 2 is behandeld het stelsel homogene lineaire vergelijkingen

{ allxI + ... _{+a 1nxn "0} (S)

~.

'1';1'

~

'. '. ' .. ;

~

.. 'x' .

~

'0'. m " mn n ( all'" aln} Als we definiëren A = ...•..

am1 ,··_amn

X=() o=G)

dan is het oplossen van (S) gelijkwaardig met het oplossen van de matrix X uit de ma trix -vergelij king

(1) AX = 0, zie III-3-2, opmerking 8.

IV-3-2

W, kuoo,o d,

0

x

I-~'

I,ix X opvott,o .1,

''''0'

,=

C:l

'Ru' d, m x I-m"d' 0 ,1, ouI-""o, Q =

(ol '

R m' ' 0 do m, o-m "ri , A ,1, m"d' "" 000 tio"ire

afbeelding Ä : R + R , t.o.v. de natuurlijke bases van R en R , zie stelling 3b

n m n m

van IV-2.

Dan is wegens (I) het oplossen van (S) gelijkwaardig met het oplossen van X uit de vergelijking

ÄX= Q.

Hieruit volgt dat de algemene oplossing van (S) gelijk is aan K(Ä). (Dat K(Ä) een deelruimte is van Rn volgt nu ook uit stelling 2 van III -1- 2).

De beeldruimte

AR

_n van Ä wordt opgespannen door

Hi){U

{){J'

Ä(Ï)=(:i:J}

M.a.w.:

ARn

wordt opgespannen door de verzameling van kolomvectoren van matrix A.

Definitie 5:

a) De dimensie van de deelruimte van Rm' opgespannen door de kolomvectoren van de mxn-matrix A heet kolom-rang r

k van A.

b) De dimensie van de deelruimte van R , opgespannen door de rijvectoren van de

n

m xn-matrix A heet rij-rang rr van A. Uit het bovenstaande volgt:

Dim

ARn

= kolom-rang r_k van A.

Omdat K(Ä) de algemene oplossing is van het stelsel (S) volgt uit stelling 2a van III-2-2:

Dim K(Ä)

=

n - r .

r

Stelling 5: Voor iedere matrix geldt r_k = rr.

Bewijs: Iedere m xn-matrix A kan worden opgevat als matrix van een lineaire afbeel-ding Rn + Rm t.o.v. de natuurlijke bases van Rn en Rm. Op grond van stelling 4, en van de bovenstaande relatie volgt

dim R _n = dim

AR

_n

+

dim K(Ä), of

n = r_k

+

n - rr' waaruit het gestelde kan worden afgelezen.

Opmerking.

3. Voor het bijzondere geval dat r

k = n = rr is stelling 5 reeds bewezen in

III-2-2, zie opmerking 5 aldaar.

De volgende definitie is dus toelaatbaar:

Definitie 6: De rang rA van een mxn-matrix A is de dimensie van de deelruimte van Rn' opgespannen door de rijvectoren van A, of, wat hetzelfde is, de dimensie van de deelruimte van Rm' opgespannen door de kolomvectoren van A.