T Delft
Technische Universiteit Delft
Facurteit dar Civiete Teciinieic
vraagstukken b i j h e t c o l l e g e b71N
d r s . H.J. Geldof i r . A. van M a z i j k .
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT F a c u l t e i t d e r C i v i e l e T e c h n i e k
u i t g a v e aug.'84
h e r u i t g .
2. Vraagstukken 2.1. P o t e n t i a a l s t r o m i n g 3 2.2. Krachten op lichamen 2.1.1. Lichamen i n de s t r o m i n g 15 2.2.2. Evenwicht bodemmateriaal 23 2.3. T r a n s p o r t p r o c e s s e n 2.3.1. D i s p e r s i e opgeloste s t o f f e n 25 2.3.2. T r a n s p o r t van bodemmateriaal 34 2.4. S e d i m e n t t r a n s p o r t en a l l u v i a l e ruwheid 37 2.5. M o r f o l o g i s c h e v o o r s p e l l i n g e n 40 3. U i t w e r k i n g e n 3.1. P o t e n t i a a l s t r o m i n g 43 3.2. Krachten op lichamen 3.2.1. Lichamen i n de s t r o m i n g 69 3.2.2. Evenwicht bodemmateriaal 78 3.3. T r a n s p o r t p r o c e s s e n 3.3.1. D i s p e r s i e opgeloste s t o f 81 3.3.2. T r a n s p o r t van bodemmateriaal 107 3.4. S e d i m e n t t r a n s p o r t en a l l u v i a l e ruwheid 113 3.5. M o r f o l o g i s c h e v o o r s p e l l i n g e n 118
P o t e n t i a a l s t r o m i n g Krachten op lichamen = Lichamen i n de s t r o m i n g = Evenwicht bodemmateriaal - T r a n s p o r t p r o c e s s e n = D i s p e r s i e o p g e l o s t e s t o f
= T r a n s p o r t van bodemmateriaal (bodemtransport en t r a n s p o r t i n suspensie)
- S e d i m e n t t r a n s p o r t en a l l u v i a l e ruwheid - M o r f o l o g i s c h e v o o r s p e l l i n g e n .
P a r a l l e l h i e r a a n i s i n h o o f d s t u k 2 van deze v r a a g s t u k k e n b u n d e l per onderwerp een a a n t a l v r a a g s t u k k e n raet antwoord gegeven.
Per paragraaf z i j n van de e e r s t e vraagstukken i n h o o f d s t u k 3 de b i j -behorende u i t w e r k i n g e n gegeven.
B i j het oplossen van v r a a g s t u k k e n i n de v l o e i s t o f m e c h a n i c a i s een systematische aanpak l o n e n d . De volgende f a s e r i n g kan d a a r b i j n u t t i g z i j n :
- Onderkennen van h e t probleem en zoeken naar de g e s c h i k t e vorm van de v e r g e l i j k i n g e n voor het onderhavige g e v a l .
- A n a l y t i s c h e benadering van het probleem. Voor h e t oplossen van een a a n t a l v e r g e l i j k i n g e n met een ( g e l i j k ! ) a a n t a l onbekenden l o o n t het de moeite om een g e s c h i k t e s t r a t e g i e t e zoeken.
- Numerieke u i t w e r k i n g .
Het i s van belang om n i e t t e s n e l numerieke waarden i n t e v u l l e n . Het o v e r z i c h t kan dan zoek raken; ook i s het c o n t r o l e r e n van de be-werkingen v i a de dimensies dan v r i j w e l n i e t meer m o g e l i j k .
Tot s l o t z i j opgemerkt, dat zonder merieke waarden worden g e b r u i k t :
v e r s n e l l i n g z w a a r t e k r a c h t k i n e m a t i s c h e v i s k o s i t e i t water d i c h t h e i d water d i c h t h e i d z a n d / g r i n d n a d e r e v e r m e l d i n g de v o l g e n d e n u -g = 9,81 m/s^ ~6 2 V = 10 m / s 3 p = 1000 kg/m 3 p = 2650 kg/m .
2. Vraagstukken
2.1. P o t e n t i a a l s t r o m i n g
2^1.1, Stroming door een s p l e e t
Algemeen
Door een v e r t l k a l e wand i s de w a t e r s t a n d opgestuwd t o t een hoogte h^ boven een h o r i z o n t a l e bodem. De onderkant van de wand b e v i n d t z i c h op een a f s t a n d h^^ boven de bodem. Met andere woorden: e r b e v i n d t z i c h een s p l e e t , waardoor h e t opgestuwde water wordt a f g e v o e r d .
Numerieke gegevens
h^ = 5 m h^ = 0,25 m
De eenheid van breedte van de wand wordt beschouwd.
Gevraagd
1. Bepaal de r e s u l t e r e n d e k r a c h t F op de wand, a l s voor de c o n t r a c t i e coëfficiënt n = 0,6 wordt aangehouden. (Antwoord: 108,7 k N ) .
2. Bepaal de d r u k v e r d e l i n g tegen de wand en bepaal opnieuw dé r e s u l terende k r a c h t F op de wand, uitgaande van de gevonden d r u k v e r d e -l i n g . (Antwoord: 100,1 kN).
3. A l s F de r e s u l t e r e n d e k r a c h t i s , d i e h e t opgestuwde water op de s
wand zou u i t o e f e n e n . I n d i e n e r door de s p l e e t geen a f v o e r zou z i j n , en F de r e s u l t e r e n d e k r a c h t i s , i n d i e n e r w e l een a f v o e r zou p l a a t s v i n d e n , druk dan F/F u i t i n h en h , u i t g a a n d e van:
- de volgens vraag 1 gevonden u i t d r u k k i n g voor F, en de volgens vraag 2 gevonden u i t d r u k k i n g voor F.
V e r g e l i j k de gevonden r e l a t i e s F/F = f ( h /h ) g r a f i s c h e met e l ¬ S J. u
k a a r . Wat kan op grond van deze g r a f i e k worden geconcludeerd? ( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.1.1.)
Algemeen
Een v a t met een b r e e d t e B en een l e n g t e L i s g e v u l d met w a t e r .
De l e n g t e L i s een a a n t a l malen de breedte B van het v a t . I n h e t mid-den van de bodem van h e t v a t b e v i n d t z i c h een afgeronde s p l e e t v o r m i g e opening, kortweg s p l e e t genoemd, d i e over de gehele l e n g t e L van h e t v a t aanwezig i s . De b r e e d t e van de s p l e e t I s b. De s p l e e t b r e e d t e b i s k l e i n t e n o p z i c h t e van de breedte B van het v a t . Er wordt voor ge-zorgd, d a t de a f v o e r door de s p l e e t geen p e i l v e r l a g i n g i n h e t v a t be-t e k e n be-t . De w a be-t e r s be-t a n d i n h e be-t v a be-t , gemebe-ten be-t e n o p z i c h be-t e van de bodem i s h_. De s p l e e t i s a f g e r o n d .
2.1
constant
r
verwaarloosbaar klein T" ten opzichte van ho
Numerieke gegevens
Gevraagd
Als de kopse wanden van h e t v a t geen i n v l o e d hebben op het stroom-beeld i n h e t v a t , benader dan h e t v e r l o o p van de druk p op de bodem van h e t v a t langs een denkbeeldige l i j n , d i e l o o d r e c h t op de s p l e e t s t a a t en d i e i n het bodemvlak van het v a t l i g t , a l s f u n c t i e van de a f s t a n d r t o t het h a r t van de s p l e e t .
(Antwoord: p ( r ) = pghQ(l - / {•k^x'^)) ; z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.1.2.).
2. 1^/3. Stroming langs twee wanden, d i e een hoek van 90° met e l k a a r maken
Algemeen
Een twee-dimensionaal stroombeeld i n het h o r i z o n t a l e v l a k kan worden beschreven met de s t r o o m f u n c t i e :
4' = a X y
a i s een c o n s t a n t e , a > O .
Numerieke gegevens
Gevraagd
1. Toon aan dat de gegeven s t r o o m f u n c t i e h e t stroombeeld w e e r g e e f t van een s t r o m i n g langs twee v e r t l k a l e wanden, d i e een hoek van
o
90 met e l k a a r maken, en w e l t e r p l a a t s e van d i e hoek en aan de binnenkant van de hoek
(inwendige hoek)
De X- en y-as v a l l e n samen met de wanden; h e t punt ( x , y ) = ( 0 , 0 ) v a l t samen met de hoek z e l f .
2. Toon aan dat de s t r o m i n g r o t a t i e v r l j i s .
3. Bepaal de f u n c t i e d i e de e q u l p o t e n t i a a l l i j n e n w e e r g e e f t . (Antwoord: - y^ = c o n s t a n t ) .
4. L e i d t de u i t d r u k k i n g a f d i e het d r u k v e l d p ( x , y ) weergeeft a l s p(0,0) = PQ. (Antwoord: p ( x , y ) = PQ - y po:2(x2 + y 2 ) ) .
j^tromlng rond een c i l i n d e r
Algemeen
Een tweedimensionale s t r o m i n g i n h e t h o r i z o n t a l e v l a k rond een v e r -t i k a a l opges-telde c i l i n d e r me-t s -t r a a l R, kan weergegeven worden door de volgende s t r o o m f u n c t i e ( i n poolcoördinaten): 4^ = U Q ( r - ^ ~ ) s i n e w a a r i n u^ de ongestoorde s t r o o m s n e l h e i d i s . De s t r o m i n g langs de c i l i n d e r v e r l o o p t w r i j v i n g s l o o s . Numerieke gegevens Gevraagd
1. Toon aan, dat de s t r o m i n g r o t a t i e v r l j i s en aan de continuïteits¬ v e r g e i l j k i n g v o l d o e t .
2. L e i d een u i t d r u k k i n g a f voor de s t r o o m s n e l h e i d langs h e t c i l i n d e r oppervlak en geef aan waar deze maximaal i s , alsmede de g r o o t t e ervan. (Antwoord: U Q = 2uQsin 9 ; 6 = y ; Ug = 2 U Q ) .
3. Hoe v e r l o o p t de druk langs h e t c i l i n d e r o p p e r v l a k , I n d i e n de druk t e r p l a a t s e van de ongestoorde s t r o o m s n e l h e i d u^ g e l i j k g e s t e l d mag worden aan de a t m o s f e r i s c h e ? Hoe g r o o t i s de maximale en hoe g r o o t de minimale druk? De a t m o s f e r i s c h e druk mag g e l i j k aan n u l worden g e s t e l d ( r e f e r e n t i e - w a a r d e ) .
1 2 2 1 2 (Antwoord: p( e ) = - pu^ (1 - 4 s i n 9) ; p^^^ = 2" P"o '
3 2. P m i n = - i P " 0 ^ "
( Z i e voor de u i t v / e r k i n g Par. 3.1.4.)
N.B. Zoals bekend, g e l d t voor de o m z e t t i n g van de partiële a f g e l e i -den i n c a r t e s i s c h e coördinaten naar de partiële a f g e l e i d e n i n poolcoördinaten:
Ö - = C O S e - s i n e
9^ = S i n e 0 7 + cos e
2 . 1 S t r o m i n g rond h e t a f v o e r p u n t van een badkuip
Algemeen
Het stroombeeld, d a t o p t r e e d t b i j h e t l e e g l o p e n van b i j v . een badkuip n a b i j h e t a f v o e r p u n t op h e t moment, dat e r nog net geen l u c h t w o r d t meegezogen, zou omschreven kunnen worden met de term " w e r v e l p u t -stroom": de w a t e r d e e l t j e s stromen v l a een w e r v e l naar h e t a f v o e r p u n t . Deze " w e r v e l p u t s t r o o m " wordt benaderd a l s 2dlmensionale p o t e n t i a a l -s t r o m i n g i n h e t h o r i z o n t a l e v l a k en kan i n h e t complexe x - y - v l a k wor-den a f g e b e e l d volgens de a f b e e l d i n g s f u n c t i e : W = a (1+1) l n z w a a r i n W = (t) + i (J; en z = X + i y ( i n c a r t e s i s c h e coördinaten) i 9 z = r e ( i n poolcoördinaten) (a i s een w i l l e k e u r i g e constante en i de i m a g i n a i r e e e n h e i d ) . c Numerieke gegevens Gevraagd
1. Bepaal de voor de " w e r v e l - p u t s t r o o m " geldende p o t e n t i a a l f u n c t i e (j) en s t r o o m f u n c t i e 4> i n poolcoördinaten.
(Antwoord: ( { ) = a l n r - a 9 ; 4i = a l n r + a 0 ) . 2. Geef s c h e t s m a t i g h e t v e r l o o p van de s t r o o m l i j n (|J = 0.
3. Als de druk i n h e t punt | = / 2 g e l i j k i s aan p^ en i n h e t punt I I = Y / 2 g e l i j k i s aan p^ > bepaal dan h e t d r u k v e r s c h i l
3 2 = ~ (Antwoord: Ap = pa ) . ( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.1.5.) 2 . y 6 . Stroming rond een strekdam
Algemeen
Een e l e k t r i c i t e i t s c e n t r a l e b e t r e k t z i j n k o e l w a t e r u i t een g r o o t bek-ken en l o o s t ook weer h e t na g e b r u i k opgewarmde water i n d i t bekbek-ken. Om t e b e w e r k s t e l l i g e n , dat h e t opgewarmde water een voldoend lange v e r b l i j f t i j d i n h e t bekken h e e f t (om v i a w a r m t e - a f g i f t e aan de atmos-f e e r weer dusdanig a atmos-f t e k o e l e n , dat h e r g e b r u i k voor k o e l i n g m o g e l i j k i s ) , wordt tussen i n - en u i t l a a t een strekdam van 100 m l e n g t e ge-bouwd.
Voor een nadere b e s t u d e r i n g van de s t r o m i n g rond de strekdam, wordt deze i n e e r s t e i n s t a n t i e a l s een 2-dimensionale p o t e n t i a a l s t r o m i n g i n het h o r i z o n t a l e v l a k benaderd. I n deze benadering h e e f t de strekdam geen b r e e d t e . De s t r o m i n g rond de strekdam kan i n h e t complexe x-y-v l a k worden a f g e b e e l d x-y-volgens de a f b e e l d i n g s f u n c t i e :
W = A z i
lozing koelwater
w a a r i n
W = (j) + i 4) en
z = X + i y ( i n c a r t e s i s c h e coördinaten)
(A i s een w i l l e k e u r i g e c o n s t a n t e en 1 de i m a g i n a i r e e e n h e i d ) .
Het punt ( x , y ) = (0,0) , de oorsprong van h e t a s s e n s t e l s e l v a l t samen met de u i t e r s t e punt van de strekdam, t e r w i j l de strekdam z e l f met de p o s i t i e v e x-as samenvalt ( z i e bijgaande f i g u u r ) .
Numerieke gegevens
Gevraagd
1. Hoe l u i d t de v e r g e l i j k i n g van een w i l l e k e u r i g e s t r o o m l i j n rond de strekdam. (Antwoord: / x"^ + y^ - x = c o n s t a n t ) .
2. Schets de s t r o o m l i j n , d i e gaat door h e t punt x = 50 ra en y = 20 m en bereken d a a r b i j de s n i j p u n t e n van deze s t r o o m l i j n met de x- en de y-as. Geef i n de schets de r i c h t i n g van de s t r o m i n g aan.
(Antwoord: s n i j p u n t met x-as: x = - 1,93 m ; s n i j p u n t y-as: y = ± 3,85 ra).
3. A l s de s n e l h e i d u i n h e t punt ( x , y ) = (50 , 20) g e l i j k i s aan |u| = 0,10 m/s , hoe g r o o t i s dan de s n e l h e i d i n h e t s n i j p u n t van de onder vraag 2 genoemde s t r o o m l i j n met de x-as?
(Antwoord: - 0,53 ra/s).
( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.1.6.)
W a t e r o n t t r e k k i n g u i t een k a n a a l
Langs een v e r t l k a l e wand t r e e d t een p a r a l l e l s t r o m i n g op (homogeen s t r o m i n g s v e l d ) . De s n e l h e i d i s g e l i j k aan u^ , de w a t e r d i e p t e i s a. I n de wand b e v i n d t z i c h over de v o l l e d i g e w a t e r d i e p t e een v e r t l k a l e s p l e e t , waardoor een d e b i e t q per meter s p l e e t h o o g t e wordt o n t t r o k k e n aan de p a r a l l e l s t r o m i n g .
V e r o n d e r s t e l d w o r d t , dat het r e s u l t e r e n d stroombeeld n i e t v a r i e e r t over de w a t e r d i e p t e a en dus 2 - d i m e n s i o n a a l i s i n h e t h o r i z o n t a l e x - y - v l a k ( o o r s p r o n g v a l t samen met de s p l e e t ) .
y ^
bovenaanzicht d o o r s n e d e A - A
H i e r b i j wordt tevens ( i m p l i c i e t ) aangenomen, d a t i n de omgeving van de s p l e e t de o n t t r e k k i n g van het d e b i e t q geen l o c a l e w a t e r s p i e g e l d a l i n g t o t gevolg h e e f t . De s t r o m i n g wordt v e r d e r w r i j v i n g s l o o s en r o -t a -t i e v r i j v e r o n d e r s -t e l d . Numerieke gegevens 2 U Q = 0 , 5 0 m/s , q = 1 m /s Gevraagd
1. Bepaal de s t r o o m f u n c t i e i\> , d i e het boven omschreven 2-dimensiona l e stroombeeld w e e r g e e f t a l s f u n c t i e van x en y.
q y
(Antwoord: - u„y + — b g t g — = c o n s t a n t ) .
U TX X
2 . Bepaal het punt i n het x - y - v l a k , waar de s t r o o m s n e l h e i d n u l i s
( d i t i s het zogenaamde " s t u w p u n t " ) . (Antwoord: 0 , 6 4 m).
3 . L e i d de u i t d r u k k i n g a f , d i e het v e r l o o p van de druk p langs de
wand ( y = 0 ) w e e r g e e f t op een w i l l e k e u r i g e d i e p t e z onder de wa-t e r s p i e g e l wa-t e n o p z i c h wa-t e van de druk p^ op g r o wa-t e a f s wa-t a n d boven-strooms van de s p l e e t op d e z e l f d e d i e p t e z (Ap = p - P Q ) ' (Antwoord: Ap = ^ P ( ^ ) ( 2 u o - ^ ) ) .
4. Hoe g r o o t i s i n het stuwpunt van vraag 2 de Ap , zoals g e d e f i
-n i e e r d i -n vraag 3 . (A-ntwoord: 1 2 5 N/m^). ( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3 . 1 . 7 . )
1/. 8. Bak met een s p l e e t l n de bodem
Algemeen
Gegeven een bak, g e v u l d met water. De l e n g t e a f m e t i n g L van de bak i s een a a n t a l malen de b r e e d t e a f m e t i n g B. I n de l e n g t e r i c h t i n g van de bak b e v i n d t z i c h i n h e t midden van de bodem over de v o l l e l e n g t e van de bak een afgeronde s p l e e t v o r m i g e opening, waardoor h e t w a t e r u i t de bak s t r o o m t . De a f m e t i n g e n van de a f r o n d i n g van de opening z i j n v e r -waarloosbaar t e n o p z i c h t e van de w a t e r d i e p t e h^ i n de bak. De b r e e d t e van de opening i s b. Het n i v e a u i n de bak wordt c o n s t a n t gehouden.
constant
-M- verwaarloosbaar klein ten opzichte van ho
Numerieke gegevens
b = 0,05 m , h = 1 m B = 3 m
Gevraagd
2 1. Bereken de a f v o e r per meter s p l e e t l e n g t e . (Antwoord: 0,22 m / s ) . 2. Bepaal h e t d r u k v e r l o o p p ( z ) langs de v e r t i k a a l , d i e gaat door h e t
h a r t van de s p l e e t . (Antwoord: p ( z ) = pg ( h ( l - 2 2) ~ ) • 1.9. Analyse s t r o o m f u n c t i e
Algemeen
Een twee-dimensionale s t r o m i n g i n h e t x - y - v l a k wordt gegeven door de s t r o o m f u n c t i e :
2 4^ - 5x
Numerieke gegevens
Gevraagd
1. Toon aan dat de s t r o o m f u n c t i e een p a r a l l e l s t r o m i n g e v e n w i j d i g aan de yas v o o r s t e l t , t e r w i j l de g r o o t t e van de s n e l h e i d l i n e a i r v e r -a n d e r t met de -a f s t -a n d t o t de y--as. 2. Ga na of de s t r o m i n g r o t a t i e v r l j i s . / 10. Conforme a f b e e l d i n g Algemeen
Een stroombeeld i n h e t h o r i z o n t a l e v l a k kan i n h e t complexe x - y - v l a k worden afgebeeld volgens de a f b e e l d i n g s f u n c t i e :
W = l n z^ w a a r i n W = * + 1(1; en z = X + i y ( i n c a r t e s i s c h e coördinaten) of 19 z = r e ( i n poolcoördinaten) ( i i s de i m a g i n a i r e e e n h e i d ) . Numerieke gegevens Gevraagd 1. Bepaal de s t r o o m f u n c t i e 4) en de s n e l h e i d s p o t e n t i a a l (|). (Antwoord: i}> = 2 l n r ; 4^ = 2 9 ) .
2. Teken h e t stroombeeld, geef h i e r b i j ook de s t r o o m r i c h t i n g aan. (Antwoord: p u t s t r o m i n g ) ,
3. Toon aan dat de s t r o m i n g r o t a t i e v r l j i s .
4. Bereken h e t d r u k v e r s c h i l tussen de punten z^^ = 2 + 21 en
z = 3 + 3 1 . Geef d a a r b i j aan i n welk punt de druk h e t g r o o t s t i s , 5
(Antwoord: - 3 ^ P ; p(z^) > v(z^)).
N.B. Voor de o m z e t t i n g van de partiële a f g e l e i d e n i n c a r t e s i s c h e coördinaten naar partiële a f g e l e i d e n i n poolcoördinaten w o r d t verwezen naar Par. 2.1.4.
2.1.11. Ronddraaiend r e s t a u r a n t
Algemeen
Het c i r k e l v o r m i g r e s t a u r a n t ( d i a m e t e r D) van een t e l e v i s i e t o r e n d r a a i t rond met een c o n s t a n t e
hoek-s n e l h e i d (O i n een homogeen w i n d v e l d met w i n d s n e l h e i d u^ ( z i e b i j g a a n d e
->
Uo f i g u u r ) . Hierdoor o n t s t a a t rond h e t
r e s t a u r a n t een bepaald stroombeeld. Er mag nu worden aangenomen, d a t de hoogte van h e t r e s t a u r a n t zodanig i s , d a t d i t stroombeeld i n de v e r t l -k a l e r i c h t i n g n i e t v a r i e e r t en dus a l s 2dimensionaal i n h e t h o r i z o n t a -l e v -l a k kan worden beschouwd.
Als v e r d e r mag worden v e r o n d e r s t e l d , d a t de s t r o m i n g rond h e t r e s -t a u r a n -t w r i j v i n g s l o o s en r o -t a -t i e v r l j i s , dan kan genoemd s-troombeeld i n h e t complexe x - y - v l a k a l s v o l g t worden a f g e b e e l d : 2 ronddraaiend r e s t a u r a n t horizontal» dsn. w "0 fe> liüD l n z waarxn W = (]) + 1(1^ en
z = X + i y ( i n c a r t e s i s c h e coördinaten) of ^ A ( i n poolcoördinaten) 19 z = r e w a a r b i j g e l d t : i 9 e = cos 9 + i s i n 9 ( 1 i s de i m a g i n a i r e eenheid) Numerieke gegevens -3 3 D = 30 m , 0) = IOQ rad/s , u = 3 m/s , P l u c h t ^ ^'^^ ^^^^ Gevraagd 1. Bepaal de s t r o o m f u n c t i e 4» en de s n e l h e i d s p o t e n t i a a l (j) van h e t stroombeeld rond h e t r e s t a u r a n t . D2 2
(Antwoord: * = - u„(r + ) cos9 + wD 9 T 0^ 4r
D2 2
4^ = - U Q ( r - sine - wD l n r ) .
2. L e i d de u i t d r u k k i n g a f , d i e h e t s n e l h e i d s v e r l o o p langs de omtrek van h e t r e s t a u r a n t weergeeft i n h e t a s s e n s t e l s e l ( x , y ) o f ( r , 9 ) . (De oorsprong van h e t a s s e n s t e l s e l v a l t samen met h e t m i d d e l p u n t ^ T o r » V * -T * »T *• T T O V\-ï - i r r o o r > r 1 a "F "ï fYl 111 f - ^
(Antwoord: Ug = - 2UQ s i n 9 - 2a)D).
3. Bereken de druk i n z^ = i.i-D en z^ = - l.^D t e n o p z i c h t e van de druk t e r p l a a t s e van de ongestoorde s t r o m i n g .
2 2 (Antwoord: Ap^ = - 17,05 N/m ; Ap^ = - 16,16 N/m ) .
4. A l s de b i j vraag 3 gevonden drukken Ap^ en Ap^ i n de resp. punten z en z z i j n , b i j welke w i n d s n e l h e i d moet h e t r e s t a u r a n t dan s t i l
1 2 2
gezet worden opdat h e t d r u k v e r s c h i l A(Ap) = Ap^ - Ap^^ < 2,5 N/m ? (Antwoord: u^ < 8,47 m/s).
2=2. Krachten op lichamen
2.2.1. Lichamen l n de s t r o m i n g
2.2.1.1. V a l s n e l h e i d van een d e e l t j e
Algemeen
Een b o l v o r m i g d e e l t j e met een diameter D en een d i c h t h e i d z i n k t met een constante s n e l h e i d i n een o l i e b a d . De dynamische v i s k o s i -teitscoëfficiënt van de o l i e i s TI en de d i c h t h e i d van de o l i e i s p ^ .
Numerieke gegevens
D = 0,3 mm , p^ = 1900 kg/m^ , p ^ = 900 kg/m^ , TI = l O " ^ Ns/m^
Gevraagd
Bereken de s n e l h e i d van h e t b o l l e t j e . I n d i e n aangenomen mag worden, dat de formule van Stokes g e l d t . C o n t r o l e e r deze aanname.
(Antwoord: 0,005 m/s ; z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.2.1.1.).
2.2.1.2. Een b o l v o r m i g lichaam i n de s t r o m i n g
Deel A
Algemeen
Van een b o l v o r m i g l i c h a a m met een w i l l e k e u r i g e diameter D en een g l a d o p p e r v l a k i s de weerstandscoëfficiënt C^^ a l s f u n c t i e van h e t Reynolds-g e t a l bekend ( z i e b i j Reynolds-g a a n d e f i Reynolds-g u u r ) .
Beschouw nu een gladde massieve b o l met een diameter D^^ en een d i c h t -h e i d p. I n een g r o o t d i e p w a t e r r e s e r v o i r b l i j k t deze b o l met een con-s t a n t e con-s n e l h e i d u, t e z i n k e n .
Numerieke gegevens 100 50 10 5 1 0.5 0.1 0.01 V -1 2 5-10 10^ 10^ 10^ 10^ — • Re 10^ = 0,25 m u^ = 2 m/s Gevraagd
1. Hoe l u i d t i n d i t g e v a l de d e f i n i t i e van het Reynolds-getal?
2. Bereken de d i c h t h e i d p van de massieve b o l (de inhoud van een b o l met s t r a a l a i s A/3 n a^). (Antwoord: 1122,3 kg/m^).
Deel B
Algemeen
Beschouw nu een gladde b o l met een diameter D^. Deze b o l wordt r e c h t -l i j n i g en h o r i z o n t a a -l voortbewogen door o o r s p r o n k e -l i j k s t i -l s t a a n d e l u c h t ( d i c h t h e i d p., , k i n . v i s c o s i t e i t v ) . Daarvoor b l i j k t zowel b i j een s n e l h e i d u^ a l s b i j een s n e l h e i d u^ ( u ^ > u^) d e z e l f d e k r a c h t F n o d i g t e z i j n . Numerieke gegevens D = 0,20 m , u = 15 m/s , u = 34 m/s , F = 2 N , /, iL. -J 3 " 6 2 p^ = 1,25 kg/m , = 15.10 m /s
Gevraagd
1. Bereken h e t R e y n o l d s - g e t a l Re en de weerstandscoëfficiënt C^^ beho-rende b i j de r e s p e c t i e v e snelheden en u^.
(Antwoord: Re^ = 2.10^ , ( C ^ ) ^ = 0,45 , Re^ = 4,5.105 , (C^)^ = 0,088).
2. Welk v e r s c h i j n s e l z o r g t ervoor, dat ondanks een toename van de s n e l h e i d (u^ •> u^) de weerstandskracht F h e t z e l f d e b l i j f t ? ( B e k i j k h i e r b i j zonodig h e t gegeven verband tussen en Re b i j het e e r s t e g e d e e l t e (A) van d i t v r a a g s t u k ) .
( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.2.1.2.)
2.2.1.3. P i j l e r l n de stroming ( I )
Algemeen
Over een brede r i v i e r wordt een eenvoudige loopbrug gebouwd.
De d r a a g c o n s t r u c t i e t e r p l a a t s e van de r i v i e r bestaat u i t een a a n t a l v l e r k a n t e p i j l e r s met z i j d e B.
De d i e p t e van de r i v i e r t e r p l a a t s e van de brug i s gemiddeld a, t e r -w i j l de gemiddelde s t r o o m s n e l h e i d i n de h o o f d s t r o o m r i c h t i n g u be-d r a a g t . De s n e l h e i be-d s v e r be-d e l i n g over be-de v e r t i k a a l kan worbe-den benabe-derbe-d door h e t m a c h t s p r o f i e l : ( z i e c o l l e g e - h a n d l e i d i n g b70)
u ( z ) = n — (-)
w a a r i n z de plaatscoördinaat i s , gemeten t e n o p z i c h t e van de bodem. De v l e r k a n t e p i j l e r s kunnen op twee manieren t e n o p z i c h t e van de h o o f d s t r o o m r i c h t i n g worden g e s i t u e e r d :
( i ) een d i a g o n a a l i s e v e n w i j d i g aan de h o o f d s t r o o m r i c h t i n g (-»-<|i>), w a a r b i j de weerstandscoëfficiënt C^^ = 1,5.
( l i ) een z i j d e i s e v e n w i j d i g aan de h o o f d s t r o o m r i c h t i n g (-*• M), w a a r b i j de weerstandscoëfficiënt Cj^ = 2.
(N.B. de weerstandscoëfficiënt g e l d t voor de i n de r i v i e r o p t r e d e n -de h y d r a u l i s c h e omstandighe-den).
Numerieke gegevens
a = 3 m , u = 1 m/s , n = 6
Gevraagd
1. Welke s i t u e r i n g van de p i j l e r s t e n o p z i c h t e van de hoofdstroom-r i c h t i n g d i e n t gekozen t e wohoofdstroom-rden, opdat de k hoofdstroom-r a c h t , d i e de s t hoofdstroom-r o m i n g op de p i j l e r u i t o e f e n t minimaal i s ?
L i c h t uw antwoord k o r t t o e .
2. Bepaal b i j h e t gegeven s n e l h e i d s p r o f i e l de p l a a t s van h e t a a n g r i j -pingspunt t e n o p z i c h t e van de r i v i e r b o d e m , van de door de s t r o m i n g op de p i j l e r u i t g e o e f e n d e r e s u l t e r e n d e k r a c h t voor de onder vraag 1 gekozen s i t u e r i n g . (Antwoord: ~ 1,70 m).
( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.2.1.3.)
2.2.1.4. Meting s t r o o m s n e l h e i d
Algemeen
Het meten van de s t r o o m s n e l h e i d u op een r i v i e r wordt u i t g e v o e r d met een lichaam dat i n h e t water wordt gehangen. Door de k r a c h t , d i e de s t r o m i n g op het lichaam u i t o e f e n t , z a l de k a b e l , waaraan h e t l i c h a a m i s opgehangen een hoek a met de v e r t i k a a l maken. Het lichaam h e e f t een volume V en een d i c h t h e i d p^. Het lichaam i s torpedovormig waar-door het lichaam a u t o m a t i s c h een zodanige p o s i t i e inneemt, dat de as van de torpedo e v e n w i j d i g aan de s t r o o m r i c h t i n g wordt. Het aange-stroomde o p p e r v l a k i s dan A en de weerstandscoëfficiënt C .
Numerieke gegevens
V = 0,01 m"^ , PQ = 2700 kg/ra^^ , A - 2.10"^ m^ , C^^ = 1,2
Gevraagd
1. L e i d h e t verband a f , d a t g e l d t tussen de hoek a en de s t r o o m s n e l h e i d u, aannemende d a t de k a b e l s t r a k i s gespannen en de s t r o -mingskracht op de k a b e l verwaarloosbaar k l e i n i s t e n o p z i c h t e van de k r a c h t , d i e op h e t lichaam wordt u i t g e o e f e n d .
2. Bepaal de g r o o t t e van de s t r o o m s n e l h e i d u b i j een hoek a = 30° , wanneer gemeten wordt i n zoet water (p^^ = 1000 kg/m^) en wanneer gemeten wordt i n zout water ( p ^ = 1030 kg/m^).
(Antwoord: u^ = 2,83 m/s , u^ = 2,77 m/s).
( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.2.1.4.)
2.2.1.5. Valproeven s t o r t s t e e n
Algemeen
B i j de s t o r m v l o e d k e r i n g i n de Oosterschelde wordt de bodem t e r weers-z i j d e n van de k e r i n g over g r o t e l e n g t e n met een a s f a l t l a a g v e r d e d i g d . De randen van deze bodembeschermingsconstructie worden a f g e d e k t met s t o r t s t e e n met een gemiddelde diameter D. De weerstaiidscoëfficiënt van de stenen wordt geschat op De d i c h t h e i d van de stenen i s p
D s en van h e t zeewater p . Het l i g t i n de b e d o e l i n g de stenen vanaf de
w
w a t e r l i j n t e s t o r t e n . D i t b e t e k e n t b i j de aanwezige w a t e r d i e p t e , d a t de stenen de bodembeschermingsconstructie t r e f f e n met de e v e n w i c h t s -s n e l h e i d . I n hoeverre h i e r b i j -schade aan de a -s f a l t l a a g kan o p t r e d e n , moet v o o r a f worden onderzocht.
Daartoe wordt op een p r o e f t e r r e i n een s t u k a s f a l t aangebracht, waarop men de stenen ( l n l u c h t ) l a a t v a l l e n . Vanaf een bepaalde hoogte h bo-ven de a s f a l t worden de stenen l o s g e l a t e n . De hoogte h wordt gemeten vanaf h e t zwaartepunt van de s t e e n , d i e d a a r b i j a l s " b o l " gedacht w o r d t . De hoogte h moet nu zodanig worden gekozen, dat de s n e l h e i d van de s t e e n op h e t moment, d a t deze h e t a s f a l t t r e f t g e l i j k i s aan de e v e n w i c h t s s n e l h e i d onder w a t e r . (De l u c h t w e e r s t a n d mag worden v e r -waarloosd. )
Numerieke gegevens
D = 0,50 m , C = 1 , p = 3000 kg/m^ , p = 1020 kg/m"^
1 / S w
(inhoud van een b o l met diameter D i s 1/6 n D^)
Gevraagd
Bepaal de hoogte h. (Antwoord: 0,90 m , z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.2.1.5.).
2.2,1.6. B e p a l i n g weerstandscoëfficiënt van een lichaam
Algemeen
Een b o l ( d i a m e t e r D) wordt i n een uniforme l u c h t s t r o m i n g met s n e l h e i d UQ ( 1 ) g e p l a a t s t ( z i e b i j g a a n d e f i g u u r ) . Op voldoende a f s t a n d a c h t e r de b o l wordt een s n e l h e i d s v e r d e l i n g gemeten van h e t g e s c h e t s t e v e r -loop ( 2 ) . Deze wordt benaderd door de aan de r e c h t e r k a n t e r n a a s t ge-tekende s n e l h e i d s v e r d e l i n g ( 3 ) , w a a r i n voor r > D de ongestoorde s n e l h e i d u_ h e e r s t en voor r < D de s n e l h e i d u - Au.
{1 ) (2) 3)
D
Numerieke gegevens
U Q = 4 0 ra/s , Au = 2,5 m/s
Gevraagd
Bereken de weerstandscoëfficiënt C^^ van de b o l . ( A a n w i j z i n g : k i e s een c o n t r o l e - v o l u m e dat door s t r o o m l i j n e n wordt begrensd.)
(Antwoord: 0 , 4 7 ; z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.3.1.6.).
2.2.1.7. P i j l e r l n de s t r o m i n g ( I I )
Algemeen
Over een snelstromende r i v i e r wordt een voetgangersbrug gebouwd. Ter p l a a t s e van de r i v i e r wordt de brug ondersteund door c i r k e l v o r m i -ge s t a l e n b u i z e n met een diameter D^. De s t r o o m s n e l h e i d i n de r i v i e r i s u^. De w a t e r d i e p t e t e r p l a a t s e van de brug i s a.
Ter b e p a l i n g van de k r a c h t , d i e h e t snelstromende r i v i e r w a t e r op de s t a l e n b u i z e n u i t o e f e n t , s t a a t een v i e r t a l metingen i n een w i n d t u n n e l aan een c i r k e l v o r m i g e c i l i n d e r met een diameter D^, t e r b e s c h i k k i n g . Gemeten i s de k r a c h t per strekkende meter, d i e de l u c h t s t r o m i n g b i j een gegeven l u c h t s n e l h e l d u„ op de c i l i n d e r u i t o e f e n t . De d i c h t -h e i d van l u c -h t i s p ; de k i n e m a t i s c -h e v i s c o s i t e i t van l u c -h t i s v . Numerieke gegevens D^ = 0,30 ra , D^ = 0,25 m , u^ = 3,20 1 p2 = 1. 23 kg/m^ ' ^ = 1,48.10"^ m/s R e s u l t a t e n w i n d t u n n e l m e t i n g e n 23 36 46 57 F2(N/m) 23,7 78 152 248 Js , a = 3 m ,
Gevraagd
Bepaal de g r o o t t e van de t o t a l e k r a c h t , d i e h e t snelstromende r i v i e r w a t e r op éên s t a l e n b u i s u i t o e f e n t , aannemende, dat de w a t e r s n e l -h e i d over de d i e p t e a c o n s t a n t i s . (Antwoord: 2,3 k N ) .
2.2.1.8. Het s t o r t e n van g r i n d i n een s n e l stromende r i v i e r
Algemeen
Dwars over de bodem van een s n e l stromende r i v i e r (gemiddelde w a t e r -d i e p t e a, gemi-d-del-de s t r o o m s n e l h e i -d u) i s een s l e u f gegraven, w a a r i n een k a b e l i s gelegd. De k a b e l wordt afgedekt met g r i n d . Het g r i n d wordt vanaf de w a t e r l i j n (= w a t e r s p i e g e l ) g e s t o r t . Vanwege de heer-sende w a t e r s n e l h e i d z a l h e t g r i n d bovenstrooms van de s l e u f moeten worden g e s t o r t , opdat h e t g r i n d de bodem b e r e i k t t e r p l a a t s e van de s l e u f . Voor een e e r s t e a f s c h a t t i n g van de h o r i z o n t a l e a f s t a n d x^^ t u s -sen h e t punt van s t o r t e n en de p l a a t s van de s l e u f wordt één enkele b o l v o r m i g e g r l n d k o r r e l beschouwd met diameter D, d i c h t h e i d p en
s weerstandscoëfficiënt C^. B i j de berekening wordt e r van u i t g e g a a n d a t :
( 1 ) de v a l s n e l h e i d van de g r l n d k o r r e l i n h e t water nagenoeg d i r e c t g e l i j k i s aan de e v e n w i c h t s s n e l h e i d , en
( 2 ) de h o r i z o n t a l e s n e l h e i d van de g r l n d k o r r e l steeds g e l i j k i s aan de l o c a a l heersende w a t e r s n e l h e i d . Deze l a a t s t e wordt gegeven door h e t volgende m a c h t s p r o f i e l : , , ^ Z v l / n storten v. grind grindafdekking
^^^^^^^^
^
kabelNumerieke gegevens
3
a = 4 , 5 m , D = 3 c m , p = 2650 kg/m , C = 0,8
S l)
(De Inhoud van een b o l wordt gegeven door ~ nT)^),
Gevraagd
Uitgaande van de onder "algemeen" gegeven beschouwing van één k o r r e l wordt gevraagd:
1. De t i j d t j ^ t e bepalen, d i e de k o r r e l nodig h e e f t om de bodem t e b e r e i k e n , gerekend vanaf h e t moment, d a t deze de w a t e r s p i e g e l pas s e e r t . (Antwoord: 5 s ) .
2. Aan t e tonen, d a t de h o r i z o n t a l e a f s t a n d x^^ g e l i j k i s aan h e t p r o duet van de gemiddelde s t r o o m s n e l h e i d u en de t i j d t.^
(x^ = u . t j ^ ) , u i t g a a n d e van de gegeven s n e l h e i d s v e r d e l i n g .
2.2.2. Evenwicht bodemmateriaal
2.2.2.1. S t a b i e l e bodembedekking
Algemeen
Over een bodem bestaande u i t een s t o r t i a a g van b e t o n k u b i ( d i c h t h e i d p ) d i e n t een zekere h o e v e e l h e i d water t e worden a f g e v o e r d ,
s
D a a r b i j moet worden voldaan aan de e l s , d a t de b e t o n k u b i n i e t i n be-l a n g r i j k e mate i n beweging worden g e b r a c h t . Beschouwd wordt nu de s i t u a t i e , w a a r b i j de a f v o e r per meter b r e e d t e g e l i j k i s aan q en de d a a r b i j optredende w a t e r d i e p t e a.
Numerieke gegevens
Gevraagd
Welke a f m e t i n g van de b e t o n k u b i b e v e e l t U aan?
A a n w i j z i n g : Denk eraan, dat i n het Shields-diagram de k o r r e l a f m e t i n g wordt gegeven a l s nominale diameter D^.
(Antwoord: 0,26 m; z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.2.2.1.).
2.2.2.2. T o e l a a t b a r e a f v o e r
Algemeen
Een brede w a t e r l o o p , waarvan de bodem bedekt i s met g r i n d (nominale diameter D), h e e f t l n de l e n g t e r i c h t i n g een bodemverhang 1^.
Numerieke gegevens
D = 0,05 m , 5.10~^
Gevraagd
1. Wat i s de g r o o t s t e a f v o e r q per eenheid van b r e e d t e , d i e kan worden t o e g e l a t e n zonder dat de bodembedekking gaat bewegen? 2. De u i t k o m s t voor q b i j vraag 1 hangt mede a f van de g e b r u i k t e
r u w h e i d s f o r m u l e . Hoe g r o o t i s deze v a r i a t i e ? (Antwoord; r u i m 4 % ) .
2,3. Transportprocessen
2,3.1, D i s p e r s i e o p g e l o s t e s t o f f e n
2.3,1.1. L o z i n g v l a een z i j r i v i e r t j e
Algemeen
I n een snelstroraend r i v i e r t j e ( I ) met een d e b i e t en een gemiddelde s n e l h e i d u wordt op t = O i n s t a n t a a n een hoeveelheid s t o f M g e l o o s d . Het l o z i n g s p u n t l i g t op een a f s t a n d x^^ bovenstrooms van h e t punt, waar h e t r i v i e r t j e I uitmondt i n een ander, eveneens snelstroraend r i -v i e r t j e ( I I ) .
Het d e b i e t benedenstrooms van h e t samenvloeiingspunt van de r i v i e r -t j e s I en I I i s , -t e r w i j l de w a -t e r s n e l h e i d a l d a a r even g r o o -t i s a l s i n r i v i e r t j e I ,
Ter p l a a t s e van h e t l o z i n g s p u n t i n r i v i e r t j e I wordt de geloosde s t o f d i r e c t ( i n s t a n t a a n ) homogeen over de dwarsdoorsnede v e r d e e l d , t e r w i j l tevens mag worden aangenomen, d a t de geloosde s t o f b i j aankomst i n r i v i e r t j e I I , t e r p l a a t s e van h e t samenvloeiingspunt eveneens i n s t a n -taan over de gehele dwarsdoorsnede van r i v i e r t j e I I " v o l l e d i g " w o r d t gemengd.
Numerieke gegevens
a = 0,5 m , C = 30 m^/s , u = 1 m/s , M = 10 l i t e r
3 3 Q = 2 , 5 m / s , Q2 = 6 m / s , Xj^ = 3 k m
Gevraagd
lo Bepaal h e t moment t ^ , waarop de c o n c e n t r a t i e i n r i v i e r t j e I n a b i j de u i t m o n d i n g i n r i v i e r t j e I I maximaal i s , alsmede de g r o o t t e van de c o n c e n t r a t i e a l d a a r op d i t moment»
(Antwoord: t , = 50 min , (j) = 8,9.10"*). 1 max
2. A l s de l o n g i t u d i n a l e dispersiecoëfficiënt i n beide r i v i e r t j e s I en I I g e l i j k i s , bepaal dan h e t moment t ^ , waarop de maximale con-c e n t r a t i e op 3 km stroomafwaarts van h e t samenvloeiingspunt van de r i v i e r t j e s I en I I wordt b e r e i k t t e n o p z i c h t e van h e t moment van l o z e n . Hoe g r o o t i s deze maximale c o n c e n t r a t i e ?
(Antwoord: t„ = 100 min , (j) = 2,6.10"*). 2 max ( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.3.1.1.)
2.3.1.2. L o z i n g i n een brede r i v i e r
V i a een p i j p l e i d i n g wordt met ruime tussenpozen i n een zeer brede r i v i e r ( b r e e d t e B^) k o r t s t o n d i g een bepaalde s t o f geloosd op een a f stand B vanaf de r e c h t e r oever van deze r i v i e r . De gemiddelde w a t e r -d i e p t e van -de r i v i e r i s a.
Er wordt geëist, d a t de c o n c e n t r a t i e langs de r e c h t e r oever van de r i v i e r nergens een bepaalde waarde ^^^^ mag o v e r s c h r i j d e n .
Om op grond van deze e i s een e e r s t e s c h a t t i n g t e kunnen maken van de v e r e i s t e a f s t a n d B van h e t l o z i n g s p u n t t o t de r e c h t e r oever, wordt u i t g e g a a n van een s t a t i o n a i r e s t r o m i n g i n de r i v i e r en êén i n s t a n t a n e l o z i n g a l s benadering van de k o r t s t o n d i g e l o z i n g , d i e de g r o o t t e M h e e f t . (Er mag worden aangenomen, dat op h e t moment van l o z i n g de s t o f d i r e c t homogeen over de d i e p t e wordt v e r d e e l d . )
Bovendien wordt v e r o n d e r s t e l d , dat de a f s t a n d B nog zodanig k l e i n i s t e n o p z i c h t e van de b r e e d t e B^ van de r i v i e r , d a t de l i n k e r oever géén i n v l o e d h e e f t op de c o n c e n t r a t l e v e r d e l l n g .
Vanwege de g r o t e breedte van de r i v i e r i s de i n v l o e d van de oevers op de s n e l h e i d s v e r d e l i n g l n de r i v i e r t e v e r w a a r l o z e n , zodat voor de l o n g i t u d i n a l e dispersiecoëfficiënt u i t g e g a a n kan worden van
K j = 6 au^.
Numerieke gegevens
M = 100 l i t e r , (j) = 4olO~'' , a = 3 m , B„ = 500 m ' max ' ' O
Gevraagd
Bereken b i j bovenstaande u i t g a n g s p u n t e n de v e r e i s t e a f s t a n d van h e t l o z i n g s p u n t t o t de r e c h t e r oever.
(Antwoord; 79 m; z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.3,1.2.).
2.3.1.3, Continue l o z i n g aan een oever van een r i v i e r ( I ) t
Algemeen
Aan de r e c h t e r oever van een r i v i e r met een a f v o e r Q , en de d a a r b i j behorende gemiddelde d i e p t e a, breedte B en Chézy-coëfficiënt C w o r d t c o n t i n u een h o e v e e l h e i d n i e t a f b r e e k b a r e o p g e l o s t e s t o f M per t i j d s eenheid g e l o o s d . Aangenomen raag worden, dat t e r p l a a t s e van h e t l o z i n g s p u n t de geloosde s t o f d i r e c t ( i n s t a n t a a n ) horaogeen over de d i e p -t e word-t v e r d e e l d . Ter c o n -t r o l e van deze l o z i n g word-t benedens-trooms van h e t l o z i n g s p u n t aan de l i n k e r oever een meetpunt i n g e r i c h t . Geëist w o r d t , dat b i j de bovengenoerade a f v o e r Q de raonsters, genoraen i n h e t raeetpunt r e p r e s e n t a t i e f z i j n . Dat w i l zeggen dat de gevonden c o n c e n t r a t i e na analyse van h e t raonster rain of raeer g e l i j k i s aan de c o n c e n t r a t i e gemiddeld over de dwarsdoorsnede van de r i v i e r t e r p l a a t s e van h e t meetpunt. Per d e f i n i t i e wordt g e s t e l d , dat h e t mon-s t e r r e p r e mon-s e n t a t i e f i mon-s , i n d i e n de gevonden c o n c e n t r a t i e i n h e t raeet-punt aan de l i n k e r oever c i r c a 95% i s van de c o n c e n t r a t i e geraiddeld over de dwarsdoorsnede.
Numerieke gegevens 3
Q = 200 m /s , a = 4 m , B = 100 m , C =50 m V s
Gevraagd
Ga na o f een meetpunt gelegen op 20 km benedenstrooms van h e t l o zingspunt reeds aan bovengenoemde e l s met b e t r e k k i n g t o t de r e p r e -s e n t a t i v i t e i t v o l d o e t , o f d a t d i t e e r -s t i -s b i j een a f -s t a n d van 25 km. (Antwoord: het meetpunt op 25 km; z i e voor de u i t w e r k i n g Par.
3 = 3 a l o 3 0 =
2.3.1.4. Bepaling p l a a t s van een i n l a a t p u n t
Algemeen \ ,1
V'-''
I n een w i l l e k e u r i g e w a t e r l o o p met een gemiddelde w a t e r d i e p t e a , een constante breedte B, een gemiddelde s t r o o m s n e l h e i d u en een Chézy-waarde G wordt i n X = O aan de r e c h t e r oever zo nu en dan i n s t a n t a a n
een hoeveelheid o p g e l o s t e s t o f geloosd, g r o o t M. (Ter p l a a t s e van het l o z i n g s p u n t wordt de s t o f d i r e c t homogeen over de v e r t i k a a l v e r d e e l d . ) Benedenstrooms van d i t l o z i n g s p u n t moet, eveneens aan de r e c h t e r
oever, een i n l a a t komen t e n behoeve van de w a t e r v o o r z i e n i n g van een tuinbouwgebied. De i n l a a t kan op twee p l a a t s e n worden gemaakt:
op een a f s t a n d x^^ o f op een a f s t a n d x^ vanaf bovengenoemd l o z i n g s punt. Geëist wordt d a t t e r p l a a t s e van de t e maken i n l a a t de o p t r e -dende c o n c e n t r a t i e van bovengenoemde i n s t a n t a a n geloosde s t o f de waarde n i e t o v e r s c h r i j d t . I w B -77777/7-X2 X = O • ozingspunt
mogelijke plaatsen voor de te maken inlaat
Numerieke gegevens
a = 3 m , B = 5 0 r a , ü = 0,4 m/s , C = 32 m V s ,
M = 1 m^ , (j)^ = 1,1.10~^ , X j = 25 km , X 2 = 40 km
Gevraagd
I n d i e n u i t g e g a a n wordt van één i n s t a n t a n e l o z i n g , ga dan na o f : ( I ) beide p l a a t s e n (x^^ en x^) voor de t e maken i n l a a t g e s c h i k t
z i j n , o f
( I I ) êén van beide en welke dan, o f ( i i i ) geen van b e i d e .
L i c h t uw antwoord t o e aan de hand van c o n c e n t r a t i e berekeningen» (Antwoord; x^^ v o l d o e t n i e t , v o l d o e t ; z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.3.1.4.).
2.3.1.5. G e l i j k t i j d i g e i n s t a n t a n e l o z i n g op beide oevers van een w a t e r l o o p
Algemeen
I n een w i l l e k e u r i g e w a t e r l o o p met een gemiddelde w a t e r d i e p t e a,
breedte B en een Chézy-coëfficiënt C, wordt i n x = O g e l i j k t i j d i g aan de r e c h t e r — en de l i i i k e i ' o e v e r i n s t a n t a a u een h o e v e e l h e i d o p g e l o s t e s t o f g e l o o s d . De h o e v e e l h e i d geloosde s t o f i s i n beide l o z l n g s p u n t e n even g r o o t en g e l i j k M. Ter p l a a t s e van de l o z l n g s p u n t e n wordt de s t o f d i r e c t horaogeen over de v e r t i k a a l v e r d e e l d .
De gemiddelde s t r o o m s n e l h e i d i n h e t k a n a a l bedraagt u.
Numerieke gegevens
M = 50 l i t e r , B = 100 ra , a = 5 ra , ü = 1 m/s ,
Gevraagd
Waar en wanneer i s t e r p l a a t s e van de ^as^ (= h e t midden) van de w a t e r -loop de c o n c e n t r a t i e maximaal? Bereken de waarde van deze maximale c o n c e n t r a t i e ,
— 8
(Antwoord: ~ 3 km ; ~ 50 minuten ; 4,8.10 ; z i e voor de u i t -w e r k i n g Par, 3,3.1.5.),
2,3.1.6, L o z i n g vanaf een s c h i p
Algemeen J
I n een brede w a t e r l o o p met een gemiddelde w a t e r d i e p t e a, b r e e d t e B, een gemiddelde s t r o o m s n e l h e i d u en een Chézy-waarde C, wordt per on-g e l u k vanaf een s c h i p i n h e t midden van de w a t e r l o o p i n s t a n t a a n een h o e v e e l h e i d o p g e l o s t e s t o f geloosd, g r o o t M. Ter p l a a t s e van h e t punt van l o z i n g wordt de s t o f d i r e c t homogeen over de v e r t i k a a l v e r d e e l d . Op het moment van l o z i n g b e v i n d t een meetboot z i c h op een a f s t a n d Xj^ benedenstrooms van h e t punt van l o z i n g . Deze meetboot v a a r t i n h e t midden van de w a t e r l o o p met een b i j benadering c o n s t a n t e s n e l h e i d u^ t e n o p z i c h t e van de v a s t e oever i n stroomopwaartse r i c h t i n g . T i j d e n s h e t varen worden c o n t i n u de c o n c e n t r a t i e s van een a a n t a l s t o f f e n ge-meten, waaronder d i e van de bovengenoemde per ongeluk geloosde s t o f .
Numerieke gegevens
\ 3 a = 3 m , B = 100 m , C = 40 m'/s , M = 0,1 ra ,
u = 1 m/s , u^ = 0,25 m/s , x^ = 8 km
Gevraagd
1, Waar en wanneer i s de vanaf de meetboot gemeten c o n c e n t r a t i e van de geloosde s t o f maximaal? (Antwoord: 6400 ra; 6400 s ) . 2, Hoe g r o o t i s deze maximale waarde? (Antwoord; 5,7.10""^). ( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par, 3.3.1.6.)
2.3.1.7. L o c a l i s e r i n g van een l o z i n g s p u n t
Algemeen
Langs een min of meer r e c h t e r i v i e r met een breedte B, een gemiddelde w a t e r d i e p t e a en een gemiddelde stroomsnelheid u b e v i n d t z i c h op de r e c h t e r oever een i n d u s t r i e g e b i e d .
Benedenstrooms van d i t gebied z i j n op de r e c h t e r oever twee meetsta-t i o n s I en I I geïnsmeetsta-talleerd, waar r e g e l m a meetsta-t i g de c o n c e n meetsta-t r a meetsta-t i e van een a a n t a l s t o f f e n i n het r i v i e r w a t e r wordt bepaald. H i e r t o e worden wa-termonsters aan de r e c h t e r oever t e r p l a a t s e van de r e s p e c t i e v e meet-s t a t i o n meet-s genomen. M e e t meet-s t a t i o n I I b e v i n d t z i c h op een a f meet-s t a n d Ax bene-denstrooms van m e e t s t a t i o n I .
Op zekere dag wordt i n beide s t a t i o n s het c o n c e n t r a t i e v e r l o o p van een bepaalde o p g e l o s t e s t o f P i n de t i j d gemeten. De gemeten maximale
^^^^ ... . . . j . . ..Ol.. V Y j / j ^ ^ ^
(4>,) i n s t a t i o n I I . 2 max
Van de r i v i e r i s v e r d e r de Chézy-coëfficiënt C gegeven.
Numerieke gegevens
Ax = 4,5 km , B = 100 m , a = 3 m , ü = 1 m/s ,
C = 4 5 m V s , = 4.10-^ , = 1,6.lo'^
Gevraagd
1. Bepaal de p l a a t s van het l o z i n g s p u n t van de gemeten o p g e l o s t e s t o f P t e n o p z i c h t e van h e t m e e t s t a t i o n A I n d i e n mag worden aangenomen, d a t :
( i ) de o p g e l o s t e s t o f P l n de r i v i e r i s gekomen door een i n -stantane l o z i n g van een zekere hoeveelheid M van deze opge-l o s t e s t o f t e r hoogte van het i n d u s t r i e g e b i e d op de r e c h t e r oever, en
(11) de geloosde s t o f P t e r p l a a t s e van h e t l o z i n g s p u n t d i r e c t homogeen over de v e r t i k a a l werd v e r d e e l d , (Antwoord: 3 km), 2, Hoe g r o o t i s de geloosde hoeveelheid M van de o p g e l o s t e s t o f P?
(Antwoord: 183,6 l i t e r ) .
3, Hoe g r o o t zou de maximale c o n c e n t r a t i e van de s t o f P op de l i n k e r
2,3,1.8, B e p a l i n g p e r i o d e , dat een I n l a a t w e r k d i c h t g e z e t moet worden
Een snelstromend r i v i e r t j e v o e r t een d e b i e t Q, De b i j d i t d e b i e t be-horende gemiddelde w a t e r d i e p t e , breedte en Chézy-coëffIciënt z i j n r e s p , a, B en C. Op een gegeven moment wordt i n d i t r i v i e r t j e l n een punt x = O I n s t a n t a a n een hoeveelheid opgeloste s t o f , g r o o t M ge-l o o s d . Aangenomen mag worden, dat t e r p ge-l a a t s e van h e t ge-l o z i n g s p u n t de geloosde s t o f d i r e c t homogeen over de dwarsdoorsnede wordt v e r d e e l d . Op een a f s t a n d x^ benedenstrooms van h e t l o z i n g s p u n t b e v i n d t z i c h een i n l a a t w e r k , waar water u i t h e t r i v i e r t j e wordt o n t t r o k k e n voor de d r i n k w a t e r v o o r z i e n i n g . D i t i n l a a t w e r k moet d i c h t g e z e t worden, i n d i e n de c o n c e n t r a t i e van bovengenoemde geloosde s t o f t e r p l a a t s e van h e t i n l a a t w e r k een k r i t i e k e waarde o v e r s c h r i j d t .
Numerieke gegevens
3 ^ Q = 5 m /s , a = 0,5 m , B = 5 m , C = 3 0 m/s ,
oever t e r hoogte van het m e e t s t a t i o n I I z i j n geweest? (Antwoord: 2,6,10~^).
( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par, 3.3.1.7.)
Gevraagd
Bepaal het moment t ^ a f g e r o n d op 100 s, waarop het i n l a a t w e r k moet worden d i c h t g e z e t en v e r v o l g e n s het moment t ^ , eveneens a f g e r o n d op 100 s, waarop weer water mag worden i n g e l a t e n ( t ^ en t ^ gemeten t e n o p z i c h t e van het moment van l o z e n ) .
(Antwoord; t ^ = 2300 s en = 2800 s ) .
2.3.1.9. Continue l o z i n g aan een oever van een r i v i e r ( I I )
Algemeen
Aan de oever van een r i v i e r met een a f v o e r Q en de d a a r b i j behorende gemiddelde d i e p t e a, b r e e d t e B en Chézy-coëfficiënt C wordt c o n t i n u een h o e v e e l h e i d n i e t a f b r e e k b a r e o p g e l o s t e s t o f M per t i j d s e e n h e i d geloosd. Aangenomen mag worden dat t e r p l a a t s e van h e t l o z i n g s p u n t de geloosde s t o f d i r e c t ( i n s t a n t a a n ) homogeen over de d i e p t e wordt v e r -d e e l -d . Ter c o n t r o l e van -deze l o z i n g wor-dt bene-denstrooms van het lo--z i n g s p u n t i n het midden van de r i v i e r vanaf een brug een monster genoraen. Geëist w o r d t , dat b i j de bovengenoemde a f v o e r de monsters r e -p r e s e n t a t i e f z i j n . Dat w i l zeggen, dat de gevonden c o n c e n t r a t i e na analyse van het monster min of meer g e l i j k i s aan de c o n c e n t r a t i e ge-middeld over de dwarsdoorsnede van de r i v i e r t e r p l a a t s e van h e t bem o n s t e r i n g s p u n t . Per d e f i n i t i e wordt g e s t e l d , dat het bemonster r e p r e -s e n t a t i e f i -s , i n d i e n de gevonden c o n c e n t r a t i e tenmin-ste 95% i -s van de c o n c e n t r a t i e gemiddeld over de dwarsdoorsnede.
Numerieke gegevens
Q = 200 ra-^/s , a = 4 ra , B = 100 ra , C = 50 m'/s
Gevraagd
Benedenstrooms van h e t l o z i n g s p u n t b e v i n d t z i c h een brug op 5 km, op 10 km en op 20 km a f s t a n d vanaf het l o z i n g s p u n t . Ga na welke de d i c h t s t b i j z i j n d e brug i s , waar i n het midden van de r i v i e r een r e -p r e s e n t a t i e f monster wordt gevonden. (Antwoord; brug o-p 10 km).
2.3.1,10 I n s t a n t a n e l o z i n g aan een oever van een r i v i e r
Algemeen
I n een r i v i e r met een gemiddelde w a t e r d i e p t e a, een gemiddelde breedt e B een een Chézywaarde C, wordbreedt aan de r e c h breedt e r oever l n x = O i n -s t a n t a a n een h o e v e e l h e i d o p g e l o -s t e -s t o f geloo-sd, g r o o t M. Ter p l a a t -s e van h e t l o z i n g s p u n t wordt de s t o f d i r e c t homogeen over de v e r t i k a a l v e r d e e l d . De gemiddelde s t r o o m s n e l h e i d i n de r i v i e r bedraagt u.
Numerieke gegevens
M = 50 l i t e r , B = 100 m , a = 5 m , ü = 1,5 m/s ,
C = 40 m V s
Gevraagd
Waar en wanneer i s t e r p l a a t s e van de l i n k e r oever van de r i v i e r de c o n c e n t r a t i e maximaal? Bereken de waarde van deze maximale concen-t r a concen-t i e . (Anconcen-twoord: x = 10,64 km , concen-t = 7095 s , (j) = 1,35.10"^),
2,3.2, T r a n s p o r t van bodemmateriaal
2,3.2,1, Sedlmentbezwaar b i j w a t e r o n t t r e k k i n g
Algemeen
Aan een brede, a l l u v i a l e r i v i e r met s t a t i o n a i r e , uniforme s t r o m i n g wordt water o n t t r o k k e n op h e t niveau z = a boven de bodem.
Gegeven z i j n de w a t e r d i e p t e a, de watertemperatuur 9, h e t bodemver-hang 1 ; van h e t sediment i n h e t water i s bekend de d i c h t h e i d p ,
ü s de z e e f d i a m e t e r D , de k o r r e l v o r m f a k t o r Y en de v o l u m e c o n c e n t r a t i e
^ 1 (t>, op h e t n i v e a u z = — a.
Numerieke gegevens
a = 3,67 m , e = 20°C , i ^ = 4.10"^ ,
'l'l = a) = 5,65.10 ^ , Dg = 0,2 mm , y = 0,7
Gevraagd
1, Maak een s c h a t t i n g van de s e d i m e n t c ^ h c e n t r a t i e ^ i n het o n t t r o k k e n -4
water. (Antwoord: 1,0.10 ) .
2. Hoe g r o o t i s de s e d i m e n t f l u x F^^ i n l a n g s r i c h t i n g op het niveau ^ ^ T ^> t i i j ongestoorde stroom? Voor de wandruwheid kan men aan¬ nemen k = 0,3 mm. (Antwoord: 1,4.10~ m/s).
( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.3.2.1.)
2.3.2,2. Gemiddelde c o n c e n t r a t i e
~ )
Algemeen
I n een bepaalde v e r t i k a a l van een r i v i e r , welke i n evenwicht v e r -k e e r t , i s op n punten de s e d i m e n t c o n c e n t r a t i e C^ gemeten ( 1 = l , , . n )
Numerieke eeeevens
Gevraagd
1. L e i d een u i t d r u k k i n g af voor de over de d i e p t e gemiddelde concen-t r a concen-t i e &lconcen-t;|).
2, Geef een u i t d r u k k i n g voor de r e l a t i e v e f o u t i n de gemiddelde con-c e n t r a t i e ( r - ) ; h i e r b i j wordt v e r o n d e r s t e l d dat de r e l a t i e v e f o u t van de a f z o n d e r l i j k e c o n c e n t r a t i e m e t i n g e n ( r ) g e l i j k i s .
^ 1 ( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par, 3.3,2.2.)
2.3o2.3. Vertikalé 'sedimentflux
Qgemeen
I n een bepaalde v e r t i k a a l van een brede, a l l u v i a l e r i v i e r met q u a s l -s t a t i o n a i r e -s t r o m i n g i -s op 3 niveau'-s z^^, en z^ h e t - sedimentgehal-t e , en van h e sedimentgehal-t wasedimentgehal-ter gemesedimentgehal-ten. Hesedimentgehal-t m i d d e l s sedimentgehal-t e meesedimentgehal-tpunsedimentgehal-t b e v i n d sedimentgehal-t z i c h op z = z^ boven de bodem en l i g t midden tussen h e t onderste en het bovenste meetpunt:
^2 = i + ^3) De l o c a l e w a t e r d i e p t e a, h e t bodemverhang 1^ en de v a l s n e l h e i d W van de z a n d k o r r e l s z i j n bekend. Numerieke gegevens a = 2,35 m , 1^ = 1,21 .lO"'^ , W = 9,1 mm/s , Z j ^ = - 0,94m , = m. , Z2 = l , 4 1 m , = 3,0.10~^ , C2 = 2,1.10~^ , C3 = 1,0.10 ^ Gevraagd
Geef een s c h a t t i n g van de v e r t i k a l e s e d i m e n t f l u x op h e t niveau z = z .
2 -7 (Antwoord: + 2,6.10 m/s).
2.4. Sedimenttransport en a l l u v i a l e ruwheid
2.4.1. T r a n s p o r t g r o f bodemmaterlaal b i j hoogwater i n dg j'Jaal
Algemeen
B i j een a f v o e r i n de bovenloop van de Waal, d i e gedurende 1% van het j a a r wordt overschreden i s de w a t e r d i e p t e g e l i j k aan a, de gemiddelde s t r o o m s n e l h e i d g e l i j k aan u en het w a t e r s p i e g e l v e r h a n g g e l i j k aan 1 ,
s De k i n e m a t i s c h e v i s c o s i t e i t van het r i v i e r w a t e r i s V. Een z e e f a n a l y s e van het bodemmateriaal van de Waal h e e f t g e r e s u l t e e r d l n enkele ken-t a l l e n voor de k o r r e l g r o o ken-t ken-t e - v e r d e l i n g , n a m e l i j k D , D„, , Dep, en Numerieke gegevens a = 9,38 m , u = 1,53 m/s , i g = 1,15.10~^ , V = 1,14.10~^ m^/s (15°C) , D = 2,90 mm , D^^ = 1,30 ram , D^Q = 1,90 mm , D^^ = 8,45 mm Gevraagd
Bereken het t r a n s p o r t van bodemmateriaal per eenheid van breedte ( s ) i n de bovenloop van de Waal b i j de a f v o e r , d i e gedurende 1% van h e t j a a r wordt overschreden.
(Antwoord; 1,38.10 ra /s en 2,79.10 m^/s i n c l . 40% poriënvolume; z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.4.1.).
2.4.2. T r a n s p o r t bodemmaterlaal ( I )
Algemeen
Van een bepaalde s t r o m i n g s t o e s t a n d i n de benedenloop van een brede r i v i e r i s gegeven de w a t e r d i e p t e a, de a f v o e r per eenheid van b r e e d t e q, het w a t e r s p i e g e l v e r h a n g i . Tevens i s bekend de mediane diameter
s van het bodemraateriaal D
Numerieke gegevens -4 a = 5,0 m , 1 = 1,0.10 , s q = 5,0 m/s , D^^ = 0,4 mm Gevraagd
1. Bereken de h o e v e e l h e i d zand per eenheid van b r e e d t e , d i e gedurende een dag door deze r i v i e r wordt g e t r a n s p o r t e e r d .
2
(Antwoord: 23,6 m /dag).
2. Hoe g r o o t i s de Nikuradse-ruwheid van de bodem? (Antwoord: 0,20 m).
( Z i e voor de u i t w e r k i n g Par. 3.4.2.).
2.4.3. T r a n s p o r t bodemmateriaal l n de Neder-Rljn Algemeen
Van de s t r o m i n g i n de N e d e r - R l j n b i j Amerongen, b i j de a f v o e r d i e gedurende 10% van h e t j a a r overschreven wordt, i s gegeven de w a t e r d i e p -t e a, de z a n d -t r a n s p o r -t e r e n d e breed-te B, h e -t w a -t e r s p i e g e l v e r h a n g i en
s de ruwheidscoëfficiënt van Chézy C.
Tevens i s van h e t bodemmateriaal bekend de gemiddelde k o r r e l a f m e t i n g
T> j _ nr\o/ _ - c . 1^ Numerieke gegevens a = 4,65 m , B = UO m , -4 + i g = 1,27,10 , C . = 38,2 m/s , D = 1,0 mm , = 2,13 mm Gevraagd
Bereken de h o e v e e l h e i d zand, d i e gedurende een week de beschouwde r i -3
2.4.4. T r a n s p o r t bodemmaterlaal ( I I )
Algemeen
Z i e Par. 2.4.2. " T r a n s p o r t bodemmaterlaal ( I ) " met d l e n v e r s t a n d e , dat nu de a f v o e r per eenheid van breedte n i e t bekend I s .
Numerieke gegevens
-4
a = 5,0 m , i g = 1,0.10 , D^Q = 0,4 mm
Gevraagd
Bereken de h o e v e e l h e i d zand per eenheid van b r e e d t e , d i e gdurende een dag door de r i v i e r wordt g e t r a n s p o r t e e r d . I n d i e n de u i t k o m s t v e r -s c h i l t van d i e van Par. 2.4.2., ga dan de oorzaak daarvan na.
2.5. M o r f o l o g i s c h e v o o r s p e l l i n g e n
2.5.1. Tempo van aanzanding
Algemeen
Op een bepaald punt i n de Neder-Rljn wordt de w a t e r s t a n d door m i d d e l van een stuw verhoogd met Aa .
Bekend z i j n de bodemhelling 1, , de Chézy-coëfficiënt C en de a f v o e r b
per eenheid van breedte q. Van het bodemmateriaal i s gegeven de gemiddelde zeefdiameter D en de 90%-afmeting D^^.
Numerieke gegevens Aa = 0,50 m 1^ = 1,0.10~^ 2 ^ 1 q = 1,8 m'^/s C = 45,0 m'/s ü = 1,0 mm Dgg = 2,13 mm Gevraagd
Geef een s c h a t t i n g van de aanzanding per dag op h e t punt, dat 4007 m stroomopwaarts van de stuw i s gelegen.
^ A H r>-v* ^ • M m ' ^ . ^ • ^ • _ t ) o ^ K. M i ï l l o - » " 0 1 l l m r^av rl C3 c » F r , fr Q 1 11 n rl T - l o n c o n 50 [Jm per dag; z i e voor de u i t w e r k i n g Par, 3.5.1.).
2.5,2. P i j p l e i d i n g s l e u f
Algemeen
I n een brede r i v i e r met g r o f z a n d i g e bodem i s een s l e u f gebaggerd t e n behoeve van een p i j p l e i d i n g k r u i s i n g .
Het d w a r s p r o f i e l van de s l e u f (d,w.z, h e t b o d e m p r o f i e l i n de l e n g t e r i c h t i n g van de r i v i e r ) i s trapeziumvormig. Ter p l a a t s e van het h o r i -z o n t a l e g e d e e l t e van h e t d w a r s p r o f i e l bedraagt de v e r d i e p i n g Aa, De sleufwanden hebben een h e l l i n g 1 ( v e r t i c a a l ) op p ( h o r i z o n t a a l ) .
I n de l a n g s r i c h t i n g van de r i v i e r h e e f t de s l e u f een t o t a l e a f m e t i n g L. De a f v o e r q I s c o n s t a n t en gegeven; bovendien z i j n b u l t e n de s l e u f de w a t e r d i e p t e a en h e t verhang 1 bekend. ^ ,^^^V/'/.A,\///A\V.-'''A\V/"^ H >• H D o o r s n e d e b i j b e g i n t o e s t o n d Numerieke gegevens 2 -5 q = 4 m / s a ^ = 5 m 1 = 8.10 L = 100 m Aa = 1,5 m P = 5 D = 0,6 mm D^Q = 1,4 mm Gevraagd
1. Bereken h e t s e d i m e n t t r a n s p o r t per eenheid van b r e e d t e . 2
(Antwoord: 1,72 m /dag).
2. Schets de vorm van de s l e u f voor t > 0.
^-^x-e ( 3. Combineer de (vereenvoudigde) b a s i s v e r g e l i j k i n g e n t o t één partiële d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g voor de w a t e r d i e p t e .
j j ^ " j j l l ^ 4 Bereken de benedenstroomse h e l l i n g van de s l e u f op h e t t i j d s t i p één maand na h e t baggeren.
2.% A . M o r f o l o g i s c h e f f e c t van w a t e r o n t t r e k k i n g en - l o z i n g
Algemeen
Ter v o o r z i e n i n g i n de w a t e r b e h o e f t e van n a b i j g e l e g e n i n d u s t r i e z a l water worden o n t t r o k k e n aan een a l l u v i a l e r i v i e r . De o n t t r e k k i n g AQ bedraagt 10% van h e t o o r s p r o n k e l i j k d e b i e t Q.
Benedenstrooms van h e t o n t t r e k k i n g s p u n t wordt h e t i n d u s t r i e w a t e r weer aan de r i v i e r toegevoegd (zonder dat er v e r l i e z e n z i j n o p g e t r e d e n ) . De a f s t a n d L tussen h e t o n t t r e k k i n g s p u n t I en h e t toevoegingspunt I I i s b e t r e k k e l i j k k o r t , n a m e l i j k 50 maal de w a t e r d i e p t e a.
De r i v i e r b r e e d t e B en de coëfficiënt van Chézy C b l i j v e n constant i n het beschouwde r i v i e r t r a j e c t . Het bodemverhang i i n de s i t u a t i e zon-der w a t e r o n t t r e k k i n g i s gegeven.
Het bodemmateriaal i s g r o f k o r r e l i g ; van de k o r r e l g r o o t t e v e r d e l i n g i s zowel D a l s D^Q bekend. Numerieke gegevens Q B a D 459 m/s 85 m 4,0 m 1,80 mm AQ L 1 D 90 45,9 m/s 200 m 2,25.10 3,75 mm -4 Gevraagd
1. Hoe z a l op den duur h e t v e r l o o p van de w a t e r d i e p t e i n h e t be-schouwde r i v i e r g e d e e l t e z i j n ?
(Antwoord; tussen I en I I een v e r m i n d e r i n g Aa = 0,40 m). 2. A l s vraag 1, maar nu h e t v e r l o o p van de bodemhoogte.
(Antwoord; tussen I en I I een toename van de bodemhoogte met c i r c a 0,40 m).
3. U i t w e r k i n g e n
3.1. P o t e n t i a a l s t r o m i n g
3.1.1. Stroming door een s p l e e t
Vraag 1
Voor de berekening van de r e s u l t e r e n d e k r a c h t F op de wand, wordt u i t g e g a a n van de impulsbalans ( z i e c o l l e g e - h a n d l e i d i n g b70): i n een vast gebied G instromende Impuls per t i j d s e e n h e i d + E k r a c h t e n = O ; E u l e r s e aanpak.
Het v a s t e gebied G wordt tussen de doorsneden O en 1 gekozen. De a f s t a n d tussen deze doorsneden i s zodanig k o r t , dat de w r i j v i n g mag worden v e r w a a r l o o s d .
De doorsneden O en 1 worden v e r d e r zodanig gekozen, d a t de s t r o o m l i j -nen r e c h t z i j n t . p . v . deze doorsneden en h l e r dus een h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e l i n g g e l d t . Gegeven de r i c h t i n g van de p o s i t i e v e x-as k r i j g t de r e s u l t e r e n d e k r a c h t F, d i e de wand op h e t water u i t o e f e n t een min teken (pos. x - r i c h t i n g i s stroomafwaarts g e r i c h t ) .
Als i n dsn. O de s t r o o m s n e l h e i d u^ bedraagt en i n dsn. 1 de s n e l h e i d u^ , dan g e l d t volgens de i m p u l s b a l a n s :
1 2 1 2 2 2
öf w e l
1 2 1 2,2 ^ 2 , 2
Y pghQ - Y pgfi h j - F = PlihjUj - phpUQ ( 2 )
H i e r u i t moeten voor h e t oplossen van F de snelheden van u^ en u^^ wor-den geëlimineerd. Omdat reeds g e s t e l d was:
- i n dsn. O en 1 h e e r s t een h y d r o s t a t i s c h e druk - de w r i j v i n g mag worden verwaarloosd
kan voor de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ook B e r n o u l l i langs een s t r o o m l i j n worden toegepast van dsn. O naar dsn. 1:
I n d i e n i n de resp. doorsneden een punt aan h e t o p p e r v l a k wordt be-schouwd en dat aangenomen mag worden, dat de s n e l h e i d s h o o g t e i n dsn. O verwaarloosbaar i s t . o . v . de drukhoogte i n deze doorsnede, dan
wordt V g l , ( 3 ) : 2 öf u^ = / 2g(hQ - \xh^)' ( 4 ) Verder g e l d t de continuïteitsvergelijking: V o = " r ^ ^ ^ Door U Q u i t V g l , ( 5 ) t e s u b s t i t u e r e n i n V g l , ( 2 ) , wordt i n V g l . ( 2 ) U Q geëlimineerd: 2 2 2 1 2 1 2 2 2 ^ 1^1 F = Y pghQ - 2 PgV- - PV-^i^i + P^o 2 ^0
Door V g l . ( 4 ) i n V g l . ( 6 ) t e s u b s t i t u e r e n , wordt na enige h e r l e i d i n g voor de r e s u l t e r e n d e k r a c h t F gevonden:
F = y pg {hg ( 7 )
Met de numerieke gegevens g e e f t d i t :
F = 108,7 kN (antwoord)
Vraag 2
Voor de beantwoording van deze vraag, wordt de s t r o m i n g door de s p l e e t a l s p u t s t r o m i n g benaderd. Omdat de weerstand n a b i j de s p l e e t verwaarloosbaar g e s t e l d mag worden, wordt de p u t s t r o m i n g a l s twee-dimensionale p o t e n t i a a l s t r o m i n g beschouwd.
Omdat b i j een p u t s t r o m i n g v e e l a l gewerkt wordt i n poolcoördinaten ( r , 9) wordt i n h e t navolgende voor h r geschreven en voor
Vanwege de continuïteit g e l d t dan, dat de a f v o e r over de r e s p . c i r -k e l -k w a r t e n c o n s t a n t i s .
De c i r k e l door punt _b (onderkant wand) h e e f t de s t r a a l r j ^ , d i e door punt a_ ( o p p e r v l a k ) een s t r a a l r ^ , t e r w i j l d i e door punt de s t r a a l r . De s n e l h e i d op a f s t a n d r ^ vanaf punt 2 l o o d r e c h t onder de wand wordt UQ g e s t e l d ; op a f s t a n d r ^ wordt u^ g e s t e l d en op a f s t a n d r wordt u g e s t e l d . Er g e l d t dan: h. ^ r 1' 2 1 = u = u.r ( 8 ) B i j een p o t e n t i a a l s t r o m i n g g e l d t voor de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g B e r n o u l l i en w e l i n h e t h e l e v e l d .
Beschouw nu de punten a_ en ^ öf _b en c. Er g e l d t :
öf
Ter p l a a t s e van j _ en _b g e l d t de a t m o s f e r i s c h e druk, dus Pg ~ ^1 ~ ^' Door s u b s t i t u t i e van V g l . ( 8 ) i n V g l . ( 1 0 ) wordt met p^ = O de druk p op een a f s t a n d r vanaf de bodem (punt 2 ) gevonden:
^ 2
P = P g ( r j - r ) + ^ p u j d - -j-) ( 1 1 ) r
Voor de b e p a l i n g van u^ z i j n er twee v e r g e l i j k i n g e n b e s c h i k b a a r : Pas B e r n o u l l i t o e van a_ naar h.
Pas de contlnuïteltswet toe van a naar b ( z i e V g l . ( 8 ) ) .
B e r n o u l l i :
^ 2 ^ 2
^ 0 + 2 ^ = ^ 1 + Tg ( ^ 2 )
Door e l i m i n a t i e van u^ u i t V g l . ( 1 2 ) en V g l . ( 8 ) ("Q^^Q = " j ^ ^ ^ ^ wordt na enige h e r l e i d i n g een u i t d r u k k i n g voor u^ gevonden:
2 - 1 = 2 8 F ^ ( 1 3 ) 1 O S u b s t i t u t i e van V g l . ( 1 3 ) i n V g l . ( 1 1 ) g e e f t : 2 2 p = pg { ( r ^ - r ) + (^ ^ ^ ) ( 1 - - 2 " ) } (antwoord) ( 1 4 )
