Theorie en metingen over de eigengolflengte van enkele soorten electromagnetische trilholten

•

f

il! Wllhlhllhlliiiilliii

^*^ UI 2

• •• , •

THEORIE EN METINGEN OVER DE

EIGEN-GOLFLENGTE VAN ENKELE SOORTEN

ELECTROMAGNETISCHE TRILHOLTEN

EIGENGOLFLENGTE VAN ENKELE

SOORTEN ELECTROMAGNETISCHE

TRILHOLTEN

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL TE DELFT OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFI-CUS J. M. TIENSTRA, HOOGLEERAAR IN DE AFDEELING DER W E G - EN WATER-BOUWKUNDE. VOOR EEN COMMISSIE UIT DEN SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 27 NOVEMBER 1946 DES

NAMIDDAGS TE 2 UUR DOOR

JAN JACOB VERSCHUUR

ELECTROTECHNISCH INGENIEUR GEBOREN TE SOERABAJA (N. O. I.)

GEDRUKT BIJ DRUKKERIJ WALTMAN (A. J. MULDER) - DELFT 1946

pag.

H O O F D S T U K I. Inleiding. 9 H O O F D S T U K II. Inleidende theoretische beschouwingen.

§ n , 1. Inleiding 13 § II. 2. De trilholte met doorloopenden binnencylinder 15

§ II, 3. De trilholte zonder binnencylinder 16 § II, 4. De trilholte met een binnencylinder, die iets

korter is dan de buitencylinder 16 § II. 5. De methoden van Hansen-Kronig en Goddard 24

H O O F D S T U K III. Berekening en meting van de capaciteit.

§ III, 1. Inleiding 27 § III, 2. Berekening van de capaciteit . . . n

§ III, 3. Berekening van de capaciteit onder weglating

van den buitencylinder 43 § III, 4. Meting van de pijp- en dooscapaciteit . . . 51

H O O F D S T U K IV. Berekening van den invloed van het spreidingsveld op de zelfinductie van den pijpkring en den dooskring.

§ IV. 1. Inleiding 57 § IV, 2. De zelfinductie van den pijpkring 58

§ IV, 3. De zelfinductie van den dooskring . . . . 72 H O O F D S T U K V . Expliciete uitdrukkingen voor de

eigen-golflengte.

§ V, 1. De eigengolflengte van den asymmetrischen

pijpkring 76 § V, 2. D e eigengolflengte van den asymmetrischen

dooskring 79 § V, 3. De eigengolflengte van den symmetrischen

pijp-kring . 84 § V , 4. D e eigengolflengte van den symmetrischen

pag-H O O F D S T U K VI. Constructie van de gemeten resonatoren

en meetmethoden.

§ VI, 1. Constructie en meetmethode 89 § VI, 2. Het effect van een niet-uniforme spleetwijdte 92

H O O F D S T U K VII. Metingen van de eigengolflengte en vergelijking met de theorie.

§ VII, 1. De asymmetrische pijpkring 97 § VII, 2. De asymmetrische dooskring 100 § VII, 3. De symmetrische pijpkring 102 § VII, 4. De metingen van Barrow en Mieher. . . . 103

§ VII, 5. De metingen van het ,.National Physical

Laboratory" 105 § VII, 6. De berekeningen van Goddard 107

§ VII, 7. Geldigheidsgebied der afgeleide

betrekkin-gen en conclusies 108

S A M E N V A T T I N G 112

S U M M A R Y 114 L I T E R A T U U R 116

Pag. 23. regel 1 v. o.: lees: 2

N , (x) «te . (in y = 0.577 constante van E U L E R ) . (6).

nx

Pag. 27. regel 13 v. b . ; (54): lees: (43).

D 7 n 1 4 5.8 , 5 . 8 ^

r a g . 70. regel 4 v. o.; — ; lees : . 7ia na

Pag. 74. regel 3 v. b . : m ; lees: In — .

Pag. 77. regel 2 v. b . : .^ ; lees : —j-j^— •

yx' y a jc' Pag. 8 1 . regel 3 v. b . ; in de teller: In V r ï ' ^ ^ s ; In _ , .

lb lb

Pag. 81. regel 5 v. b . : ƒ . ( ^ ) ; lees : ƒ, ( ^ ) .

Pag. 87. regel 1 v. o.: (V. 15); lees: (V. 16).

Pag. 98. regel 12 v. b . : bijvoegen: (in de figuur aangegeven met AAA). Pag. 101. in de tabellen: / = l c m en / = 4 c m verwisselen. Pag. 117. no. 51 van de literatuurlijst: lees: Whinnery, enz.

Inleiding.

•' In de radiotechniek wordt in de zend» en ontvangschakelingen

regelmatig gebruik gemaakt van resonatoren voor de op te wekken resp. te ontvangen golflengten. Zoolang de golflengte grooter is

dan ongeveer 10 m, blijkt het mogelijk te zijn een dergelijken reso-nator of trillingskring op te bouwen uit een spoel met zelfinductie

L en een condensator met capaciteit C. De afmetingen van deze

twee elementen zijn dan in het algemeen klein t.o.v. de resonantie-golflengte, omdat het mogelijk is de zelfinductie met het aantal windingen willekeurig groot te maken, zoodat ook de resonantie-golflengte willekeurig groot wordt. Deze resonantieresonantie-golflengte noemen wij de eigengolflengte X van den trillingskring.

W i l men gaan experimenteeren met kleinere golflengten, dan moeten zoowel de zelfinductie als de capaciteit verkleind worden. Het aantal windingen van de spoel kan natuurlijk niet kleiner dan één worden, terwijl tevens een vérgaande verkleining van de afmetingen van spoel en condensator begrensd wordt door de volgende overwegingen:

1. Naarmate de capaciteit verkleind wordt, gaan de parasitaire capaciteiten in de schakeling overwegen, waarbij wij onder

para-sitaire capaciteiten verstaan de capaciteit der toevoerdraden onder-ling, die der buiselectroden, enz. Het heeft dus geen zin de oor-spronkelijke capaciteit willekeurig te verkleinen, als men niet tevens

streeft naar een verkleining der parasitaire capaciteiten.

Aangezien echter steeds een deel van het opgewekte vermogen wordt gedissipeerd in de buiselectroden, kan men deze niet willekeurig verkleinen, zonder dat de temperatuur van de electroden ontoelaat-baar hoog wordt.

2. Hoe kleiner de golflengte wordt, hoe grooter de verliezen in den kring wwrden t.g.v. de steeds toenemende straling en den ohmschen weerstand in de draden (skineffect) en hoe minder de eigenschappen van den trillingskring bij resonantie afwijken van

die buiten resonantie. Deze verliezen moeten dus zooveel mogelijk beperkt worden.

Uit deze overweging volgt, dat men bij zeer korte golven moet streven naar den bouw van een resonator, waarvan de verliezen zoo klein mogelijk moeten worden gehouden. De straling kan men

op-heffen door een hollen, gesloten vorm te kiezen, waarbinnen zich het geheele electromagnetische verschijnsel afspeelt. Hierbij kan dus niet meer van een bedrading worden gesproken; de functie van stroomgeleiding der draden wordt overgenomen door wanden van bollen, cylinders, e.d., waardoor de ohmsche verliezen kleiner worden.

Verder blijkt het bij den bouw van een zender mogelijk ts zijn de buiselectroden ten deele te laten samenvallen met onderdeelen van een dergelijken resonator, zoodat de warmtedissipatie aanmerkelijk grooter kan zijn.

Natuurlijk is er geen scherpe grens te trekken tusschen het ge-bied, waarin de trillingskring met spoel en condensator, en dat, waarin een holle, gesloten resonator wordt gebruikt. Er is een

over-gangsgebied, dat ligt tusschen / = 10 m en A = 1 m. Zoo zal het b.v. nog mogelijk zijn bij een golflengte van enkele meters gebruik te maken van een open trillingskring, bestaande uit één enkelen cirkelvormigen draadbeugel met een diameter van enkele cm als spoel, en twee evenwijdige plaatjes van 1 cm diameter, op enkele mm afstand van elkaar, als condensator. Veel kleinere golf-lengten zal men om bovengenoemde redenen niet kunnen ver-krijgen.

Voor golflengten kleiner dan 1 m is het gebruik van holle ge-sloten resonatoren, de z.g. trilholten, algemeen. Kort voor den oorlog 1939—1945 werd door de GEBR. VARIAN (23) eenerzijds en H A H N & M E T C A L F (18) anderzijds het principe van de snelheids-gemodu-leerde electronenbundel toegepast om h.f. energie op te wekken en te versterken op dm- en cm-golven. Hierbij werden dergelijke

tril-holten gebruikt (19, 20, 29, 30). Bovendien was reeds geruiman tijd gewerkt met normale triode-schakelingen, waarbij dus de electronen-looptijd zoo klein mogelijk werd gehouden, in verbinding met tril-holten (12, 15, 28). Gedurende den oorlog werd vooral van gealli-eerde zijde de ontwikkeling van de dm- en cm-golventechniek intensief ter hand genomen met het oog op de vervolmaking van

radar. Daarbij werd gestreefd naar zeer schiarpe bundeling van

de electromagnetische energie, hetgeen gemakkelijker te verkrijgen is naarmate de golflengte kleiner wordt. Om deze reden zocht men het in steeds kortere golven, waarbij bovendien groote energieën moesten worden opgewekt. Ook hier heeft weer het idee van de combinatie van de snelheids-gemoduleerde electronenbundel met trilholte de oplossing gebracht in den vorm van het magnetron, in de anode waarvan een reeks al dan niet onderling gekoppelde holle

resonatoren zijn aangebracht (56). Daarnaast bleef het klystron van de GEBR. VARIAN (23) in gebruik als plaatselijke oscillator in de racfar-ontvanger.

Terwijl h«t magnetron voor de radar-zenders gebruikt werd om groote pulse-vermogens af te geven, werd door TERMAN (58) en zijn groep in Amerika het resrmtron ontwikkeld, dat bedoeld was als ,,radar jamming"-zender, en dat gebruikt werd om met zeer groote continu-vermogens het Duitsche rac/ar-wapen te storen en onschadelijk te maken. Hierbij werden op b.v. 50 cm golflengte ver-mogens opgewekt van de orde van 50 kw, waarbij trilholten worden gebruikt, die op geschikte wijze zijn verbonden met de electroden van een (in principe normale) zend-tetrode.

Naast deze technische en physische ontwikkeling van de trilholte werd ook reeds vóór en gedurende den oorlog veel aandacht besteed aan de berekening van de eigengolflengte (8, 14, 16, 17, 19, 22, 25, 27, 31). Hierbij waren wij practisch verstoken van geallieerde literatuur en dus aangewezen op wat er daarvan nog sporadisch binnenkwam, en verder op de Duitsche publicaties (32, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45).

Het doel van dit onderzoek is de eigengolflengte van enkele soorten trilholten te meten en te berekenen. Hierbij zal worden aan-gegeven, hoe de diverse gebieden, waarin een exacte berekening mogelijk is, kunnen worden uitgebreid en aangevuld met andere voor de praktijk juist belangrijke, waarvoor een benaderingsmethode

zal worden ontwikkeld, waarmee, aanzienlijk eenvoudiger dan tot nog toe het geval was, de eigengolflengte kan worden berekend. De gevonden resultaten zullen blijken uitstekend overeen te komen met die uit de reeds genoemde literatuur, terwijl ook de na den wapen-stilstand pas beschikbaar geworden publicaties (46, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 55) onze metingen bevestigden. Met het oog op de groote

ontwikkeling der trilholtetechnick heeft dus een snelle en overzich-telijke berekeningsmethode, die bovendien meer inzicht geeft in de trillingswijze dan de tot dusver gebruikelijke rekenmethoden, en die aansluit bij de theorie der tweedraadssystemen, zeker zin. Hierbij

zullen wij de ohmsche verliezen verwaarloozen.

In dit werk zullen de gevonden betrekkingen als grootheden-formules worden gegeven, zoodat elk eenhedenstelscl kan worden gebruikt. Ter herinnering zij nog opgemerkt, dat in het practische eenhedenstelscl de grootheden e» en ;«„ de volgende waarde hebben:

'"= 4 ^ . 9 ^ 0 " ^"^"^^^'"

Inleidende theoretische beschouwingeiu

§ II, 1. Inleiding.

In het vorige lioofdstuk is aangetoond, waarom het zin heeft, voor golven korter dan enkele meters gebruik te maken van tril-holten. Hiervan zijn verschillende vormen denkbaar, waarvan die met het grootste aantal symmetrie-asscn het meest voor de hand liggen, aangezien deze het eenvoudigst zijn door te rekenen.

BORGNIS e.a. (11, 12, 15. 17, 22, 27, 31) hebben trilholten in den vorm van bollen en cylinders doorgerekend. Een in de techniek veel voorkomende constructie is die van een trilholte, bestaande uit twee metalen concentrische cirkelcylinders, wier lengte begrensd is door twee metalen afsluitplaten ± op de as. Hierbij kan de lengte

• 2b

+2a —

Fig. II, 1. Doorsnede en aanzicht van de beschouwde trilholte.

van de binnencylinders gelijk aan of kleiner dan die van de buiten-ste zijn. Fig. II, 1 geeft dezen resonator in aanzicht en doorsnede. Eveneens worden veel gebruikt trilholten, waarbij de spleet A zich

— A

• 2Jb

- > 2 a

in het midden bevindt, zooals fig. II, 2 toont. Dergelijke symmetri-sche resonatoren worden veel gebruikt bij generatoren met looptijd-compressie, b.v. het klystron (22, 23), waarbij de spleet A meest-al klein is t.o.v. de andere afmetingen 1, b, en a. Het is van be-lang het verband tusschen de eigengolflengte en de spleetgrootte

bij constanten parameter b en a te kennen. Bij de berekening van A blijkt, dat in het algemeen deze trilholten een oneindig groot aan-tal eigenfrequenties hebben. W i j zullen ons beperken tot de be-rekening en meting van de kleinste hiervan.

W e bepalen ons in het volgende tot de trilholten van fig. II, 1, dus den asymmetrischen vorm. Het zal in hoofdstuk V blijken, dat de symmetrische trilholte direct af te leiden is uit die eerste.

E r kunnen zich verschillende gevallen voordoen:

A. A ^ O, De trilholte bestaat dan uit twee concentrische cirkel-cylinders van gelijke lengte. De eigenfrequenties zijn exact te berekenen (fig. II, 3 ) .

Fig. II, 3.

B . A =1. In dit geval valt de binnencylinder weg en blijft als resonator één holle cylinder over, waarvan de eigenfrequenties even-eens exact te berekenen zijn:

Fig. II, 4.

C. Zl < < /, fc en a. In het limietgeval, dat A -^ O nadert, is d e eigengolflengte eenvoudig aan te geven. W o r d t A wat grooter, dan wordt het probleem vrij ingewikkeld en zijn slechts

benaderings-methoden bekend om X te berekenen. H A N S E N (19) en GODDARD

§ II, 5 nader op zal worden ingegaan. W a a r echter juist dit geval in de decimetertechniek van groot belang is, heeft het zin

Fig. II, 5.

een benaderingsmethode te zoeken, die zoo eenvoudig mogelijk voldoend nauwkeurige resultaten geeft. In dit proefschrift zal een

dergelijke methode ontwikkeld wórden.

§ II, 2. D e trilholte met doorloopenden binnencylinder. Voordat wij overgaan tot de behandeling van ons eigenlijke pfo-bleem, zullen wij de gevallen A en ö in het kort bespreken, waarbij

wij voor een uitvoeriger behandeling naar de literatuur verwijzen: A. A^O. Zie fig. II. 3. BORGNIS (27) heeft dit systeem geheel doorgerekend. Onder bepaalde omstandigheden is de resonator op te vatten als een stuk van een concentrisch LECHER-systeem. Bij een tweedraads- of LECHER-systeem zijn meestal twee der drie dimensies klein t.o.v. X, terwijl de derde, de lengte, van dezelfde orde van

grootte van X of grooter is. Zoolang dit het geval is en dus A > >

b en a is, zijn bij resonantie van de 6 veldcomponenten slechts de

radiale electrische vsldsterkte Er en de tangentiëele magnetische veldsterkte H0 aanwezig. Hun grootte wordt door goniometrische functies bepaald. De eigengolflengte is X =^ n. — (n= \, 2, 3, . . . . ) en dus anafhankelijk van b en a.

Indien de toegepaste golflengte kleiner wordt, kan het geval op-treden, dat ook b en a van dezelfde orde van grootte als X worden. Dan kan een resonantietoestand optreden, waarbij X mede bepaald wordt door b en a, en waarbij niet 4 van de 6 veldcomponenten nul worden. Hun grootte wordt dan bepaald door cylinderfuncties; de eigenfrequenties kunnen niet meer expliciet worden aangegeven.

Slechts die gevallen zijn door te rekenen, waarbij:

/ . de magnetische veldsterktecomponent Hy (in de richting van de as) =: O wordt gesteld. Dit zijn. trillingen van het electrische

type (er zijn bij resonantie meer componenten van het electrische dan van het magnetische veld);

^ 2. de electrische-veldsterktecomponent Ey = O wordt gesteld. Dit heeten de trillingen van het magnetische type (bij resonantie zijn er meer componenten van de magnetische dan van de electrische veldsterkte).

Is / < < 6 en a en heeft dus de resonator den vorm van een platte doos, dan kan een resonantie volgens het LECHER-type natuurlijk niet optreden. Uit BoRGNis' theorie blijkt, dat slechts de

eigentril-lingen volgens het LECHER-type de eenig mogelijke zijn, als

X ^ 2 l > 2 n b is, dus l > n b»

§ II, 3. D e trilholte zonder binnencylinder.

B. A ^ l. De resonator bestaat uit één cirkelcylinder met lengte / en straal b en is als een speciaal geval van A te beschouwen, als men daar a —>^ O laat gaan (27). Het veld en de eigenfrequenties zijn, met behulp van cylinderfuncties, weer slechts te berekenen, in-dien men of E^ of Hy nul stelt, zooals BORGNIS e.a. (16) hebben aangetoond. De eigengolflengten hangen in beide gevallen in het algemeen af van / en b, behalve de grootste eigengolflengte van het electrische type, welke X '^^ 2,61 b is.

§ II, 4. De trilholte met een binnencylinder, die iets korter is

dan de buitencylinder („Re- entrant cavity-resonator").

C . zl < < /, 6 en a. In het extreme geval, dat A -*• O nadert, kan men zich den resonator ontstaan denken door wenteling van de draadfiguur van Fig. II, 6b om de y-as, waarbij deze bestaat uit een condensator C, waarvan de twee elec'troden verbonden zijn door een

draadlus met zelfinductie L. , ,

f

: 1

a b

71 a*

In het limietgeval zl —»• 0 is C ^ e» —--, waarbij lucht als diëlec-tricum is aangenomen, zooals dat in de practijk normaal het geval is. Met A —*• Q gaat dus C —>• oo en eveneens de eigengolflengte, want deze wordt, zoolang alle afmetingen van den resonator < < /l zijn, bepaald door de groothedenvergelijking:

X = 2nc^ÏJC (IL 1)

waarin c de lichtsnelheid is.

Zoolang A dus maar klein genoeg is, isX > > l, b en a. Dit geval wordt gedefinieerd als het quasistationnaire (q.s. geval), omdat het electromagnetische veld op een willekeurig bepaald oogenblik

het-zelfde verloop heeft als in den stationnairen toestand, die op zou treden, indien de twee electroden van C aan een gelijkspannings-bron zouden zijn aangesloten.

Wij zoeken A als functie van de dimensies van de trilholte. In (II, 1)

u h

heeft de zelfinductie de waarde L^ = —"- / In — , aangezien wegens

In a

het skineffect binnen den binnencylinder geen magnetisch veld heerscht (33), en indien wij voorloopig de magnetische flux in de

spleet verwaarloozen (vergelijk hoofdstuk I V ) .

Welke grootte heeft C? Indien wij alleen het homogene veld tusschen de evenwijdige electroden beschouwen, is de waarde van C = Co —-— . In het algemeen is de waarde van C grooter, omdat de capaciteit bovendien bepaald wordt door het inhomogene spreidingsveld, dat vooral bij den rand merkbaar wordt en het homo-gene veld vervormt. Deze capaciteitsvergrooting is niet eenvoudig

aan t e geven. Om haar te weten te komen dient men het electrische veld in de buurt van de spleet compleet te berekenen, aangezien in de literatuur hierover geen opgaven worden verstrekt. Deze

be-rekening zullen wij in hoofdstuk III uitvoeren. Voorloopig stellen wij:

C = « A - ( 1 + A : ) ( 1 1 2 )

A

. Dan is voor het q.s.-geval in eerste instantie:

^=2nc^ ^'-lln^. eo^(l+k) = 7. a V"2 . j / ^ ( l + /t) I n ^ ( I I . 3 )

Terwijl dus voor extreem kleine waarden van zl de trilholte bij resonantie een q.s. stroom- en spanningsverdeeling heeft, en eigenlijk een trillingskring met geconcentreerde capaciteit en zelfinductie is, neemt de golflengte, in eerste benadering volgens (11,3), met toe-nemende zl snel af. Het is nu de vraag, voor welk gebied (11,3) opgaat. Dit zal zeker niet meer het geval zijn, als één van de drie parameters l, b oi a vergelijkbaar wordt met jl. Analoog met § II, 2 (zl = 0) zijn hier weer twee gevallen mogelijk:

ƒ. / > > b. Naar zijn vorm zullen wij dit type trilholte pijpkring noemen. De pijpkring kan men zich ontstaan denken (Fig. II, 7) door wenteling om de y-as van een stuk LECHER-systeem ter lengte /. dat aan het eind is kortgesloten ( (b-a) > > /) en, aan het begin met de capaciteit C is afgesloten.

^

_EEE

E ^

1

13^»

Fig. II, 7. De pijpkring.

Bij resonantie heerscht een semi-quasistationnaire trillingstoc-stand (s.<7.s.-geval), aangezien / van de orde van grootte van X kan zijn. De eigengolflengte is eenvoudig af te leiden (52):

Volgens de theorie van de tweedraadssystemen (42) gelden de telegraafvergelijkingen (Fig. II, 8 ) :

UB = UK, COS kl + JR^E sin kl

IB^= j n sin kl + /B COS kl (11.4)

" B ' ^ B

Fig; II, 8.

Worden alle verliezen verwaarloosd, dan is /? = =— / — In — de

2ny Co a golfweerstand van een concentrisch LECHERsysteem en k = T -= de golffactor.

In ons geval is

WE = O en I/B = — ƒ• a> C TB. Dit ingevuld in (II, 4) geeft:' LJB^JRTE sin kl (II. 5;

TB = JE cos W (11,6) Deeling van (11,6) op (11,5) geeft:

ÜB

h

X = 2 7ic.CRtg~J- = (loC^C In ^ t g ^ ^ (II. 7) Deze betrekking geeft in het s.q.s.-geval impliciet de eigengolf-lengte van den pijpkring. Deze is steeds grooter dan die voor het q.s.-geval [A -* 0), zooals in hoofdstuk V zal worden aange-toond. Oplossing van (II, 7) is slechts grafisch mogelijk.

2. / < < fe. Een dergelijke trilholte zullen wij, in overeenstem-ming met de literatuur (38, 43), dooskring noemen. Men kan zich deze ontstaan denken door wenteling van een stuk LECHER-systeem

\^( ^

a b

met een lengte b-a in radiale richting, dat voor r = fc is kortgesloten (Z < < fc) en voor r = a met de capaciteit C is afgesloten. Bij reso-nantie is de trillingstoestand eveneens semi^quasistationnair, aan-gezien één der dimensies < < ^ is. LÜDI (36) heeft voor het s.q.s.-geval voor X een betrekking gegeven, waarin de capaciteit C als pa-rameter voorkomt. Hij omzeilt het probleem C =: f(A)ih en o dus. Evenals bij den pijpkring wordt X slechts impliciet gegeven. W a a r bij den pijpkring goniometrische functies voorkomen ter beschrijving van het veldverloop in axiale richting, zijn het hier cylinderfuncties, die het veldverloop in radiale richting bepalen.

LüDi's betrekking luidt:

-'cï>-(ï)/.w-'-(v>.wi = °- '"•»'

LI. . . a O) 2 Jl a

n i e r m is x = : = — z — .

' c X

c = lichtsnelheid =: 3 X ' 0 ' ° cm.sec—*.

/o' / i ' ^ 0 ^'^ ^ i ' cylinderfunctiets van de Ie en 2e soort (6) Een afleiding geeft LüDi niet. K. F. N I E S S E N * ) was zoo vriendelijk mij deze te verschaffen. Deze afleiding verloopt als volgt:

Aangezien de trillingstoestand semi-quasistationnair is wegens / < < fc, mag men voor het om de lengteas gewentelde

LECHER-sy-steem de telegraafvergelijkingen opstellen. Hierbij verwaarloozen wij alle verliezen.

i • 2a •^^^ t 1 1 t 2 b -• r 1 I

1

1

Zijn L I en Ci de zelfinductie resp. capaciteit per lengteëenheid in de radiale richting, dan geldt (42):

è U r 3 / ^ - ^ = ^ I O r 3 / d r = - C , . dt (II. 9) (IL 10)

Bij een normaal tweedraadssysteem zijn L| en Ci constant; hier zijn echter Li en Ci functies van r en wel is:

^ , 2 71 r dr ^ 2n r C l dr := Bo . i - — ; C l = £o

/ /

Aangezien Li Ci = ^ - , is L, = fio

2 71 r'

Differentiatie en uitwerking voert met deze waarden van Li en Ci tot differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met cylinder-functies als oplossingen:

Differentiatie van (11,9) naar r:

d'ü r d'7 dL, a / èt

L, .

d r"-* dtdr dr Differentiatie van (II, 10) naar t;

dtd = — C l

Uit (II, 9) volgt:

dt^

dt

1 dU

LI d r '

Differentiatie van (II, 10) naar r:

a^ ƒ ^ a^t? dc^ dV

dt • - C l

a r2 ' • a f a r dr

Differentiatie van (11,9) naar t:

d^U r dÜ dtd - L I • dt^ Uit (H. 10) volgt: 1 ^ = : - ! - . ^ Substitutie geeft: d'U , ^ dW ^ - — — L.I U I .-d t^' 1 a f2

du

1 aMj

dn

-dü

± a/

a ^ _

Bij verwaarloozing van alle verliezen zijn de oscillaties onge-dempt en volgens de complexe schrijfwijze zijn dus stroom en span-ning evenredig met ei"".

a r2 L I • a r * a r "^ c2 • / 1 a L , i-I — Uo> Ti : ~f~ • ~ s —

. . . 3 i B + 1 . 3 O + , . f f = 0 .

ar2 e r ar • dr " ^ c *

_{• a}

Volgens JAHNKE & EMDE (6) zijn de algemeene oplossingen van (O. 11) en (II, 12):

U = A]o(kr) +BNo(kr) r=A'r},(kr)+B'rN,(kr)^

(II. 13) (II. H ) Hierin zijn A, B, A' en B' de integratie-constanten, waartusschen een verband bestaat, dat door één der vergelijkingen (11,9) en

(II, 10) wordt bepaald.

B.v. is volgens (II, 9): -^— = — L i . -<—= — Li . j w I. d r o t

Dit ingevuld in (II, 13) en (II, 14) geeft:

Akjo'(kr) + BkNo'(kr) = — Lj.joi fA'r}^(kr) -f B'rN,,(Jtr) }•

Wegens: J/ip) = — J,(p) en W ( p ) = — N,{p) (6Ms: — AkJ,(kr) — BkN,(kr) - — Li.jco \A'rJ^(kr) + B'rN^{kr) \ waaruit volgt: A' - ; . .A enB' — — ] — . B .

fio cl Ho cl

Dus:

n = A]o(kr) +BNo(kr) = B S A/„(A:r) + N„(fcr)

7 = - ƒ ~ j A r ƒ, (kr) +BrN, (kr) j =

De grenswaarden zijn voor r ^= fe is Li' = 0. _ voor r = a is ƒ/,; = — jai C U(,).

(IL 15)

Substitutie geeft:

AJoikb) +BNo{kb) = 0 (IL 17) — j ^ i A a J^(ka) +B a N^ika)^ = — j (O C ]A Joika) -{-B No{ka)y

Ho cl

(IL 18) Hierin is A = — = - ^ d e golffactor.

c X

Uit (II, 17) en (II, 18) k a n - ^ - w o r d e n bepaald. Gelijkstelling van

\B

deze waarden levert een betrekking voor den golffactor op, waaruit deze opgelost kan worden. Deze betrekking is:

(11.19)

T l .. 2 7 i a , „ 2 7 i a 2 7 i a 2

Indien wij — ; — = fca = a; stellen, is ;—^^ = e» -ry^—•

X fiocl (t>L, IC X

Substitutie hiervan en omwerking van (II, 19) levert de betrekking van LüDi:

\No(^)jo{x)-]o{^)No{x)i^--..^-^Ai

Hieruit kan x slechts langs grafischen weg opgelost worden, door stuk voor stuk de cylinderfuncties in grafiek te brengen. Dit is een omslachtig procédé. In hoofdstuk V zal door middel van reeks-ontwikkeling een expliciete betrekking voor x nesp. X worden

opgesteld.

LÜDI geeft dus een uitbreiding van het qf.s.-geval tot het s.q.s.-geval van den dooskring. Bij zeer kleine waarden van x (<j'.5.-s.q.s.-geval) moet LüDi's betrekking leiden tot de reeds eerder afgeleide for-mule (blz. 17). Om dit aan te toonen ontwikkelen wij de cylinder-functies in (II, 20) voor zeer kleine waarden van het argument en nemen slechts den eersten term van de reeks mee.

V o o r ; c < < l i s / „ ( * ) ^ h]^{x) ^ J :No{x) <^-— ?-In —

l 71 y x 2

en N,(x) «s In y ;= 0,577 constante van E U L E R ) . (6).

Substitutie hiervan in (II, 20) geeft: 2 , 2 , 2 , 2 2 7ia^ i 2. 2 x , 2 ) In - r - -f - In e» -,^~. in -r— . ~-\ [ = 0 71 bx 71 yx ICx ( 71 bx 2 TIXS y— y— a a . b 2 7ia2 / l X , 2 \ - , . , _ , . In e„ -^ — . - I n - ^ = 0 . 1 1 2 1 ) a /CJC \X 2 bxl y — a

Hierin is lim (— . In —;—) = O, dus voor x < < 1 is , ^ 0 \2 bxj

1 x 2

— > > :r . In —,— en kunnen we voor (II, 21) schrijven:

X 2 bx

_''T

' " a - ' ° l C ^ ^ ^

Vergelijking (II. 22) is identiek met (II. 1), welke de golflengte in het quasi-stationnaire geval bepaalt.

De betrekking van LÜDI-NIESSEN geeft steeds een grootere golflengte dan voor het q.s.-geval zou gelden. In hoofdstuk V zullen wij dit verder uitwerken.

§ II, 5. De methoden van Hansen-Kronig en Goddard.

In de vorige paragraaf hebben wij de trilholten beschouwd met t.o.v. den buitendiameter kleine lengte (dooskring) en t.o.v. den buitendiameter groote lengte (pijpkring). Hierbij 'was de spleet steeds zoo klein, dat óf de eigengolflengte groot was t.o.v. alle af-metingen (q.s.-geval) óf groot t.o.v. van lengte of buitendiameter (s.q.s.-geval). W o r d t Zl steeds meer vergroot, dan is de trilholte ten slotte niet meer als een s.q.s.-geval te beschouwen, aangezien X steeds kleiner en van dezelfde orde van grootte wordt als meer dan één af-meting van den resonator. Het zou dan eventueel nog mogelijk zijn

het s.q.s.-geval te benaderen door andere randvoorwaarden in te voeren in de geïntegreerde telegraafvergelijkingen, doch het probleem wordt dan wel zeer gecompliceerd. Bovendien zal in hjoofdstuk V en VII blijken, dat bij invoering van de juiste waarde van C en door tevens rekening te houden met den invloed van het electrische spreidingsveld bij de spleet op de zelfinductie, de s.q.s.-gevallen in verreweg de practisch meest voorkomende ge-vallen een voldoend nauwkeurige benadering geven van de geme-ten golflengte. W e zullen daar dus steeds de trilholte in s.q.s.-trilling beschouwen.

Volledigheidshalve wordt hier in het kort nog de theorie van

HANSEN en KRONIG behandeld, die ook voor grootere waarden van zl goede resultaten geeft,

Fig. II, 11.

Hierbij wordt de ruimte in de trilholte in twee cylindrische deelen I en II verdeeld gedacht en uitgegaan van de veldverge-lijkingen van MAXWELL voor het electromagnetische veld in I en

II (zie Fig. II, 11). Daarmee wordt de zaak Jot een randwaarden-probleem teruggebracht, want formeel is het steeds mogelijk de veldvergelijkingen van MAXWELL te integreeren. Echter levert de bepaling van de integratie-constanten groote moeilijkheden, zoo-als meestal bij dergelijke randwaardeproblemen het geval is. Bij oneindig groote geleidbaarheid der resonatorwanden moet de electrische veldsterkte aan het metaaloppervlak loodrecht hierop staan. De vraag is nu, hoe het veld aan het scheidingsvlak van I en II verloopt. Zoodra het gelukt de oplossingen van het electro-magnetische veld voor I en II aan het scheidingsvlak in elkaar over te laten gaan, is de algemeene oplossing van het probleem gevonden. Strenge doorvoering van het probleem leidt tot een oneindigen determinant, zooals door KORRINGA (45) is aangetoond.

De oplossing hiervan is nauwelijks mogelijk.

HANSEN gebruikt daarom een benaderingsmethode, waarbij het electrische veld op de grens van de beide gebieden vervangen

wordt gedacht door het electrostatische veld, dat ter plaatse zou heerschen, indien de beide eindplaten van de spleet als de electro-den van een conelectro-densator op een constant potentiaalverschil wer-den gebracht. Het nu bekende verloop van het electrische veld langs het scheidingsvlak wordt dan als randwaarde voor de op-lossing in de gebieden I en II gebruikt. Door de aldus gemaakte fout kan nu niet meer voor de aansluiting van het magnetische veld langs deze grens, echter nog wel voor de overeenstemming op een geschikt gekozen cirkel worden gezorgd. Voor dezen c.rkel is bij voorkeur, die met straal r = a en i/ = 0 te kiezen. Het electrostatische veld is met behulp van de transformatie van

SCHWARZ-CHRISTOFFEL (2, 4, 7, 49) te berekenen voor het geval, dat zl < < a, dus het probleem bij benadering als twee-dimensio-naal te beschouwen is. Het blijkt niet mogelijk te zijn een exacte en eenvoudige functie zoowel voor het potentiaalverloop als voor het verloop van het electrische veld langs het grensvlak aan te geven. Ook dit verloop moet weer benaderd worden met een meer handelbare functie. Ten slotte leidt dit procédé tot een rand-voorwaarde voor het electrische veld in gebied I, waarbij voor O < 1/ < zl de tangentiëele component een bepaald verloop heeft en voor zl < 1/ < / nul is. Dit leidt tot oplossingen voor het electro-magnetische veld in den vorm van een reeks van FOURRIER, die

zeer bewerkelijk worden. De methode geeft echter zeer goede resultaten. KRONIG, KORRINGA en MONDRIA (45) hebben haar ver-der uitgewerkt en verbeterd. Hun resultaten zullen in vergelijking met onze metingen in hoofdstuk VII nader worden besproken.

De methode, die zeer bewerkelijk is en slechts tot impliciete op-lossingen van X leidt, brengt ongeveer drie kwartier rekenwerk met zich mede om één punt van de .i =/(zl)i,(„o-grafiek te bepa-len. Gezien de goede overeenstemming tusschen metingen en berekening is de aanname van de electrostatische veldverdeeling bij de spleet gerechtvaardigd. Dit beteekent echter, dat de trillings-toestand bij goede benadering als s.q.s. te beschouwen moet zijn. Mede wegens de onoverzichtelijkheid van de berekeningen van

HANSEN hebben wij daarom gezocht naar expliciete uitdrukkingen voor X, zooals die door eenvoudige reeksontwikkelingen voor de s.q.s.-gevallen gevonden kunnen worden.

Berekening en meting van de capaciteit,

§ III, 1. Inleiding.

Tot nog toe hebben wij den invloed van het electrische spreidings-veld bij de spleet op de capaciteit verwaarloosd. W a a r het gaat om een nauwkeurige uitdrukking voor de golflengte, is dit in het algemeen zeker niet getolereerd. In hoofdstuk II bespraken wij, hoe LÜDI (36) den overgang van den q.s.-dooskring naar den s.q.s.-dooskring heeft aangegeven. Hij heeft echter de

capaciteits-waarde C als parameter aangehouden, doch het is duidelijk, dat voor een bruikbare golflengteformule C als functie van de dimen-sies van den resonator moet worden aangegeven. Evenmin heeft DaLLENBACH (54) voor den pijpkring de C geëlimineerd. Wij zul-len dus eerst in § III, 2 en § III, 3 de capaciteit voor kleine waar-den van zl, zoowel voor waar-den pijpkring ais waar-den dooskring, berekenen, waarbij onderzocht zal worden, welke fouten door verschillen-de verwaarloozingen worverschillen-den veroorzaakt. Tenslotte worverschillen-den in § III, 4 enkele capaciteits-metingen beschreven, die goede over-eenstemming met de berekeningen geven.

§ III, 2. Berekening van de capaciteit.

Voor extreem kleine waarden van zl heeft het condensatorveld den vorm van een cylinder met diameter 2a en lengte zl en is het spreidingsveld te verwaarloozen. d.w.z. lim A: = O (blz. 17).

Aangezien wij den resonator moeten beschouwen als een q.s.- of s.q.s.-trillingskring, zullen wij in het volgende veronderstellen, dat de afmetingen van den afsluitcohdensator alle klein zijn t.o.v. X, dus dat het electrische veld bij de spleet quasi-stationnair is. Dan is volgens MAXWELL (1) het veld E eenvoudig af te leiden van een scalaire potentiaal U, waarvoor de vergelijking van LAPLACE

geldt:

AU = 0 (III. 1)

De integratie van deze differentiaalvergelijking leidt tot een drie-dimensionaal randwaardenprobleem, dat zeer groote

moeilijk-heden biedt. BERTRAM (26) heeft een benaderingsmethode g e -geven, die eveneens gecompliceerd is. Indien echter a > > A is,

dan is het probleem in eerste benadering op te vatten als een twee-dimensionaal probleem, door fig. Ill, 1 niet te beschouwen als de doorsnede van buiten- en binnencylinder van den resonator, maar als dwarsdoorsnede van twee oneindig lange [/-balken, waarvan wij de capaciteit per lengte-eenheid in de richting loodrecht op

het papier gaan berekenen:

Fig. Ill, 1.

Om het exacte verloop te kennen, moet dit twee-dimensionale probleem geheel worden doorgewerkt, waarbij de ladingsver-deeling langs de oppervlakken en de totale lading daarop een maat is voor de gezochte capaciteit.

De oplossing kan gevonden worden met behulp van het trans-formatie-theorema van SCHWARZ-CHRISTOFFEL (2, 3, 4, 7). Dit theorema zegt, dat elke door rechte lijnen gevormde veelhoek, die in een complex z-vlak ligt (waarbij voqr elk punt z in dit vlak met de coördinaten x en y geldt: z = jc + jy). getransformeerd kan worden in de f-as van een ander complex T-vlak (waarin voor elk punt met de coördinaten f en ?; geldt: r ^ ^ -\- irj) en dat punten binnen den veelhoek in het z-vlak getransformeerd worden in de punten aan één zijde van de f-as.

De volgende differentiaalvergelijking brengt deze transformatie tot stand (1): dz dr = : A ( T ~ T J -02 ( T — T„) « " _{( t - I . )} ( T - T n ) 7 r - ' (III. 2)

Hierin zijn Oj, a^ ün de inwendige hoeken van den veelhoek,

Tj, Tg' • • • ^» '^^ coördinaten van de punten op de ^-as, die over-eenkomen met de hoekpunten van den veelhoek.

hier achterwege en nemen van zijn betoog slechts datgene over, wat voor ons probleem van direct belang is.

't Indien een gegeven veelhoek in het z-vlak getransformeerd moet worden in de (J-as van het T-vlak, dan zijn Oj, O j , . . . . o» gegeven. De overeenkomstige waarden van T^, t^ T„ moeten worden bepaald. Hiervan kunnen er sommige willekeurig worden gekozen, terwijl de overige worden bepaald door de afmetingen van den veelhoek. Welke echter ook de waarden van

Tj, Tg T„ zijn, de vergelijking (.III, 2) transformeert steeds de . ^-as in een veelhoek, waarvan de inwendige hoeken de vereischte grootte hebben, maar die nog niet gelijkvormig met den gegeven veelhoek behoeft te zijn. Om nu bovendien deze twee n-hoeken gelijkvormig te maken, moet er aan n — 3 voorwaarden voldaan worden, dus van de n grootheden TJ, TJ, . . . . T„ mogen er 3 willekeurig worden aangenomen, terwijl de overige n — 3 bepaald worden door de afmetingen van den gegeven veelhoek in het

z-vlak. Om deze methode toe te passen op een twee-dimensionaal electrostatisch probleem, waarbij de electroden begrensd zijn door platte vlakken, dus hun dwarsdoorsneden door rechte lijnen, be-schouwen wij het (in het oneindige gesloten) polygoon, waarvan de zijden samenvallen met deze dwarsdoorsnede, en noemen dit het polygoon in het z-vlak. Dit transformeeren wij naar de reëele

as in het T-vlak door middel van (111,2).

Verder beschouwen wij een H;-vlak, voor elk punt w waarvan geldt: w ^ ip -\- j xp. In dit iv-vlak kiezen wij een rechte lijn

even-wijdig aan de (p-as en beschouwen de tp-as en de rechte hiermee evenwijdig als de doorsneden van twee oneindig lange platte vlakken loodrecht op het tf-vlak met dit vlak. Geven wij deze vlakken (resp. rechten) een electrisch potentiaalverschil, dan is het veldverloop in het if-vlak volkomen bekend; het bestaat immers uit lijnen evenwijdig met de i/^-as. Hierbij is y de potentiaal- en

cp de stroomingsfunctie, d.w.z. de aequipotentiaallijnen zijn de

rechten xp = constant en (p is een maat voor de totale lading op de electroden.

W i j kunnen nu de evenwijdige rechten y =: O en y = y^w» eveneens opvatten als een in het oneindige gesloten veelhoek in

het i«-vlak en deze transformeeren naar de f-as in het T-vlak, zoodat in de ^-as twee getransformeerde veelhoeken komen te liggen: de oorspronkelijke van het z-vlak, gevormd door de elec-troden, waartusschen het veldverloop gezocht wordt, en de ge-idealiseerde van het w-vlak, gevormd door twee evenwijdige rechten, waartusschen het veldverloop geheel bekend is. Kiezen wij de potentialen (resp. potentiaalverschillen) voor beide veel-hoeken dezelfde, dan wordt door de twee transformaties naar het T-vlak het gevraagde probleem herleid tot het eenvoudige geval van twee oneindig lange evenwijdige lijnen (in twee dimensies: vlakken) met hetzelfde potentiaalverschil, waartusschen een vol-komen bekend homogeen veld heerscht.

De twee transformaties leveren na integratie twee vergelijkin-gen van den vorm:

x +

iy

= n^)

cp -\r j rp= F(r)

( I I L 3 ) ( i n , 4) Hieruit kan T soms geëlimineerd worden. In ons geval zal dat in het algemeen niet mogelijk blijken te zijn.

De berekening kunnen we nog vereenvoudigen door slechts één helft van de configuratie te beschouwen. Z i e Fig. Ill, 2.

A y b-a. x - y O F T - + 0» T-T,. ^ \ B T - 0 T - + 1 C

Fig, III, 2. Het polygoon in het z-vlak met buitenwand.

PED is de wand van den binnencylinder met potentiaal U, ABC die van den buitencylinder en a f sluitplaat met potentiaal O . A. F, C en D kiezen we nu zóóver van de hoekpunten B en E,

dat het veld daar practisch homogeen is. Strikt genomen liggen

A. F, C en D dan in het oneindige.

in het oneindige gesloten. W e transformeeren het naar de | - a s van het T-vlak, waarop dus reëele waarden van T liggen. Elk der punten A. . . . F komt overeen met een reëele waarde van i, waarvan we er volgens het voorgaande drie willekeurig mogen kiezen. De punten ^ — — o o e n f = + o o zijn daarbij als identiek op te vatten, aangezien we ons de ^-as in het oneindige gesloten denken.

Van de negatieve naar de positieve .f-as gaande stellen we T = — 00 in A; T = O in B, T = + 1 in C en D, T =: -f- 00 in F . Dan is T = TE in E, waarbij TE > 1 is en uit de afmetingen van de op-stelling nader bepaald moet worden.

De inwendige hoeken van het polygoon zijn: a^ =• TT in B; a^

371

O

in C of D , Qj = —- in E. De transformatievergelijking (III, 2) levert:

dz dx

( t — T E ) ^

( I I L 5 ) Bij de tweede transformatie wordt het polygoon in het w-vlak, bestaande uit de reëele as en een rechte evenwijdig daaonee, eveneens getransformeerd naar de reëele as van het T-vlak. Zie Fig. Ill, 3.

K

t t

T - + 1 T - - » » T - 0 §

Fig. Ill, 3. Het polygoon in het w-vlak.

G. K,H en] liggen in het oneindige. W e stellen T = - j - 1 in L/ en ƒ. waar de inwendige hoek = O is, zoodat de transformatieverge-lijking wordt:

dw B

Integratie van-"^ = A-^^-j—^-,-rleveit na substitutie van

OT T '" (T — 1 ) u^ T = T E 1 -f u" • _ z = x + jy = 2 A arc sin 1 / — -f A V ^ E — 1 In V T B — T + -V/TB — 1 . V * V^B — ï — V^B — 1 . V ^ (III. 7)

3

tw

} i \

1

! I I ! 'i [ !

iC-i f

waarin de integratieconstante zóó gekozen is, dat x en y nul wor-den van T = 0. De waarwor-den voor TE en A volgen uit de configurate: Voor J = JE is X + jy = b — a -\- j A = A TI -]- j \/JE — I .An.

Dus:A=^-^. n _ /12 + (b — a ) g ' ^ - ( t _ a ) 2 • b — a ^ , 1 -f p2 - ^ ~ = P ^ 1 ; T E - - ^ Wij s t e l l e n ^ — = p ^ 1; TE = - - ^ ~ ^ L

Met deze grootheden en (III, 7) is het verband tusschen z en t voor alle vier gebieden 5 C ( I ) . D E ( I I ) , £ F ( n i ) en AB(\W) be-kend. Elk dezer gebieden gaan wij nu afzonderlijk beschouwen:

1. Hierlangs is O ^ T ^ + 1, waardoor alle termen in (III, 7) reëel zijn:

2(6 — a) . 1 / ï , z l , V^B — t + V ^ E — l - V ï

= —^^ ^arc S!n / \-- In —- - - - - ; u = O 71 1 / TE 7t V T E — t — V T E — 1 . V T

—i- = 2 p are sin / , , ~- + In — ë=r-^—^ ^

A ^ V 1 + p2 ^ V I + P^ — P^ t — V ^

«/ = 0 : O ^ T ^ - t - 1 ( n i . 8)

1 4- n2 _ II. Hierlangs is: 1 ^ T ^ ^ ^ , dus \ / l -f p^ — p* t — V ^ ^ 0.

. + y y ^ l i ^ Z Z f J a r c s i n | . - ^ - P ! : ^ + é l „ ( - V ^ + V ^ + P ! ^ P ' M ^ ^ ^ " 1 / i - f p ^ + 7 T ' " l V V - V I + P ^ ' - P ^ T / 2 ( 6 — a j . , y p2T zl, V ^ + V l + P ^ — P ^ T -d V l + p * ^ 7 r " V t - V l + P ^ - p ' ' ^ ^ 71X - • I y ' p^ ^ j _ i„ v / ^ + y i + p ' — p ^ T ,, ,, := 2 p are sin / - , —-. + m —= , | : !1; • zl ^ 1/ 1-fpï 0 _ V l + p 2 —p2T i • \'\ y = , l ; + l ^ T g i ^ ^ . (IIL9)

-iiL-III. Hierlangs is: " ^ ^ ^ t ^ -|- oo, dus 1 + p2 — p2 ^ ^ 0.

V i-fp^^Tr'"! ^ r - / v p ' ' ' - i - p v

x=6-a;^=2plnf /~AEIL^ / Z I E I E Z ) _

A '^ \[X l+p'^[/ l + p 2 /

gaat over in; 2 ( 6 — a j

, . 2 ( 6 — a ; . / . / _ p 2 x \ J . V I + P ^ — P ' ï + / V — t

x-}-]y=—^ —i-arc sin f / — ^ — - H—in ^ ^ v

^ ' ' n y \ / l + p ^ j - ^ T t ^ V l + P ^ - p ' t - j V - x n V \ [ / i + p 2 ^ [ / i 4 - p 2 ; ^ + — . ƒ . arc tg n '' ° 1/ l+pa_p2ï . = 0; - ^ = 2 p l n ( / : i l P ! ^ + yi+P''-p''x\ - f 2 a r c t g | / . p - p ^ = ^ ; - o o ^ T ^ 0 (IIL 11)

In (111,8) t.m. (111,11) zijn alle uitdrukkingen reëel. Deze 4

vergelijkingen geven voor elk der 4 gebieden I t.m. I V het ver-band tusschen de coördinaten x en y en den parameter T.

De integratie van (111,6) levert:

w = <p-\-jrp = B\n {x — \) + B'. ( i n , 12)

Voor de f-as is

1^ =: 0; = 00 ^ T ^ -f- 1. en u; = 9> = 5 In (1 — T) ,-t- j 71 ö + B'. Geven we in overeenstemming met het polygoon in het z-vlak

aan de rechte evenwijdig met de f-as de potentiaal U, dan is voor die rechte:

V = t/; -f- 1 ^ T ^ -f 00, en ly = <p + jy> = B\n (x — 1) - f - B ' . Kiezen we T = O voor <p^ip = 0, dan worden de constanten B

en B' bepaald door:

/•7TB-|-B' = 0 e n

B' = jU

Hieruit volgt: B=— ~ enB' — jU TT

Dus: « ; z = ; a — — l n ( T — 1 ) (IH, 13)

71

De stroomingsfunctie cp is een directe maat voor de lading o p de oppervlakken (lijnen) in het w-vlak en tevens, via den para-meter X, voor de lading op de oppervlakken (lijnen) I t.m. IV i a ons oorspronkelijke probleem in het z-vlak. In ons twee-dimen-sionale probleem geeft cp de lading per lengte-eenheid loodrecht op het vlak van de teekening. W i j gaan deze ladingen berekenen van de diverse gebieden I t.m. I V afzonderlijk:

I. 0 ^ T ^ - | - l ; w = ( p 4 - ; > = / l / — — l n ( t — 1) =

71

In (1 — T ) , dus y = 0; <p = In (1 — T)

71 n

De lading op / vanaf een willekeurig punt tot B (T = 0) is:

| Q , | = e „ . j - ^ l n ( l - O ) - — I n ( 1 — T ) { = fi„.—.In-r-^.

( 7 1 71 ) 71 . 1 T

(in, 14)

IL - f - l ^ T ^ i ^ . « . = 9, + y > = / ü _ - ^ l n ( T - l ) :

dus xp =z U', q> 7=. In ( t — 1 ) .

De lading op II vanaf een willekeurig punt tot JB ( TE = ~— ) is:

= e . . ^ . l n ^ p 2 ( T — 1 ) ^ . ( I I L 1 5 )

1 -t- D2

III. H ^C^E— ^ X ^ + oo: w ~ cp + j 'ip =

p^

= /• i / —- — In (t — 1); dus 9. = — — In (T — 1), V = y .

71 71

De lading op III vanaf een willekeurig punt tot E is: I Qm I = Co . j In (T — 1) -In ^]l —

(-^'"'' " Tt ' " l p^

= e„. — . l n ^ p 2 ( T — 1 ) ^ ( n L l 6 )

71

IV. —oo^x^ 0; w = <p-\-jw — jU— — In (T — 1) =

71

= In (1 — T), dus tp = In (1 — T ), y = 0.

De lading op IV vanaf een willekeurig punt tot B ( T r= 0) is: | Q , v | = f i o . S — I n ( 1 — T ) _ i ^ l n ( l — 0 ) { = e < , — I n ( l - t ) .

f TT 71 ) 71

(111,17) In principe is hiermee het probleem opgelost, aangezien de ladingen en de coördinaten alle als functie van T bekend zijn. Om tot handelbare resultaten te geraken is het wenschelijk de ladingen als functie der coördinaten rechtstreeks te kennen, dus i te elimi-neeren. In het algemeen is dit niet mogelijk, zooals uit den vorm

der uitdrukkingen (III, 8) -=- ( n i , 11) en (III, 14) -H (IIL 17) blijkt. W e l gaat dit in zeer goede benadering voor de practisch belangrijkste gevallen. Daartoe beschouwen wij weer achtereen-volgens de 4 gebieden:

I. W i j zullen T elimineeren uit de ladingsvergelijking I Qi I = Co. — In en de coördinatenvergelijking:

71 1 — T

—.- = 2 p are sin / —^^—- + In - — • —

A '^ 1 / l - ^ p 2 ^ V I + P ' — P ' ^ — V ^

Dit is slechts mogelijk voor T ^=» 1, hetgeen physisch wil zeggen, dat de lading Qi als functie van x is te berekenen voor groote waarden van x. Bij de berekening van de ladingsdichtheid op I (zie blz. 38 e.v.) zal blijken, dat deze waarden van x overeenkomen

met die, waarvoor de ladingsdichtheid op I practisch constant is. Tevens zal dan de practische bruikbaarheid van de formules wor-den aangetoond, aangezien de ladingsdichtheid in de spleet zeer snel naar een constante waarde gaat.

De coördinatenvergelijking gaat voor T «^ 1 over in:

nx _{2 p a r e sin [ / - j ^ , +} + 2\n Wi + P^ — P^ + l) —In (l -}- p^){l —x) I / p 2 2 71JC l n ( l _ T ) ^ 2 p a r c s i n ^ .^-^ + 2 \n-~^=^ --j-= . , 4 nx = 2 p are tg p -f In - ^ - p ^ , - -^- . ] Q, I ^ Ê, . _ . 1^2 p are tg p + In — — ^ j

I Qi I i ^ fio . - ^ | j c - ^ . (2 p are tg p -h In y ^ ) ( ("I. I»)

II. —T- = 2 p are sin / -~-,—- -I- In -^^-=1 • . —: — Zl ^ V 1 + p2 ^ V T — \ / l + P^ — P ' ï

r=. 2 p are sin _{' ° 1/ 1 + p2 ï _ 1 _ p2 + pa ï} • 1 y P ' ^ "^ ' " ( V T -f- \ / 1 + P ' — P " t)''

| Q , i | = e , . . - ^ . I n - { p 2 (T — 1 ) ^ .

71

Eliminatie van T is, evenals bij I, mogelijk voor T «» 1: ^ ^ 2 p a r c t g p - | - 2 1n2 —In (1 -f p2) — I n (T — 1)

Na uitwerking volgt hieruit voor Qii:

|Q.,| ^e..-^j «-v(2e'"'^^P + ' ° T ^ ) i - •'"•"'

"•• "i=^'""(l/l^.+l/^^^f^'

W a a r bij I en II het gebied van constante ladingsdichtheid (homogeen veld) met x =^^ 1 overeenkomt, geldt bij III en IV voor practisch constante ladingsdichtheid |T| > > 1. Dan is tevens eli-minatie van T mogelijk:

Voor T > > 1: ny ^ A '^ plnx \Qm 2 p In (2 \ X Y ^ ) — 2 are tg p -|- 71 4p2 ny _{^-^ 2 are tg p — n}

Eo.— (In p2 -(- In T ) . Substitutie van In T:

|Q„,|-...^.J2-4(f.,c.gi+tay^)j (.11,20)

Aangezien dz configuratie symmetrisch is voor p = 1, is het duidelijk dat |Q,i| in |Qni| overgaat bij vervanging van p d o o r - e n x door — .

p 2 T

+

IV. J=2p^n[[/-^^^[/^^^^,

2 p l n ( 2 [ /

Qiv I = «o. - ^ . - ( ^ — 2 p In 2 — p In , , „ 2 are

%4-I Qi %4-I gaat in | Qiv | over bij vervanging van p door — en jc door —.

P P

zooals uit dè symmetrie voor p 1= 1 volgt. W a a r alleen de onder-linge capaciteit wordt beschouwd, moet | Qi | -f | Qiv | = | Qii | - f I Qni I zijn, zooals ook uit de gevonden uitdrukkingen (III, 18) •— ( i n , 21) blijkt. •i; ^ ï-'. i>

•ah

m

Voordat wij nu overgaan tot de berekening van de capaciteit, moeten wij nagaan, tot welk deel der electroden wij ons beperken. Het is immers duidelijk, dat bij oneindig lange electroden de capa-citeit ook oneindig zou zijn. Het ligt voor de hand slechts dat deel van het qi.s.-veld tie beschouwen, dat bijdraagt tot de afsluit-capaciteit, en het s.q.s.-veld, dat de verdeelde capaciteit tusschen de twee geleiders bij de s.q.s-kringen vormt, buiten beschouwing te laten. Dit s.q.s.-veld komt in ons electrostatische probleem over-een met het practisch homogene veld, dat radiaal tusschen de twee cylinders op grooteren afstand van de spleet heerscht. Dit geldt voor den pijpkring. Voor wij dit nader preciseeren en tevens de situatie bij den dooskring beschouwen, moeten wij dus eerst

na-gaan, op welken afstand van de hoekpunten het veld vrijwel homo-geen, dus de ladingsdichtheid practisch constant is.

Berekening van de ladingsdichthcid q per lengte-eenheid lood-recht op het vlak van de teekening:

Uit het voorgaande volgt voor de ladingsdichtheid: Voor I en II: ! q I = Co , - = «o -r" • -j—

dx dt dx

yoormenW:\q\ = eo^ = eo^ . # -dy dx -dy

, U . . . . dep ^ u \

I. 93= — .— . I n 1 — T ) ; ~ p - r = H . - .

71 dx 71 1 T

De transformatievergelijking voor het z-vlak was:

dx~ T « ' . ( l — T )

, dz___A y \ + p^ — p^x __^ , . dy

" di~ 71 ' p( 1 — T) V^ ~ dx ^ dt '

In dit gebied is O ^ T ^ ^- 1, dus , is positief reëel.

dx dt dx • l 9 I 71 ~ A ' = eo

PÜ

VJ +

7=="

u

_{Vi +}

(IIL 22)

Voor T = O is I qi I = 0; voor T =• -f 1 is [ qi | = £„ . - r = constant.

II. ^ = . _ l ^ I n ( T _ l ) ; ^ =

7r dx n ' T — 1

dz . ,. ,. f .. , . I'^^i ^ \ / l + P " — P ' ' ^

—r- IS hier negatief reëel, dus - ^ == — . ; — - ^ dx ^ I C/T| 71 p ( i _ ï ) V T

I "

V^

A • V I + p2 — p2 T

Voor T = -f 1 is I qn I = fio . - r ; voor T

(in, 23)

1 +

P ' _

v^

(in, 24)

p2 P ^ = constant. IW ^ 1 / 1 . dep , U 1 IV. (pz= In (1 — T ) ; - y - = : H . 71 dt 71 1 X Él— -^y ^ — _ £ [ y / l -f p2 — p2 T dl ~-' dx' dx' ^ p(l — T ) V » 1 dep dx qrvr = Co . — i . - - - = fio . dt dy

u

^

VI + p^ — p^ T

(in, 25)

Voor T = O is I qiv I = 0; voor T = — oo is | qiv | = £« . — . —r = P

= constant. Stellen we Co • —r = qo = de ladingsdichtheid in de spleet bij het homogene deel van het vefd, dan is resumeerend:

V^

Uo

_V\+,>

V'r

V-r

I i 1

I • i

11 '*

Als voorbeeld is in Fig. Ill, 4 weergegeven functie van de coördinaten voor p = 1 en p =: 10.

-5L qo en

qiv _als

Fig. Ill, 4. Het verloop van de ladingsdichtheden q^ en q^y voor p = 1 en p = 10 Buitenwand aanwezig.

Uit de figuur blijkt, dat voor deze tamelijk extreme waarden van p de ladingsdichtheden |qi| en jqnj, en dus het veld in de spleet, op een afstand Zl van den rand reeds practisch constant zijn.

Evenzoo is het veld tusschen de cylindermantels vrijwel constant op een afstand p zl = 6 — a van den rand. Mathematisch houdt dit in, dat de benaderingsformules voor |Qi| en jQnj voor de meest uiteenloopende waarden van p kunnen worden gebruikt voor X > b — a + zl, en die voor | Qm | en f Qiv | voor y > b — a

(Formules (III, 18) -h (III. 2 1 ) ) , Daarmede is de practische bruik-baarheid van die uitdrukkingen aangetoond.

Berekening van de capaciteit.

In overeenstemming met de twee s.q.s.-gevallen onderscheiden wij de pijpcapaciteit en de dooscapaciteit. Om na te gaan, door welke

ladingen deze capaciteiten gevormd worden, bezien we Fig. Ill, 5, die het globale veldverloop aangeeft voor een willekeurige waar-de van p. W e beschouwen nu het drie-dimensionale probleem, waarbij wij ons moeten beperken tot zeer kleine waarden van Z l ( z l < < a ) :

Fig. Ill, 5. Berekening van de pijpcapaciteit.

Hierin komt de ruimte ABCDEF overeen met die in Fig. Ill, 2, d.w.z. TC '^ï' TD *** 1 en j TA j ==*^ | ^F | ' ^ oo. Het veld bij C en D is

practisch homogeen, evenals dat bij A en JF, terwijl het veld bij A

en F p X zoo zwak is als dat bij C en D. AB «^ EP ^^^ b — a; ED^A.BC^b — a + A. '

Aansluitende op hetgeen wij op blz. 38 hebben gezegd, kan de capaciteit nu eenvoudig worden aangegeven. W e bepalen ons eerst tot de pijpcapaciteit Cp:

W i j nemen aan, dat slechts het spreidingsveld uitgaande van B C bijdraagt tot de vergrooting van de capaciteit C, die gevormd wordt door de homogene ladingen op de twee cylindereindvlakken

EH en E'G. Alle van BC uitgaande krachtlijnen treffen den

binnen-cylinder op ED of EF, terwijl de van BA uitgaande krachtlijnen per definitie worden geacht bij te dragen tot de verdeelde capa-citeit tusschen de twee cylinders en niet tot de capacapa-citeit Cp. Deze aanname lijkt tamelijk willekeurig, doch zal blijken goede

resul-taten te geven. Stel verder:

CBC = de capaciteit gevormd door de lading Qi op BC;

C^ = de capaciteit gevormd door de homogene ladingen op de

twee cirkalvormige platen CG en DH met straal a — zl;

C = de capaciteit van de twee cirkelvormige platen E'G en EH met straal a, indien er geen spreidingsveld aanwezig zou zijn.

waarin:

D

„ 2 7ia ( z l / „ , 4 \>

CBo = eo.-^-^^x--[2parc.tgp + lny-^y^ =

= e „ . - - J p z l - I - z l - - ( 2 p are tg p + In j - p ^ ) ; = = e o . 2 7 i a . J p - I - l _ i - ( 2 p a r c t g p + In y x ^ ) ! ^^'^ I " . 18) _ _ 7t(a — z l ) 2 ^ i a ' C = Eo . —.-A ,^^ ^ e , , 2 7 T a . j p + l - - ^ ( 2 p are tg p -|- In y ^ ) j + BO i2

Cv_

C P 2 z l j p - y 2 p a r c t g p + I n 3 - ^ ){

^ - ^ 1 -f — 1 "^ L±LP-Z-' = 1 + Kp(Ul 26) C a

Deze uitdrukking is te vereenvoudigen door reeks-ontwikkeling naar p : p - l ( 2 p a r c t g p - f - l n - j - ^ ) = = p — M f 2 p are tg p + In 4 — 2 In p — In (1 + - ^ j (

_ 1 , J L4- ^_

-!<'+'" f)

Deze benadering geeft voor p = 2 : 5 % fout. p = 3 : 1,3 % fout. p = 4 : 0,6 % fout.

Voor alle practisch voorkomende gevallen geldt dus volgens deze afleiding:

Cp , . „ _ . . 4zl / , . . 6 — a

'C'

, + ^ , . , + 14(.+ , „ - « )

§ III, 3. Berekening van de capaciteit onder weglating van den

buitencylinder.

Om te onderzoeken, welke fouten er worden gemaakt, indien een vereenvoudiging in de configuratie wordt aangebracht,

rekenen wij tenslotte in het kort het geval door, waarbij de buiten-cylinder wordt weggedacht en de afsluitplaat loodrecht op de as oneindig groot wordt verondersteld.

Het zal blijken, dat in dit geval de capaciteitswaarde slechts weinig afwijkt van de in § III, 2 gevonden waarde, maar dat de berekening van den invloed van het spreidingsveld op de

zelfin-ductie (hoofdstuk I V ) aanzienlijk eenvoudiger kan verloopen. Het eerste is onmiddellijk duidelijk: bij kleine zl blijft het sprei-dingsveld beperkt tot de directe omgeving van de spleet en doet dus de al dan niet aanwezigheid van den buitenwand weinig ter zake. Op het tweede punt zullen wij bij het begin van hoofd-stuk I V terugkomen.

De opstelling denken wij ons dus nu als volgt:

E

X — - •

• y - O

X - 1 P C T - 0

Fig. Ill, 6. Het polygoon in het z-vlak, zonder buitenwand.

Het probleem denken wij ons eerstt weer twee-dimensionaal. W i j nemen aan, dat AB de potentiaal O, en CDE de potentiaal U heeft. Verder stellen wij voor de transformatie naar het T-vlak: T = — co voor X = — oo (punt A ) , T = O voor jc =: -|- oo (punt B en C ) en T = -|- 1 voor jc = O (punt D ) . Het punt D heeft de coördinaten jc = O, y = O en is dus de oorsprong in het z-vlak.

Het polygoon in dit vlak wordt begrensd door de rechten AB,

CD, DE en een kwartcirkel EA met straal oneindig. De inwendige 3?!

hoeken zijn nul in B en - x - in D .

De transformatievergelijking wordt dan:

^ = A ^^^^^-=-^ . (in,28)

dx X

Het diagram in het w-vlak bestaat uit 2 rechten evenwijdig aan de reëele as, waarbij de inwendige hoek nul is voor de punten G en

H, waar we T = O stellen (Fig. Ill, 7), Daarbij heeft PG de

poten-tiaal O en JH dt potenpoten-tiaal U. 3 F

"^ » "

De transformatievergelijking is hier: — j - == — . (HL 29) Integratie levert: w=^(p-^jy>^^B\nx-\-B.

Op F G is — 00 ^ T ^ 0; op ƒƒƒ: O ^ T ^ + oo.

Kiezen we het punt q? = v' = O bij T = — 1, dan is voor HJ:

tp = U, dus B' = jU.

U

Voor F G is w = B In (— T) + y 71 B - f B ' = q?, dus B = — — • In het algemeen geldt dus na invoering van deze waarden van B e n B ' :

w = cp-\-jxp = jU — —\m ( i n , 30)

De integratie van (III, 28) levert:

z = X -\- jy = A . (2 V ^ — 1 — 2 are tg V^ — 1).

waarbij de in;tegratieconstante nul is, aangezien T =1 -|- I voor

X =^ y ^ O is. Analoog met de bepaling van de constante B vindt

men voor A de waarde / —, zoodat algemeen geldt:

71

2zl

z~x + jy — j Wx—l — arctgVï—1). (HL 31)

n

Vervolgens zoeken wij naar de grootte van de ladingen op de gebieden I, II en III (Fig. 111,6).

Aangezien echter de lading Q , op I gelijk en tegengesteld is aan de som van de ladingen op II en III, volstaan wij met de bereke-ning van |Qn| en |Qiii| als functie van de coördinaten:

II. O "^ X '^ -\- \; w ^ ep -\- j \p ^^ jU — — In x, dus %p = U;

71

q> = I n T.

71

De lading | Qn | van een willekeurig punt P af tot D (T — 1) is: 1 Qn 1 = Co . ( — In 1 In T ) = Co . — . In T.

\ 71 71 / n

Voor DP > > zl is Tp ^^^ O en dan is T weer te elimineeren uit de ladings- en de coördinatenvergelijking, want dan is voor de

X -\- jy = X = j -(jy/ï — T — are tg j \/l — T) = 71

71 \ 1 _ V I — T ^ x ^ - ( 2 In 2 — I n T - - 2 ) .

7T

Eliminatie van In T levert: | Qn 1 «^ «o .-r-.ifjf-l (1 — In 2)f

(in, 32)

III. 1+ 1 ^ T ^ -f 00; IV = w -{- jxp — jU — — In T, dus:

71

q) =. ]nx; %p =: U.

71

De lading | Qm | van een willekeurig punt! Q af tot D (T = 1) isr

I Qm I = £„ . f— In T — - ^ In 1 ) = e. . — . In T.

\ TT 71 1 71

Voor DQ > > zl is TQ > > 1 en is ehminatie van T ook weer mogelijJ: uit de ladings- en coördinatznvergelijking. De laatste gfoat dan over in:

x-^jy = jy — 2j-. {\/x — 1 — are tg V^ — 1). 2zl , - (nyy

y^

—

V^;

Vervolgens gaan we het verloop van de ladingsdichtheid langs I en III na om een indruk van het verloop van de krachtlijnen tusschen I en III te krijgen.

I. z =: X + ƒ•(/ ^ 2 ƒ — {\/j—1 — are tg V * — ^ ) ; — oo ^ T ^ 0.

71

A { , V I — ï + 1

jc = - ( In " ' ' • ' + ' _ 2 V I — T V

U •IT ^ W = qi + ] xp = ]U — • TT (p = — In (— T) ; w UT O n , dep dep dx , , . . .

Qi = Êo "T" = Co -;— . - 7 - . Hierin is:

dx dx dx In (— T ) ; dus: dq> U dx ~ nx ' dz _ .A V^ — l _dx dx ~~ •' Jl ' X dx

1 1 u \

dx

dx

~

kol

., waarin !qu| de constante

ladings-^ • s / \ — x ladings-^ \ — x

dichtheid ver in de spleet is.

Voor T = O fs I qi I = I q,, |, voor T = — oo is | qi 1 = 0. 1

Substitueert men —

I q»

dan krijgt men:

V I -

i{

Si

+ 1

5l

Deze uitdrukking is te vereenvoudigen voor T < < 0: . - ^ ( i n l - 2 Tl

31

(in. 34)

III. Voor T > > 1 gold y «s V^ — 1: + 1 ^ T ^ + •»:

71

<j5 = I n I . 7r <7iii _{Eo —r- = Eo -r— . -i— . Hierin is:} dep dep dt j , . . .

dy " dT ' dy ir Itj: i

¥'

I:,

k

1'^ li

d^^_U_ dl nx dx n ' I qm I ' ^ Êo .

A \/x —

l. ffl — ?!.

1 k»!

Voor T = -f 1 is I qm | = oo; voor T = -|- oo is | qm | = 0.

— in de coördinatenvergelijking geeft: V T — 1

(in,

35)

Bij benadering zijn dus zoowel de ladingsdichtheid op I als die op III omgekeerd evenredig met den afstand van het hoekpunt. Om na te gaan, op welken afstand deze vrij ruwe benadering reeds op-gaat, is in Fig. Ill, 8 het benaderde en het exacte verloop van

qo en qm qo geteekend. -10—0^8-03 ^ 0 , + 0,2 6 l

' t