Попович В. Дослідження термопружного стану контактуючих термочутливих півпросторів з тепловиділеннями на межі дотику / В. Попович, О. Вовк // Вісник ТНТУ — Тернопіль : ТНТУ, 2014. — Том 74. — № 2. — С. 38-47. — (механіка та матеріалознавство).
УДК 539.3
В
. Попович, докт. техн. наук; О. Вовк, канд. фіз.-мат. наук
Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я.С. Підстригача НАН України
ДОСЛІДЖЕННЯ
ТЕРМОПРУЖНОГО СТАНУ КОНТАКТУЮЧИХ
ТЕРМОЧУТЛИВИХ
ПІВПРОСТОРІВ З ТЕПЛОВИДІЛЕННЯМИ НА
МЕЖІ
ДОТИКУ
Резюме. Побудовано розв’язок квазістатичної задачі термопружності для двох контактуючих термочутливих півпросторів з миттєвими або постійними тепловиділеннями на межі дотику та досліджено їх термопружний стан. Ключові слова: нелінійна задача теплопровідності, термопружний стан, термочутливі півпростори, тепловиділення, метод лінеаризувальних параметрів, аналітично-числова методика.V. Popovych, O. Vovk
RESEARCH OF THERMOELASTIC STATE OF THE
CONTACTING THERMOSENSITIVE HALF-SPACES WITH HEAT
RELEASE
ON THE EDGE TOUCHSummary. Modern scientific-technological development in determination of the stress-strain state of structural elements imposes increased demands to their mathematical models in order to represent more completely real physical processes. This, in turn, anticipates accounting of such important factors as thermosensitivity of materials, complex heat exchange, presence of internal heat sources, power loads, contact interaction, etc. When neglecting mechanical energy transformation into heat energy we arrive at the solution of the quasi-static uncoupled thermoelasticity problem, which is divided into separate problems: determination of the temperature field of the body and determination of its thermoelastic state caused by this field and other possible power factors. Complexity of such models lies in the necessity to solve nonlinear boundary- value problems of mathematical physics and boundary-value problems for the systems of differential equations with variable coefficients. Beside numerical methods, analytical-numerical approaches are widely used to solve such class of problems. They make it possible to verify the reliability of purely numerical solutions and to widen the possibilities of engineering practice as to choice of efficient and available means of solution actual problems.
One of such approach, based on utilization of the linearizing parameters method, which was widely approved on non-stationary heat conduction problems for thermosensitive bodies of simple geometric shape under complex heat exchange with the surroundings, was approved as to solution of the heat conduction problems for contacting thermosensitive bodies for heat sources acting on the contact boundary. The solution of quasi-static thermoelasticity problem for two contacting half-spaces, made of zirconium oxide and titanium alloy with instant or constant heat release on the contact boundary was constructed. Their thermoelastic state was studied.
Key words: nonlinear heat conduction problem, thermoelastic state, thermosensitive half-space, heat release, linearizing parameters method, analytic-numerical method.
(2) ( ) 6, 2(1 3, 016( )) t t T Tp λ = + − , cv(2)( )t = 522, 701(1 0.525(+ T−Tp) 1.33(− T −Tp)2+ 3 1,128(T Tp) ) + − , αt(2)( )t =8,856 10 (1 3, 34(⋅ −6 + T−Tp) 0, 37(+ T−Tp) )2 , ρ ≈4420, (2) ( ) E t =122, 68(1 0, 000507 (− T −Tp)), ν( 2)( )t = 0, 2984(1 0,118(+ T −Tp). За відлікову t0 брали максимальну температуру з проміжку зміни характеристик 1100K, а початкову tp вважали рівною 300 K. Усі обчислення проведені для безрозмірних величин. Результати досліджень за миттєво діючого джерела тепла наведені на рис.1, 2, за постійно діючого – на рис.3, 4. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 2 4 T z 1 3 а) -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 1 2 3 4 z σ б) Рисунок 1. Розподіли температури (а) та напружень (б) в півпросторах за дії миттєвого джерела тепла при Ki=0.35 та Ki=0.25
Figure 1. Themperature (а) and stress (б) distributions in the half-spaces under the action of instant
heat source for Ki=0.35 and Ki=0.25
а) б)
Рисунок 2. Зміна температури (а) та напружень (б) з часом у фіксованих точках півпросторів
за дії миттєвого джерела тепла різної потужності
Figure 2. Temperature (a) and stress (b) change with time at fixed points of half-spaces
for instant heat source of different power
На рис.3 зображені графіки зміни температури (а) та напружень (б) за постійно діючого джерела тепла при Ki=0.35 залежно від координати z в різні моменти часу, зокрема, коли Fo=0.1 та Fo=1. Графіки на рис. 4 ілюструють зміну з часом температури (а) та напружень (б) в точках z= ±0.01 та z= ±0.1 при Ki =0.35 та 1 Ki= , причому суцільна лінія відповідає від’ємним, а штрихова – додатним значенням координати. 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Fo=0.1 Fo=1 T Z -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Fo=0.1 Fo=1 σ z а) б) Рисунок 3. Розподіли температури (а) та напружень (б) в півпросторах за постійно діючого джерела тепла при Ki=0.35
Figure 3. Themperature (а) and stress (б) distributions in the half-spaces for constant
heat source for Ki=0.35
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 ,0 1 0 ,1 0 ,1 9 0 ,2 8 0 ,3 7 0 ,4 6 0 ,5 5 0 ,6 4 0 ,7 3 0 ,8 2 0 ,9 1 1 Fo T Ki=1 Ki=0.35 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,01 0,1 0,19 0,28 0,37 0,46 0,55 0,64 0,73 0,82 0,91 1 Ki=0,35 Ki=1 σ Fo а) б) Рисунок 4. Зміна температури (а) та напружень (б) з часом у фіксованих точках півпросторів за постійно діячого джерела тепла при Ki=0.35 та Ki=1
Figure 4. Temperature (a) and stress (b) change with time at fixed points of half-spaces
for constant heat source for Ki=0.35and Ki=1.
Conclusions. On the examples of heat conduction problems for contacting thermosensitive half-spaces at the presence of instantly or constantly acting heat sources on the contact boundary the linearizing parameters method was approved to construct solution to nonstationary heat conduction problems of contacting thermosensitive bodyes. The solution to corresponding quasi-static thermoelasticity problems was conctructed as well.
On the basis of solutions obtained the study of temperature field and thermoelastic state of thermosensitive half-spaces, made of zirconium oxide and titanium alloy for heal sources of different power, acting instantly or constantly was carried out.
In future we are to use the results obtained to find temperature fields and thermoelastic states caused by them for thermosensitive half-spaces without restraints on the nature of change of thermal characteristics from temperature.
Список використаної літератури
1. Моделювання та оптимізація в термомеханіці електропровідних неоднорідних тіл; за заг. ред.
Я.Й. Бурака, Р.М. Кушніра. Т.3: Термопружність термочутливих тіл [Текст] / Р.М. Кушнір, В.С. Попович. – Львів: Сполом, 2009. – 412 с.
2. Abouelregala Ahmed E. Fractional Order Generalized Thermo-Piezoelectric Semi-Infinite Medium with Temperature-Dependent Properties Subjected to a Ramp-Type Heating [Текст] / Ahmed E. Abouelregala // Journal of Thermal Stresses, Volume 34, Issue 11, 2011. –Р.1139–1155.
3. Kanoriaa M. & Ghoshb M. K. Study of Dynamic Response in a Functionally Graded Spherically Isotropic Hollow Sphere with Temperature Dependent Elastic Parameters [Текст] / M. Kanoriaa & M.K. Ghoshb // Journal of Thermal Stresses, Volume 33, Issue 5, 2010. – Р.459–484.
4. Hedayati F. An Analytical Study on a Model Describing Heat Conduction in Rectangular Radial Fin with Temperature-Dependent Thermal Conductivity International [Текст] / F.Hedayati, D.D.Ganji, S.M. Hamidi and A. Malvandi // Journal of Thermophysics. V. 33, Number 6 (2012), 1042-1054, DOI: 10.1007/s10765-012-1222-0.
5. Seung-Hwan Yu Effect of radiation in aradialheatsinkundernaturalconvection International [Текст] / Yu Seung-Hwan, Jang Daeseok, Lee Kwan-Soo // Journal of Heat and Mass Transfer, Volume 55, Issues 1– 3, 2012. – P.505–509.
6. Philipona R. Solar and thermal radiation profiles and radiative forcing measured through the atmosphere [Текст] / R.Philipona, A.Kräuchi, E.Brocard // Geophysical Research Letters, VOL. 39, L13806, 6 PP., 2012, doi:10.1029/2012GL052087.
7. Попович, В.С. О решении задач теплопроводности термочувствительных тел, нагреваемых путем
конвективного теплообмена [Текст] / В.С. Попович // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1988. – Вып.
28. – С.83–86.
8. Harmatij H. Quasi-Static Problem of Thermoelasticity for Thermosensitive Infinite Cirkular Cylinder of Complex Heat Exchange [Текст] / Halyna Harmatij, Marta Krol, Vasyl Popovycz // Advances in Pure Mathematics. Vol.3. No.4. 2013. – Р.430–437.
9. Попович, В.С. Температурне поле скінченого термочутливого циліндра за конвективного теплообміну з середовищами змінних температур [Текст] / В. Попович, Н. Заводовська // Вісник ТНТУ). – 2013. – № 4. – С.252–260. 10.Попович, В.С. Математичне моделювання та визначення термопружного стану тонкої смуги за складного теплообміну [Текст] / В.С. Попович, В.В. Янішевський // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – Дніпропетровськ, 2013. 11.Попович, В.С. Метод лінеаризувальних параметрів у задачах термопружності термочутливих тонкостінних елементів конструкцій [Текст] / В.С. Попович, В.В. Янішевський // Прикл. проблеми мех. і мат. – 2010. – Вип. 8. – С. 152–161. 12.Диткин, В.А. Справочник по операционному исчислению [Текст] / В.А. Диткин, А.П.Прудников. – М.: Высш. шк., 1965. – 466 с.
13.Tanigawa, Y. Transient heat conduction and thermal stress problems of a nonhomogeneous plate with temperature-dependent material properties [Текст] / Y. Tanigawa, T. Akai, R. Kawamura and N. Oka // J. Thermal Stresses. – 1996. – Vol. 19, Issue 1. – P.77–102.
