FATIGUE FRACTURE OF THIN-WALLED STRUCTURAL ELEMENTS UNDER BIAXIAL LOADING

ВТОМНЕ РУЙНУВАННЯ ТОНКОСТІННИХ ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ ПРИ ДВОВІСНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

О. Є. Андрейків, М. Б. Кіт

FATIGUE FRACTURE OF THIN-WALLED STRUCTURAL ELEMENTS UNDER BIAXIAL LOADING

O. E. Andreykiv, M. B. Kit

Львівський національний університет імені Івана Франка, Україна

Abstract. An energy approach to evaluation of the subcritical fatigue crack growth period under biaxial tension of a plate with an initially rectilinear crack has been proposed. The influence of the change of such external loading parameters as: an angle between the loading axes, difference in amplitudes and frequencies, differences in the beginning of cycles (shear by please), difference in loading types (one-long-term static loading, the other – cyclic loading) has been investigated.

Визначенню залишкової довговічності тонкостінних елементів конструкцій з тріщинами присвячено багато праць [1, 2]. Однак, більшість з них відноситься до випадків одновісного розтягу. Проте в експериментальній практиці часто зустрічаються двох- або багатовісне навантаження різної частоти. В даній роботі зроблена спроба узагальнити розроблений [3] раніше авторами енергетичний підхід на випадок двоосьового навантаження.

Постановка задачі і метод її розв’язання. Розглянемо пластину, яка послаблена прямолінійною тріщиною початкової довжини

2l₀

(рис. 1) і розтягується у нескінченно віддалених точках рівномірно розподіленими циклічними зусиллями p і q,

( ^t )

b a

p =

₁

+

₁

sin ω

₁

⋅ , q = a

₂

+ b

₂

sin ( ω

₂

⋅ t + β ) (1)

Тут α - кут між напрямками дії зусиль p і q; a

₁

, a

₂

- відповідно середні значення p і q за цикл; b

₁

,b

₂

- відповідно амплітуди зміни p і q за цикл; ω

₁

, ω

₂

- частоти зміни відповідно p і q за цикл; β - відмінність у початку циклів зміни p і q (зсув по фазі).

Вважається, що зусилля р направлені перпендикулярно до лінії розміщення тріщини.

Задача полягає у визначенні такого числа N = N

_g

циклів навантаження, по досягненню якого тріщина досягне критичної довжини і пластина зруйнується.

Рис. 1. Схема двовісного розтягу пластини з прямолінійною тріщиною.

Для реалізації такої задачі застосуємо відомий [3] енергетичний підхід, який зведе дану задачу до розв’язку наступної системи диференціальних рівнянь:

t c

W

c

dN dl

γ γ −

= ,  = 0



 





= −

∂

∂

=t

t c

W

c θ

γ

θ

γ

θ ⁽²⁾

при початкових N = 0 , l ( ) 0 = l

0

та кінцевих умовах N = N

g

, l ( ) N

g

= l

_*

, γ

t

^{( )} l

_*

= γ

c

(3) Тут W

_c

- робота пластичних деформацій в зоні передруйнування біля вершини тріщини, які генеруються самим тілом [3]; γ

_c

– густина енергії руйнування матеріалу;

γ

t

– густина дисипації енергії пластичних деформацій в зоні передруйнування за максимум навантаження; N – кількість циклів навантаження для (1) з більшим періодом T

i

циклу; T

_i

= 2 πω

_i⁻¹

^; ω

_i

- частоти зміни зусиль p і q ( i = 1 , 2 ); l

_*

- критична довжина тріщини l , по досягненню якої пройде руйнування пластини; згідно [2, 3, 4]. Ці величини будемо визначати наближено наступним чином

( ) ∫ ( )

∫ ^{= +}

=

fp

fp l

t II t I l

t t

c

x dx dx

W

0

0 0

0

τ δ σ δ δ

σ

_{θ θ}

, ( ) ( )

2

1

0  





 



 −

≈

fp t

t

l

x δ x

δ ^,

E K

fc

fc c c

2

=

= δ σ

γ ^, γ

t

= δ

Iθ

σ

0f

+ δ

IIθ

τ

0f

, (4)

2 0 2

4

_f

fp

K

I

l ⁼ σ

^θ

^,

0² 2

4

_f

fp

K

II

l ⁼ τ

^θ

^,

f I

I

E

K

0 2

2 σ δ

_θ

=

^θ

,

f II

II

E

K

0 2

2 τ δ

_θ

=

^θ

.

Тут δ

t

( ) ^x - розкриття у вершині тріщини; δ

I_θ

, δ

II_θ

- проекції δ

t

( ) ⁰ на направляючі орти полярної системи координат O

_rθ

(рис.1); σ

_t

- усереднені напруження в зоні перед руйнування; σ

_0t

, τ

_0t

- відповідні їх проекції; Е – модуль пружності; K

_I

, K

_II

- коефіцієнти інтенсивності напружень біля вершини тріщини; θ - кут напрямку поширення втомної тріщини.

На основі цього, а також відомих результатів [2, 3, 4] можемо записати

fp II I

c

l

E K E

W K  ⋅



 



 +

=

^{2 2}

24

1

_{θ θ}

, (5)

де cos 2

sin 2 2 3

cos

³

θ θ

²

θ

θ I II

I

K K

K = − ,

 

 



 − +

= 1 3 sin 2

2 sin 2

sin 2

cos

²

θ 2 θ θ θ

²

θ

θ

K K ctg

K

_{II I II}

.

Для розглядуваного випадку при старті тріщини коефіцієнти інтенсивності напружень K

_I

та K

_II

будуть визначатися [2] так

α π

π

0

+

0

⋅ cos

²

= p l q l

K

_I

, K

_II

= q π l

0

^cos α ⋅ ^sin α (6)

В загальному випадку розв‘язок такої задачі пов’язаний із значними

математичними труднощами. Але для побудови загальної теорії поширення втомних

тріщин важливим є дослідження впливу зміни окремих параметрів зовнішнього

навантаження на величину N

_g

. Тому нижче розглянемо такі конкретні випадки.

Зміна частоти. У даному випадку вважаємо, що β = 0 ^, α = ^{0 ,}

b b b a

a

₁

=

₂

=

₁

=

₂

= ^{, 0}

₁

¹

1

2

= ≤

≤ η

ω

ω .

За напрямком зусилля p i q будуть співпадати і складуть сумарне зусилля, яке буде змінюватись в часі так

( ) t = p + q = 2 b ⋅ [ 1 + sin ( 0 . 5 t ω

1

( 1 + η

1

) ) cos ( 0 . 5 t ω

1

( 1 − η

1

) ) ]

F (7)

Так як в даному випадку тріщина буде змінюватись прямолінійно, то величину N

₁g

будуть визначати [3] наступні рівняння

2 Im 2

ax fc

c

lF K

E W dN

dl

π

= − ; N = 0 , l ( ) 0 = l

0

, N = N

_1g

, ^l ( ) ^N

^1g

^{= l}

^*

^{, l}

^*

^{= π}

⁻¹

^K

^2fc

^F

^max−2

⁽⁸⁾

Тут W

_c

визначаємо наступним чином. Для кожного значення η

₁

= 0 ; 0 , 2 ; 0 , 4 ; 0 , 6 ; 0 , 8 ; 1 будуємо залежність ^F ( ) ^t , визначаємо період і форму зміни циклу. Розбиваємо кожен цикл на n-ділянок з піками зміни ^F ( ) ^t і для кожної ділянки визначаємо F

_imax

і F

_imin

. На основі цього, а також результатів [3] визначаємо W

_c

наступним чином

( )

∑

=

−

=

ⁿ

i

i i

t

c

F F

E W l

1

4 min 2 max

2 2

24 π σ

(9) Тут F

_imax

і F

_imin

- максимальне і мінімальне значення ^F ( ) ^t для кожної ділянки з піком зміни. Тоді, інтегруючи (8) з врахуванням (9), отримаємо

 





 





 



 

−  +

−

⋅

=

0 2 *

Im 0

2

* 2

1

ln

l F l

l K l A K

N

_g ^{fc fc} _ax

π ^, ( )

¹

1

4 min max

24

2 ⁻

=





 



 −

= ∑

ⁿ

i

i i

t

F F

A π σ

(10) Для числового аналізу формули (10) задамо параметри зовнішнього навантаження, довжини початкової тріщини і характеристики матеріалу так

MPa b

m MPa K

m

l

₀

= 0 , 01 ,

_fc

= 85 ⋅ , = 1 , σ

_t

= 550

На основі цього і формули (10) на рис. 2 побудована графічна залежність N

_1g

від η

₁

(суцільна лінія). Тут також побудована (пунктирна лінія) графічна залежність

N

₁g

від η

₁

для випадку неврахування реальної форми циклу (синусоїдальна зміна

( ) ^t

F ). Як видно з рис. 2 неврахування форми циклу може привести (для деяких значень η

1

) до значних похибок при визначенні N

_1g

.

Рис. 2 Графічне порівняння залежностей ^N

1_g

( ) η

1

при врахуванні (суцільна лінія) і неврахуванні (пунктирна лінія) форми циклу.

Рис. 3 Графічна залежність N

^*_2g

від η

₂

^.

Зміна амплітуди. Для даного випадку приймаємо β = 0 ^{, кут} α = ^{0 ,}

2 2 1

1

a ; b a

b = = ^, ω

₁

= ω

₂

= ω ^, η

₂

= a

₂

a

₁⁻¹

, 0 ≤ η

₂

≤ 1 ^.

Зусилля p i q змінюються в одному напрямку і сумарне зусилля буде визначатися так

(

2

)

1 2 1

max

= 2 a + 2 a = 2 a 1 + η

F , F

_min

= 0 (11)

Звідси ^K

_Imax

= 2 ^a

₁

( 1 + η

₂

) ⋅ π ^l , K

_Imin

= 0 (12) Так як F

_max

направлена перпендикулярно лінії розміщення тріщини, то остання буде поширюватись прямолінійно і величина N

_2g

буде визначатися співвідношеннями (8).

Для числового аналізу задамо параметр зовнішнього навантаження a

₁

і початкову довжину тріщини у такому вигляді

m

l

₀

= 0 , 01 , a

₁

= 0 , 56 K

_fc

m

^−1/2

(13)

Тоді величини l

_*

і W

_c

будуть визначатися так

(

2

)

²

*

= 0 , 25 1 + η

⁻

l , ( )

2 4 2 2

3 1 2

t

c

E

W l

σ η

= + (14)

Інтегруючи рівняння (8) з врахуванням (11)-(14) для обчислення N

_2g

отримаємо формулу

( )^*

2 2 2

2g t

K

fc

N

g

N = σ

⁻

^, ( ) ( )

0 2 * 2

* 0

0 4 * 2

*

2

1 , 5 1 4 1 ln

l l l

l l

N

_g

= + η

⁻

l − − + η (15)

На основі формул (15) на рис. 3 побудована графічна залежність N

^*_2g

від η

₂

^{. Як}

видно з рис. 3 збільшення η

₂

, що відповідає збільшенню амплітуди циклу, приводить до зменшення довговічності пластини з тріщиною. Це повністю відповідає основним положенням теорії втоми.

Зсув по фазі. У даному випадку приймаємо α = 0 ^, a

1

= a

2

= b

1

= b

2

, ω

₁

= ω

₂

= ω . Тоді сумарне зусилля ^F ( ) ^t можна записати так:

(

0 1

)

1

1 sin

2 a b t

F = + ω , де

cos 2 2 ,

⁰

1

ωβ

β ₌

+

= t b

t , ⁰ ≤ β ≤ ² π (16)

Звідси F

max

= 2 a

1

( 1 + b

0

) , F

min

= 2 a

1

( 1 − b

0

) (17) Для числового аналізу задамо початкову довжину тріщини l

₀

і параметр навантаження

a

1

так l

₀

= 0 , 01 m ,

π

1

2 K

fc

a = (18)

Тоді критична довжина тріщини буде визначатися формулою

(

0

)

²

*

1

1 b

l = + . (19)

Так як α = 0 , то тріщина буде поширюватись по лінії розміщення і її кінетика описується співвідношеннями (8). При цьому W

_c

буде визначатися так

2 4 4 2

3 cos 2

t fc

c

E

K W l

σ

= ωβ (20)

Рис. 4. Графічна залежність N

^*_3g

від β ^.

Рис. 5. Графічна залежність N

^*_4g

від кута α ^.

Інтегруючи рівняння (8) з врахуванням (18)-(19), для визначення N

_3g

отримаємо формулу

* 3 2 2

3g t

K

fc

N

g

N = σ

⁻

^,

 





 



 



 



 +

− −

=

⁻

0

* 2

* 0

0

* 4

*

3

ln

cos 2 2 1

cos 094 ,

0 l

l l

l l

N

_g

β l β

(21) З допомогою формул (21) на рис. 4 побудована графічна залежність відносної.

довговічності пластини N

₃^*_g

від величини β . Як видно з цього рисунка при β = π навантаження p i q взаємно нівелюються (пластина ненавантажена) і довговічність прямує до нескінченності.

Зміна кута α . У даному випадку приймаємо у формулах (1) β = 0 ^, ω

ω

ω

1

=

2

= , a

1

= a

2

= b

1

= b

2

= g .

Тоді коефіцієнти інтенсивності напружень набудуть такого вигляду

l g

K

_Ip

= ² π , K

_IIp

= 0 , K

_Iq

= ² g ^cos

²

α π l , K

_IIq

= ² g ^cos α ^sin α π l (22)

( ^α )

π

²

Im

= K + K = 2 g l 1 + cos

K

_{ax Ip Iq}

,

α α π ^{cos sin}

Im

K K 2 g l

K

_{I ax}

=

_IIp

+

_IIq

=

Для даного випадку основна система рівнянь (2) з врахуванням (4), (5) набуде вигляду

 



 



= −

t t Ic

E

t

dN dl

σ δ σ δ

δ

0 2

3 ^{, (23)}

0

0 2

∂ =

 ∂



 





−

∂

∂

θ δ σ δ σ δ

δ δ

t t t Ic

t t

(24)

= 0

N , l ( ) 0 = l

0

, N = N

_4g

, ^l ( ) ^N

^4g

^{= l}

^*

^{, δ}

^t

^{( ) l}

^*

^σ

^t

^{= δ}

^Ic

^σ

⁰

Тут на основі робіт [2, 5]

(

^{2 2 2}

)

0

1

θ

σ

θ

δ σ

δ

Ic t t

K

fc

K

I

K

II

E − −

=

− , δ

t

= δ

I²_θ

+ δ

II²_θ

( ) 





 

 − + +

+

= +

=

₀² ₀^{2 2 2}

1

²

3

²₂

θ θ θ

θ θ

ξ σ ξ

τ σ σ

I II II

I I T f f

t

K

K K

K K ,

θ

ξ

I r

K

= K , 



 



 −

⋅ +

 

 



 +

⋅

= 1 3 sin 2

sin 2 sin 2

2 1

cos θ

²

θ θ

²

θ

II I

r

K K

K

Із аналізу рівняння (24) приходимо до висновку, що його можна звести до виду

= 0

∂

∂ θ δ

t

(25) Із рівняння (25) чисельно для різних значень α ^{( 0} ≤ α ≤ ⁹⁰

⁰

) знаходимо напрямок початкового старту тріщини θ = θ

₀

. Далі вважаємо, що тріщина буде рухатись приблизно під кутом θ = θ

₀

аж до руйнування пластини. Тоді для опису кінетики такої втомної тріщини і визначення періоду її докритичного росту рівняння (23) і (24) зведуться до такого вигляду

( ) ( )

[ ^{δ σ π σ σ α θ} ]

σ

θ α π

, 4

3

, 2

1 1 0 1 2 0

2 0

2 1 2 4 2

f l E

g E

f l g dN

dl

t

Ic

−

− −

= (26)

= 0

N , l ( ) ⁰ = l

0

^cos θ , N = N

_4g

,

( ) ^N

⁴

^l

^*

l

_g

= , ^{0 , 25} π δ σ σ

1¹

( ) α ^, θ

2 1 2 0 1

*

−

−

−

=

−

g E f

l

_{Ic t}

Тут функція ^f

1

( ) ^{α , θ} визначається так

( )

^{1 2 1 0}

(

^{2 2}

)

¹²

1

α , θ 0 , 25 π g l σ E δ

I_θ

δ

II_θ

f =

^{− − −}

+ (27)

Інтегруючи рівняння (26), для визначення періоду докритичного росту тріщини

N

₄g

отримаємо формулу

* 4 2 2 0

4g

K

fc

N

g

N = σ

⁻

^,

( ) ( ) 



 



 − −

=

^{− − − −}

0 1 *

1 1 0 1 2

* 0

0 2 *

1 4 0

2 2

* 0

4

4 , ln

cos , cos

2 3

l f l

E l g

l l f l

g

N

_g

E

_fc

π σ σ

_t

α θ

θ θ θ

α σ

π δ

σ (28)

Для чисельного аналізу задачі задамо параметри тріщини і навантаження так m

l

₀

= 0 , 01 , g = 0 , 63 K

_fc

(29)

Обчислюючи з рівняння (25) кут θ для кожного значення α і підставляючи ці значення в (28), знаходимо величини N

_{4 g}^*

враховуючи (29). На основі цього на рис. 5 побудована графічна залежність відносного значення довговічності пластини N

_{4 g}^*

від кута α між напрямками дії зусиль p і q. Як видно з цього графіка, при збільшенні кута

α довговічність пластини зростає.

Висновки

На основі раніше розробленого авторами енергетичного підходу побудована математична модель для визначення періоду докритичного росту втомної тріщини в пластині при її двовісному циклічному навантаженні.

З допомогою цієї моделі проаналізовано вплив параметрів двовісного циклічного

навантаження на період докритичного росту втомної тріщини.

Література

1. Schijve. S. Fatigue of Structures and Materials in the State of the Art – Proc. of the ECF14. – 2002 – V.III. – P.211-262.

2. Механика разрушения и прочность материалов: Спр. пос.: в 4-х т. /Под общей ред. В.В.

Панасюка. – К: Наук. думка, 1988 – 1990. Т.4: Усталость и циклическая трещиностойкость конструкционных материалов/ О. Н. Романив, С. Я. Ярема, Г. Н. Никифорчин и др. – 1990.

– 680 с.

3. Андрейків О.Є., Кіт М.Б. Визначення періоду докритичного росту тріщин в елементах конструкцій при їх двохчастотному навантаженні //Машинознавство – 2006р. №2 – С. 3-7.

4. Шата М., Терлецька З. Енергетичний підхід у механіці втомного поширення макротріщини. //Механіка руйнування і міцність конструкцій//. – Львів: Каменяр. – 1999. – В. 2. – С.141-148.

5. О.Є. Андрейків, Я.Л. Іваницький, З.О. Терлецька, М.Б. Кіт Оцінка довговічності

труби нафтопроводу з поверхневою тріщиною під двохвісним блочним

навантаженням // Фізико-хімічна механіка матеріалів – Львів, 2004, №3. – С. 103 –

108.