Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

(1)

POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa

Aerodynamika I

Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

przepłw wokół profilu RAE-2822 (M = 0.85, Re = 6.5 × 106 , α = 2◦ )

31 maja 2014

(2)

Efekty lepkie w przepływach ściśliwych

(3)

Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego

Całkowe równania ruchu dla pewnej objętości Ω ograniczonej brzegiem Γ (pominięto pole sił objętościowych):

Równanie ciągłości

∂

∂t Z

Ω

ρ dΩ + I

Γ

ρ v · n dΓ = 0 (1.1)

Równanie pędu

∂

∂t Z

Ω

ρ v dΩ + I

Γ

ρ v (v · n) dΓ = − I

Γ

p n dΓ + I

Γ

T · n dΓ (1.2)

Równanie energii całkowitej E = e +

^v₂²

∂

∂t Z

Ω

ρ E dΩ + I

Γ

ρ E v · n dΓ = I

Γ

κ ∇T · n dΓ

| {z }

przewodnictwo cieplne

− I

Γ

p v · n dΓ

| {z }

praca sił ciśnieniowych

+ I

Γ

(T · v) · n dΓ

| {z }

praca sił tarcia

+ Z

Ω

ρ ˙ q dΩ

| {z }

źrodła ciepła

(1.3)

(4)

Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego c.d.

Tensor naprężeń lepkich dla płynu Newtonowskiego:

T = µ (∇v + (∇v)

^|

) + 1 λ ∇ · v (1.4) µ – wsólczynnik lepkości dynamicznej

λ – wsólczynnik lepkości objętościowej; zgodnie z teorią Stokesa λ = −2/3 µ

Prawo Sutherlanda:

µ µ

∞

≈ _T T

∞

³2

T

∞

+ S

T + S gdzie: S = 110.4

^◦

K (1.5)

Współczynnik przewodnictwa cieplnego:

κ = µ c

p

P r (1.6)

P r – liczba Prandtla

(5)

Równania ściśliwej warstwy przyściennej

Równanie ciągłości

∂(ρu)

∂x + ∂(ρv)

∂y = 0 (1.7)

Równanie pędu ρ

u ∂u

∂x + v ∂u

∂y

= − ∂p

∂x + ∂

∂y

µ ∂u

∂y

(1.8)

∂p

∂y = 0 → p = p

e

(x) (1.9)

Równanie energii całkowitej H = h +

^U₂²

ρ

u ∂H

∂x + v ∂H

∂y

= ∂

∂y

µ u ∂u

∂y

+ ∂

∂y

κ ∂T

∂y

(1.10)

(6)

Ściśliwa warstwa przyścienna - równanie energii

Prawą stronę (1.10) można przekształcić:

∂

∂y

µ u ∂u

∂y

+ ∂

∂y

κ ∂T

∂y

= ∂

∂y

µ c

p

P r

∂T

∂y + µ u ∂u

∂y

= ∂

∂y

µ P r

∂h

∂y + µ ∂

∂y

u

²

2 = ∂

∂y

µ P r

∂H

∂y + µ

1 − 1

P r

_∂

∂y

u

²

2 (1.11)

Równanie energii można więc zapisać:

ρ

u ∂H

∂x + v ∂H

∂y

= ∂

∂y

µ P r

∂H

∂y + µ

1 − 1

P r

_∂

∂y

u

²

2 (1.12)

Gdy liczba Prandtla P r = 1:

ρ

u ∂H

∂x + v ∂H

∂y

= ∂

∂y

µ ∂H

∂y

(1.13)

(7)

Termiczna warstwa przyścienna

P r < 1 to δ

T

> δ

P r > 1 to δ

T

< δ

(8)

Ściśliwa warstwa przyścienna - całka Busemanna

Najprostszym rozwiązaniem równania energii dla warstwy przyściennej jest:

H = const (1.14)

T

w

= T

0

= T + u

²

2 c

p

(1.15)

T = T

0

− u

²

2 c

p

→

∂T

∂y

w

= 0 (1.16)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

u, ∆ T

(9)

Ściśliwa warstwa przyścienna - całka Crocco

Można zauważyć, że dla ∂p/∂x = 0 równania (1.8) i (1.13) są podobne. Jeśli więc warunki brzegowe są również podobne (T

w

= const) to rozwiązania tych równań wiąże liniowa zależność:

T

0

≡ T + u

²

2 c

p

= A u + B → T = A u + B − u

²

2 c

p

(1.17)

Wartości współczynników A i B są dobrane w zależności od warunków brzegowych.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

u, ∆ T

(10)

Laminarna warstwa przyścienna - samopodobne rozwiązania

Podobnie jak w przypadku nieściśliwym równania warstwy przyściennej można przekształcić tak aby uzyskać samopodobne rozwiązania tzn. parametry przepły- wu zależą tylko od bezwymiarowej współrzędnej η.

Bezwymiarowe współrzędne definiuje się następująco:

ξ = ρ

e

µ

e

u

e

x η = u

e

√ 2 ξ Z

y

0

ρ dy (1.18)

gdzie parametry z indeksem e odnoszą się do parametrów na zewnętrznej granicy warstwy przyściennej.

Wprowadźmy następujące funkcje:

f

⁰

= u u

e

g = H H

e

(1.19) oraz współczynnik:

C = ρµ ρ

e

µ

e

(1.20)

(11)

Laminarna warstwa przyścienna - samopodobne rozwiązania

Zakładajac zerowy gradient ciśnienia ∂p

e

/∂ξ = 0 równania Prandtla dla ściśli- wej warstwy przyściennej można przekształcić do następującej postaci (istnieje również ogólna postać dla niezerowego gradientu ciśnienia):

(C f

⁰⁰

)

⁰

+ f f

⁰⁰

= 0 h _C

P r g

⁰

i

⁰

+ f g

⁰

+ u

²_e

H

e

h

1 − 1 P r

C f

⁰

f

⁰⁰

i

⁰

= 0

(1.21)

z warunkami brzegowymi:

dla y = 0 f (0) = f

⁰

(0) = 0

g(0) = g

w

← ściana izotermiczna g

⁰

(0) = 0 ← ściana adiabatyczna dla y → ∞ f

⁰

(∞) = 1

g(∞) = 1

(1.22)

(1.23)

(12)

Laminarna ściśliwa warstwa przyścienna

a) b)

Przykładowe profile prędkości i temperatury dla płaskiej płytki (∂p/∂x = 0, P r = 0.75)

a) rozkład prędkości i temperatury dla izolowanej termicznie płytki

b) rozkład prędkości i temperatury dla ”zimnej” płytki

(13)

Laminarna ściśliwa warstwa przyścienna

Płaska płytka dla ∂p/∂x = 0

C

f

= 1.328

√ Re F

M

e

, P r, T

w

T

e

(1.24)

δ = 5 x

√ Re

x

G

M

e

, P r, T

w

T

e

(1.25)

Przykładowe wykresy C

f

i δ dla P r = 0.75

(14)

Rozkład temperatury w warstwie przyściennej

(15)

Warstwie przyścienna w przepływie naddźwiękowym

(16)

Interakcja fali uderzeniowej z warstwą przyścienną

(17)

Interakcja fali uderzeniowej z warstwą przyścienną

(18)

Lepki opływ profilu

(19)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(20)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(21)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(22)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(23)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

Zależność współczynnika oporu falowego od liczby Macha

Zależność współczynnika oporu od

liczby Macha (profil NACA-2306)

(24)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(25)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(26)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(27)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(28)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(29)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(30)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(31)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(32)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(33)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(34)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(35)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(36)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(37)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(38)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(39)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(40)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(41)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(42)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(43)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(44)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(45)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(46)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(47)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(48)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(49)

Lepki i ściśliwy opływ profilu

(50)

Profile superkrytyczne

(51)

Profile superkrytyczne

Przykładowy rozkład ciśnienia dla superkrytycznego profilu

(52)

Skuteczność klapy w przepływie transonicznym

(53)

Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Aerodynamika I

Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Efekty lepkie w przepływach ściśliwych

Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego

Całkowe równania ruchu dla pewnej objętości Ω ograniczonej brzegiem Γ (pominięto pole sił objętościowych):

Równanie ciągłości

∂

∂t Z

ρ dΩ + I

ρ v · n dΓ = 0 (1.1)

Równanie pędu

∂

∂t Z

ρ v dΩ + I

ρ v (v · n) dΓ = − I

p n dΓ + I

T · n dΓ (1.2)

Równanie energii całkowitej E = e +

∂

∂t Z

ρ E dΩ + I

ρ E v · n dΓ = I

κ ∇T · n dΓ

| {z }

− I

p v · n dΓ

| {z }

+ I

(T · v) · n dΓ

| {z }

+ Z

ρ ˙ q dΩ

| {z }

(1.3)

Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego c.d.

Tensor naprężeń lepkich dla płynu Newtonowskiego:

T = µ (∇v + (∇v)

) + 1 λ ∇ · v (1.4) µ – wsólczynnik lepkości dynamicznej

λ – wsólczynnik lepkości objętościowej; zgodnie z teorią Stokesa λ = −2/3 µ

Prawo Sutherlanda:

µ µ

≈  T T



T

+ S

T + S gdzie: S = 110.4

K (1.5)

Współczynnik przewodnictwa cieplnego:

κ = µ c

P r (1.6)

P r – liczba Prandtla

Równania ściśliwej warstwy przyściennej

Równanie ciągłości

∂(ρu)

∂x + ∂(ρv)

∂y = 0 (1.7)

Równanie pędu ρ

 u ∂u

∂x + v ∂u

∂y



= − ∂p

∂x + ∂

∂y

 µ ∂u

∂y



(1.8)

∂p

∂y = 0 → p = p

(x) (1.9)

Równanie energii całkowitej H = h +

ρ

 u ∂H

∂x + v ∂H

∂y



= ∂

∂y

≈ _T T

u ∂u

µ ∂u

u ∂H

µ u ∂u

+ ∂

κ ∂T

µ u ∂u

+ ∂

κ ∂T

µ c

µ P r

u

µ P r

1 − 1

_∂

u

u ∂H

µ P r

1 − 1

_∂

u