Różniczkować czy różnicować?
U podstaw rachunków różniczkowego i różnicowego.
Maciej Burnecki
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Dolnośląski Festiwal Nauki 2017
9 września 2019 1 / 20
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =
n
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+
– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych,
C – zbiór liczb zespolonych.
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich,
N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =
n
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+
– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych,
C – zbiór liczb zespolonych.
9 września 2019 2 / 20
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =
n
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+
– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych,
C – zbiór liczb zespolonych.
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych,
Q =
n
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+
– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych,
C – zbiór liczb zespolonych.
9 września 2019 2 / 20
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =
n
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+
– zbiór liczb wymiernych (ułamków),
R – zbiór liczb rzeczywistych, C – zbiór liczb zespolonych.
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =
n
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+
– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych,
C – zbiór liczb zespolonych.
9 września 2019 2 / 20
Zbiory liczbowe
Zbiory liczbowe
N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,
Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =
n
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+
– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych,
C – zbiór liczb zespolonych.
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
9 września 2019 3 / 20
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach,
na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas,
położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
9 września 2019 3 / 20
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej
lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
9 września 2019 3 / 20
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych
f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
9 września 2019 3 / 20
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej
pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
Przedmiot wykładu
Różniczkowanie
Może ono mieć miejsce, gdy argumentem funkcji jest zmienna o możliwych dowolnie małych różnicach, na przykład w klasycznym ujęciu czas, położenie punktu na prostej lub płaszczyźnie.
Wówczas pochodną określamy jako granicę ilorazów różnicowych f0(t0) = lim
t→0
f (t) − f (t0) t − t0
i w przypadku rzeczywistej funkcji jednej zmiennej pochodna ta jest tangensem kąta pomiędzy osią argumentów a styczną.
9 września 2019 3 / 20
Przedmiot wykładu
Ilustracja geometryczna ilorazu różnicowego
Przedmiot wykładu
Ilustracja geometryczna ilorazu różnicowego
9 września 2019 4 / 20
Przedmiot wykładu
Ilustracja geometryczna pochodnej
Przedmiot wykładu
Ilustracja geometryczna pochodnej
9 września 2019 5 / 20
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe,
jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
9 września 2019 6 / 20
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu,
mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N, Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
9 września 2019 6 / 20
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść,
a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów
(czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
9 września 2019 6 / 20
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n)
= y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
9 września 2019 6 / 20
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n) 1
= y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
9 września 2019 6 / 20
Przedmiot wykładu
Różnicowanie
W przypadku, kiedy różnice pomiędzy argumentami nie są dowolnie małe, jak w przypadku naliczania odsetek w banku co rok lub inny, ustalony okres czasu, mamy do czynienia z ciągami y (n), gdzie np. n ∈ N,
Do granicy z ilorazami różnicowymi nie możemy wówczas przejść, a pochodna zastępowana jest ilorazem różnicowym o minimalnym przyroście argumentów (czyli równym 1),
(∆y )(n) = y (n + 1) − y (n)
1 = y (n + 1) − y (n).
Przez ∆ oznaczyliśmy działający na ciągach tak zwany operator różnicowy, odpowiednik pochodnej.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu. Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
9 września 2019 7 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny.
Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu. Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego.
Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu. Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
9 września 2019 7 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ.
Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu. Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu. Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
9 września 2019 7 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu. Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu.
Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
9 września 2019 7 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu.
Próbujemy znaleźć wzór na y (n)
oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podawanie leku
Przykład
Lekarstwo zażywane jest co cztery godziny. Organizm eliminuje pewien stały ułamek p ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego okresu
czterogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.
Podejście różnicowe
Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu.
Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim
n→∞y (n).
9 września 2019 7 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem
y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ. Otrzymujemy kolejno
y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ
= (1 − p)y (n) + λ. Otrzymujemy kolejno
y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno
y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ
= (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ, y (2) = (1 − p)y (1) + λ
= (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ
= [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ,
y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ = [(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ,
. . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ
= (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ = [(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ,
. . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ
= [(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ,
. . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ,
. . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ
·1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p)
= 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to
n→∞lim(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0
oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
9 września 2019 8 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ = (1 − p)y (n) + λ.
Otrzymujemy kolejno y (1) = λ = (1 − p)0λ,
y (2) = (1 − p)y (1) + λ = (1 − p)λ + (1 − p)0λ = [(1 − p)1+ (1 − p)0]λ, y (3) = (1 − p)y (2) + λ = (1 − p)[(1 − p) + (1 − p)0]λ + λ =
[(1 − p)2+ (1 − p) + (1 − p)0]λ, . . . ,
y (n) = [(1 − p)n−1+ (1 − p)n−2+ · · · + (1 − p)0]λ · 1 − (1 − p) 1 − (1 − p) = 1 − (1 − p)n
p λ.
Ponieważ 1 − p ∈ (0, 1), to lim
n→∞(1 − p)n= 0 oraz lim
n→∞y (n) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Przykładowe dane
Jeśli p = 0, 2 oraz λ = 3 cm3,
to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) = 0, 8y (n) + 3, ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem y (n) = 1 − (0, 8)n
0, 2 · 3 cm3, a graniczną wartością jest lim
n→∞y (n) = 15 cm3.
9 września 2019 9 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Przykładowe dane
Jeśli p = 0, 2 oraz λ = 3 cm3,
to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) = 0, 8y (n) + 3, ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem y (n) = 1 − (0, 8)n
0, 2 · 3 cm3, a graniczną wartością jest lim
n→∞y (n) = 15 cm3.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Przykładowe dane
Jeśli p = 0, 2 oraz λ = 3 cm3,
to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) = 0, 8y (n) + 3,
ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem y (n) = 1 − (0, 8)n
0, 2 · 3 cm3, a graniczną wartością jest lim
n→∞y (n) = 15 cm3.
9 września 2019 9 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Przykładowe dane
Jeśli p = 0, 2 oraz λ = 3 cm3,
to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) = 0, 8y (n) + 3, ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem y (n) = 1 − (0, 8)n
0, 2 · 3 cm3,
a graniczną wartością jest lim
n→∞y (n) = 15 cm3.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Przykładowe dane
Jeśli p = 0, 2 oraz λ = 3 cm3,
to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) = 0, 8y (n) + 3, ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem y (n) = 1 − (0, 8)n
0, 2 · 3 cm3, a graniczną wartością jest lim
n→∞y (n) = 15 cm3.
9 września 2019 9 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym
y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
9 września 2019 10 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
9 września 2019 10 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t)
= −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
9 września 2019 10 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t)
+ λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ,
przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
9 września 2019 10 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
Podejście różniczkowe
Ilość lekarstwa we krwi opisywana była równaniem różnicowym y (n + 1) = y (n) − py (n) + λ,
po przekształceniu y (n + 1) − y (n) = −py (n) + λ.
Przy ciągłym argumencie czasowym, moglibyśmy empirycznie stwierdzić, że poziom lekarstwa we krwi spełnia równanie różniczkowe
y0(t) = −py (t) + λ, przy czym y (0) = 0.
Spróbujmy rozwiązać powyższe tak zwane zagadnienie początkowe.
9 września 2019 10 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
9 września 2019 11 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC ,
C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
9 września 2019 11 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ),
ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ), λ − py (t) = λe−pt,
py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
9 września 2019 11 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt,
py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt,
y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
9 września 2019 11 / 20
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p (1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
Przykład - podejścia różnicowe i różniczkowe
y0(t)
−py (t) + λ = 1
Z . . . dt
−1
p ln [λ − py (t)] = t + C .
Ponieważ y (0) = 0, to ln(λ) = −pC , C = −1 pln(λ), ln(λ − py (t)) = −pt + ln(λ),
λ − py (t) = λe−pt, py (t) = λ 1 − e−pt, y (t) = λ
p 1 − e−pt,
w porównaniu do wzoru różnicowego y (n) = 1 − (1 − p)n
p λ = λ
p(1 − (1 − p)n) .
Graniczna wielkość w obu przypadkach jest taka sama,
n→∞lim y (n) = lim
t→∞y (t) = λ p.
9 września 2019 11 / 20
