Flexibele (met water oppompbare) afsluiting van stromende wateren (Fabridam en Schulpstuw)

( F a b r i d a m en S c h u l p s t u w ) . i r . G.P. Bourgingnon aug. 1981 n r . 13 810301 I n t e r n e p u b l i c a t i e van de vakgroep Waterbouwkunde.

f a r as t h e y a r e c e r t a i n , t h e y do n o t r e f e r t o r e a l i t y .

I n h o u d b l z . 1. I n l e i d i n g 1-1 2. B u i s i n s t i l s t a a n d w a t e r 2-1 2.1. De met w a t e r g e v u l d e b u i s b e v i n d t z i c h g e h e e l onder 2-1 w ? t e r 2.2. De m.w..g. b u i s b e v i n d t z i c h g e h e e l i n den droge 2-2 2.3. S l e c h t s aan een z i j d e van de m.w.g. b u i s b e v i n d t 2-8

z i c h w a t e r

2.M-. Aan b e i d e z i j d e n van de m.w.g. b u i s b e v i n d t z i c h w a t e r , 2-12 doch met een h o o g t e v e r s c h i l

2.5. De m.w.g. b u i s b e v i n d t z i c h g e h e e l onder w a t e r , doch e r 2-20 i s een h o o g t e v e r s c h i l t u s s e n de w a t e r s p i e g e l s - a a n b e i d e z i j d e n van de b u i s 3. B u i s i n s t r o m e n d w a t e r 3-1 3.1. De m.w.g. b u i s w e r k t a l s o v e r l a a t - 3-1 4. B e l a s t i n g ( d y n a m i s c h ) door g o l v e n 4-1 - 4.1. I n l e i d i n g 4-1 4.2. G r o o t t e van de dynamische b e l a s t i n g 4-1 5. L i t e r a t u u r 5-1 6. L i j s t van g e b r u i k t e symbolen 6-1

1. Inleiding

De afsluiting en de regeling van de waterstand van een waterloop kunnen worden gerealiseerd door een flexibele slang (buis) van

in de praktijk enigszins rekbaar materiaal (kunstvezeldoek aan beide zijden voorzien van een rubberafdeklaag) te vullen met water (onder een zekere ovei"d.Puk /.

De krachtsoverdracht geschiedt niet via de landhoofden doch recht-streeks via de funderingsplaat op de bodem, een z.g. lijnbelasting. Dit is zeer gunstig en geeft bovendien een lichte constructie.

In de nu volgende beschouwing wordt uitgegaan van de veronderstelling dat het materiaal, waaruit de buiswand bestaat, niet rekbaar is, doch wel plooibaar.

Voor de bepaling van de vorm van de buis worden verschillende belas-tingstoestanden onderscheiden (in stilstaand en in stromend water), alles per eenheid van lengte van de buis (dwars op de waterloop).

Bovendien wordt ook aandacht geschonken aan de belasting door golven.

2. B u i s i n s t i l s t a a n d w a t e r

2.1. De met w a t e r g e v u l d e (m.w.g.) b u i s b e v i n d t z i c h g e h e e l onder w a t e r

De b u i s i s aan de bodem b e v e s t i g d i n p u n t A, z i e f i g u u r 1. Beschouw nu een e l e m e n t j e ds van de omtrek (wand) van de b u i s .

De d r u k v e r d e l i n g b i n n e n en b u i L e u dc f l e x i b e l e b u i s i s h y d r o s t a t i s c h . Druk aan de b i n n e n z i j d e van de buiswand t . p . v . h e t e l e m e n t j e d s : Pj_^^ = Pg(H + h - z ) , i n d i e n z de hoogte van h e t e l e m e n t j e ds boven de bodem i s ( o o r s p r o n g a s s e n s t e l s e l i n de bodem, X-as h o r i z o n t a a l en Z-as v e r t i c a a l n a a r b o v e n ) .

Druk b u i t e n z i j d e t . p . v . ds: p^^^ = p g ( h - z ) .

Beide d r u k k e n s t a a n l o o d r e c h t op de wand v a n de b u i s .

De r e s u l t e r e n d e d r u k p ^ = p^^^ - p^^^ = p g ( H + h - z ) - P g ( h - z ) = P g H i s n a a r b u i t e n g e r i c h t en o n a f h a n k e l i j k van z. Per e e n h e i d van l e n g t e van de b u i s (dwars-op de w a t e r l o o p ) i s de k r a c h t = p g H ds.

Deze k r a c h t moet evenwicht-maken met de t r e k k r a c h t T i n de b u i s w a n d .

Voor h e t k r a c h t e n e v e n w i c h t z i e f i g . 2.

d$ = a . d $ + 3 . d - > a + 3 = l , 0 < a < l e n O < $ < l

T a n g e n t i e e l :

T.cos ( a . d $ ) = (T + dT) cos ( 3 . d $ ) .

G e s t e l d kan worden: cos d$ » 1 , dus ook cos(a.d3') :i; 1 en c o s ( 3 . d $ ) 1 , o f w e l T = T + dT, dus dT = o en | T = c o n s t a n t

R a d i a a l :

=• p g H d s = T . s i n ( a d#) + (T + d T ) . s i n ( 3 d^)

s i n d$ ~ d$, dus ook s i n ( a . d $ ) x a.d$ en s i n (P-d^) ~ 3.d$ dT = o

dus p g H d s = T . a . d c & + T,3.d$ p g H ds = T. d#

2-2

o f w e l _ P g H

ds T ( 1 )

c o n s t a n t 5 m.a.w. Aangezien p, g, H en T c o n s t a n t z i j n , i s ook

onder deze omstandigheden neemt de b u i s de vorm van een c i r k e l aan. d$ ds I n t e g r e r e n we v ^ l . ( 1 / . 21T P g H d$ ^ ds 2TT P g H Nu i s S = 2T T R, w a a r i n R = s t r a a l c i r k e l 2Tr = P f l . 27rR T = p g H R 1 ( 2 ) U i t v g l ( 1 ) en ( 2 ) v o l g t : ^ = ^

Voor gegeven H en R i s dus T bekend.

2.2. De met w a t e r g e v u l d e b u i s b e v i n d t z i c h g e h e e l i n den droge

Z i e de f i g u r e n 3 en M-,

De b u i s z a k t n u , t . g . v . h e t e i g e n g e w i c h t van h e t w a t e r i n de b u i s , e n i g s z i n s u i t en maakt o v e r een zekere b r e e d t e a c o n t a c t met de bodem van de w a t e r l o o p .

A l s o o r s p r o n g van h e t a s s e n s t e l s e l w o r d t p u n t C aangenomen - de overgang van bodem ( r e c h t e l i j n ) n a a r v r i j e wand ( g e k r o m d ) .

Een e l e m e n t j e ds w o r d t , i n d i e n we de l u c h t d r u k g e l i j k o s t e l l e n , a l l e e n van b i n n e n u i t b e l a s t door p^^^ = p g ( H + h - z ) , dus a f h a n k e l i j k van z. Nu i s = p g (H + h - z ) ds.

T a n g e n t i e e l : T cos ( a . d * ) = (T + dT) cos (B.d*) We v i n d e n weer dT = o en T = c o n s t a n t R a d i a a l : F = p g ( H + h - z ) d s = T s i n ( a . d $ ) + (T + dT) s i n ( 3 . d $ ) r o f w e l p g (H + h - z ) ds = T,d$ S t e l n u T = P g H R a n a l o o g aan v g l . ( 2 ) , R i s n u een rëkëngföötheid. We v i n d e n n u : (H + h - z ) ds = H R d $ ^ d$ H + h - z ds H R ( 3 ) d# Het b l i j k t d a t n u n i e t c o n s t a n t i s . De vorm van de b u i s i s dus geen c i r k e l .

dz We mogen v o o r s i n $ s c h r i j v e n : s i n ^ ~ O f w e l ds - '^^ ( 3 ) -s m 9 s i n ö.df H + h dz HR - j . H + h - z , s m $.d$ = r— dz H K . H + h , 1 , s m ^.d^ =— " HR ^ I n t e g r a t i e van deze v e r g e l i j k i n g g e e f t : rf. H + h . 1 2 ^ ^ - cos f = - ^ . z - — . z + C Door de g e l i j k m a t i g e d r u k , d i e i n de b u i s h e e r s t en door de f l e x i b e l e wand, r a a k t de kromme i n de o o r s p r o n g aan de X-as.

Voor z = o i s ' l ' = o - > cos $ = 1 -> C = - 1

De v e r g e l i j k i n g w o r d t nu:

1 2 H + h _ X . fn-.

. Z - r — - . Z = cos $ - 1 ;

2-4

V e r g e l i j k i n g ( 4 ) g e e f t dus h e t v e r b a n d t u s s e n z en

Om de vorm van de buiswand g e h e e l t e kunnen b e h a l e n , moeten we ook nog h e t v e r b a n d t u s s e n x en $ z i e n t e v i n d e n .

( 4 ) i s een v i e r k a n t s v e r g e l i j k i n g i n z en i s ook a l s v o l g t t e s c h r i j v e n

z^ - 2 ( H + h ) z + 2 H R ( l - cos $ ) = o z o p g e l o s t g e e f t :

^ = H + h + /(H + h)'-^ - 2 H R ( 1 - cos

Daar e r o v e r d r u k i n de b u i s moet b l i j v e n h e e r s e n , moet z < H + h z i j n . M.a.w. a l l e e n h e t n e g a t i e v e t e k e n v o o r de w o r t e l v o r m i s v o o r ons van b e l a n g .

= H + h - /(H + h ) ^ - 2 HR ( 1 - cos $ ) ( 5 )

, . . A dx , dx

Voor cos f mogen we s c h r i k ] v e n : cos f = -> ds =

V u l l e n we nu z en ds i n i n v g l . ( 3 ) dan v o l g t na e n i g e b e w e r k i n g : H R cos $ d$

dx =

/(H + h ) 2 - 2 H R ( 1 - cos $)

Voeren we nu een nieuwe v e r a n d e r l i j k e i|J i n z o d a n i g , d a t $ = 2 en d f = 2di(J dan i s cos 2^= 1-2 s i n 2 ij; en 1 - cos 2 i|j = 2 s i n 2 \p.

We v i n d e n nu: _ 2 H R ( 1 - 2 s i n ^ ^) d \l) /(H + h ) 2 - 1+ H R s i n 2 \p 2 H R 1 - 2 s i n ^ ij; dijj dx H + h / l - ( H ^ j ) ! ^ s i n 2 lj; Na i n t e g r e r e n van de gevonden v e r g e l i j k i n g : 2 HR H + h 1 - 2 s i n ^ ^ / l - k2 sin'^ i)

w a a r i n k 2 4 H R " (H + h ) 2 I n de nu gevodnen u i t d r u k k i n g v o o r x i s de i n t e g r a a l een e l l i p t i s c h e i n t e g r a a l . 1 - 2 sin"^ j) / 2 9 / l - k s i n lp i s a l s v o l g t om t e werken: 2_ _2 2 2 2 k s i n ^ 2 - 1) + ( 1 - k^ s i n ^ liJ) k^ A - k2 s i n 2 ip k^ A - k2 sin'"^ i{j ( 1 - - L ) ^ _ + 2 / i _ ^2 s i n 2 4. k / l - k2 s i n 2 ijj k _2_ _ (H + h ) ^ k^ 2 HR De e l l i p t i s c h e i n t e g r a a l i s nu g e s p l i t s t i n een e l l i p t i s c h e i n t e g r a a l van de 1 ^ s o o r t en een e l l i p t i s c h e i n t e g r a a l van de 2^ s o o r t .

X =

{-^ -

(H + h ) }

H + h / l - k2 s i n 2 ij)

+ (H + h ) / l - k^ s i n ^ lp d\l)

o f v e r k o r t weergegeven:

= - (H + h ) } E i ( i i J , k ) + (H + h ) E2 (i),k) ( 6 )

waarin. E^ (i|J,k) = di)

A - k2 s i n 2 ij)

en

2-6

V e r g e l i j k i n g ( 6 ) g e e f t v o o r de waarde $ = TT = — ) , dus i n de t o p van

de kromme ( p u n t B ) , een x met een n e g a t i e v e waarde.

X a l s f u n c t i e van i j j , dus van i s t e b e p a l e n m.b.v. t a b e l l e n , z o a l s d i e van Jahuke u. Emde o f u i t h e t Handbook o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s van Abramowitz and S t e g u n , 1965, New York.

V g l . ( 4 ) g e e f t h e t v e r b a n d t u s s e n z en #, z o d a t nu de vorm van de b u i s g e h e e l i s t e b e p a l e n b i j gekozen waarden van h , H en R.

U i t s y m m e t r i e o v e r w e g i n g e n ( z i e f i g . 3) v o l g t d a t AC = a (= b r e e d t e s t e u n -v l a k ) = 2 . | x ^ ^ ^ l = 2. Ix^^ïï . TT/2 TT/2 CD = l a = I {-HJR. _ (H + h ) } H + h / l - k2 s i n 2 + (H + h ) A-k'^ s i n ^ lp dip De b e i d e i n t e g r a l e n z i j n z.g. v o l l e d i g e i n t e g r a l e n van de e e r s t e en de tweede s o o r t . V e r k o r t weergegeven: '72 TT 72 ^ 1 = dijj / l - k2 s i n 2 i|j en E, / l - k s i n i|j dif/ / 2 2

W i l l e n we de t o t a l e l e n g t e van de omtrek van de b u i s b e p a l e n , dan moeten we dus v o o r a met de p o s i t i e v e (reëele) waarde van x , dus met - x , r e k e n i n g houden.

We k r i j g e n nu:

l a =

^TTT "

_{^ E^ + (H + h ) E2} ( 7 )

De h a l v e omtrek Sg^^ = boog BC + CD = boog BC + 5 a. V g l . ( 3 ) gecombineerd met v g l . ( 5 ) g e e f t : d£ d f HR /(H + h ) 2 - 2 H R ( 1 - cos f ) ds = H R d f /(H + h ) 2 - 2 H R ( 1 - cos $ )

Voeren we v o o r f weer 2 ij; i n , dan v i n d e n we op analoge w i j z e z o a l s op b l z . 2.4 en 2.5: ^2 di) 1 2 ^' H + h / l - s i n 2 i) L ( 8 ) 2 4- H R. w a a r i n weer ij; = 5 $ en k = ^ i s de l e n g t e van de boog t u s s e n 2 w i l l e k e i i r i g e p u n t e n 1 en i 5-=^

b i j b e h o r e n d e waarden i)^ en

i)^-2 met

Voor Sq^, dus de boog t u s s e n de p u n t e n B en C, g e l d t ;

E>g = TT en f ^ = O ^- = l en il^^. = o ^2 2HR H + h di) A - k2 s i n 2 i|j o f v e r k o r t geschreven: . 2 HR

Sc •

" H +

h 1

( 9 ) De h a l v e omtrek (2 O = S^^^^) w o r d t dan J0= g a + S^^

^0

{ ~ ~ - (H + h ) } E^+ (H + h ) E 2 + 2HR ^ H + h •

^1

na e n i g e v e r e e n v o u d i g i n g : i O = (H + h ) ( E ^ - E^)

(10)

2-8

2.3. S l e c h t s aan een z i j d e w a t e r ; de b u i s d i e n t a l s w a t e r k e r i n g

Z i e f i g u u r 5.

De b u i s i s i n p u n t A aan de bodem b e v e s t i g d .

Voor h e t d e e i AB van de b u i s g e l d t d e z e l f d e b e l a s t i n g t o e s t a n d a l s üie v e r o n d e r s t e l d onder 2.1. D i t d e e l van de kromme i s dus een c i r k e l met s t r a a l R. Voor h e t d e e l BC g e l d e n de v e r g e l i j k i n g e n ( 4 ) en ( 6 ) , i n d i e n de o o r s p r o n g van h e t a s s e n s t e l s e l i n p u n t C w o r d t g e l e g d , dus z o a l s v e r o n d e r s t e l d onder 2.2. Het c i r k e l d e e l AB r a a k t i n B aan de kromme BC, a a n g e z i e n e r i n h e t p u n t B geen k r a c h t w e r k t . I n p u n t B o n d e r g a a t de t r e k k r a c h t i n de buiswand dus geen v e r a n d e r i n g .

De onder 2.2. i n g e v o e r d e r e k e n g r o o t h e i d R i s dus de s t r a a l van de c i r k e l b o o g AB.

De vorm van de buiswand en de t r e k k r a c h t i n de buiswand z i j n nu g e h e e l b e p a a l d b i j gegeven waarden van h , H en R.

B i j een gegeven w a t e r h o o g t e h kan v o o r v e r s c h i l l e n d e waarden van H en R m.b.v. de a f g e l e i d e v e r g e l i j k i n g e n een i n d r u k worden v e r k r e g e n van h e t gedrag van de b u i s .

U i t v e r g e l i j k i n g ( 5 ) kunnen de r a n d v o o r w a a r d e n v o o r H en R worden bepaald, de w o r t e l v o r m moet n . l . een reële- waarde hebben:

(H + h ) 2 - 2 H R ( 1 - cos $) > O

(H - h ) 2 ^ 2 H R ( 1 - cos f )

Deze o m g e l i j k h e i d moet ook g e l d e n v o o r de max. waarde van 1 - cos $, dus cos f = - 1 - > $ = 1T.

B o v e n d i e n , w i l de b u i s a l s w a t e r k e r i n g kunnen d i e n e n , moet de b u i s t e n m i n s t e t o t de w a t e r s p i e g e l r e i k e n , d.w.z. z ^ _ ^ > h. V e r g e l i j k i n g ( 5 ) g a a t dan o v e r i n de o n g e l i j k h e i d : H + h - /(H + h ) ^ - 4 H R > h H i e r u i t v o l g t : R > h ( 2 H + h ) 4H ( 1 2 ) O n g e l i j k h e i d ( 1 1 ) en ( 1 2 ) gecombineerd, g e e f t ; h (2H + h)_ ^ ^ ^ (H + h ) ' 4 H 4 H

Voor _ ^ = h , d.w.z. een b u i s met een waakhoogte w = o v i n d e n we P _ h (2H + h ) R iTH Voor g r o t e r e R i s w = z ^ _ ^ - h D i t i n g e v u l d i n v g l . ( 5 ) g e l d t : z ^ _ ^ - h = w = H - /(H + h ) 2 - 4HR o f w e l R - ( h + w)(2H + h - w 4 H ( 1 3 ) w = O g e e f t o n g e l i j k h e i d ( 1 2 ) w = H g e e f t o n g e l i j k h e i d ( 1 1 )

De b e p a l i n g van de omtrek van de b u i s i s h e t e e n v o u d i g s t , i n d i e n we de waakhoogte w = o k i e z e n , z i e f i g u u r 6. Het p u n t B overgang c i r k e l b o o g -kromme- i s nu h e t h o o g s t e p u n t van de b u i s .

H i e r v o o r g e l d t f = TT, dus ij/ = ''1/2.

M.b.v. v g l ( 1 0 ) v i n d e n we v o o r h e t d e e l BCD van de omtrek:

2-10

Het m i d d e l p u n t M van de c i r k e l met s t r a a l R v a l t nu op de l i j n DB ( v e r -t i c a a l d o o r D ) . Voor w = O i s : BM = R en MD = |h - R AD = b = / ( A M ) 2 - (MD)2 = /R^ - ( h - R)2 b = /h (2 R - h ) h ( 2 H + h ) ,^ , , /TT Aangezien R^^ ^ = ^ w o r d t b ^ ^ = o ) = ^ ^ 2 H ^^^^ XT • • * AD b Nu I S s m $. = -TTT = rr A AM R U i t g e w e r k t s i n " ^ ^ ( ^ - q ) " 2 H ' v o l g t : O <• < I ( s c h e r p ) , i n d i e n ^ h < R < h o f w e l ^ h < H < ~

A l t i j d moet v o l d a a n z i j n aan R > g h , want v o o r R ^ ^ h i s H = o° (b = O en $. = o ) , d i t i s o n m o g e l i j k f . = ^ , i n d i e n R = h o f w e l H = ^ h . I . < f < TT ( s t o m p ) , i n d i e n h < R < 0° o f w e l g h > H > o ( v o o r H = o i s R = 00^ b = <» en f ^ = t r ) . Boog AB = = (TT - $^) R $ i s a l s v o l g t t e b e r e k e n e n : , MD h - R ^A = AM = U i t g e w e r k t cos f A ( ^ = o ) = 2 H t h , . 2 H - h s $A, . = a r e cos (_- .,' ^ , ) ^(w = 0 ) 2 H + h n O r- r 2 H - h s . h ( 2 H + h ) Dus = i TT - a r e cos { — — — i 'AB ' " ^2H + h'^ 4H

De g e h e l e omtrek van de s c h u l p s t u w (aan een z i j d e w a t e r ) met waakhoogte w = O i s nu: ° = ^AB + S c D +

SD

=

S B

+ S C D + ^ o f w e l = (v, = o ) = ( H t h ) ( E ^ + E2) + f i T - a r c cos ( 5 ^ ^ ^ ) } • - -+h . / ^ f , ^ r' ,2 H - hv-, h ( 2 H + h ) , , / h Om de b u i s i n p u n t A aan de bodem t e b e v e s t i g e n , i s h e t n o o d z a k e l i j k de o p l e g r e a c t i e s i n p u n t A t e weten. We v e r o n d e r s t e l l e n d a t de b u i s a l l e e n i n p u n t A (een l i j n b e l a s t i n g ) op de bodem i s b e v e s t i g d en n i e t aan de l a n d h o o f d e n . Op de b u i s werken nu de v o l g e n d e k r a c h t e n : W„ = de h o r i z o n t a l e w a t e r d r u k ( h i e r e e n z i j d i g ) H G = h e t g e w i c h t van h e t w a t e r i n de b u i s (+ h e t g e w i c h t van h e t p l o o i -b a r e v l i e s ) W^ = de opwaartse w a t e r d r u k

Deze k r a c h t e n moeten e v e n w i c h t maken met de r e a c t i e k r a c h t i n A en de s t e u n d r u k i n h e t p l a t t e s t e u n v l a k AC van de b u i s . Z i j z i j n t e b e p a l e n met b e h u l p van e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n : ZH = o EV = O EM = O D i t g e e f t e c h t e r f l i n k wat r e k e n w e r k . Het i s e e n v o u d i g e r de b e p a l i n g van de o p l e g r e a c t i e s i n p u n t A g r a f i s c h u i t t e v o e r e n . I n p u n t A i s de buiswand ( h e t v l i e s ) g e k n i k t . Aangezien de t r e k k r a c h t T i n h e t v l i e s c o n s t a n t en bekend i s , i s de r e s u l t a n t e R^ t e c o n s t r u e r e n i n d i e n de hoek waaronder de c i r k e l b o o g i n A h e t s t e u n v l a k s n i j d t , A bekend i s . De r e a c t i e k r a c h t R^ ( t e o n t b i n d e n i n Rf^ en Ry) moet nu g e l i j k en t e g e n -g e s t e l d -g e r i c h t z i j n aan Rr^. Doch h e t i s n i e t n o o d z a k e l i j k de hoek f ^ t e k e n n e n , i n d i e n we bedenken d a t R^^ g e l i j k moet z i j n aan Wf|. Voor een e e n z i j d i g e w a t e r d r u k i s Wjj = 5 p g h ^ .

Voor de g r a f i s c h e b e p a l i n g z i e f i g . 7.

2-12 1 - ,2 Rh = = é P g h ( 1 6 ) T = p g H R = p g H = 5 P g h (2 H + h ) v o o r w = o U i t f i g u u r 7 b l i j k t : R V = / T 2 - (T-Wj^)2 o f anders g e s c h r e v e n R , Na u i t w e r k i n g : V v o o r w = O ( 1 7 )

2.1+. De b u i s a l s w a t e r k e r i n g doch aan twee z i j d e n w a t e r met een h o o g t e v e r -s c h i l

" De beschouwing i s a n a l o o g aan d i e onder 2.2. en 2.3, z i e f i g u u r 8.

D e e l AB: We v i n d e n ( 4 ^ ) een c i r k e l . o f w e l = PgH^R^ - P g H l ds'AB " T l c o n s t a n t , d.w.z. een d e e l v a n Deel CE: ( 4 ^ ) = ^ = c o n s t a n t -> c i r k e l o f w e l T2 = PgH2R2 T = = T2 = c o n s t a n t H i e r u i t v o l g t T = pgH^R^ = pgH2R2 o f w e l

_"1^1

V 2 ( 1 8 ) Aangezien H^ < H2 i s R^ > R2

D e e l BE: Voor h e t d e e l BE p l a a t s e n we de o o r s p r o n g v a n K e t a s s e n s t e l i n p u n t E, T = c o n s t a n t d f H2 - z ) = p g = — n i e t c o n s t a n t en a f h a n k e l i j k van z. ds BE - T H2 - z BE ^ 2 ^ ( 3 a ) Het d e e l BE i s geen c i r k e l . We v i n d e n n u : - cos " 2 " «2^2 ^ H.R. + ^ 1 '2^^2 Nu i s v o o r z = o f = f ^ . D i t g e e f t = - cos f ^ - ^ t cos f ^ - cos f = O ( 4 a ) , h e t v e r b a n d t u s s e n z en V e r g e l i j k i n g ( 4 a ) ook t e s c h r i j v e n a l s : ( z - H^)^ - + 2 H2R2 ( c o s f j , - cos f ) = O z - H2 = + / h 2 ^ - 2 H2R2 ( c o s f ^ - COS f )

A l l e e n z < H2 van b e l a n g , want e r moet i n de b u i s a l t i j d o v e r d r u k b l i j v e n b e s t a a n .

2-m U i t cos f = — - v o l g t ds = T-ds ^ COS f De waarden v o o r z en ds i n g e v u l d i n v e r g e l i j k i n g ( 3 a ) geven na e n i g e b e w e r k i n g : dx = / H.^ - 2 H.R. ( c o s 2 2 - COS f ) G e i n t e g r e e r t g e e f t d i t : X = i / 2 ~ H ^ cos f d f ^ / H i " O / ; r — — - ( c o s - COS f ) Z K 2 S t e l $ = 2 8 -> d f = 2 d0 en cos 2 0 = 1 - 2 s i n G. D i t i n g e v u l d g e e f t u i t e i n d e l i j k : f = 26 X = / 2 H2 R2 H2 2R2 ( 1 - 2 s i n 9) dö GOS f + 1 O hi _H2 — - cos f ^ + 1 . sm^

Stel\/2 H2R2 = P en / cos f + 1 = N J dan w o r d t

ill f =28 ( 1 - 2 s i n ^ 8)d9 s m 2 9 2 2 S t e l nu — r - = k \ we v i n d e n dan: _N^ f =28 P ^ = N ( 1 - 2 s i n 8)d9 *^1 - k2 s i n 2 8

Weer een e l l i p t i s c h e i n t e g r a a l , , d i e kan worden g e s p l i t s t en v e r v o l g e n s o p g e l o s t .

Het v e r b a n d t u s s e n x en $ ( = 2 9 ) i s n u ook bekend. De vorm van h e t d e e l BE i s dus b e p a a l d .

Voor de l e n g t e van h e t d e e l BE u i t g a a n van v e r g e l i j k i n g ( 3 a ) en h i e r i n v o o r z v e r g e l i j k i n g ( 5 a ) i n v u l l e n . D i t g e e f t :

ds = i /2 H2R2 d f

2R2 ^ (cos f„ - cos f )

Voeren we weer de s i i b s t i t u t i e f = 29 u i t dan v i n d e n we op o v e r e e n k o m s t i g e w i j ze: f : = 29 S = ^ d0 BE N ^ / l - k2 s i n 2 9 0 ( 8 a ) D i t i s weer een e l l i p t i s c h e i n t e g r a a l ( v . d . 1^ s o o r t ) ; o p l o s b a a r m.b.v. t a b e l l e n b o e k e n . S a m e n v a t t i n g : Deel AB: c i r k e l v o r m i g = p g H ^ R^ Deel CE: c i r k e l v o r m i g 1^ - pgH2R2 = T2 = c o n s t a n t H l R l = H2 R2 ( 1 8 ) «1 < «2

" S " \

D e e l BE: n i e t c i r k e l v o r m i g . z = H. - / H ^ - 2 H, R. ( c o s f ^ - cos f ) 2 ^^2 ( 5 a )

2-16 $=2 9 X = — ( 1 - 2 s i n 9)d9 / l - k2 s i n 2 9 w a a r m : P = /2 H2 R2 / H2 N = / 2 ^ - cos f g + 1 N2 29 s - P d9 B E ~ N } 0 A - k2 s i n 2 9 (Ba)

Het v l i e s w o r d t a l l e e n i n p u n t A vastgehouden en r a a k t i n C aan de bodem. Voor een b e s t a a n b a r e o p l o s s i n g van de s c h u l p s t u w a l s w a t e r k e r i n g z i j n H2 en R2 (en dus ook H^ en R^) aan een a a n t a l b e p e r k i n g e n o n d e r h e v i g . De randvoorwaarden v o o r H2 en R2 kunnen worden b e p a a l d u i t v e r g e l i j k i n g ( 5 a ) .

I n de e e r s t e p l a a t s moet de w o r t e l v o r m een reëele waarde hebben^dus:

H2 - 2H2R2 ( c o s f ^ - cos f ) > O

I n d i e n H2 o moet worden v o l d a a n aan:

H2 > 2 R2 (cos $g - cos $ ) , z e l f s a l s h e t r e c h t e r l i d z i j n g r o o t s t e waarde b e r e i k t , h e t g e e n h e t g e v a l i s a l s $ = TT i s . Dus moet: H2 ^ 2 R2 ( c o s f ^ + 1) o f R. < 2 = 2 ( c o s $ + 1) ij ( 1 1 a ) v o o r H2 ?^ o

I n de tweede p l a a t s moet de stuw d i e n s t doen a l s k e r i n g , z o d a t z i j m i n s t e n s t o t de w a t e r s p e i g e l moet r e i k e n , m.a.w.:

U i t v g l . ( 5 a ) v o l g t v o o r $ = TT: ^ ^ = H2 - - 2H2R2 (cos $g + 1 ) o f "2 ~ " 1 = "2 " / H J ^ 2H ^ R^ U O 7 $ 2 + 1) I l >

Ah

Hl > /H^" - 2H2R2 (COS $g + 1) k w a d r a t e r e n g e e f t ; " 1 - "2^ - 2H2R2 ( c o s + 1) o f ^2 ^ 2 H. ( c o s $^ + 1) ( 1 2 a ) o f a n d e r s g e s c h r e v e n : H- -Hl 2 = 2 ( c o s f ^ + 1) 2 H2 ( c o s + 1 ) C o m b i n a t i e van de o n g e l i j k h e d e n ( 1 1 a ) en ( 1 2 a ) g e e f t ; 2 H2 ( c o s + 1) = 2 = 2 ( c o s $^ + 1) ' " ^ t 2$ = TT ^ "2 - " 1 "2 ^ ° .b.v. H^R^= H2 R2 ( v g l . ( 1 8 ) ) v i n d e n we v o o r R^: 2 2 «2

- S

< R, < 2 H^ ( c o s #g + 1) = 1 = 2 ( c o s $2 + 1) met z. e n H2 7^ O

I n de derde p l a a t s moet de stuw i n e v e n w i c h t z i j n .

Beschouwen we nu h e t h o r i z o n t a l e e v e n w i c h t ( z i e f i g u u r 9 ) van h e t g e d e e l t e t u s s e n de doorsneden I en I I en een snede v l a k boven de bodem. Zowel i n B' ( h e t h o o g s t e p u n t ) a l s i n C i s de w e r k l i j n van de k r a c h t e n i n h e t v l i e s h o r i z o n t a a l .

2-18 WE v i n d e n nu v o o r EH = o: W^ - W^ - 2T = o o f W^ - W^ = 2T { 1 p g (H^ + h 2 ) ^ - l Pgi\ - w ) 2 } - 1 p g h ^ = 2 p g H 2 R 2 D i t u i t g e w e r k t g e e f t : 4 H^R^ = + h 2 ) ^ (H^ w ) ^ -Nu i s H^ - w = H2 + h2 - ( h ^ + w ) ; d i t i n g e v u l d i n b o v e n s t a a n d e verge-l i j k i n g en u i t g e w e r k t , g e e f t u i t e i n d e verge-l i j k : h ^ + w ( h ^ + w - h 2 ) ' 4 H ( 1 3 b ) I n d i e n de waakhoogte w = o ( z l e f i g u i i r 1 0 ) , v i n d e n we: ^ 1 ^ ' ^ l ~ ^2^' ^2 " "2 iïir ( 1 3 c ) v o o r w = O Voor R^ v i n d e n we m.b.v. R^ = H2 R2 en H^ + h ^ = h2 + h2 ( 1 3 d ) v o o r w l i g t n u op de l i j n BD en B i s h e t hoogste p u n t v a n de stuw. Nu i s b = AD = / ( A M ^ ) 2 - (M, 0 ) 2 = / R^2 _ ( h ^ - R ^ ) 2 . M.b.v. v g l ( 1 3 d ) v i n d e n we na u i t w e r k i n g v o o r b: b = 2 H, v o o r w ( 1 4 a )

b i s ook a l s v o l g t t e berekenen: b = s i n

b l - R l ^ ^ v o l g t u i t cos = ^

De b e p a l i n g van de l e n g t e van h e t l i j n s t u k CD gaat a l s v o l g t :

CD = |(BE)hQpi2l - CE', w a a r i n E' de p r o j e c t i e van p u n t E op de l i j n CD i s . CE' = R2 s i n f j , , dus CD = \(^^)hoviz\ ~ h

(BE)j^Qj^^2 "te b e p a l e n m.b.v. de f o r m u l e v o o r x op b l z . 2-16.

De i n h o u d v a n de stuw kan op 2 manieren worden b e p a a l d :

1. door o p m e t i n g ( p l a n i m e t r e r i n g ) van h e t o p p e r v l a k b i n n e n de f i g u u r ABEC 2. door b e p a l i n g van h e t g e w i c h t G = P g V van de s c h u l p s t u w ( a l l e e n h e t

w a t e r ) a l s V = volume^m.b.v. h e t k r a c h t e n - en momentevenwicht.

De d e l e n AB en CE z i j n c i r k e l v o r m i g . - I n p u n t C l o o p t de r a a k l i j n aan h e t v l i e s h o r i z o n t a a l . De w e r k l i j n van de t r e k k r a c h t T i n h e t v l i e s i s i n C dus ook h o r i z o n t a a l . De w e r k l i j n van

T i n A i s de r a a k l i j n aan h e t v l i e s i n A. i s bekend, dus de r i c h t i n g van T i n A eveneens.

V e r v a n g t men n u h e t d e e l AC door 2 vormvaste k l e p p e n , d i e i n A en C s c h a r n i e r e n en i n de p u n t e n G en H aan h e t v l i e s z i j n b e v e s t i g d , dan o n t s t a a t een schematische doorsnede van de s c h u l p s t u w .

B e r e k e n i n g van de s c h e l p s t u w De b e r e k e n i n g v e r l o o p t a l s v o l g t : - U i t h e t e v e n w i c h t v a n h e t r e c h t e r d e e l v o l g d e v g l . ( 1 3 c ) : h l ( h l - h 2 ) 2 ^2 v o o r w = . o . - I n d i e n h ^ en h2 bekend z i j n , kan m.b.v. ( 1 3 c ) h e t v e r b a n d t u s s e n R^ en g r a f i s c h worden weergegeven.

2-20

- U i t + = Hg + hg kan nu H^ worden b e p a a l d . - U i t T = p g H ^ R ^ = p g H g R g v o l g e n R^ en T.

Voor de g r a f i s c h e v o o r s t e l l i n g van e.e.a. z i e f i g u u r 1 1 .

De vorm van de s c h u l p s t u w l i g t nu v a s t . De l e n g t e van de k l e p p e n en de l e n g t e van h e t v l i e s kunnen door b e r e k e n i n g van GB, BE en EH worden b e p a a l d .

Voor een goed ontwerp moet g e l d e n :

v l i e s ^ ^ /-r ^ \

7, < Li -, (L = l e n g t e )

2 = k l e p p e n ^

Er moet n . l . b i j h e t „in de s c h u l p " k r u i p e n van de stuw s t e e d s een t r e k k r a c h t i n h e t v l i e s aanwezig b l i j v e n om de k l e p p e n d i c h t t e kunnen t r e k k e n .

2.5. De met w a t e r g e v u l d e b u i s - b e v i n d t z i c h g e h e e l onder w a t e r , doch e r i s een h o o g t e v e r s c h i l t u s s e n de w a t e r s p i e g e l s aan b e i d e z i j d e n van de b u i s .

Zie f i g u u r 12.

De d r u k v e r d e l i n g i s h y d r o s t a t i s c h , dus z o w e l d e e l AB a l s d e e l BC z i j n d e l e n van c i r k e l s .

Punt E i s samengevallen met p u n t B en p u n t D met p u n t C.

I n p u n t B ( h e t hoogste p u n t ) r a k e n boog AB en boog BC aan de h o r i z o n t a a l door B. B l i g t l o o d r e c h t boven D.

I n p u n t C r a a k t boog BC aan de bodem. De h o o g t e t u s s e n bodem en o n d e r -k a n t s c h e i d i n g s v l a -k i s d. De t r e -k -k r a c h t T i n h e t v l i e s i s c o n s t a n t .

Deel AB: = p g H^ R^ T = = Tg = P g R^ = P g Hg R^ — ^

Deel BC: Tg = p g H g Rg H,R,-- HgRg (18)

De vorm van h e t v l i e s l i g t n u g e h e e l v a s t .

Aangezien v o o r d e e l BC zowel i n B a l s i n C de r a a k l i j n aan h e t v l i e s h o r i z o n t a a l i s , i s BD = 2 Rg = d ^ Rg = ^ d .

H i e r u i t v o l g t R^ = ^2}^ '

V e r d e r moet door d i t g e v a l g e l d e n :

hg - 2 Rg ^ O

Voor b = AD = / (AM.^)'^ - ( D M i ) ^ v i n d e n we:

b = / i + R . ( R , - Ro) o f b = 2 R, / h l - h 2 o f b = d ( 1 4 b ) b ook a l s v o l g t t e berekenen: b = R ^ . s i n Lengte van h e t v l i e s . boog AB = R^-'ï'^ (^p^ i n r a d i a l e n ) S = ^ ^'^'^ R^ ^ 1 - R f \ ° ^ ^"^^^^ geschreven: s i n 2 + (h^ - h H i e r u i t v o l g t f ^ . boog BC = TT Rg ( h a l v e c i r k e l o m t r e k ) , H o r i z o n t a a l e v e n w i c h t (per-m' s t u w ) , Z i e f i g u u r 13. EH = o v o o r h e t g e d e e l t e t u s s e n s n e d e ^ e n ^ j ) : W, + W - 2T - = O i O 2 i p g ( h ^ + H^)2 - 1 p g ( h ^ + H^ 2 R g ) + 1 p g (hg 2 R g ) ' - 2 T - l p g h g = O i p g [4Rg ( h ^ + H^) - 4 h g R g ] = 2T

2-22

T = p g R g [ h ^ + - h g ] = p g R g [ " i + Hg - H J = P g R g S

D i t g e e f t dus geen nieuwe voorwaarde.

I n de p r a k t i j k kan d i t g e v a l a l s v o l g t worden g e r e a l i s e e r d : b i j v o o r b e e l d h e t a f s l u i t e n van een r e c h t h o e k i g e k o k e r van een u i t w a t e r i n g s s l u i s

o f een a f s l u i t i n g i n een r e c h t h o e k i g r i o o l . De b a l g s t e u n t dan t e g e n

h e t dak van de k o k e r , zie f i g u u r 14-.. BE h e e f t een zekere l e n g t e en i s h o r i z o n t a a l . De b e r e k e n i n g kan a l s v o l g t v e r l o p e n :

Voor h e t d e e l AB g e l d t : = p g R ^

Voor h e t d e e l CE g e l d t : Tg = p g Hg Rg met R 2 = ^ d - > 2 R g = d Voor h e t g e d e e l t e BE, z i e f i g . 15, g e l d t h e t v o l g e n d e .

I n B z a l de r e a c t i e k r a c h t van h e t d e e l AB ( T ^ ) werken en i n C de r e a c t i e -k r a c h t van h e t d e e l CE ( T g ) . De betonwand o e f e n t een w r i j v i n g s -k r a c h t T^ u i t op h e t v l i e s van de b a l g . De d r u k i n de b a l g z o r g t e r v o o r d a t h e t d e e l BE van h e t v l i e s met een k r a c h t t e g e n h e t dak van de k o k e r w o r d t a a n g e d r u k t .

Fg = p g ( H ^ + h ^ - d ) . BË = p g (Hg + hg - d ) BË

De w r i j v i n g s k r a c h t Tg i s a f h a n k e l i j k v a n :

- de m a t e r i a a l e i g e n s c h a p p e n van h e t v l i e s ( e e n b e r u b b e r d n y l o n w e e f s e l ) , - de r u w h e i d van h e t v l i e s o p p e r v l a k ,

- de r u w h e i d van h e t dak van de k o k e r ,

- de v o c h t i g h e i d en v e r o n t r e i n i g i n g van de e l k a a r rakende o p p e r v l a k k e n ( a a n g r o e i van a l g e n e . d . ) .

Deze a f h a n k e l i j k h e i d w o r d t u i t g e d r u k t i n de wrijvingscoëfficiënt p. Deze p i s m o e i l i j k t e b e p a l e n . Volgens opgave f a b r i k a n t e n i s de m i n i m a l e waarde van ~ 0,15 en de max. waarde v a n p z a l n i e t v e e l hoger z i j n dan ~ 0,25.

Voor h e t k r a c h t e n e v e n w i c h t op h e t d e e l BE van de b a l g v i n d e n we:

SH = O ^ Tg - ( T ^ + Tg) = o

EV = O •> Fg - F^^ = O

Fg = F^ = p g ( H ^ + - d ) BE

Tussen F„ en T b e s t a a t h e t v o l g e n d e v e r b a n d : 3 O

Tg = u Fg = y p g (H^ + h ^ - d ) BE ( 2 0 )

De k r a c h t o v e r b r e n g i n g t u s s e n de b a l g en h e t dak van de k o k e r i s geen f u n c t i e van h e t d e e l BE, doch een b i j k o m e n d e f f e c t . Het kan n o d i g z i j n t . p . v . h e t g e d e e l t e BE een d i k k e s l i j t v a s t e l a a g op h e t v l i e s aan t e b r e n g e n .

Er z i j n 3 g e v a l l e n m o g e l i j k :

1. BË = O, dus B en E v a l l e n samen en geen w r i j v i n g a a n w e z i g , m.a.w. Tg = O e n T^ = T^. D i t t h e o r e t i s c h g e v a l i s r e e d s b e h a n d e l d ( z i e 1® d e e l 2 . 5 ) . 2. BE ?i O en geen w r i j v i n g . Tg = O en T^ = Tg, dus H^ = Hg Rg . Z i e v e r d e r onder 1. 3. BË ?i O en de w r i j v i n g s k r a c h t Tg t r e e d t op. We vonden r e e d s v g l . ( 1 9 ) en ( 2 0 ) . Deze gecombineerd, g e e f t : p g ( H g R g - H^R^) = y p g ( H ^ + h ^ - d ) BË Hg Rg - H^ R^ = u (H^ + h ^ - d ) BË H R - y (H + h ^ - d).BE __ R - . Voor BE = O en/of. y = o i s

% •

H2R2 1 I n v u l l e n van R^ ld en Hg = H^ t h ^ - hg g e e f t R, (H^ + h ^ - h g ) i d - u ( H ^ + ^ 1 ~ ^^''^^ ( 2 1 ) w a a r i n R^ en BE o n b e k e n d ' z i j n .

2-24 V g l . ( 2 1 ) omgewerkt g e e f t ; ( h ^ - h 2 ) i d - y ( h ^ - d ) BE - 2 d + y .ET ~ ( 2 2 ) Nu moet > o z i j n , uub ( h ^ - h g ) l d - y ( h ^ - d ) BE > O o f w e l h 1 > s d (h? - 2 y BE) _ h2 - 2 y BE y BF 2 y BE

Voor een reëel o p l o s s i n g moet zowel de t e l l e r a l s de noemer p o s i t i e f , dus g r o t e r dan n u l z i j n . — h2 . hg - 2 y BE > O BE < 2^. en ( 2 3 ) < 2ÏÏ ( 2 4 0 I n d i e n aan v g l . ( 2 4 ) i s v o l d a a n , i s a u t o m a t i s c h aan ( 2 3 ) v o l d a a n , omdat v o o r d i t g e v a l hg > d moet z i j n . De i n h o u d van de b a l g i s e e n v o u d i g t e b e p a l e n .

Voor e l k e c o m b i n a t i e van r a n d v o o r w a a r d e n h e e f t de b a l g een andere vorm. Welke m o g e l i j k h e d e n z i j n e r n u om de vorm van de b a l g c o n s t a n t t e houden? M.a.w. de v o l g e n d e g r o o t h e d e n moeten c o n s t a n t b l i j v e n : - Rg = c o n s t a n t , want d = h o o g t e k o k e r = c o n s t a n t , R2 = 5 d , - Rj^ = c o n s t a n t , - BE = c o n s t a n t ^ - A C = A D + D C = b + B Ë = c o n s t a n t en - p en g z i j n c o n s t a n t .

De andere g r o o t h e d e n , n l . ( H g ) , h ^ , h g , T^, Tg, Tg en y, kunnen door hun o n d e r l i n g e a f h a n k e l i j k h e i d b i n n e n zekere grenzen variëren.

Hoe z i e n de v e r s c h i l l e n d e r e l a t i e s e r nu u i t ?

a. De t r e k k r a c h t i n h e t v l i e s i s , a f h a n k e l i j k van de m a t e r i a a l e i g e n -schappen, aan een max. gebonden.

= p g R ^ H ^ = c o n s t a n t . H ^ ^ r e c h t l i j n i g v e r b a n d

Tg = pgRg.Hg = c o n s t a n t . ( H ^ + h ^ - h g ) r e c h t l i j n i g v e r b a n d v o o r een b e p a a l d e waarde van h]_ - hg

en T3 = Tg - T^ Volgens v g l . ( 2 0 ) i s T„ = y p g (H + h - d).BE O J-

1

Tg = y p g (H^ + h ^ ) - y p g d B E Voor y = c o n s t a n t en h ^ = c o n s t a n t i s Tg = c o n s t . H^ + c o n s t , dus een r e c h t e l i j n . 1^ l i g / 2 ^ |-> V. i i ^ ( h , - h , ) i d - y ( h , - d ) BE b. ( 2 2 ) : H, = 1 - i d + y H, ( h ^ - h^)id-M BE.h^ + y d B E R^ -

1

d + y "BT Voor y = c o n s t a n t i s H - c o n s t , ( h t - h 2 ) - c o s n t . h j + c o n s t . 1 ~ c o n s t . = c o n s t , ( h ^ - h g ) - c o n s t , h ^ + c o n s t . I n d i e n h e t v e r s c h i l t u s s e n de b u i t e n - en de b i n n e n w a t e r s t a n d ( h ^ - h g ) c o n s t a n t i s , i s Hg = - c o n s t , h ^ + c o n s t . -> een r e c h t e l i j n .

De druk i n de b a l g moet met de b u i t e n w a t e r s t a n d h ^ mee v e r a n d e r e n om de vorm van de b a l g o n v e r a n d e r d t e l a t e n .

2-26

U i t de c o m b i n a t i e van ( 1 9 ) en ( 2 0 ) vonden we:

HgRg - H^R^ = u ( H l + h ^ - d ) . BË ( H l + h ^ - h g ) i d - H^R^ = VI (H^ + h^) - y d B Ë - (R^ - H ) H^ + ( h ^ - h g ) i d = y(H^ + h^ ) - y d BË Voor ^ 1 ~ ^2 ~ c o n s t a n t : c o n s t . H^ = - li ( H ^ + h^) + c o n s t , y + c o n s t . -> geen r e c h t l i j n i g v e r b a n d t u s s e n y en H^ en t u s s e n y en h^.

T^, Tg en-Tg z i j n a f h a n k e l i j k van H^, dus ook van y, geen r e c h t l i j n v e r b a n d . R e l a t i e t u s s e n h ^ , hg en H^ ( H g ) . (H^ + h ^ = Hg + hg -> Hg = H^ + h ^ - h g ) . We maken g e b r u i k van v g l . (22)-: H^ (R^ - id+ y BË) = ( h ^ - h g ) i d - y ( h ^ - d ) BË H l { R l - ( i d - y BË)} = ( i d - y B Ë ) h ^ - i d.hg + y d B Ë i d - y B Ë i d y d B Ë " l ^ R^ - ( i d - y E E ) ^ 1 " R^ - ( i d - y BT ^2 ^ R^ - ( i d-ylÏÏ) Om de 3 v a r i a b e l e n i n een g r a f i e k t e kunnen v e r w e r k e n , w o r d t de v e r g e l i j k i n g omgewerkt t o t de volgende vorm:

i d - y B E i d - y B E i d - y B E

o f h ^ = A.hg -f B.H^ - C ( 2 5 )

• A id

w a a r m A = — — ~ — — i d - y BE

R - ( 1 d - li BE

B = ~± -— = - 1 en i d - y B E J d - y B E

C = y d BE i d - y BE

E l k e c o m b i n a t i e van h ^ en h^ met een bepaalde waarde van l e v e r t een p u n t op. Door nu de p u n t e n van g e l i j k e druk (H^) met e l k a a r t e v e r b i n d e n , o n t s t a a n e r r e c h t e l i j n e n .

Tekenen.we a l l e e n de l i j n e n met g e h e l e waarden v o o r dan kunnen de t u s s e n l i g g e n d e p u n t e n worden geïnterpoleerd, z i e f i g u u r 16. I n deze g r a f i e k kan d i r e k t worden a f g e l e z e n ^ welke druk (H^) i n de b a l g moet worden aangebracht b i j e l k e w i l l e k e u r i g e b u i t e n en b i n n e n -w a t e r s t a n d ( r e s p . h. en h ) . i

3. B u i s i n stromend w a t e r

3.1. De met w a t e r g e v u l d e b u i s (de s c h u l p s t u w ) w e r k t a l s o v e r l a a t .

Zie de f i g u r e n 17 en 18.

De n u volgende beschouwing g e l d t z o w e l v o o r de t o e s t a n d van o n v o l -komen o v e r l a a t (gestuwde a f v o e r ) a l s v o o r de vol-komen o v e r l a a t .

V e r o n d e r s t e l l i n g e n : h e t s n e l h e i d s v e r l o o p l a n g s h e t v l i e s v a n A n a a r B v e r l o o p t g e l e i -d e l i j k van n u l n a a r v - t . p . v . BS z i j n de s t r o o m l i j n e n r e c h t , d.w.z. een h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e l i n g . De d r u k i n B (aan de b u i t e n k a n t van h e t v l i e s ) i s nu bekend = h ) Pg - i n d i e n we de a f n e m i n g van de h y d r o s t a t i s c h e d r u k ( z i e g e a r c e e r d g e d e e l t e van de d r u k f i g u u r i n f i g . 17) v e r w a a r l o z e n , dan i s h e t d r u k v e r l o o p van A n a a r B h y d r o s t a t i s c h .

Het g e d e e l t e AB van h e t v l i e s neemt dan de vorm van een c i r k e l aan S t r a a l en T = pgH^R^.

- i n h e t p u n t E komt de s t r o o m l o s van h e t v l i e s .

Het t r a j e c t BE:

Onvolkomen o v e r l a a t : de s t r o o m g a a t a l v e r t r a g e n .

Volkomen o v e r l a a t : de s n e l h e i d neemt nog i e t s t o e ( a l l e e n w r i j v i n g s -v e r l i e z e n ( k l e i n )j. Ma p u n t N ( b e g i n d e k n e e r ) ' t r e e d t pas -v e r t r a g i n g op

Het g e d e e l t e EC: ^2 n e e r . - k l e i n e snelheden i n de g r o n d n e e r - > — ~ — zeer k l e m

Dus s n e l h e i d s h o o g t e t e v e r w a a r l o z e n , d.w.z. piëzometrisch n i v e a u i n de neer i s c o n s t a n t , dus een h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e l i n g .

3-2

De g r o t e m o e i l i j k h e i d z i t i n de b e p a l i n g van de vorm van h e t d e e l BE van h e t v l i e s .

De s l o t o p m e r k i n g i n h e t a r t i k e l van i r . H.J. van d e r Burg ( 3 ) ^ a l s zouden d e z e l f d e f o r m u l e s met e n i g e m o d i f i c a t i e ook kunnen worden t o e g e p a s t v o o r een stuw i n stromend w a t e r ^ i s o n j u i s t . En w e l om de v o l g e n d e redenen:

1. De p l a a t s van de p u n t e n B en E l i g t n i e t v a s t en i s z e e r m o e i l i j k t e b e p a l e n .

2. De vorm van h e t d e e l BE i s n a m e l i j k a f h a n k e l i j k van h e t s t r o o m b e e l d boven BE (de s t r o o m l i j n e n z i j n n i e t r e c h t ) en h e t s t r o o m b e e l d i s weer a f h a n k e l i j k van de vorm van h e t d e e l BE. D i t b e p a a l t ook weer de p l a a t s van de p u n t e n B en E. I n h e t g u n s t i g s t e g e v a l i s m i s s c h i e n aan t e geven i n w e l k g e b i e d deze p u n t e n l i g g e n .

3. L i g g e n de p u n t e n B en E d i c h t b i j e l k a a r dan w e r k t de s c h u l p s t u w a l s een k o r t e o v e r l a a t . De d r u k v e r d e l i n g l a n g s h e t v l i e s i s dan nog m o e i -l i j k e r t e b e p a -l e n (m.n. aan de t o p kan een g r o t e o n d e r d r u k o p t r e d e n ) . De d r u k v e r d e l i n g mag dan z e k e r n i e t a l s h y d r o s t a t i s c h v e r l o p e n d worden beschouwd.

4. Het l o s l a a t p u n t E l i g t op een gebogen o p p e r v l a k , d.w.z. h e t p u n t E v e r p l a a t s t z i c h o v e r d i t o p p e r v l a k ( i s geen v a s t p u n t ) . D i t h e e f t t o t g e v o l g d a t de d r u k op h e t v l i e s o p p e r v l a k w i s s e l t , een dynamische b e l a s t i n g .

4. B e l a s t i n g ( d y n a m i s c h ) door g o l v e n

4.1. I n l e i d i n g

B i j h e t onderzoek n a a r h e t dynamisch g e d r a g van de s c h u l p s t u w moet o n d e r -s c h e i d worden gemaakt t u -s -s e n h e t gedrag van de g e h e l e -s c h u l p -s t u w onder i n v l o e d van de w i s s e l e n d e b e l a s t i n g (eigenschappen massa v e e r s y s t e e m , e i g e n f r e q u e n t i e enz. ) en h e t „plaatselijk" e f f e c t van g o l f k l a p p e n

( p l a a t s e l i j k e d r u k v e r d e l i n g en een s o o r t w a t e r s l a g v e r s c h i j n s e l i n de f l e x i b e l e b a l g ) .

a. Gedrag van de g e h e l e c o n s t r u c t i e .

Om i e t s t e kunnen zeggen o v e r h e t e f f e c t v a n een w i s s e l e n d e b e l a s t i n g op de b a l g en de r e s p o n s van h e t systeem op deze w i s s e l e n d e b e l a s -t i n g moe-ten e e r s -t de a f m e -t i n g e n van de c o n s -t r u c -t i e bekend z i j n .

b. Het „plaatselijk" e f f e c t van g o l f k l a p p e n .

Modelonderzoek zou m i s s c h i e n e n i g i n z i c h t kunnen v e r s c h a f f e n i n h e t v e r s c h i j n s e l . Voor z o v e r bekend z i j n modelproeven met g o l f k l a p p e n a l l e e n u i t g e v o e r d v o o r s t a r r e c o n s t r u c t i e s en de u i t k o m s t e n z i j n zeer o n b e v r e d i g e n d . Het onderzoek n a a r g o l f k l a p p e n v e r l o o p t z e e r moeizaam.

Over h e t w a t e r s l a g - v e r s c h i j n s e l ( i n een „gedempte" vorm) i n een f l e x i b e l e b u i s i s nog w e i n i g bekend.

G e v o e l s m a t i g kan worden g e s t e l d , d a t de f l e x i b e l e b a l g goed i n s t a a t moet z i j n om g o l f b e l a s t i n g e n op t e nemen.

C o n c l u s i e :

v o o r de b e r e k e n i n g van de b a l g moet de maatgevende s t a t i s c h e b e l a s -t i n g a l s u i -t g a n g s p u n -t worden genomen

- v e r v o l g e n s kan h e t dynamisch e f f e c t van de g e h e l e c o n s t r u c t i e aan een beschouwing worden onderworpen

- h e t gedrag van de c o n s t r u c t i e onder i n v l o e d van g o l f k l a p p e n l a a t z i c h s l e c h t s g i s s e n .

4.2. G r o o t t e van de d3mamische b e l a s t i n g

De dynamische b e l a s t i n g w o r d t v e r o o r z a a k t door de o n r e g e l m a t i g e b e l a s t i n g door ( o n r e g e l m a t i g e ) g o l v e n .

4-2

I n f i g u u r 19 i s de g o l f b e l a s t i n g v e r e e n v o u d i g d weergegeven. De dynamische g o l f b e l a s t i n g op de b a l g kan worden v e r d e e l d i n een dynamische p i e k d r u k t . g . v . F g i en de s t a t i s c h e g o l f d r u k t . g . v . Fg2 ( z o w e l p o s i t i e f a l s n e g a t i e f ) met v e r w a a r l o z i n g van de v e r m i n d e r i n g o v e r de d i e p t e . De aangenomen h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e l i n g i s o n g u n s t i g e r dan de w e r k e l i j k h e i d . Voor de f l e x i b e l e b a l g z a l z e e r w a a r s c h i j n l i j k geen v o l l e d i g e staande g o l f t o t o n t w i k k e l i n g komen z o a l s t e g e n een s t a r r e v e r t i c a l e wand. I s b o v e n d i e n de waakhoogte w = o dan z a l een g r o o t d e e l van de g o l f t o p p e n o v e r de b a l g a f s t r o m e n .

Het g e s c h e m a t i s e e r d e v e r l o o p van de g o l f d r u k t . p . v . de g o l f k l a p i s g e s c h e t s t i n f i g u u r 20. De g o l f b e l a s t i n g op een s c h u l p s t u w ( b a l g ) z a l een ander v e r l o o p hebben dan op een c o n s t r u c t i e van s t a a l ( b . v . een s t a l e n segment s c h u i f )

- de vorm van de b a l g i s v e e l g u n s t i g e r , n . l . een gebogen f l a u w e h e l l i n g , dan van een s t a l e n s c h u i f , d i e m e e s t a l ongeveer v e r t i c a a l s t a a t , z i e f i g u u r 2 1 .

- b o v e n d i e n i s de onder w a t e r d r u k staande b a l g een f l e x i b e l e c o n s t r u c t i e ( z o w e l i n z'n g e h e e l a l s p l a a t s e l i j k ) , t e r w i j l een s t a l e n s c h u i f een s t a r r e ( s t i j v e ) p r a c t i s c h onvervormbare c o n s t r u c t i e i s .

Voor h e t v e r s c h i l i n h e t ( s c h e m a t i s c h ) v e r l o o p van de dynamische p i e k -d r u k b i j een w e i n i g f l e x i b e l e (een s t a r r e ) c o n s t r u c t i e en een f l e x i b e l e c o n s t r u c t i e z i e f i g u u r 22,

De g o l v e n hebben, even v o o r de g o l f k l a p , een z e k e r e h o e v e e l h e i d van b e w e g i n g , d i e v o o r een s t a r r e en een f l e x i b e l e c o n s t r u c t i e g e l i j k z a l

z i j n .

De v e r a n d e r i n g van i m p u l s t i j d e n s de g o l f k l a p kan worden v o o r g e s t e l d d o o r : S f ' t d t = d lirv Voor F kunnen we s c h r i j v e n : F = p.A w a a r i n p = druk t i j d e n s de g o l f k l a p en A = h e t o p p e r v l a k van de c o n s t r u c t i e ^ w a a r o v e r de d r u k van de g o l f k l a p w e r k t

Het l i n k e r l i d van E F . d t = E p.A d t s t e l t de o p p e r v l a k t e onder h e t d r u k v e r l o o p i n f i g u u r 22 v o o r . B i j een f l e x i b e l e c o n s t r u c t i e z a l de c o n t a c t -t i j d -t g g r o -t e r z i j n dan de c o n -t a c -t -t i j d -t ^ van een s -t a r r e c o n s -t r u c -t i e . Hoeveel g r o t e r i s e c h t e r n i e t bekend. A l s w o r d t v e r o n d e r s t e l d _ j d a t de o p p e r v l a k k e n onder h e t h e t d r u k v e r l o o p van b e i d e c o n s t r u c t i e s v o o r een z e l f d e i m p u l s v e r a n d e r i n g g e l i j k z u l l e n z i j n , dan z a l de maximale ( p i e k ) d r u k t . p . v . de g o l f k l a p op een f l e x i b e l e c o n s t r u c t i e b e s l i s t l a g e r moeten z i j n dan de p i e k d r u k b i j een s t a r r e c o n s t r u c t i e . H o e v e e l l a g e r i s n i e t bekend.

Het p l o o i b a r e v l i e s van de b a l g kan i n de r i c h t i n g van de g o l f k l a p geen d r u k k r a c h t opnemen, z o d a t de d r u k v e r h o g i n g t . g . v . de g o l f k l a p d o o r h e t w a t e r i n de b a l g moet worden opgenomen. Deze d r u k v e r h o g i n g mag e c h t e r n i e t zo g r o o t worden d a t de b a l g b e z w i j k t . H i e r a a n kan tegemoet worden gekomen door drukbegrenzende v e n t i e l e n i n de c o n s t r u c t i e aan t e b r e n g e n . W i l men de g o l f k l a p p e n op de b a l g o n t l o p e n , dan moet men de b a l g i n een k o k e r p l a a t s e n ( z i e onder 2 . 5 ) . Er b l i j f t dan a l l e e n de s t a t i s c h e g o l f -d r u k o v e r .

De s t a t i s c h e g o l f d r u k t . g . v . de g o l f b e w e g i n g v e r o o r z a a k t een w i s s e l e n d e b e l a s t i n g op de b a l g . I n d i e n de g o l f p e r i o d e i n de b u u r t l i g t van de e i g e n p e r i o d e van de c o n s t r u c t i e , kan door deze w i s s e l e n d e b e l a s t i n g r e s o n a n t i e o n t s t a a n , d i e b e z w i j k e n van de c o n s t r u c t i e t o t g e v o l g kan hebben.

Het g e h e e l kan g r o f worden g e s c h e m a t i s e e r d t o t een l i n e a i r eên-massaveer-systeem.

X

Voor een a n a l y t i s c h e b e n a d e r i n g moet worden aangenomen, d a t de v a r i a t i e i n de t i j d h a r m o n i s c h v e r l o o p t , dus:

F „ = F . . s i n fit, w a a r i n w o r d t g e s t e l d g2 g:2 '

4 - 4 De v e e r c o n s t a n t e van h e t massaveersysteem i s s t a t i s c h e k r a c h t ^ s t a t i s c h , . ^ k = ; — ï : r-rr-, = en de e i g e n f r e q u e n t i e s t a t i s c h e u i t w i j k i n g x ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ j ^ m

Voor de massa van h e t systeem moet ook n o g de meebewegende ( h y d r o d y n a

-TTn'c;rih(=^ n i a < r p a w a t e r i n r e k e n i n g worden g e b r a c h t . B e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g : m x + k x = Fg.2 s i n Q, t . 1 O p l o s s i n g : x = ——- . g • s m 03 t , 0)2 w a a r i n — p - = x . = s t a t i s c h e u i t w i j k i n g en TT = v e r g r o t i n g s f a c t o r 1 -

4

'0)2

Hiermede k a n dus de max. s p a n n i n g s t o e s t a n d t . g . v . de opgedrongen b e l a s -t i n g worden b e p a a l d .

Onder i n v l o e d van de op de b a l g werkende k r a c h t e n moet de stuw i n e v e n w i c h t z i j n , dus moet worden v o l d a a n aan XH = O, Z V = o en TM = o. B o v e n d i e n moet ook n o g aan de volgende 2 e i s e n worden v o l d a a n :

- de massa b i n n e n h e t v l i e s k a n n i e t w i j z i g e n en

- de l e n g t e van h e t v l i e s moet onder a l l e b e l a s t i n g e n d e z e l f d e z i j n .

D i t kan a l l e e n a l s met de w a t e r d r u k (H^) i n de b a l g w o r d t g e m a n i p u l e e r d , z o d a t de vorm, d i e b e h o o r t b i j de maatgevende s t a t i s c h e b e l a s t i n g , b l i j f t gehandhaafd, z i e ook onder 2 . 5 . , b l z . 2 - 2 4 e.v.

Een m o g e l i j k e b e l a s t i n g v o r m om de s t a t i s c h e g o l f d r u k i n r e k e n i n g t e b r e n g e n i s g e s c h e t s t i n f i g u u r 2 3 .

Een p u n t van o v e r w g i n g i s ook welke waarde men aan de veiligheidscoëffi-ciënt v o o r de t r e k s p a n n i n g i n h e t v l i e s moet toekennen. Deze moet t o c h

. , , , — '^breuk m i n s t e n s 1, 5 bedragen, d.w.z. cr, = — = — - .

De veiligheidscoëfficiënt hangt b o v e n d i e n a f van de t o e t e passen d r u k b e g r e n z e r s , de t o p o g r a f i s c h e s i t u a t i e ( b v . nog een g r o o t bekken a c h t e r de k e r i n g , w a a r i n e n i g e w a t e r s t a n d s v e r h o g i n g t o e l a a t b a a r i s ) en de maatgevende H^^^^, d i e men h a n t e e r t ( b v . = H^^ o f H v o o r een aangenomen o n t w e r p w a t e r s t a n d ) .

5. L i t e r a t u u r

1. F i r e s t o n e T i r e & Rubber Co.

V e r s c h i l l e n d e f a b r i d a m - i n s t a l l a t i e s t e k e n i n g g e d a t e e r d 12-10-59.

2. N.M. I m b e r t s o n : A u t o m a t i c Rubber D i v e r s i o n Dam i n t h e Los Angeles R i v e r . J o u r n a l Am. Water Works Ass., Volume 52, no. 1 1 , nov. 1960, p. 1373-1378. 3. H.J. van der B u r g : De b e r e k e n i n g van een stuw van r u b b e r .

De i n g e n i e u r . Bouw- en Waterbouwkunde 20, 22 dec. 1 9 6 1 , b l z . B229 t/m 235.

4. Rapport van de p r o e v e n met een z.g. „Schulpstuw" i n de s c h u t s l u i s van h e t K a n a a l van Steenenhoek, w e l k e op 19 a p r i l 1962 i n h e t k a d e r van de wet B.W.O. z i j n gehouden door de P r o v i n c i a l e W a t e r s t a a t s d i e n s t e n van Z u i d - H o l l a n d en M o o r d - H o l l a n d .

5. O c t r o o i a a n v r a a g 15 nov. 1962 van J.C. Buyze t e Haarlem: Beweegbare stuw met een door een medium onder d r u k v u l b a a r o m h u l s e l .

6. J. v.d. Berge: T o e p a s s i n g van k u n s t o f b i j v e r h o g i n g van een stuw. P o l y t e c h n i s c h T i j d s c h r i f t , 26 j u n i 1963.

7. J . L i e v e n s e : Oppompbare bodemslab v o o r h e t k e r e n van w a t e r . Ned. o c t r o o i no. 110556, 17-8-1964.

8. H.O. Anwar: I n f l a t a b l e dams.

J o u r n a l o f t h e Hydr. D i v i s i o n o f t h e ASCE, May 1967, p. 99 t/m 119. 9. W a t e r l o o p k u n d i g L a b o r a t o r i m n , D e l f t .

Rapport M912: B a l g s t u w B e r k e l s e Zwet, s e p t . 1967. 10. V r e d e s t e i n : p e r s b e r i c h t 14-8-'69, Amsterdam.

11. B. H a k k e l i n g : Een oppompbare w a t e r k e r i n g : de S c h u l p s t u w . O t a r 55 ( 1 9 7 0 ) n r ; S, b l z . 154 t/m 158.

12. H. Gunther und F. J a g e r : F l e x i b l e r Staukörper a u f dem Muldewehr P e n i g . WWT-20, Jahrgang (1970) H e f t 10, p. 332-336.

13. N e d e r l a n d s e e r s t e h y d r o s t u w i n w e r k i n g . Water 54 (1970) ( 1 1 ) , b l z . 659.

14. J. Maurer: E l a s t i s c h e Schlauchwehre.

W a s s e r w i r t s c h a f t 62 (1972) 1 1 , p. 346 t/m 350.

15. A.M. B i n n i e : The Theory o f f l e x i b l e dams i n f l a t e d by w a t e r p r e s s u r e . J o u r n a l o f H y d r a u l i c Research, lAHR, Volume 11-1973-no. 1 , p. 61-68. 16. G.M. B i n n i e , A.R. Thomas and J.G. Gwyther

I n f l a t a b l e w e i r f o r c o n s t r u c t i o n o f Mangla Dam ( P a k i s t a n ) . P r o c e e d i n g s ....

5 - 2

1 7 . H. Droscha: E i n Wehr ohne A u f b a u t e n über dem Wasser.. S c h i f f & H a f e n , H e f t 5 / 1 9 7 4 , 2 6 . J a h r g a n g , p. 4 5 9 , 4 6 0 .

1 8 . Rubber dam t o s t o p Venice f l o o d w a t e r . World D r e d g i n g & M a r i n e .

1 9 . Neue H o f f n u n g für d i e „Königin d e r A d r i a " .

I n f o r m a t i o n , I n d u s t r i a l F i b e r s o f Enka G l a n z s t o f f , J a h r g a n g 1 1 1 Jg Nr. 2 » Mai 1 9 7 5 , p. 1 - 5 .

2 0 . R.A. Gunnerson: I n f l a t a b l e dam r e g u l a t e s r i v e r l e v e l . C i v i l E n g i n e e r i n g - ASCE, Febr. 1 9 7 6 , p. 8 3 .

2 1 . I s l a n d s i n t h e sea.

The Dock & Harbour t u t h . , nov. 1 9 7 6 , p. 2 5 4 , 2 5 5 .

2 2 . P r o t o t i r p e sand i s l a n d b e g i n s t e s t i n g . Ocean I n d u s t r y , nov. 1 9 7 6 , p. 6 2 - 6 5 ,

2 3 . New port-a~dam: easy t o i n s t a l l and d u r a b l e . W o r l d C o n s t r u c t i o n , s e p t . 1 9 8 0 .

A f s t u d e e r v e r s l a g e n :

2 4 . H.J. B e r k , j u l i 1 9 7 0 .

Onderzoek n a a r de m o g e l i j k h e i d van de t o e p a s s i n g ' v a n een f a b r i d a m t . b . v . de a f s l u i t i n g van b e t V o l k e r a k .

2 5 . J.P. Oslam, j a n . 1 9 7 3 .

A f s l u i t i n g Lauwerszee d,m.v. een l o s l i g g e n d e ^ d e e l s met zand g e v u l d e , rubberdam o f Fabridam. 2 6 . M. v . d . W a l , 1 9 7 4 Ontwerp v o o r een n o o d k e r i n g i n de G e l d e r s e I J s s e l . 2 7 . J.H.A. W i j b e n g a , j u n i 1 9 7 5 . Ontwerp v o o r een s t o r m v l o e d k e r i n g i n de O o s t e r s c h e l d e . 2 8 . Ch. J.A. H a k k a a r t , f e b r . 1 9 7 7 . S t o r m v l o e d k e r i n g O o s t e r s c h e l d e . 2 9 . J . D u i z e n d , j u n i 1 9 8 1 , S c h u l p s t u w i n h e t S p u i .

L i j s t van g e b r u i k t e symbolen Symbool a b h k k2 k2 m P Ap S t v w X z O m s c h r i j v i n g b r e e d t e s t e u n v l a k van de b u i s ( i n „den d r o g e " ) b r e e d t e s t e u n v l a k v a n a f p r o j e c t i e h o o g s t e p u n t ( B ) aan bovenstroomse z i j d e hoogte k o k e r v e r s n e l l i n g van de v r i j e v a l w a t e r d i e p t e v e e r c o n s t a n t e I H R TH

+ ÏÏF

2 N2 massa d r u k d r u k v e r s c h i l a f s t a n d l a n g s de omtrek van de b u i s t i j d s t r o o m s n e l h e i d waakhoogte c a r t h e s i s c h e coördinaten E e n h e i d m m m m/s' m N/m kg/m" N/m^ N/m^ m s m/s m m m i n d e x b i b i n n e n bu b u i t e n e _{e n e r g i e} g g o l f r r e s u l t e r e n d e s s i g n i f i c a n t t t r e k H h o r i z o n t a a l V v e r t i c a a l a c o n s t a n t e , O < a < 1 -g c o n s t a n t e , 0 < 3 < l j ° ' " ^ ^ ~ ' ' '

e (thèta) hoek (= i ^) rad y wrijvingscoëfficiënt p d i c h t h e i d van h e t w a t e r kg/m 2 O ( t r e k ) s p a n n i n g N/m - . T / 2 a t o e l a a t b a r e s p a n n i n g N/m

6-2 $ ( p h i ) hoek r a d i) ( p s i ) hoek (= l ^) r a d n opgedrongen f r e q u e n t i e r a d / s 0) e i g e n f r e q u e n t i e - r a d / s S som t e k e n 2 A o p p e r v l a k m A B C } c o n s t a n t e n e l l i p t i s c h e i n t e g r a a l van de 1® s o o r t £ I t I T I T I I 2® " F, F k r a c h t N o f N/m F g o l f k r a c h t N/m F a m p l i t u d e van de g o l f k r a c h t F N/m g g G g e w i c h t N o f N/m H w a t e r o v e r d r u k i n de b u i s m H h o r i z o n t a l e k r a c h t N o f M/m e n e r g i e h o o g t e (van h e t stromende w a t e r ) m H g o l f h o o g t e m H s i g n i f i c a n t e g o l f h o o g t e m L l e n g t e m BË l e n g t e l i j n s t u k BE m M moment N. m N / ^2 _ ö + 1 2 hg E O omtrek van de b u i s m m R s t r a a l o f r e k e n g r o o t h e i d m R k r a c h t ( r e s u l t a n t e ) N o f N/m

S omtrek van de b u i s o f een d e e l van de omtrek m ( b o o g l e n g t e )

T t r e k k r a c h t i n de b u i s w a n d ( h e t v l i e s ) ( p e r e e n h e i d N/m van b r e e d t e van de w a t e r l o o p o f p e r e e n h e i d van l e n g t e

van de b u i s ( b a l g ) ) V v e r t i c a l e k r a c h t N o f N/m V volume m"^ W k r a c h t ( d o o r h e t w a t e r ) N o f N/m X X-as, h o r i z o n t a a l Z Z-as, v e r t i c a a l P /2 Hg Rg

—;^

. 2 De k r a c h t e n op een e l e m e n t j e ds van de b u i s o m t r e k i n g e v a l f i g .

1.

j

i

" i g . 9 H o r i z o n t a a l e v e n w i c h t t u s s e n dsn I en I I .

Fig.10

De b u i s , a l s w a t e r k e r i n g , aan 2 z i j d e n w a t e r en waakhoogte w = O.

I

Fig.11

Verband t u s s e n H^, Hg, R^, Rg, b en T, waakhoogte w = o en h ^ en hg c o n s t a n t , dus Hg - H^ (= h ^ - h g ) = c o n s t a n t . T = pgH^R^ = PgHgRg-^H^R^ = HgRg ( 1 8 ) T = p g ^ l . H ^ + p g 2 2 ^2 ^ r e c h t e l i j n R. = ^ h_l _ ( h i - h 2 ) ' _{2 i+H.} '2 1. X- 2 ^ 2 l i + h i - h2 2 4 H ^ ( 1 3 c ) v o o r Hg 0 (13d) <=o dan ^ 1

U

^ en T -R- •

^ t in s

Fig. 21 V e r s c h i l i n g o l f b e l a s t i n g .

t

in s

Fig. 22 V e r l o o p i n ( g e s c h e m a t i s e e r d e ) p i e k d r u k v o o r een s t a r r e ( t ^ , p ^ ) en een f l e x i b e l e ( t ^ j P g ) c o n s t r u c t i e .

F i g . 23

M o g e l i j k e b e l a s t i n g v o r m om de s t a t i s c h e g o l f d r u k i n r e k e n i n g t e b r e n g e n .