Produktywność kapitału a inwestycje zagraniczne w dwubiegunowym modelu wzrostu gospodarczego : analiza konwergencji

KATARZYNA FILIPOWICZ, RAFAŁ WISŁA, TOMASZ TOKARSKI

PRODUKTYWNOŚĆ KAPITAŁU A INWESTYCJE ZAGRANICZNE W DWUBIEGUNOWYM MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO

- ANALIZA KONWERGENCJI1

1. WPROWADZENIE

Celem prezentowanego opracowania jest analiza oddziaływania inwestycji kra­

jowych i zagranicznych na równowagę długookresowego wzrostu gospodarczego na gruncie dwubiegunowego modelu wzrostu. Model ten stanowi rozszerzenie neokla- sycznego modelu wzrostu Solowa (1956) o przepływy inwestycyjne. W modelu ana­

lizuje się bowiem funkcjonowanie dwóch gospodarek - nazywanych dalej umownie gospodarkami bogatą oraz biedną2. W prezentowanym modelu zakłada się m.in., że zarówno gospodarka bogata inwestuje w gospodarce biednej, jak i gospodarka biedna inwestuje w bogatej. Co więcej, przyjmuje się, że przepływy inwestycyjne między tymi gospodarkami zależne są od produktywności kapitału w obu typach rozważanych gospodarek.

Struktura opracowania przedstawia się następująco. W punkcie 2 znajduje się przegląd literatury dotyczącej determinantów przepływów inwestycyjnych. Punkt 3 zawiera założenia rozważanego modelu wzrostu gospodarczego oraz analizę sta­

bilności i właściwości ekonomicznych długookresowej równowagi owego modelu wzrostu (przez punkt równowagi rozważanego w pracy modelu wzrostu rozumie się asymptotycznie stabilny punkt stacjonarny analizowanego weń układu równań róż­

niczkowych3). W punkcie 4 przedstawiono kalibrację jego parametrów oraz symulacje

1 Autorzy dziękują Pani Profesor Magdalenie Osińskiej (z Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu) oraz Panom Profesorom Eugeniuszowi Kwiatkowskiemu i Michałowi Majsterkowi (z Uni­

wersytetu Łódzkiego) za uwagi do wstępnej wersji prezentowanego opracowania. Rzecz jasna, całkowita odpowiedzialność za ostateczną wersję pracy spada na autorów.

2 Wydaje się, że gospodarki te można utożsamiać zarówno z grupami bogatych gospodarek kra­

jowych północy i biednych gospodarek południa (w skali gospodarki światowej), gospodarek Europy Zachodniej i Wschodniej (w skali Europy), regionów północy i południa we Włoszech lub województw zachodu i wschodu w Polsce.

3 Szeroki przegląd alternatywnych modeli wzrostu gospodarczego oraz stanów długookresowej równowagi znaleźć można np. w pracach Acemoglu (2009) lub Aghiona, Howitta (2009).

num eryczne w ybranych stanów długookresow ej rów now agi m odelu. O pracow anie kończy punkt 5, w którym znaleźć m ożna podsum ow anie prow adzonych w nim roz­

w ażań oraz w ażniejsze wnioski.

1. PRZEGLĄD LITERATURY

M iędzynarodow e ugrupow ania integracyjne, gospodarki krajow e, czy w ydzielone w ich granicach w zględnie jednorodne obszary, odróżniające się od terenów przyle­

głych naturalnym i lub nabytym i atrybutam i cechuje zróżnicow any poziom i tem po w zrostu gospodarczego4. Do kryzysu w 2008 roku dysproporcje m iędzy gospodarkam i regionów w U E malały. Było to spow odow ane głów nie tym, iż regiony z najniższym PKB na m ieszkańca rozw ijały się ponadprzeciętnie szybko i doganiały zam ożniejsze regiony. W latach 2008-2011 dysproporcje m iędzy regionam i uległy niew ielkiem u p o g łęb ien iu (K om isja E uropejska, 2014, s.3). D uże dysproporcje gospodarcze zarów no m iędzy gospodarkam i krajow ym i ja k i regionam i m ożna dostrzec w obsza­

rze Północnoam erykańskiego U kładu W olnego Handlu, w państw ach BRIC (Brazylia, R osja, Indie, Chiny) oraz w obrębie innych porozum ień, ugrupow ań integracyjnych, zw iązków państw, ja k rów nież m iędzy nimi.

W ystępow anie w przestrzeni ekonom icznej gospodarek bogatych i gospodarek biednych stanow i konsekw encję polaryzacji rozw oju jak o w ynik m .in. zróżnico­

w anej produktyw ności czynników produkcji oraz kierunków i dynam iki nakładów inw estycyjnych. A rtykuł w pisuje się w szeroki nurt poszukiw ań przyczyn procesów polaryzacji rozw oju z uw zględnieniem tych w łaśnie stym ulant rozw ojow ych (Solow, 1956; Lucas, 1988; M ankiw i inni, 1992; N onnem an, V anhoudt, 1996; M roczek i inni, 2014). O bok wyżej w ym ienionych, podstaw ow ych determ inant w zrostu, jest w idoczny rów nież silny nurt poszukiw ań w zakresie oddziaływ ania zm ian stopy redystrybucji budżetow ej, nierów ności dochodow ych oraz kapitału społecznego na rów now agę długookresow ego w zrostu gospodarczego (Sztaudynger, 2007; K um or i inni, 2009).

Szerszym kontekstem dla prow adzonych rozw ażań są: teoria kum ulatyw nej przy- czynowości (M yrdal, 1957; Kaldor, 1970), teoria polaryzacji (Hirschm ann, 1958) oraz teoria centrum i peryferie (Friedm ann, Weaver, 1979).

Teoria kum ulatyw nej przyczynow ości M yrdala akcentuje konieczność w yw oła­

nia w ystarczająco dużej i intensyw nej zm iany (np. w postaci strum ienia inw estycji zagranicznych) by w yw ołać im puls dla korzystnego kierunku zmian. Proces ten m oże w yw oływ ać w dalszej kolejności efekty dw ojakiego rodzaju. Początkow o, efekt zasy­

sania (czynników w zrostu) z otoczenia, a w dalszej kolejności (z różną intensyw no­

ścią) efekt rozprzestrzeniania. Bilans w ielkości i siły tych efektów w yjaśnia poziom zróżnicow ania rozwoju. Zdaniem M yrdala (1963) m echanizm rynkow y pozostaw iony

4 Szeroko na temat różnic pomiędzy poziomem i tempem wzrostu oraz rozwoju gospodarczego por. np. Malaga (2013).

sam sobie pow oduje raczej w zrost niż zm niejszanie nierów ności w przestrzeni gospodarczej. W ykorzystanie narzędzi interw encji publicznej ogranicza niekorzystne zjaw iska w tym w zględzie. W rozw iniętym przez K aldora (1970) m odelu kum ula­

tywnej przyczynow ości, prócz zm ian inw estycyjnych, w ielkości produkcji w ażna jest rów nież produktyw ność kapitału. Z m odelu K aldora płynie w niosek, że gospodarki (analizow ane na różnym poziom ie agregacji), w których w ystępują w iększe nierów ­ ności w ykazują w yższe stopy w zrostu5.

Teoria p o lary zacji H irsch m an n a rów nież w y k o rzy stu je efekty w ym yw ania i odprysku. Z tym, że efekt rozprzestrzeniania się pow inien stopniowo doprowadzić do rozw oju w szystkich gospodarek w określonej przestrzeni bez interw encji państwa.

W arunkiem zaistnienia takiego zjaw iska je s t pow stanie efektu sieci m iędzy różnym i stadiam i procesu w ytw órczego. Jednak samo ju ż pow iązania m iędzy w cześniejszym i (opóźnione południe) i późniejszym i (rozw inięta północ) stadiami produkcji powoduje tw orzenie centrów przem ysłow ych. W tak pierw otnie ukształtow anych w arunkach działania, instytucjonalizacja pow iązań z w ykorzystaniem inw estycji pryw atnych i publicznych m oże pozw olić na przekształcenie struktury tych relacji w efektyw ną sieć gospodarczej współpracy.

Teoria centrów i peryferii pow stała jak o uogólnienie obserw ow anej rzeczyw i­

stości A m eryki Łacińskiej w latach czterdziestych X X wieku. Trudne do pokonania efekty dom inacji i zależności pewnej grupy krajów św iata stały się przyczynkiem do w prow adzenia pojęcia gospodarki peryferyjnej (Prebisch, 1950). Rozwój obszarów peryferyjnych odbyw a się w w yniku oddziaływ ania centrum w relacji podporządko­

w ania i wzm acniającej jeg o dom inacji dzięki efektom kum ulatyw nym . W spółcześnie, nierów ność relacji m iędzy bogatym i a biednym i krajam i je s t jed n ą z w ażniejszych przyczyn objaśniających zróżnicow anie rozwoju.

Prócz w ym ienionych dalej szczegółow ych założeń m odelu, uznaje się rów nież za istotne ogólne spostrzeżenia M yrdala i K aldora w części konieczności w yw ołania pierw szej (korzystnej) zm iany (np. poprzez w zrost nakładów inw estycyjnych) oraz H irschm anna w części nieinterw encyjnego, stopniow ego efektu rozprzestrzeniania się pozytyw nych efektów z gospodarek bogatych do gospodarek biednych.

5 Kaldor objaśnia to zjawisko poprzez różnice krańcowych stóp oszczędności ludzi bogatych i biednych. W przypadku tych pierwszych są one większe. Taka sytuacja wpływa na relacje między stopą oszczędności, stopą inwestycji a stopą wzrostu gospodarczego.

2. MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z PRZEPŁYWAMI INWESTYCYJNYMI ZALEŻNYMI OD PRODUKTYWNOŚCI KAPITAŁU6

2.1. ZAŁOŻENIA MODELU

W prow adzonych rozw ażaniach przyjm uje się następujące założenia dotyczące funkcjonow ania dw óch gospodarek (bogatej, oznaczanej dalej subskryptem 1, i bied­

nej - do której stosuje się subskrypt 2).

1) Proces produkcyjny w /-tej (dla /'=1, 2) gospodarce opisuje rozszerzona funk­

cja produkcji C obba-D ouglasa (1928) dana w zorem (por. też np. Żółtow ska, 1997;

Tokarski, 2009, 2011)7:

V(,, j = 1,2 л i * j ) Y, (t) = a { k j ( t f ( K , { t ) Y ( L , « ) ь “ , (1) gdzie a , Д ( a + Д) e (0;1) oraz a>0. Y w funkcji produkcji (1) oznacza w ielkość produkcji w gospodarce i w m om encie t > 0, K oraz L t - zasoby kapitału (rzeczo­

w ego) i pracy w owej gospodarce, natom iast kj (gdzie k j=K j/L j) to zasób technicznego uzbrojenia pracy (czyli kapitału na pracującego) w gospodarce j . a w rów naniu (1) oznacza elastyczność produkcji w zględem nakładów kapitału (a zatem 1 - a oznacza elastyczność Yi w zględem L ) , zaś fi je s t elastycznością łącznej produkcyjności czyn­

ników produkcji8 (lub w ielkości produkcji) w gospodarce i w zględem technicznego uzbrojenia pracy (lub zasobu kapitału) w gospodarce j . O ddziaływ anie technicznego u zbrojenia pracy w gospodarce j n a łączną produkcyjność czynników produkcji w gospodarce i (dla i Ф j ) m ożna uzasadnić na trzy sposoby.

Po pierw sze, podobnie ja k m a to m iejsce w graw itacyjnym m odelu w zrostu gospodarczego (M roczek, Tokarski, 2014; M roczek i inni, 2014), m oże ono w yni­

kać z działania efektu graw itacyjnego. Potw ierdzają to w yniki badań em pirycznych w zakresie czynników determ inujących przepływ y handlow e w Unii Europejskiej.

6 Prezentowany model wzrostu gospodarczego stanowi rozszerzenie modelu zaproponowanego w pracy Mroczek, Tokarskiego, 2015a. W opracowaniu tym traktowano jednak kombinacje inwestycji krajowych i zagranicznych egzogenicznie. Nie uwzględniano zatem oddziaływania produktywności kapitału na przepływy inwestycji pomiędzy wyróżnionymi w modelu typami gospodarek.

7 O wszystkich występujących dalej zmiennych makroekonomicznych zakłada się, iż są różnicz- kowalnymi funkcjami czasu t > 0. Zapis x(t) oznaczał będzie dalej wartość zmiennej x w momencie t,

zaś x(t) = dx / dt - pochodną zmiennej x po czasie t, czyli (ekonomicznie rzecz biorąc) przyrost wartości owej zmiennej w momencie t.

8 Przy funkcji produkcji Cobba-Douglasa danej wzorem: Y = A Ka]}~a , gdzie Y oznacza strumień wytworzonego produktu, K - nakłady kapitału rzeczowego, L - nakłady pracy, zaś a £ (0;1), łączną pro­

dukcyjność czynników produkcji A (pomija się tu subskrypty i odnoszące się do kolejnych gospodarek) można utożsamiać w produktem Y wytworzonym z jednostkowych nakładów kapitału K i pracy L. Przy funkcji produkcji (1) łączna produkcyjność czynników produkcji w gospodarce i równa jest zatem a k ?

(dla j Ф i).

O bok w yraźnego w pływ u w ielkości gospodarek, poziom u ich rozw oju, w ażnym czynnikiem sprzyjającym rozw ojow i obrotów handlow ych okazują się bezpośrednie inw estycje zagraniczne (Pietrzak, Łapińska, 2014).

Po drugie, oddziaływ anie kj na Y, gdzie k j> k i, m oże być skutkiem tego, iż gospo­

darki biedne (absorbując drogą im itacji now e rozw iązania technologiczne) korzystają z w ysokiego technicznego uzbrojenia pracy w gospodarkach bogatych. Po trzecie w reszcie, na efektyw ność funkcjonow ania gospodarek biednych pozytyw nie oddzia­

łuje lepiej rozw inięta infrastruktura (np. transportow a) w gospodarkach bogatych, na efektyw ność funkcjonow ania gospodarek bogatych negatyw nie zaś w pływ a słabiej rozw inięta infrastruktura gospodarek biednych9.

Funkcje produkcji (1) są jednorodne stopnia 1 w zględem K i oraz L t i jednorodne stopnia 1+y#>1 w zględem K i, L t oraz kj. D latego też funkcje te charakteryzują się stałym i efektam i skali w zględem K oraz L t i rosnącym i efektam i skali w zględem Ki, L t oraz kj (szerzej na tem at w pływ u efektów skali na długookresow ą rów now agę w zrostu gospodarczego por. np. Tokarski 2006, 2007a, 2007b, 2008).

Z funkcji produkcji (1) w ynika rów nież m .in., że relacje pom iędzy ilorazam i w ydajności pracy y t i technicznych uzbrojeń pracy k (dla dow olnych kb k2>0) opisują związki:

Z zależności (2) w yciągnąć m ożna w niosek, iż poziom w ydajności pracy y t je s t w yższy w tej gospodarce, która charakteryzuje się w yższym poziom em technicznego uzbrojenia pracy ki.

gdzie d t e (0;1). s iiYi w rów naniu (3) oznacza w ielkość inw estycji zarów no realizow a­

nych w gospodarce i, ja k i finansow anych przez ową gospodarkę, zaś s ijYj - wielkość inw estycji realizow anych w gospodarce i a finansow anych przez gospodarkę j . O zna­

cza to, że w ielkość s ijYj opisuje inw estycje zagraniczne przepływ ające z gospodarki

j do gospodarki i (ograniczenia na stopy sii oraz s ij w prow adzone są w założeniach 3 -4 ). N atom iast Si oznacza stopę deprecjacji kapitału w gospodarce i. R ów nania akum ulacji kapitału (3) stanow ią rozszerzenie rów nania akum ulacji kapitału z neo-

(2)

2) Przyrosty zasobów kapitału w gospodarkach i (czyli K, ) opisują rów nania różnicz­

kowe:

v (ń j = 1,2 A j Ф i) K , (t ) = s ti (t )Y (t ) + Sj (t)Yj (t ) - 8 lK l (t ) , (3)

9 Przemyśl korzysta np. z autostrady wiodącej z Rzeszowa przez Kraków i Wrocław do Niemiec, zaś Rzeszów nie ma możliwości korzystania z dobrej infrastruktury transportowej leżącej na wschód od tego miasta, gdyż taka infrastruktura nie istnieje (por. też np. Mroczek, Tokarski, 2015a, 2015b).

klasycznego m odelu w zrostu Solowa. R ozszerzenie to polega na tym , iż w m odelu Solowa nie uw zględnia się przepływ ów inw estycyjnych pom iędzy różnym i gospo­

darkam i (gdyż je s t to m odel w zrostu gospodarki zam kniętej), zaś w prezentow anym tu m odelu w zrostu uw zględnia się przepływ y inw estycyjne pom iędzy gospodarkam i bogatą oraz biedną.

3) G ospodarka i (dla i=1, 2) inw estuje (u siebie oraz za granicą) w każdym m om encie

t część sw ojego produktu rów ną s t e (0;1). Stopa s nazyw ana będzie dalej stopą inw estycji gospodarki i.

4) Inw estycje finansow ane przez gospodarkę i (dla i=1, 2) dzielą się na inw estycje realizow ane w owej gospodarce (czyli s iiYi) oraz inw estycje realizow ane w gospodarce

j (a w ięc sjiYi, dla j Ф i ). Co w ięcej, przyjm ujem y, że udział inw estycji finansow a­

nych przez gospodarkę i a realizow anych w gospodarce j w ogólnych inw estycjach gospodarki i (oznaczany dalej przez i , = s ji /s,) ) je s t (po pierw sze) tym wyższy, im w yższa je s t relacja produktyw ności kapitału p j = y j l k j w gospodarce j w stosunku do produktyw ności kapitału p i=yi/ki w gospodarce i oraz (pod drugie) relacja ta opisana je s t przez funkcję logitow ą daną w zorem 10:

V(i = 1,2 A j Ф i) l , ( p j ( t)/p, ( t))= — --- / ^ , , A , (4) 1 + exp^- y [ t ) / p t [ t ))

gdzie i e (0;1) w rów naniu (4) oznacza górną granicę udziału inw estycji, które reali­

zow ane są za granicą. Jeśli zaś przez:

) = p $ ( 5 )

oznaczy się iloraz produktyw ności kapitału w gospodarkach 1 i 2, to z zależności (4 -5 ) w ynika, iż:

n ( \ ^

1 + e - , „ (6)

10 Ponieważ iloraz p j / p i (przy k1, k2>0) można zapisać jako:

a stąd oraz z równania (2) wynika, iż: ±J- =P ■ P,

( k, Т ~ р к,. ( к

v k, J к,

-{l-a+p) P, y , kl J

co powoduje, że:

V i /

P k j / kt > 0 —~f --- ¥

j l dd(kj / к{pJ / P ,,)) = -(1 - a + f i f b -

j ' -i ) V кi J

л-(2-a+p)

< 0, zatem w gospodarkach bogatszych produktyw­

ność kapitału jest niższa, niż w gospodarkach biedniejszych.

oraz:

(7) Z rów nań (6 -7 ) w yciągnąć m ożna następujące wnioski:

i. Jeśli n ^ 0+ (a zatem w ów czas, gdy produktyw ność kapitału p 1 zm ierza do zera, przy produktyw ności kapitału p 2>0), to i 1 ^ i oraz i 2 ^ i / 2 . Czyli w ów czas gospodarka bogata inw estuje za granicą część łącznych sw oich inw estycji rów ną A zaś gospodarka biedna inw estuje w bogatej część inw estycji w ynoszącą i / 2 . ii. Przy n ^ (a w ięc w sytuacji przeciw nej do scharakteryzow anej uprzednio)

i 1 ^ i / 2 oraz i 2 ^ i .

iii. Poniew aż11 d t j d n < 0 oraz d i2 /d n > 0, zatem im w yższa je s t relacja produk­

tyw ności kapitału w gospodarce 1 do produktyw ności kapitału w gospodarce 2, tym niższy je s t odsetek inw estycji zagranicznych w gospodarce bogatej, wyższy zaś - w gospodarce biednej.

iv. Stąd zaś, że dla każdego n > 0 zachodzi d 2i x/ d n 2 > 0 oraz d 2i 2 / d n 2 < 0 w ycią­

gnąć m ożna w niosek, iż je śli iloraz ж rośnie, to udział i x (i 2 ) spada (rośnie) coraz szybciej (wolniej).

v. U działy i x i i 2 inw estycji zagranicznych są sobie rów ne w tedy i tylko wtedy,

n = p 1l p 2 m usi być rów ny 1. Co w ięcej, z przedstaw ionych tu w łaściw ości funkcji (6 -7 ) w ynika, że jeśli iloraz produktyw ności kapitału ж je s t m niejszy (większy) od 1, to i j > i 2 ( i j < i 2 ) , a zatem gospodarka bogata przeznacza na inw estycje zagraniczne w iększą część sw oich inw estycji, niż gospodarka biedna.

Z założenia 4 oraz z rów nania (4) w ynika także, że:

gdy : 1 . -1/ Ж Л . -ж

1 + e 1 + e

, co pow oduje, że przy я>0 iloraz produktyw ności kapitału

\

^11 ( 0 = [ j - А М 0 Ж = 1

1 + e x p (- P2 ( t ) / P1 ( t ) ) j (8) V

(10) oraz:

(11)

11 Znaki pierwszych i drugich pochodnych funkcji (6-7) bezpośrednio wynikają z właściwości funkcji logitowych.

5) W gospodarce bogatej pracuje odsetek pracujących (w obu gospodarkach) rów ny

a> e (0;1), zaś w gospodarce biednej - odsetek w ynoszący 1 - a>. Płynie stąd wniosek, że:

L 1 = a L 2 (t) = (ł - o ) L ( t ) , (12) gdzie L je st łączną liczbą pracujących w obu analizow anych gospodarkach.

6) L iczba pracujących w obu gospodarkach rośnie w edług stopy w zrostu n>0, co pow oduje, że:

L ( t ) = L 0e nt ^ L(f)/ L ( t ) = n , (13) przy czym L0>0 je s t łączną liczbą pracujących w m om encie t= 0 .

2.2. RÓWNOWAGA MODELU

W ydajności pracy y i= Y il L i (dla i = 1 , 2) w obu rozw ażanych gospodarkach, zgodnie z zależnościam i (1), m ożna zapisać wzorami:

V(/, j = 1,2 a j Ф i) y (t ) = a { k i (t))a {k} ( t))/?. (14) Poniew aż dla każdego i = 1 , 2 k ^ K / L , zatem - po zróżniczkow aniu pow yższych zależności w zględem czasu t oraz uw zględnieniu zw iązków (1 2 -1 3 ) - mamy:

k (t ) = K j Щ) - К (f M) = M i _ n k ( t) (15)

k A 4 L (t ))2 L ( t) ” n m . (15)

W staw iając do rów nania różniczkow ego (15) zależności (3) dochodzi się do wzorów:

k1 (t ) = ^11 (t )У1 (t ) + ^12 (t У 2 (t ) - M (t ) ( 16) oraz:

k 2 (t ) = ^22 (t )y 2 (t ) + ^21 (t ) Y ^ У1 (t ) _ ^2k2 (t ) » ( 17)

gdzie dla kolejnych i = 1 , 2 Ą + n > 0 oznacza stopę ubytku kapitału na pracuj ą­

™ L <° L2 1 - m

cego w gospodarce i. Ponieważ z rów nan (12) wynika, iż: — = oraz — = --- ,

L2 1 — a L 1 m

w ięc rów nania różniczkow e (1 6 -1 7 ) m ożna zapisać następująco:

1 - a

k 1 (t ) = S11 (t )У1 (t ) + S12 (t )---У2 (t ) - M i (t )

a

(18)

i:

k 2 (t ) = S22 (t )у2 (t ) + S21 (t У1 (t ) ~ ^2k2 (t ) 1 - m '

(19)

W staw iając zaś funkcje w ydajności pracy (14) do rów nań (1 8 -1 9 ) okazuje się, że:

k1 (t ) = S11 (t )a (k1 (t) T ( k 2 W f + S12 (t )1 ~ a (k2 (t ))“ (k1 ( 0 f “ M (t )

a a

k 2 (t ) = S22 (t M A (t ))“ (k1 (t + S21 (t )“---a (k1 (t ))“ (*2 (t ) Y - M k 2 (t ) 1 - a

(20)

Poniew aż dla dow olnych i, j= 1 , 2 (przy j Ф i) relacje produktyw ności kapitału

p j p , opisują związki:

/ч Л / ч v ( J-«+U

Рг (t ) _ [ К (t )

P j (t) ( k M ) ,

(21)

w ięc stąd oraz z rów nań (4) uzyskuje się:

A )) = *!

V k2 (O j 1 + exp ( - ( k10 ) / k2 ( 0 Г “+^) oraz:

■ М Ф ^a , ( Ф

V k2'(O j 1 + exp (- (k1 ( t ) / k 2 (t))41^ ^ )

(22)

(23)

W staw iając zaś rów nania (2 2 -2 3 ) do zw iązków (8 -1 1 ) mamy:

ii(

0

21 ^{A ( Ф}

V k2'(O j 1 1 + exp ( - ( k1 ( t ) / k 2 ( 0 Г “+^) J ,

(25)

22(t ) = 1 ^{~ h}

k k S t f

V k2 (t )y S2 =

1 + exp ( - ( k1 (t )/ k 2 (t ))4i~“+^ ) ^

(26) oraz:

S12 (t ) ^2A . (t f

A k2 (t ) j 2 1 + exp (- (k1 (t )/ k 2 (t ))^(l_“+^)) 2 (27) Po w staw ieniu zależności (2 4 -2 7 ) do układu rów nań różniczkow ych (20) sprow a­

dzam y go do następującej postaci:

k

t

s

k 2 (t)

1

= s

V k 2 ( t ) y

"^{п ^ л}

V k 2 (t ) y

a

t

(

(

))“(A (tF + ¥

1

a 1

k 2 W ,

k W V k 2 ( 0 у 1

a(k

W)“(k

“ M (0 a(k

(0)“(k

(0f

k

(0

(28)

U kład rów nań różniczkow ych (28) analizow any będzie w przestrzeni fazowej

P = (0;+ro)2. Pokażem y też, że w przestrzeni fazow ej P rozw ażany układ rów nań różniczkow ych posiada dokładnie jed en punkt stacjonarny k = ^k., k2j, W punkcie tym k. = k2 = 0, co oznacza, że iloraz kj*/k*2 je s t w ów czas pew ną dodatnią liczbą rzeczyw istą к. D latego też k* je s t rozw iązaniem następującego układu równań:

s. (l - 1. { к ) ) к а + s 2i2 ( ^ )j —— a{k*2 Y +^ - р .кП,

a j

S2 (j - h W ) ^ + S1*1 К “ № Y +P = 1 - © )

(29)

Dzieląc pierw sze przez drugie z rów nań układu rów nań (29) dochodzi się do związku:

~ a ) 1 ( Л Ж - s 2 ( „ W ^ a + i ^ si® Ц_{к)кр+1

— ^ - i . ( к $ ) к а +■

P i p . a ',2 ( * У = ± (1 - * a М У " + ~ ^ ~ .

p 2 p 2 (1 - a )

który m ożna zapisać także następująco:

ф{к ) = ^ (i -«2 м у + S f - d i ( - y +i (i - u w y -

P2 (1 - Я ) Р . P i ®

Pow yższe rów nanie zapisać m ożna rów nież wzorem:

l2 ( * У = 0.

ф { к ) = кф { к ) = 0 , (30)

1

gdzie:

Ф ( к) = ^ (1 . , 2 (к ) у + — т г ~ \ h ( * Y - ( 1 - M U 1 - > 2 . (31)

Рг Рг

i

Ze zw iązku (30) w ynika, że dla każdego k> 0 sgn^(V ) = sg n ^ (/c). N atom iast funkcja ф { р*) dana w zorem (31) charakteryzuje się następującym i w łaściwościam i:

i. Z rów nań (22-23) wynika, że lim i. (V) = i /2 e (0;1/2) i lim i2(V) = i e (0;l), zatem

к ^ 0+ k^ 0 +

lim ф { к ) = -да .

к^0+

ii. Stąd zaś, że lim i.{k) = ^ oraz lim i2(/c) = i /2 otrzym ujem y, iż lim ф { к ) = + ю. iii. Co w ięcej, ponieważ:

Ф' M = —

p 2

d i . d n

d u fca + a ( l - i 2 ( к ) ) к а -.

s .i

P i

d n

к аЛ - (l - «X l ~ h

+ ^{s . a}

,a -2

P2 (j “ ®)

d i d i .

F + p i . f y - '

S2 ( ' - ® ) d n

d n

к рл - ( ' {k)kp' +

- 2

d p _ j ( i- q + /3 ) K a+fl ex p (- 0

d K (l + exp(— к 1~а+Р JY

oraz:

d i ^ _ _ l( l - a + P )k (2~a+p) ex p (-

d n (i + e x p ( - ^ - (l-“+^ y

< 0

zatem dla każdego к e (0;+да) ф '(V)> 0. Płynie stąd w niosek, że dla к e (0;+да) funkcja ф { к ) je s t funkcją ciągłą oraz rosnącą od -да do +да. D latego też (zgodnie z w łasnością D arboux) istnieje dokładnie jedno к > 0, przy którym ф { к ) = 0, czyli istnieje w yłącznie jed n o к spełniające rów nanie (30).

Jeśli zaś istnieje dokładnie jed n o к* rozw iązujące rów nanie (30), to - z drugiego z rów nań układu rów nań (29) - w yciągnąć m ożna wniosek, że istnieje także dokładnie jed n o k2* > 0 rozw iązujące ów układ równań. Stąd zaś oraz z podstaw ienia k* = x£*

w nioskujem y, że układ rów nań różniczkow ych (28) m a w yłącznie jed e n punkt sta­

cjonarny k*e P.

M acierz Jacobiego J układu rów nań różniczkow ych (28) określa związek:

J = d ę x / dk. d ę x / d k 2 d ę 2 / dk. d ę 2 / d k 2

(32)

gdzie:

d ę x dk.

( i - ю )

a [ l - ix (k. / k2 )]k2 y~ ^ — \ k.

d (k. / k2) a k ^ - ' k ^ - 1 +

+

a u = s,

p h (k ./ k2 )k2 + d u k.

A [l-<i ( V k2 )]k2 + k.

a k f ^ k " 1 - p v

a k x k 2 2 +

+ ■ a i., (kj / k2 )k2 ^{d u}

d (k. / k2)k1 ^{a k x k 2} 2 , d^2

ak. = s. ^ I1 L (k1/ k2 )]k2 ^{d u}

d (k. / k2)k1 ^{a k x} 'k “ 1 +

+ s.®

1 - ю ш-1 (k1 / k2 )k2 + dżj

d (k. / k2)k1 a k ^ ' k ^

oraz:

a^2

a u ^ [ ' L (k1 / k2 )]k2 + ^{d u}

d (k. / k2)k1 a k fk % ~ 2 +

+ s . w

f3ix (k ./ k2 )k2 k.

1V1 2 /2 d (k ./ k2) ' a k fk A 2

W punkcie stacjonarnym k*e P zachodzą związki:

M = si [' - *1 )]^(ki* )a 1 (k2 f + s2 ^ ^ f 1 (k2 )a (33)

Ю

i:

p 2 = s2 [' - 12 (*T* )]^(ki* f (k2* Y 1 + l. (/A )a (ki* Y (k2* Y 1 . (34) 1 — ®

s

s 2

Z zależności (3 2 -3 4 ) płynie w niosek, że w punkcie stacjonarnym k*e P m acierz Jacobiego J (oznaczaną dalej przez J*) zapisać m ożna wzorem:

J * - j 11 j 12 j 21 j 22 gdzie 12

jll = - si (' - « )[' ^{- 1.} (/A )]k2* + ^ k i a (k1)“ 1 (k2* f 1 +

d n

ю

(1 - P ) h (*:' - i f k . a(k'* f ' (k2 < 0

d K

j 12 s' 4 ' ^{- i . ( к} ж +

+ ■

a

a i.2 С >2

d i , d n

d u

j 21 s 2

d K

d u

k1*

k1*

a (k2 f ( k2 f +

a (k2 f ( k2 Y 2 > 0,

d K

k12 _a(k"* U (k2 ) " ' +

+ s.®

1 ^{a i x {к*} )k^ + d?.

d K

k12 a(k2 Y ' (k2 f ' > 0

oraz:

j 22 s2 ( ' - a j - ? 2 (к - ^{d u}

s . a

1 (' - £ > , (лт- >2 + ^{d i .}

d K d K

k12

k12 a(k2 f(k2 Y +

a { k1Y (k* f 2 < 0

(35)

W artości w łasne m acierzy Jacobiego (35) są pierw iastkam i następującego ró w ­ nania:

Z2 - t r J Л + det J = 0 . (36)

12 Zapis:^ d h (dla i=1, 2) oznaczał będzie dalej wartość pochodnej funkcji ix w punkcie к*.

d ( 0 ,

Rozważając zaś znaki wyrażeń j (dla i j=1, 2) należy również pamiętać o tym, że - zgodnie z równa­

niami (22-23) - dla dowolnego k>0: > 0 oraz LU < 0.

dK dK

d u s

2

s

2

Pierw iastki rów nania (36) są liczbam i rzeczyw istym i, gdyż jeg o wyróżnik:

A = (tr J Y ~ 4 det J —^j ii + j 22 ) _ 4(j 11j 22 _ J12J2I) “ С j1' _ j 22 ) + 4 j i2j 2i ^ ^ j 12j 21 ^ 0 . Z w zorów V iete’a oraz rów nania (36) w ynika, iż sum ę A 1 + A2 oraz iloczyn

A 1A1 w artości w łasnych m acierzy Jacobiego J* określają zw iązki A 1 + A2 = trJ*

i A 1A2 = d e t / . Poniew aż t r J = j 11 + j 22 < 0, zatem sum a w artości w łasnych je s t rzeczyw istą liczbą ujemną.

Iloczyn j i i / 22 m ożna zaś zapisać następująco:

J11J22 a

gdzie:

2 У + Д- ' ( 1 2 У + Д —3 2 CO / 12 \ 2 t t —l ł 12 \ 2 Д —3 2 1 CO/ 12 \ 2 Д _ 1 2 \ 2 t t —3 , u i s i s 2 ( k ' f ( k 2 f + U 2 s i ^ --- U l ] \ k 2 [ + U s 2 l k l j \ k 2 [ ( 3 7 )

1 — СО Ю

U' = ( ' - a j - i . + di.

d K

d u

+ (' (^ 2)k2 ^{d u}

d K

K = K A

V

d K

ki

= ^ * у +

k2 (i - ф ( * > 2 +

K = K А

d i .

d K k1

K = K J

U2 (' - a j

-i.

d K k i Y ( ' ~ P \ ( ^ ) k2 +

K = K A

d i .

d K kj

K = K J

i:

U, ( ' - P ) h (** )k2 - k i' ] ( ' - a j - h Ж ^{d u}

K=K A ^{d K} k1

K = K J

Ponadto:

. . / j 2 w a i / 7 2у+^-з 2 co i, 2\2« - i / j 2 \2^-3 2 i — a i l2 p p - w 2\2а-з J12J2I = W 2\k 1 ) \k2 j + V2si " ---lk1 j \k2 j + V3s2 lk1 j \k2 j (38)

i — a a

przy czym:

,' = U ' - h {K ')]c2 + d i .

d K k2 1 1 4 ' -< 2 № - ^{d u}

d K k1

K = K J

+

+ a i d u

d K

\ c

k1

к=У A

И

K = K* У V2 = 4 ' № + ^{d i .}

d K k i a i ' ( /) k 2 +

K = K A

d i . d K

k^j

* у

oraz:

v3 = ^{a u} O ; - i f п ; 1 | 4' - , 2 C ) > 2

d K

d u

d K _{K = K J}i

Poniew aż 1 - a > fi i 1 - fi > a , gdyż ( a + fi) e (0;1), zatem:

i > | 4 i -<, C ) > 2

u,

4 / + a i

V

+ —1 di.

d K

ki II 4 ' - h {K ')]c2 - d u

d K k1

K = K * J +

d u

d K k2

k=k" J\

a i x ( /) k 2 + ^{d i x}

d K k.

K = K J

v1.

Podobnie:

4 ' - > ' И > 2 +

d i,

d K k1 ^{a i ' {к}*")П*2 + d i,

d K k1 ^v2

oraz:

и ъ > a i d u

d K k1

O L

Stąd zaś, że dla każdego i = 1 , 2, 3 u i> v i oraz z rów nań (3 7 -3 8 ) w ynika, że d etJ* = J u l 22 - J12J21 > 0 .

Poniew aż ślad m acierzy Jacobiego J * je s t ujemny, zaś jej w yznacznik dodatni, w ięc obie w artości w łasne tej m acierzy są rzeczyw istym i liczbam i ujem nym i. To zaś - na m ocy tw ierdzenia G robm ana-H artm ana (por. Om bach, 1999, tw ierdzenie 6.2.1) - gw arantuje, iż punkt stacjonarny k* układu rów nań różniczkow ych (28) je s t punk­

tem asym ptotycznie stabilnym . D latego też punkt ten je s t punktem długookresowej rów now agi rozw ażanego tu m odelu wzrostu.

3. KALIBRACJA PARAMETRÓW MODELU I SYMULACJE NUMERYCZNE

3.1. KALIBRACJA PARAMETRÓW MODELU13

K alibrację param etrów analizow anego m odelu w zrostu autorzy rozpoczęli od próby w yznaczenia w artości param etrów a i fi. W tym celu w yszli od tzw. dekom ­ pozycji Solow a (1957) oraz graw itacyjnego m odelu w zrostu gospodarczego z prac M roczek, Tokarskiego (2014) i M roczek i innych (2014). Z dekom pozycji Solowa w ynika, że a ~ 1/3. N ato m iast k alib racja param etrów graw itacyjnego m odelu w zrostu daje w artość fi nieco m niejszą od a / 3 . G dyby w ięc przyjąć, że a=1/3 oraz

/ \ / / \\2/9

^= 1/9, to z rów nania (2) uzyskuje się, że У } [ = —и Ц , co przy k 1/k2=5 daje

у 2 (t ) l k2 (t )J

y 1/y2 ~ 1,430. R elacja y 1/y2 ~ 1,430 wydaje się w ielkością m ocno niedoszacowaną. Co w ięcej, gdyby założyć, że nie w ystępuje oddziaływ anie k na y t (dla i Ф j ) , czyli / i = 0 ,

ści y ' (t ) W i k2 (t )

w ów czas to rów nanie (2) przy a=1/3 sprow adza się do zależności _ ,

y2 (t ) i

dla k 1/k2=5 mamy: y 1/y2 ~ 1,710. W ielkość ta rów nież w ydaje się niedoszacow ana14.

D latego też kalibrując param etry prezentow anego m odelu w zrostu autorzy zdecy­

dowali się ustalić elastyczność a (przy dodatkow ym założeniu, że y#=0,3a) na takim poziom ie, by przy k 1/k2=5 iloraz w ydajności pracy y 1 i y 2 rów ny był 3. W ów czas, zgodnie z rów naniem (2), pow inien być spełniony związek: a = ln 3“ ~ 0,9752, co pow oduje, że fi ~ 0,2925, a zatem a + P > 1. Poniew aż sum a elastyczności a i f

(zgodnie z przyjętym i w punkcie 3 założeniam i) w inna być m niejsza od 1, zatem zde­

cydow ano się na analogiczną kalibrację param etrów a i fi przy k1/k2=5 oraz y 1/y2=2.

13 Por. też Mroczek, Tokarski (2015a), gdzie w podobnym modelu wzrostu (ale przy egzogenicz- nych stopach inwestycji) skalibrowano parametry opisujące funkcjonowanie dwóch analogicznych typów gospodarek.

14 Rzecz jasna, przyjmując założenie, że w każdej z analizowanych gospodarek funkcja wydajności pracy dana jest wzorem: y, = a—? , (gdzie a;>0 oznacza łączną produkcyjność czynników produkcji

Z N (7.

—i

V —2 )

i wówczas (nawet przy a=1/3) można dobrać w i-tej gospodarce, dla i=1, 2), mamy: — = —

У2 a 2

łączne produkcyjności czynników produkcji a,- tak, by przy k1/k2=5 relacja y1/y2 równa była 3 lub 4. Ale w tym przypadku należy przyjąć, że albo relacja a 1/a2 (z jakiś tajemniczych względów) jest dana raz na zawsze, albo (jak ma to miejsce implicite w modelach Mankiwa-Romera-Weila, 1992; Nonnemana-Van- houdta, 1996; Lucasa, 1988 i w prezentowanym w tym opracowaniu modelu wzrostu gospodarczego) można endogenizować łączną produkcyjność czynników produkcji w każdej z gospodarek.

W ów czas uzyskano a --- * 0,6153 oraz fi = 0,3 a ~ 0,184615. Przy tej kalibracji 0,7ln5

param etrów a i /5 w yjściow a relacja produkcyjności kapitału p 1/ p 2 w ynosi 0,4.

M ając skalibrow ane w artości a ~ 0,6153 oraz /5 ~ 0,1846 autorzy przyjęli arbi­

tralnie, że stopy ubytku kapitału na pracującego w każdej z badanych typów rów ne są 6% (a w ięc p 1 = p 2 = 0,06), a = 1 oraz, że i = 0,15. Pozw oliło to (przy ustalonych w artościach k1 i k2 oraz s 1 i s2 w roku t=1) na obliczenie stóp s ij (dla i, j = 1, 2) w kolejnych latach t>1.

O stopach s 1 oraz s 2 założono w kolejnych w ariantach, że s 1 = 0,25 i s 2 = 0,2 (prezentow ane dalej w arianty A) lub s 1 = s 2 = 0,225 (w arianty B) lub s 1 = 0,2 i s 2 = 0,25 (w arianty C w tabeli 1).

Przyjęto też, że w yjściow a relacji technicznego uzbrojenia pracy rów na była 5, co daje iloraz w yjściow ych poziom ów w ydajności pracy y 1/y2 rów ny 2.

3.2. SYMULACJE NUMERYCZNE

M odel sym ulacyjny opisany je s t przez następujące rów nania (odpow iadające w czasie dyskretnym rów naniom m odelu z punktu 3 oraz skalibrow anym jeg o para­

metrom):

W( ' ^{1 0 * _г. Л} 7 0,6153 7 0,1846 / ncw

j = 1,2л j ф j ) у it = —lt’ k J’t , (39)

^iif

0,15

1 + exp ( - {P2t / Pit )). ’1 5 (40) 1

0,15

^21t 1 + eXP H P 2 t / P1t )) ^

(41)

S22t

0,15

1 + eXp(-(P1t / P 2 t)) 2 (42)

1

S12t

0,15

1 + eXp ( ~ ( P 1 t / P2t )) 2 (43)

15 Skalibrowana elastyczność a ~ 0,6153 jest zbliżona do oszacowanych elastyczności funkcji wydajności pracy w polskich województwach prezentowanych w pracy Mroczek, Tokarskiego (2013).

v ( i , j =1,2 A i ф j ) ^pL P jt

k jt

V k it J

(44)

^k 1t S11^t-Iy it-1 + S12t-1 y 2t-1 0 ,0 6 k it-1

a

(45)

oraz:

^ k 2t S22t-1y 2t-1 + S21t-1 1 y 1t-1 0,06k2t-1 • (46) 1 - m

W yniki sym ulacji num erycznych m odelu opisanego przez rów nania (39-46), przy udziale pracujących a> zm ieniającym się od 20% do 80% co 10 punktów procento­

wych, zestaw iono w tabeli 1.

Z tabeli 1 oraz sym ulacji num erycznych w yciągnąć m ożna następujące wnioski:

- G dyby w gospodarce bogatej pracow ało 20% pracujących w obu gospodarkach, to gospodarka biedna nigdy nie dogoniłaby gospodarki bogatej. W ystąpi jednak w ów czas proces częściowej konw ergencji technicznego uzbrojenia pracy i w ydaj­

ności pracy. Po 25 latach relacje technicznego uzbrojenia pracy spadną bow iem do ok. 1,609-2,317, w ydajności pracy - do 1,227-1,436, po 50 latach (odpow iednio) do 1,369-2,029 oraz 1,145-1,356, po 100 latach - 1,327-1,965 i 1,130-1,338, by w długim okresie ustabilizow ać się na poziom ie 1,325-1,961 (w przypadku technicznego uzbrojenia pracy) oraz 1,129 -1 ,3 3 6 (w przypadku w ydajności pracy).

- R ów nież 30% udział pracujących w gospodarce bogatej prow adził będzie jedynie do częściow ej konw ergencji kapitału i produktu na pracującego. Po 25 latach techniczne uzbrojenia pracy w gospodarce bogatej będzie o 37,4% -102,1% w yż­

sze niż w gospodarce biednej, po 50 latach o 11,1% -71,6% wyższe, po 100 latach - o 5,9% -64,5% , by w długim okresie iloraz kj/k2 ukształtow ał się na poziom ie 1,056-1,640. A nalogiczne relacje w ydajności pracy w w ariantach 2A BC w ynosić pow inny 1,147-1,354 (po 25 latach), 1,046-1,262 (po 50 latach), 1,025-1,239 (po

100 latach) i 1,024-1,237 (w długookresowej rów now adze).

- D o podobnych w niosków prow adzą w arianty 3AB. N atom iast w w ariancie 3C gospodarka biedna pow inna po 41 latach dogonić gospodarkę bogatą tak pod w zględem technicznego uzbrojenia pracy, ja k i w ydajności pracy. D ługookresow e relacje technicznego uzbrojenia pracy pow inny być wów czas rów ne 0,900, w ydaj­

ności zaś pracy - 0,956.

- Przy 50% udziale pracujących w obu gospodarkach i 25% stopie inw estycji w gospodarce bogatej oraz 20% stopie inw estycji w gospodarce biednej gospo­

darka biedna nigdy nie dogoni bogatej. Po 25 latach relacja technicznego uzbro-

Wariant

co *2 5ц/5ц _{s \2/ s \2 s 22} / s 22 •^21 /^21 Długookresowe relacjeb Po ilu latach gospodarka 2 dogoni

gospodarkę 1?

w % a technicznego

uzbrojenia pracy

wydajności pracy

produktywności kapitału 1A

20,0

25,0 20,0 21,5/22,0 1,8/2,0 18,2/18,0 3,5/3,0 1,961 1,336 0,682 nigdy

IB 22,5 22,5 19,4/19,8 2,0/2,3 20,5/20,2 3,1/2,7 1,594 1,222 0,767 nigdy

1C 20,0 25,0 17,2/17,7 2,2/2,6 22,8/22,4 2,8/2,3 1,325 1,129 0,852 nigdy

2A

30,0

25,0 20,0 21,5/22,0 1,8/2,0 18,2/18,0 3,5/3,0 1,640 1,237 0,755 nigdy

2B 22,5 22,5 19,4/19,9 2,0/2,4 20,5/20,1 3,1/2,6 1,305 1,121 0,859 nigdy

2C 20,0 25,0 17,2/17,8 2,2/2,7 22,8/22,3 2,8/2,2 1,056 1,024 0,969 nigdy

ЗА

40,0

25,0 20,0 21,5/22,1 1,8/2,1 18,2/17,9 3,5/2,9 1,434 1,168 0,815 nigdy

3B 22,5 22,5 19,4/20,2 2,0/2,4 20,5/20,1 3,1/2,5 1,131 1,054 0,932 nigdy

3C 20,0 25,0 17,2/17,8 2,2/2,8 22,8/22,2 2,8/2,2 0,900 0,956 1,062 41

4A

50,0

25,0 20,0 21,5/22,2 1,8/2,1 18,2/17,9 3,5/2,8 1,267 1,107 0,874 nigdy

4B 22,5 22,5 19,4/20,0 2,0/2,5 20,5/20,0 3,1/2,5 1 1 1 nigdy0

4C 20,0 25,0 17,2/17,9 2,2/2,8 22,8/22,2 2,8/2,1 0,789 0,903 1,144 30

5A

60,0

25,0 20,0 21,5/22,2 1,8/2,2 18,2/17,8 3,5/2,8 1,111 1,046 0,942 nigdy

5B 22,5 22,5 19,4/20,1 2,0/2,5 20,5/20,0 3,1/2,4 0,884 0,948 1,073 39

5C 20,0 25,0 17,2/17,9 2,2/2,9 22,8/22,1 2,8/2,1 0,698 0,856 1,228 24

6A

70,0

25,0 20,0 21,5/22,3 1,8/2,2 18,2/17,8 3,5/2,7 0,947 0,977 1,032 46

6B 22,5 22,5 19,4/20,1 2,0/2,6 20,5/19,9 3,1/2,4 0,766 0,892 1,164 26

6C 20,0 25,0 17,2/18,2 2,2/3,0 22,8/22,0 2,8/2,0 0,610 0,808 1,325 19

7A

80,0

25,0 20,0 21,5/22,4 1,8/2,3 18,2/17,7 3,5/2,6 0,755 0,886 1,174 20

7B 22,5 22,5 19,4/20,2 2,0/2,7 20,5/19,8 3,1/2,3 0,628 0,818 1,304 17

7C 20,0 25,0 17,2/18,0 2,2/3,0 22,8/22,0 2,8/2,0 0,510 0,748 1,467 14

a - Sjj oznacza stopy inwestycji w roku t = 1, zaś s* - stopy inwestycji w długookresowej równowadze, b - przez długookresowe relacje rozumie się relacje w roku symulacji t = 1000, с - ale przy t—>+co będą ze sobą zbieżne.

Produktywnośćkapitałua inwestycje zagranicznew dwubiegunowymmodeluwzrostugospodarczego

je n ia pracy ukształtuje się na poziom ie 1,610, w ydajności pracy - 1,228, po 50 latach (odpowiednio) 1,334 i 1,132, po 100 latach - 1,271 i 1,109, zaś w długim okresie gospodarka bogata będzie cieszyła się o 26,7% w yższym poziom em tech­

nicznego uzbrojenia pracy oraz o 10,7% w yższą w ydajnością pracy. W w ariancie 4B w długim okresie gospodarka biedna dogoni bogatą (po 50 latach techniczne uzbrojenie pracy w gospodarce bogatej będzie w yższe niż w biednej tylko o 6,6%, zaś w ydajność pracy - jed y n ie o 2,8% ). N atom iast w ariant 4C doprow adzi do tego, że gospodarka początkow o biedna po 30 latach cechow ać się będą w yż­

szym poziom em kapitału i produktu na pracującego, niż gospodarka początkow o bogata. W w ariancie tym długookresow a relacja technicznego uzbrojenia pracy pow inna w ynosić 0,789, natom iast w ydajności pracy - 0,903.

- 60% udział pracujących w gospodarce bogatej pow inien prow adzić do tego, że w w ariancie 5A gospodarka biedna nigdy nie dogoni bogatej, jed n a k zm niejszy w długim okresie relację technicznego uzbrojenia pracy do 1,111 oraz w ydajności pracy do 1,046. W arianty 5BC sugerują, że gospodarka biedna prześcignie gospo­

darkę bogatą po upływ ie 39 lat (w ariant 5B) lub 24 lat (5C). W tych w ariantach relacje długookresowej technicznego uzbrojenia pracy pow inny ukształtow ać się na poziom ach (odpow iednio) 0,884 i 0,698, zaś w ydajności pracy - 0,948 oraz 0,856.

- Przy 70% udziale pracujących w gospodarce 1 gospodarka ta stanie się gospo­

darką biedną po 19-46 latach. Po 25 latach w ydajność pracy w gospodarce 1 będzie o 7,7% (w ariant 6A) lub 0,9% (6B) w yższa niż w gospodarce 2, bądź też o 5,9% niższa (w ariant 6C) niż w gospodarce 2. Po 50 latach relacje w ydajności pracy pow inny się kształtow ać na poziom ie 0,995, 0,915 lub 0,836, po 100 latach - 0,978, 0,893 lub 0,810, by w długim okresie ustabilizow ać się na poziom ie m iędzy 0,808 a 0,977.

- D o podobnych w niosków m ożna dojść rozw ażając w arianty 7ABC. W tych w ariantach gospodarka początkow o biedna dogoni gospodarkę początkow o bogatą ju ż po upływ ie 14 (w ariant 7C), 17 (7B) lub 20 lat (7A). D ługookresow e relacje technicznego uzbrojenia pracy w inny się w ów czas ustabilizow ać na poziom ach 0,510-0,755, w ydajności zaś pracy - 0,748-0,886.

4. PODSUMOWANIE

Prow adzone w pracy rozw ażania m ożna podsum ow ać następująco:

I. Zaprezentow any w opracow aniu dw ubiegunow y m odel w zrostu bazuje na neo- klasycznym m odelu w zrostu Solowa (1956) i jeg o późniejszych rozszerzeniach.

M odel ten w pisuje się w szeroki nurt rozw ażań nad przyczynam i procesów polaryzacji rozw oju ekonom icznego, będących w ynikiem zróżnicow anej p ro ­ duktywności czynników produkcji oraz kierunków i dynamiki przepływów inw e­

stycyjnych. W związku z tym szerszym kontekstem dla opisanego m odelu są m.in.

teoria kum ulatyw nej przyczynow ości (M yrdal, 1957; Kaldor, 1970), teoria pola­