Czy modele z operatorem delta są rzeczywiście lepsze dla małych okresów próbkowania?

(1)

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J S e ria: A U T O M A T Y K A z. 136

2002 N r k o l. 15 5 6

R y s z a r d G E S S I N G P o lite c h n ik a Ś lą s k a

CZY MODELE Z OPERATOREM DELTA SĄ RZECZYWIŚCIE LEPSZE DLA MAŁYCH OKRESÓW PRÓBKOWANIA?

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y z a u w a ż o n o , ż e p r z e w a g a m o d e li z o p e r a t o r e m d e l t a (O D ) n a d m o d e la m i z o p e r a t o r e m p r z e s u n ię c ia ( O P ) , d l a m a ły c h c z a s ó w p r ó b k o w a n ia , d o t y c z y t y lk o z a p is u w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e lu i o b lic z e ń a n a lity c z n y c h . Z a u w a ż o n o ta k ż e , ż e w s y m u l a c j a c h u m o ż liw ia ją c y c h o t r z y m a n i e o d p o w ie d z i c z a s o w e j w y jś c ia d l a d o w o ln e g o w e jś c ia , j a k ró w n ie ż w id e n ty f ik a c ji m o d e li p r z y o g r a n ic z o n e j d o k ł a d n o ś c i p o m ia r ó w p r z e w a g a m o d e li O D n a d m o d e la m i O P n ie w y s tę p u j e . T e s p o s t r z e ż e n i a m a j ą i s t o t n e z n a c z e n ie , p o n ie w a ż w y m ie n io n e p r o b l e m y s y m u la c ji i id e n ty f ik a c ji s ą w a ż n e d l a z a s to s o w a ń .

WHETHER TH E DELTA OPERATOR MODELS ARE REALLY BETTER FOR SMALL SAMPLING PERIODS

S u m m a r y . I t is n o t e d t h a t t h e s u p e r i o r it y o f t h e d e l t a o p e r a t o r ( D O ) m o d e ls o v e r t h e s h i f t o p e r a t o r ( S O ) o n e s , fo r s m a ll s a m p lin g p e r io d s , c o n c e r n s o n ly t h e r e c o r d i n g o f t h e m o d e l c o e ffic ie n ts a n d s o m e a n a l y t ic a l c a lc u la tio n s . I t is a ls o n o t e d t h a t in t h e s i m u la t io n s , m a k in g i t p o s s ib le t o o b t a i n t h e tim e r e s p o n s e o f t h e o u t p u t fo r a n y i n p u t , a s w e ll a s in t h e m o d e l i d e n tif ic a tio n u n d e r lim i te d m e a s u r e m e n t a c c u r a c y , t h e s u p e r i o r i t y o f t h e D O o v e r S O m o d e ls , fo r s m a ll s a m p li n g p e r io d s , d i s a p p e a r s . T h e s e o b s e r v a tio n s h a v e a n e s s e n tia l m e a n in g s in c e t h e m e n t i o n e d p r o b l e m s o f s i m u la t io n a n d i d e n tif ic a tio n a r e i m p o r t a n t fo r a p p li c a t io n s .

1. Wprowadzenie

O b e c n ie w ię k s z o ś ć u k ła d ó w s t e r o w a n i a p o s i a d a r e g u l a t o r y r e a liz o w a n e n a m ik r o p r o c e s o ra c h . W t y m p r z y p a d k u z a r ó w n o p a r a m e t r y , j a k i s y g n a ły r e g u l a t o r a s ą z a p is y w a n e p r z y w y k o r z y s t a n i u a r y t m e t y k i z e s k o ń c z o n ą d łu g o ś c ią s ło w a (S D S ) c y fro w e g o . W z w ią z k u z ty m w y s t ę p u j ą d w a r o d z a j e b łę d ó w : p ie r w s z e z w ią z a n e z e S D S s t o s o w a n ą d o z a p is u w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e lu r e g u l a t o r a i d r u g ie z w ią z a n e z z a o k r ą g la n ie m , m a j ą c y m m ie js c e

(2)

56 R. G essing

p r z y z a p is ie s y g n a łó w r e g u la to r a . D o d a tk o w e b łę d y p o c h o d z ą o d z a o k r ą g la n i a z r e a liz a c ji z e S D S p r z e t w o r n i k ó w a n a lo g o w o -c y fro w y c h i c y fro w o -a n a lo g o w y c h .

E f e k t y z w ią z a n e z e S D S b y ły g łó w n ie b a d a n e w z w ią z k u z r e a l iz a c j ą f iltr ó w c y fro w y c h . E f e k t o m z w i ą z a n y m z e S D S p o ś w ię c o n o n a t o m i a s t z n a c z n ie m n ie j u w a g i w l i t e r a t u r z e p o ś w ię c o n e j s te r o w a n iu . D o w y j ą tk ó w n a le ż y k s ią ż k a G e v e r s a i L i [2], g d z ie w d w ó c h r o z d z i a ł a c h z o s t a ł y o p is a n e p r o b le m y s te r o w a n i a p r z y u w z g lę d n ie n iu e f e k tó w z w ią z a n y c h z e S D S , a t a k ż e p o d a n e z o s t a ł y n o w e w y n ik i. W [2] s k u p i a się u w a g ę n a w y b o r z e s t r u k t u r y m o d e l u r e g u l a t o r a re a liz o w a n e g o p r z y S D S , d l a k tó r e g o o b a p o w y ż e j w y m ie n io n e b łę d y p r z y j m u j ą w a r to ś c i m in im a ln e .

W y m a g a n i a d o ty c z ą c e j a k o ś c i s t e r o w a n i a s k ł a n i a j ą d o s t o s o w a n i a w z g lę d n ie m a łe g o o k r e s u p r ó b k o w a n ia . W ia d o m o , ż e w t e d y s to s o w a n ie S D S c y fro w e g o p r o w a d z i d o n ie d o k ła d n e g o z a p i s u t r a n s m i t a n c j i d y s k r e tn e j b a z u ją c e j n a t r a n s m i t a n c j i Z ( t z n . m o d e l u z o p e r a t o r e m p r z e s u n ię c ia ( O P ) . W z w ią z k u z ty m M id d l e t o n i G o o d w in w [4], a b y p o p r a w i ć d o k ł a d n o ś ć o p is u u k ła d ó w d y s k r e t n y c h w c z a s ie ( D T ) u ż y w a j ą m o d e li z o p e r a t o r e m d e l t a ( O D ) . P o d k r e ś l a j ą o n i, ż e t e o s t a t n i e m o d e le m a j ą le p s z e w ła s n o ś c i n u m e r y c z n e d l a m a ły c h o k r e s ó w p r ó b k o w a n ia n iż m o d e le O P . P r z y c z y n a t a k i e g o s t a n u rz e c z y z o s t a ł a w y j a ś n i o n a w [1], g d z ie z a p r o p o n o w a n a z o s t a ł a m e t o d a o c e n y d łu g o ś c i s ło w a p o tr z e b n e g o d o z a p i s u p a r a m e t r ó w m o d e li O P . W p r a c y [3] w s k a z u je się n a t o m i a s t n a p r z e w a g ę m o d e li O D w p r z y p a d k u ic h id e n ty f ik a c ji p r z y m a ły m o k r e s ie p r ó b k o w a n ia .

W n in ie js z e j p r a c y p o d w a ż a n y j e s t p o w s z e c h n ie u z n a w a n y p o g lą d o p r z e w a d z e m o d e li O D w s t o s u n k u d o m o d e li O P . Z a u w a ż a s ię t u t a j , ż e t a p r z e w a g a d o ty c z y ty lk o z a p is u w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e li o r a z t a k z w a n y c h o b lic z e ń a n a lity c z n y c h . T e o s t a t n i e o b lic z e n ia s ą m n ie j z n a c z ą c e z p u n k t u w i d z e n ia z a s to s o w a ń . Z a u w a ż a się ta k ż e , ż e w p r o c e s a c h s y m u la c ji u m o ż l i w i a j ą c y c h w y z n a c z e n ie w y jś c ia m o d e lu d l a d o w o ln e g o w e jś c ia , j a k r ó w n ie ż w p r o c e s a c h id e n ty f ik a c ji p r z e p r o w a d z o n e j p r z y s k o ń c z o n e j d o k ła d n o ś c i p o m ia r ó w t a p r z e w a g a n ie w y s tę p u j e . W y d a j e się , ż e w y m ie n io n e p r o c e s y s y m u la c ji i id e n ty f ik a c ji m a j ą i s t o t n e z n a c z e n ie w z a s to s o w a n ia c h .

W k ł a d p r a c y p o le g a n a p o k a z a n iu , ż e p r z e w a g a m o d e li O D n a d m o d e la m i O P , d la m a ły c h o k r e s ó w p r ó b k o w a n ia , n ie w y s tę p u j e w p r o c e s a c h s y m u la c ji w y z n a c z a ją c e j w y jś c ie m o d e l u p r z y je g o d o w o ln y m w e jś c iu , a t a k ż e w p r o c e s a c h id e n ty f ik a c ji p r z y s k o ń c z o n e j d o k ła d n o ś c i p o m ia r ó w .

(3)

Czy m odele z o p e ra to re m d e lta sąrzeczyw iście lepsze. 57

2. Modele z operatorem przesunięcia i operatorem delta

R o z w a ż m y u k ł a d p o k a z a n y n a r y s . l , s k ł a d a j ą c y się z e le m e n tu p r ó b k u ją c e g o , e k s t r a p o - l a t o r a z e ro w e g o r z ę d u i lin io w e g o c ią g łe g o w c z a s ie ( C T ) o b i e k t u G . O b i e k t G j e s t o p is a n y w y m ie r n ą , ś c iś le w ła ś c iw ą t r a n s m i t a n c j ą ( T ) .

u(ih)

.\h P

-Hft)-

u®

Z O H Oft)

uftl

y(ih)

> -h

y(t)

Rys. 1. Ultlad dyskretny w czasie Fig. 1. Discrete-time system

Y ( s ) B { s ) b0s m + b 1 s m- 1 + ... + bm

[S ) U '( s ) A ( s ) s n + a i sn_1 + . . . + a n ’ K >

g d z ie U * ( s ) = £ [ u * ( i ) ] , Y ( s ) = £ [ y ( t ) ] , C j e s t s y m b o le m t r a n s f o r m a c j i L a p l a c e ’a; u i y s ą s y g n a ł a m i w e jś c ia i w y jś c ia o b i e k t u G ; R ( s ) i A ( s) s ą w ie lo m ia n a m i s t o p n i a o d p o w ie d n io

? n -te g o i n - t e g o , m < n . R o z w a ż a n y u k ł a d d y s k r e t n y w c z a s ie ( D T ) m o ż n a o p is a ć z a p o m o c ą m o d e l u O P o p o s t a c i

Y { z ) B { z ) _ h z ” - 1 + b2z n ~ 2 + ... + bn ,

[ Z ) ~ U ( z) A ( z ) z n + a i z n~ 1 + . . . + a n ’ ( )

g d z ie U ( z ) = Z [ u { i h ) ] , Y ( z ) = Z [ y { i h ) } , Z j e s t s y m b o le m t r a n s f o r m a c j i Z ; u i y s ą s y g n a ła m i w e jś c ia i w y jś c ia u k ł a d u ; ¿ = 0,1,2, . . . j e s t c z a s e m d y s k r e t n y m , a k j e s t o k r e s e m p r ó b k o w a n ia ; B ( z ) i A { z ) s ą w ie lo m ia n a m i o k r e ś lo n y m i w (2 ).

U k ła d D T p o k a z a n y n a r y s . 1 m o ż e b y ć t a k ż e o p is a n y z a p o m o c ą m o d e lu O D o k r e ś lo n e g o n a p r z y k ła d w [4]

H (7) = H ( z ) u = 1+ h , (3 )

U w z g lę d n ia ją c to , ż e 7 = ( z - 1) / h , m o d e l (3 ) m o ż n a ró w n ie ż n a z y w a ć m o d e le m z o p e r a t o r e m d e l t a w p r z ó d ( O D P ) . N ie c h a j

(4)

58 R. Gessing

I n n ą m o ż liw o ś c ią j e s t m o d e l z o p e r a t o r e m d e l t a w s te c z ( O D W ) z d e f in io w a n y p o n iż e j.

O z n a c z m y

t-^t, - . - u * " s ( z ) M

H[z ] ~ ^ W y (5)

g d z ie w ie lo m ia n y A ( z) i B ( z ) s ą o k r e ś lo n e w (2 ). W y k o r z y s t u j ą c O D W 7 = ( 1 — z ~ l ) / h p r o p o n u j e m y n a s t ę p u j ą c e o k r e ś le n ie m o d e lu O D W

m = R ( z ~ % . i m l- ^ = ^ n .t A ? n ~ 1 + - + ^ (6 )

w ' v n 1 7 n + a i 7 n _ 1 + . . . + a n w

O b a m o d e le z o p e r a t o r e m d e l t a (4 ) i (6) m a j ą p o d o b n e w ła s n o ś c i g r a n ic z n e , m ia n o w ic ie ic h w s p ó łc z y n n ik i d ą ż ą d o w s p ó łc z y n n ik ó w t r a n s m i t a n c j i (1) g d y h —*0.

3. Długość słowa potrzebna do zapisu i obliczeń

M o d e le O D z a r ó w n o O D P (4 ), j a k i O D W (5 ) m a j ą p o d o b n e w ła s n o ś c i i d l a t e g o w d a ls z y c h r o z w a ż a n ia c h , je ż e li b ę d z ie m y u ż y w a li s k r ó t u m o d e l O D , b ę d z ie m y r o z u m ie ć m o d e l O D P .

W ia d o m o , ż e d l a m a ły c h o k r e s ó w p r ó b k o w a n ia h m o ż e b y ć p o t r z e b n a b a r d z o d u ż a d łu g o ś ć s ło w a c y fro w e g o d o z a p i s u w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e lu O P [2], [1], W ia d o m o ta k ż e , ż e w p r z y p a d k u m o d e li O D (4 ), a t a k ż e (6) p o t r z e b n e j e s t z n a c z n ie k r ó t s z e s ło w o c y fro w e d o z a p i s u p a r a m e t r ó w t y c h m o d e li. D łu g o ś ć s ło w a c y fro w e g o p o tr z e b n e g o d o z a p is u w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e li O D m o ż e b y ć o k r e ś lo n a p o d o b n i e j a k w [1].

W z w ią z k u z t y m d o o b lic z e ń c h a r a k t e r y s t y k c z ę s to tliw o ś c io w y c h m o d e li O D w p r z y p a d k u m a ły c h o k r e s ó w p r ó b k o w a n ia h p o t r z e b n e j e s t k r ó ts z e sło w o c y fro w e n iż d l a m o d e li O P .

T a s a m a u w a g a d o t y c z y o b lic z e n ia p r z e b ie g ó w c z a s o w y c h w y jś c ia y m o d e lu , a le ty lk o w p r z y p a d k u , g d y w e jś c ie u j e s t o p is a n e z a p o m o c ą t a k i c h w z o ró w m a t e m a ty c z n y c h , d l a k t ó r y c h is t n ie j e r o z w ią z a n ie a n a l i ty c z n e r ó w n a n i a ró ż n ic o w e g o (7 ) o p is u ją c e g o m o d e l O D (4 ). W z a s to s o w a n i a c h t e n p r z y p a d e k j e s t r a c z e j r z a d k o s p o ty k a n y .

(5)

Czy m odele z o p era to re m d e lta sąrzeczyw iście lepsze. 59

4. Symulacja modeli

G d y s y g n a ł w e jś c ia u n ie j e s t o p is a n y z a p o m o c ą w z m ia n k o w a n y c h w y ż e j w z o ró w m a t e m a ty c z n y c h , p r z e b ie g s y g n a ł u w e jśc io w e g o y m o d e lu m o ż n a o t r z y m a ć z a p o m o c ą o d p o w ie d n ic h s y m u la c ji. N a le ż y z a u w a ż y ć , ż e s y m u l a c j a j e s t w a ż n y m n a r z ę d z ie m p r o j e k to w a n ia u k ł a d ó w r e g u la c ji.

N a le ż y t a k ż e z a u w a ż y ć , ż e p o d o b n e p r o c e s y o b lic z e n io w e j a k w s y m u la c ji s ą w y k o n y w a n e p r z y s t o s o w a n i u r e g u la to r ó w c y fro w y c h z r e a liz o w a n y c h n a m ik r o p r o c e s o r a c h , w k tó r y c h s y g n a ł w y jś c io w y m u s i b y ć w y z n a c z a m y n a b ie ż ą c o d l a d o w o ln e g o s y g n a łu w e jśc io w eg o .

W p r z y p a d k u m o d e lu O P w y g o d n a p o s t a ć o p is u p r z y d a t n a d o s y m u la c ji w y n ik a b e z p o ś r e d n io z r ó w n a n i a ró ż n ic o w e g o (7 ) o d p o w ia d a ją c e g o t r a n s m i t a n c j i (2 ).

y ( i h + n h ) + a iy ( i h + n h — 1) + ... -I- a ny ( i h ) = b \ u { ih + n h — l ) + ... + bnu ( ih ) (7 )

R ó w n a n ie (7 ) o k r e ś la f o r m u łę r e k u r e n c y jn ą u m o ż l i w i a j ą c ą o b lic z e n ie w ie lk o ś c i y w n a s tę p n e j c h w ili c z a s u , g d y z n a m y y w p o p r z e d n ic h c h w ila c h i c ią g w a r to ś c i u . P o d c z a s s y m u la c ji c ią g w a r t o ś c i s y g n a ł u w e jśc io w e g o u z a z w y c z a j n ie j e s t d a n y w p o s t a c i w z o r u m a t e m a ty c z n e g o , le c z w y n ik a z b ie ż ą c y c h o b lic z e ń n u m e r y c z n y c h . D la te g o te ż w ty m p r z y p a d k u p r z e b ie g y n ie m o ż e b y ć o b lic z a n y z a p o m o c ą w z o ró w o k r e ś la ją c y c h a n a l i ty c z n e r o z w ią z a n ie r ó w n a n i a (7 ).

M o d e l O P (7 ) d l a m a ły c h h p o t r z e b u je d łu g ie g o s ło w a c y fro w e g o d o z a p is u w s p ó łc z y n n ik ó w a j , b j i d o o b lic z e n ia p r z e b ie g u s y g n a łu w y jś c io w e g o y . J e s t t o z n a n a w ła s n o ś ć te g o m o d e lu . D łu g o ś ć s ło w a c y fro w e g o r o ś n ie , g d y h m a le je .

W p r z y p a d k u m o d e lu O D r ó w n a n ie ró ż n ic o w e o d p o w i a d a j ą c e t r a n s m i t a n c j i (4 ) p r z y b ie r a p o s ta ć :

Any ( i h ) + a \ A n~ l y ( i h ) + ... + a ny { i h ) = h A ^ u i i h ) + b2A n~ 2 u { i h ) + ... + bnu { i h ) (8)

A b y o b lic z y ć p r z e b ie g s y g n a łu w y jś c io w e g o y d l a d a n e g o u m o ż e m y w y k o r z y s ta ć w o d p o w ie d n i s p o s ó b r ó w n a n ie (8) r a z e m z e w z o ra m i:

A j + l y ( i h ) = [Aj y ( i h + h ) - A j y ( i h ) } ~ , (9 )

A i + l u ( ih ) = [A ; u ( f / i + h ) — A ^ u { ih ) ] —, j = 0,1, . . . , n — 1

(6)

60 R . G essing

D o k ła d n ie j, z r ó w n a n i a (8) o b lic z a m y Any ( i h ) , a z p ie rw s z e j z a le ż n o ś c i (9 ) o b lic z a m y Aj y ( i h + h), j = 0 , 1, n — 1. Z a u w a ż m y , ż e d o t y c h o s t a t n i c h o b lic z e ń p o t r z e b n e j e s t d łu g ie sło w o c y fro w e , p o n ie w a ż w e w z o rz e

y ( i h + h ) = y ( i h ) + h A l y ( ih )

w y n i k a ją c y m z (9 ) d o w a r to ś c i y ( i h ) , k t ó r a m o ż e b y ć w z g lę d n ie d u ż a , d o d a w a n a j e s t m a ła w a r t o ś ć h A l y ( i h ) ( d l a m a ły c h h ) . N a le ż y z a u w a ż y ć , ż e d o d a w a n ie p o w t a r z a n e j e s t w ie le ra z y .

O b lic z e n ie p r z e b ie g u s y g n a ł u w y jś c io w e g o y z a p o m o c ą r ó w n a ń (8) i (9 ) j e s t o c z y w iś c ie z n a c z n ie b a r d z i e j s k o m p lik o w a n e n iż z a p o m o c ą r ó w n a n i a (7 ). M o ż n a j e d n a k z a u w a ż y ć , ż e r ó w n a n i e (7 ) w y n ik a z p o d s t a w i e n i a w z o ró w (9 ) w r ó w n a n i u (8). D la te g o t e ż d łu g o ś ć s ło w a c y fro w e g o p o t r z e b n a d o o b lic z e ń z z a d a n ą d o k ła d n o ś c ią p r z e b ie g u y z a p o m o c ą r ó w n a ń (8) i (9 ) j e s t t a k a s a m a j a k p r z y u ż y c iu r ó w n a n i a (7 ). W y n ik a s t ą d , ż e z p u n k t u w id z e n ia p o t r z e b n e j d o o b lic z e ń d łu g o ś c i s ło w a c y fro w e g o m o d e le O D n ie m a j ą le p s z y c h w ła s n o ś c i o d m o d e li O P . P r z e c iw n ie , z p u n k t u w id z e n ia m n ie js z e j z ło ż o n o ś c i o b lic z e ń m o d e le O P m a j ą le p s z e w ła s n o ś c i n iż m o d e le O D .

5. Identyfikacja modeli

R o z p o w s z e c h n io n e j e s t p r z e k o n a n ie , ż e p r z y m a ły c h o k r e s a c h p r ó b k o w a n ia h d łu g o ś ć s ło w a c y fro w e g o p o t r z e b n a d o p r z e p r o w a d z e n ia o b lic z e ń z w ią z a n y c h z i d e n ty f ik a c ją m o d e li O D j e s t m n ie j s z a n iż m o d e li O P ( z g o d n ie z m o j ą w ie d z ą m o d e le O D W n ie s ą w o g ó le s to s o w a n e , c h o c ia ż s ą o n e w y g o d n e d o id e n ty f ik a c ji) . T o p r z e k o n a n ie j e s t u z a s a d n io n e , je ż e li s t o s u j e s ię z a k r ó t k i e sło w o c y fro w e d o p r z e t w a r z a n ia in f o r m a c ji ( t z n . s t o s u j e się z a k r ó t k ą m a n t y s ę d o z a p i s u lic z b ), c o j e d n a k n ie j e s t w y r a ź n ie p o w ie d z ia n e w [3]. Z p u n k t u w i d z e n i a z a s to s o w a ń b a r d z ie j r e a lis ty c z n e j e s t z a ło ż e n ie , ż e g łó w n y m ź r ó d łe m b łę d ó w id e n ty f ik a c ji j e s t n ie d o k ła d n o ś ć p o m ia r ó w , a b łę d y w y n ik a ją c e z p r z e t w a r z a n ia in f o r m a c ji m o g ą b y ć p o m in i ę te . O p is y w a n e p o n iż e j s y m u la c je b y ły w y k o n y w a n e p r z y t y m z a ło ż e n iu .

W p r o c e s ie s y m u la c ji o g r a n ic z o n ą d o k ła d n o ś ć p o m ia r ó w w ie lk o ś c i u ( i h ) , y ( i h) u z y s k a n o z a p i s u j ą c t e w ie lk o ś c i z a p o m o c ą s ło w a c y fro w e g o z a w ie r a ją c e g o N cy fr

(7)

Czy m odele z o p era to re m d e lta sąrzeczywiście lepsze. 61

d z ie s ię tn y c h w a r y t m e t y c e z m ie n n o p rz e c in k o w e j. N - c y f r o w a m a n t y s a b y ła tw o r z o n a z u w z g lę d n ie n ie m N - p ie r w s z y c h , n a jb a r d z i e j z n a c z ą c y c h c y fr m a n t y s y M A T L A B - a . P o d c z a s s y m u la c ji z a s to s o w a n o = 3 , c o o d p o w i a d a w z g lę d n e j d o k ła d n o ś c i z a p i s u lic z b y w g r a n ic a c h 0.1% — 1% .

E k s p e r y m e n t id e n ty f ik a c ji b y ł s y m u lo w a n y z a p o m o c ą p r o g r a m u M A T L A B - S I M U L I N K d l a u k ł a d u p o k a z a n e g o n a r y s . 1, w k t ó r y m

= ‘10>

O c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w t r a n s m i t a n c j i H ( z ) o p is u ją c e j t e n u k ł a d b y ły w y z n a c z a n e z a p o m o c ą r e k u r e n c y jn e j m e t o d y n a jm n i e j s z y c h k w a d r a t ó w z e w s p ó łc z y n n ik ie m z a p o m i n a n ia A i p o m ia r a m i o o g r a n ic z o n e j d o k ła d n o ś c i. U k ła d b y ł p o b u d z a n y z a p o m o c ą s y g n a łu u o t r z y m y w a n e g o z g e n e r a t o r a b ia łe g o s z u m u ; t e n s a m s y g n a ł w e jś c io w y b y ł w y k o r z y s ty w a n y d l a w s z y s tk ic h p r z e p r o w a d z o n y c h e k s p e r y m e n tó w s y m u la c y jn y c h o p is y w a n y c h p o n iż e j.

N a r y s . 2 a p o k a z a n e s ą o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w 6j , b2 , a i , a2 t r a n s m i t a n c j i H ( z ) d la h = 0 , 1 , N = 3 , A — 0 .9 6 w p o s t a c i fu n k c ji c z a s u . Z t y c h w y k re s ó w , m a ją c y c h p o s t a ć lin ii p o z io m y c h , n ie j e s t m o ż liw e o k r e ś le n ie d o k ła d n o ś c i u z y s k a n y c h o c e n . R z e c z y w iś c ie d l a m a ł y c h o k r e s ó w p r ó b k o w a n ia p o t r z e b n e j e s t d łu g ie sło w o c y fro w e d o z a p is u w s p ó łc z y n n ik ó w t r a n s m i t a n c j i H { z ) , a i s t o t n a in f o r m a c j a o t y c h w s p ó łc z y n n ik a c h z a p i s a n a j e s t z a p o m o c ą d a ls z y c h m n ie j z n a c z ą c y c h c y fr s ło w a c y fro w e g o [1]. D la te g o te ż n a w e t n ie d o k ł a d n e o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w t r a n s m i t a n c j i H ( z) z a p is a n e w p o s t a c i fu n k c ji c z a s u m o g ą m ie ć p o s t a ć lin ii p o z io m y c h . A b y m ie ć m o ż liw o ś ć p o r ó w n a n i a w iz u a l

n e g o d o k ł a d n o ś c i id e n ty f ik a c ji w s p ó łc z y n n ik ó w d l a m o d e li O P i O D b ę d z ie m y w d a ls z y m c ią g u o b lic z a ć o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w bo, b2 , a 2 t r a n s m i t a n c j i G ( s ) z o t r z y m a n y c h o c e n w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e li d y s k r e t n y c h w c z a s ie . W r o z p a t r y w a n y m p r z y p a d k u o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w b0 , b2l a \ , a 2 b y ły w y z n a c z o n e z d o k ła d n o ś c ią p o d w ó jn e g o s ło w a c y fro w e g o w k o le jn y c h c h w ila c h p r ó b k o w a n ia i h , w y k o r z y s tu ją c o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w t ą , b2 , S i , a 2 i f u n k c je M A T L A B ’a t } 2 s s , d 2 c , s s S t f . O c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w b0, b u a i , a 2 w y z n a c z o n e w t e n s p o s ó b i o d p o w i a d a j ą c e o c e n o m p r z e d s ta w io n y m n a ry s . 2a p o k a z a n e s ą n a ry s . 2b; j a k w id a ć , s ą o n e p r a w ie d o k ła d n e , ty lk o o c e n a a 2 m a p e w n e n ie z n a c z n e f lu k tu a c je .

(8)

62 R. G essing

a) Diacrete-timc model_______________ b) Continuous-timo model

A 2 3 ^{a 1}

- ł ---

2^{^} ² --- v--- b 1

bO

... . . . . time time

■2'---1--- time__ ________________________________

0 «0 12 H 16 10 8 10 12 14 16 18

Rys. 2. Oceny współczynników dla h — 0 . 1 , A = 0 . 9 6 , N — 3 Fig. 2. Estimates of coefficients for h = 0 . 1 , A = 0 . 9 6 , N = 3

N a r y s . 3 a i 3 b p o k a z a n e s ą o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w b0 , &i, a j , 02 t r a n s m i t a n c j i G ( s ) . B y ły o n e o b lic z a n e j a k p o p r z e d n i o z e w s p ó łc z y n n ik ó w &2, 5 i , a2 t r a n s m i t a n c j i H ( z ) d l a h = 0 .0 5 , N = 3 ( o d p o w ie d n io d l a A = 0 .9 6 i A = 0 .9 ). O c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w 6 1, ó2 , a i , a2 n ie s ą p o k a z a n e , p o n ie w a ż j a k p o p r z e d n i o m a j ą o n e p o s t a ć lin ii p o z io m y c h . W id a ć , ż e o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w a j , a2 s ą m n ie j d o k ł a d n e i m a j ą f l u k tu a c je (w o k ó ł p r a w d z i w y c h w a r t o ś c i ) t y m w ię k s z e , im A j e s t m n ie js z e . O z n a c z a to , ż e d o k ła d n o ś ć p o m ia r ó w o k r e ś l o n a p r z e z N = 3 n ie j e s t w y s ta r c z a ją c a d l a id e n ty f ik a c ji m o d e lu O P p r z y h = 0 .0 5 n a p o d s t a w i e p o m ia r ó w u i y .

a)fn,o^Htng faęti>r=Q 96

— —

b) fwąettlng

1 a2

actor»o.9

4 ^

b 1

bO

time

Rys. 3. Oceny współczynników transmitancji G ( s ) obliczone z ocen współczynników modelu OP dla h = 0 . 0 5 , N = 3

Fig. 3. Estimates of CT plant calculated from those of SO model for h — 0 . 0 5 , N = 3

N a r y s . 4 a i 4 b p r z e d s t a w i o n e s ą o c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w b0, b\, a it a2 t r a n s m i t a n c j i G ( s ) . B y ły o n e o b lic z a n e w s p o s ó b p o d o b n y j a k p o p r z e d n io z o c e n w s p ó łc z y n n ik ó w ój., b2 , ¿ i , a2 t r a n s m i t a n c j i H {7), d l a h — 0 .0 5 , N — 3 i o d p o w ie d n io d l a A = 0 .9 6 i A = 0 .9 P o r ó w n u ją c w y k r e s y z r y s .3 i 4 w id z im y , że s ą o n e b a r d z o p o d o b n e . Z ty c h i in n y c h n ie o p is a n y c h t u t a j , a le p r z e p r o w a d z o n y c h s y m u la c ji w y n ik a , ż e d o k ła d n o ś ć o c e n m o d e li O P i O D p r z y p o c z y n io n y c h z a ło ż e n ia c h j e s t p o r ó w n y w a ln a . T o s p o s tr z e ż e n ie j e s t s p r z e c z n e z r o z p o w s z e c h n io n y m p o g lą d e m , ż e d l a m a ły c h o k re s ó w p r ó b k o w a n ia i o g r a n ic z o n e j d łu g o ś c i s ło w a c y fro w e g o m o d e le O D m o g ą b y ć id e n ty f ik o w a n e b a r d z ie j d o k ł a d n i e n iż m o d e le O P

(9)

Czy m odele z o p e ra to re m d e lta sąrzeczyw iście lepsze. 63

[2]. Z a u w a ż m y , ż e t e n r o z p o w s z e c h n io n y p o g lą d j e s t r ó w n ie ż p ra w d z iw y , a le o b o w ią z u je p r z y i n n y m z a ło ż e n iu : g łó w n e ź r ó d ło b łę d ó w w y n ik a z z a k r ó tk ie j m a n t y s y s to s o w a n e j p r z y o b lic z e n ia c h ( d o p r z e t w a r z a n ia in f o r m a c ji) . N a le ż y p o d k r e ś lić , ż e z a ło ż e n ia p o c z y n io n e w n in ie js z e j p r a c y m ó w ią , ż e g łó w n e ź r ó d ło b łę d ó w w y n ik a z o g r a n ic z o n e j d o k ła d n o ś c i, a b łę d y w y n ik a ją c e z p r z e t w a r z a n ia in f o r m a c ji s ą p o m ija ln e . T a k ie z a ło ż e n ia s ą b a r d z ie j u z a s a d n io n e z p u n k t u w id z e n ia z a s to s o w a ń .

a) forpettino fa c to R O ftS

a2

b1

b) forgetting factor-0.9

2

r

^{~~4 p —} ^y—

10 12 14 10

R y s . 4. O c e n y w s p ó łc z y n n ik ó w t r a n s m i t a n c j i G ( s ) o b lic z o n e z o c e n w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e lu O D d l a h = 0 . 0 5 , N = 3

F ig . 4. E s t i m a t e s o f C T p l a n t c a l c u la te d f r o m t h o s e o f D O m o d e l f o r h = 0 . 0 5 , N = 3

6. Wnioski końcowe

W ia d o m o , ż e w p r z y p a d k u m a ły c h o k re s ó w p r ó b k o w a n ia p o t r z e b n e j e s t d łu g ie sło w o cy fro w e d o z a p i s u w s p ó łc z y n n ik ó w m o d e lu O P . D l a te g o t e ż o d p o w ie d n io d łu g ie sło w o c y fro w e j e s t t a k ż e p o t r z e b n e d o o b lic z e ń c h a r a k t e r y s t y k c z ę s to tliw o ś c io w y c h i p r z e b ie g ó w c z a s o w y c h p r z y w y k o r z y s t a n i u m o d e li O P .

N ie c o i n n a s y t u a c j a j e s t , g d y s to s u je m y m o d e le O D , g d y ż d o z a p i s u ic h w s p ó łc z y n n ik ó w p o t r z e b n e j e s t z n a c z n ie k r ó t s z e sło w o c y fro w e . U w a g a o k r ó t s z y m sło w ie c y fro w y m d o t y c z y ró w n ie ż o b lic z e ń a n a lity c z n y c h c h a r a k t e r y s t y k c z ę s to tliw o ś c io w y c h i p r z e b ie g ó w c z a s o w y c h p r z y w y k o r z y s ta n iu m o d e li O D . A le d o o b lic z e ń p r z e b ie g ó w c z a s o w y c h s tw ie r d z e n ie o k r ó t s z y m s ło w ie j e s t p r a w d z iw e ty lk o d l a t a k i c h s y g n a łó w w e jś c io w y c h , k t ó r e s ą o p is a n e z a p o m o c ą t a k i c h fu n k c ji m a t e m a ty c z n y c h , d l a k tó r y c h is t n ie j e r o z w ią z a n ie a n a l i ty c z n e ( o k r e ś lo n e w z o r a m i) o p is u ją c y c h m o d e l r ó w n a ń ró ż n ic o w y c h . W z a s to s o w a n ia c h z t y m o s t a t n i m p r z y p a d k i e m s p o t y k a m y s ię r a c z e j r z a d k o .

P r z e w a g a m o d e li O D n a d m o d e la m i O P w p r z y p a d k u m a łe g o o k r e s u p r ó b k o w a n ia z n ik a w t a k i m p r o c e s ie s y m u la c ji, w k t ó r y m s y g n a ł w e jś c io w y m o d e lu o k r e ś lo n y j e s t

(10)

64 R. Gessing

p r z e z d o w o ln y c ią g lic z b o w y , a c e le m s y m u la c ji j e s t w y z n a c z e n ie s y g n a ł u w y jś c io w e g o . T o s p o s tr z e ż e n ie m a i s t o t n e z n a c z e n ie , g d y ż w p r o c e s ie s y m u la c ji z a z w y c z a j m a m y d o c z y n i e n i a z t y m p r z y p a d k i e m . N a le ż y z a u w a ż y ć , ż e z ty m s a m y m p r z y p a d k i e m m a m y r ó w n ie ż d o c z y n i e n i a p r z y s te r o w a n iu c y fro w y m , w k t ó r y m p r z e b ie g w y jś c io w y r e g u l a t o r a c y fro w e g o m u s i b y ć n a b ie ż ą c o w y z n a c z a n y d l a d o w o ln e g o s y g n a łu w e jśc io w e g o .

P r z e w a g a m o d e li O D n a d m o d e la m i O P w p r z y p a d k u m a łe g o o k r e s u p r ó b k o w a n ia z n ik a r ó w n ie ż w p r z y p a d k u id e n ty f ik a c ji m o d e li p r z y o g r a n ic z o n e j d o k ła d n o ś c i p o m ia r ó w i w z g lę d n ie d o k ł a d n y c h o b lic z e n ia c h . Z a ło ż e n ia t a k i e s ą w p e łn i u z a s a d n i o n e z p r a k t y c z n e g o p u n k t u w id z e n ia . T a u w a g a o b r a k u p r z e w a g i j e s t w s p r z e c z n o ś c i z ro z p o w s z e c h n io n y m p o g l ą d e m w y r a ż o n y m w [2], g d z ie b y ło r o z p a t r y w a n e in n e z a ło ż e n ie o o g r a n ic z o n e j d o k ła d n o ś c i p r z e t w a r z a n i a in f o r m a c ji. N a le ż y j e d n a k z a u w a ż y ć , ż e t o o s t a t n i e z a ło ż e n ie n ie z o s t a ł o w y r a ź n i e s p r e c y z o w a n e w [2], c o d o p r o w a d z iło d o s y t u a c j i , ż e ro z p o w s z e c h n io n y j e s t p o g l ą d o p r z e w a d z e m o d e li O D w p r z y p a d k u ic h id e n ty f ik a c ji.

P o d s u m o w u ją c , n a le ż y s tw ie r d z ić , ż e p o n ie w a ż p r o c e s y s y m u la c ji z d o w o ln y m s y g n a łe m w e jś c io w y m , p r z y o g r a n ic z o n e j d o k ła d n o ś c i p o m ia r ó w , s ą z p u n k t u w i d z e n ia z a s to s o w a ń b a r d z ie j w a ż k ie , w ię c s tw ie r d z e n ie o p r z e w a d z e m o d e li O D n a d m o d e la m i O P d l a m a ły c h o k r e s ó w p r ó b k o w a n ia n ie w y d a j e s ię b y ć w p e łn i u z a s a d n io n e .

P o d z i ę k o w a n i e

P r a c a b y ła c z ę ś c io w o f in a n s o w a n a p r z e z K o m i te t B a d a ń N a u k o w y c h , g r a n t n r 8 T l l A 0 1 2 19.

L I T E R A T U R A

1. G e s s in g R .: W o r d L e n g t h o f P u l s e T r a n s f e r F u n c t io n fo r S m a ll S a m p lin g P e r io d s . I E E E T r a n s o n A u t o m a t ic C o n t r o l, 1 999, v o l. 4 4 , n o . 9, p p . 1 7 6 0 -1 7 6 4 .

2. G e v e r s M ., L i G .: P a r a m e t r iz a t io n s i n C o n tr o l, E s t im a t io n a n d F i l t e r i n g P r o b le m s . S p r i n g e r V e r la g 1993.

3. G o o d w in G .C ., M id d l e t o n R .M ., P o o r M .V .: H ig h S p e e d D i g i ta l S ig n a l P r o c e s s in g a n d C o n tr o l. P r o c e e d in g s o f th e I E E E , 1 992, v o l.8 0 , N o 2, p p . 2 4 0 -2 5 9 .

4. M i d d l e t o n R .H ., G o o d w in G .C .: D ig it a l C o n t r o l a n d E s t im a t io n , A U n ifie d A p  p r o a c h . P r e n t i c e H a ll, N J , 1990.

(11)

Czy m odele z o p era to re m d e lta sąrzeczyw iście lepsze. 65

R e c e n z e n t: P r o f . d r h a b . in z . W o jc ie c h M itk o w s k i

Abstract

I t is k n o w n t h a t in t h e c a s e o f s m a ll s a m p li n g p e r io d a la r g e w o r d l e n g t h ( W L ) is n e e d e d fo r r e c o r d i n g t h e s h i f t o p e r a t o r (S O ) m o d e l c o e ffic ie n ts . T h e r e f o r e t h e la r g e W L is a ls o n e e d e d fo r c a l c u l a ti o n o f t h e f r e q u e n c y a n d tim e r e s p o n s e s w h e n t h e S O m o d e l is u s e d . S o m e w h a t d if f e r e n t s i t u a t i o n is in t h e c a s e o f t h e d e l t a o p e r a t o r ( D O ) m o d e l w h ic h n e e d s fo r r e c o r d i n g i t s c o e ffic ie n ts a s ig n if ic a n tly s m a ll e r W L . T h e s a m e r e m a r k c o n c e r n s t h e a n a l y t ic a l c a l c u l a ti o n s o f t h e f r e q u e n c y a n d tim e r e s p o n s e s . H o w e v e r fo r c a l c u l a ti o n s o f t h e l a t t e r t h i s s t a t e m e n t is t r u e o n ly fo r s u c h i n p u t s w h ic h a r e d e s c r ib e d b y t h e m a t h e m a t i c a l f u n c tio n s fo r w h ic h t h e r e e x is ts a n a n a l y t i c a l s o lu tio n o f t h e c o r r e s p o n d i n g d if f e r e n c e e q u a tio n . T h i s is a r a t h e r s e ld o m c a s e in a p p li c a t io n s . F u r t h e r o n , i t is s h o w n in t h e p a p e r t h a t t h e s u p e r i o r i t y o f t h e D O m o d e ls o v e r S O o n e s d i s a p p e a r s in t h e s i m u la t io n in w h ic h fo r a n y i n p u t t h e t im e r e s p o n s e o f t h e o u t p u t is c a l c u l a te d . T h is is a n i m p o r t a n t o b s e r v a tio n b e c a u s e in s i m u la t io n s u s u a l ly t h i s c a s e a p p e a r s . T h e s a m e c a s e a p p e a r s in d i g it a l c o n tr o l i m p l e m e n t a t i o n in w h ic h t h e o u t p u t o f t h e d i g it a l c o n tr o l l e r m u s t b e c a l c u l a te d fo r a n y c u r r e n t i n p u t . T h e s u p e r i o r it y o f t h e D O m o d e ls o v e r S O o n e s , fo r s m a ll s a m p li n g p e r io d s , d i s a p p e a r s a ls o in t h e c a s e o f m o d e l i d e n t i f ic a t i o n u n d e r l im i te d m e a s u r e m e n t a c c u r a c y a n d r e la ti v e ly a c c u r a t e c a l c u l a ti o n s ( i n f o r m a ti o n p r o c e s s in g ) . T h e m a d e a s s u m p t i o n s a r e f u lly ju s t if i e d fro m t h e p r a c t i c a l p o i n t o f v ie w . T h e s t a t e m e n t a b o u t t h e la c k o f t h e s u p e r i o r i t y is in c o n tr a d ic t io n w i t h t h e c o m m o n v ie w b a s e d o n [3]

w h e re t h e c a s e o f le s s a c c u r a t e i n f o r m a t io n p r o c e s s in g w a s c o n s id e r e d . T o s u m m a r iz e , s in c e t h e s i m u la t io n fo r a n y i n p u t s ig n a l a n d i d e n tif ic a tio n u n d e r a lim i te d m e a s u r e m e n t a c c u r a c y a r e ( f r o m a p p l i c a t i o n p o i n t o f v ie w ) m o r e i m p o r t a n t , t h e n t h e s t a t e m e n t a b o u t t h e s u p e r i o r i t y o f t h e D O o v e r S O m o d e ls , fo r s m a ll s a m p lin g p e r io d s , s e e m s t o b e n o t fu lly ju s t if i e d .