ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Seria: ENERGETYKA z. 66 Nr kol. 562
_______ 1978
Andrzej ZIELIŃSKI Politechnika Wrocławska
WERYFIKACJA METODY PUNKTÓW OSOBLIWYCH DLA WIRNIKÓW ODŚRODKOWYCH
Streszczenie. Uprzednio w Instytucie Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Politechniki Wrocławskiej opracowano i oprogramowano na m.c.
metodę punktów osobliwych przeznaczoną do analizy i syntezy wir
ników maszyn wirowych. Metoda ta odnosi się do przepływów' płynu nie- lepkiego i nieściśliwego przez palisady odśrodkowe i diagonalne. Do
tychczas brak było weryfikacji otrzymywanych wyników.
W pracy skonfrontowano wyniki obliczeń otrzymywanych tą metodą z danymi analitycznymi i doświadczalnymi opublikowanymi przez Buse- manna, Acostę i Erharta. Wykonana weryfikacja dotyczy palisad wir
ników odśrodkowych.
1. Wstęp
Sformułowana przez Betza i Flugge-Lotza myśl matematycznego zastąpie
nia łopatki warstwą wirową zapoczątkowała przed czterdziestu laty rozwój metody punktów osobliwych. Dalsze prace Isaya, Glauerta, Grubera, Marten- sena, Webera i Wilkinsona a ostatnio Schilhansla, Taraury i Lewisa dopro
wadziły do opracowania szeregu indywidualnych, algorytmów obliczeń pali
sad tą metodą i rozwiązania wiążących się z tym zagadnień natury numerycz
nej.
Nad powyższym zagadnieniem pracuje też od pewnego czasu we Wrocławiu zespół pod kierunkiem Rohatyńskiego. W ostatnich latach opracowano i opro
gramowano tam metodę punktów osobliwych przeznaczoną do analizy i syntezy palisad łopatek cienkich oraz profilowanych. Aktualnie metoda ta odnosi się do przepływów płynu nielepkiego i nieściśliwego na powierzchniach o- siowo-symetrycznych.
2. Przedmiot prac
Algorytm analizy palisady łopatek cienkich metodą punktów osobliwych [1], [2] umożliwia badanie przepływu przez wirniki odśrodkowe i diagonal
ne oraz przez kierownice pomp diagonalnych. W niniejszej pracy skonfron
towano wyniki obliczeń charakterystyk zewnętrznych i wewnętrznych palisad
A. Zielinski
otrzymanych opracowaną metodą z dostępnymi danymi analitycznymi i doświad?- cżalnymi opublikowanymi dla wirników odśrodkowych.
3. Weryfikacja charakterystyk palisad przy stałej szerokości kanału i stałym kącie nachylenia łopatki
W celu weryfikacji charakterystyki przepływu = f ( Q ^ ) posłużono się wynikami prac Busemanna |3 |• Wyznaczył on na podstawie dwuwymiarowej teo
rii potencjalnej (metody odwzorowania konforemnego) wartości tej zależno
ści dla szczególnego przypadku: przepływ odbywa się przez wirnik odśrod
kowy o stałej szerokości kanału b, zaś łopatki mają kształt spirali loga
rytmicznej* i są nieskończenie cienkie. Spiralny kształt łopatki był w me
todzie zastosowanej przez Busemanna jednym dogodnym kształtem z matema
tycznego punktu widzenia. Dla metody punktów osobliwych spirala logaryt
miczna jest szczególnym, ale tylko jednym z nieskończenie wielu możliwych do zastosowania kształtów.
Na rys. 1 linią ciągłą naniesiono wyniki obliczeń Busemanna: otrzymane wartości stosunku f „ /£„ przy Z = 8, różnym kącie nachy-
th(max) i th c o ( max )
lenia łopatek spirali oraz przy różnym stosunku średnic d^/d^. Zaznaczone punkty obrazują wyniki obliczeń metodą punktów osobliwych. Widać, że otrzy
mano bardzo dobrą zgodność. Jedynie przy małych kątach nachylenia cięciwy (/^ = 10° i raniej) i małych stosunkach d^/d^ obserwuje się jej pogorsze
nie. Dotyczy to jednak takiego zakresu parametrów, który nie odpowiada normalnie stosowanym palisadom. Kwestia ta wymagać będzie w przyszłości specjalnego potraktowania, aby móc orzec, czy przyczyna leży w samej meto
dzie obliczeń czy też wynika z jej aktualnej realizacji numerycznej. Być może w omawianych przypadkach wystarczy zastosować więcej punktów oblicze
niowych (tu rozmieszczono ich 19 wzdłuż linii szkieletowej łopatki).
W tabeli 1 zestawiono dla trzech wirników odśrodkowych wartości charak
terystycznych wielkości bezwymiarowych: J u ^ i 1 ' th(max) 1 th(o) ^>Q th(o) otrzymanych metodami Busemanna i Acosty, opracowaną metodą punktów osob
liwych oraz dla uzupełnienia wynikających z teorii nieskończonej liczby łopatek Eulera. ¥ trzech pierwszych przypadkach różnice są minimalne.
Analiza charakterystyk wewnętrznych palisady (rozkłady prędkości i ciś
nień) była początkowo możliwa tylko w bezuderzeniowym punkcie pracy (H^(0)»
Qth(0 )* tzn. w tym, w którym kąt nachylenia wektora prędkości na wlocie pokrywa się z kątem nachylenia łopatki. W pracy Acosty [V] to ogranicze
nie już nie występuje.
Acosta w analizowanych przez siebie wirnikach odśrodkowych o stałej szerokości kanału (d^/d^ = 0,54, kształt - spirala logarytmiczna,
badał na drodze analizy teoretycznej i pomiarów rozkłady przyrostu ciś
nień statycznych wzdłuż obu stron łopatki wirnika w różnych punktach jego
k c
EL_
u) 10
08
06
04
0.2
O
10
08
06
04
02
O
1.0 0.8
06
04
02
O
1 . i
metody puliktów osobliwych.
St -0' szerokość kanału - stata k ształt- sp irala logarytmiczna J3c-30‘
02 04 06 08 10 A -40’
02 04 06 08 10 A -K T
02 04 06 08 10
►równanie otrzymanych wyników analizy palisad z wykresami Buse- raanna
A. Zieliński
06
0.5
.
&
03 .
cP-(r/r,f-(tv/uf
Z -6 Ś oth~0.238
Acosta - ob licz e n ia
— o-Acosla - eksperym ent
* *m .p. osobl. - bez u w zg l. grub. to p a tk i m.p. osobl. - z m z g l. grub. ło p a tk i
r~
Rys. 2. Zestawienie wyników analizy rozkładu przyrostu ciśnienia statycz
nego wzdłuż obu stron łopatki wirnika odśrodkowego otrzymanych metodą pun
któw osobliwych z wynikami opublikowanymi przez Acostę. Wpływ zmiany kąta napływu na palisadę
Weryfikacja metody punktów osobliwych,.
Tabela 1 Porównanie otrzymanych wartości
> H th{max) ^ H th(o) ™th{o) szerokość kanału - stała,
kształt - spirala logarytmiczna,
&,/dz = 0,5*» ac = 30° 5I = 0°
2 = 2 Z = 4 Z = 6 Z=eo
1 2 3 1 2 3 1 2 3
^^th(max)
0,76 0,76 0,7503 1,32 1 ,26 1,2658 1,52 1 ,52 1,5240 2,00
^ lIth(o)
0,22 0,22 0,2215 0,46 0 , 4 8 0,4747 0,70 0,72 0,7175 1 ,3 2
^Q th(o)
0,31 0,31 0,3097 0,29 0,27 0,2723 0,26 0,24 0 , 2 3 8 0 0,168
1 - Busemana Pf\ 2 - Acosta ("41, 3 - metoda punktów osobliwyoh
pracy,' Zakładano przy tym, te napływ na palisadę jest prostopadły: 5^ = 0°
(gdzie ¿j. = a x _ 90°),
Na rys. 2 zestawiono jago rezultaty z .wynikami teoretycznej analizy rozkładu ciśnienia metodą punktów osobliwych. Zgodność obu analiz teore
tycznych jest bardzo dobra.
Rozbieżności między dostępnym modelem teoretycznym a doświadczeniem można zdani er. i A.costy przypisać głównie niezgodności rzeczywis tych warun
ków napływu na łopatkę a zakładanym do obliozeń napływam prostopadłym, przepływami wtórnymi w kanale oraz zjawiskami spowodowanymi istnieniem warstwy przyśoiennej.
Dla uzupełnienia na rys. 2 podano też dodatkowo wyniki analizy metbdą punktów osobliwych uwzględniając® rzeczywistą grubość łopatki badanego wirnika oraz wpływ różnego kąta napływu na palisadę na zmianę rozkładu ciśnienia wzdłuż łopatki w pobliżu wlotu przy tym samy® teoretycznym wy
różniku wydajności F „ .
* ih
t|, Atlas palisad wirników odśrodkowych
Pomyślne wyniki weryfikacji umożliwiły opracowanie prmy pomocy metody punktów osobliwych "Atlasu Palisad" [3]. Przyjęto, że wymiary gecaetryo*- ne ® i n d k a odśrodkowego mogą być w sposób jednoznaosny scharakteryzowane przcs podanie następujących wielkości: m
- stosunku średnic d^/d^, (promieni - liczby łopatek Z,
- kąta opasania łopatki śi1f względni® stosunku t/l na płaszczyźnie zespo
lonej),
A, Zieliński
- kształtu linii szkieletowej,
- funkcji bezwymiarowej opisującej zmianę szerokości kanału w przekroju raerydionałnym i przewężenia spowodowanego określoną grubością łopatki wzdłuż długości kanału.
Atlas ten ma zastosowanie zarówno przy syntezie jak i analizie. Uwzględ- niono w nim zmienność wszystkich wymienlonyeh powyżej geometrycznych pa
rametrów w następującym zakresie wartości:
d^dj, = 0 .3 , 0 .3 6 , 0 .1*2 , 0.48, 0 . 5 2 Z = 5, 6, 7, 8, 9
t/I = 0.25, 0.30, 0 .3 5 , 0.1*0, 0 .1*5 , 0 .5 0 , 0.55 cztery różne kształty linii szkieletowej łopatki trzy przebiegi zmian szerokości kanału.
V sumie przeanalizowano 2 100 palisad wyznaczając ich bezwymiarowe teo
retyczne charakterystyki zewnętrzne i wewnętrzne. Przy korzystaniu z At
lasu możliwe jest uwzględnienie dowolnego kąta napływu na palisadę, aktu
alnych obrotów oraz analiza pracy palisady w dowolnym punkcie pracy.
5 . ¥pływ zmiany szerokości kanału i kształtu linii szkieletowej na charakterystyki zewnętrzne palisad
¥ praktyce jednak mogą się zdarzyć przypadki, gdy geometria projekto
wanego lub analizowanego wirnika nie może być ściśle przyporządkowana war
tościom umieszczonym w Atlasie. V przypadku pośrednich wartości d^/d,, o- raz 1? wystarczy dokonać odpowiedniej interpolaoji. Inaczej ma się rzecz z obiema funkcjami opisującymi kształt i zmianę szerokości kanału.
Rys. 3* Określenie promienia r^ w wirniku
W pracy fój Erhart stwierdził, że palisadę wirnika można podzielić na dwie strefy.
Promień krytyczny r ^ i r ^ rk < r2 ) jest określony przez zerową war
tość kąta pokrycia (patrz rys. 3). Tylko strefa r^C. r <,r^ ma wpływ na teoretyczną wysokość podnoszenia.
Weryfikacja metody punktów osobliwych.. 1^9
Zmiana geometrii dla r <
rakterystyki przepływu . Powyższe wnioski zostałyTf 1
nie wpływa na położenie teoretycznej cha- potwierdzone przy za
stosowaniu do analizy palisad metody punktów osobliwych.
Dla ilustracji wybrano
Rys. *♦. Rozpatrywane zarysy kanałów wir
ników w przekroju merydionalnym
wirniki odśrodkowe o stałej szerokości kanału, kształ
tach: spirala logarytmiczna i ¥3 oraz o Z = 5 i 9, dla których odpowiednio r^/r^ =
= 0,63 i 0,775.Palisady tych wirników zestawiono najpierw z palisadami, w których zmie
niono zarys przekroju raery- dionalnego tak, jak to poka
zano na rys. k', przy czym zachowano wszędzie b^/b2 = 2, zaś wpływ grubości łopatek pominięto. W tabeli 2 zesta
wiono otrzymane wyniki, przy czym wielkości A i B są współ- czynnikami prostej: {j jj
th
■zaś wartości A_ i B„ wynikają z założeń eułerowskiej te-
Jł- Ej
orii jednowymiarowej: A E = = 2. c tg/^ •
Z kolei «badano wpływ zmiany zarysu .łopatki u wlotu (rys. 5 ) na poło
żenie charakterystyki przepływu. Kształtem porównawczym była spirala lo
garytmiczna o fi = 20°. Otrzymane wyniki zestawiono w tabeli 3.
^P o nieważ jednak zbyt krótka łopatka wpływa ujemnie na sprawność i zdol
ność ssania, to w praktyce promień r ^ jest znacznie mniejszy od r^.
150 A. Zieliński
CM
co
fi
flfOO
CM
$ o
V . V I V I V - V?. V*. V?.
+» p f T- n- CM P t o O o Cs MO N- o MS 00
aa O o en MO o T- o Pt en Pt N- O Os
m 4*
i 05 O o © O O o o o O o O O ł— O
s ffl i ł 1 i 1
N n
c o T—
» V*. S ^ V5- V 1- V . Vi. V*. v ^ s *
■p m s CM o 00 oo On 00 T— CM MS 00 MO r^.
05 CM o I— O o CM o CM T-- P t sr- o O
< -P •»
1 9» o o o O o O o o O T- o o o o
a <1 i 1 i 1 1 1 a i j
N
•<
o o o o o O o Pt O MO MS 00 V- y~
1 I -P MS m s MS m s m s us us MO łN CO MS MS SO 00
© cd <n
w .3 n MS sn m s MS *n m s M\ Pt Pt Pt Pt Pt Pt Pt
« 3 -O H
fi» KO Cd +* T” 00 MS m s m s T" o O MS o O o
H 0 pj MO m s m s CM en e n en e n e n t*= O >r* f— CM
M <d MS m s m s ?N r - r- MS MS IN f
+> 0 ••
co f< T*
W •et o en CM MO o o Os Pt CM Pt o P t
W O o cc en en o Ov O Os MO MS O MS 00
o o Ch o G \ o Os s n CO CM CM Pt MO
B o o Os o C\ o Os O O O O O o O
•V •>
m <r> *~ O V- o O r— r- T” ■r- r* r-
« M> CM en IN 00 o en Os Pt IN O MO MS MO
2 << 00 0% 00 en o en P t MS OS en r— MS Pt 00
s IN r- M0 M0 MO MO MO MO r- MS MS MS ' MS
a JN r- 00 co CO 00 r-* r- 00 00 00 00
s
KG o o o o O O O O o o o o o o
0
fc0 y— en M S M0 t". Pt MO en Os M-S CM oo MO 1—
H E CM o O r- Pt o •t“ o CM CM t'* 00 e^s
CD § O o c\ r~ MO o OS Pt CM Pt r- Pt MS MO
m MS m s Pt m s P t m s Pt MO łN co MS MS MO r »
cd
m s m s m s m s MS m s MS Pt Pt p t Pt Pt Pt pt
0
s T- en M5 en MO o M) 00 CO en Os CM o
*H IN 00 MO r- MS MO 00 ■s— 00 f '- T - ■ r- Os IN
H m s JO m s CM en CM CM en en Pt o T - O
3 a m s us m s IN t'. r- IN MS IN r- r- N*
3 N
«3 < r_
" "
n—
*1 m s m s Cs Os et. Os >n MS MS Os OS Os Os
N
CM CM pt CM pt MO CM Pt CM Pt MO
T i en Pt m s en Pt m s MO en Pt MS en Pt MS MO
T - o O O o o o O O O O o O O O
r 1
1 N ) 3 1
0 łKI J H T— CM en r— CM en Pf T— en T— CM en Pł-
N 0 o cd cd < <! « CCI CQ PCI < ■«d « CQ 03 «
W H ^ C
cd •
4- • W
N a o en
(0 « H >
W...
i©wpływuzmianywartości funkcji /3 = f(r)u wlotu stosunku dokształtuspiralilogarytmicznej
Weryfikacja metody punktów osobliwych».. 151
152 A. Zieliński
¥ resoltaolo wykonanych obliczeń metodą punktów osobliwych potwierdzo
no niewrażliwoś6 położenia bezwymiarowej charakterystyki przepływu aa
■zmiany zarysu kanału w przekroju marydionalnytK i zmiany zax-ysu łopatki, jeżeli tylko dokonywane są one w zakresie r —scr^. Znaczniejszą różnicę, co jest oczywiste, nożna zauważyć tylko w położeniu punktu bezudarzonio- wego napływu przy śmianie /i,« Powyższe wnioski pozwalają na rozszerzenie zakresu zastosowań opracowanego Atlasu poza standardowe kształty i szero
kości kanału.
6. Zależność położenia charakterystyk zewnętrznych od geometrycznych parametrów palisady
¥ wyniku wykonanych analiz zmiany współczynników A i' B odniesionych do Ag i Bg, jakie następują w wyniku w i a a i Z przy różnych kształtach
i różnych szerokościach kanału, stwierdzono, że:
- na wartość A/Ag wpływa głównie liczba łopatek, zaś kształt i szerokość kanału mają znaczenie «trugorsędne j
- nachylenia charakterystyki, które reprezentuje współczynnik 8/Bg zmie
nia się wras z kształtem i kątem opasania. Szerokość kanału i liczba łopatek praktycznie na nachylanie nie wpływają2 '.
Największe procentowe odchylenie współczynnika B, jakie s twierdzono dla typowego kształtu ¥3 w stosunku do spirali logarytmicznej, wynosi ok.
- 1756 (d^/dz = 0,3, Z * 9, stała szerokość kanału, A. = 20°)} charaktery
styka przepływu wirnika a kształtem ¥3 jest mniej stroma. Ponieważ jednak dla tych wirników, w których r^ ■■*= odchylenia wartości współczynnika A nie przekraczają praktycznie £j ,3%, a w praktyce obszar pracy palisady za- wiera się w granicach 0 -=: Q th^ l/3Q>h am x , e*ąd wniosek, że wykresy po
dane przez Busemanna mogą byó stosowane w praktyce również wtedy gdy ło
patka nie jest spiralą logarytmAoisną, -a szerokość kanału nie Jest stała, z dość dobrą w praktyce dokładnością przy wyznaczaniu charaktery»tyki prze- pływu H th = f(Qth).
7. Podsumowanie
Wykazano, że wyniki analiz palisad wykonywane metodą ;p«*d£Sśw osobli
wych są zgodne z pracami Busemanna, Acosty i Erharta. Możliwość uwzględ
niania dowolnego kształtu linii szkieletowej łopatki, dowolnej w l a n y -sze
rokości kanału a także dowolnego punktu praoy i dowolnego kąta napływa na pałisc.dę stanowi o przewadze opracowanej metody w stosunku do oytowanireJi
x ^Mowa jest tu o bezwymiarowej charakterystyce przepływa.
Weryfikacja metody punktów osobliwych.. 153
p r a c . W n io sek t e n p o z w o l i ł n a z a s t o s o w a n ie o p ra c o w a n e g o a lg o r y tm u do s p o r z ą d z e n i a A t l a s u P a l i s a d d l a w ir n ik ó w odśr-odkow yoh o r a z n a w y k o n a n ie s z e r e g u I n d y w id u a ln y c h a n a l i z i p r o j e k t ó w .
LITERATURA.
jjlj Rohatyński_R.: Theoretical investigations of flow in a diagonal pump impeller. Österreichische .Ingenieur-Zeitschrift, Heft 10, Jg 17, Vien 197 ii.
[2] Rohatyński R., Zieliński A., Salamon J. s Analiza palisady łopatek J cienkich. Inst, Konatr. i Ekspl. Masz. Politechniki Wrocławskiej, ra
port nr 18, Wrocław 1973.
[3l Basemaisn A.i Das Forderverhältnis radialer Kreiselpumpen mit logarit- Lj misch—spiraligen Schaufeln, ZAMM, Bd. 8, Haft 5, Berlin 1928.
[**J Acosta A.J.s An experimental and theoretical investigation of two- -dimensional centrifugal pump impellers. Trans. ASMS, Vol. 75, New York 193**.
[5] Popczyk Z., Rohatyński R., Zieliński A.: Atlas palisad wirników pomp odśrodkowych, Inst. Konstr, i Ekspl. Masz. Politechniki Wrocławskiej, raport nr 280, Wrocław 1975.
jć] Erhart F.! Busemamns Diagramme von radialen Laufrädera als Behelf für die Konstruktion von Turbopumpen. Maschinenbautechnik 1963, ar 6.
[?] Rohatyński R., Zieliński A.: Wykorzystanie atlasu palisad do analizy i syntezy wirników pomp odśrodkowych. Inst, Konstr, i Ekspl, Masa.
Politechniki Wrocławskiej, raport nr 319, Wrocław 1 9 7 6 .
IIPOBEPKA MET0ÄA 0C0BHX TCrtEK JUK PAÄHAJILHHX PAE0HHX K0JIËC
P e 3 a M e
B c i a r t e conooiaEjteH H p e 3 y n b ’ra T a a s a m is a pem ëioK , noJiyveHHLDr. p a ap aÓ o iaH - HHM SiSTOJÎOM 0C0ÖMX T0V6K C aHaOTTHEeCKHMH E aKCIiepHMeHTajIŁHHMH ÄSHHHMH, D0~
a y v e H H H M H B y s e M a H H O M , Ai t o c t o ü h 3 p x a p ü O M , Æ a i m o e c o n o c i a s a e H H e o t h o c h t c h k p e m ë T K & M p a A H a a b H u x p a Ö O E K X KOJiëc.
VERIFICATION OF THE SINGULAR POINT METHOD FOR CENTRIFUGAL IMPELLERS
S u m m a r y
The p a p e r c o n f r o n t s a n a l y s i s r e s u l t s o f c a s c a d e s c a r r i e d o u t b y u s i n g an e l a b o r a t e s i n g u l a r p o i n t m eth o d with t h e a n a l y t i c a n d e x p e r i m e n t a l d a ta p u b l i s h e d by B usem ann, A c o s ta a n d E r h a r t . The v e r i f i c a t i o n accomplished c o n c e r n s c e n t r i f u g a l i m p e l l e r c a s c a d e s .
