Klasa ścisłych, osiowo-symetrycznych rozwiązań równań Stokesa

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J 198i*

S e r ta: E N E R G E T Y K A « . 8 8 N r kol. 807

Stanisław t o k a r z e w s k i

Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAK Warszawa

KLASA ŚCISLYCH^OSIOWO—SYIASTHYCZirrCH H0ZWIĄ2AR ROWNAH STOKESA

StreszczenieiOsiowo-Byaetryczne równania Stokesa zostały rozwiązane ściśle w obszarze nieskończonego cylindra w przypadku,gdy warunki brzegowe postawione na jego powierzchni są wyrażone za pomocą funkcji dostatecznie gładkich.Wyniki uzyskano w postaci sum nieskończonych szeregów funkcyjnych.

1 .Wstęp

Hówniania Stokesa należą do podstawowych równań mechaniki cieczy i gazów.Stosuje się je do opisu tak zwanych przepływów powolnych charakto- ryzujących się małymi liczbami Beynoldsa.Przepływy takie realizują się na dużą skalę zarówno w technice,jak również w przyrodzie.Mac^r z nimi do czynienia między innymi w procesach smarowania,sedymentacji,flotacji i wielu innych.Stąd poszukiwanie klas ścisłych rozwiązań równań Stokesa jest ważne nie tylko z teoretycznego,ale również praktycznego punktu widzenia.W niniejszej pracy znaleziono klasę ścisłych rozwiązań równań Stokesa w przypadku,gdy na brzegu nieskończonego walca kołowego zadane są osiowo-symetryczne,dostatecznie gładkie funkcje.Identyczne zadanie rozwiązali w 1891 roku Sampson / $ / ,w 1953 -oku Savic oraz w 1953 roku Haberman i Sayre .Uzyskane przez nich rozwiązania mają postać całek Fouriera 1 są powszechnie stosowane w obliczeniach.Uatomiast ścisłe roz­

wiązanie osiowo-symetrycznych równań Stokesa uzyskane w tej pracy ma pos­

tać nieskończonych szeregów funkcyjnych,których poszczególne wyrazy są iloczynami niezależnych od warunków brzegowych wielomianów mnożonych przez kolejne pochodne funkcji postawionych na powierzchni nieskończonego walca kołowego.Istotnie więc się różnią od rozwiązań podanych w pracach /l7,/57.^7.

2.Sformułowanie zagadnienia

Do opisu powolnych,osiowo-symetrycznych przepływów stacjonarnych rea­

lizujących się w rurach kołowych używa się następujących równań Stokesa

ł $ r f r & ) * & - t e - - 0

/2.1a/

/2«Tb/

/2.1c/

224 s . T ° K Q » S M i U

. wraz z następującymi warunkami brzegowymi

/U i(0 ,z )< o O , V z ( 0 , i ) < ° ° , /2 . W

W U f r & O / f * ) > G a & j & P M , V 2 . . w

gdzie funkcje oraz Og SS funkcjami klasy C ^ z góry danymi.Jako zmienne bezwymiarowe przyjęto

*■ r : % r . _ , 2 . : £ r - /2.if/

Występujące w / 2 . 1 f / wielkości Dazywać będziemy odpowiednio:ciśnieniem, p r ęd ko śc ią wzdłużną,prędkością promieniow ą, ws pó łrz ęd ną pr om ie ni ow ą i współrzędną wzdłużną.Wyznaczenie klasy funkcji j V e ( T l l ) , V i ( T l ) i H i ( X l ) jściś­

le rozwiązującej zagadnienie br zegowe /2.1/ jest gł ównym ce le m niniej­

szej pracy.

3.M e t o d a rozwiązania

Wykorzystując warunki brzegowe / 2 . 1 d / można d r o g ą p r o s t y c h przekształ­

ceń aatematycznyoh sprowadzić układ r ó wn ań / 2 . 1 a- c/ do następującej posta­

ci

aC= - (

^l

2+2 L ) Ki + ^ y ( 2)+ W '!, /3.W

gdzie

T ~

' & = - yp W j g - d r , / 3 . l b /

V o z - | & t J j£j?-Clr ■hjiPtfdz, /3,ic/

i '’ J ^ d r J 'r ^ d/r /3ł1d/

jest operatorem li niowym,natomiast funkcje \f U ) oraz są dowolnymi funk­

cjami zmiennej z.Hależy zauważyć,że równanie / 3 . 1 a / jest r ó wn an ie m bihar- mo ni cz ny m za pi sa ny m w po st ac i ró żn ic zkowo-całkowej.Ścisłe rozwiązanie rów­

nania / 3 .1 a/ daje się zapisać w po staci następującej

a? t V (£ + 2 L )]* $ (p )+ W ))-

^{. . ...}

''

(\.-D

.

P o wyko na ni u w /3*1 & / działań wskazanych, pr ze z ró żniczkowo-oałkowy opera*

t o r / 3 *1 d/ otrzymujemy

/3.1e/

gdzi e wp ro wadziliśmy następujące oznaczenia

a!

D z g . i *»

2*l!'. = Z*-**

^{(> *'}

(2n)2.

/3.1g/

Oznaczenia / 3 . 1 f- g/ używane b ę d ą w dalszej części pracy'j>owolne funkcje

if(J) oraz i/fi) pr ze ds ta wm y w po s t a c i s u m następujących nieskończonych

s z e r e g ó w

ścisłych o i i o i > o« i y< tr yc i py ch rozwiągań. > 22 3

O o

' ¿ ę f i r . e t o i w , s^o '

/3«1b/

gdzie i /Si są stałymi współczynnikami. Stosując do związków /3.1h/

oraz /3.1e/ kryterium dAlemberta otrzymujemy następujące nierówności h m

ii-»®«

o£łH oC'3

<SS£

V,i*)

< 1

^/vWl

iii

« « w

L m S-9«ó

/

/5.1i/

/3.1j/

li&P P/r?/

gwarantujące szeregowi /3.1e/ zbieżność w obszarze nieskończonego wal­

ca kołowego o promieniu jsdnostkowym.Ciąg nieznanych współczynników «iy i /5s wyznaczymy w oparciu o warunki brzegowe /2.1e/.W tym celu wpro­

wadźmy /3.1h/ do /3.1e/ i pogrupujmy' wyrazy względem kolejnych rzędów pochodnych funkcji Q^oraz S^.Hastępnie spełniając sa pomocą /3.1b/

warunki brzegowe /2.1e/ otrzymujemy następujące formuły rekurencyjne na współczynniki P i •

$./**» r i w

i o^s-n -t n , l ± _

m i

r - f a w - i

Bi-i

\

# ■ ] ,

rfl C^S-n +(n-4)jl$-n

ł

/3.1k/

o C o z 4 6 j c A > : 2 , f c ’1 j

Sumę szeregu /3.1e/ można również przedstawić w innych równoważnych po- staciach.Ha przykład grupującw /3.de/ wyrazy względem kolejnych pochod­

nych funkcji o t r w y m u j W

n l2sti> n i 2 n (2ir4J

t f - L r r / s ( T ) y d * ) + U s (r r ) y i ( z ) /3.2a/

gdzie funkcje1 SiO

je * _ _ o 1 *1

/3.2b/

przy czym

są,jak widać (wielomianami zmiennej r.Po rozwinięciu funkcji Q. w szereg Taylora,szereg /3.2a/ przekształca się do następującej postaci

* ; y H n f a j / o ) (¡tpoi + ^ \ r, i-7o) Qz (Z<

\Jn \ r ,

2

-%o)

- J I A/s

i r ) ^ są wielomianami dwóch zmiennych r i z,gdzie t l ° ł ) liczbę całkowitą nie przekraczającą wartości

/3.3a/

/3.3b/

oznacza najmniejszą

2 2 6

Z&?*y z trzech szeregów funkcyjnych /

3

^«'

1

^e/*/

3

^V

2

^{a/ oraz /}

3

^«

3

a/ dąży oczy­

wiście do tej samej granicy spełniającej ściśle równanie biharmoniczne /p.la./ oraz warunki brzegowe dane związkami /3,Ib/

1

^/

2

^.Óe/«

4VZakres stosowalności

Jeśli funkcje postawione na powierzchni walca kołowego spełniają nierówności /

3

^V

1

i-j/»wówczas szeregi /J.le/./p.Sa/i/S^Jaysą zhieżne,a to oznacza,że są ścisłymi rozwiązaniami równania biharnonicznego /

3

^«

1

^a/.

Wyznaczenie dokładnego zakresu stosowalności szeregów /

3

^.

1

^e/,/

3

^»

2

^a/,

/

3

^«

3

a/ wymaga rozwiązania nierówności /

3

«'li-j/»®° z® względu na skompli­

kowane formuły iteracyjne /

3

^.

1

k/ jest bardzo trudne.Z przeprowadzonego oszacowania wynika,że następująca nierówność

, n (2s*2)

f a r t < 4 A . 1 /

i , c o I ?jr*>

gwąr ntuje szeregom /

3

^.

1

^e/,/

3

^»

2

^ay,/

3

^«

3

a/ zbieżność w obszarze nieskoń- czon go walca kołowego o promieniu jednostkowym.Stąd wynika,że uzyskane w te pracy klasy rozwiązań dane związkami /

3

^.

1

^e/,/

3

^»

2

^{a/ i /}

3

^«

3

^{a/ na pew­}

no n:

3

są klasami pustymi,

5

rus.ia otrzymanych rozwiązań

Śc słe rozwiązanie równania blharmonicznego /

3

^«

1

a/ spełniające warun­

ki bi egowe f o S i b / t / Z .1d«e/ otrzymano w niniejszej pracy w postaci trzech niesk ńczonych szeregów funkcyjnych /3V1e/,/3»2a/»/3»3a/.Skończone sumy cząst owe szeregów /

3

^.de/»/

3

^V

2

^a/,/

3

^.

3

a/ kolejnotnie spełniają ani równa­

nia

1

aarmonicznego,ani warunków brzegowyohjspełniają warunki brzegowe, nie s ełniają równania biharnonicznegojspełniają równanie biharmoniczne nie s słniają warunków brzegowych. W szeregach /

3

^«

1

^e/,/

3

^.

2

^{a/ oraz /}

3

^«

3

^®/

wystę: iją współczynniki

0/5

^{,p i} określone formułą iteraoyjną /

3

^','lk/.

Współczynniki te nie zależą od warunków brzegowych /2.1d-e/.Są więc dla typu zadań rozwiązywanych w tej pracy,wielkościami charakterystycznymi.

Wartości kilku pierwszych współczynników óC/ *

PŚ

równają się

otó= 3 | f «if

c

G --K , =4?r - | f , y8.*--ł, p M ,

Eównież wielomiany U<,\rr) oraz występujące w szeregach /3.2a/

i /3«

3

a/ nie zależą od warunków brzegowych /

2

^,

1

d-e/.Między nimi zachodzi

prosty związek . M

Kilka pierwszych wielomianów VsJ(r) oraz wyznaczonych na podsta­

wie /3,'lk/ i /3.2b/ zestawiono w punkcie 7 pracy»Łatwo zauważyć,że wa- /5.1/

K ia »« iclllycb oalowo-wymetryczn-ycb rozwiązań. £ 2 2

runki brzegowe /2.1d/ przyjęto .pierwszy z dokładnością do dowolnej sta­

łej, drugi z dokładnością do dowolnej funkcji liniowej.Zadanie 1 rzędowa

wiązania.Można pokazać,że funkcję i3 \lr,i) uzyskuje się z dokładnością do funkcji kwadratowej zależnej od współrzędnej r.Funkcje (^.reprezentujące prędkości brzegowe,zostały wprowadzone wyłącznie w celu uproszczenia za­

pisu uzyskanych wyników.

6.Porównanie otrzymanych wynikó.y

Ogólne rozwiązanie równania biharmonicznego .powszechnie używane w li­

teraturze tH aJ i f c j iuzyskał 8anpson w postaci sumy następujących całek

gdzie A/t/,B/t/,C/t/,D/t/ są odpowiednio nieznanymi funkcjami,zaś IQ , zmodyfikowanymi funkcjami 3essela pierwszego rodzaju.Wyniki uzyskane w niniejszej pracy mają postać nieskończonych szeregów funkcyjnych da­

nych związkami /3.1e/,/3.2a/,/3.3a/.Istotna różnica między /6.1/ i /3*1e^

/3.2a/,/3.3a/ tkwi głównie w sposobie wprowadzania do /6.1/ oraz /3.1e/, /3.2a/ 1 /3.3a/warunków brzegowych.0 ile w przypadku /6.1/ należy na wa­

runkach brzegowych dokonać transformacji Fouriera,o tyle w przypadkach /3.1e/,/3.2a/ oraz /3«3&/ wystarczy policzyć kolejne pochodne funkcji postawionych na powierzchni walca kołowego.W zależności więc od tego,ja­

ka operacja dokonywana na warunkach brzegowych jest prostsza,wygodniej jest w praktycznych obliczeniach stosować bądź związek /6.1/,bądź jeden ze związków /3.1e/,/3.2a/,/3.3a/.

7 .KLasa ścisłych rozwiązań równań Stokesa

Ogólne,ścisłe rozwiązanie zagadnienia brzegowego /2.1/ wygodnie jest zapisać,wychodząc ze związków ^.Sa/./^.Tb/./^.lc/.w następującej posta­

ci

sformułowane związkami /3.1a-b/,/2.1d-e/ nie ma więc jednoznacznego roz-

Fourlera

r&\ -

7

{M'tlo(rt)+ B(ł)[rih(rł)t2lo(rt)}>

£C(ł) SLn(it) + D(ł) co$[zt)J ,

/

6

.

1

/

Między wielomianami ^ ^ ( r ) zachodzą następujące związki

/ 7 . W

/ 7 . 1 c /

gdzie funkcja wejściowa W5 dana jest związkami /3#2b/f/3‘#ikAWie- lomiany policzone przykładowo dla trzech pierwszych wartości in­

deksu s równają się

k C ' V ) = &

W „ V - 2 - i

01

/7.2a/

w f w - - f i - £ - s s ) Mf* M ^ ♦ f " i l »

Vlo‘

( r r ) : Ż (T g- 4

1 ^ i 9 ) i i f f r f c f r - 1! >

/7.2b/

r t & ć - g + M ' * j y % ł r ) : ^ ~ ¡ f i

'¿11

, / 2, i 3

) Uo ( 'r ) z ~ / r + 2 ^ *

W t f T ) s

/7.2e/

I i2'*/ \- T7

i/**, , ff- 7 +

•

Otrzymana klasa funkcji określona związkami / 7 * W oraz nierównościami /3'.1i-j/ ściśle spełnia w obszarze nieskończonego walca kołowego osiowo- symetryczne równanie Stokesa /2,'ta—c/,a także warunki brzegowe / Z iId—e/

¿oisłe rozwiązanie zagadnienia brzegowego /2'.i/ można podać bez żadnych trudności wychodząc z szeregów /3.1e/,/3.1b-o/ oraz /5.3a/,/5‘.1b-c 8‘.Końcowe uwagi

K l a s a ś c i s ł y c h f o s i o w o - s y m e t r y c z n y c h r o z w i ą z a ń ró w n a ń S t o k e s a d a n a w z o r a m i / 7 ' . i / ma k i l k a i s t o t n y c h z a l e t .P o p i e r w s z e m ożna j ą w y r a z i ć z a p o m o c ą z a m k n ię t e g o a lg o r y t m u o b l i c z e n i o w e g o w y g o d n e g o d o p r o w a d z e n ia

frlass A c l a l y c b o a l o w o - e y m e t r y c m n y c h r o g w l ą z a ń . . 2 2 ? obliczeń numerycznyeb.Po drugie korzystanie z warunków brzegowych jest proste,polega bowiem na obliczaniu kolejnych, pochodnych funkcji posta­

wionej na powierzchni nieskończonego walca kołowego.Istotną .adą otrzy­

manych wyników /7.1/ są trudności w uzyskaniu informacji o dokładnym zakresie stosowalności rozwiązań /7.1/«

LITERATURA - T i

[IjKABERMAN W.L,SAYRE,R.M»Motion of rigid and fluid spheres in stationa­

ry and moving liquids insido Cylindrical tubes »David VV.Taylor Model Ba­

sin Report No 1143,U.3.NaYy Dept. 1953-

[2JEAPFEL J »BRENNER E,Low Reynolds Number Hydrodynamics »Prentice Hall Englewood. Cliffs »New Jersey ,1965.

[3}LAM3 H » H y d r o d y n a m ic s , 6 t b e d .L o n d o n C am b r. U a i v . P r e s s,1932.

[ńjLANGLOIS W ,E ,S lo w V i s c o u s P l o w , ! M a c m illa n Cocę.New York, 196ft, - [SJSAMPSON R .A .O n S t o k e s c u r r e n t f u n c t i o n ,P h l l.T r a n s ¿ R o y '.S O c . A 18 2 , 4 4 9 ,

1891.

[738Z1NIAWSKI A^ ZACHARA A,Przepływ laainarny w kanale o zmiennym przekro­

ju z ruchonyml 1 porowatymi ściankami »Mech.Teor.l Stos.3»16,1978.

KJIACC TOSHHX PHEEHHił OCE-CHMMETPINECKHX yPABHEHM CIOKECA

P a s s a «

HaiUeao Toaaoe pemeaae ypasaeEEfi C x o x ec a ajui cayaaa. OecKoaevaoro ua- lmngpa , KOTAS TpaHHIHUe yCAOBBH B a BXOCKOCTSX 0 rpaHHUHB3JCHHX UH AHBAep Btl- p ax e aa a epes (fyHKiyiH Aootasoaao raaAKHe. PeaeaHZ t o w no x yv ae ic a b topae S e c K o a e v a m 4>yBxnaoB&Bi>BHx pbaob.

C L A S S O F E X A C T S O L U T I O N S O F A X I L S Y M M E T R I C A L STOKES E Q U A T I O N S

S u m m a r y •>

A x i — s y m m e t r i c a l S t o k e s e q u a t i o n s b a v e b e e n solved e x a o t l y Id a d o m a i n o f a n i n f i n i t e c y l i n d e r f o r the c a s e , w h e n b o u n d a r y c o n t i d i o n s p r e s c r i b e d at th e s u r f a c e o f the c y l i n d e r o r e e x p r e s s e d by f u n o t i o n s s m o o t h enou gh . R e s u l t s b a v e b e a n o b t a i n e d in t h e f o r a o f infinite f u n c t i o n a l s e r ies.