W łodzim ierz CH O RO M A Ń SK I
ZAGADNIENIA MODELOWANIA I SYMULACJI UKŁADU
DYNAMICZNEGO POJAZD SZYNOWY - STANOWISKO DO BADAŃ BEZPIECZEŃSTWA
Streszczenie. P rzedm iotem artykułu je st analiza metod m odelow ania i symulacji układu pojazd szynowy - stanowisko do badań bezpieczeństwa. A utor koncentruje się na zagadnieniach liniowych. Prezentowane są algorytm do autom atycznej generacji sił od elem entów podatnych oraz metody badań sym ulacyjnych.
PROBLEM S OF M ODELING A N D SYM ULATIO N OF RAILW AY VEHICLE - S T A N D SYSTEM FOR SAFETY INVESTIGATION
Summary. The paper deals with the problem o f m odelling and sim ulation o f the railw ay vehicle -investigation stand system. The algorithm o f autom atic generation o f forces from flexible elem ents as well as sim ulation techniques are presented.
1. W STĘP
W ram ach realizacji projektu badawczego KBN Nr 9 T12C 040 nt. „M odelow a i sym ulacyjna analiza dynam iki stanow iska badawczego” realizowanego pod kierunkiem Prof.dra hab. Jerzego M adeja budowany jest model matem atyczny układu pojazd szynowy - stanow isko badaw cze oraz program numeryczny do badań sym ulacyjnych. W niniejszym artykule przedstaw iono zakres działań i symulacji realizowanych przez program , w tym algorytm do generacji sił od elem entów podatnych. Rozważania zaw ężone zostaną do zagadnień w stosunkow o „niskim ” zakresie częstotliwości. Konsekw encją tego założenia jest przyjęcie do opisu analizow anych zjaw isk modeli matem atycznych o stałych skupionych.
Z ałożenie to je st w pełni uzasadnione faktem, iż przedmiotem analiz je st pojazd (a nie tor, gdzie w ystępują zjaw iska w wyższym paśmie częstotliwości). Przyjęcie modelu o stałych skupionych nie oznacza, że w symulacjach komputerowych nie m ożna będzie badać np. drgań gięto-skrętnych pudła wagonu. W ymagać do będzie jednak podziału analizow anych brył na tzw. „sztyw ne” elem enty skończone [1,2]. Analizowany układ opisany będzie układem równań różniczkow ych zwyczajnych. Ze względu na wym iarowość układu jed y n ą efektyw ną m etodą je g o analiz są analizy modalne (wartości i w ektory własne, macierze transm itancji
operatorow ej i w idm ow ej itd.). Tego typu charakterystyki i analizy zdefiniow ane są praktycznie tylko dla modeli liniowych (jedyną uniw ersalną m etodą analiz w ielow ym iarow ych modeli nieliniow ych je st praktycznie tylko ich całkow anie w dziedzinie czasu). D latego autorzy, zdając sobie w pełni sprawę z ograniczoności takich modeli, zdecydow ali się głów nie właśnie na nich oprzeć w szelkie analizy i symulacje. Takie podejście stosow ane je st w w ielu dziedzinach techniki dotyczących takich obiektów, ja k pojazdy sam ochodow e, statki pow ietrzne i kosm iczne itd. Znajduje to również odzw ierciedlenie w profesjonalnych kom puterow ych pakietach sym ulacyjnych, gdzie moduły do analiz i sym ulacji liniow ych są szczególnie silnie rozwinięte (ADAM S, DADS. SIM PACK, M A T L A B , 3D -W orking Model).
1.1. Wstępne określenie zakresu analiz i symulacji
N a w stępie trzeba określić, czem u w zasadzie powstały model m atem atyczny, a następnie program kom puterow y ma służyć. N iew ątpliw ie jednym z istotnych celów je st sym ulacja kom puterow a układu dynam icznego pojazd szynowy - stanowisko badawcze. Ze w zględu na analizę różnych pojazdów oraz różnych modeli stanow iska badaw czego (wzbudniki elektrohydrauliczne, sztyw ność i tłum ienie posadow ienia elem entów w ykonaw czych itd.) istotne w ydaje się uw zględnienie metod autom atycznego generow ania równań ruchu, zw łaszcza że dla modeli liniowych problem ten je st dobrze określony i nie powoduje znaczących trudności algorytm icznych i numerycznych. Jakkolw iek stw orzona zostanie rów nież biblioteka gotow ych modeli pojazdów (odnosząca się do typow ych „struktur”
pojazdów szynow ych). Powstały model oraz program sym ulacyjny pozw alają na analizę wartości i w ektorów w łasnych macierzy stanu pojazdu, co w zasadzie całkow icie definiuje w łasności pojazdu (traktow anego jako obiekt liniowy). Zakres dalszych analiz to w yznaczenie m acierzy transm itacji w idm ow ej, która w sposób szczególnie wygodny dla inżyniera definiuje w łasności dynam iczne pojazdu w dziedzinie częstotliwości. Program pozwoli rów nież na analizę charakterystyk czasowych. Pomocne do dalszych badań m ogą być analizy wrażliwości param etrycznej oraz analizy dotyczące możliwej dekom pozycji układu na podukłady o prostszej strukturze (analiza w rażliw ości strukturalnej ze względu na liczbę stopni swobody).
Istotnym elem entem badań sym ulacyjnych będzie sym ulacja metod badaw czych służących do określenia bądź zidentyfikow ania określonych charakterystyk dynam icznych czy wartości param etrów . N a początku określić należy, czy obiekt przy zadanych w ym uszeniach i lokalizacji czujników i przetw orników pom iarowych je st sterow alny i obserwow alny.
Spraw dzenie to dla układów liniowych sprow adza się do sprow adzenia rów nań ruchu do kanonicznej postaci K alm ana i badania rzędów odpow iednich macierzy. Techniki zdejm ow ania charakterystyk dynam icznych w sensie ich rodzaju i metod badaw czych m ogą być bardzo różne. M ożna tu wyróżnić dwa podstaw ow e typy charakterystyk dynam icznych:
czasow e i częstotliw ościow e. Charakterystyki czasowe to odpowiedzi na zdeterm inowane w ym uszenie (niekoniecznie skok jednostkow y, do czego jesteśm y przyzwyczajeni z klasycznych rozw ażań z zakresu automatyki). Charakterystyki częstotliw ościow e to transm itancje w idm ow e przedstaw ione na płaszczyźnie zespolonej czy w postaci dwóch charakterystyk: am plitudow o-częstotliw ościow ej i fazowo-częstotliwościow ej. Sposób ich otrzym ania m oże być różny: poprzez analizę stanów ustalonych dla sygnałów wejściow ych o skokow o zm ienianej częstotliw ości czy poprzez analizę odpow iedzi układu na (ze względu na specyfikę układu) szum dolnopasm ow y (a następnie określenie gęstości w idm ow ych - w łasnych i w zajem nych, funkcji koherencji zwykłych cząstkow ych i w ielokrotnych).
S ym ulacja kom puterow a stanow iska pojazd szynowy - sym ulator może posłużyć do analizy m etod identyfikacji charakterystyk dynam icznych, jak również szeroko rozumianej diagnostyki w ibracyjnej tego układu. W tym drugim przypadku m ożna by rozważyć
m ożliw ość zastosow ania technik sieci neuronowej oraz teorii zbiorów rozm ytych do diagnostyki zaw ieszeń pojazdów szynowych.
M a c ie r z e transm itancji A n a lizy c z a s o w e
W ra żliw o ś ć p a ra m etry czn a
VW ażliwość strukturalna (n a liczbę stopni sw o bo dy
Identyfikacja (d iag nostyka) - sieci neu ro n o w e, zbiory rozmyte
R ys. I . S c h e m a t b lo k o w y p ro g ram u Fig. 1. B lo c k -s c h e m e o f p ro g ra m
N a rysunku 1 przedstaw iono schem atycznie zakres analiz program u sym ulacyjnego.
2. A L G O R Y T M G EN ER O W A N IA SIŁ OD ELEM ENTÓW POD ATNY CH
P rzedm iotem rozw ażań w niniejszym rozdziale będzie zagadnienie automatycznej generacji rów nań ruchu układu sym ulator-pojazd szynowy. Zgodnie z rozważaniam i w poprzednim rozdziale przyjęto, iż przedm iotem badań będzie model liniowy opisujący małe drgania w okół położenia równowagi. N a początku ograniczmy nasze rozw ażania do m odelu bez w ięzów . W ogólnym przypadku model ten m ożna określić dobrze znanym równaniem m acierzow ym :
A tj+ B t[ + C q = F ( t ) , (2.1)
gdzie:
cj - w ektor w spółrzędnych uogólnionych, F - w ektor sił zew nętrznych,
A - m acierz bezwładności.
M acierze B i C są w istocie sum ą macierzy:
B = B ' + B 2 + B } C = C ' + C~
(2.2)
gdzie:
C' 1 - m acierz sztyw ności,
C 2 - m acierz ujm ująca w pływ sił stycznych między kołem a szyną, B ' - m acierz tłum ień,
B 2 - m acierz żyroskopow a,
B 2 - m acierz ujm ująca w pływ sił stycznych między kołem a szyną.
B iorąc pod uw agę charakter analizow anego obiektu (nie je st analizow any ruch pojazdu po torze) przyjm ijm y, że m acierze C 2 ,B 2 ,B ' są równe zeru. Założenie to nie m a w pływ u na ogólność proponow anej m etody, a pom inięte na aktualnym etapie m acierze m o g ą w razie potrzeby zostać uw zględnione w dalszej analizie. Zauw ażm y, że w przypadku pom inięcia w ięzów w szystkie m acierze posiadają w ym iar 6 n , gdzie n je st liczbą w yodrębnionych brył sztyw nych. Bryły te m ogą bezpośrednio odnosić się do takich elem entów pojazdu, jak:
zestaw y kołow e, ram y w ózków , pudło wagonu. Biorąc pod uwagę rów nanie (2.1) m ożna zauw ażyć, że m acierz bezw ładności A jest m acierzą diagonalną, która na diagonali zawiera w artości m as i m om entów bezwładności wyodrębnionych brył. Jej w yznaczenie (przy założeniu iż ruch analizujem y w układzie współrzędnych o osiach zgodnych z głównym i centralnym i osiam i bezw ładności) je st zadaniem bardzo łatwym. Analizow any problem w niniejszym rozdziale sprow adza się zatem do w yznaczenia macierzy B i C. Z adanie m ożna sform ułow ać następująco:
N iech dany je s t układ składający się z n nieodksztalcalnych brył połączonych elem entam i pod a tn ym i o liniow ych charakterystykach i dowolnym usytuowaniu przestrzennym . Dla danego w ektora stanu X (przemieszczenia, prędkości) określić siły działające na bryły od elem entów podatnych, a następnie wyznaczyć macierze B i C. Założyć, iż ruch brył opisany je st w układzie zw iązanym z głów nym i osiam i bezwładności brył.
Rozw ażania zostaną przeprow adzone dla pojedynczego elem entu podatnego i dow olnego elem entu m acierzy C (co w niczym nie ogranicza ogólności rozw ażań - w yznaczenie elem entów m acierzy B je st analogiczne). Załóżm y, że elem ent podatny o indeksie "1" łączy dw ie bryły (traktow ane jako nieodkształcalne) odpow iednio o indeksach "i" oraz "j" (jak na rysunku 2). Punkt zam ocow ania elem entu 1-tego w bryle "i" oznaczm y sym bolem A. zaś w bryle "j" sym bolem B. Oś łączącą punkty A oraz B nazyw ać będziem y osią elem entu podatnego k. A nalizow ane bryły stanowić m ogą elem ent w iększego układu m echanicznego opisanego w ogólności (bez uw zględnienia w ięzów m echanicznych) w ektorem stanu:
gdzie:
ćj\ b.n - w ektor przem ieszczeń (translacyjnych i rotacyjnych).
ą, h,(i - w ektor prędkości,
n - liczba brył w analizow anym układzie,
przy czym zw iązek m iędzy poszczególnym i składowymi tych w ektorów a składow ym i w ektora stanu x je s t następujący:
q, [;•] = x [ ( * (/ — !) + /•] r = 1.23,4,5,6 (2.4)
N ależy pam iętać, że w równaniu (2.4) trzy pierwsze składniki określają translacje, a trzy następne rotacje. Załóżm y, że analizujemy elem ent sprężysty (w ogólnym przypadku może to być elem ent podatny) ja k na rysunku 2. Dla określenia sił generowanych przez ten element (czy m acierzy sztyw ności C ) niezbędne je st określenie odkształceń tego elem entu (termin
"odkształcenie" rozum iany je st tu jako różnica przem ieszczeń (translacyjnych i rotacyjnych) punktów zam ocow ania elem entu w bryle "i" oraz "j"). Zakładam y, ż e element scharakteryzow any je st dw om a param etram i określonymi dla tzw. osi głównej elem entu, a m ianow icie sztyw nością translacyjną i rotacyjną, oznaczoną odpowiednio K| , KRi . W tym celu w pierw szej fazie niezbędne je st obliczenie przem ieszczeń i rotacji punktów zam ocow ania (chodzi o przem ieszczenia punktów A i B. patrz rysunek 2).
Przeprow adźm y analizę dla punktu A.
R ys. 2 . U k ła d d w ó c h b ry ł s z ty w n y c h s p rz ę g n ię ty c h e le m en te m p o d a tn y m Fig.2. S y s te m o f tw o rig id b o d ie s in te rc o n n e cte d w ith flex ib le e le m en t
N iech w spółrzędne tego punktu w układzie zw iązanym z i-tą bryłą określone są trzyelem entow ym wektorem: Z A M tl. Wtedy wektor q u przem ieszczeń translacyjnych i rotacyjnych punktu zam ocowania w układzie związanym z i-tą bryłą określony je st zależnością:
</,/ = MT,i (2 -S)
gdzie:
MT„ =
1 0 0 0 1 o 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 - Z A M „ [ 3]
ZAM„[ 2]
1 0 o
ZAM „\ 3]
0
0 ] o
- Z4A/rf[2]
Z4A /,[1]
0 0 0
q l - sześć w spółrzędnych opisujących ruch i-tej bryły (trzy pierw sze rotacyjne, trzy pozostałe translacyjne).
W ektor przem ieszczeń r/,, należy obecnie zrzutować na oś głów ną analizow anego elem entu podatnego (w naszym konkretnym przypadku je st to elem ent sprężysty; zastępując jed n ak w ektor w spółrzędnych q, w ektorem prędkości ¿¡t możemy analizow ać elementy tłum iące o charakterystyce liniowej i tym sam ym prowadzić rozw ażania dotyczące w yznaczenia m acierzy D). Ze względu na to. że rozw ażania nasze dotyczą jednej osi oraz jedno cześn ie rotacji i translacji, m acierz cosinusów kierunkowych zastąpm y inną m acierzą K O S , określającą orientacje osi głównej I-tego elem entu podatnego w zględem głów nych centralnych osi bezw ładności i-tej bryły:
K O S , Ą
cos,,, cos,,, COS,,-, 0
0 0 0 cos,,
0 0
cos„, cos,,. (2.6)
gdzie:
cos,,, , określa cosinus kąta między kolejnym i trzem a osiam i układu zw iązanego z głów nym i centralnym i osiami bezwładności i-tej bryły a głów ną osią elem entu sprężystego.
N iech w ektor r/,lg określa przem ieszczenie (translację i rotację elem entu sprężystego w zdłuż i w okół osi głów nej). Wtedy:
CU = K O S, M l] q, (2.7)
Zauw ażm y, że w ektor t/,lg je st w ektorem dw uelem entow ym . A nalizow any 1-ty elem ent m oże łączyć dw ie bryły i-tą i j- tą lub może być połączony z nieruchom a ostoją. W zględne odkształcenie I-tego elem entu sprężystego określone jest w pierwszym przypadku zależnością:
u*/, = K O S, MT„ q, - K O S , M l], c,, (2.8)
W drugim przypadku zależność (2.8) ulega uproszczeniu (w ektor t/, je st tożsam ościow o rów ny zeru, a zatem M'g = q,,f ).
O kreślm y teraz w ektor sił generowany przez 1-ty element. M ożna to uczynić za pom ocą zależności:
FM , = C C ( K O S , MT„ ą, - K O S „ MT„ c,, ) = CC, K O S, MT„ q, - ( X K O S „ MT„ q , (2.9)
gdzie:
CC, =
K, 0 0 KR,
Zauw ażm y, że w ektor FM, je st wektorem dw uelem entow ym (2x1), którego pierwszy elem ent określa generow aną siłę, a drugi element generowany m oment, tzn.:
FM, = F,
M (2.10)
O becnie zrzutujm y w ektor FM, na główne centralne osie bezwładności i-tej bryły:
FM,, = K O S ! CC, K O S, MT„ q, - K O S 1,,CC, K O S , M T, ą , (2.11)
gdzie:
index - T - oznacza transpozycję.
O bliczm y aktualnie oddziaływ ania (siły i momenty) I-tego elem entu na i-tą bryłę (pam iętając, że w ektor siły, który nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, zw iązany ze środkiem ciężkości, generuje moment):
FM,,k = M T jK O S l CC, K O S, MT, q, - M T jK O S 'C C , K O S , M T , q , (2.12)
gdzie:
K, Fi2
M i
M ,2
M ., A nalogicznie dla bryły j-tej możemy zapisać:
FM . MT,1, K O S 1, CC, K O S , M T , q , - MT', K O S ', CC, K O S , M T, q, (2.13)
Z auw ażm y, że m acierz CC, je st m acierzą symetryczną. Z elem entarnych własności m acierzy [3] m ożna w ykazać, że macierz:
MT', K O S 1, CC, K O S , M T , (2.14)
M ożna rów nież w ykazać (dowód zawarty zostanie w ostatecznym opracowaniu), że:
MT', K O S',C C , K O S , MT„ = M T j KOS,',CC, K O S , M T, (2.15)
D odatkow o wyżej w ym ienione macierze są symetryczne.
W prow adźm y następujące oznaczenia:
C„ = M T j K O S iC C , KO S„ MT, C „ = M T } K O S^C C , K O S , M T,
C„ = M T lK O S lC C , KOS,, MT„ = MT]] KOS], CC, K O S, M T,
(2.16)
Z auw ażm y, że m acierze te stanow ią składnik całkowitej m acierzy sztyw ności C (z zależności (2 . 1)).
Z apiszm y m acierz C jako sumę m acierzy C , , które są generowane przez poszczególne elem enty sprężyste. A zatem m ożem y napisać, że:
c = £ c , /»i gdzie:
m - liczba analizow anych elem entów sprężystych.
(2.17)
Przy czym m acierz C, (w ygenerow ana przez 1-ty elem ent łączący i-tą i j-tą bryłę) określona je st zależnością:
(2.18)
M acierz C je s t sym etryczną m acierzą kw adratow ą o wym iarze [6 /7x 6 « ].
M acierz D w yznaczam y w sposób analogiczny. We wzorach (2.14) i (2.15) m acierz CC, zastępujem y m acierzą BB, zdefiniowaną:
BB, =
B, 0
0 BRi
(2.19)
przy czym :
B, - w spółczynnik tłum ienia wiskotycznego w zdłuż osi głównej elem entu tłum iącego, BR, - w spółczynnik tłum ienia wiskotycznego wokół osi głównej elem entu tłum iącego.
Zależności (2.16), (2.17) i (2.18) przyjm ują teraz odpow iednio postać:
B,„ = MT,’, K O S I BB, K O S , MT„
B,„ = MT,: KO S', BB, KO S,, MT„
B,„ = MT,, K O S 1,, BB, K O S, MT„ = M T] K O S] BB, K O S , M T ,
(2 .20 )
5 = I > ,
B ,= B..
(2.21)
(2.22)
Po w yznaczeniu m acierzy A ,B i C układ (2.1) m ożna sprowadzić do postaci kanonicznej:
t = Gx (2.23)
gdzie:
G - m acierz stanu
G =
I 0
A ~ 'B - A ~'C
M ając określoną m acierz stanu G możemy przeprowadzić bogaty zakres analiz omówiony w punkcie 1.2 .
3. PO D SU M O W A N IE
Praca zaw iera opis program u technik m odelow ania i symulacji układu pojazd szynowy - stanow isko badawcze do oceny bezpieczeństwa i własności dynam icznych pojazdu.
R ozw ażania zaw ężone są do modeli liniowych o stałych skupionych. Obok om ów ienia zakresu i metod num erycznych analiz sym ulacyjnych podany je st efektywny algorytm autom atycznej generacji liniowego modelu matem atycznego. Proces budow y m odelu oraz jego badań sym ulacyjnych je st całkowicie zautom atyzowany. Praca realizow ana je st w ram ach
projektu badaw czego 9 T 12C 040 13.
LITER ATU RA
1. K ruszew ski J„ G aw roński W., W ittbrodt E„ N ajbar F„ Grabowski S.: M etoda sztywnych elem entów skończonych. Arkady, W arszawa 1975.
2. K ruszewski J„ W ittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w ujęciu kom puterowym . W NT. W arszaw a 1992.
3. B ishop R.E.D ., Gladwell G.M .L., M ichaelson S.: M acierzowa analiza drgań. WNT, W arszaw a 1972.
Recenzent: Prof.zw.dr hab.inż. W łodzim ierz Gąsowski
A b s tr a c t
This w ork deals w ith the problem s o f m odelling and sim ulation techniques o f the railway vehicle - stand lor dynam ics and safety investigation system. C onsiderations are lim ited to the discrete linear m odel. The original algorithm for linear model generation is presented. So the process o f model building and sim ulation is fully automatic.
