Wybór metody syntezy aktywnych filtrów RC

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1976

Serial ELEKTRYKA z. 54 Nr kol. 490

Marian PASKO

WYBÓR METODY SYNTEZY AKTYWNYCH FILTRÓW RC

Streszczenie. W pracy zostały porównane najczęściej stosowane meto­

dy syntezy aktywnych filtrów RC. Porównanie metod przeprowadza się na podstawie analizy czułości dobzoci Q funkcji pzzejścia podstawo­

wego ogniwa filtzu pasmowego.

Wpzowadzenie

Ostatnie lata zozwoju elektzotechniki teozetycznej to między innymi o- kzes intensywnych badań nad pzoblemem syntezy obwodów elektrycznych zło­

żonych z elementów RC i elementów aktywnych. Dzięki wprowadzeniu elemen­

tów aktywnych stała się możliwa synteza funkcji, których rie można było realizować wyłącznie przy użyciu elementów pasywnych. Ponadto jest możli­

wa eliminacja z układów elementów indukcyjnych, elementów o dużych gaba­

rytach wysokiej cenie jednostkowej i całkowicie nieprzydatnych dla nis­

kich i bardzo niskich częstotliwości ze względu na małą dobroć. Synteza układów aktywnych polega w najogólniejszym ujęciu na oddzielnej realiza­

cji części pasywnej i części aktywnej obwodu. Przegląd różnych metod syn­

tezy dwójników i czwórników RC zawierających elementy aktywne przedsta­

wiony jest w pracy [7]. Wśród licznych metod syntezy aktywnych filtrów RC na szczególną uwagę zasługują metody syntezy z wykorzystaniem żyratora, konwertora impedancji ujemnej oraz wzmacniacza operacyjnego. Jednym z kry­

teriów wyboru odpowiedniej metody może być ocena czułości. Zadaniem przed­

stawionej pracy jest ocena przydatności poszczególnych metod do realiza­

cji podstawowego ogniwa filtru pasmowego drugiego stopnia, gdyż realiza­

cja wyższego stopnia przy pomocy jednego elementu aktywnego prowadzi do nadmiernej wrażliwości dobroci przy zmianach współczynnika k charaktery­

zującego element aktywny. Ponadto znacznie wzrasta pracochłonność obli­

czeń oraz konieczność użycia bardziej dokładnych elementów. Realizaoję funkcji przejśoia filtrów wyższych stopni należy więc przeprowadzić jako łańcuchowe połączenie podstawowych ogniw drugiego stopnia, rozdzielonych obwodami separującymi.

Funkcję przejścia o biegunach zespolonych syntetyzowanego filtru aktywne­

go można przedstawić ogólnie w postaci:

(1) gdzie

s = 6 + j u .

Aby zadaną funkcję przejścia móc syntetyzować w oparciu o elementy aktyw­

ne i pasywne RC należy mianownik wyrażenia (1) rozłożyć na sumę lub róż­

nicę dwóch wielomianów z zerami rzeczywistymi ujemnymi w zależności od przyjętego elementu aktywnego. W przypadku modeli syntezy z użyciem kon­

werterów impedancji ujemnej stosuje się rozkład różnicowy, zwany też roz­

kładem RC} - RC zaproponowany przez Horowitza [

2

]. Natomiast rozkład su­

maryczny zaproponowany przez Calahana [

1

] nazywany jest rozkładem RC} R L i stosowany w syntezie przy użyciu żyratorów. Należy zwrócić uwagę, że rozkład na różnicę RC} - RC zawsze jest możliwy natomiast rozkład RC} RL tylko wówczas jeżeli dla wielomianu:

Rozkład RC} R L nie jest ponadto jednoznaczny.

W syntezie aktywnych filtrów RC z wykorzystaniem wzmacniacza operacyj-

rozkłada się na sumę dwóch wielomianów tak aby jeden zawierał zera rze­

czywiste, a drugi tylko urojone [

3

], [6]. Dla każdej z przedstawionych me­

tod zostanie przeprowadzona analiza czułości dobroci funkcji przejścia na zmianę współczynników rozłożenia wielomianu D(s) jako kryterium porównaw­

cze przydatności metody. Do analizy użyto funkcji przejścia ogniwa filtru pasmowego o postaci:

n

D(s) = (s-s^Cs-s*) i=1

spełniona jest zależność:

n

i=1

(

2

)

nego wg tzw. uogólnionej struktury Kuha

(3)

Dobroć funkcji przejścia określona jest zależnością:

( 4 )

gdzie:

W Q - częstotliwość środkowa filtru,

^ 0 - współczynnik tłumienia.

Wybór metody syntezy aktywnych filtrów RC 109

Czułość określono według klasycznej definicji podanej przez Bode [4].

Q - dobroć funkcji przejścia filtru pasmowego, - współczynnik rozłożenia wielomianu D(s), którego wpływ badamy

- czułość dobroci Q względem współczynnika X . . x i

Miarą porównawczą różnych metod pod względem czułości może być czułość wy­

padkowa zdefiniowana następująco!

Czułość wypadkowa jest najbardziej "pesymistyczną" ozułością i można ją określić bez odnoszenia się do konkretnego schematu.

A. Metoda z wykorzystaniem konwertera impedanc.ii u.iemne.i

Ogólnie wielomian D(s) można przedstawić jako różnicę dwóch wielomia­

nów

(

5

)

gdzie!

( 6 )

Analiza metod syntezy

D(s) = A(s) - k B(s) .

(

7

)

ju

P ł a s z c z y z n a s

2 2

2

2 2

-O---

d

o Z E R A Afs )

• Z E R A Bis)

Bys. 1

Dla rozkładu optymalnego, to znaczy dla rozkładu w którym minimalizuje się czułość na zmiany współczynnika k rozkładu zer wielomianów A(s) i B(s) przedstawiony jest na rys. 1 W -

Zara oznaczone na rys. 1 (oraz na dalszych rysunkach) symbolem 2 są zera­

mi podwójnymi.

Dla rozpatrywanego przypadku!

przy czym dla optymalnego rozkładu położenie zer wielomianów A(s) i B'(s) przedstawione jest na rys. 2.

Dla rozpatrywanego przypadku warunek (2) jest zawsze spełniony, więc DCs) = s 2 + 2 £ 0 S + CJ 02 = (s+oę)2 - ks = (s+ŁJ0 )2 - 2(ioQ- £ 0 )s (8)

dobroć:

(

9

)

natomiast:

»

(

10

⁾

SQ = 2(2Q-1) .

(

11

)

3. Metoda z wykorzystaniem żyratora

Jeżeli spełniony jest warunek (2) wówczas

D(s) = A(s) + kB(s)

(

¹²

)

D(s) = s2 + 2 l 0 s + u 02 = (s+a)2 + kb 2 , (13)

jeżeli!

k = 1

Wybór metody syntezy aktywnych filtrów RC 111

Wówczas rozkład (13) jest optymalny i przyjmuje postać:

D(s) = (s+ £ 0 )2 + w x 2 ,

dobroć

Q = 2a

(14)

(15)

natomiast:

s a = * Q = - 1 +

4Q

4 Qł

2 , 5 ( 1 --- ^

5

) • 4Q

(16)

(17)

C. Metoda z wykorzystaniem wzmacniacza operacyjnego

W metodzie tej wielomian D(s) rozkłada się na sumę dwóch wielomianów A(s) i B(s), z których pierwszy zawiera tylko zera rzeczywiste, a drugi tylko urojone.

112 Malian Pasko

Niech więc:

A(s) = AQ (s+ oę)(s+ fi)

B(s) = s2 + c jq2

(18)

vioviczas

D(s) = s 2 + 2 ^ Qs + cjq2 = AQ Cs+ oę)(s+ fi) + k(s2+ w Q2 ) , (19)

porównując stronami otrzymuje się:

A0 + k = 1

A0 («; + J3) = 2 l 0 (20)

A0o.;j5 + k « 02 = w 02 .

Wyznaczając fi otrzymamy:

A Ż n2+K 2 “>n2 & - V

„ ¿>0 + 1 0 0 O O v '

^ 1 , 2 = 1 - - ' “ 2 * (21>

Ao

Aty fi tyło rzeczywiste musi zachodzić

$ o 2 + .

stąd:

ponadto:

Ostatecznie:

fi > O więc k < 1 .

1 - Z T < k. < 1 • (22) O

Wybór metod? syntezy aktywnych filtrów BC 113

Minimalną czułość na zmiany współczynnika k otrzymują się dla

k = 1 - W i o

Wtady

A ° = * <X = P = w o (23)

Otrzymany w ten sposób rozkład będzie rozkładem optymalnym.

Wielomian D(s) przyjmie postać:

D (B ) = 4 * ( s + Wq) 2 + (1 - - ^ K s 2* £U02 ) , ⁽²⁴⁾

o rozkładzie zer wielomianów A(s) i B(s) przedstawionym na rys. 3*

Dobroć Q dla rozkładu optymalnego ma postać:

V k

2A„ ⁽²⁵⁾

natomiast:

k = i k * § = 1 “ 2 Ó ’ (26) S-

SQ = 2(1 - 3*) . (27)

2 x± 2Q

W metodzie tej czułość wypadkowa jest stosumkowo mała, o wiele wię- S x i

kszy wpływ na zmianę charakterystyki filtru mają zmiany zer czwornika sprzężenia zwrotnego. Wpływ tych zmian można ocenić poprzez modułową czu­

łość wielomianu D(j to) na zmiany zer czwórnika sprzężenia zwrotnego (zmia­

ny zer wielomianu B(s) w wyrażeniu (24)).

Czułość modułowa ma postać:

Id( j c o ) | _ d l p ( . m )l ^l

|Dtjw)|

£ i V ^ v i o i ^ o ^¿1

( « 02- u2 )2+4 ^ 02o ^

(28)

gdzie f jest pierwiastkiem wielomianu B(s).

Przy założeniu, że u>0 t, Q , co jest słuszne w wąskopasmowych f iltrach, wyrażenie (28) przyjmuje wartość maksymalną wynoszącą Q dla o> = ^ 0~

Zakończenie

Na podstawie otrzymanych wyników widać, że z trzech przedstawionych me­

tod najmniejszą czułością dobroci na zmiany współczynników charakteryzuje się metoda z zastosowaniem wzmacniacza operacyjnego. Jednak dla dużych do­

broci Q funkcji przejścia duży wpływ na stabilność częstotliwościowej cha­

rakterystyki ma zmiana zer czwórnika sprzężenia zwrotnego. Oddziaływanie tych zmian scharakteryzowane poprzez g j ^ « i <*,)l jest stosunkowo duże, przy czym maksymalna wartość wynosząca Q występuje w przybliżeniu dla n>= ł jq . W tym aspekcie najbardziej korzystną jest metoda z wykorzystaniem żyrato- ra.

Pomimo, że w przedstawionych rozważaniach metoda z wykorzystaniem konwer­

tera impedancji ujemnej wypadła niekorzystnie to jednak nie można jej cał­

kowicie eliminować. W rozważaniach pominięto inne istotne czynniki mająoe niewątpliwie również wpływ na wybór metody syntezy, a mianowicie:

- prostota konstrukcji użytego elementu aktywnego, - stabilność pracy użytego elementu aktywnego,

- ilość elementów pasywnych potrzebnych do realizacji żądanej funkcji, - stałość współczynnika k elementu aktywnego przy zmianach temperatury, - prostotę regulacji współczynnika k,

- prostotę regulacji charakterystyki.

Wybór m e t o d y syntezy a k ty wnych f i lt ró w EC 115

Uzupełnienie rozważań o wymienione czynniki pozwoli na bardzo precyzyjne określenie przydatności poszczególnych metod syntezy.

Problemy te są jednak obszerne i wykraczają poza ramy przedstawionego ar­

tykułu.

LITERATURA

[1] Calahan i).A. ''Sensitivity Minimization in Active RC Synthesis". IRE Trans. Circuit Theory, March 1962, CT-9.

[

2

] Horowitz I.M. "Optimization of Negative-Impedance Uetoas of Active RC Synthesis". IRE Trans. Circuit Theory, September 1959, CT-6.

[

3

] Iwanickij A.M., Worobienko P. "Sprawnienie metodow sinteza aktiwnych RC-filtrow". P.adioelektronika nr 7, 1970.

M Kałachan A. - Scwriemiennyj sintiez ciepiej. Energia 1966.

[5] Mitra. S.K. "Analiza i synteza układów aktywnych liniowych". WNT, War­

szawa 1974.

[6] Pasko M. "Analiza parametrycznej czułości wąskopasmowego filtru RC z zastosowaniem wzmacniacza operacyjnego". Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej Elektryka z. 51t j975.

[

7

] Su K.L. "Synteza układów aktywnych". WNT, Warszawa 1969.

BhiEOP M E T O M CHHTB3A AKTHBHHX RC-SHJIbTPOB

P e

3

K> m e

B ciaibe conociaBJieiibi Meroflu CHHie3a aKTHBHux RC-$HJibTpoB. CpaBHeHHe ue- i o j o b n p O H 3 B O f l H T c a H a o c H C B a H H H a H a w H 3 a v y B C T B H X e j i b H o c t h . w o O p o t h o c t h n e p e - iaroHHOfi ijiyHKUHK 3Bena Tuna K nojiocoBono <J>njibTpa.

CHOICE OF THE METHOD OF ACTIVE P.C FILTERS SYNHESIS

S u m m a r y:

In the article, some most often used methods of the synthesis of ac­

tive RC filters have been compared.

Analysis of the sensitivity Q of the transfer function of the basic sec­

tion of a bandpass filter has been the basis of comparission.