ROZWIĄZYWANIE CIENKICH PàYT ĩEBROWANYCH METODĄ ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH

(1)

ROZWIĄZYWANIE CIENKICH PàYT ĩEBROWANYCH METODĄ ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH

Mykhaylo Delyavskyy, Aleksandra Niespodziana, Dariusz Buchaniec

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy

Streszczenie. W pracy podjĊto próbĊ wymodelowania elementu páytowo-Īebrowego.

Wspóádziaáanie páyty i Īebra zapewnia siĊ, speániając równania równowagi statycznej siá normalnych i stycznych wystĊpujących na dolnej powierzchni páyty i górnej powierzchni Īebra. NastĊpnie uogólnia siĊ opis elementu páytowego, uwzglĊdniając nieznane przemieszczenia poziome. Otrzymane równanie ugiĊcia elementu páytowego zawiera nieznane siáy oddziaáywania dolnej powierzchni páyty. Rozwiązaniem równania jest suma caáki ogólnej równania jednorodnego i caáki szczególnej równania niejednorodnego. CaákĊ ogólną przy- jĊto w postaci symetrycznej. Rozwiązanie szczególne wyznacza siĊ, dokonując rozkáadów w szeregi funkcyjne obciąĪeĔ páyty i siá wspóádziaáania. W kolejnym etapie modelowania powtarza siĊ ten proces dla Īebra. Poáączenie tych dwu opisów – páyty i Īebra, de¿ niuje model elementu páytowo-Īebrowego.

Sáowa kluczowe: páyty Īebrowane, belka Eulera, metoda elementów konstrukcyjnych, páy- ty niejednorodne

WSTĉP

AktualnoĞü wybranego tematu

W wielu projektach i realizacjach inĪynierskich stosuje siĊ páaskie dĨwigary po- wierzchniowe, które ulegają wygiĊciu. W celu zwiĊkszenia sztywnoĞci na zginanie páyty cienkie wzmacnia siĊ prĊtami (nazywając je páytami Īelbetowymi) lub áączy, najczĊ- Ğciej jednostronnie, z innymi elementami. Takie ukáady nazywa siĊ páytowo-Īebrowy- mi, gdy ich zasadniczymi elementami są páyta i Īebro (czyli tzw. belki drugorzĊdne), lub páytowo-kratowymi bądĨ dĨwigarami zespolonymi (páyta Īelbetowa i dĨwigar sta- lowy). Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono kilka schematów páyt Īebrowanych stosowa- nych w budownictwie.¹

Adres do korespondencji – Corresponding author: Mykhaylo Delyavskyy, Aleksandra Niespodziana, Dariusz Buchaniec, Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy, Katedra Mechaniki Konstrukcji, al. Prof. S. Kaliskiego 7, 85-789 Bydgoszcz, e-mail: delyavmv@mail.atr.bydgoszcz.pl

(2)

4 M. Delyavskyy, A. Niespodziana, D. Buchaniec

Acta Sci. Pol.

Rys. 1. Páyta Īebrowana jednokierunkowo [Brzoska 1965]

Fig. 1. Unidirectional ribbed plate

Rys. 2. Przykáadowe ksztaáty páyt Īebrowanych wielokierunkowo zbrojonych [Starosolski 2005]

Fig. 2. Example shapes of multidirectional reinforced ribbed plates

Zagadnienie wspóápracy páyty z belką jest istotne, poniewaĪ przy obciąĪeniu konstrukcji jednoczeĞnie wystĊpują dwa związane stany – giĊtny i tarczowy, wywoáane nie- symetrią struktury konstrukcji. Rozwiązanie tego problemu w sposób analityczny jest uciąĪliwe, poniewaĪ wiąĪe siĊ z trudnoĞciami matematycznymi.

Celem pracy jest przedstawienie nowej, analityczno-numerycznej metody rozwiązy- wania cienkich páyt Īebrowanych obciąĪonych dowolnie przy róĪnych warunkach brzegowych.

Istota metody elementów konstrukcyjnych

Obecnie powszechnie stosuje siĊ metodĊ elementów skoĔczonych do dyskretyzacji przestrzennej konstrukcji inĪynierskich. Metoda ta zyskaáa wielu sympatyków i jest najle- piej oprogramowana. MoĪna jednak dostrzec pewne jej wady, jak na przykáad dokáadnoĞü

a b

a

c

b

d

e f

(3)

obliczeĔ. W pracy spróbowano zbudowaü nową analityczno-numeryczną metodĊ rozwią- zywania zagadnieĔ inĪynierskich, która w istocie byáaby zbliĪona do metody elementów skoĔczonych, lecz odróĪniaáa siĊ od niej wiĊkszą dokáadnoĞcią obliczeĔ. MetodĊ tĊ nazwano metodą elementów konstrukcyjnych (MEK), poniewaĪ z elementów konstrukcyjnych buduje siĊ model ukáadu, speániający warunki brzegowe na odpowiednich kra- wĊdziach elementów. Metoda rozwiązania ukáadów páytowo-prĊtowych, zwana metodą elementów konstrukcyjnych, skáada siĊ z nastĊpujących etapów:

podziaáu konstrukcji na elementy konstrukcyjne,

budowy modelu matematycznego na poziomie elementu,

modelowania konstrukcji za pomocą elementów konstrukcyjnych poprzez zapis wszystkich warunków brzegowych na krawĊdziach elementu,

budowy i uwarunkowania globalnej macierzy ukáadu, wyboru algorytmu rozwiązania ukáadu równaĔ granicznych.

W celu budowy matematycznego modelu páytowego elementu konstrukcyjnego nale- Īaáo opracowaü metodĊ rozwiązania cienkich páyt izotropowych obciąĪonych dowolnie przy róĪnych warunkach brzegowych. Metoda bazuje na rozwiązaniach pasma páyto- wego w ramach teorii sprĊĪystoĞci ciaáa ortotropowego [Delyavskyy 1995, Delyavskyy i in. 1999] i polega na: 1) wyraĪeniu ugiĊcia páyty w postaci sumy iloczynów nieznanych funkcji od jednej zmiennej mnoĪonej przez funkcje trygonometryczne oraz od drugiej zmiennej mnoĪonej przez harmoniki, 2) okreĞleniu funkcji ksztaátu i funkcji obciąĪe- nia ugiĊcia, przemieszczeĔ poziomych, momentów i siá tnących w páycie, 3) budowie macierzy ksztaátu wszystkich statycznych i kinematycznych charakterystyk páyty oraz 4) budowie i ortogonalizacji globalnej macierzy ukáadu.

MODEL MATEMATYCZNY IZOTROPOWEJ PàYTY ĩEBROWANEJ Budowa elementu konstrukcyjnego

NaleĪy rozwaĪyü ukáad záoĪony z cienkiej páyty izotropowej wzmocnionej od spodu Īebrami (rys. 3), nastĊpnie podzieliü go na elementy zawierające czĊĞü páyty i jedno Īebro, nazwane elementami konstrukcyjnymi páytowo-Īebrowymi. MoĪna tu wyróĪniü –

– – – –

Rys. 3. Schemat páyty Īebrowanej Fig. 3. Diagram of ribbed plate

2b

2a2

2b 2a2

2b h2

h1

2a¹

q(x1,x2)

(4)

Acta Sci. Pol.

nastĊpujące rodzaje elementów konstrukcyjnych (rys. 4): 1 – element lewostronnie Īebrowany, 2 – Ğrodkowo Īebrowany, 3 – prawostronnie Īebrowany.

PrzystĊpując do opisu analitycznego modelu, dzieli siĊ go myĞlowo na páytĊ i Īebro.

W miejscu styku powierzchni páyty i Īebra wyodrĊbnia siĊ siáy normalne i styczne. Po- wyĪsze wielkoĞci statyczne reprezentują siáy wspóádziaáania páyty z Īebrem (rys. 5).

1 3

2

Rys. 4. Rodzaje elementów konstrukcyjnych Fig. 4. Different kinds of construction elements

Rys. 5. Schemat obciąĪenia siáami wspóádziaáania Fig. 5. Diagram of load of interaction forces

Siáy przyáoĪone do powierzchni dolnej páyty oznacza siĊ przez ^Sⁱ^{( )}³^r

(

^{x x}¹^, ²

)

^, ⁱ^{= ÷}^{1 3,}

natomiast siáy przyáoĪone do powierzchni górnej Īebra – przez ^τⁱ^{( )}³^r

( )

^z¹ ^, ⁱ^{= ÷}^{1 3.}^{Za Bu-}

chaniec [2006] zakáada siĊ, Īe siáy te zmieniają siĊ tylko wzdáuĪ Īeber, a w kierunku poprzecznym są staáe. Przyjmuje siĊ równieĪ, Īe na páycie wystĊpują tylko siáy wspóá- dziaáania w miejscu styku z Īebrem, a w pozostaáej czĊĞci są równe zeru.

(5)

Równanie cienkiej páyty izotropowej z uwzglĊdnieniem siá stycznych

Pole przemieszczeĔ w páycie zginanej niesymetrycznie opisują zaleĪnoĞci [Dely- avskyy i Buchaniec 2005]:

u₁ (x₁, x₂, x₃) = –x₃w(x₁, x₂)_,1–U₁(x₁, x₂)

u₂ = –x₃w(x₁, x₂)_,1–U₂(x₁, x₂) (1)

( )

3 1/2, /21

x ∈ −h h

gdzie: w (x₁, x₂) – ugiĊcie páyty,

U₁(x₁, x₂), U₂(x₁, x₂) – nieznane funkcje przesuniĊcia poziomego, h₁ – gruboĞü páyty.

Równanie páyty zginanej przyjmuje postaü równania róĪniczkowego niejednorodnego:

( )

2 2 33 1 ( )

2 13,1 r

q S h r

w S

D D

∇ ∇ = − + (2)

gdzie:

3

12(1 2) D Eh

= v

− – sztywnoĞü páyty na zginanie,

q – obciąĪenie zewnĊtrzne przyáoĪone do górnej powierzchni páyty, E – moduá Younge’a,

ȣ – wspóáczynnik Poissona.

Rozwiązaniem równania (2) jest caáka ogólna równania jednorodnego (znana w lite- raturze) oraz caáka szczególna równania niejednorodnego. Caáki szczególnej równania (2) poszukuje siĊ w postaci:

( )

4 ( ) [1] ( ) ( ) [1] ( )

( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2

1 1 1

* _{k v}^r _{k v} _{k v}^r ( ) _k^r cos _k _k^r ( )

k v k

w ^∞ A ch λ x x ^∞ B δ x x

= = =

ª º

=

¦¦

¬ Φ ¼+

¦

Φ +

[1] [2]

1 2

1 1

cos cos

mn m n

m n

Q δ x δ x

∞ ∞

= =

ª º

+

¦¦

¬ ¼ (3)

gdzie: Φ^{( )}_{k v}^r_{( )}( ) orazx₂ Φ_k^{( )}^r ( )x₂ są nieznanymi funkcjami.

CaákĊ ogólną równania jednorodnego wybiera siĊ w postaci symetrycznej:

( ) ( )

{ }

4 [1] [1] [2] [2] [2] [1]

0 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 1

1 1

cos cos

k v k v k k v k v k

k v

w ^∞ R ch λ x δ x R ch λ x δ x

= =

=

¦¦

+ (4)

gdzie: R^{[ ]}_{k v}_{( )}^j – nieznane parametry, okreĞlane z warunków brzegowych na krawĊdziach páyty,

[1] [2] [1] [2]

1 2 1 2

(2 1) ; (2 1) ; ;

2 2

m n m n

a a a a

π π

δ = ⁻ π δ = ⁻ π γ = γ = – parametry rozkáadu.

(6)

Acta Sci. Pol.

Równanie Īebra zginanego z uwzglĊdnieniem siá stycznych

W rozwaĪaniach przyjĊto model belki Eulera z uwzglĊdnieniem siá Ğcinania przyáoĪo- nych do jej powierzchni. Równanie wygiĊtej osi takiej belki ma postaü [Buchaniec 2009]:

( )

~( )

( )

33 2

1111 ( ) 13,1

5 8

r r

r

r r

h

D D

= τ +

ν τ (5)

W ostatecznej postaci caáka szczególna równania (5) przyjmuje postaü:

( )

4

( ) 4 ( )** 2 [1] ( )* [1]

* ( ) [1] ( ) ( ) ( ) ( ) 1

1 1 ( )

1 1 5

8

r r r

k v k v k v k v

r k v k v

v A h A ch z

D λ λ

λ

∞

= =

ª ª º º

« »

=

¦¦

«¬ «¬ + »¼ »¼+

(6)

4

( )** 2 ( )* [1] [1]

( ) [1] ( ) 1

1

5

1 1

8 cos

r r

k k k k

r r

k k

B h B z

D D δ δ

δ

∞

=

ª º

+

¦

«¬ + »¼

Opis elementu páytowo-Īebrowego

Równanie ugiĊcia páyty Īebrowanej uzyskano, sumując caákĊ ogólną równania jednorodnego i caákĊ szczególną równania niejednorodnego. Doáączając caákĊ ogólną równa- nia, uzyskuje siĊ wyraĪenie na ugiĊcie páyty Īebrowanej wyraĪone tylko przez nieznane wspóáczynniki R^{[ ]}_{k v}_{( )}^j :

( )

[1] ( ) ( ) [2] [1]

( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1

1 1

4 4

[2] ( ) ( ) [2] [1]

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 1

1 1

( ) ( ) [2] 0 [1]

2 2 1

1 1

( ) cos

( ) cos cos

r r

k v k v k v k k v

k v

r r

k v k v k v k v k

k v

r r

m m mn n m

m n

w R K x x ch x

R L x ch x x

N x Q x x

δ λ

λ δ

δ δ

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

ª º

= ¬ Φ + ¼ +

ª º

+ ¬ Φ + ¼ +

ª º

+ «¬ Φ + »¼

¦¦

¦ ¦

(7)

Pozostaáe skáadowe pola przemieszczeĔ (przemieszczenia poziome) wynoszą:

4 4

[1] [1] [2] [2]

1 ( ) ( ) 1 2 3 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1

4 4

[1] [1] [2] [2]

2 ( ) ( ) 1 2 3 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1

( , , ) ( , , ) ( , , )

k v k v k v k v mn

k v k v m n

k v k v k v k v mn

k v k v m n

u R U x x x R U x x x U x x x

u R V x x x R V x x x V x x x

f f f f

¦¦ ¦¦ ¦¦

⁽⁸⁾

Wprowadzone funkcje: U_{k v}^{[ ]}_{( )}^j ( ,x x x₁ ₂, );₃ V_{k v}^{[ ]}_{( )}^j ( ,x x x₁ ₂, );₃ U_mn(x₁, x₂, x₃); V_mn(x₁, x₂, x₃), nazwano odpowiednio funkcjami ksztaátu oraz funkcjami obciąĪenia przemieszczeĔ pozio-

(7)

mych u₁, u₂ páytowego elementu Īebrowanego. ZnajomoĞü pola przemieszczeĔ umoĪli- wia okreĞlenie wielkoĞci statycznych w páycie.

Opisany model matematyczny cienkiej páyty Īebrowanej jest rozwiązaniem Ğcisáym w ramach teorii páyt cienkich.

PRZYKàAD OBLICZENIOWY

Páyta korytkowa swobodnie podparta w naroĪnikach

Rozpatrzono páytĊ korytkową. Páyta jest swobodnie podparta w naroĪnikach (rys. 6).

Wymiary páyty: L₁= 4m, L₂= 4m, h₁= 0,1m. Wymiary Īebra l₁= 4m, h₂= 0,3m, b = 0,1m. Zakáada siĊ, Īe páyta i Īebra wykonane są z materiaáu o module Younge’a E = 205 GPa i wspóáczynniku Poissona v = 0,3. Przyjmuje siĊ, Īe páyta obciąĪona jest na górnej powierzchni obciąĪeniem równomiernie rozáoĪonym o wartoĞci q = 10 kN·m^–2.

q(x¹,x²)

L1 L2

Rys. 6. Páyta korytkowa obciąĪona równomiernie i podparta w naroĪnikach Fig. 6. Tray plate loaded uniformly and supported in the corners

PáytĊ korytkową moĪna zbudowaü, áącząc lewostronnie i prawostronnie Īebrowane elementy konstrukcyjne. Na skutek tego, Īe konstrukcja jest symetryczna, wymagane jest, Īeby: ĭ_l(–x₂) = ĭ_p(x₂). NaleĪy speániü nastĊpujące warunki brzegowe:

na wszystkich krawĊdziach momenty i uogólnione siáy tnące są równe zeru, oprócz naroĪników, gdzie wystĊpują zerowe przemieszczenia pionowe i momenty zgina- jące,

na wspólnej krawĊdzi dwóch elementów muszą byü speánione warunki ciągáoĞci ugiĊü, kątów obrotów, momentów i siá tnących.

PowyĪsze warunki pozwalają uzyskaü ugiĊcie páyty dla caáej powierzchni. Interpre- tacją gra¿ czną mogą byü wykresy przemieszczeĔ pionowych sporządzone w przekrojach krawĊdziowym oraz Ğrodkowym (rys. 7–9). WartoĞci ugiĊü podano w tabelach 1–3.

–

(8)

Tabela 1. WartoĞci ugiĊcia w podáuĪnym przekroju Ğrodkowym páyty (–2 < x1 < 2, x2 = 0) Table 1. DeÀ ection values in middle-longitudinal section of plate (–2 < x1 < 2, x2 = 0) x1–2,0–1,8–1,6–1,4–1,2–1,0–0,8–0,6–0,4–0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,0 w·10–1 [cm]0,110,370,620,861,081,271,441,571,661,721,741,721,661,571,441,271,080,860,620,370,11 Rys. 7. Wykres ugiĊcia w przekroju Ğrodkowym (–2 < x1 < 2, x2 = 0) Fig. 7. Diagram of deÀ ection in middle section (–2 < x1 < 2, x2 = 0)

(9)

Tabela 2. WartoĞci ugiĊcia w podáuĪnym przekroju krawĊdziowym páyty (–2 < x1 < 2, x2 = 2) Table 2. DeÀ ection values in longitudinal edge section of plate (–2 < x1 < 2, x2= 2) x1–2,0–1,8–1,6–1,4–1,2–1,0–0,8–0,6–0,4–0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,0 w·10–1 [cm]1,54·10–190,290,570,851,101,331,521,671,791,851,881,851,791,671,521,331,100,850,570,293,76·10 Rys. 8. Wykres ugiĊcia w podáuĪnym przekroju krawĊdziowym (–2 < x1 < 2, x2 = 2) Fig. 8. Diagram of deÀ ection in longitudinal edge section (–2 < x1 < 2, x2 = 2)

(10)

Tabela 3. WartoĞci ugiĊcia w poprzecznym przekroju krawĊdziowym páyty (x1 = 2, –2 < x2 < 2) Table 3. DeÀ ection values in transverse edge section of plate (x1 = 2, –2 < x2 < 2) x1–2,0–1,8–1,6–1,4–1,2–1,0–0,8–0,6–0,4–0,20,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,0 w·10–2 [cm]1,34·10–190,150,310,460,610,740,860,961,021,061,081,061,020,960,860,740,610,460,310,156,43·10–18 Rys. 9. Wykres ugiĊcia w poprzecznym przekroju krawĊdziowym (x1 = 2, ,–2 < x2 < 2) Fig. 9. Diagram of deÀ ection in transverse edge section (x1 = 2, –2 < x2 < 2)

0,008

(11)

WartoĞü ugiĊcia w Ğrodku krawĊdzi poprzecznej (krawĊdĨ Īebrowana) jest róĪna od zera i wynosi 0,0108 cm, co odpowiada modelowi pracy konstrukcji jako páyty poáączo- nej z belką swobodnie podpartą w naroĪnikach. Dodatkowo wyliczono strzaákĊ ugiĊcia dla belki wolnopodpartej ze wzoru

5 4

0,007 cm.

384 f ql

= ⋅EJ = PowyĪszy rezultat suge- ruje, Īe ugiĊcie páyty z Īebrem jest mniejsze niĪ samej belki wolnopodpartej. Maksy- malne ugiĊcie w podáuĪnym przekroju Ğrodkowym páyty wynosi 0,174 cm, a w podáuĪ- nym przekroju krawĊdziowym – 0,188 cm. Ten sam przykáad analizowano numerycznie w programie Robot Millenium. Ekstremalne ugiĊcie páyty wyniosáo 0,202 cm. Báąd wzglĊdny wynosi zatem 7,5%.

PODSUMOWANIE

Opracowano analityczno-numeryczną metodĊ rozwiązywania páyt Īebrowanych w ramach teorii páyt cienkich. Zbudowano model matematyczny páyty cienkiej izotropowej wzmocnionej jednostronnie belkami Eulera. Opracowaną metodĊ ilustruje przykáad obliczeniowy páyty korytkowej obciąĪonej równomiernie na powierzchni i swobodnie podpartej w naroĪnikach. Maksymalne wartoĞci ugiĊü obliczone opracowaną metodą róĪ- nią siĊ o 7,5% od obliczonych metodą elementów skoĔczonych.

PIĝMIENNICTWO

Brzoska Z., 1965. Statyka i statecznoĞü konstrukcji prĊtowych i cienkoĞciennych. Wydawnictwo Na- ukowe PWN, Warszawa.

Buchaniec D., 2006. On a certain method of stiffened plates modeling. Electronic Journal of Polish Agricultural Universities.

Buchaniec D., 2009. Analiza statyczna páyt ze wspóápracującymi Īebrami. Rozprawa doktorska, Bydgoszcz.

Delyavskyy M., 1995. Analysis of stress state in the orthotropic plate under the bending load. Pro- blem of Strength 11–12, 45–53.

Delyavskyy M., Buchaniec D., 2005. Model matematyczny páyty izotropowej Īebrowanej. VI Pol- sko-UkraiĔskie Sympozjum Naukowe „Aktualne zagadnienia mechaniki oĞrodków nie- jednorodnych”, Warszawa, 29–30.

Delyavskyy M., Podhorecki A., Nagórko W., 1999. O pewnej metodzie wyznaczania odksztaáceĔ i naprĊĪeĔ w prostokątnych belkach ortotropowych. XXXVIII Sympozjum „Modelowa- nie w mechanice”. Zeszyty Naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej Politechniki ĝlą- skiej 6, 51–56.

Starosolski W., 2005. Konstrukcje Īelbetowe wedáug PN-B-03264:2002. Tom I, II. Wydawnic- two Naukowe PWN, Warszawa.

SOLVING THIN FINNED PLATES USING STRUCTURAL ELEMENTS METHOD

Abstract. This paper attempts to model a plate-¿ n element. The cooperation of the rib and the plate is provided by satisfying the equation of static equilibrium subjected to axial and tangent forces. The forces occur in bottom and top surfaces of the rib. Moreover, descrip-

(12)

Acta Sci. Pol.

tion of the plate element is generalized considering unknown horizontal displacements. The obtained equation of deÀ ection of the ¿ n element contains unknown forces of reactions of the bottom surface of the plate. A sum of general integral of homogeneous equation and particular integral of non-homogeneous equation is a solution of the equation. It can be assumed that the general integral is in symmetric form. Particular integral is solved by decompositions in functional series of loads of the plate and interaction forces. Next stage of modeling considers the above process for the rib. Putting these two descriptions together – the plate and the rib, allows to de¿ ne the plate-rib element method.

Key words: ribbed plates, Euler beam, construction elements method, non-homogenous plates

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 15.07.2011