OBLICZAALGEBRY,Kraków,29-31maja2015 MaciejZakarczemny Liczbarozwi¡za«wiloczyniekartezja«skimprzedziaªów,równanialiniowgoowspóªczynnikachzesko«czonejgrupyabelowej.

Liczba rozwi¡za« w iloczynie kartezja«skim przedziaªów, równania liniowgo o wspóªczynnikach ze sko«czonej grupy abelowej.

Maciej Zakarczemny

Politechnika Krakowska

OBLICZA ALGEBRY, Kraków, 29 - 31 maja 2015

W pracy [8] udowodniªem nast¦puj¡ce przypuszczenie Schinzla wypowiedziane w druku w 2008 r.

Twierdzenie 1.1.

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ i dowolnych a1, . . . , a_k ∈ Γoraz dla dowolnych liczb caªkowitych dodatnich b1, b₂, . . . , b_k liczba rozwi¡za«

równania

k

X

i =1

a_ix_i=0

w nieujemnych caªkowitych xi ≤ bi jest co najmniej

2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1), (1)

gdzie D(Γ) to staªa Dawenporta grupy Γ.

Wspóªczynnik 2^1−D(Γ) jest najlepszym mo»liwym wspóªczynnikiem niezale»nym od ai, b_i,a zale»nym tylko od Γ.

Fakt, »e jaki± dodatni wspóªczynnik, zale»ny tylko od Γ, istnieje zostaª ju» udowodniony w nieopublikowanej pracy M. Drmoty i M. Skaªby [7].

Lematy i denicje.

Niech Γ b¦dzie sko«czon¡ grup¡ abelow¡ z dziaªabem o zapisie multiplikatywnym.

Denicja 1.2.

Denujemy staª¡ Dawenporta D(Γ) jako najmniejsz¡ dodatni¡ liczb¦

caªkowit¡ n tak¡, »e dla ka»dego ci¡gu g₁, . . . , g_n elementów sko«czonej grupy abelowej Γ, istnieje niepusty zbiór indeksów

1 ≤ i₁< . . . < it≤ n takich, »e:

gi₁· . . . · gi_t =1.

Dla grupy z notacj¡ multiplikatywn¡. Twierdzenie (1.1) ma posta¢:

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ oraz dla dowolnych

a₁, . . . , ak ∈ Γ,oraz dla dowolnych caªkowitych dodatnich b₁, . . . , bk

liczba rozwi¡za« równania Q^k

i =1

a_i^xi =1 w nieujemnych liczbach caªkowitych xi ≤ bi jest co najmniej

2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1). (2)

Uwaga 1.3.

W Twierdzeniu (1.1) wspóªczynnik 2^1−D(Γ)jest najlepszym mo»liwym wspóªczynnikiem niezale»nym od ai, bi,a zale»nym tylko od Γ.

Dowód.

Na podstawie denicji staªej Dawenporta, mo»emy znale¹¢

g₁, . . . , g_D(Γ)−1∈ Γtakie, »e iloczyn elementów ka»dego niepustego podci¡gu tego ci¡gu jest ró»ny od 1 w Γ.

Wtedy liczba rozwi¡za« równania^D(Γ)−Q ¹

i =1

gixi =1, gdzie xi =0 lub xi=1, jest równa 1 = 2^{1−D(Γ)D(Γ)−}Q ¹

i =1

(1 + 1).

Lemat 1.4.

Dla n ≥ 1 mamy nast¦puj¡c¡ równo±¢ w Q[x] oraz w pier±cieniu grupowym Q[Γ]:

1 + x + x²+ . . . + xⁿ=

n

X

j =0

2^{j −n−1}(1 + x^j)(1 + x)^n−j. (3)

Dowód.

Indukcja po n.

Denicja 1.5.

Dla elementu P

g ∈Γ

Ngg pier±cienia grupowego Q[Γ] oraz liczby n ∈ Q piszemy

X

g ∈Γ

N_gg  nwtedy i tylko wtedy gdy N1≥ n.

Twierdzenie 1.1 w notacji mltiplikatywnej jest równowa»ne stwierdzeniu:

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ i dla dowolnych a1, . . . , ak ∈ Γ oraz dla dowolnych caªkowitych b1, . . . , bk mamy

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + a_i^bi) 2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(b_i+1), (4)

gdzie D(Γ) jest staª¡ Dawenporta grupy Γ.

Dowód.

Interpretujemy równanie Q^k

i =1

(1 + ai+ . . . + aibi) = P

g ∈Γ

Ngg kombinatorycznie.

Rozwa»my ci¡gi a₁^x1, a₂^x2, . . . , a_k^xk,które maj¡ iloczyn równy 1 w Γ, gdzie xi ≤ b_i to nieujemne liczby caªkowite.

Zauwa»my, »e N₁zlicza wªa±nie takie ci¡gi.

Zatem liczba rozwi¡za« równania Q^k

i =1

a_i^xi =1 w nieujemnych liczbach caªkowitych xi ≤ bi jest równa N1.

Wynika st¡d, »e

N₁≥2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(b_i+1) wtedy i tylko wtedy gdy (4) zachodzi.

Lemat 1.6.

Niech Γ b¦dzie sko«czon¡ grup¡ abelow¡.

Dla dowolnych a1, . . . , ak ∈ Γmamy

(1 + a1) · . . . · (1 + ak) 2^1−D(Γ)·2^k. (5) Dowód

Dla peªno±ci ekspozycji przytoczymy dowód Olson'a (patrz [3]).

Dowód b¦dzie indukcj¡ ze wzgl¦du na k.

Dla k ≤ D(Γ) − 1 mamy

(1 + a1) · . . . · (1 + ak) 1 ≥ 2^1−D(Γ)·2^k i relacja jest prawdziwa.

Zaªó»my, »e relacja jest prawdziwa dla liczby czynników mniejszej od k, gdzie k > D(Γ) − 1.

Dowód c.d Zatem k ≥ D(Γ).

Z denicji staªej Dawenporta mo»emy zaªo»y¢, bez straty dla ogólno±ci rozwa»a«, »e

a₁· . . . · at =1 dla pewnego 1 ≤ t ≤ D(Γ).

Z zaªo»enia indukcyjnego

t

Y

i =2

(1 + ai−1)

k

Y

i =t+1

(1 + ai) 2^1−D(Γ)·2^k−1,

k

Y

i =2

(1 + ai) 2^1−D(Γ)·2^k−1.

Dowód c.d Zatem

k

Y

i =1

(1 + ai) =

k

Y

i =2

(1 + ai) + a₁

k

Y

i =2

(1 + ai)

=

k

Y

i =2

(1 + ai) + a₁· . . . · at t

Y

i =2

(1 + ai−1)

k

Y

i =t+1

(1 + ai)

=

k

Y

i =2

(1 + ai) +

t

Y

i =2

(1 + ai−1)

k

Y

i =t+1

(1 + ai)

2^1−D(Γ)·2^k−1+2^1−D(Γ)·2^k−1=2^1−D(Γ)·2^k.

Dowód Twierdzenia 1.1

Trzeba pokaza¢, »e:

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ i dla dowolnych a1, . . . , a_k ∈ Γ oraz dla dowolnych caªkowitych b1, . . . , b_k mamy

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aib_i) 2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1), (6)

gdzie D(Γ) jest staª¡ Dawenporta grupy Γ.

Dowód Twierdzenia 1.1

Korzystaj¡c z to»samo±ci (3) dostajemy

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aibi) =

k

Y

i =1 b_i

X

j =0

2^{j −bi−1}(1 + aij)(1 + ai)^bi−j (7)

= X

0≤j1≤b₁ 0≤j2≤b₂ 0≤jk...≤bk

k

Y

i =1

2^ji−bi−1(1 + aij_i)(1 + ai)^bi−ji.

Dowód Twierdzenia 1.1 c.d.

Z lematu (1.6) mamy

X

0≤j1≤b₁ 0≤j2≤b₂ 0≤jk...≤bk

k

Y

i =1

2^ji−bi−1(1 + aiji)(1 + ai)^bi−ji

2^1−D(Γ) X

0≤j1≤b₁ 0≤j2≤b₂ 0≤jk...≤b_k

k

Y

i =1

2^ji−bi−12^1+bi−ji =2^1−D(Γ) X

0≤j1≤b₁ 0≤j2≤b₂ 0≤jk...≤b_k

1

=2^1−D(Γ)

k

Y(b_i+1).

Dowód Twierdzenia 1.1 c.d.

Zatem

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aib_i) 2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1).

Twierdzenie (1.1) mo»na przepisa¢ w nast¦puj¡cej postaci:

Niech n₁| n₂| . . . | nl liczby caªkowite dodatnie, aij liczby caªkowite, bi

liczby caªkowite dodatnie, gdzie 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l, wtedy liczba rozwi¡za« ukªadu kongruencji



























a₁₁x₁+ a₂₁x₂+ . . . + a_k1x_k≡0 (mod n1), a₁₂x₁+ a₂₂x₂+ . . . + a_k2x_k≡0 (mod n2),

.. .

a_1lx₁+ a_2lx₂+ . . . + a_klx_k≡0 (mod nl),

w nieujemnych xi≤ bi,jest co najmniej

2^{1−D(Zn1⊕Zn2⊕...⊕Znl)}

k

Y

i =1

(b_i+1).

Uwagi historyczne

Andrzej Schinzel w pracy [4], postawiª hipotez¦ dotycz¡c¡ przypadku jednej kongruencji:

Niech n ∈ N, ai ∈ Z i bi ∈ N (1 ≤ i ≤ k).

Liczba N(n; a1, b₁; . . . ; a_k, b_k)rozwi¡za« kongruencji

k

X

i =1

aixi ≡ 0 (mod n), gdzie 0 ≤ xi ≤ bi

speªnia nierówno±¢ N(n; a1, b₁; . . . ; ak, bk) ≥2¹⁻ⁿQk

i =1(bi+1).

Poniewa» dla k = n − 1

N(n;1, 1; . . . ; 1, 1

| {z }

n−1 razy

) =1 = 2¹⁻ⁿ

k

Y

i =1

(1 + 1).

Zatem 2¹⁻ⁿ jest najlepszym mo»liwym wspóªczynnikiem niezale»nym od ai, bi, a zale»nym tylko od n.

Jest to szczególny przypadek Twierdzenia (1.1) gdy Γ to grupa cykliczna Zn.

W pracy [4] zostaªy udowodnione dwa twierdzenia,

pierwsze dotycz¡ce przypadku jednej kongruencji (nierówno±¢ zachodzi, przy dodatkowym zaªo»eniu, »e (ai, n) =1 dla wszystkich i ≤ k), oraz drugie dotycz¡ce ogólnego przypadku grup abelowych:

dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ, oraz ka»dego wektora [a₁, . . . , a_k] ∈ Γ^k,liczba rozwi¡za« równania a1x₁+ . . . + a_kx_k =0, w nieujemnych caªkowitych xi ≤ bi,jest co najmniej

2−(τ (χ(Γ))−1)(|Γ|−1) k

Y

i =1

(b_i+1),

gdzie τ(χ(Γ)) liczba dzielników charakterystyki Γ.

Nast¦pnie we wspólnej pracy z A. Schinzlem [6] pokazali±my, »e w przypadku jednej kongruencji modulo n, ze wspóªczynnikami ai, twierdzenie zachodzi przy dodatkowym zaªo»eniu, »e dla dowolnych i , j ≤ k albo (ai, n)|(aj, n)lub (aj, n)|(ai, n) lub n|[ai, aj].

Schinzel w pracy [5] udowodniª mi¦dzy innymi nast¦puj¡ce twierdzenie.

Niech n = Q^l

λ=1

q_λ^αλ, gdzie qλ to ró»ne liczby pierwsze, αλ>0 oraz

l

X

λ=1 1

q_λ ≤1 +min{l,2l−5}

n .

Niech ai, b_i caªkowite, bi>0, 1 ≤ i ≤ k.

Wtedy liczba N(n; a1, b₁; . . . ; a_k, b_k)rozwi¡za« kongruencji

k

X

i =1

aixi ≡ 0 (mod n), gdzie 0 ≤ xi ≤ bi

speªnia nierówno±¢

N(n; a₁, b₁; . . . ; a_k, b_k) ≥2¹⁻ⁿ

k

Y

i =1

(b_i+1).

Twierdzenie to poci¡ga za sob¡ Twierdzenie (1.1) sformuªowane na wst¦pie w przypadku jednej kongruencji modulo n, czyli równowa»nie grupy Zn,dla n o g¦sto±ci 0.94, ponadto dla n < 60, lub k < 16 (patrz [5]).

W aneksie do pracy Schinzla [5] Jerzy Kaczorowski pokazaª, »e

N(n; a₁, b₁; . . . ; a_k, b_k) ≥ 1 n ^n+k−_k ¹

k

Y

i =1

(b_i+1).

W kolejnej pracy Karol Cwalina i Tomasz Schoen [1] pokazali, »e Twierdzenie (1.1) zachodzi dla jednej kongruencji modulo n, tym samym zako«czyli dowód Twierdzenia (1.1) w szczególnym przypadku grupy cyklicznej Zn,z najlepszym mo»liwym wspóªczynnikiem 2¹⁻ⁿ.

W pracy Olsona [3] znajduje si¦ dowód nierówno±ci z Twierdzenia (1.1), dla dowolnej grupy abelowej Γ, ale w szczególnym przypadku

b₁= b₂= . . . = bk =1, co sugeruje, »e wªa±ciwym wykªadnikiem jest 1 − D(Γ), patrz tak»e Schinzel([4],p.364).

Ostatecznie, w pracy [8], u»ywaj¡c zupeªnie innej metody udowodniªem Twierdzenie (1.1).

W kolejnej pracy [9], która jest obecnie w recenzji w Colloquium Mathematicum, rozwa»aªem przypadek równania niejednorodnego.

Przypadek niejednorodny

Przypadkiem niejednorodnym zajmowaªem si¦ w pracy [9] pokazuj¡c dwa twierdzenia:

Twierdzenie 2.1.

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ oraz dowolnych g , a₁, . . . , a_k ∈ Γ,je±li istnieje rozwi¡zanie równania P^k

i =1

a_ix_i = g w nieujemnych caªkowitych xi ≤ bi,gdzie bi s¡ caªkowite dodatnie, wtedy liczba takich rozwi¡za« jest co najmniej

3^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1). (8)

Uwaga

Niech Γ = nZ₂b¦dzie sum¡ prost¡ n grup cyklicznych rz¦du 2, a₁, a₂, . . . , an b¦dzie baz¡ dla Γ.

Wtedy liczba rozwi¡za« równania Pⁿ

i =1

aixi=

n

P

i =1

ai w nieujemnych liczbach caªkowitych xi ≤ bi =2, wynosi 1.

Poniewa» D(Γ) = n + 1 (patrz Olson [1]) oraz 1 = 3^1−D(Γ)Qn

i =1(2 + 1).

Otrzymujemy, »e 3^1−D(Γ)jest najlepszym mo»liwym wspóªczynnikiem niezale»nym od ai, bi, g ,a zale»nym tylko od Γ.

Twierdzenie 2.3.

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ, oraz dowolnych g , a₁, . . . , ak ∈ Γ,je±li istnieje rozwi¡zanie równania P^k

i =1aixi = g w nieujemnych caªkowitych xi ≤ b_i,gdzie bi∈ {2^s−1 : s ∈ N}, wtedy liczba takich rozwi¡za« jest co najmniej

2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1). (9)

Lemat 2.4.

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ i dla wszystkich a₁, . . . , ak, g ∈ Γ,liczba rozwi¡za« równania Q^ki =1aix_i = g w nieujemnych caªkowitych xi ≤ bi jest równa N1,gdzie

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aib_i

) =X

h∈Γ

Nhh,

jest to»samo±ci¡ w Q[Γ].

Dowód.

Interpretujemy równanie g⁻¹Q^k

i =1(1 + ai+ . . . + aib_i) = P

h∈Γ

Nhh kombinatorycznie.

Dla g ∈ Γ rozwa»my ci¡gi a1x₁, a₂^x2, . . . , akx_k,które maj¡ iloczyn g, gdzie xi ≤ bi s¡ nieujemnymi liczbami caªkowitymi.

Wtedy N1zlicza te ci¡gi.

Zatem liczba rozwi¡za« równania Q^ki =1a_i^xi = g

w nieujemnych liczbach caªkowitych xi≤ b_i jest równa N₁.

Twierdzenie 3.1 w multiplikatywnej notacji jest równowa»ne stwierdzeniu:

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ, dla wszystkich g, a₁, . . . , a_k ∈ Γ, je±li istnieje rozwi¡zanie równania Q^k

i =1aix_i = g

w nieujemnych caªkowitych xi ≤ bi,gdzie bi s¡ dodatnimi liczbami caªkowitymi, wtedy zachodzi relacja:

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aib_i

) 3^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1), (10)

gdzie D(Γ) jest staª¡ Dawenporta grupy Γ.

Dowód.

Wynika z Lematu 3.4 i Denicji 1.5.

Twierdzenie 3.3 w multiplikatywnej notacji jest równowa»ne stwierdzeniu:

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ, dla wszystkich g, a₁, . . . , ak ∈ Γ oraz dla wszystkich dodatnich caªkowitych

b₁, b₂, . . . , bk ∈ {2^s−1 : s ∈ N}, je±li istnieje rozwi¡zanie równania

k

Q

i =1

aixi = g w nieujemnych caªkowitych liczbach xi ≤ bi,wtedy zachodzi relacja:

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aibi) 2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1). (11)

Dowód.

Wynika z Lematu (3.4) i Denicji (1.5).

Lemat 2.5.

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ oraz dla wszystkich g , a₁, a₂, . . . , ak ∈ Γ, je±li istnieje rozwi¡zanie równania Q^k

i =1aix_i = g w nieujemnych liczbach caªkowitych xi≤1, wtedy

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai) 2^1−D(Γ)·2^k. (12)

Dowód.

Mo»emy zaªo»y¢, »e Q^t

i =1ai = g ,gdzie 1 ≤ t ≤ k.

Mamy to»samo±ci:

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai) = g⁻¹

t

Y

i =1

ai t

Y

i =1

(1 + a⁻_i ¹)

k

Y

i =t+1

(1 + ai) =

=

t

Y

i =1

(1 + ai⁻¹)

k

Y

i =t+1

(1 + ai).

Dowód.

Z Twierdzenia (1.1)

t

Y

i =1

(1 + a⁻i ¹)

k

Y

i =t+1

(1 + ai) 2^1−D(Γ)2^k.

Zatem

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai) 2^1−D(Γ)2^k.

Lemat 2.6.

Je±li 0 ≤ t < b, gdzie t, b s¡ caªkowite, wtedy b − t + 1 ≥ (²₃)^t(b +1).

Dowód.

Sprawdzamy, »e funkcja f (x) = 2(³₂)^x− x −2 jest rosn¡ca w przedziale (1, ∞). Poniewa» f (0) = f (1) = 0, f (2) = ¹₂ dostajemy 2(³₂)^t≥ t +2 dla nieujemnych liczb caªkowitych t.

Zatem 1 −_b+^t₁ ≥1 − _t+^t₂ ≥ (₃²)^t, wi¦c b − t + 1 ≥ (²₃)^t(b +1).

Lemat 2.7.

Dla s ≥ 1 mamy nast¦puj¡c¡ równo±¢ w pier±cieniu grupowym Q[Γ] :

1 + x + x²+ . . . + x^2s−1=

s

Y

j =1

(1 + x^{2j −1}). (13)

Dowód.

Indukcja matematyczna ze wzgl¦du na s.

Dla s = 1 mamy

1 + x =

1

Y

j =1

(1 + x^{2j −1}) i równo±¢ jest prawdziwa.

Zaªó»my, »e równo±¢ jest prawdziwa dla s − 1, gdzie s > 1.

Wtedy dla s mamy kolejno

1 + x + x²+ . . . + x^2s−1= (1 + x^2s−1)(1 + x + x²+ . . . + x^2s−1−1) =

= (1 + x^2s−1)

s−1

Y

j =1

(1 + x^{2j −1}) =

s

Y

j =1

(1 + x^{2j −1}), czyli równo±¢ zachodzi.

Dowód Twierdzenia 3.1

Trzeba pokaza¢, »e:

Dla ka»dej sko«czonej grupy abelowej Γ, dla wszystkich g, a1, . . . , ak ∈ Γ, je±li istnieje rozwi¡zanie równania Q^k

i =1

aixi = g

w nieujemnych caªkowitych xi ≤ bi,gdzie bi s¡ dodatnimi liczbami caªkowitymi, wtedy zachodzi relacja:

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aibi) 3^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1), (14)

gdzie D(Γ) jest staª¡ Dawenporta grupy Γ.

Dowód Twierdzenia 3.1

Mo»emy znale¹¢ 0 ≤ ti ≤ bi,gdzie 1 ≤ i ≤ k, takie »e a₁^t1a₂^t2· . . . · akt_k = g .

Z denicji staªej Dawenporta, mo»emy zaªo»y¢,»e:

k

X

i =1

t_i ≤ D(Γ) −1. (15)

Niech ti = bi dla 1 ≤ i ≤ s ≤ k; ti< bi dla s + 1 ≤ i ≤ k;

je±li ti < bi dla 1 ≤ i ≤ k, wtedy we¹my s = 0.

Mamy równania

g⁻¹

s

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + a^b_iⁱ)

k

Y

i =s+1

(a_i^ti+ a_i^ti+1+ . . . + a_i^bi) =

=Y^s

i =1

a^b_iⁱ Y^k

i =s+1

a^t_iⁱ−1 s

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + a_i^bi)·

·

k

Y

i =s+1

(ait_i + ait_i+1+ . . . + a^b_iⁱ) =

=

s

Y

i =1

(1 + a⁻¹i + . . . + (a⁻¹_i )^bi)

k

Y

i =s+1

(1 + ai+ . . . + a_i^bi−ti).

Z Twierdzenia 1.1

s

Y

i =1

(1 + a⁻i ¹+ . . . + (a⁻_i ¹)^bi)

k

Y

i =s+1

(1 + ai+ . . . + aib_i−ti) 

2^1−D(Γ)Y^s

i =1

(bi+1) Y^k

i =s+1

(bi− ti+1) .

Mamy z Lematu 3.6, »e

2^1−D(Γ)Y^s

i =1

(bi+1) Y^k

i =s+1

(bi− ti+1)

≥

≥2^1−D(Γ)Y^s

i =1

(b_i+1) Y^k

i =s+1

(²₃)^ti(b_i+1)

=

=2^1−D(Γ)(²₃)^{Pki =s+1ti}

k

Y

i =1

(bi+1) ≥ 2^1−D(Γ)(²₃)^{Pki =1ti}

k

Y

i =1

(bi+1).

Poniewa» (15) zatem dalej

2^1−D(Γ)(²₃)^{Pki =1ti}

k

Y

i =1

(bi+1) ≥

≥2^1−D(Γ)(²₃)^D(Γ)−1

k

Y

i =1

(bi+1) = 3^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1).

Sk¡d

g⁻¹

s

Y

i =1

(1+ai+. . .+a^b_iⁱ)

k

Y

i =s+1

(ait_i+ait_i+1+. . .+a_i^bi) 3^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1).

Ostatecznie

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + a^b_iⁱ) 3^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(b_i+1).

Dowód Twierdzenia 3.3

Niech bi =2^si −1, gdzie si ∈ N.

Bierzemy 0 ≤ ti ≤ bi, gdzie 1 ≤ i ≤ k takie, »e a₁^t1a^t₂²· . . . · a^t_k^k = g . Poniewa» 0 ≤ ti ≤2^si −1 mo»emy znale¹¢ ji ∈ {0, 1} takie, »e

t_i =

si

X

j =1

_ji2^{j −1}

dla 1 ≤ i ≤ k.

U»ywaj¡c (13) z Lematu (3.7) otrzymujemy

a^−t_i ⁱ(1 + ai+ . . . + a_i^bi) = a^−t_i ⁱ

si

Y

j =1

(1 + a²i^{j −1}) =

= a

−P^si

j =1ji2^{j −1} i

s_i

Y

j =1

(1 + ai^{2j −1}) =

s_i

Y

j =1

a^−_i ^{ji2j −1}

s_i

Y

j =1

(1 + a²i^{j −1}) =

=

s_i

Y

j =1

a^−_i ^{ji2j −1}(1 + a²i^{j −1}) =

=

s_i

Y

j =1

(a^−ji2

j −1

i + a^(1−ji)2

j −1

i ) =

s_i

Y

j =1

(1 + a^ηi^{ji2j −1}), gdzie ηji=1 − 2ji ∈ {−1, 1}.

Zatem

g⁻¹

k

Y

i =1

(1+ai+. . .+aibi) =

k

Y

i =1

a^−t_i ⁱ(1+ai+. . .+aibi) =

k

Y

i =1 si

Y

j =1

(1+a^ηi^{ji2j −1}).

Z Twierdzenia (1.1)

k

Y

i =1 s_i

Y

j =1

(1 + a_i^{ηji2j −1}) 2^1−D(Γ)

k

Y

i =1 s_i

Y

j =1

2 = 2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

2^si =

=2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(b_i+1), co daje

g⁻¹

k

Y

i =1

(1 + ai+ . . . + aibi) 2^1−D(Γ)

k

Y

i =1

(bi+1).

[1.] Karol CWALINA and Tomasz SCHOEN, The number of solutions of a homogeneous linear congruence, Acta Arith. 153 (2012), pp. 271-279.

[2.] John E. OLSON, A Combinatorial Problem on Finite Abelian Groups,I. J. Number Theory 1, (1969), pp. 8-10.

[3.] John E. OLSON, A Combinatorial Problem on Finite Abelian Groups,II. J. Number Theory 1, (1969), pp. 195-199.

[4.] Andrzej SCHINZEL, The number of solutions of a linear homogeneous congruence. Diophantine Approximation: Festschrift for Wolfgang Schmidt (H.-P.Schlickewei, K. Schmidt, R.F. Tichy, eds.), pp. 363-370 (Developments in Mathematics 16, Springer-Verlag, 2008).

[5.] Andrzej SCHINZEL, The number of solutions of a linear homogeneous congruence II. In:

Chen,W., Gowers, T., Halberstam, H., Schmidt, W., Vaughan, R.C. (eds.) Analytical Number Theory: Essays in Honour of Klaus F. Roth. Cambridge University Press, 2009, pp. 402-413, with appendix by Jerzy KACZOROWSKI.

[6.] Andrzej SCHINZEL and Maciej ZAKARCZEMNY, On a linear homogeneous congruence., Colloq. Math., 106 (2006), pp. 283-292.

[7.] Michael DRMOTA i Mariusz SKAŠBA, Equidistribution of Divisors modulo m. Preprint.(1997).

[8.] Maciej ZAKARCZEMNY, Number of solutions in a box of a linear homogeneous equation in an Abelian group, Acta Arith. 155 (2012), pp. 227-231.

[9.] Maciej ZAKARCZEMNY, Number of solutions in a box of a linear equation in an Abelian group, (to appear).

Dzi¦kuj¦ za uwag¦

Bibliograa uzupeªniaj¡ca

[10.] W.R. ALFORD, Andrew GRANVILLE and Carl POMERANCE,

There are innitely many Carmichael numbers, Annals of Mathematics, 140 (1994), pp. 703-722.

[11.] Emre ALKAN, Davenport constant for nite abelian group, Indag. Mathem.,19(1), pp. 1-21.

[12.] Gerard Jennhwa CHANG, Sheng-Hua CHEN, Yongke QU, Guoqing WANG, and Haiyan ZHANG, On the number of subsequences with a given sum in a nite abelian group, The Electronic Journal of Combinatorics 18 (2011).

[13.] Harold DAVENPORT, Proceedings of the Midwestern Conference on Group Theory and Number Theory, Ohio State Univ., (1966).

[14.] Weidong GAO, Alfred GEROLDINGER, Zero-sum problems in nite abelian groups: A survey, Expo.

Math.24 (2006).

[15.] Alfred GEROLDINGER, Franz HALTER-KOCH, Non-Unique Factorizations, Algebraic, Combinatorial and Analytic Theory, volume 278 of Pure and Applied Mathematics. Chapman & Hall/CRC, (2006).

[16.] Alfred GEROLDINGER, Rudolf SCHNEIDER, On Davenport's constant, J. Combin. Theory Ser. A 61 (1992).

[17.] Roy MESHULAM, An uncertainty inequality and zero subsums, Discrete Mathematics 84 (1990) pp.

197-200.

[18.] Wªadysªaw NARKIEWICZ, J. ‘LIWA, Finite abelian groups and factorization problems II, Colloq.

Math., 46(1)(1982), pp. 115-122.

[19.] Peter van EMDE BOAS, A combinatorial problem on nite abelian groups II, Raports ZW-1969-007, Mathematical Centre, Amsterdam, (1969).

[20.] Peter van EMDE BOAS, D. KRUYSWIJK, A combinatorial problem on nite abelian groups III, Raports ZW-1969-008, Mathematical Centre, Amsterdam, (1969).

O staªej Dawenporta

Staªa Dawenporta

Denujemy staª¡ Dawenporta D(Γ) jako najmniejsz¡ dodatni¡ liczb¦

caªkowit¡ n tak¡, »e dla ka»dego ci¡gu g₁, . . . , gn elementów sko«czonej grupy Abelowej Γ, istnieje niepusty ci¡g indeksów

1 ≤ i₁< . . . < it≤ n takich, »e w grupie Γ zachodzi równo±¢:

gi₁+ . . . + gi_t =0.

Dla przykªadu:

Niech Zn₁ b¦dzie grup¡ cykliczna o rz¦dzie n1wtedy D(Zn₁) = n₁. Niech Zn₁⊕ Zn₂ b¦dzie sum¡ prost¡ grup cyklicznych o rz¦dach odpowiednio n1, n₂ gdzie n1|n₂wtedy D(Zn₁⊕ Zn₂) = n₁+ n₂−1, patrz John E.Olson [2], [3].

Staªa Dawenporta oszacowania

Staªa Dawenporta oszacowania

Staªa Dawenporta oszacowania

Staªa Dawenporta oszacowania

Staªa Dawenporta oszacowania

Staªa Dawenporta oszacowania

Staªa Dawenporta oszacowania

Notacja multiplikatywna

Grupa abelowa

Fundamentalne twierdzenie o sko«czonych grupach

abelowych

Pier±cie«

Pier±cie« przykªady

Pier±cie« grupowy

Pier±cie« grupowy. Niech (G, ·G)b¦dzie grup¡, niech (R, +R, ·_R) b¦dzie pier±cieniem.

Niech R[G] = {f | f : G → R prawie wsz¦dzie równa 0 }.

W zbiorze R[G] deniujemy w nast¦puj¡cy sposób dziaªania:

(f + g )(x ) = f (x )+Rg (x ), (f · g )(x ) =X

y ∈G

f (x ·Gy⁻¹)·Rg (y ).

wtedy (R[G], +, ·) jest pier±cieniem.

Pier±cie« grupowy, sumy formalne

Niech G b¦dzie dowoln¡ grup¡ sko«czon¡ z dziaªaniem o zapisie multiplikatywnym oraz niech R to dowolny pier±cie«.

Przez R[G] oznaczamy zbiór wszystkich formalnych wyra»e« w postaci.

X

g ∈G

αgg , αg ∈ R, g ∈ G .

Przyjmujemy

X

g ∈G

αgg =X

g ∈G

βgg

wtedy i tylko wtedy gdy αg = βg dla wszystkich g ∈ G. Przy zapisie elementów w R[G] pomijamy skªadniki ze wspóªczynnikami 0.

Piszemy: 0 zamiast P

g ∈G

0g, g zamiast 1g, −αg zamiast (−α)g, a element neutralny grupy G oznaczamy symbolem 1 tak jak element pier±cienia R.

Pier±cie« grupowy, sumy formalne

W zbiorze R[G] wprowadzamy dziaªania dodawania i mno»enia przez skalary

X

g ∈G

α_gg +X

g ∈G

β_gg =X

g ∈G

(α_g+ β_g)g .

βX

g ∈G

αgg =X

g ∈G

(βαg)g . Wprowadzamy mno»enie



 X

g ∈G

αgg



·



 X

g ∈G

βgg



=X

x ∈G



 X

gh=x

αgβh



x .

Pier±cie« grupowy, sumy formalne

Iloczyn kartezja«ski

Iloczyn prosty