W łasności pochodnych stycznościowych pewnego rozwiązania równania parabolicznego w obszarze niewalcowym i ich zastosowanie

ROCZNIKI POLSKIEGO TO W A R ZYSTW A MATEMATYCZNEGO Seria I : PRACE MATEMATYCZNE V III (1964)

A. B

(Warszawa)

W łasności pochodnych stycznościowych pewnego rozwiązania równania parabolicznego w obszarze niewalcowym i ich zastosowanie

1. Wstęp. Mech A ( x 1, . . . , x n) będzie punktem zmiennym prze­

strzeni En (n > 2 ) , t — zmienną z pewnego skończonego przedziału

<0 ,T>.

W przestrzeni punktów (A , t) rozważmy n-wymiarową powierzch­

nię a, której przekroje płaszczyznami t — const są (n—l)-wymiarowymi powierzchniami zamkniętymi. Przekrój taki oznaczać będziemy przez Sit tę część płaszczyzny t = const, którą on ogranicza — przez Qt (w szczegól­

ności dla t = 0 otrzymujemy 80 i O0), część domkniętą powierzchni a między przekrojami 8 0 i 8t — przez at, zaś (w+l)-wymiarowy obszar, którego brzeg stanowią obszary Q0 i Qt oraz powierzchnia at — przez Dt.

Dla t — T otrzymujemy obszar B T oraz powierzchnię crT, którą nazywać będziemy jego pobocznicą. Ponieważ przekroje 8t powierzchni aT mogą być różne dla różnych t, obszar DT nazwiemy obszarem niewalcowym w kierunku osi t.

Mech dane będzie równanie różniczkowe cząstkowe typu parabo­

licznego

(1) <P(u) =

a, /3=1

d2u dxn d%,

, du , „ du

+ Z j K { A ’ ł ) d ^ + c { A ’ t) u~ - l i = 0 a== 1

o współczynnikach aafj( A , t), ba{ A, t) , c ( A , t) określonych w pewnym obszarze walcowym D* = Q* X < 0 , T ), zawierającym obszar D T wraz z pobocznicą.

Uogólnionym potencjałem warstwy pojedynczej względem równa­

nia (1) nazwiemy całkę (x) t

(2) U( A, t ) = f f f r ( A , t ; Q , r)<p(Q, r)dQdr, o sr

(x) Zachowujemy symbol całki podwójnej dla całki powierzchniowej po po­

wierzchni (n— 1)-wymiarowej w n-wymiarowej przestrzeni.

Prace Matematyczne VIII, 2 13

gdzie (p(Q, т) jest funkcją całkowalną na powierzchni ат, Г — rozwią­

zaniem podstawowym równania (1) wyznaczonym przez W. Pogorzel­

skiego [2], a dQ oznacza element powierzchniowy powierzchni $T w punk­

cie Q.

Określmy na powierzchni aT pole kierunków stycznych, przyporząd­

kowując każdemu jej punktowi (P, t) pewien kierunek sP styczny w tym punkcie do powierzchni St.

W pracy niniejszej badamy własności brzegowe pochodnych stycz­

nościowych potencjału (2), tzn. całek t

(3) TJsp( A, t ) = f f f r , p (A,t-,Q,T)<p(Q,T)dQdr.

0 X

Analogiczne badania, w przypadku gdy obszar DT jest walcem w kie­

runku t, przeprowadził W. Pogorzelski [1].

Przyjmujemy następujące założenia:

1° Współczynniki aap( A, t ) spełniają warunek Hóldera (4) \aap(A, t) aap(A-l , t 1)\ X к(\АА}\ <hl )>

gdzie 0 < Л < 1, 0 < < 1, fc jest pewną stalą dodatnią, \ААг\ oznacza odległość punktów 1 i 1 х,

2° Współczynniki ba( A, t ) i c ( A , t ) są ciągłe względem zespołu wszystkich swych zmiennych i spełniają warunek Hóldera

IK ( A , t ) - K ( A 1,t)\ ^ Tc l AA^,

\ c { A , t ) - e { A l t i)\ < k A A ^ .

3° Powierzchnia aT jest czasowo zorientowana względem równa­

nia (1) ([5], str. 115) i spełnia warunki Lapunowa ([6], str. 126). Jeden z tych warunków, dotyczący kąta (NPt, NQr) między normalnymi do powierzchni aT w dwóch dowolnych punktach (P , ł) i (Q, r), ma postać (6) (NPt, N Qr) ^ C (\ P Q \ «+ \ t-T n ,

gdzie 0 < x < 1, C jest pewną stałą dodatnią.

4° Forma kwadratowa П

a, /3=1

jest dodatnio określona w obszarze _D*.

5° Gęstość cp(Q,

) jest funkcją ciągłą ze względu na zespół wszyst­

kich swych zmiennych i spełniającą warunek Hóldera (7) \<p(Q, r) — q>{Qly r)\ <

gdzie 0 < bę < 1, kę jest pewną stałą dodatnią.

Własności pochodnych stycznościowych 195

W części pracy przyjmiemy ponadto założenia dodatkowe, doty­

czące pola kierunków stycznych.

2. Własność brzegowa pochodnej stycznościow ej. Niech P będzie dowolnie ustalonym punktem powierzchni 8t (t dowolnie ustalone w prze­

dziale (0,P>), A — punktem zmiennym obszaru Qt.

T

1. Przy założeniach, l ° - 5 ° , pochodne stycznościowe (3) mają następującą własność brzegową

t

(8) lim USp( A , t) = J J J PSp( P , t ; Q , r)<p(Q, r)dQdt,

A-*p o sT

przy czym całkę niewłaściwą po prawej stronie równości (8) rozumieć należy w sensie wartości głównej Gauchy'ego, tzn. jako granicę

t

(9) f f j r sP{P,t-,Q,T)<p(Q,T)dQdr =

o sr

r t

= lim J J J r sp(P,t',Q,x)<p(Q,x)dQdx,

r r >0 o £ _ g j v

r

gdzie 8 J TV oznacza część wyciętą z powierzchni Sr przez rzut na płaszczyznę x = const (n-l)-wymiarowego walca obrotowego W o promieniu rw , po­

łożonego w płaszczyźnie t = const, którego osią jest oś np normalna do po­

wierzchni w punkcie P.

D o w ó d . Wybierzmy prostokątny układ współrzędnych P x , . . . , P Xn tak, aby osie P x , . . . , P Xn_ x leżały w (тг—1)-wymiarowej płaszczyźnie щ stycznej punkcie P do powierzchni St, zaś oś P x% pokrywała się z normal­

ną nv , skierowaną do wnętrza obszaru Qt. Przyjmijmy ponadto, że oś Px pokrywa się z kierunkiem sp pola kierunków. Należy zbadać pochodną

t

TJxx ( A, t ) = J JJ r Xl( A , t ; Q , r)(p{Q,r)dQdr.

o sv

Rozważmy najpierw przypadek, gdy punkt A dąży do punktu P wzdłuż normalnej np .

Rozwiązanie podstawowe P równania (1) jest sumą ([2], str. 41) (10) Г ( А, Q,

) = wQ’r{A, t ; Q, r ) + w { A , t ; Q t r),

gdzie funkcja wQ,r ( A, t ' , Q, r ) wyraża się wzorem П

(11) r) = ( / - т ) - * ' ае т р [ - — --- j ( А( хг, . . . , x n), Q ( i i , . . . , i n), aa/} — elementy macierzy odwrotnej do ma­

cierzy [ua/3]), zaś w jest quasi potencjałem ładunku przestrzennego o gę-

stości spełniającej pewne równanie całkowe Volterry. Pochodne wXi i wXi mają następujące oceny ([2], str. 31)

(

12

(13)

\^xl ( A, t; Q, r)\ <

(A i t ? Q * 7)| ^

const ( t - r f '

const ( t - r p

1

\AQ\n+1~2fl'>

1

\A Q\n+l-^ i~ hP

gdzie Л-! = min(fe, 2^'), /i i щ dowolnymi stałymi dodatnimi mniej­

szymi od jedności.

Na mocy wzoru (10) możemy pochodną stycznościową potencjału napisać w postaci sumy

^x1 (A , t) — UXl (A , t) -f- Uxx ( A , t),

gdzie *Ux ( A, t ) i UXl( A, t ) zawierają pod znakiem całki odpowiednio:

w^'T(J., t ; Q,

) i (J., t-,Q,r). Otóż jest widoczne, że dla e(l — \hx, 1) osobliwości oceny (13) są słabe, całka UXi( P, t ) bezwzględnie zbieżna i wobec tego w sposób klasyczny można dowieść ([5], str. 324), że zachodzi równość

(14) lim Ux (A , t ) = Ux (P , t ).

A ^ P

Ocena (12) natomiast zawiera mocną osobliwość, zatem przy badaniu własności brzegowej całki *Ux ( A, t ) należy zastosować subtelniejsze rozważania.

Niech <3 będzie promieniem kuh Lapunowa ([6], str. 126), W zaś (n—i y wymiarowym walcem obrotowym o stałym promieniu S' (S' < |ó) i osL%>, położonym w płaszczyźnie t = const. Oznaczmy przez 8^' część powierzchni 8X wyciętą przez rzut walca W na płaszczyznę т = const, przez aw zbiór wszystkich 8 ^ dla t0 < r < t, gdzie t0 = t —^S, przez at— aw uzupełnienie aw do powierzchni ot, wreszcie przez *UaW( A, t )

W X7

i * и х^ а ( A, t ) — całkę *UXl( A, t ) rozciągniętą odpowiednio na: a i at— aw. Całka *TJa Jya ( P, t ) jest regularna, a więc ma miejsce równość

(15) lim t) = 47%-°W(P, <)•

A -> P

Oznaczmy przez P punkt przebicia powierzchni 8r przez rzut osi nP na płaszczyznę r == const i dokonajmy następującego rozkładu całki

t

(16) t Vc" u , t) = f f f w 2 ; r( A , t ; Q , T ) [ p ( Q , r ) - lpP, T)] dQdT + ' o s f

t

+

f <p(p, r ) l f f w$f(A, t;Q, T)d(Ą dr.

h «w

Własności pochodnych stycznościowych 197

Łatwo udowodnić, że dla dostatecznie małych wartości (t —т) zacho­

dzi nierówność

(17) \PQ\ < const \PQ'\,

gdzie Q' jest rzutem prostokątnym punktu Q na płaszczyznę щ х ( 0 , T).

Korzystając z założenia 5° oraz nierówności (12) i (17) stwierdzamy, że funkcja podcałkowa pierwszej całki sumy (16) ma ocenę

r. ~ c o n s t 1

\w^r(A, Ц Q, r)[<p(Q,

r)]| <

o osobliwościach słabych dla l — \hę < /л < 1, skąd wynika, że cał­

ka ta dąży do swej wartości w punkcie P, gdy punkt A dąży do punktu P.

Pozostała jeszcze do zbadania druga z całek występujących w su­

mie (16); całkę tę oznaczymy przez H( A, t ) .

Określamy funkcję pomocniczą X (A , t) wzorem t

(18) X ( A , t ) = f q > ( P , z ) J J ^ ( A , f , Q ’,r)dQ'dr,

gdzie wp,T(A r) jest funkcją (11) o ustalonych parametrach aal3(P, r), тц — częścią płaszczyzny щ wyciętą przez walec F , a oznacza to samo, co w nierówności (17). Można wykazać ([1], str. 7), że zachodzi równość

t

(19) lim X (M , t) = lim f <р{Р,т) A-+P г ->0 f IF 2 г0

gdzie n f 1 jest częścią obszaru nY wyciętą przez walec obrotowy W 1 o osi nP i promieniu rWi < rw .

Kozważmy różnicę

(20) R { A , t ) = H { A , t ) - X ( A , t ) = t

= J ( P , r ) J f [ w $ f ( A , t ; Q , T ) - w pf ( A , t ; Q ' , r)cos(nQ, nP)]dQdr,

h sw

T

gdzie nQ oznacza normalną (wewnętrzną względem Qr) do powierzchni 8r w punkcie Q, a (nQ, nP) — kąt tej normalnej z osią nP. Funkcję wystę­

pującą pod znakiem całki po prawej stronie równości (20) oznaczymy przez r ( A , t) Q , r) i napiszmy w następującej postaci

(21) r ( A, P, Q, r) =

= 1>?;T(M, t ; Q,

— wp,* (A , t] Q', r ) ] + [1 — cos(w0 , nP)1wpf ( A , Ц Q', r).

f f wP’T(F, t; Q', T)dQ'dr = 0,

Wiadomo ([5], str. 152), iż z założenia 4° wynika istnienie takich stałych

£ i g (g > 0), że zachodzą nierówności ( 22 )

W oparciu o twierdzenie o przyrostach oraz nierówności (4) i (22) można wykazać ([1], str. 170), że:

(23) \w®’*{Aj t ’, Q,

) — u>x’T(A, t; Q', r)\ < const{t— т)~т ~1 X

12 r у А(ГГ\\Л(Г

X

И 1 ^(exp V ^{4 (t — r)} ] lPQlYQ ^{J t —}

] + exp [ - f S ) I • ■ 1 m

+ exp I —

’i)+

[ - | | ^ ] (

<?

'

+ i w 'i ) } , 4 (t—

t —

9\AQ''2

gdzie Q* jest punktem wewnętrznym odcinka QQ'. Ocenimy odległość IQQ'\f występującą w ocenie (23). W tym celu rozważmy punkty, w któ­

rym prosta przechodząca przez punkt Q i równoległa do osi nP przebija rzut powierzchni St na płaszczyznę r = const. Oczywiście

\QQ'\ < \QQ\-l\QQ'\.

Zauważmy teraz, że na podstawie warunków Lapunowa istnieje przedstawienie analityczne części

Y powierzchni a w postaci

— f(£ i? •••> £n— i? r),

gdzie (£x, ..., i n) oznaczają współrzędne punktu Q. Funkcja / ( ^ п ...

..., £n_i, r) jest funkcją klasy G1 ([6], str. 127). Ponieważ zachodzi rów­

ność

1 QQ\ - • • • ) kn— 1? t) /(£ 1? • • • i £n-l j

)\ j

IWI = Wh,-

I

dr t) < const (t— r)

(r <

* < t) i wobec nierówności ([3], str. 73)

\QQ’\ < const |PQT+1,

gdzie x jest wykładnikiem z warunku (6), otrzymujemy poszukiwaną ocenę ogległości \QQ'\ w postaci

\QQ'\ < const (\PQ'\x+lji~t—

).

(25)

W łasności 'pochodnych stycznościowych 199

Zauważmy jeszcze, że z oceny tej oraz „prawa trójkąta” wynika nierów­

ność

(26) \PQ\ < const {\PQ'\-ł-t~r), przydatna w dalszych badaniach.

W oparciu o wzór (23), przy uwzględnieniu nierówności (25) i (26), otrzymujemy ocenę modułu pierwszego składnika sumy (21)

л n const 1

(27) \wx[

)

x^ ( A , /; Q , r)| ^ ’

gdzie Q' — rzut punktu Q na płaszczyznę щ х ( 0 , Т ) , xx = min(ft, к), /л jest dowolną stałą z przedziału (0 ,1 ).

Ponieważ, jak łatwo wykazać w oparciu o wzory (6) i (26), zachodzi nierówność

|1 — cos(nG, nP)\ < const[\PQ'\2y-+ (f—r)2*],

zatem z uwagi na nierówności (12) i (27) otrzymujemy następującą ocenę modułu funkcji r { A, t\ Q, r) (wzór (21))

const 1

\r ( A , t - , Q , t)\ < ( t — T f ‘ ~ \ P Q' \ n + 1 ~ 2ti~ * 1 ’

gdzie p i к oznaczają to samo, co w nierówności (27). Ocena ta zawiera osobliwości słabe dla — 1), a więc całka (^0) dąży do swej war­

tości w punkcie P, gdy punkt A dąży do punktu P, co po uwzględnieniu relacji (19) daje równość

t t

(29) ] i mB( A , t) = \im H(A, t) = [<p(Pf r) f f w x’T(P, t; Q, r)dQdr,

A-*p

^

o Jw

sT

przy czym całkę po prawej stronie wzoru rozumieć należy w sensie war­

tości głównej Cauchy’ego (por. (19)).

Łącząc rezultaty (14), (15) i (29) otrzymujemy tezę twierdzenia dla A e ftp.

Metoda rozszerzenia powyższego wyniku na przypadek, gdy punkt A dąży do punktu P wzdłuż dowolnego łuku położonego w obszarze Qt nie różni się od tej, która podana została w pracy [1] (str. 172) — z tym, że należy powołać się na twierdzenie 1 pracy [6].

3. Regularna ciągłość pochodnych stycznościowych na brzegu.

Niech t będzie dowolnie ustaloną liczbą z przedziału (0, T>, P i P x dwoma

dowolnymi ustalonymi punktami powierzchni St, sP i sFl — kierunkami

stycznymi w tych punktach.

Zbadamy własności różnicy [P Sp(P, t)— USp (Р1?£)], przyjmując za­

łożenie dodatkowe o polu kierunków stycznych.

T

2. Jeżeli spełnione są założenia l ° - 5 ° (str. 194), zaś Icąt (sP , sPl) między kierunkami stycznymi czyni zadość nierówności

(30)

< ( 7 1|PP1|'*«,

gdzie 0 < hs < 1, Сг jest pewną stałą dodatnią, to zachodzi warunek Hóldera (31) \u,p ( p , t ) - u , Pi( p l t t)\ < ( 2

, + 5 ^ )

1|\

gdzie M ę — sup \(p{Q,r)\, кv jest współczynnikiem z warunku (7), A i В (O.ptay

pewnymi stałymi dodatnimi niezależnymi od funkcji (p^hę — wykładnikiem określonym równością

(32) hv = m in (^ , 6h8, 0'h), przy czym

hs — min(7i, x , h s); hx = min(7&, 2W), 6 i 6’ — dowolne stałe dodatnie mniejsze od jedności.

D o w ód. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy punkty P i P x leżą dostatecznie blisko siebie; załóżmy, że IPP-J < \d’, gdzie d' jest dowolną ustaloną liczbą dodatnią mniejszą niż promienia ó kuli Lapunowa.

Wybieramy układ współrzędnych P x , ..., P Xn jak w dowodzie twier­

dzenia 1 (str. 195), układ współrzędnych Р гх[, ..., P xx'n analogicznie w punkcie P 1 i przyjmujemy, że osie x x i x[ pokrywają się odpowiednio z kierunkami sP i sPi.

Oznaczmy przez X (n — 1)- wymiarowy walec obrotowy o osi nP i pro­

mieniu r = położony w płaszczyźnie t = const. Symbole TJaX i U°l~aK rozumieć będziemy tak samo, jak analogiczne symbole we wzorach (15), (16).

W oparciu o założenie (30) łatwo udowodnić, że zachodzi nierów­

ność

(33) \TJa J -°X{P ,t)-T J at7 a\Pi,t)\ < const J f J P P /s .

1 xi

Całkę Ua x[(P , t) zapisujemy w postaci sumy UŹ( P, t ) = r \ P , t ) + J °\ P ,t),

gdzie I°X( P, t ) i J°X{ P, t ) zawierają odpowiednio: wx^ ( P , t ’, Q, r) i wXl(P, t-, Q, r) (p. wzory (10), (11)).

Analogicznego rozkładu dokonujemy dla TJa Xl{Pxxt).

Własności pochodnych stycznościowych 201

Ponieważ funkcja wx (...) spełnia nierówność (13) o słabych osobli-

д 1 д

wościach, zatem całki Ja (P , t ) i Ja (Px, /) są bezwzględnie zbieżne i mo­

duł ich różnicy nietrudno ocenić. Można wykazać ([1], wzory (90)-(95)), że (34) |I°\ P , t ) - J a\ P 1, t)\ < const Mę \PPxfi,

gdzie h[ = min (hs, Ohx), 0 — dowolna stała dodatnia mniejsza od jed­

ności.

Л я

Zajmiemy się badaniem modułu różnicy całek F (P , t ) i F (Px,t), których funkcje podcałkowe mają mocno-osobliwą ocenę (12).

Aby skorzystać z warunku (7), napiszemy badane całki w postaci (35) F* ( P, t ) = f f f w $f(P, t;Q , r)[<p(Q, т) — <р(Р, T)]dQdr +

t

+ j < p ( P , t ) [ j j w^ ( P, t - , Q, r ) d Q] dr

<o ,s-j

(36) I - \ p 1, t ) = f f f w % ( P l ,P,Q,T)[<p(Q,T)-<p(Pl ,T)]dQdT +

t

+ J99(PX, r )[J J

J;

(P1? $ , т)йф]йт, h s*

gdzie P jest punktem, który występował w rozkładzie (16), P x — punktem przebicia powierzchni $ T przez rzut na płaszczyznę r = const osi prze­

chodzącej przez punkt P x i równoległej do normalnej %>.

Oznaczmy składniki występujące w sumie (35) kolejno przez I е*(P, t) i F x(P,t), składniki sumy (36) odpowiednio przez l °x(Px,t) i F x(Px,t).

Ocenimy najpierw \l°x(P , t)—l aX(Px, t)\.

Niech Л będzie walcem analogicznym do walca Я (p. str. 200), o pro­

mieniu 2 |PPX|. Bzut tego walca na płaszczyznę r — const wycina część SA powierzchni 8T; oznaczymy przez ал zbiór wszystkich Sr dla t0 ^ r gdzie t0 = t —^ó. Bozkładamy całkę l°x na sumę dwóch całek rozciągnię­

tych odpowiednio na aA i dopełnienie aA do crA i przyjmujemy symbolikę taką jak we wzorach (15), (16).

Otóż, na podstawie założenia 5°, równości (11) i nierówności (17) otrzymujemy dla całki ^ ( P , / ) ocenę

1 ^ ( P, t)I < conrtft, J / J exP [ - U S ) ]

<0

gdzie щ oznacza część wyciętą przez walec Л z płaszczyzny щ (p. str. 195).

Ponieważ dziedzina ni nie zmienia się wraz z r, można dokonać zmiany porządku całkowania i po podstawieniu

I PQ'\* = 4 ( t - r )

\PQ'\2 dr — - „ - dz

4 z otrzymujemy nierówność

OO

\t(P, t)\ < const

J J

f г",2- у - и&

3 | P O 'i2/45

i następnie ocenę

(37) \laA(P,t)\ < constfcJPPilV

Identycznie oceniamy moduł całki t°A (Px, t) ; zatem po połączeniu wy­

ników otrzymujemy

(38) \laA{ P , t ) - l aA( P1,t)\ < constfcJPPilV Różnicę l a*~aA (P , ( Рг, t) przedstawiamy w postaci (39) F*-°A(P, t ) - l aX~aA{ Px,t) =

t

= /[> (-P i,

) — <p{£, T)][ / / w%’ir(P, t-,Q,T)dQ]dT +

<0 S*-S^

T T

t

+ / / / [w2;, ( i V ; Q , T ) - w e;'(P 1,f;G ,T )]| > (G ,

J -

A , - O W dr

^0 8х-8 Л

r T

i oznaczamy składniki po prawej stronie wzoru (39) kolejno przez K x i K 2.

Korzystając z założenia 5° i łatwej do sprawdzenia nierówności (40) |P P X\ < const |PPX|

oraz wykonując analogiczne rachunki jak przy wyprowadzaniu nierów­

ności (37), otrzymujemy dla całki K x ocenę

(41) \KX\ < const^|PPj|V

Aby ocenić wartość bezwzględną całki K 2, zauważmy, że zachodzi równość

П

r) = ^ w 2 ’J (P ly t; Q, T)cos(a?e,®;),

(42)

Własności pochodnych stycznościowych 203

przy czym

wS’T(p i, t',Q,r) =

(t—r)

r £ aaf*(Q, r){xa— £а)(хр— ^ ) n

—

]*

П (S = l

gdzie (жх, . . . , ж п) oznaczają współrzędne punktu P 1 względem układu

P P

c x\ ’ " " > Мхп'

W oparciu o równość (42) oraz nierówności ([1], str. 179)

|1 — cos(a?x, x[)\ < const IPP^2**, (43) |cos(^a, x\)\ < const |PPXI s

(a = 2 ,3 , ..., n), gdzie hs jest wykładnikiem z warunku (30), otrzy­

mujemy dla pierwszego z czynników występujących pod znakiem całki K 2 we wzorze (39) ocenę

(44) |wJ;T(P, t', Q,

) -

J;

(Px, t-, Q, r)| <

< const (t Tj~n/2—1 |exp£ ~~~r\ (\PPi\+\PQ\ |PPi|**) +

+ (t- т)-'еХр [ - | P , Q\\P1Q\|PP,|}, gdzie P* jest punktem wewnętrznym odcinka łączącego punkty P i P x.

Korzystając z założenia 5°, uwzględniając nierówność (26), ocenę (44) oraz nierówności

(45) \PiQ\ < C\PQ'\,

C*\PQ'| < \P*Q\ <C^(\PQ'\ + t - r )

Q' — rzut Q na płaszczyznę щ х (0, T), Ć, C* i 0** — pewne stałe dodatnie) i wykonując analogiczne rachunki jak przy wyprowadza­

niu ocen (37), (41), otrzymujemy

(46) \K2\ < const V ,P P X|4 gdzie h's = min(ftv, hs).

Połączenie nierówności (38), (41) i (46) daje dla modułu różnicy całek l°x( P, t ) i l aA( P, t ) (por. wzory (35), (36)) ocenę

(47) |P ( P , t ) - P ( P lt t) |.< con stJ ^ P P /*

(h's oznacza to samo, co w nierówności (46)).

Przystępujemy do badania modułu różnicy drugich składników sum (35), (36).

Niech W i W x oznaczają {n—l)-wymiarowe walce obrotowe o pro­

mieniach d' (p. str. 196) i osiach odpowiednio nP i nP , położone w płasz­

czyźnie t — const. Symbole aw, 1°W etc. rozumieć będziemy jak dotąd (p. np. wzór (16)).

Mamy równości

~ X ~ I V ~ 2 I V

(48) Г (P , t) = Г (P, t) + Г ° (P , i), (49) I ”\ P i, t) = / « " V i , t) + ~ri- ° W4 P 1, t).

Nietrudno pokazać, że różnica całek г a , występujących w powyż­

szych równościach, ma ocenę

(50) ( P , t ) - l ° ’L-° w'(P 1,t)\ < ( l M r + B k r)\PP/ * ,

gdzie Ji* — m in(7^, hs, к), A i В są stałymi dodatnimi niezależnymi od funkcji q>.

Eozważmy obecnie dwie funkcje pomocnicze: X ( P , t ) i X 1(P1,t), określone wzorami

t

(51) X ( P , t) = J f (P,

/ / w,У (P, Ц Q’ ,

)dQ[ dr,

'» 1Г 1

t

(52) X x{Px,t) = f <p(P19T) § §'wxl’r(Px,t-1Q[,T)dQ[dT,

t0 -wx

u щ

gdzie щ i Q' oznaczają to samo, co w równości (18), л™1 jest częścią wy­

ciętą przez walec W x z ( n—l)-wymiarowej płaszczyzny щ stycznej w punkcie P x do powierzchni St, Q[ — rzutem prostokątnym punktu Q na płaszczyznę nt x ( 0 , T ) . Całki po prawej stronie równości (51), (52) rozumiemy w tym samym sensie co całkę we wzorze (19), na podstawie tegoż wzoru mamy: X ( P , t ) = Х х{Рх, t) = 0.

Odejmując od całek I a ( P, t ) i I a 1(P1,t) odpowiednio: X ( P , t ) i X 1(P1,t), możemy napisać

t

T W{P, t) = j f (P, r) [ / / w «;'(P , t ; Q, T)dQ] dr =

to 8W

T

t

= f ( p( P, r )f f f r ( P, t ; Q, r)dQ\dt,

<0 cJV

(53)

Własności pochodnych- stycznościowych 205

(64)

(Pu t) = / <p{Pu T) [ / / wУ (Pnt'iQi *)dQ\ dr

gdzie

Funkcje r i rx są analogiczne do funkcji podcałkowej w całce (20) i ma­

ją oceny typu (28), o słabych osobliwościach.

Aby ocenić moduł różnicy całek (53), (54), rozważmy (n—l)-wymia- rowy walec obrotowy o osi nPl i promieniu 2|PPxj, położony w płasz­

czyźnie t = const i oznaczmy przez 8f 1 część wyciętą z powierzchni 8t przez rzut tego walca na płaszczyznę т = const, przez Sf sumę teorio- -mnogościową (p. str. 201), przez az zaś zbiór wszystkich Sf dła t0 <

< t. Całki (53), (54) rozkładamy na sumę

całek rozciągniętych na ar oraz uzupełnienie as do aw i aWl.

Korzystając z oceny (28), otrzymujemy następujące nierówności (55) |V

(P, <)| < const M9\PPX\**\ ^ ( Р г , t)| < const ^ I P P ^ i , gdzie x1 = m in(h, и); в jest dowolną stałą dodatnią mniejszą od jedności.

Moduł różnicy całek rozciągniętych na (aw — crz) i (aWl — aE) ma ocenę

I°W(P, t) = 1°E (P, t) + ~rW^ E (P , t ),

? ' Г\Рг, t) = (Pt , t ) + r Wl~"2: (Plt t)

(66) \Г ( P , t ) - r 1- ( P „ l ) | <

t

/ 0 ( P , r) — <p{plt

)] f f f r ( P , t ; Q , T)dQ] dr 1 +

tn cW

t

+ |J<р{Рг, r) | JJ [r ( P , t ‘, Q, r ) r1(P1, tj Q, т)]й^| drj +

r

gdzie oznacza zbiór (symbole u, \ , n

rozumiane są w sensie teoriomnogościowym). Oznaczmy całki wystę-

pujące po prawej stronie powyższej nierówności kolejno przez Z1, Z 21Zz.

W oparciu o nierówności (6), (7) i (28) otrzymujemy:

(57) \ZX\ < const JtylPP^v,

(58) \Z3\ < const MJPPJ*.

Całka Z z jest najtrudniejsza do oceny; przedstawiamy ją w postaci sumy trzech składników, które oznaczymy kolejno przez Y 1? Y 2, Y 3:

t

(59) 2 , = / # , , . ) JJ

- т е ; т( А , t; Q, r ) ~ w ^ r(P1, t ; Q\ r)y(Q)]}dQdr-\-

/ ( P ^ t)

J f

X [ój— cos(:ra, % )]d^dr + sP -sf 0-1

f<p(Pu*) JJ J^|>£e1,T(P1}<; #1» * ) /( ( ? ) —

— (?' » T)y(Q)]cos(a?a,

gdzie у(ф) = cos(w0 , wP), y'(Q) = cos(nQ, %> ), ф' i Q'x oznaczają to samo co we wzorach (51), (52), dl jest symbolem Kroneckera.

Aby ocenić całkę Y 1? korzystamy z twierdzenia o przyrostach i po wykonaniu rachunków ([1], str. 183) oraz uwzględnieniu nierówności (25) i drugiej z nierówności (45) otrzymujemy:

' ' r g\PQ'\2

W l < const ,¥ ,1 ^ 1 / ((_т)-”'2- 2| J J ^{e x p [ -}

8 * 8 ? 4 ( t - r )

X

[(|PQ|Л+4 + \PQ

(ż — r)_ 1 + \PQ\h+2\PQ\x+2 + ]PQ!4(t —

)*“ 1 + +|ра12( * - т п < г е } л , skąd wynika ocena

ly >l < const ^ I P P . l J - ^ r J J Щ' i I * ~ * r w

u Щ -nt

in+2—2/1—

< c o n stlfJ P P 1|2/,- 2+"i

(/u jest dowolną stałą dodatnią mniejszą od jedności), którą można napi­

sać w postaci •

(60) | Y x| < const M ^ P P ^ i ,

Własności pochodnych stycznościowych 207

gdzie в jest dowolną stałą z przedziału (0 ,1 ), щ oznacza to samo co w nierówności (55).

Całkę Y 2 ocenia się w oparciu o nierówności (43) oraz nierówność

\wXa(Pi,t-,Q, r)\ < const (t- т ) - 7112- 1 exp [ “

(a — 1, ..., n), wynikającą natychmiast z relacji (11). Mamy miano­

wicie

(61) |Y2| < const

(hs jest wykładnikiem z warunku (30), в — jak w ocenie (60)). Całkę Y3 (p. wzór (59)) przedstawiamy w postaci sumy Y 3 = Y3+ Y 3, gdzie Y3 i Y3 są całkami zawierającymi odpowiednio: cos(^1, ^ ) i cos(a?a, ^ ) dla a = 2, ..., n. Drugą z nich oceniamy w oparciu o nierówności (43), iden­

tycznie jak całkę Y 2. Mianowicie mamy:

(62) . |Y3| < const Ж ^ Р Р ^ Ч

Funkcję podcałkową całki Y3 oceniamy w oparciu o twierdzenie o przyrostach, założenia 1°, 3° oraz nierówności

\Q'Q[\ < constI P P ^ f lP i& l- H -r ) ,

\P\Q'\ < const(\PiQ[\-\-t— r) {QeST / — S*) i otrzymujemy:

|Y3| < const MylPPtf* J ( ^{t - r r} nl2~ 2 ^{g\PiQ [n} m - t ) J |Pi^!3+

+ exp — Г g \ P M 2]

|Pi(K l(*-'0 + exp - Г ^ Р г О Г ]

L 4(<— r) J I PiQ'\3+

+ exp [ ~ 4 (*-r) J ^{g\PiQ'n P\Q} I (^

skąd wynika nierówność

|Y3| < const M v | P P X\* log |PPX|, prowadząca do oceny

(63) | Y3| < const Mę IPPil^

(их = min(7i, к), 6 jest dowolną stałą dodatnią mniejszą od jedności).

Z nierówności (50), (55), (57), (58), (59)-(62) wynika, że różnica całek I ax (p. wzory (35), (36)) ma ocenę

(64) ^\i-\p, o -rV i,oi < (2Mę+ m rw p i\\

gdzie hy = m in(7^, 6h, 6x, 6hs), в oznacza to samo, co w ocenach po­

przednich (p. (63)), A i В — stałe tego typn, co stałe w nierówności (50).

Łącząc oceny (33), (34), (47), (64) otrzymujemy tezę twierdzenia 2.

Twierdzenie 2 jest prawdziwe dla punktów P i P x położonych na tej samej powierzchni 8t. Można je uogólnić na przypadek, gdy punkty te leżą na dowolnych przekrojach St i

^ pobocznicy aT (p. str. 193).

T

3. Jeżeli spełnione są założenia l ° - 5 ° , zaś kąt ( sP, sPl ) między kierunkami pola kierunków stycznych w punktach (P , t ) i ( Px, tx) powierzchni aT czyni zadość nierówności

(65) (sP, sp,) < (M IP P ^ H - \ 1 - ф ) ,

gdzie 0 < hs < 1, C

jest pewną stałą dodatnią, to zachodzi warunek Hóldera (66) i f / . p t P ^ - ^ p / p ^ y i < ( А д ^ + р ^ ) ( | Р Р / * + | * - < 1Г ') , gdzie wykładnik hę określony jest wzorem (32), równością

(67) и* = min(7&, 2Л'; §и, \hs),

A i В są pewnymi stałymi dodatnimi niezależnymi od funkcji <p, в — do­

wolną stałą dodatnią mniejszą od jedności.

D o w ó d . M ech P będzie punktem przebicia powierzchni

tl przez rzut normalnej nP na płaszczyznę tx = const. Oczywiście zachodzi nie­

równość

(68) \и8р ( Р , 1 ) - и 8р1(Рг,Ь)\ <

^ Wsp{P > h) — UsPi(Pi A)l + I Usp(P > t)— UsP{P > 0)1 +

+1 u Sp( P , t)— u Sp{P

'Ol i gdzie sP jest kierunkiem stycznym w punkcie P do powierzchni

t.

Oznaczymy składniki prawej strony tej nierówności kolejno przez B x, B 2, P z. Składnik R x może być na podstawie twierdzenia 2 oceniony na­

stępująco:

Bi < ( А М у + В к ^ Р Р ф co z uwagi na nierówność

(69) \PP\ < const \tx — t\

(p. nierówność (24)) daje następnie ocenę

(70) Д, < ( A ' M v + B ' k J d P P / r + ^ - t f v ) ,

Własności pochodnych stycznościowych 209

gdzie wykładnik hę określony jest równością (32), A' i B' — pewne stałe, jak w nierówności (31). Drugi składnik po prawej stronie nierówności (68) jest modułem różnicy pochodnych stycznościowych w dwóch punktach (P , t) i (P , tt) położonych na powierzchni St x (0, T) walcowej względem osi t. W oparciu o twierdzenie 3 pracy [1], mutatis mutandis, otrzymu­

jemy ocenę

gdzie и* = min(й, 3x, \hę , 2ti), в — dowolna stała dodatnia mniejsza od .jedności, A " , B " — stałe typu A', B'. Ocenę składnika P 3 wyraża

L

. Przy założeniach twierdzenia 3 zachodzi nierówność

gdzie i 6 oznaczają to samo co w nierówności (71), A " ' i B "' są pewnymi stałymi dodatnimi mniejszymi od jedności.

Dowód lematu przeprowadza się, z niewielkimi modyfikacjami, ana­

logicznie do dowodu twierdzenia 2. Wszystkie oceny zawierają czynnik

|PP| w odpowiednich potęgach, co — wobec nierówności (69) — prowadzi do pojawienia się modułu różnicy — t).

Łącząc nierówności (70), (71), (72) otrzymujemy tezę (66) twier­

dzenia 3.

U w aga. Jeżeli zachodzi nierówność (73) \ < mm{h, к , 2ti, hs),

to wybierając stałe в i в' (p. wzór (32)) dostatecznie blisko jedności mamy

\ = hv, wobec czego pochodne stycznościowe spełniają warunek Hóldera

z wykładnikiem tym samym, co wykładnik w warunku (7).

Wynik powyższy ma znaczenie podstawowe przy rozwiązywaniu za­

gadnień brzegowych. Jedno z takich zagadnień sformułujemy obecnie i rozwiążemy stosując metodę punktu stałego opartą na twierdzeniu J. Schaudera.

4. Zagadnienie stycznościowe w obszarze niewalcowym. Zagad­

nienie stycznościowe dla prawie-liniowego równania parabolicznego

w obszarze walcowym postawił i rozwiązał (metodą punktu stałego) W. Pogorzelski [4]. Rozwiążemy problem analogiczny w przypadku, gdy warunek brzegowy zadany jest na pobocznicy aT obszaru niewalco- wego DT.

(71) в 2 < ( A ' X + £ ' 4 ) l * i - * l ł0,%

(72)

(75)

Prace Matematyczne V III, 2 14

Określamy na pobocznicy aT m pól kierunków stycznych {Sp}, . .. , {Sp}

(1 < m < n —1), przyporządkowując każdemu punktowi (P , t ) tej po­

wierzchni m kierunków stycznych w tym punkcie do powierzchni St.

Utrzymujemy w mocy założenia l° -5 ° (p. str. 194) oraz przyjmujemy, że spełniona jest nierówność (65).

Poszukujemy funkcji u { A, t ) spełniającej równanie (75) w każdym punkcie obszaru DT i czyniącej zadość warunkowi początkowemu zero­

wemu oraz dla t > 0 nieliniowemu warunkowi brzegowemu du

( ' 6) Hi p du gdzie 1

+ g ( P , t ) u ( P , t ) = G [ P , t , u ( P , t ) , u sii( P, t ) , . .. , usm(P,t)],

oznacza pochodną transwersalną ([6], str. 128), funkcja .., um) jest określona i ciągła na zbiorze domkniętym

(■P,t)e<7T, \ua\ ^ B

(a = 0, . .. , щ R — pewna stała dodatnia) i spełnia nierówność (77) \G(P, t, u0, . . . , u m) — G( P' , t , щ , ..., um)\ <

m

^ \h&Jr \Щ—Ф + % \ и а- и а\) a = l

(0 < hG < 1, 0 < Ъ'а < 1, kG — pewna stała dodatnia) oraz równość (78) G (P , 0, u0, . .. , um) — 0,

funkcja g( P, t ) jest określona i ciągła na aT i spełnia nierówność (79) \ g ( P , t ) - g ( P 1,t)\ < к д \РРх\n°

(0 < hg < 1, kg — pewna stała dodatnia). Dla funkcji F ( A , t , u 0, . .. , un) w równaniu (75), określonej i ciągłej na zbiorze domkniętym

( A , t) e Dp , \ua\ R (a = 0, . .. , n), przyjmujemy warunek

(80) \F(A, t , U

, . . . , un) i (A , t , U

, . .. , un)| ^

n

< kF \AA |hF~\~kF ^ \ua— ua\hF,

a = 0

gdzie 0 < JiF < 1, 0 < JiF < 1, fcp i &p — pewne stałe dodatnie.

Własności pochodnych stycznościowych 211

Rozwiązania postawionego zagadnienia poszukujemy w postaci sumy potencjałów warstwy pojedynczej i ładunku przestrzennego:

t

(81) U { A , t ) = J Jfr(A, t; Q, r)<p(Q, r)dQdr +

o -sl

+ / / / / т) 1 ' 11 Гб , t, u { B , t) , ał i ,

0

L

du du

d£r, dB dr, gdzie <p(Q,r) jest funkcją nieznaną, F\[ ] = — (2]/к)~пР [ ]. Będziemy się opierali na twierdzeniach dotyczących własności wymienionych poten­

cjałów, a mianowicie na twierdzeniach 1, 2, 3, 4 pracy [6], twierdzeniu 5 pracy [3], twierdzeniu 8 pracy [2], twierdzeniu o różniczkowalności poten­

cjału warstwy pojedynczej pracy [7] oraz twierdzeniu 3 niniejszej pracy.

Funkcja (81) spełnia oczywiście zerowy warunek początkowy. Żą­

dając, by spełniała ona również warunek brzegowy (76), otrzymujemy układ dwóch równań różniczkowo-całkowych o dwóch niewiadomych funkcjach u ( A , t ) i cp(P,t) ([4], str. 26), który sprowadza się do układu (w+ 2 ) równań całkowych mocno-osobliwych

(82) ua(A, t) f f f Га(А, t; Q, r)<p(Q, r)dQdrA

+ / J f f Ba( A, t; B, r ) F

[B,

u

(B, r), ..., un(B, r)]dBdx

o o..

(gdzie Г0( ) = Г ( ), Га( ) = i \ ( ) dla a = 1, ..., w), (21/тг)п

(83)

2ł/ det aafi( P , t)

+ g ( P , t ) r ( P , t ; Q ,

)|

[Б ,

, u

(B, r), ..., un(B, r)]dBdr.

Udowodnimy istnienie rozwiązania tego układu w oparciu o twierdzenie J. Schaudera o punkcie stałym operacji ([8]): „Jeżeli operacja ciągła prze­

kształca zbiór domknięty i wypukły przestrzeni Banacha w jego pod­

zbiór zwarty, to istnieje punkt stały tej operacji^.

Rozważmy przestrzeń funkcyjną A złożoną z wszystkich układów Oo ) t)} • • • i ^n {A , ł ), cp (P , £)]

funkcji rzeczywistych ciągłych, określonych na zbiorach domkniętych

odpowiednio: DT i oT. Sumę elementów tej przestrzeni oraz iloczyn ele-

mentu przez liczbę rzeczywistą określamy jak zwykle ([4], str. 28), normę elementu U[u0( A , t), . .. , un( A , t), 99 (P, /)] przy pomocy wzoru

ЦЩ = J^sup|Me(^M)| + sup|9!>(P,<)|,

a=0 _Dy aT

odległość — wzorem

Q(V, У) = W - V W - Przestrzeń A jest przestrzenią Banacha.

Bozważmy w przestrzeni Л zbiór E złożony z wszystkich elementów

U [ u 0, . . . , un, 99]

spełniających warunki

(84)

\ua(A,t)\ (a = 0 ,1 , 2, n), I

<

» 0) = 0,

\V( p , t ) - f ( p 1,t)\ ^ h j p p t f ' ,

gdzie R jest stałą występującą w warunkach dla funkcji F i G, o i k(p ~ dowolnymi ustalonymi Uczbami dodatnimi, hv — stałą ustaloną dowolnie przy zachowaniu warunków

(85) o < К < m in(/^, ha),

< mm(h, и, 2 hs, tiQ), Zbiór ten jest domknięty i wypukły.

Poddając zbiór E przekształceniu przy pomocy operacji (82), (83), otrzymujemy pewien zbiór E'; okazuje się ([4], str. 32), że jest on pod­

zbiorem zbioru E, jeżeli stałe zagadnienia spełniają układ nierówności

(

86

c ^ - ^ M p + C z T ^ e < R, C

Т1~^Мр + c4£ + c5T^^lc < R, (1 i)Ka _{1 — [Л} sup|0|| < s,

c7 {? + съ^а [

*

+ <*2(M F-\- o)hG-\- abMF-\- @ + abk^\ ^ Tcę ,

gdzie 91 — jądro rozwiązujące pewnego równania całkowego Yolterry, t

Kgt = sup J f f \9 l( P, P, Q, r )\d Qdr , K a = sup[(2 ł/u ) - Ml/det|a^(P,/)|],

ay 0 ST aT

MF = sup|P|, fi, — pewna ustalona liczba z przedziału (0 ,1 ), сг, ..., c6, Dy

ll) • • • » ^5 as — pewne stałe dodatnie.

Powyższy układ nierówności jest spełniony albo dla dostatecznie

małych wartości T i TcG, bez ograniczeń na pozostałe parametry wystę­

Własności pochodnych stycznościowych 2 1 3

pujące w rozważanym zagadnieniu, albo też dla dostatecznie małych MF, sup|ćr| i Jc0 , przy dowolnych parametrach pozostałych.

Postępując analogicznie jak w pracy [4] (str. 32-34) można wy­

kazać, że zbiór E' jest zwarty, a przekształcenie zbioru E na zbiór E' — ciągłe w przestrzeni A. Wszystkie warunki stosowalności twierdzenia Schaudera są więc spełnione.

W oparciu o to twierdzenie oraz wymienione na stronicy 211 twier­

dzenia o własnościach potencjałów warstwy pojedynczej i ładunku prze­

strzennego wnioskujemy, że jeżeli spełnione są założenia l°-5 ° (str. 194), (65), (77)-(80) i warunki (85), (86), to istnieje taka funkcja u ( A , t ) po­

staci (81), która jest rozwiązaniem postawionego zagadnienia granicznego.

Praca powyższa przyjęta została przez Wydział M. E. i L. Politech­

niki Warszawskiej jako praca doktorska. Za podanie tematu i troskliwą opiekę wyrażam gorącą wdzięczność Promotorowi memu, Prof. Drowi W. Pogorzelskiemu.

Prace cytowane

[1] W . P o g o r z e ls k i, Proprietes des derivees tangentielles d’une integrate de Vequation parabolique, Ricerche Mat. 6 (1957), str. 162-194.

[2] — Etude de la solution fondamentale de Vequation parabolique, Ricerche Mat. 5 (1956), str. 25 -5 7 .

[3] — Proprietes des integrates de Vequation parabolique normale, Ann. Polon.

Math. 4 (1957), str. 6 1 -9 2 .

[4] — Probleme aux limites aux derivees tangentielles pour Vequation parabo­

lique, Annales Socientifiques de L ’ Ecole Normale Superieure, L X X V (1958), str.

19-35.

[5] M. K r z y ż a ń s k i , Równania różniczkowe cząstkowe, część I , Warszawa 1957.

[6] . A . P is k o r e k , Proprietes d’une integrate de Vequation parabolique dans un domains non cylindrique, Ann. Polon. Math. 8 (1960), str. 125-137.

• [7] — Derivation d'une integrate de Vequation parabolique dans un domains non cylindrique, Ann. Polon. Math. 14 (1963), str. 1 3 -2 8 .

[8] J. S c h a u d e r , Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen, Studia Math. 2 (1930), str. 171-180.

А. Божымовски (Варшава)

СВОЙСТВА К А С А Т Е Л Ь Н Ы Х П Р О И З В О Д Н Ы Х Д Л Я Н ЕК О ТО РО ГО РЕШ Е Н И Я П А Р А Б О Л И Ч Е С К О ГО У Р А В Н Е Н И Я В О Б Л А С Т Я Х

НЕ Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К И Х , И И Х П Р И М Е Н Е Н И Е РЕЗЮ М Е

Работа состоит из двух частей. В первой из них, автор рассматривает линей­

ное параболическое уравнение (1), в ограниченной нецилиндрической области Н у точек (A , t) = ( x i ,...,x n,t) и его решение (2), которое называется потенциалом

простого слоя. Этот потенциал является определенным на боковой поверхности оТ

области#? •

Автор предполагает, что поверхность от удовлетворяет условиям Ляпунова, плотность <р (Q, т) является определённой на от и удовлетворяет условию Гель- дера, по всем аргументам, кроме t. Затем он исследует производные потенциала по касательному направлению: USp(A,t) и доказывает, что:

1. lim USp(A,t) = Usp(P, t), где TJSp{A,t) имеет смысл интеграла главного

А- >Р г г х-

значения.

2. Если касательные направления удовлетворяют условию (65), то:

I Usp(P ,t)— USPi (P1 t1)\ < ( А В к р ) ( \ Р Рх\^ф V \t— tx\) ^ x* ,

где Мф = sup|ę>|, kę — коэффициент Гель дера для <p(Q,r), А и В — постоянные, независимые от <р, hę и определённые через (32), (67).

В другой части работы автор рассматривает уравнение:

P [ U ] = F t, и ди ди

’ дхх ’ ’ дхщ

F удовлетворяет условию Гельдера, и доказывает, применяя теорему Шаудера, что существует решение выполняющее условия:

1ппад(М, <) = О, о

+ g { P , t ) u { P , t ) = G [ P , t, и ( Р, t) , us^ { P , t) , . . . , usm{P, t)]

( g и G — удовлетворяют условию Гельдера).

A . Bo r z y m o w s k i (Warszawa)

P R O P E R T IE S OF T A N G E N T IA L D E R IV A T IV E S OF A C E R T A IN SO LU T IO N OF A P A R A B O L IC E Q U A T IO N IN A N O N -C Y L IN D R IC A L D O M A IN A N D

T H E IR A P P L IC A T IO N S U M M A R Y

The author considers the linear parabolic equation (1) in a finite, non-eylind- rical region D ? of the points ( A , t ) = (aq, . . . , x n ,t) and its solution (2), given on the lateral surface от of Dt and called the potential of simple layer.

Assuming that 1. aap satisfy Holder’s condition with respect to all the argu­

ments and so do ba and e with respect to all the arguments except t, 2. от satisfies Liapunoff’s conditions and ę { Q , r ) is given on от and satisfies Holder’s condition with respect to all the arguments except t, the author studies derivatives USp( A , t ) of the potential in the directions tangent to от and proves th a t:

1. lim TJSp { A , t ) = USp( P, t ) , where Реот, U8p{ P, t ) is the integral under-

A^p

stood in the sense of Cauchy.

Własności pochodnych stycznościowych 215

2. If the tangent directions satisfy the condition (65), then

I USp (P , t ) ~ USp (Px, t)\ < (A M v + BTc„) (|PPj\4 + It - txI )ł0«

where Ж^, — sup|ę>|, hę — Holder’s coefficient, A and В are positive constants de-

aT ~

pending only on от, hv and и* are given by the formulae (32), (67).

In the last part of the paper, the author considers the semi-linear equation (75) and, applying Schauder’s theorem, proves the existence of a solution satisfying the initial condition

И т м ( 4 , t) = 0

<-» о

and the boundary condition du

— — b g ( P , t ) u ( P , t ) = G [ P , t , u { P , t ) , us\,{P, t), . . . , u sf ( P , «)]

where G and g are given and satisfy Holder’s condition.