Rachunek Prawdopodobieństwa MAT1332
Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Przykłady 9. Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkład warunkowy.
Mieszanina rozkładów.
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
Przykłady 9.1 : warunkowa wartość oczekiwana, rozkład warunkowy
(a) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym E|X| < ∞, E|Y | < ∞ i E|XY | < ∞. Wyznacz E(X + Y |Y ) i E(XY |Y ).
• E(X + Y |Y ) = E(X + y|Y )|y=Y = E(X + y)|y=Y = (EX + y)|y=Y = EX + Y z prawd. 1 (m(y) = y + EX)
• E(XY |Y ) = E(Xy|Y )|y=Y = yE(X|Y )|y=Y = yEX|y=Y = Y EX z prawd. 1 (m(y) = EX · y)
(b) Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład łączny:
xn −2 0 1 r.brzeg.
yk Y
0 0.1 0 0.2 0.3
2 0.2 0.2 0.3 0.7
r.brzeg.X 0.3 0.2 0.7 P= 1
Wyznacz rozkład warunkowy X pod warunkiem Y i warunkową wartość oczekiwaną E(X|Y ).
• Dla yk= 0:
P (X = −2|Y = 0) = P (X = −2, Y = 0) P (Y = 0) = 0.1
0.3 = 1 3. Podobnie P (X = 0|Y = 0) = 0, P (X = 1|Y = 0) = 2
3. Mamy zatem dla yk = 0: xn −2 0 1
pnk/p·k 1/3 0 2/3 Stąd E(X|Y = 0) = (−2) · 1
3 + 0 · 0 + 1 ·2 3 = 0.
• Dla yk= 2:
P (X = −2|Y = 2) = 2
7, P (X = 0|Y = 2) = 2
7, P (X = 1|Y = 2) = 3 7. Mamy zatem dla yk = 2: xn −2 0 1
pnk/p·k 2/7 2/7 3/7 Stąd E(X|Y = 2) = −1
7.
• Podsumowując E(X|Y ) = −1
7112(Y ).
(c) Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gęstości fX,Y(x, y) =
( 2(x + y) dla 0 ¬ x ¬ y, 0 ¬ y ¬ 1,
0 poza tym
Wyznacz rozkład warunkowy X pod warunkiem Y i warunkową wartość oczekiwaną E(X|Y ).
• Y ma rozkład brzegowy o gęstości:
fY(y) =
∞
Z
−∞
fX,Y(x, y)dx =
y
Z
0
2(x + y)dy = 3y2 dla 0 < y ¬ 1,
0 dla pozostałych y.
• Gęstość warunkowa rozkładu X pod warunkiem Y ma postać:
f (x|y) = fX,Y(x, y) fY(y) =
2(x + y)
3y2 dla 0 ¬ x ¬ y, 0 dla pozostalych x, gdzie 0 < y ¬ 1 (są to wartości istotnie przyjmowane przez Y ).
• E(X|Y = y) =
∞
Z
−∞
xf (x|y)dx =
y
Z
0
x2(x + y)
3y2 dx = 5
9y dla 0 < y ¬ 1.
• Zatem E(X|Y ) = 5 9Y.
(d) Czas pracy T urządzenia ma rozkład wykładniczy E xp(λ = 1). Koszt użytkowania urządzenia, które uległo awarii w chwili t, ma rozkład jednostajny U (1, 3−e−t). Jaka jest wartość oczekiwana kosztów K użytkowania urządzenia? Znajdź rozkład K.
• Rozkład brzegowy zmiennej losowej T to rozkład wykładniczy Exp(λ = 1). Jego gęstość to fT(t) =
( 0 dla t ¬ 0, e−t dla t > 0.
• Rozkład warunkowy zmiennej losowej K pod warunkiem T = t to rozkład jednostajny U (a = 1, b = 3 − e−t).
• Stąd E(K|T = t) = a + b
2 = 1 + 3 − e−t
2 = 2 − 1 2e−t.
• Zatem EK = E(E(K|T )) = E
2 − 1 2e−T
= 2 − 1 2
∞
Z
−∞
e−tfT(t)dt = 2 − 1 2
∞
Z
0
e−2tdt =
= 2 + 1 2 ·e−2t
2
∞
0
= 7 4.
• Otrzymaliśmy EK = 7 4.
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
• Rozkład warunkowy zmiennej losowej K pod warunkiem T = t 0 jako rozkład jedno- stajny U (a = 1, b = 3 − e−t) ma gęstość warunkową
f (k|t) =
1
2 − e−t dla 1 ¬ k ¬ 3 − e−t,
0 poza tym.
• Stąd gęstość łączna wektora losowego (K, T ) to
fK,T(k, t) = f (k|t)fT(t) =
e−t
2 − e−t dla 1 ¬ k ¬ 3 − e−t, t 0
0 poza tym.
=
=
e−t
2 − e−t dla 1 ¬ k ¬ 2
t 0 lub 2 ¬ k < 3 t − ln(3 − k)
0 poza tym.
• fK(k) =
∞
Z
−∞
fK,T(k, t)dt =
∞
Z
0
e−t
2 − e−tdt dla 1 ¬ k ¬ 2,
∞
Z
− ln(3−k)
e−t
2 − e−tdt dla 2 ¬ k < 3,
0 poza tym.
• Obliczenia pomocnicze:
Z e−t
2 − e−tdt =
"
2 − e−t = y e−tdt = dy
#
=
Z dy
y = ln |2 − e−t|
• Zatem fK(k) =
ln 2 dla 1 ¬ k ¬ 2,
ln 2 − ln(k − 1) dla 2 ¬ k < 3,
0 poza tym.
(e) Niech S = PN
k=1
Xk, gdzie Xk ma rozkład wykładniczy E xp(λ), λ > 0, a N ma rozkład ujemny dwumianowy N B(m, p), m ∈ N, 0 < p < 1. Wylicz ES oraz znajdź rozkład S.
• EX1 = 1
λ oraz EN = m p. Zatem ES = EN · EX1 = m
p · 1 λ = m
pλ
• Mamy też ϕX(t) =
1 −it λ
−1
oraz gN(z) = pz 1 − (1 − p)z
!m
. Zatem
ϕS(t) = gN(ϕX(t)) =
p
1 − it λ
−1
1 − (1 − p)
1 −it λ
−1
m
= 1 − it pλ
!−m
.
Przykłady 9.2 : mieszanina rozkładów, rozkłady mieszane
(a) Do systemu obsługi zgłasza się 10% klientów uprzywilejowanych i 90% nieuprzywilejowanych.
Rozkład czasu (w minutach) obsługi klienta uprzywilejowanego jest wykładniczy E xp(0.5), a klienta nieuprzywilejowanego - E xp(0.1). Jaki jest rozkład czasu obsługi klienta wybranego losowego? Jaki jest jego średni czas obsługi?
• Czas obsługi klienta oznaczmy przez Z, klienta uprzywilejowanego przez Y1, klienta nie- uprzywilejowanego przez Y2.
• Y1 ma rozkład E xp(0.5) o dystrybuancie F1(z) =
( 0 dla z ¬ 0,
1 − e−0.5z dla z > 0.
• Y2 ma rozkład E xp(0.1) o dystrybuancie F2(z) =
( 0 dla z ¬ 0,
1 − e−0.1z dla z > 0.
• Z = YN, gdzie P (N = 1) = p1 = 0.1, P (N = 2) = p2 = 0.9, N niezależna od Y1 i Y2.
• Zatem Z ma rozkład, który jest mieszaniną rozkładów wykładniczych Exp(0.5) i Exp(0.1) o udziałach odpowiednio p1 = 0.1 i p2 = 0.9.
• Dystrybuanta tego rozkładu ma postać FZ(z) = p1F1(z) + p2F2(z) =
( 0 dla z ¬ 0,
1 − 0.1e−0.5z− 0.9e−0.1z dla z > 0.
• Jest to rozkład ciągły o gęstości fZ(z) =
( 0 dla z ¬ 0,
0.05e−0.5z+ 0.09e−0.1z dla z > 0.
• Średni czas obsługi to
EZ = 0.1EY1+ 0.9EY2 = 0.1 · 2 + 0.9 · 10 = 9.2.
Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
(b) Niech X ma rozkład ciągły o gęstości f (x) =
x dla 0 ¬ x ¬ 1, 2 − x dla 1 < x ¬ 2,
0 poza tym.
Definiujemy Y =
( 0, gdy X ¬ 1, X − 1, gdy X > 1.
Zbadaj rozkład Y .
• P (Y = 0) = P (X ¬ 1) =R1
0
xdx = 0.5.
Stąd rozkład Y nie jest ciągły ani osobliwy.
• Dystrybuanta ma postać:
FY(y) = P (Y < y) =
( 0 dla y ¬ 0,
P (X < y + 1) dla y > 0; =
=
0 dla y ¬ 0,
R1 0
xdx +
y+1
R
1
(2 − x)dx dla 0 < y ¬ 1,
1 dla y > 1.
=
=
0 dla y ¬ 0,
0.5 + 0.5y(2 − y) dla 0 < y ¬ 1,
1 dla y > 1.
• Dystrybuanta nie jest funkcją schodkową, więc rozkład Y nie jest dyskretny.
• Z powyższych analiz wynika, że Y ma rozkład mieszany.
• Dokładniej mówiąc:
FY(y) = 0.5Fd(y) + 0.5Fc(y), gdzie
Fd(y) =
( 0 dla y ¬ 0, 1 dla y > 0
to dystrybuanta zmiennej losowej Y1 o rozkładzie dyskretnym, takiej że P (Y1 = 0) = 1;
natomiast
Fc(y) =
0 dla y ¬ 0,
y(2 − y) dla 0 < y ¬ 1, 1 dla y > 1
(
