PG – Katedra Systemów Mikroelektronicznych ZASTOSOWANIE PROCESORÓW SYGNAŁOWYCH Marek Wroński

Wykład 6: Dyskretna Transformata Fouriera, FFT i Algorytm Goertzela

PG – Katedra Systemów Mikroelektronicznych

ZASTOSOWANIE PROCESORÓW SYGNAŁOWYCH

Marek Wroński

Zastosowania DFT (zawartość harmonicznych ciągów)

Szereg Fouriera (pochodzenie DFT to ciągłe

przekształcenie Fouriera )

Postać zespolona

Postać czasowa zespolonego szeregu Fouriera

Przekształcenie Fouriera

Dyskretna postać transformaty Fouriera: DFT i IDFT

Szybka transformata Fouriera - FFT

4 punktowa FFT (podział czasowy)

8 punktowa FFT

8 punktowa FFT (podział częstotliwościowy)

Wady obliczania FFT

 prowadzi do obliczenia wszystkich próbek transformaty DFT, podczas gdy czasem potrzebny jest jedynie niewielki ich podzbiór, np. te próbki, które odpowiadają częstotliwościom DTMF i ewentua1nie ich drugim harmonicznym[1]; algorytmy FFT mają więc w tym zastosowaniu nadmierną złożoność obliczeniową,

 wymaga zgromadzenia pełnego bloku N próbek przed rozpoczęciem transformacji sygnału, co uniemożliwia realizację

algorytmu analizy sygnału on line, tzn.

próbka po próbce.

• wymaga wyznaczania lub pamiętania

wartości współczynników W

:

FFT dla sygnałów rzeczywistych

Widmo Fouriera X(k), k=0,1,2,...N-1, sygnału rzeczywistego x(n) jest symetryczne wzgl. k=N/2

Dwa N-punktowe sygnały rzeczywiste, jedno N -punktowe FFT

Tworzymy sygnał zespolony:

Odzyskujemy widma X

i X

:

N-punktowy sygnał rzeczywisty, N/2-punktowe FFT

Wg. podziału w dziedzinie czasu widmo X(k) może być odtworzone wg. widma X

(k) jego próbek parzystych i widma X

(k) jego próbek nieparzystych na podstawie wzoru:

Tworzymy:

Dwuwymiarowa DFT

Wyznaczenie DCT metodą FFT

Transformacja kosinusowa stosowana jest w standardach kompresji obrazów nieruchomych JPEG i ruchomych MPEG oraz w algorytmie kompresji dźwięku MPEG audio. Zdefiniowana jest poprzez równanie baz kosinusowych:

Sumując oddzielnie parzyste i nieparzyste próbki sygnału x(n) i oznaczając:

następnie łącząc połówki sum otrzymamy:

Algorytm Goertzela Korzystając z zależności:

można przez to pomnożyć

prawą stronę równania DFT co da

2

1

) / 2

(

 

kn



N

e e

W











0

)

)

( )

(

n

n N k

W

n x k

X

Wyrażenie to jest dyskretnym splotem ciągu x(n) o skończonej długości N i ciągu (W

)

, n= 1,2,...,N także o długości N próbek. Wprowadzając oznaczenie:

1 ,...,

1 , 0

, )

( )

(

0













 ^{x v W}

^{W k N}

n

y

v

k N

k

X(k)  y

(n)

Ciąg y

(n) może być traktowany jako odpowiedź układu (filtru cyfrowego) o odpowiedzi impulsowej (W

)

na pobudzenie ciągiem wejściowym x(n).

Próbka X(k) jest N-tą próbką ciągu wyjściowego, tzn. próbką o indeksie n=N-1.

Graf realizujący algorytm Goertzela

W celu zmniejszenia liczby mnożeń omawiany algorytm można przekształcić zgodnie ze wzorem:

2 1

1 2

1 1

1

1 2 cos( 2 / ) 1 2 cos( 2 / )

) 1

( )

1 ) (

(



























 











 



 

z z

N k

z W

z z

N k

z W

W z

W z W

H

k N k

N k

N k

N k N

k

 

Zalety algorytmu Goertzela

Aby zrealizować pętle sprzężenia zwrotnego tego układu, wystarczy wykonać tylko jedno mnożenie i dwa sumowania rzeczywiste. Ponieważ interesuje nas jedynie wyznaczenie próbki y

(N-1), więc mnożenie przez zespolony

współczynnik W

nie musi być wykonywane w każdym kroku, lecz jedynie w ostatnim (N-1) kroku. Tak więc obliczenia związane z realizacją pętli sprzężenia zwrotnego wymagają wykonania N -1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2(N-1) sumowań liczb rzeczywistych, a obliczenie y

(N -1) jest związane z 2

dodatkowymi mnożeniami oraz 1 sumowaniem liczb rzeczywistych. Łącznie

należy więc wykonać N+1 mnożeń liczb rzeczywistych oraz 2N-1 sumowań liczb

rzeczywistych.

Energia sygnału (kwadrat amplitudy prążka)

Wybór N alg. Goertzela dla DTMF

W celu unikania przecieków DFT jest pożądane aby częstotliwości wszystkich tonów

podlegających detekcji odpowiadały częstotliwością próbek DFT, tj. k(f

/N). Więc

Zagadnienie okna w DFT

Przeciek DFT i widmo fali sinusoidalnej dla niecałkowitej

liczby okresów w oknie

Odpowiedzi częstotliwościowe DFT dla pobudzenia sinusoidalnego

Wartości prążków:

(szerokość głównego f

/N) ( )

)]

( sin[

) 2

( k m

m k

m N

X 

 

 



Powielenia widmowe

Zwiększenie czułości wykrywania sygnałów

Okna wygładzające końcowe nieciągłości

Okienkowanie w dziedzinie częstotliwości

Zastosowanie okien Hanninga i Hamminga dla zredukowania przecieku widma FFT mb.

dokonane w dziedzinie częstotliwości po obliczeniu FFT dla danych nieokienkowanych.

DFT funkcji okna: (splot zamiast * w(n) N-punktową)

tj. superpozycja 3-ch funkcji

sin(x)/x w dziedzinie częstotliwości mających listki boczne o fazie przeciwnej niż środkowa (więc minimalizują jej listki boczne)

Minimalizacja tłumienia wprowadzanego przez okienkowanie

Okna nieprostokątne ograniczają poziomy próbek sygnału poddawanego FFT. Wartość maksymalna widma amplitudowego funkcji okna Hanninga jest równa połowie wartości otrzymanej dla okna prostokątnego,

ponieważ sygnał wejściowy jest tłumiony na początku i na końcu zakresu objętego oknem (tłumienie mocy 6 dB) Więc trudne jest wykrycie tam sygnału impulsowego dlatego można zastosować okno dualne do obliczeń 2 FFT, a następniewynikowe FFT są uśredniane. Ale może pojawić się zwiększony przeciek widma powodowany przez okno odwrotne ( nie gwarantuje równości 1-szej i ostatniej próbki ciągu poddawanego FFT).

Dużo lepsza jest metoda nakładających się (dobrych pojedyńczych) okien stosowanych wielokrotnie (np.. 4*) dla ciągu danych wejściowych, co daje oddzielne N-punktowe ciągi danych dla których wyznacza się FFT,

a ich wyniki zostają uśrednione. Zauważmy że próbki tłumione przez jedno okno są wzmacniane przez następne, a funkcja okna ogranicza przeciek do minimum (mb. różne funkcje okna i różne nakładanie, np.. 75% i 3 FFT dla każdej próbki co poprawia czułość ale zwiększa liczbę operacji).