Olga Kawa

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

Olga Kawa

KONTAKT MIĘDZY BELKAMI O PRZEKROJU KOŁOWYM

Z UWZGLĘDNIENIEM DEFORMACJI PRZEKROJU

Rozprawa doktorska

Promotor:

Dr hab. inż. Przemysław Litewka

Pracę poświęcam

moim kochanym Rodzicom

i Dzieciom

Spis treści

1. Wstęp / 5

1.1. Wprowadzenie / 5 1.2. Kontakt między belkami / 9

1.3. Cel i założenia przyjęte w pracy / 11

2. Kontakt miedzy belkami o przekroju kołowym z uwzględnieniem kontaktu Herza / 13

2.1. Kontakt z uwzględnieniem deformacji przez zmianę funkcji penetracji /13 2.1.1. Kontakt bez tarcia / 13

2.1.1.1. Założenia / 13

2.1.1.2. Funkcja penetracji / 14 2.1.1.3. Kontakt Hertza / 18

2.1.1.4. Sformułowanie słabe i zmienne kinematyczne / 23 2.1.1.5. Dyskretyzacja zmiennych kinematycznych / 25

2.1.1.6. Wektory reziduów i styczna macierz sztywności belkowego elementu kontaktowego / 28

2.1.1.7. Przykłady numeryczne / 29 2.1.2. Kontakt z tarciem / 42

2.1.2.1. Założenia / 42 2.1.2.2. Model tarcia / 43

2.1.2.3. Składniki sformułowania słabego / 45 2.1.2.4. Przykłady numeryczne / 46

3. Kontakt miedzy belkami z deformacją sprężystą wyrażoną prawem fizycznym / 63

3.1. Kontakt z uwzględnieniem deformacji wynikającej z uwzględnienia prawa fizycznego Hertza w miejscu kontaktu / 63

3.1.1. Założenia / 64

3.1.2. Funkcja penetracji / 64 3.1.3. Deformacja przekroju / 64

3.1.4. Sformułowanie słabe i zmienne kinematyczne / 66

3.1.5. Wektory reziduów i styczna macierz sztywności belkowego elemen- tu kontaktowego / 66

3.1.6. Przykłady numeryczne / 67

4. Weryfikacja numeryczna modeli / 79 4.1. Wprowadzenie / 79

4.2. Definicja modelu numerycznego / 79 4.3. Przykłady numeryczne / 83

5. Zakończenie / 102

5.1. Podsumowanie / 102 5.2. Wnioski końcowe / 103

5.3. Kierunki dalszych badań / 105 6. Bibliografia / 107

Rozdział 1

WSTĘP

1.1. Wprowadzenie

Kontakt między ciałami wraz ze wszystkimi zjawiskami, które jemu towarzy- szą jest przedmiotem badań naukowców od wielu lat. Pierwsze prace, które opisują zachowanie się ciał będących w kontakcie powstały już w XVII wieku. Tematem kontaktu między ciałami zajmował się między innymi francuski fizyk Guillaume Amontons, który jako pierwszy opisał zjawisko tarcia, a rozpowszechnił tę wiedzą Leonhard Euler.

W swojej pracy Euler (1750) zaproponował model tarcia, przedstawił formuły oraz eksperyment służący do określenia wielkości siły tarcia. Model ten rozszerzo- ny o zjawisko adhezji przez Charlesa Coulomba (1781), powszechnie używany do dnia dzisiejszego, znany jest jako model tarcia Coulomba.

Pierwsze prace na temat kontaktu między ciałami zostały wydane w XIX wieku, a ich autorem jest niemiecki fizyk Heinrich Hertz (Hertz 1882a, b). Opisano w nich zjawisko kontaktu między dwoma ciałami sprężystymi oraz podano formu- ły opisujące to zjawisko. Podane w pracach równania są nadal aktualne i wykorzy- stywane w mechanice. Obecnie nazywane są one klasycznymi równaniami Hertza lub krócej kontaktem Hertza. Te dwie prace Hertza dały początek nowej dziedzi- nie, nazwanej mechaniką kontaktu.

Rozwój mechaniki kontaktu związany jest z rozwojem nauki i techniki. Poja- wienie się nowych materiałów i struktur, rozwój przemysłu a później pojawienie się maszyn obliczeniowych sprawił, iż teoria kontaktu między ciałami była rozwi- jana i stała się obszarem zainteresowań wielu naukowców.

Na temat kontaktu między ciałami napisano w tym czasie wiele publikacji oraz książek. Za najważniejsze dla rozwoju mechaniki kontaktu uznaje się książki:

Galina (1953), Gladwella (1980) czy Johnsona (1985) oraz późniejsze Goryacheva (1998) i Maugisa (1999). Wszystkie opisują problem kontaktu między ciałami wraz z towarzyszącymi zjawiskami, takimi jak adhezja i tarcie. Zawierają równania opisujące zjawiska występujące w miejscu kontaktu, naprężenia i odkształcenia dla zakrzywionych powierzchni, które stykają się początkowo w punkcie lub wzdłuż linii. Obejmują także przypadki, dla których równania Herza nie mogą być użyte

np. przypadek kontaktu klina z półprzestrzenią sprężystą. We wszystkich można także znaleźć bardzo dobry przegląd literatury z tej dziedziny.

Spośród wydanych w ostatnich latach prac poświęconych tematyce szeroko pojętego kontaktu należy wyróżnić dwie monografie. Pierwszą z nich jest mono- grafia wydana przez Wriggersa (2002), która dotyczy komputerowej mechaniki kontaktu. Obejmuje, prócz ogólnych zagadnień kontaktu między ciałami, opis me- tod numerycznych wykorzystywanych w rozwiązywaniu zadań kontaktowych oraz obszerny rozdział dotyczący kontaktu między belkami, który stanowi przedmiot niniejszej rozprawy.

Drugą stanowi obszerna monografia Popova (2010), która w bardzo przystęp- ny i przejrzysty dla czytelnika sposób opisuje kontakt między ciałami. Praca ta obejmuje prócz zagadnień kontaktu między ciałami stałymi, także zagadnienia kontaktu ciała z cieczą czy przypadku występowania cieczy na powierzchni dwóch stykających się ciał. W pracy podjęto także problem chropowatości powierzchni, jej wpływu na kontakt między ciałami, problem kontaktu między toczącymi się tarczami (tzw. rolling contact), sprzężenia termicznego i wiele innych.

Na temat kontaktu między ciałami powstało także wiele prac, w których sku- piono się na matematycznym opisie kontaktu i problemowi istnienia jednoznacz- nego rozwiązania (np. Moreau 1974, Klarbring 1988, Pinto da Costa i Martins 2003, Pinto da Costa i Martins 2004), czy wykorzystujących programowanie ma- tematyczne przy analizie kontaktu (np. Klarbring 1986, Klarbring i Bjorkmann 1988).

Do najbardziej znanych należy monografia Luenbergera (1984), która zawiera obszerny opis matematycznych metod analizy kontaktu w odniesieniu do teorii optymalizacji.

Przypadający na ostatnie 50 lat niebywały rozwój technologii komputerowej pozwolił na wykorzystanie metod numerycznych i programowania matematyczne- go do rozwiązywania problemów mechaniki kontaktu. Powstała w tym czasie me- toda elementów skończonych (MES) jest narzędziem, które dominuje w zastoso- waniach inżynierskich. Pierwsze artykuły poświęcone metodzie elementów skoń- czonych w analizie zadań kontaktu ciał, które poddane zostały dużym przemiesz- czeniom zostały opublikowane między innymi przez: Curniera i Alarta (1988), Simo i Laursena (1992) oraz Wriggersa i Miete’a (1992).

W swojej pracy Curnier i Alart (1988) zaproponowali użycie metod nume- rycznych do rozwiązywania zadań kontaktu między ciałami z uwzględnieniem zjawiska tarcia. Zaproponowali oni połączenie dwóch metod numerycznych do rozwiązywania tego typu problemu: metody współczynnika kary, która wymuszała odpowiednie warunki kontaktu oraz metody Newtona, którą posłużyli się do roz- wiązania równań nieliniowych. Zaproponowany przez nich model okazał się po- prawny i skutecznie był stosowany w wielu późniejszych pracach dotyczących kontaktu.

Obszerne sformułowania oraz szczegółowe wyprowadzenia dla kontaktu z tarciem z wykorzystaniem metody elementów skończonych można znaleźć w pracy Laursena (1992). W pracy Simo i Laursena (1992) przedstawione zostały sformułowania kontaktu z tarciem Coulomba, do którego rozwiązania użyto meto- dy współczynników Lagrange’a, przedstawiając ją jako korzystniejszą, niż metoda współczynnika kary.

Spośród ponad dwudziestu publikacji Laursena dotyczących problemu kon- taktu z tarciem i wykorzystania MES, jedną z ważniejszych jest monografia Laur- sena (2002), w której w sposób bardzo przejrzysty i zwięzły opisano problemy mechaniki nieliniowej.

W pracy Wriggersa i Miete’a (1992) zastosowano natomiast metodę elemen- tów skończonych w odniesieniu do problemu kontaktu uwzględniającego sprzęże- nie mechaniczno-termiczne.

Kontakt między belkami (beam-to-beam contact) jest szczególnym przypad- kiem kontaktu między ciałami trójwymiarowymi. W ostatnich latach zaintereso- wanie tym tematem było stosunkowo duże i nadal stanowi obszar pracy wielu nau- kowców. Choć kontakt między belkami ma mniejszą liczbę zastosowań niż kontakt między innymi ciałami trójwymiarowymi, może on być bardzo skutecznie używa- ny w analizach ciał, w których jeden z wymiarów jest znacznie większy niż pozo- stałe. W takich przypadkach skończone elementy belkowe znakomicie nadają się do ich modelowania.

Sformułowania te mogą znaleźć zastosowanie w analizach kontaktu, w któ- rych wykorzystywane są np. taśmy przemysłowe, liny o wysokiej wytrzymałości, włókna w tekstyliach (Durville 2004, 2008, 2010), czy szeroko stosowane w bu- downictwie materiały kompozytowe wzmacniane włóknami. Skończone elementy belkowe stosowane były głównie w klasycznych dziedzinach mechaniki konstruk- cji, jednak rozwój biomechaniki wykazał, że sformułowania dla kontaktu między belkami mogą być wykorzystywane także do analizy problemów w skali mikro np. do modelowania tkanek biologicznych zbudowanych z włókien. Takie zasto- sowanie zostało zaprezentowane w pracy Cyrona i Walla (2012).

Nieliniowe skończone elementy belkowe stanowią efektywne narzędzie do modelowania tego typu problemów. Z tego względu są one nadal rozwijane, ulep- szane i porównywane (np. Romero 2008). Dokładne numeryczne sformułowania dla elementów belkowych opartych na teorii belek Simo-Reissnera wraz z wykaza- niem ich efektywności zostały przedstawione między innymi w pracach: Crisfielda (1990), Crisfield’a i Jelenica (1999a i b), Romero i Armero (2002), Romero (2004), Simo J.C. (1985),Simo i Tarnowa (1992) czy Zupana i Saje (2003).

Alternatywne sformułowania oparte na teorii Kirchhoffa-Love’a możemy znaleźć w pracach Meiera i in. (2014, 2015), natomiast ich porównanie w ich póź- niejszej pracy (2017).

Szerokie omówienie elementów belkowych można znaleźć np. w monografii Zienkiewicza (1972) oraz Bathego (1996), dotyczących MES.

Problem samego zdefiniowania kontaktu między belkami został podjęty po raz pierwszy przez Wriggersa oraz Zavarise’a (1997). W pracy analizowano kon- takt jednopunktowy między belkami o przekroju kołowym, które poddane zostały dużym przemieszczeniom. Przedstawione zostały ograniczenia oraz kryteria wy- stępowania kontaktu, a także sformułowania słabe i zmienne kinematyczne dla kontaktu. Wyprowadzono macierze sztywności i wektor reziduów. W kolejnej pracy (Zavarise, Wriggers 2000) autorzy rozszerzyli model kontaktu między bel- kami o zagadnienia związane z tarciem, przy czym ograniczono się do modelu tarcia Coulomba.

Temat kontaktu między belkami o przekroju prostokątnym został natomiast przedstawiony po raz pierwszy w pracy Litewki i in. (2001), a rozszerzony o model tarcia w pracy Litewki i Wriggersa (2002).

Wśród publikacji dotyczących kontaktu między belkami o przekroju koło- wym, należy wspomnieć o pracy Litewki (2005), w której dokonano omówienia i porównania dwóch najczęściej stosowanych do uwzględnienia więzów wynikają- cych z kontaktu metod: metody współczynnika kary i metody mnożników Lagran- ge’a oraz późniejszej pracy (Litewka 2007a), w której przedstawiony został sposób uzyskania gładkiej krzywej za pomocą wielomianów Hermite’a, użyty do aprok- symacji osi belek.

Na szczególną uwagę zasługuje monografia Litewki (2010), w której znaleźć można między innymi wieloaspektową analizę kontaktu między belkami o prze- kroju kołowym. Zawiera ona nie tylko ogólne zagadnienia i sformułowania dla kontaktu bez tarcia z tarciem, ale także kontakt elektryczny czy kontakt mecha- niczno–termiczny między belkami.

Przedstawione prace dotyczą kontaktu jednopunktowego, który daje bardzo dobre wyniki w przypadku analizowania belek, których osie tworzą między sobą duże kąty, nie są jednak dokładne w przypadku, gdy kąty między osiami belek są bardzo małe. Problem ten podjęty został w pracy Litewki (2013), w której zapro- ponowano nowy element kontaktowy dla tego typu konfiguracji belek. W nowym elemencie kontakt definiowany jest za pomocą trzech punktów a nie, jak dotych- czas, jednego. Model ten został także rozszerzony dla przypadku z uwzględnieniem tarcia (Litewka 2015).

Bardzo ciekawe rozwiązanie definiowania kontaktu między belkami o prze- kroju kołowym zostało przedstawione w pracy Meiera i in. (2017a). Zaproponowa- na tam została koncepcja, która łączy ze sobą model kontaktu jednopunktowego (Wriggers i Zavarise 1997) z modelem kontaktu między krzywymi (line-to-line) (Meier i in. 2016), który ma zastosowanie dla belek krzyżujących się pod bardzo małymi kątami. Połączenie tych dwóch modeli pozwoliło na otrzymanie uniwer- salnej formuły, w której w sposób płynny następuje przejście pomiędzy dwoma

modelami kontaktu w zależności od wartości kąta między belkami. Otrzymano w ten sposób kontaktowy element belkowy, który może być stosowany dla wszyst- kich możliwych kątów między belkami.

Opracowany przez Wriggersa i Zavarise’a skończony element belkowy (1997) został także użyty do modelowania kontaktu w przypadku, gdy po dużych deformacjach dochodzi do kontaktu ciała z samym sobą (tzw. self-contact). Pełne sformułowania dla tego modelu, rozszerzonego o zagadnienia tarcia, zostały przed- stawione w pracy Neto (Neto i in. 2015).

W pracach Durville’a (2004, 2008, 2010, 2012) możemy natomiast znaleźć formuły, które przeznaczone są do modelowania kontaktu w przypadkach, gdy mamy do czynienia ze złożonymi systemami zbudowanymi z wielu włókien. Roz- mieszczone są one swobodnie (Durville 2004) lub, jak w przypadku materiałów tekstylnych, mają ściśle określoną konfigurację początkową (Durville 2008, 2010, 2012), a do kontaktu może dochodzić w wielu punktach jednocześnie. W przeci- wieństwie do wcześniej wspomnianych prac, gdzie użyto elementów kontaktowych typu belka – belka przedstawione tu sformułowania oparte są na elemencie typu węzeł – krzywa i metodzie punktu kolokacji. Proces określania elementów styko- wych, czyli elementów, które wchodzą w kontakt, następuje w trzech etapach.

Najpierw szuka się regionów, w których może wystąpić kontakt, nazywa się je przybliżonymi strefami zbliżeniowymi. Strefę zbliżeniową tworzą dwa fragmenty linii środkowych belki, które są wyznaczane dla każdej pary wiązek, następnie w ich obrębie poszukuje się najmniejszej odległości od wyznaczonych krzywych do sąsiedniej belki. W ten sposób otrzymuje się elementy, na których znajdują się punkty kontaktowe, które wyznaczane są za pomocą odpowiednich geometrycz- nych zależności.

We wszystkich wspomnianych pracach procedura szukania kontaktu oparta jest na znalezieniu najbliższych punktów znajdujących się na belkach wchodzą- cych w kontakt. Problem dokładnego znalezienia tych punktów stanowi więc waż- ny aspekt w procesie modelowania kontaktu. Temat poszukiwania punktów kon- taktowych, warunków ich istnienia oraz jednoznacznego określenia ich położenia dla dowolnych powierzchni o dowolnej geometrii został szeroko opisany w pra- cach Konyukhova i Schweizerhofa (2008, 2010, 2013).

1.2. Kontakt między belkami

Rozwiązywanie zadań kontaktu wymaga znalezienia minimum funkcjonału energii potencjalnej ciał będących w kontakcie, co można zapisać następująco:

(

)

min

minΠ= Π +Π (1.1)

gdzie Π1, Π2 to energia potencjalna ciał, odpowiednio pierwszego i drugiego.

W celu uniknięcia sytuacji, w której dochodzi do wzajemnego przenikania się obu ciał wprowadza się tzw. więzy jednostronne, które stanowią pewne ogranicze- nia geometryczne. Do ich wprowadzenia używa się funkcji penetracji gn (gap func- tion), która określa odległość między ciałami, a w przypadku, gdy dochodzi do kontaktu ciał, głębokość penetracji. Warunek, kiedy funkcja ta przyjmuje wartości nieujemne (ciała są rozłączne):

≤0

gn (1.2)

stanowi więzy nierównościowe ograniczające minimalizację funkcjonału (1.1).

Przyjmując dodatkowe ograniczenia dotyczące siły normalnej w kontakcie Fn

(Fn ma być mniejsza lub równa zeru) otrzymuje się warunki jednostronnego kon- taktu zwane warunkami Kuhna-Truckera.

Do rozwiązywania tego zagadnienia można posłużyć się dowolną metodą op- tymalizacji, np. metodą współczynnika kary, czy metodą Lagrange’a, które, po- dobnie jak inne, opierają się na tak zwanej strategii zbioru aktywnego. Polega ona na wybraniu spośród wszystkich par punktów, dla których określa się funkcje pe- netracji, takich, dla których funkcja ta przyjmuje wartości mniejsze niż zero. Zna- lezione w ten sposób punkty tworzą tzw. zbiór aktywny a więzy nierównościowe dla tych punktów mogą zostać zamienione na więzy równości, czyli takie, dla któ- rych funkcja penetracji jest równa zeru:

=0

gn (1.3)

Otrzymuje się w ten sposób zadanie minimalizacji funkcjonału z więzami równościowymi. W zależności od zastosowanej do rozwiązania metody prowadzi ona do różnych modyfikacji minimalizacji funkcjonału poprzez wprowadzenie do (1.1) dodatkowego składnika Πc wynikającego z samego kontaktu.

Metoda elementów skończonych, jaką wykorzystuje się do dyskretyzacji ciał, pozwala także na dyskretyzację więzów. W ten sposób otrzymuje się skończoną liczbę dodatkowych składników w funkcjonale podlegającym minimalizacji.

Wprowadzenie dodatkowych składników do funkcjonału, o których wspomniano wcześniej, powoduje, że rozwiązując zadanie metodami iteracyjnymi otrzymuje się styczną macierz sztywności oraz wektor reziduów elementu kontaktowego. Dzięki temu, w każdym kroku przyrostowym można zbudować jedną macierz sztywności i jeden wektor reziduów dla obu ciał będących w kontakcie.

Procedura poszukiwania najbliższych punktów dla przypadku kontaktu jed- nopunktowego dla belek o przekroju kołowym została przedstawiona w pracy Wri- ggersa i Zavarise’a (1997), a dla belek o przekroju prostokątnym w pracy Litewki i Wriggersa (2002). Przedstawiona w tych pracach metoda poszukiwania kontaktu opiera się na warunkach ortogonalności, z których otrzymywane są lokalne współ- rzędne najbliższych punktów na osiach lub krawędziach belek.

Procedurę szukania kontaktu w przypadku kontaktu między belkami możemy podzielić na dwa etapy. W pierwszym dokonuje się przeszukania globalnego, który ma na celu znalezienie strefy kontaktu, w drugim dokonuje się przeszukania lokal- nego, które ma na celu znalezienie właściwych punktów kontaktowych.

Pierwszy etap polega na znalezieniu pary najbliższych elementów. W tym ce- lu dla każdego elementu wprowadza się dodatkowy punkt leżący na środku prostej łączącej węzły elementu, a następnie przeprowadza się przeszukiwania wszystkich par punktów w celu znalezienia takiej pary, dla której odległość między punktami jest najmniejsza. Drugi etap jest różny w zależności od przekroju rozpatrywanych belek.

Dla belek o przekroju kołowym wykorzystuje się linearyzacje warunków or- togonalności, z których oblicza się lokalne współrzędne najbliższych punktów leżących na osiach belek. Jeżeli współrzędne punktu leżą w obrębie elementu sprawdzany jest warunek kontaktu określony przez funkcje penetracji (Wriggers i Zavarise 1997). Spełnienie kryterium kontaktu decyduje, czy para punktów jest aktywna, tzn. czy bierze udział w kontakcie.

Dla belek o przekroju prostokątnym procedura jest bardziej skomplikowana.

Szczegółowy opis wraz z warunkami został przedstawiony przez Litewkę i Wri- ggersa (2002). Najpierw należy dokonać wyboru krawędzi, które mogą się kontak- tować a następnie, po wyrażeniu położenia punktów na krawędzi za pomocą prze- mieszczeń węzłów, wykorzystując metodę Newtona i linearyzację warunków orto- gonalności, dokonuje się przeszukania czterech krawędzi jednej z belek, dla któ- rych odległość do osi środkowej drugiej belki jest najmniejsza. Takiego samego przeszukania dokonuje się dla belki drugiej. W ten sposób otrzymuje się cztery pary krawędzi, dla których znajduje się najbliższe punkty, z których po spełnieniu odpowiednich warunków wybierana jest para aktywna.

W przypadku wygładzania krzywych reprezentujących osie belek za pomocą wielomianów Hermite’a, którą zaproponował Litewka (2007) poszukiwanie kon- taktu jest nieco inne. Pierwszy etap polega na znalezieniu zamiast pary elementów, pary węzłów siatki, dla których odległość jest najmniejsza. Poszukiwanie właści- wych punktów kontaktowych odbywa się już na segmentach krzywych skonstruo- wanych na bazie dwóch par sąsiadujących ze sobą elementów, do których należą znalezione wcześniej węzły. Także i w tym przypadku należy sprawdzić warunki ortogonalności oraz kryterium kontaktu.

1.3. Cel i założenia przyjęte w pracy

Celem pracy jest rozszerzenie prowadzonej od kilku lat analizy kontaktu mię- dzy belkami. Chociaż w ostatnich latach powstało wiele prac na ten temat nadal istnieje wiele kwestii, które nie zostały rozwiązane. Jedną z nich jest deformacja

sprężysta belek w strefie kontaktu. W rozprawie podjęto pracę nad opracowaniem nowych kontaktowych elementów skończonych uwzględniających te efekty.

Rozważaniu poddane zostały belki o przekroju kołowym, w których deforma- cja sprężysta została zamodelowania z wykorzystaniem klasycznego rozwiązania Hertza. Prawo to wprowadza się na dwa różne sposoby: do prawa fizycznego w styku dwóch belek – jako ograniczenie, lub w miejsce współczynnika kary.

W pracy przyjęto, że belki, które są analizowane, ulegają dużym przemiesz- czeniom, ale odkształcenia pozostają małe, a materiał, z jakiego wykonane są belki jest liniowo sprężysty.

Kontakt między belkami jest specyficznym przypadkiem kontaktu między ciałami trójwymiarowymi, w którym jeden z wymiarów ciał jest znacznie większy od pozostałych. W związku z tym możemy dokonać uproszczenia i traktować je jako krzywe trójwymiarowe sprowadzone do osi belek. W takim przypadku, przy wykluczeniu sytuacji, gdy belki są względem siebie równoległe, możemy przyjąć, że kontakt między nimi jest jednopunktowy. Takie też założenie zostało przyjęte w pracy.

Do zamodelowania belek w programach komputerowych użytych przy anali- zie numerycznej użyto koorotacyjnych skończonych elementów belkowych dla dużych obrotów opracowanych przez Crisfielda (1990).

We wszystkich przykładach krzywe reprezentujące osie belek zostały wygła- dzone. Do uzyskania gładkiej krzywej reprezentującej osie belek wykorzystano sposób aproksymacji za pomocą wielomianów Hermite’a zaproponowany przez Litewkę (2007).

Zadania zostały rozwiązane przy użyciu metody współczynnika kary, który dobierano dla każdego z zadań metodą prób w taki sposób, aby końcowa penetra- cja nie przekraczała 1% wymiaru porzecznego przekroju belki przy jednoczesnym spełnieniu więzów nierównościowych (1.3). Dokładne spełnienie warunku otrzy- muje się dla wartości współczynnika dążącego do nieskończoności, z tego powodu należy przyjmować maksymalnie możliwie największy współczynnik, dla którego możliwe jest rozwiązanie zadania, tzn. nie dochodzi do niestabilności algorytmu czy braku zbieżności procedur iteracyjnych.

W przypadku zadań z tarciem wykorzystano model tarcia suchego Coulomba ze stałym współczynnikiem proporcjonalności między siłą normalną a siłą tarcia, bez uwzględniania zjawisk towarzyszących, takich jak adhezja czy ścieranie się powierzchni.

Dla proponowanych nowych kontaktowych elementów belkowych wyprowa- dzono styczne macierze sztywności oraz wektory residuów. Do rozwiązania zadań użyto własnych programów komputerowych. Wyniki, jakie otrzymano przy użyciu nowych elementów zostały porównane i zweryfikowane z wynikami, jakie otrzy- mano w analizach z wykorzystaniem pełnych elementów trójwymiarowych przy użyciu pakietu programów Abaqus.

Rozdział 2

KONTAKT MIĘDZY BELKAMI O PRZEKROJU KOŁOWYM

Z UWZGLĘDNIENIEM KONTAKTU HERTZA

2.1. Kontakt z uwzględnieniem deformacji przez zmianę funkcji penetracji

2.1.1. Kontakt bez tarcia

2.1.1.1 Założenia

W tej części pracy rozpatrywany jest kontakt bez tarcia. Analizowano kontakt między belkami o przekroju kołowym, które poddane zostały dużym przemiesz- czeniom, dla których odpowiadające naprężenia są małe, a przekrój poprzeczny belek ulega deformacji w strefie kontaktu. W celu uwzględnienia zjawiska defor- macji przekroju w strefie kontaktu wykorzystano klasyczne wzory oraz równania dla kontaktu Hertza przedstawione w pracy Johnsona (1985) oraz Popova (2010).

Ze względu na proporcje wymiarów, trójwymiarowe belki, które wchodzą w kontakt są traktowane jako krzywe trójwymiarowe sprowadzone do osi środko- wej belek. Do ich wygładzenia użyto wielomianów Hermite’a zaproponowanych przez Litewkę (2007a).

Zmienne kinematyczne dla kontaktu zostały zdyskretyzowane przy użyciu metody elementów skończonych, a belki zostały zamodelowane przy użyciu sprę- żystych elementów skończonych zaproponowanych przez Crisfielda (1990).

Przyjęto, że kontakt między belkami jest jednopunktowy.

2.1.1.2 Funkcja penetracji

Rozpatrujemy kontakt między dwiema belkami o przekroju kołowym, które przedstawione zostały na rysunku 2.1. Przedstawiono je za pomocą krzywych trójwymiarowych, które sprowadzono do osi belek, odpowiednio: m dla belki pierwszej, oraz s dla belki drugiej (rysunek 2.1).

W celu znalezienia kontaktu należy zdefiniować funkcję penetracji, która określa odległość między ciałami. Dla belek o przekroju kołowym funkcję penetracji zapisujemy w postaci:

s m n

n d r r

g = − − (2.1)

gdzie dn jest minimalną odległością między osiami obu belek, rm, to promień belki m, zaś rs to promień belki s.

Aby rozpatrywane ciała znajdowały się w kontakcie, funkcja penetracji, musi przyjmować wartości ujemne.

W tym przypadku deformacja przekroju belek jest wprowadzona poprzez dodanie do funkcji penetracji dodatkowej wielkości d. Wielkość ta wyraża zmianę wielkości promieni belek wynikającą z deformacji przekroju belki w miejscu kontaktu. Sposób, w jaki wyznacza się wartość tej deformacji został przedstawiony w punkcie 2.1.1.4.

Możemy zatem zapisać, że funkcja penetracji dla belek o przekroju kołowym z uwzględnieniem deformacji przyjmuje postać (Kawa i Litewka 2014):

d r r d

g_n = _n − _m − _s+ (2.2)

i stanowi jednocześnie kryterium wystąpienia kontaktu.

Rysunek 2.1 Kontakt między belkami o przekroju kołowym

Rysunek 2.2 przedstawia położenie poprzecznych przekrojów belek dla przypadku gdy ciała są rozłączne rozłączne, gdy znajduja się w kontakcie oraz gdy dochodzi do ich wzajemnej penetracji. Możemy zatem zapisać, że dla belek o przekroju kołowym kryterium kontaktu jest spelnione, gdy przyjmuje one wartości ujemne:

<0 +

−

−

=d r r d

g_{n n m s} (2.3)

Jeżeli warunek (2.3) jest spełniony ciała znajduja się w kontakcie.

W przypadku, gdy funkcja penetracji przyjmuje wartości równe zeru lub większe od zera, ciała są rozłączne.

Rysunek 2.2 Kryterium kontaktu: a) belki rozłączne, b) kontakt, c) penetracja

Rysunek 2.3 Położenie najbliższych punktów Cmn i Csn na osiach reprezentujących kontaktujące się belki (Litewka 2007)

W celu wyznaczenia minimalnej odległości między osiami belek dn, która występuje we wzorze (2.2), należy znaleźć parę dwóch najbliższych punktów leżą- cych na osiach belek. W przypadku belek o przekroju kołowym najbliższe punkty znajdują się na krzywych reprezentujących osie belek: odpowiednio m dla belki pierwszej i s dla belki drugiej. Punkty te oznaczono jako: Cmn dla punktu znajdują- cego się na osi m oraz Csn dla punktu na osi s. Na rysunku 2.3 przedstawiono osie belek wraz z zaznaczonymi najbliższymi punktami Cmn, Csn i odległością dn między nimi. Położenie punktów znajdujących się na osi belek może być określone za pomocą lokalnych współrzędnych krzywoliniowych oraz za pomocą wektorów położenia zdefiniowanych w globalnym układzie współrzędnych. W analizowanym przypadku dla najbliższych punktów Cmn i Csn przyjęto następujące lokalne współ- rzędne krzywoliniowe: ξm dla belki pierwszej i ξs dla belki drugiej (rysunek 2.3).

W globalnym układzie współrzędnych (x1, x2, x3) położenie każdego punktu na osi belek określamy za pomocą wektorów położenia: xm dla punktów znajdują- cych się na krzywej m oraz xs dla punktów znajdujących się na krzywej s. Wektory te określają aktualne położenie punktów na osi belek i możemy je zapisać jako:

s s s

m m m

u X x

u X x

+

= +

=

gdzie Xm, Xs to wektory położenia punktów w konfiguracji początkowej, um, us to wektory przemieszczenia punktów.

Przedstawione na rysunku 2.3 wektory położenia xmn i xsn najbliższych punk- tów Cmn i Csn muszą spełniać warunki ortogonalności. Warunki te muszą być speł- nione w odniesieniu do prostej łączącej oba punkty i stycznych do krzywych m i s w tych punktach. Warunki te mają postać:

( )

( )





=

−

=

−

0 0

, , s sn sn mn

m mn sn mn

x x x

x x

x (2.5)

gdzie

s sn s

sn m mn m

mn ξ ∂ξ

= ∂

∂

= ∂ x

x x

x _, , _,

Warunek (2.5) jest układem równań nieliniowych funkcji ξm i ξs. Rozwiązanie układu stanową współrzędne lokalne ξmn i ξms, które określają położenie najbliż- szych punktów Cmn i Csn.

Do rozwiązania tego układu równań posłużono się metodą Newtona.

W obliczeniach wprowadzono oznaczenia równań (2.5). Równanie pierwsze oznaczono, jako: e₁, równanie drugie, jako: e₂

0 0

, ,

2

, ,

1

=

−

=

=

−

=

s s s s s m

m m s m m m

e e

x x x x

x x x

x

(2.6) Linearyzacje równań (2.6) zapisujemy w postaci:

0 0

2 2

20 2

1 1

10 1

=

∂ ∆ + ∂

∂ ∆ + ∂

=

=

∂ ∆ + ∂

∂ ∆ + ∂

=

m m s

s n

m m s

s n

e e e

e

e e e

e

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

(2.7)

gdzie

s s s s s m

m m s m m m

e e

, ,

20

, ,

10

x x x x

x x x

x

−

=

−

=

(

)

m sn mm m m m m m m m

e

, , ,

, ,

, ,

1 = x x +x x −x x = x −x x + x x

∂

∂ ξ

m m s s s

e

, ,

1 =−x x

∂

∂ ξ

(

)

s s s s s s ss s m s

e

, , ,

, ,

, ,

2 = x x − x x −x x = x −x x −x x

∂

∂ ξ

s s m m s

e

, ,

1 =−x x

∂

∂ ξ

(2.8)

Po podstawieniu (2.8) do (2.7) otrzymujemy:

(

)

+

−

= _{m mm s mm mm ss s} e1n x x , x x , x , x , ξ

( )

[

]

+ ^x_m ^x_s ^x_mmm ^x_mm^x_mm ξ_m

( )

[

] (

)

, ,

2_n = _{m ss} − _{s ss} + _m − _{s sss} − _{ss ss} ∆ _s + _{mm ss} ∆ _m =

e ^{x x x x x x x x x} ξ ^{x x} ξ

(2.9)

stąd:

(

)

[ (

)

]

(

)

( )

[

]

(

)

(

)

Zapisując układ równań (2.10) w postaci macierzowej otrzymujemy:

( )

( )

 





∆

 ∆



 





−

−

−

− +

s m

s s s s ss s s m s

s m m

m m s s mm

m s m m m m m

ξ ξ

, , ,

, ,

, , ,

, ,

x x x

x x x

x

x x x

x x x

x

( )

( )





−

−

−

= −

s s s m

m m s m

, ,

x x x

x x

x ^(2.11)

Linearyzacja równań (2.5) prowadzi więc do otrzymania dwóch równań li- niowych, które umożliwiają obliczenie przyrostów lokalnych współrzędnych

∆ξs i ∆ξm. Pozwala to na określenie położenia dwóch najbliższych punktów Cmn

i Csn na osi belek oraz wyznaczenie odległości dn między nimi, która obliczana jest według wzoru:

n s n m

dn = x _, −x _, (2.12)

2.1.1.3 Kontakt Hertza

Ponieważ materiał, z którego wykonane są belki jest liniowo-sprężysty, w celu wyznaczenia deformacji przekroju w strefie kontaktu, oznaczonej jako d we wzorze (2.2), możemy skorzystać z sformułowań przedstawionych przez Johnsona (Johnson 1985) dla przypadku kontaktu Hertza.

Rozpoczynamy od rozważań kontaktu pomiędzy powierzchnią sztywnej kuli i sprężystą półprzestrzenią przedstawioną na rysunku 2.4.

Rysunek 2.4 Kontakt między powierzchnią kuli i półprzestrzenią sprężystą

Rysunek 2.5 Wycinek koła

W celu znalezienia wielkości d, przedstawionej na rysunku 2.4, należy naj- pierw wyznaczyć przemieszczanie punktu leżącego na powierzchni styku w miejscu kontaktu. W tym celu posłużymy się podstawowymi zależnościami geometrycznymi dla wycinka koła. Dla dowolnego wycinka kołowego o wymiarach jak na rysunku 2.5 możemy zapisać, że:

2 2

2



 



−

−

= c

R R

h ^(2.13)

W przypadku rozpatrywanej przez nas sztywnej kuli i sprężystej półprzestrze- ni (Rysunek 2.4) dla dowolnego punktu o współrzędnych (z, r) możemy więc zapi- sać, że:

h R

z = − (2.14)

Ponieważ temu punktowi odpowiada współrzędna r, to korzystając z zależno- ści (2.13) po podstawieniu do (2.14) otrzymujemy:

R r r

R R

z = − − ≈ ⋅

2

2 2

2 (2.15)

Przemieszczenie punktu leżącego na powierzchni styku (z = d) w miejscu kontaktu możemy zatem wyznaczyć według wzoru:

R d r

u_z

− ⋅

= 2

2

(2.16) Przemieszczenia pionowe punktów w strefie kontaktu możemy także zapisać, jako funkcję występujących w tym miejscu naprężeń (Popov 2010):

(

)

0 2

4 a r

a E

u_z p ⋅ −

⋅

⋅

= π⋅

(2.17)

gdzie E to moduł sprężystości Younga, a – promień strefy kontaktu przedstawiony na rysunku 2.4, a p₀ to maksymalna wartość naprężeń normalnych występująca w strefie kontaktu.

Przyrównując do siebie równania (2.16) i (2.17) otrzymujemy:

(

)

0 2

4 2

2 a r

a E

p R

d r ⋅ −

⋅

⋅

= ⋅

− ⋅ π

(2.18) Równość ta jest spełniona, gdy wielkości a oraz d przyjmują wartości:

E R a p

⋅

⋅

= ⋅ 2 π 0

E a d p

⋅

⋅

= ⋅ 2

π 0 ^(2.19)

Porównując obie wielkości d i a możemy zauważyć, że R a

d = a ⋅ ^(2.20)

Zatem promień strefy kontaktu wynosi:

d R

a= ⋅ (2.21)

Maksymalny nacisk występujący w trefie kontaktu określony jest zaś zależno- ścią:

2 1 0

2 



 



⋅

⋅

= R

E d

p

π

Występująca w miejscu kontaktu siła normalna wyrażana jest następującym wzorem (Johnson 1985):

2 / 3 2 / 1

3

4 E R d

F_n = ⋅ ⋅ ⋅ (2.23)

gdzie R to promień kuli.

Podstawiając R ze wzoru (2.23) do (2.21) możemy promień strefy kontaktu a wyrazić, jako funkcje siły normalnej i zapisać go zależnością:

3 1

4

3 



 





⋅

⋅

= ⋅

E R

a Fⁿ (2.24)

Przedstawione wyżej zależności możemy także zastosować dla przypadku, gdy rozpatrujemy kontakt między dwiema sferami o różnych promieniach r_s i r_m, które przedstawiono na rysunku 2.7. W takim przypadku należy jednak dokonać pewnych modyfikacji w przywołanych wzorach. Występującą we wzorze na siłę normalną (wzór 2.26) wielkość R należy w takim przypadku wyznaczyć z zależno- ści:

m

s r

r R

1 1

1 = + (2.25)

W przypadku, gdy rozpatrywane ciała są sprężyste moduł Younga należy za- stąpić tak zwanym średnim modułem Younga E, który wyznaczany jest ze wzoru:

m m s

s

E E

E

2

2

1

1

1 = − ν + − ν

gdzie Es, Em są modułami Younga odpowiednio belki m i s zaś vs, vm to ich współ- czynniki Poissona.

Rysunek 2.6 Kontakt między dwoma ciałami o zakrzywionej powierzchni

Rysunek 2.7 Kontakt między sferami o promieniach rs i rm

Równania 2.21 – 2.26 mogą być skutecznie używane także w przypadku kon- taktu między dwoma cylindrami o osiach równoległych, prostopadłych czy nachy- lonych względem siebie pod pewnym kątem (Johnson, 2008). Przypadek pierwszy, gdy cylindry są do siebie równoległe nie jest przedmiotem pracy, drugi, w którym osie cylindrów umieszczone są w taki sposób, iż są względem siebie prostopadle (rysunek 2.8) lub ustawione pod pewnym kątem odpowiada przykładom omawia- nym w niniejszej rozprawie.

W rozpatrywanych przez nas dwóch belkach o przekroju kołowym przedsta- wionych na rysunku 2.8 obszar kontaktu, podobnie jak między dwoma cylindrami, ma kształt eliptyczny o półosiach a, b:

(

)

a= _s ⋅

(

)

b= _m ⋅ (2.27)

Powierzchnia kontaktu jest wyznaczana z wzoru:

R d b

a

A ~

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

π π

gdzie:

( )

~

m s r r

R = ⋅ (2.29)

Wyznaczony wzorem 2.29 promień to tak zwany efektywny promień Gaussa (the effective Gaussian radius).

W przypadku cylindrów, których osie są do siebie prostopadłe określony wzorem (2.29) promień Gaussa może być użyty zamiast promienia R wyznacza- nego z zależności (2.25) (Popov 2010). W związku z tym w pracy dla belek o osiach prostopadłych przyjęto, że:

( )

~

m s r r R

R = = ⋅ (2.30)

Pokazana na rysunku 2.7 wielkość d wyraża skrócenie promieni belek wyni- kające z deformacji przekroju belek w miejscu kontaktu. W proponowanym mode- lu przyjmujemy tę wartość, jako występującą we wzorze (2.2) deformację przekro- ju.

Korzystając z wzoru (2.23) możemy, zapisać deformacje d, jako funkcję siły normalnej:

3 1

2 2

16

9 











⋅ ⋅

= E R

d Fⁿ (2.31)

Rysunek 2.8 Kontakt między dwoma cylindrami o promieniach rs i rm

W zastosowanej w obliczeniach metodzie współczynnika kary siła normalna, wyznaczana jest z zależności:

n n

n g

F =

ε

gdzie εn to współczynnik kary a gn to wartość penetracji zdefiniowanej wzorem (2.2). Podstawiając powyższy wzór (2.32) do wzoru (2.31) otrzymujemy ostatecz- ny wzór na deformację przekroju w miejscu kontaktu (2.34).

3 1 2

2 2

16

9 









⋅

⋅ ⋅

= E R

d εⁿ gⁿ

(2.33) W procedurze iteracyjnej wielkość d jest niezależna od aktualnych przemiesz- czeń. Jej wartość jest stała w danej iteracji i obliczana w oparciu o wartość siły normalnej oraz gnp, czyli wartość funkcji penetracji z poprzedniego kroku:

3 1

2 2 2

16 9













⋅

⋅ ⋅

= E R

d εⁿ g^np

(2.34)

2.1.1.4 Sformułowanie słabe i zmienne kinematyczne

Rozwiązanie problemu kontaktowego między dwoma ciałami będącymi w kontakcie polega na znalezieniu minimum funkcjonału energii potencjalnej, co zapisujemy wzorem:

(

)

=

Π min _{1 2}

min (2.35)

W równaniu (2.35) Π1, Π2 to energia potencjalna ciał będących w kontakcie, odpowiednio pierwszego i drugiego, a Πc to dodatkowy składnik w funkcjonale wynikający z samego kontaktu. W przypadku rozwiązywania zadania metodą współczynnika kary dodatkowy składnik Πc wyrażamy jest wzorem:



= Π

act

n n

c g²

2

1 ε (2.36)

Występująca we wzorze (2.36) suma zawiera wszystkie aktywne pary punk- tów, które znajdują się w kontakcie.

Po podstawieniu (2.36) do (2.35) funkcjonał podlegający minimalizacji ma postać:



 



Π +Π +



act

n n g²

2

1 2

min 1

ε

Jego minimalizacja prowadzi do równania postaci:

2 0

1 ₂

2

1 =



 



Π +Π +



act

N n g

ε

δ

Dodatkowy składnik wariacji funkcjonału dla aktywnej pary ma postać:

n n n c

ε

δ

δ

Zastosowana do rozwiązania nieliniowego problemu kontaktowego iteracyjna metoda Newtona wymaga wyprowadzenia linearyzacji składników wariacji funk- cjonału. Linearyzację wyrażenia (2.39) zapisujemy jako:

n n

n n n n

c

ε

δ

ε

δ

δ

∆ ^(2.40)

Do wyznaczenia wariacji oraz linearyzacji funkcji penetracji zapisanych we wzorze (2.40) wykorzystuje się wariacje oraz linearyzacje wektorów, które okre- ślają położenia aktualnych punktów kontaktu. Pierwsza linearyzacja oraz wariacja ma postać:

n u u )o

( _{mn sn}

gn = ∆ −∆

∆

(

)

δ δ

δ

przy czym „

o

( ) ( )

(

)

(

+

+

∆

−

∆ +

∆

−

∆

=

∆

sn mn

m mn mn n sn

s sn mn

m mn

sn s sn mn

m mn sn

mn n

g g

u x

u n

u u

n u

u n u u

δ δξ δ

δξ δξ

ξ δ

ξ δ

δ δ

δ

, ,

,

, ,

o 1

o o

) ( )(

)

sn m

sn δξ − ⊗ ∆ + ∆ξ −∆ − ∆ξ

−x _, 1 n n u x _, u x _,

(2.42)

gdzie n to jednostkowy wektor normalny określony wzorem:

n sn mn

d x

n= x − (2.43)

Wariacja oraz linearyzacja wielkości d obliczonej według wzoru (2.31), która występuje w wzorze (2.2) określającym funkcje gn w aktualnym kroku jest równa zeru:

=0

∆

= d

d δ

δ (2.44)

W związku z tym wyżej przedstawione wariacje i linearyzacje funkcji pene- tracji obliczane są w ten sam sposób, jak w analizie, w której nie uwzględnia się deformacji przekroju w strefie kontaktu i nie są one tu przedstawiane. Szczegółowe wyprowadzenia wariacji oraz linearyzacji zostały przedstawione między innymi w pracy Wriggersa i Zavarise’a (1997).

2.1.1.5 Dyskretyzacja zmiennych kinematycznych

W pracy do dyskretyzacji belek wykorzystano korotacyjne elementy belkowe Crisfielda. W elementach tych każdy z dwóch węzłów elementu: s₁ i s₂ ma trzy stopnie swobody tzn. może podlegać niezależnym przesunięciom w trzech kierun- kach. Element ten wraz z możliwymi przemieszczeniami węzłowymi pokazano na rysunku 2.9.

Rysunek 2.9 Element belkowy o przekroju kołowym

Do aproksymacji osi belek użyto krzywej trójwymiarowej zaproponowanej przez Litewkę (2007a), w której do uzyskania gładkiej krzywej użyto wielomianów Hermite’a. Każdy z segmentów tej krzywej zbudowany jest na dwóch sąsiadują- cych elementach, co zostało pokazane na rysunku 2.10. W ten sposób otrzymuje się ciągły element kontaktowy, na którego powierzchni poszukiwane są właściwe punkty kontaktowe oznaczone, jako Cmn i Csn. Punkty te muszą spełniać opisane wcześniej warunki ortogonalności opisane wzorem (2.5). Taki sposób aproksyma- cji krzywej jest zależny wyłącznie od przemieszczeń węzłowych elementów, na których zbudowana jest krzywa. Dla elementu przedstawionego na rysunku 2.10 będą to odpowiednio węzły: m₁, m₂, m₃ należące do belki m oraz s₁, s₂, s₃ należące do belki s.

Wektor stopni swobody q takiego elementu kontaktowego składa się więc z 18 składników, po trzy przemieszczenia dla każdego z sześciu węzłów:

T

T S T M



 



= u q u

(2.45)

gdzie:

[

]

m = u ₁₁,u ₁₂,u ₁₃,u ₂₁,u ₂₂,u ₂₃,u ₃₁,u ₃₂,u ₃₃ u

[

]

s = u₁₁,u ₁₂,u₁₃,u ₂₁,u ₂₂,u ₂₃,u ₃₁,u ₃₂,u ₃₃ u

(2.46) Wariacje oraz linearyzacje wektorów przemieszczeń oraz ich pochodne mogą być zatem przedstawione za pomocą przemieszczeń węzłowych (Litewka 2007b):

M mn

mn G u

u = ∆

∆

M sn

sn G u

u = ∆

∆

M mn

mn G u

u

δ

δ

S sn

sn G u

u

δ

δ

M mn m

mn H u

u = ∆

∆ _,

M sn m

sn H u

u = ∆

∆ _,

M mn m

mn H u

u δ

δ _, =

S sn s

sn H u

u

δ

δ

(2.47)

Występujące w (2.47) macierze Gmn, Gsn, Hmn, Hsn mają wymiar (3x9) i za- wierają cząstkowe pochodne nieliniowej aproksymacji przemieszczeń oraz jej po- chodnych względem przemieszczeń węzłowych. Wyprowadzenia te zostały przed- stawione i szczegółowo omówione w rozprawie Litewki (2007b).

Wyrażone za pomocą przemieszczeń węzłów um, us linearyzacje oraz wariacje lokalnych współrzędnych punktów kontaktu wyrażone są w następujący sposób:



 





∆

∆















 

 + 



 



= 



 





∆

∆ ₋

s m

sn mn

sn mn

sn mn

u u H

C H G

B G

A 0

0 0

1 0 ξ

ξ



 



















 

 + 



 



= 



 



 ₋

s m

sn mn

sn mn

sn mn

u u H

C H G

B G

A δ

δ δξ

δξ

0 0 0

1 0

(2.48)

gdzie:



 





−

−

= +

s sn s sn ss sn ms s

sn m mn

m mn s sn mm

mn ms m mn m mn

, , ,

, ,

, , ,

, ,

x x x

x x

x

x x x

x x

A x



 





−

= − _T

s sn T

s sn

T m mn T

m mn

, ,

, ,

x x

x B x



 



−

= _T

ms T

ms

x C x

0

0

(2.49)

Rysunek 2.10 Wygładzony ciągły kontaktowy element skończony (Litewka 2007b)