ASTRONOMICZNE
OBLICZENIA
nie tylko dla geografów
'
&
$
% '
&
$
% '
&
$
%
U N IW E R S YT E T M I K O A J A K O P E R N I K A
TORU 1991
Ilustra ja do Przykªadu7.6 ze str. 126; z prawejstrony widniej¡
dªugo± i eklipty zneplanet wyra»one w stopnia h
Torun 18.55, 53.10
2001.01.01 0:00 GMT
Asc. Des.
M.C.
I.C.
I
VII
II
VIII
III IX
IV X
V XI
VI XII
Slonce 280.63
Ksiezyc 348.70
Merkury 284.28
Wenus 326.96
Mars 214.94
Jowisz 62.19
Saturn 54.59
Uran 318.65
Neptun 305.35
Pluton 253.71
SKRYPTY I TEKSTY POMOCNICZE
KAZIMIERZ M. BORKOWSKI
ASTRONOMICZNE OBLICZENIA
NIE TY LKO
DLA GEOGRAFÓW
Niniejszaelektroni znawersjaskryptu zostaªaprzygotowanaw2008 r.
iró»nisiodpierwotnieopublikowanej uaktualnieniami tabeli zasu
letniego (do 2012r.,na str.50) ispisu literatury orazdodanym
rysunkiemmandalihoroskopuna IIstronie okªadki
?}?
StefaniaGrudzi«ska, Barbara Koªa zek
ISBN83{231{0251 {1
ZPUMK, zam. 1/91, obj.7,5ark.wyd., nakªad +60egz., ena zª6000,{
A ksi¡»ki to tylko sªowa. A o jest ennego w
sªowa h | to my±l (któr¡ wyra»aj¡). My±l ma
o±,za zym sip o d¡»a,ale tegoniemo»naprze-
kaza¢ sªowami. wiat przekazuje ksigi wªa±nie z
p owo du enny hsªów. I ho ia» ±wiat je eni,nie
s¡tegogo dne,b o to, dla zegos¡sza owane,nie
jestnaprawdwarto± iowe.
To, owzrokiemmo»nazoba zy¢, tos¡ barwy
i ksztaªty. To, o sªu hem mo»na usªysze¢, to
s¡ tylko nazwy i d¹wiki. Szko da, »e ludzie tego
±wiatauwa»aj¡ ksztaªty,barwy, sªowaid¹wiki za
wystar zaj¡ e do osi¡gni ia obiektywnej rze zy-
wisto± i. Otó» ksztaªty, barwy, nazwy i d¹wiki
nie wystar zaj¡ do tego. I dlatego te» ÿwiedz¡ y
niemówi,mówi¡ ynie wie". Ale jak»e»±wiat ma
to sobie u±wiadomi¢?
Czuang{tsy
PrawdziwaKsiga poªudniowego
kwiatu (Dziwisz1988, s. 115)
Uwagi wstpne
Przedstawianeopra owaniejestuzup eªnieniemistniej¡ y hp o dr znikówdoprzedmiotu
Astronomi zne podstawy geogra i i nie p owinno by¢ traktowane przez Studenta jako
p o dstawowymateriaª.Zjednejstronynieob ejmujeono aªo± iwykªadanegomateriaªu,a
zdrugiejzna zna z±¢przekazywanejtuwiedzyniejestwisto iewymaganadozali zenia
przedmiotu. Skrypt ten przygotowaªem w opar iu o do±wiad zenia zdobyte p o d zas
mojejkilkunastoletniejpra yzestudentamiorazw zasiepra badaw zy hwInstytu ie
Astronomii i Katedrze RadioastronomiiUniwersytetu Mikoªaja Kop ernika w Toruniu.
Zawieraonalgorytmyiprzykªadynaogóªsprawdzone wprakty zny h zastosowania h.
Wikszo±¢ przykªadów, które umie± iªem na ko« a h rozdziaªów, jest oryginalna a
wszystkie przeli zyªem osobi± ie, aby mie¢ p ewno±¢, »e Student ±ledz¡ tok rozwi¡zy-
wania nienap otkana nie± isªo± ialb o wr z bªdn¡ interpreta j wzorów(a tego typu
przypadkiznajdowaªemniejednokrotnieuinny hautorówzbiorówzada«;zwªasnegodo-
±wiad zeniawiemrównie»bardzodobrzejakªatwop op eªnia¢bªdynawetmimoogólnej
znajomo± idanegozagadnienia). Rzadkotylkop osªugiwaªemsitabli amimatematy z-
nymipreferuj¡ ra zej kalkulatorelektroni znylubkomputerosobisty.
W rozdz. 1zebraªem najwa»niejsze wzory trygonometriipªaskieji sfery znej, które
przydaj¡ si przy rozwi¡zywaniu nowy h problemów astronomii sfery znej (rozdz. 2),
wyzna zenia h wsp óªrzdny h geogra zny h miejs aobserwa ji (4),astronawiga ji(5)
ime hanikinieba(rozdz.6). Pozanajwa»niejszymizale»no± iamitrygonometriisfery z-
nej materiaªz pierwszego rozdziaªu nie jest normalniewykªadanyna Astronomi zny h
podstawa h. Równie» niektóre z zagadnie« sz zegóªowy h z p ozostaªy h rozdziaªównie
ujmujesi wregularnymkursie. My±l jednak, »e Student z iekawo± i¡zap ozna siz
nimi,auznaªbymtozaswójsuk es,gdybydaªotop o z¡tekJegonowegozaiteresowania.
Kilkanietrywialny hb¡d¹p o»yte zny h algorytmówprzedstawiªemwp osta igotowy h
programówwjzyku FORTRAN(naIBMPC). Mam nadziej,»e przez niekonwen jo-
naln¡ip ogªbion¡prezenta jwieluzagadnie«pra atazainteresujenietylkogeografów
ale tak»e gronoastronomów. Mo»naby j¡ p ole a¢, na przykªad, studentom astronomii
jakomateriaªuzup eªniaj¡ ydopierwszej z± i przedmiotuAstronomiaogólna.
Pierwsza wersja tego opra owaniabyªaopiniowanaprzez re enzentów: do .dr hab.
Stefani Grudzi«sk¡ i prof.dr hab. Barbar Koªa zek. Dziki i h li znym kryty znym
uwagom, które staraªem si uwzgldni¢ przy p onownej redak ji, skrypt zyskaª istotnie
nawarto± i(iobjto± i). Wyra»aj¡ wtymmiejs uwdzi zno±¢ zakonstruktywn¡kry-
tyk h jedno ze±nieuwolni¢re enzentów o do dp owiedzialno± izawszelkieu hybienia
tak merytory zne jak i natury te hni znej, które niew¡tpliwie wystpuj¡ w niniejszej
rozszerzonej, aniere enzowanej ju» wersji. W stosunku dopierwotnej wersjis¡ tunp.
aªkowi ie nowepunkty(2.2,3.8,4.4i 6.7),przykªady (4.8i 6.6),prawiewszystkie ry-
sunki(pró z1.1i1.2)iwieleuzup eªnie«winny hmiejs a h,wsz zególno± iwrozdz.2
i3. Ch tak»e p o dzikowa¢dr AlojzemuBurni kiemu,który wostatniej hwiliu hro-
niª t¡ p osta¢ skryptu (± i±lej: rozdz. 2 { 6) o d rozli zny h bªdów typ ogra zny h i
stylisty zny h,atak»ekilkubªdówrze zowy h.
Poniewa» publika ja ta, przynajmniej formalnie, jest przezna zona jako p omo dla
studentów geogra i,na miejs ub dziekilkazda«natemato dno±negoprzedmiotu. Na
toru«skiej U zelni na kurs Astronomi zny h podstaw geogra i przezna zono 15 go dzin
wykªadu i tyle» ¢wi ze« w pierwszym semestrze I roku studiów. W te w¡skie ramy
rozumieniuz rad¡p edagogi zn¡InstytutuGeogra i, op ozwoliªowyeliminow¢niektóre
z tematów, które znalazªy si na inny h kursa h (np. na geologiiwykªadano budow
Ziemiijejatmosfery),nakorzy±¢ty ho zekiwany hprzezgronop edagogi zneInstytutu
(np.kosmogoniaUkªadu Sªone znego). Oto jakhasªowowygl¡daªprakty zny przydziaª
tematównap osz zególne jednogo dzinnewykªady:
I. Miaryk¡tów. Funk jetrygonometry zne. Ukªadywsp óªrzdny h: napªasz zy¹nie
i wprzestrzeni trójwymiarowej;wsp óªrzdne biegunowe. Wsp óªrzdne nasferze (sfera,
okrgimaªeiwielkie,o±gªówna,pªasz zyzna p o dstawowa,p óªkolep o z¡tkowe).
I I. Sferaniebieska. Wsp óªrzdne astronomi zne: geogra zne,horyzontalne,równi-
kowego dzinneirównono ne, eklipty zne,galakty zne.
I I I. Trygonometriasfery zna: wzoryGaussa. Zwi¡zkiwsp óªrzdny hhoryzontalny h
z go dzinnymi i równono ny h z eklipty znymi. Przyrz¡dy do p omiaruwsp óªrzdny h:
gnomon,p óªkolewierz hoªkoweikwadrant,przyrz¡duniwersalny(teo dolit),ekwatoriaª,
sekstans morskiilotni zy.
IV. Pomiaryteo dolitemisekstansem. Wyzna zanie p oªudnika: gnomonem,teo doli-
temmeto d¡równy hwysoko± iizazymutuPolaris,sekstansemz wysoko± igórowania.
Refrak jaatmosfery zna,paralaksy,ab erra ja ±wiatªa.
V. Ws ho dy,za ho dy,±wityizmierz hy. Górowaniaidoªowania,dnieino ep olarne,
biaªe no e. Wyzna zanie szeroko± i geogra znej i deklina ji z wysoko± i kulmina ji.
Meto daTal otta.
VI{VI I. Czassªone zny: prawdziwy,±redni, miejs owyi strefowy. Czasuniwersalny
ip oªudnik zmianydaty. Meto daPiew owa. Wyzna zanie dªugo± igeogra znej i zasu
gwiazdowego. Kalendarze. Czasefemerydi atomowy. Zegary imidzynaro dowasªu»ba
zasu. Datajulia«ska.
VI I I. Zasadynawiga jimorskiej.Zasigwido zno± iiobni»enie horyzontu. Wyzna-
zaniep ozy jistatkuikursup oorto dromie ilokso dromie.
IX. Me hanikaru hóworbitalny h: prawaKeplera,elementyorbit. Ru hSªo« a p o
eklipty e(strefyklimaty zne,p oryroku,nasªone znienie).
X. Ukªad Ziemia{Ksi»y : fazyKsi»y a, za¢mienia Sªo« a iKsi»y a, pªywy. Ro-
ta jaZiemi: spªasz zenie Ziemi(wsp óªrzdne geo dezyjne), pre esja i nuta jaosirota ji
Ziemi,ru hybiegunów.
XI. UkªadSªone zny: Sªo« e(budowa,aktywno±¢,wpªywnaklimatZiemi),planety
(wªasno± i zy zne,prawoTitiusa-Bo dego),planetki.
XI I. KosmogoniaUkªaduSªone znego (idee Deskartesa, Kanta,Lapla e'a, Bu ona,
ShmidtaiAlfvena). Wsp óª zesne teorie kosmogoni zne(nebularne).
XI I I. Gwiazdy i galaktyki. Typy, budowa i ewolu ja gwiazd. Budowa i rozmiary
Galaktyki.
XIV. Kosmologia. Kwazary i radiogalaktyki. Po zerwienienie galaktyk. Promienio-
waniereliktowe. Teoriawielkiegowybu hu.
W skryp ie nie uwzgldniªem wogóle tematykiostatni h ztere h wykªadów, gdy»
niebyªyone natylesz zegóªowe bynai hp o dstawieprowadzi¢ obli zenia,ai objto±¢
skryptubyªalimitowana.
Posz zególne go dziny¢wi ze«prowadziªemwedªugnastpuj¡ egoplanu:
I{I I I. Trygonometriasfery zna iprzeli zanie wsp óªrzdny h.
IV{V. Ws ho dy iza ho dy iaª niebieski h;±wityizmierz hy.
VI. Wyzna zanieszeroko± igeogra znej.
VI I I. Kolokwiumsprawdzaj¡ e.
IX{XI. Przeli zanie zasówiro znikiastronomi zne.
XI I. Wyzna zaniedªugo± i geogra znej.
XI I I. Obli zanieo dlegªo± iiobni»eniahoryzontu ip ozy jistatku.
XIV. Wyzna zaniekursup o lokso dromieiorto dromie.
XV. Kolokwiumsprawdzaj¡ e.
Jakop o dstawowe p o dr znikip ole aªemMietelskiego(1979)dowykªadówi Mietel-
skiego(1976)do¢wi ze«. Nimukazaªysipra eMietelskiegoprzezwielelatstandardem
byªa ksi¡»ka Op olskiego (1964 i wydanie w ze±niejsze). Mniej znane i trudniej osi¡-
galne opra owaniato Lisi ki (1963)iRolnik(1972). Inne p olskiep ozy je literaturowe,
które ob ejmuj¡tylko z±¢ wymaganegomateriaªuto m.in.Kpi«ski(1951,1959),Wit-
kowski(1953),Karp owi ziRudni ki(1960),Stepanov(1960),Kpi«skiiDulian(1961),
Zonn(1973),Sto dóªkiewi z(1977),Rybka(1978),OpalskiiCi howi z(1980),Hlib owi ki
(1981),Jarzb owski(1984)iCzajewski(1986).
Odsyªaj¡ do inny h miejs w teks ie u»ywamnastpuj¡ y h ozna ze«: p.{punkt
lubp o dpunkt,s.{strona,P.{przykªad.
Wydruk niniejszegoskryptu przygotowaªemedytoremtekstów T
E
X na komputerze
osobistymIBM PC z drukark¡STAR NX{15 w Katedrze RadioastronomiiUMK. Za
wyj¡tkiemdwó h pierwszy h rysunków (wykonany h wsp omnianymedytorem)wszyst-
kie p ozostaªe przygotowaªem osobno wykorzystuj¡ nasz¡ FORTRANowsk¡bibliotek
pro edur(PLOTSURF),wzorowany hnasystemieCALCOMP,awsp óªpra uj¡ ¡zsys-
tememSURFER( rmyGolden Software,In .).
Toru«,listopad1990r. K.M.B.
Uwagiwstpne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : iv
1 Trygonometria 5
1.1 Trygonometriapªaska : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1.1.1 Miaryk¡tów : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1.1.2 Wa»niejszewzoryito»samo± i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1.1.3 Warto± ifunk jitrygonometry zny h niektóry hk¡tów : : : : : : 6
1.1.4 Rozwini iawszeregi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1.1.5 Wzorydoty z¡ e trójk¡tówpªaski h : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1.1.6 Funk jeo dwrotne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
1.2 Trygonometriasfery zna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
1.2.1 Trójk¡tysfery zne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
1.2.2 Pola nasferze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10
1.2.3 WzoryGaussa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10
1.2.4 Wzorydlatrójk¡tabiegunowegoianalogieNapieraiDelambre'a : 11
1.2.5 Reguªa¢wiartek : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
1.2.6 Trójk¡tprostok¡tnyireguªy Napiera: : : : : : : : : : : : : : : : : 11
1.2.7 Trójk¡tprostob o zny(kwadratowy) : : : : : : : : : : : : : : : : : 12
1.3 Funk jehip erb oli znei o dwrotne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12
1.4 Przykªady : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13
2 Astronomiasfery zna 15
2.1 Ukªadywsp óªrzdny h : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15
2.2 Najnowszekonwen jedoty z¡ eukªadówo dniesienia : : : : : : : : : : : : 16
2.3 Transforma jawsp óªrzdny h : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
2.3.1 Przeksztaª enia ukªadów top o entry zny h, geo entry zny h i
helio entry zny h : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
2.3.2 Prostok¡tne ()biegunowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
2.3.3 Geo dezyjne()geo entry zne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
Program GEOD : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21
2.3.4 Horyzontalne ()równikowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22
2.3.5 Równikowe()eklipty zne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23
2.4 Efektywpªywaj¡ enazmianywsp óªrzdny h : : : : : : : : : : : : : : : : 24
2.4.1 Refrak jaatmosfery zna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24
2.4.2 Obni»eniehoryzontu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25
2.4.3 Paralaksadob owa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26
2.4.4 Paralaksaro zna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27
2.4.5 Pre esja : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
2.4.6 Nuta ja : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29
2.4.7 Ab erra ja : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30
2.4.8 Czaspropaga ji±wiatªa(ab erra japlanetarna) : : : : : : : : : : : 32
2.4.9 Ru hywªasnegwiazd : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32
2.4.10 Ru hybieguna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33
2.4.11 Relatywisty zneugi ie±wiatªa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33
2.5 Kulmina je : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34
2.6 Ws ho dy,za ho dy,±wityizmierz hy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35
2.7 Biaªeno eorazdnie ino ep olarne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36
2.8 Nasªone znienie(insola ja) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36
2.9 Przykªady : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38
Satelitygeosta jonarne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39
3 Ra huba zasu 47
3.1 Jednostki zasuijednostkikalendarzowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47
3.2 Czasy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48
3.2.1 De ni je: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48
3.2.2 Zale»no±¢o ddªugo± igeogra znej, UT,GMT i zasy strefowe: : 49
Czasletni wPols e (tab ela): : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50
3.2.3 Grani azmianydaty : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
3.2.4 Czasuniwersalnya zasgwiazdowy: : : : : : : : : : : : : : : : : : 51
3.2.5 Dalszede ni jei rela jemidzy zasami : : : : : : : : : : : : : : : 52
UT0,UT1,UT1R iUT2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52
TAI iUTC : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53
ET,TDT iTDB: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54
3.2.6 Rozp owsze hnianie zasuko ordynowanego(UTC) : : : : : : : : : 55
3.3 Dnijulia«skie(JD,JED iMJD) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56
Dnitygodnia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56
Dynami zny zasgwiazdowy(DAST): : : : : : : : : : : : : : : : : 56
GwiazdowadataGreenwi h (GSD) : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57
3.4 LataBesselaorazep okijulia«skie: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 57
3.5 Kalendarze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58
3.5.1 Sªone zne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58
Julia«ski(starystyl): : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59
Gregoria«ski(nowystyl) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59
Nowojulia«ski : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60
3.5.2 Ksi»y owe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60
Chi«ski : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60
Rzymski : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
Muzuªma«ski: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
3.5.3 Ksi»y owo{sªone zne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
Hinduski : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61
Hebrajski : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62
3.5.4 wiatowy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62
3.6 Dnijulia«skieadatykalendarzowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
3.7 Rota jeCarringtona : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65
3.8 Czasa±wiatop ogl¡d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65
Wedyjskara huba zasu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 66
3.9 Przykªady : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69
Ksi»y owykalendarz sennikaegipskiego : : : : : : : : : : : : : : : 72
4 Astronomi znewyzna zanie p oªo»enia 73
4.1 Wyzna zaniep oªudnikamiejs owego(azymutu) : : : : : : : : : : : : : : : 73
4.1.1 Zobserwa jiGwiazdyBiegunowej : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74
4.1.2 Gwiazdyokoªobiegunowewelonga ja h : : : : : : : : : : : : : : : 74
4.1.3 Meto darówny h wysoko± i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75
4.1.4 Azymutwwertykale przedmiotu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75
4.2 Wyzna zaniedªugo± i geogra znej: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75
4.3 Wyzna zanieszeroko± igeogra znej : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76
4.3.1 Zkulmina jigwiazd : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76
4.3.2 Zobserwa jimomentówprzej±¢gwiazdprzez Iwertykaª : : : : : : 76
4.3.3 Meto daTal otta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76
4.3.4 Meto daPiew owa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77
4.3.5 Zobserwa jiGwiazdyBiegunowej : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77
4.4 Te hnikainterferometriiwielkobazowej(VLBI) : : : : : : : : : : : : : : : 78
Geometria interferometruwielkobazowego (VLBI): : : : : : : : : : 78
4.5 Przykªady : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80
5 Nawiga ja astronomi zna 83
5.1 Wyzna zaniep ozy jistatku : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
5.2 Wyzna zaniekursu p oorto dromie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84
5.3 Wyzna zaniekursu p olokso dromie: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86
5.4 Przykªady : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87
6 Me hanika ru hów orbitalny h 91
6.1 PrawaKeplera : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91
6.2 Krzywe sto»kowe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92
6.3 Prdko± inaorbi ieiprdko± ikosmi zne : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
6.4 Orbitaelipty zna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94
6.4.1 Elipsajakoorbitaplanetarna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94
6.4.2 Elementyorbity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94
6.4.3 Obli zaniep oªo»enia iaªanaorbi ie : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
6.5 Orbityparab oli znaihip erb oli zna: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96
6.6 Wyzna zanieorbityz p oªo»eniaiprdko± i : : : : : : : : : : : : : : : : : 97
6.7 Orbityrze zywiste (planetarne)iokresy orbitalne: : : : : : : : : : : : : : 99
Tabela elementóworbitMerkurego,Wenus,Ziemi iMarsa : : : : : 99
7 Efemerydy 105
7.1 Katalogigwiazd(FK5) iro znikiastronomi zne: : : : : : : : : : : : : : : 105
7.2 EfemerydaGwiazdyBiegunowej : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 106
7.3 UkªadSªo« e{Ziemia: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107
7.3.1 OrbitaZiemiaklimat : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107
7.3.2 Wsp óªrzdneSªo« a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 108
7.4 Wsp óªrzdne Ksi»y a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109
7.5 FazyKsi»y a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 110
7.5.1 DataWielkano y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111
7.5.2 Pªywy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 112
7.6 Za¢mienia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113
7.6.1 Istotaizna zeniezjawiskza¢mieniowy h: : : : : : : : : : : : : : : 113
Za¢mieniaSªo« a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114
Za¢mieniaKsi»y a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114
Zakry iagwiazd (okulta je) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 115
7.6.2 Okres saros : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 115
7.6.3 Obli zanieokoli zno± iza¢mie«Sªo« a iKsi»y a : : : : : : : : : 116
7.6.4 Algorytmobli zaniaokoli zno± iza¢mie«Ksi»y a : : : : : : : : : 117
7.6.5 Fazaza¢mienia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 119
7.6.6 Najbli»szeza¢mieniawido znewPols e : : : : : : : : : : : : : : : 120
Tabela za¢mie«Sªo« a, 1991 {2050 : : : : : : : : : : : : : : : : : 120
Tabela za¢mie«Ksi»y a, 1991 {2040 : : : : : : : : : : : : : : : : 123
7.7 Przykªady : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124
Horoskop : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 126
8 Materiaªy uzup eªniaj¡ e 129
8.1 Wybranestaªe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129
8.2 Kalendarzastronomi znynarok2000(wy i¡ g) : : : : : : : : : : : : : : : 129
8.3 Wsp óªrzdne geogra znewybrany hmiejs : : : : : : : : : : : : : : : : : 136
8.4 Programdoobli zaniawsp óªrzdny h Sªo« a(SOL): : : : : : : : : : : : : 137
8.5 Programdoobli zaniawsp óªrzdny h Ksi»y a(LUNE) : : : : : : : : : : 139
Spisliteratury 143
Trygonometria
1.1 Trygonometria pªaska
1.1.1 Miary k¡tów
K¡tp eªny=360 Æ
=24 h
=2rad=6,28318530717958647692528676656rad
1 h
=60 m
=15 Æ
1 m
=60 s
=15 0
1 s
=15 00
1 Æ
=60 0
=4 m
1 0
=60 00
=4 s
1 00
=0;067 s
W eluzamianymiarystopniowej na ªukow¡ nale»y wymno»y¢ li zb stopni ( Æ
) przez
=1800;01745329,li zb minutªuku ( 0
){przez =(18060)0;00029089,ali zb
sekundªuku(
00
){przez =(1806060)0;00000485izsumowa¢wyniki. Wprzypadku
o dwrotnym, ilo±¢ radianów nale»y przemno»y¢ przez 180 Æ
= 57;29577951308 Æ
, tj.
okoªo57 Æ
17 0
45 00
(dostajesik¡twyra»onywstopnia h),{przez180 Æ
60=3437;74677 0
(wminuta hªuku)lubprzez 180 Æ
6060=206264;806 00
(wsekunda h ªuku).
Analogi zniep ostpujemy(wp o dany hwsp óª zynnika hk¡t180 Æ
zastpujemyprzez
24 h
) przy przeli zaniu miary ªukowej na zasow¡ (na jeden radian przypada okoªo
3,8197186 h
, 229,18312 m
lub13750,987 s
)i o dwrotnie (wsp óª zynniki0,26179939rad/h,
0,00436332rad/mini0,00007272rad/s).
1.1.2 Wa»niejsze wzory i to»samo± i
tan = sin
os
se = 1
os
sin( )= sin
sin(90 Æ
)= os
sin(180 Æ
)=sin
ot = 1
tan
s = 1
sin
os( )= os
os(90 Æ
)=sin
os(180 Æ
)= os
sin
2
= r
1 os
2
os
2
= r
1+ os
2
tan
2
=
1 os
sin
= sin
1+ os
=
1 1+tan 2
tan
sin = 2tan
2
1+tan 2
2
=
tan
p
1+tan 2
os =
1 tan 2
2
1+tan 2
2
=
1
p
1+tan 2
sin2 =2sin os
sin3 =3sin 4sin 3
sin4 = os (4sin 8sin 3
)
os2 =2 os 2
1
os3 = 3 os +4 os 3
os4 =1 8sin 2
os 2
sin +sin2 +sin3 ++sinn = os
2 os
(2n+1)
2
2sin
2
os + os2 + os3 ++ osn = sin
2 +sin
(2n+1)
2
2sin
2
x os +ysin = p
x 2
+y 2
sin( +ar tan x
y )
sin( )=sin os os sin os ( )= os os sin sin
sin( + + )=
sin os os + os sin os + os os sin sin sin sin
os ( + + )=
os sin sin sin os sin sin sin os + os os os
sin sin =2sin
2 os
2
os + os =2 os +
2 os
2
sin 2
+ os 2
=1 os os =2sin
+
2 sin
2
sin 2
sin 2
=sin( + )sin( )
sin 2
os 2
= os( + ) os ( )
1.1.3 Warto± i funk ji trygonometry zny h niektóry h k¡tów
0
Æ
30 Æ
45 Æ
60 Æ
90 Æ
180 Æ
270 Æ
360 Æ
[r ad℄ 0 =6 =4 =3 =2 3 =2 2
sin
p
0
2 p
1
2 p
2
2 p
3
2 p
4
2
0 1 0
os
p
4 p
3 p
2 p
1 p
0
1 0 1
1.1.4 Rozwini ia w szeregi
sin =
3
3!
+
5
5!
7
7!
++( 1) n
2n+1
(2n+1)!
+
0;9999992 0;1666567 3
+0;0083132 5
0;0001852 7
os =1
2
2!
+
4
4!
6
6!
++( 1) n
2n
(2n)!
+
1 0;5 2
+0;04166667 4
0;001388886 6
+0;0000248 8
;
gdzie wyra»one jestwradiana h an!=123:::(n 1)n. Po daneprzybli»enia
(p oznaka h ),sªuszne dlaj j<
2
,zap ewniaj¡ dokªadno±¢rzdu 10 6
.
=4
1 1
3 +
1
5 1
7
++( 1) n
1
2n+1 +
=3;141592653589793:::
1.1.5 Wzory doty z¡ e trójk¡tów pªaski h
W p oni»szy h zwi¡zka h A;B i C s¡ k¡tamile»¡ yminaprze iw b oków a;bi , o dp o-
wiednio, p = (a+b+ )=2,
Æ
jest promieniemokrgu opisanego na trójk¡ ie,
w
|
okrguwpisanegowtrójk¡t,aS ozna za p owierz hnitrójk¡ta.
A
P
P
P
P
P
P
b
B
a
C
Rys. 1.1: S hematozna ze«b okówik¡tówtrójk¡ta
a 2
=b 2
+ 2
2b osA=(b ) 2
+4b sin 2
A
2
twierdzeniekosinusów
a
sinA
= b
sinB
=
sinC
=2
Æ
twierdzeniesinusów
a= osB+b osC twierdzenieorzutowaniu
S = b
2
sinA= b
2
sinAsinC
2sinB
=p(p a)tan A
2
= p
p(p a)(p b)(p )
= ab
4
Æ
=4
2
Æ
sinAsinBsinC=p
w
= 2
w ot
A
2 ot
B
2 ot
C
2
a+b
= os
A B
2
sin C
2
a b
= sin
A B
2
os C
2
a b
a+b
= tan
A B
2
tan A+B
=tan
A B
2 tan
C
2
sin A
2
=
(p b)(p )
b
os A
2
=
p(p a)
b
sinA+sinB+sinC=4 os A
2 os
B
2 os
C
2
sinA+sinB sinC=4sin A
2 sin
B
2 os
C
2
osA+ osB+ osC=4sin A
2 sin
B
2 sin
C
2 +1
osA+ osB osC=4 os A
2 os
B
2 sin
C
2 1
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
sin 2
A+sin 2
B+sin 2
C=2 osA osB osC+2
sin 2
A+sin 2
B sin 2
C=2sinAsinB osC
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sin2A+sin2B sin2C =4 osA osBsinC
1.1.6 Funk je odwrotne
sin(ar sinx)= os (ar osx)=tan(ar tanx)=x
sin(ar osx)= p
1 x 2
sin(ar tanx)= x
p
1+x 2
ar sinx =ar os p
1 x 2
=
2
ar osx=ar tan x
p
1 x 2
0x<1
ar osx =ar sin p
1 x 2
=
2
ar sinx= ar tan p
1 x 2
x
0<x1
= 1
2
ar os (2x 2
1)
ar tanx =ar sin x
p
1+x 2
=ar os 1
p
1+x 2
= 1
2 ar os
1 x 2
1+x 2
x0
ar sinxar siny =ar sin(x p
1 y 2
y p
1 x 2
) xy0
= ar os ( p
1 x 2
p
1 y 2
xy ) x;y0
ar osxar osy = ar os (xy p
1 x 2
p
1 y 2
) x+y0;x<y
=ar sin(y p
1 x 2
x p
1 x 2
) xy0
ar tanxar tany =ar tan xy
1xy
1<xy<1
Warunki p o danez prawejstronyp owy»szy h to»samo± i ho ia» dostate zne nies¡ ko-
nie znymi,tzn.wzoryte s¡sªuszne tak»e winny h sytua ja h. Np.,tamgdzie p o dano
xy 0 wystar zy równie» sp eªnienie warunku x 2
+y 2
1, a w ostanim z p o dany h
przypadkówprawailewa z±¢ warunkujestsp eªnionao ddzielniedlagórny hidolny h,
1.2 Trygonometria sfery zna
1.2.1 Trójk¡ty sfery zne
Najkrótszadrogamidzydwomapunktaminasferzewiedziewzdªu»wielkiegokoªa(alb o
okrgu), tzn.koªaktóregopªasz zyzna prze ho dzi przez ±ro dek sfery. Trójk¡tsfery zny
p owstaje zp oª¡ zeniaªukamikóªwielki h(tworz¡ ymiboki trójk¡ta)najkrótszymidro-
gami trze h punktów na sferze nazywany h wierz hoªkami trójk¡ta. Dªugo± i b oków
wyra»asik¡tamimidzyo dp owiednimiprostymip oprowadzonymize±ro dkasferyprzez
wsp omniane punkty. Wierz hoªkowe k¡ty A;B oraz C s¡ k¡tami zawartymi midzy
pªasz zyznamikóªwielki ho dp owiadaj¡ y hb okombi ,ai orazaib. Zarównob oki
jakik¡tywierz hoªkowe wtrójk¡ta hsfery zny h s¡(zde ni ji)mniejszeo d180 Æ
.
Trójk¡tsfery zny jestjednozna znieokre±lonym.in.przez
trzyb oki
trzyk¡ty
dwab oki ik¡tmidzynimizawarty
dwak¡typrzy wsp ólnymb oku
A
B
a
C b
Rys. 1.2: S hematozna ze«b okówik¡tówtrójk¡tasfery znego
Promieniemaªy h kóª, opisanego
Æ
iwpisanego
w
wtrójk¡t sfery zny, mo»naobli-
zy¢ zzale»no± i("jestnadmiaremsfery znymopisanymni»ejwp.1.2.2):
tan
Æ
=
tan a
2
sin(A
"
2 )
= tan
b
2
sin(B
"
2 )
= tan
2
sin(C
"
2 )
= v
u
u
u
t
sin
"
2
sin(A
"
2 )sin(B
"
2 )sin(C
"
2 )
tan
w
=tan A
2 sin
b+ a
2 :
1.2.2 Pola na sferze
Poletrójk¡tasfery znego wynosi
S=R 2
";
gdzie R jest promieniem sfery a " = A+B +C , tzw. nadmiar alb o przewy»ka
sfery zna, musi by¢ wyra»one w radiana h. Nadmiarsfery zny mo»na te» obli zy¢ ze
wzorów:
sin
"
2
= sin
a
2 sin
b
2
os
2
sinC :
ot
"
2
= ot
a
2 ot
b
2
+ osC
sinC
Wtrilatera ji(kiedyznanes¡trzyb okitrójk¡ta)mog¡mie¢zastosowanienastpuj¡ e
to»samo± i:
tan
"
4
= r
tan p
2 tan
p a
2 tan
p b
2 tan
p
2
sin
"
2
= p
sinpsin(p a)sin(p b)sin(p )
2 os a
2 os
b
2 os
2
;
gdziep=(a+b+ )=2.
W geo dezji,przy obli zaniuprzewy»ki sfery znej wtrójk¡ta h sie itrygonometry z-
ny h(kiedyb okitrójk¡tówmo»natraktowa¢jakomaªe),stosujesinastpuj¡ eprzybli-
»enia:
" 1
2
absinCa 2
sinBsinC
2sinA
;
gdzieb okiaibtrzebawyrazi¢wradiana h(wprakty eliniow¡dªugo±¢b okówdzielimy
przez promie«Zieminadanejszeroko± igeogra znejotrzymuj¡ b okitrójk¡tówsie iw
radiana h,np.a=a
lin
=R
Ziemi ).
Passfery zny p omidzyrównole»nikami'
1 i'
2
map ole
2 R 2
(sin'
2 sin'
1 ):
1.2.3 Wzory Gaussa
sina
sinA
= sinb
sinB
= sin
sinC
twierdzeniesinusów
osa= osb os +sinbsin osA twierdzeniekosinusów
1.2.4 Wzory dla trójk¡ta biegunowego i analogie Napiera
(Nepera) i Delambre'a
osA= osB osC+sinBsinC osa
sinA osb= osBsinC+sinB osC osa
sina
tanb
= sinC
tanB
+ osa osC
sinA
tanB
= sin
tanb
osA os
tan b+
2 os
B+C
2
=tan a
2 os
B C
2
tan b
2 sin
B+C
2
=tan a
2 sin
B C
2
tan A+B
2 tan
C
2
= os
a b
2
os a+b
2
tan
A B
2 tan
C
2
= sin
a b
2
sin a+b
2
tan a+b
2
tan
2
= os
A B
2
os A+B
2
tan a b
2
tan
2
= sin
A B
2
sin A+B
2
sin A
2 sin
b+
2
=sin a
2 os
B C
2
sin A
2 os
b+
2
= os a
2 os
B C
2
sin
A B
2 sin
2
=sin a b
2 os
C
2
sin A+B
2 os
2
= os a b
2 os
C
2
1.2.5 Reguªa ¢wiartek
Wtrójk¡ iesfery znymp oªowasumydwó hk¡tówle»y wtej
samej¢wiart ek¡tów op oªowasumyb okówprze iwlegªy h.
1.2.6 Trójk¡t prostok¡tny i reguªy Napiera
Je±lik¡tC jestprostym,tzn.C=90 Æ
,to:
osA = sinB osa= tanb
tan
osB = sinA osb= tana
tan
sina = sin sinA= tanb
tanB
sinb = sin sinB= tana
tanA
os = osa osb =
1
tanAtanB :
Naty h dziesi iu zale»no± ia h opieraj¡si mnemoni znereguªy Napierawykorzy-
sinus ka»dego zk¡tów jestrówny(1)ilo zynowitangensówdwó hk¡tów do« przylegaj¡-
y h, oraz(2)ilo zynowikosinusów k¡tówprze iwlegªy h.
1.2.7 Trójk¡t prostobo zny (kwadratowy)
Je±liwtrójk¡ iesfery znymb ok jestprostym,tzn. =90 Æ
,to:
osa =sinb osA=
tanB
tanC
osb=sina osB =
tanA
tanC
sinA =sinCsina=
tanB
tanb
sinB=sinCsinb =
tanA
tana
osC= osA osB = 1
tanatanb :
1.3 Funk je hiperboli zne i odwrotne
sinhx= e
x
e x
2
= sinh( x)= p
osh 2
x 1= r
osh2x 1
2
oshx= e
x
+e x
2
=+ osh( x)= p
sinh 2
x 1= r
osh2x+1
2
=2 osh 2
x
2 1
tanhx= sinhx
oshx
=
sinh2x
osh2x+1
=
osh2x 1
sinh2x
sinh2x=2sinhx oshx osh2x=2 osh 2
x 1
sinh3x=4sinh 3
x+3sinhx osh3x=4 osh 3
x 3 oshx
sinh 2
x= 1
2
osh2x 1 osh 2
x= 1
2
osh2x+1 osh 2
x sinh 2
x=1
sinh 3
x= 1
4
(sinh3x 3sinhx) osh 3
x= 1
4
(sinh3x+3sinhx)
sinh(xy )=sinhx oshy oshxsinhy osh (xy )= oshx oshysinhxsinhy
sinhxsinhy=2sinh xy
2 osh
xy
2
oshx+ oshy=2 osh x+y
2 osh
x y
2
oshx oshy=2sinh xy
2 sinh
xy
2
sinh 2
x sinh 2
y= osh 2
x osh 2
y=sinh(x+y )sinh (x y )
sinh 2
x+ osh 2
y= osh (x+y ) osh(x y )
Arshx= Arsh( x)=Ar h p
x 2
1=Arth x
p
x 2
+1
Ar hx=+Ar h( x)=Arsh p
x 2
1=Arth p
x 2
1
x
Arthx= Arth( x)=Arsh x
p
1 x 2
=Ar h 1
p
1 x 2
ArshxArshy=Arsh(x p
1+y 2
y p
1+x 2
)
Ar h xAr hy=Ar h[xy p
(x 2
1)(y 2
1)℄
ArthxArthy=Arth xy
1xy
ArshxAr hy=Arsh[xy p
(x 2
+1)(y 2
1)℄=Ar h(y p
x 2
+1x p
y 2
1)
1.4 Przykªady
Przykªad 1.1
Wyrazi¢k¡ty258 Æ
21 0
31 00
i51 Æ
44 0
23;4 00
wmierze zasowejiªukowej.
-{|}|{-
258 Æ
21 0
31 00
=258 Æ
+(21+31=60) Æ
=60=258;35875 Æ
=258;35875 h
=15=15;890583 h
=
15 h
+600;890583 m
=15 h
53;4350 m
=15 h
53 m
+600;4350 s
=15 h
53 m
26;1 s
258;35875 Æ
=258;35875 =180rad=4;160145rad
51 Æ
44 0
23;4 00
= 51 Æ
(44+23;4=60) Æ
=60 = 51;73983 Æ
= 51;73983 h
=15 = 3;449322 h
=
3 h
+600;449322 m
=3 h
26;9593 m
=3 h
26 m
+600;9593 s
=3 h
26 m
57;6 s
3;449322 h
=3;449322 =12rad=0;903030rad
Przykªad 1.2
Wtrójk¡ iesfery znymdanes¡b okib=120 Æ
i =45 Æ
orazk¡tmidzynimizawarty
A=30 Æ
. Obli zy¢dªugo±¢trze iegob oku.
-{|}|{-
osa= osb os +sinbsin osA= p
2
2 1
2 +
p
2
2 p
3
2 p
3
2
= p
2
8
=0;17678
a=ar os (0;17678)=79;81793 Æ
.
Przykªad 1.3
Obli zy¢ p owierz hni trójk¡taz przykªadu1.2przyjmuj¡ ,»e promie«sferywynosi
6370km.
-{|}|{-
sin
"
2
= sin
b
2 sin
2
os a
sinA= sin60
Æ
sin22;5 Æ
os39;90896 Æ
sin30 Æ
=0;21603
"=212;47579 Æ
=0;435487rad
S =R 2
"=6370 2
0;435487km 2
=1767110 3
km 2
.
Przykªad 1.4
Obli zy¢ pro ent p owierz hniZiemiobjtykoªamip o dbiegunowymi(j'j>66;5 Æ
).
-{|}|{-
Stosujemywzórnap owierz hnipasasfery znego (p.1.2.2):
S =2 R 2
(sin'
2 sin'
1
)=2 R 2
(sin90 Æ
sin66;5 Æ
)=2 R 2
(1 0;91706)=
=2 R 2
0;08294
W pro enta h: 100%
2S
4 R 2
=1000;08294%=8;3%
Przykªad 1.5
Jakiemu pasowiwzdªu» równikaZiemi i jakiemu o dstp owi p oªudników o dp owiada
p owierz hnia zapp o dbiegunowy hzprzykªadu1.4?
-{|}|{-
Zprzeksztaª onego wzorunap owierz hni pasasfery znego mamy:
sin' sin0 Æ
=sin'= S
2 R 2
=0;08294
'=ar sin0;08294=4;76 Æ
, awi szukanympasemjestobszar p omidzyrównole»-
nikami+4,76i 4,76 Æ
.
Wy inkowi sfery midzy p oªudnikami o dlegªymi o o dp owiada p owierz hnia
360 Æ
4 R 2
=2S tak,»e= 2S
4 R 2
360 Æ
=0;08294360 Æ
=29;9 Æ
Astronomia sfery zna
2.1 Ukªady wspóªrzdny h
Wsp óªrzdne okre±laj¡ p oªo»enia obiektów w ustalonejprzestrzeni (w przestrzeni trój-
wymiarowej, na p owierz hni sfery alb o na pªasz zy¹nie). Trzy wielko± i wystar zaj¡
do jednozna znego wskazania punktu wprzestrzeni. Mog¡ to by¢ trzy wsp óªrzdne
prostok¡tne(zwanete»kartezja«skimi)alb obiegunowe(prawo{lublewoskrtne).
Po dstaw¡ ukªadukartezja«skiegos¡ trzy wzajemnieprostopadªe osie x, yi z,które
prze inaj¡siwjednympunk iezwanymp o z¡tkiemukªadu. Wsp óªrzdnymidowolnego
punktuwtakimukªadzies¡dªugo± irzutówpromieniawo dz¡ ego,o d inkap oprowadzo-
negoz p o z¡tku ukªadu dopunktu,na p osz zególne osie. W ukªadzie biegunowymten
sam punktokre±la dªugo±¢ promieniawo dz¡ ego i dwa k¡ty: ÿszeroko±¢" | p omidzy
promieniemwo dz¡ ymipªasz zyzn¡ p o dstawow¡(wyzna zon¡zwykleprzez osiexiy),
oraz ÿdªugo±¢" | midzy rzutem promieniana pªasz zyzn p o dstawow¡ i kierunkiem
o dniesienia(p o z¡tkiemp omiarutejwsp óªrzdnej;zwykleo± x).
S¡te»innesp osobyde niowaniaukªadówo dniesienia. Np.dookre±laniap oªo»e« iaª
naZiemiu»ywasi z± iej ukªaduo dniesionegodop owierz hnielipsoidyprzybli»aj¡ ej
ksztaªtZiemi(geoidy). Wtedywsp óªrzdnanazywanaszeroko± i¡geogra zn¡(geodezyj-
n¡lubastronomi zn¡')jesto dniesionadokierunkupionu(prostopadªegodoelipsoidy),
anie linii: wybrany punkt| ±ro dek Ziemi,jak wprzypadku ukªadu geo entry znego.
Zamiasto dlegªo± io d±ro dkaZiemip o dajesiwysoko±¢punktu nadelipsoid¡.
Po dstawowe informa jeowa»niejszy h ukªada h stosowany h w astronomiizawiera
tab ela nas. 16. Z wyj¡tkiemgeogra znego, ka»dy z ty h ukªadówmo»e mie¢wzasa-
dzie dowolnie umiejs owiony p o z¡tek (±ro dek), ho ia» zazwy zaj rozumie si, »e np.
ukªadhoryzontalnymap o z¡tek w miejs uobserwatora. Ze wzgldówprakty zny h w
astronomiirozró»niasinaj z± iejtrzy nastpuj¡ eukªady:
topo entry zny ze±ro dkiem wmiejs uobserwatora (naZiemi),
geo entry zny ze±ro dkiemw entrummasyZiemi,
helio entry zny ze ±ro dkiem w entrummasy Sªo« a lubw bary entrum Ukªadu
Sªone znego.
W sz zególny h przypadka hmo»nasp otka¢siz jesz ze innymukªadami,np.planeto-
entry znymialb oo dniesionymido±ro dkaGalaktyki.
Ukªady wspóªrzdny h sfery zny h
Ukªad !
Element# Geogra-
zny
Hory-
zontalny
Równi-
kowyy
Eklip-
ty zny
Galak-
ty zny
Pªasz zyzna
p o dstawowa
równik
ziemski
horyzont równik
niebieski
ekliptyka pªasz zyzna
Galaktyki
O±gªówna o±Ziemi pion o±±wiata o±ekliptyki o±Galaktyki
ÿDªugo±¢"
nazwa dªugo±¢
geogra zna
azymut k¡t
godzinny
dªugo±¢
eklipty zna
dªugo±¢
galakty zna
symb ol alubA t l
p o z¡tek p oªudnik
zerowy
p oªudnik
lokalny
p oªudnik
lokalny
punkt
Barana
j¡dro
Galaktyki
kierunek ws hó d za hó d za hó d ws hó d ws hó d
zakres 180
Æ
0360 Æ
024 h
0360 Æ
0360 Æ
ÿSzeroko±¢"
nazwa szeroko±¢
geogra zna
wysoko±¢z deklina ja szeroko±¢
eklipty zna
szeroko±¢
galakty zna
symb ol ' h Æ b
zakres 90+90 Æ
90+90 Æ
90+90 Æ
90+90 Æ
90+90 Æ
y Istniej¡ dwa ukªady równikowe. Ten nazywa sipierwszym, go dzinnymalb o p o-
ªudnikowym.Wdrugimukªadzie,tzw.równono nym,zamiastk¡tago dzinnego(t)
wystpuje rektas ensja: = T
?
t, gdzie T
?
jest zasem gwiazdowym. Rekta-
s ensj mierzy si o d p oªudnikaprze hodz¡ ego przez bieguny niebieskie i punkt
(Barana;miejs e prze i ia siekliptykiz równikiemniebieskim)wkierunku z
za ho dunaws hó d(o dwrotnie ni»k¡tgo dzinny)wzakresieo d0do24 h
.
z Czsto zamiastwysoko± ip o dajesio dlegªo±¢ zenitaln¡: z=90 Æ
h.
Szeroko±¢geogra zn¡(astronomi zn¡lubgeo dezyjn¡)mierzysip omidzykierun-
kiempionuipªasz zyzn¡równika|ina zejni»szeroko±¢geo entry zn¡ ozna zan¡
zwykleprzez' 0
ide niowan¡o dpromieniawo dz¡ egopunktudopªasz zyznyrów-
nika.
2.2 Najnowsze konwen je doty z¡ e ukªadów odnie-
sienia
Wszystkieprakty znep omiarywsp óªrzdny hwykonujesiwzgldemp ewny hpunktów,
kierunkówlubpªasz zyzn o dniesienia. Takieelementyreferen yjne(np.kierunek pionu,
kierunki osi gªówny h, punktrównono y) musz¡ by¢ okre±lone przynajmniejtak samo
dokªadniejak dokªadne s¡ p omiary. W miar p ostpu te hnik p omiarowy hi rozwoju
Rys. 2.1 Ukªad wsp óªrzdny h horyzontalny h: azymut (a) i
wysoko±¢ (h)
Rys. 2.2 Ukªad go dzinny h wsp óªrzdny h równikowy h: k¡t
go dzinny(t)ideklina ja(Æ)
W ostatni h dekada h nast¡ piª niezwykªy wzrost dokªadno± i p omiarów astro-
metry zno{geodezyjny h,któryjestwynikiemwprowadzenia aªkowi ienowy h te hnik
p omiarowy h:radiowejinterferometriinabardzodªugi hbaza h(VLBI,p.4.4)ilasero-
wy hp omiarówo dlegªo± isatelitów(SLR,o dang.SatelliteLaserRanging)orazKsi»y a
(LLR,o dang.LunarLaserRanging).Wkonsekwen jidoty h zasak eptowaneiwp eªni
zadowalaj¡ e konwen jonalne de ni je staªy si stopniowo oraz mniej u»yte zne lub
wr z przestarzaªe. Naprzykªad,ukªad o dniesieniawsp óªrzdny h równikowy h oparty
(katalog FK4) miaªwewntrzn¡ zgo dno±¢ na p oziomie rzdu 0,1 00
. Ob e nie p oªo»enia
naniebie mierzysi rutynowo(przynajmniej radioastronomi zn¡te hnik¡VLBI) z do-
kªadno± iamirzdu 0,001 00
tak,»e p oprawienienawet o aªy rz¡dwielko± i opty znego
ukªaduo dniesienia(zap ewniatonowykataloggwiazdFK5)nierozwi¡zujeproblemów.
Trzeba tak»e zdawa¢ sobie spraw z trudno± i utrzymania o dp owiednio stabilnego
ukªadu o dniesienia. Dla przypadku wsp óªrzdny h na Ziemi h ieliby±my mie¢ mo»li-
wo±¢ o dniesienia p omiarówdªugo± i i szeroko± i geogra znej do jakiej± sztywnej sie i
punktówo dniesienia. Niestety, przy entymetrowy h dokªadno± ia hp omiarówo dlegªo-
± isetekitysi ykilometrów,nawetnajstaranniejwybranepunktynap owierz hniZiemi
okazuj¡siby¢niestabilneju»naprzestrzeni zasurzdu jednegoroku. Odp owiedzialne
zaniestabilno± is¡efektygeo zy znetypuru hupªyttektoni zny h ( z± iskªadowy h
skorupy ziemskiej) zy pªywów. Ponadto o± rota ji Ziemi przemiesz za si wzgldem
aªejskorupyziemskiej(ru hybiegunów)iwzgldemobiektówp ozagalakty zny h(które
mo»emyuwa»a¢ zabardzo stabilnepunktyo dniesienia). Naukadysp onuje ob e nie mo-
delamiwsp omniany hzjawiskle znies¡tomo deleidealne;wisto iei hniedokªadno± i
ujawniaj¡siwp omiara hnajnowo ze±niejszymite hnikami.
W zwi¡zku z zaistniaª¡ sytua j¡ w i¡ gu kilku ostatni h lat wprowadzono szereg
zmianorganiza yjny h i w zakresie konwen ji doty z¡ y h dziaªalno± i midzynaro do-
wy hsªu»butrzymywaniaukªadówo dniesienia. W sz zególno± i,p owoªanosªu»b rota-
jiZiemi,IERS(o dang.InternationalEarthRotationServi e),którao d1988r.przejªa
niektórefunk jebyªejBIH(o dfr.BureauInternationaldel'Heure)oraz aª¡dziaªalno±¢
IMPS (o d ang. International Polar Motion Servi e). Jednym z p o dstawowy h zada«
IERS jestprakty zna realiza ja ukªadów o dniesieniana Ziemi ina niebie. Pra e takie
opieraj¡sinasystematy zny h p omiara h,gªówniete hnikamiVLBI,SLRi LLR,p o-
ªo»e« punktów na p owierz hni Ziemi oraz p oªo»e« zwarty h (punktowy h) radio¹ró deª
p ozagalakty zny h.
Ziemskiukªado dniesienia IERS(ITRF)
rodek ITRF(ang.IERSTerrestrialReferen e Frame)znajduje siw entrum
masy Ziemi z toleran j¡ 10 m. Jednostk¡ dªugo± i jest metr ukªadu jednostek
SI. Biegun i poªudnik zerowy s¡ utrzymywane p oprzez p omiary p oªo»e« kilku-
dziesi iu sta ji(51w1989 r.) w zgo dziez okre±leniamiBIH,które nawi¡zywaªy
dow ze±niejszy h de ni ji: ConventionalInternationalOrigin(CIO,dlabieguna)
i p oªudnik Greenwi h spre yzowane wedªug wsp óªrzdny h 5sta ji International
Latitude Servi e. Prakty zn¡ realiza j¡ ziemskiegoukªadu o dniesienia s¡ wsp óª-
rzdneokoªostusta ji(115w1989r.) opra owaneprzez IERS.
Niebieskiukªado dniesienia IERS(ICRF)
rodkiem ICRF (ang. IERS Celestial Referen e Frame) jest bary entrum
UkªaduSªone znego. Kierunekbiegunaniebieskiegookre±laj¡aktualneteorie pre-
esji i nuta ji Midzynaro dowej Unii Astronomi znej (MUA alb o IAU, o d ang.
InternationalAstronomi al Union) z roku1976 i 1980(o dp owiednio) namoment
p oªudnia 1 sty znia 2000 r. (ep oka J2000). Po z¡tek wsp óªrzdnej rektas ensji
ustalono zgo dnie z katalogiemFK5 (z toleran j¡ 0,01 00
), a okre±la gozestaw p o-
ªo»e« kilkudziesi iu (51 w 1989 r.) radio¹ró deª. Do zastosowa« prakty zny h
IERS opra owuje katalogiwikszej ilo± i ¹ró deª (228 w 1989 r.), które stanowi¡
2.3 Transforma ja wspóªrzdny h
2.3.1 Przeksztaª enia ukªadów topo entry zny h, geo entry z-
ny h i helio entry zny h
Transforma jwsp óªrzdny hmidzyukªadami top o entry znym,geo entry znymihe-
lio entry znymprzeprowadzamyzwykle nawsp óªrzdny h prostok¡tny h. Je±li robimy
takieprzeksztaª enie, toautomaty znieuwzgldnianajestparalaksa zwi¡zanaz danymi
ukªadami (efekt ten omawiamy w p. 2.4.3 i 2.4.4). Wsp óªrzdnymi prostok¡tnymi w
drugim ukªadzie s¡ wsp óªrzdne w pierwszym p omniejszone o wsp óªrzdne p o z¡tku
pierwszego ukªadu w drugim (doty zy to o zywi± ie dwó h ukªadów tego samego ro-
dzaju,np.równikowy hhelio entry zny hirównikowy hgeo entry zny h,wzory(6.12)
i (6.13)). Formuªywªa± iwe do zamiany równikowy h wsp óªrzdny h geo entry zny h
natop o entry zne p o dajemywp.7.4.
Transforma jawsp óªrzdny hp omidzydwomaukªadamiowsp ólnymp o z¡tkumo»e
p olega¢ narozwi¡zaniu o dp owiedniego trójk¡ta sfery znego. Rozwi¡zanie uzyskuje si
przez zastosowaniewzorówGaussa(p.1.2.3).
Rys. 2.3 Prawoskrtny ukªad wsp óªrzdny h kartezja«ski h.
Wsp óªrzdnymi s¡ rzuty promienia wodz¡ ego punktu na osie x, y
i z: X, Y i Z. i ' s¡ wsp óªrzdnymi biegunowymitego samego
punktu
2.3.2 Prostok¡tne () biegunowe
Zwi¡zkimidzywsp óªrzdnymiprostok¡tnymi(X ;Y;Z)ibiegunowymi(R;'; )zapisuje
sinastpuj¡ o:
X = R os' os R = p
X 2
+Y 2
+Z 2
Y = R os'sin ' = ar tan Z
p
X 2
+Y 2
= ar sin Z
R
Z = Rsin' = ar tan
Y
przy zymprawo{lublewoskrtno±¢ ukªaduwyra»asikierunkiemp omiaruwsp óªrzd-
nej Y i , gdy patrzymy ze ±ro dka (p o z¡tku) ukªadu w kierunku osi X maj¡ o±
Z skierowan¡ do góry (ukªadyprawoskrtne p o dlegaj¡ regule prawej dªoni alb o ±ruby
prawoskrtnej).
2.3.3 Geodezyjne () geo entry zne
Wsp óªrzdne geo dezyjnemo»naprzeli zy¢ nageo entry zne nastpuj¡ o:
p
X 2
+Y 2
= r = a os +H os'
Z = bsin +Hsin';
gdzieaibs¡du»¡imaª¡p óªosi¡elipsoidy,Hjestwysoko± i¡p onadjejp owierz hni(do-
datniowgór)za± =ar tan(
b
a
tan')(szeroko±¢zredukowana). O zywi± ie, szeroko±¢
geo entry zna ' 0
=ar tan Z
r
,adªugo±¢(geogra zna)jesttasamawobu ukªada h.
Rys. 2.4 Geogra zne wsp óªrzdne geo dezyjne alb o astrono-
mi zne('; H)igeo entry zne (' 0
; R)
Transforma jao dwrotnanastr zap ewne trudno± i|tak,»ewielu autorówstwier-
dza wr z nieistnienie ± isªego o dwrotnego przeksztaª enia. Opra owano szereg algo-
rytmówitera yjny h. Oto jeden z najbardziejefektywny h (Bowring1976). Najpierw
obli zasiÿzerowe"przybli»enieszeroko± i zredukowanej:
0
=ar tan aZ
br
apierwszeprzybli»enie na dostajesiz:
tan =
bZ+(a 2
b 2
)sin 3
0
ar (a 2
b 2
) os 3
0 :
Drugieizarazemostatnieprzybli»eniejestp owtórzeniempierwszego p op o dstawieniu
wmiejs e
0
. Szeroko±¢geo dezyjnajestteraz równa:
'=ar tan
a
tan
za±wysoko±¢ nadelipsoid¡mo»naobli zy¢nakilkasp osob ów,np.zewzoru
H=
r a q
1+tan 2
os'+Zsin':
Tapro edurawprakty edajedokªadno± ip ojedy« zy hnanometrów(10 9
m, ojestna
grani yp o dwójnejpre yzjiwikszo± iwsp óª zesny hobli ze«komputerowy h)wzakre-
siewysoko± i 5000+1000000kmidlawszystki h szeroko± i (wyª¡ zaj¡ o zywi± ie
punktybardzobliskiebieguna;Borkowski1989a,Laskowski1991). Wtymwzgldzienie
ustpujeona algorytmomopartymorozwi¡zania± isªe.
Teorety znieb ezbªdnyjestprogramGEOD,napisanywjzykuFORTRAN77dlaIBM
PC,gdy»opierasionna± isªymalgorytmieobli zaniawsp óªrzdny h geo dezyjny h(tu
i H)z geo entry zny h (tutajprostok¡tny h: r=R os' 0
i Z=Rsin' 0
, gdzieRjest
o dlegªo± i¡o d±ro dkaZiemi,a' 0
-szeroko± i¡geo entry zn¡).
subroutineGEOD(r,Z, ,H)
Przeli zawsp olrzednegeo entry znenageo dezyjnewopar iu
orozwiazanies isle(Borkowski1987a,1989a)
r,Z=wsp olrzedneprostokatne(skladowarownikowa[m℄ibiegunowa[m℄))
,H=wsp olrzednegeo dezyjne(szerokos [rad℄iwysokos [m℄)
impli itreal*8(a{h,o{z)
dataa,fre /6378140.d0,298.257d0/
d urt(x)=dsign(dexp(dlog(dabs(x))/3d0),x)
b=dsign(a{a/fre ,Z)
if(r.eq.0d0)return
E=((Z+b)*b/a{a)/r
F=((Z{b)*b/a+a)/r
P=(E*F+1.)*4d0/3.
Q=(E*E{F*F)*2.
D=P*P*P+Q*Q
if(D.lt.0d0)v=2*dsqrt({P)*d os(da os(Q/P/dsqrt({P))/3)
if(D.ge.0d0)v={d urt(Q +dsqrt(D)) {d urt(Q{dsqrt(D))
if(D.ge.0d0)v={(Q+Q+v*v*v)/(3*P)
g=0.5*(E+dsqrt(E*E+v))
t=dsqrt(g*g+(F {v*g)/(g+g{E)){g
=datan((1.{t*t)*a/(2*b*t))
H=(r{a*t)*d os( ) +(Z{b)*dsin( )
end
Dane iwynikitestowe(argumenty podprogramu GEOD):
r=4000000.00000000 Z=6000000.00000000 =0.985526645027216H=847786.688189974
4000.00000000000 6000.00000000000 1.48883906081174 6350591.52477262
Na p owierz hni elipsoidy (dla H = 0 m) mamyprosty i ± isªy zwi¡zek szeroko± i
geo dezyjnej zgeo entry zn¡:
' 0
=ar tan
b 2
2 tan'
lub '=ar tan
a 2
2 tan'
0
:
Niektórzyp osªuguj¡ sitak»e wygo dnymiprzybli»eniami(Lang1974):
' '
0
=ar tan
a 2
b 2
a 2
+b 2
tan 2
' tan'
=ar tan
a 2
b 2
b 2
+a 2
tan 2
' 0
tan' 0
11 0
32;7430 00
sin2' 1;1633 00
sin4'+0;0026 00
sin6'
R= p
r 2
+Z 2
=a s
1+(b=a) 4
tan 2
'
1+(b=a) 2
tan 2
'
a (a b)sin 2
'
a(0;998327073+0;001676438 os2' 0;000003519 os4'+810 9
os6'):
2.3.4 Horyzontalne () równikowe
Transforma jawsp óªrzdny h sfery zny h p olega na rozwi¡zaniu trójk¡ta sfery znego,
któregowierz hoªkamis¡ bieguny,tj.miejs aprzebi ia sferyprzez osie gªówneukªadów
(p o p óªno nej stronie nieba), i dowolnypunktna sferze. W przypadku ukªadów hory-
zontalnegoirównikowegonale»yrozwi¡za¢trójk¡tnazywanyparalakty znym. Jegob oki
maj¡warto± i:90 Æ
'(o dlegªo±¢biegunów;'jestszeroko± i¡geogra zn¡miejs aobser-
wa ji),90 Æ
h=z(o dlegªo±¢ zenitalna)i90 Æ
Æ (dop eªnienie deklina jido90 Æ
). Dwa
z k¡tów wierz hoªkowy h maj¡ warto± i t (przy biegunie niebieskim)i 180 Æ
a (przy
zeni ie). Oto rozwi¡zanie tego trójk¡ta (p olegaj¡ e na zastosowaniu wzorów Gaussa)
p ozwalaj¡ e przeli zy¢wsp óªrzdnehoryzontalnenarównikowe:
sinÆ = sinhsin' osh os' osa
osÆsint = oshsina (2.1)
osÆ ost = sinh os'+ oshsin' osa:
Rys. 2.5 Trójk¡tparalakty znywi¡»ewsp óªrzdnehoryzontalne
igo dzinnerównikowe
Dwaostatnierównaniamo»nazapisa¢ pro± iejpamitaj¡ jednakoznaka h li znika
(znaksinusaobli zanegok¡tat)imianownika(znakkosinusategok¡ta),którep ozwalaj¡
okre±li¢¢wiartkk¡tap eªnego rozwi¡zanianak¡tgo dzinny,t:
tant=
sina
:
Wzory typu tant =x=y s¡ sz zególnie efektywne w zastosowania h nakalkulato-
ra h p osiadaj¡ y h wbudowan¡ funk j R!P (te»: TO POLAR, !P; wystpuj¡
onewkalkulatora htaki h rmjakHewlettPa kard,TexasInstruments,AFP,Casio,
Commo dore,Sharp, Sanyoi in.) sªu»¡ ¡ do transforma ji wsp óªrzdny h prostok¡t-
ny h: x (nasz li znik prawej strony wzoru) i y (nasz mianownik)na biegunowe:
(nasze t)ir,alb ofunk jiATAN2(x,y),którawystpujewniektóry hjzyka hprogra-
mowania(np.FORTRAN lub C). Je±li nie dysp onujemywymienionymi±ro dkamito
nale»y obli zy¢warto±¢ dlab ezwzgldnej warto± iargumentufunk ji tant,jx=y j,i
wtedy:
t= je±li x>0iy>0 (twpierwszej¢wiart e)
t=180 je±li x>0iy<0 (twdrugiej¢wiart e)
t=180+ je±li x<0iy<0 (twtrze iej ¢wiart e)
t=360 je±li x<0iy>0 (tw zwartej ¢wiart e)
Przeksztaª enie o dwrotne, do zamianywsp óªrzdny h równikowy hna horyzon-
talne,otrzymujesip o dobnie(p oprzez wzoryGaussa):
sinh = sinÆsin'+ osÆ os' ost
oshsina = osÆsint (2.2)
osh osa = sinÆ os'+ osÆsin' ost
z analogi znymskró onymzapisem:
tana=
sint
tanÆ os'+sin' ost :
2.3.5 Równikowe () eklipty zne
W elu przeksztaª enia wsp óªrzdny h równikowy h na eklipty zne lub o dwrotnie
wykorzystujemytrójk¡towierz hoªka hwbiegunieniebieskim,biegunie ekliptykiiwy-
branym miejs u. Trójk¡t ten ma b oki (midzy biegunami; jest to jedno ze±nie k¡t
na hylenia równika do ekliptyki | tak, jak w trójk¡ ie paralakty znym 90 Æ
' jest
na hyleniempªasz zyzn horyzontui równika),90 Æ
i 90 Æ
Æ, ak¡typrzy bieguna h
wynosz¡90 Æ
(naprze iw b oku90 Æ
Æ)i90 Æ
+ (naprze iw b oku90 Æ
).
Otoskró onyzapis± isªy htransforma jiwsp óªrzdny hty hukªadówwobiestrony:
sinÆ = sin os sin+ ossin
tan =
ossin sintan
os
(2.3)
sin = ossinÆ sin osÆsin
tan =
ossin +sintanÆ
Rys. 2.6 Trójk¡t sfery zny wi¡»¡ y wsp óªrzdne eklipty zne i
równikowe równono ne
2.4 Efekty wpªywaj¡ e na zmiany wspóªrzdny h
Przy opra owywaniu obserwa ji astronomi zny h, aby mogªy by¢ p orównywane z in-
nymi alb o z obli zeniamiteorety znymi, musz¡ by¢ one p oprawione na szereg zynni-
ków. Zmianywsp óªrzdny h mog¡p o ho dzi¢ o d zjawisk zy zny h (np.refrak ja) lub
efektówprojek ji (np. paralaksa). Wikszo±¢ z ni h objawia si przesuni iem danego
obiektu w jednej pªasz zy¹nie i mo»na je uwzgldni¢ przez p oprawienie tylko jednej z
dwó hwsp óªrzdny h wo dp owiednimukªadzieinastpnie transforma jp oprawiony h
warto± idoukªaduko« owego. Natomiastzjawiskatypupre esji,nuta ji zyru hówbie-
gunap owo duj¡przesuwaniesi aªejsiatkiwsp óªrzdny hi p oprawianiewsp óªrzdny h
zwyklep oleganatransforma jiukªadówsfery zny h: p o z¡tkowegodozmienionego.Do
wyprowadzeniawzorówuwzgldniaj¡ y hopisywaneefektynaogóªwystar zaznajomo±¢
opisany hju» meto dprzeksztaª aniawsp óªrzdny h.
Zwykleobserwa jeredukujesidoobserwatorausytuowanegow±ro dkup oruszaj¡ ej
siZiemi. Pozy j iaªaniebieskiegosprowadzon¡dotakiegoobserwatoranazywasiwi-
dom¡alb opozorn¡(ang.apparentpla e). Wprakty etakareduk jap oleganausuni iu
wpªywurefrak ji,ab erra jidob owejiparalaksydob owej. Eliminuj¡ dalejzewsp óªrzd-
ny hwidomy hefektyab erra jiro znej(ewentualnietak»eplanetarnej)inuta jidostaje
sip oªo»enia±rednie
(ang. mean pla es) dla ep oki obserwa ji. Wresz ie, uwzgldniaj¡ jesz ze pre esj
2.4.1 Refrak ja atmosfery zna
Na skutek ugi ia ±wiatªa przy prze ho dzeniu z pró»ni kosmi znej przez atmosfer do
p owierz hni Ziemi obserwator widzi obiekty p ozaatmosfery zne nie o wy»ej nad hory-
zontem ni»s¡ w rze zywisto± i. Je±li obserwowanyobiekt znajduje siwy»ej ni» okoªo
20 Æ
, to w elu o eny refrak ji mo»emy p osªu»y¢ si wzorem Lapla e'a (p or. Wo olard i
Clemen e1966):
r=3438 0
a
Æ oth
obs [(1 b
Æ ) (b
Æ 1
2 a
Æ ) ot
2
h
obs
℄; (2.4)
gdzie
a
Æ
=0;0002927 P
1013;25
273;15
+273;15
; b
Æ
=0;001254
+273;15
273;15
za±P iozna zaj¡ i±nienieatmosfery znewhektopaskala h(hPa;alb omilibara h,mb;
1013,25hPa=760mmHg)itemp eraturoto zeniawstopnia hskaliCelsjuszawmiejs u
obserwa ji. W przypadku warunków normalny h ( i±nienie 1013,25hPa, temp eratura
0 Æ
C)mamy:
r=60;29 00
oth
obs
0;06687 00
ot 3
h
obs
1 0
oth
obs
: (2.5)
Rze zywist¡ wysoko±¢obiektu obli zymyo dejmuj¡ warto±¢ refrak ji o d wysoko± i ob-
serwowanej:
h=h
obs r:
Dla obserwa jiw s¡siedztwiehoryzontustosuje siinneprzybli»enia, którezawodz¡
jednakprzy samymhoryzon ie, gdziewystpuj¡du»eitrudnedoprzewidzeniawahania
refrak ji. Naogóªprzyjmujesi,»e
±rednia warto±¢ refrak ji nahoryzon iewynosi34 0
.
Almana forComputers1990 p o dajenastpuj¡ y wzór empiry zny dlap eªnego za-
kresu h
obs
(0 do 90 Æ
) dla standardowy h warunków atmosfery zny h ( = 10 Æ
C, P =
1010hPa):
r
stand
= ot(h
obs +
7;31
h
obs +4;4
); (2.6)
gdzie h
obs
wyra»one jest w stopnia h, a wynik dostaje si w minuta h ªuku ( 0
). Dla
inny hwarunków( 20 Æ
C<<+40 Æ
C,970hPa<P<1050hPa)z dokªadno± i¡0;2 0
mo»nap osªu»y¢ sitakimprzeskalowaniem:
r=
(P 80)r
stand
930[1+810 5
(r
stand
+39)( 10)℄
: (2.7)
2.4.2 Obni»enie horyzontu
Wniektóry hp omiara hwysoko± iwzgldem zy znegohoryzontu(tak,jaknp.sekstan-
semnamorzu)trzebauwzgldni¢kulisto±¢Ziemi. Wynikaj¡ eztegoobni»eniehoryzontu
zy znegowzgldemastronomi znego(tj.pªasz zyznyprostopadªejdopionu)wynosi
0 p
gdziewysoko±¢instrumentu(o zuobserwatora)nadp owierz hni¡Ziemi(morza)Hwyra-
»onowmetra h,ap oprawkwysoko± i(któr¡nale»yo dj¡¢o dwynikup omiaru,h
obs )|
wminuta hªuku. Wzór ten,pró zefektu zystogeometry znego,uwzgldnianiewielkie
zakrzywieniedrogipromieniwskutekrefrak jiatmosfery znej.
Rys. 2.7 Obni»enie horyzontu(h)mo»nao eni¢zrela ji(wy-
nikaj¡ ejztwierdzeniasinusów): R=sin(90 Æ
h)=R+H,gdzieR
jest promieniemZiemi. Ze wzgldu namaªo±¢ obni»eniai wielko± i
H =Rzale»no±¢t¡ ªatwouprasz za sidoh p
H
2.4.3 Paralaksa dobowa
Sko« zonerozmiaryZiemip owo duj¡paralakty zneprzesuni iebli»szy h iaªniebieski h
w kierunku zmniejszenia wysoko± i nad horyzontem. Jest to tzw. paralaksa dobowa
(te» dzienna) alb ogeo entry zna. Najwikszy k¡t,o jaki mog¡ró»ni¢ si wsp óªrzdne
geo entry zne i top o entry zne (tzw. paralaksahoryzontalna alb opozioma równikowa)
wynosi
p
Æ
=ar sin R
d
; (2.9)
gdzieRjestrównikowympromieniemZiemi,ad|o dlegªo± i¡ iaªaniebieskiego. Ogól-
niej,za ho dzizwi¡zek:
sinp=sin 8;794
00
d
osh
obs
; (2.10)
gdzie d wyra»onow jednostka h astronomi zny h (1 AU= 149597870km,±rednia o d-
legªo±¢ Ziemio dSªo« a). Paralaksy horyzontalne Sªo« a i Ksi»y awynosz¡ ok.8;8 00
i
57 0
3 00
,o dp owiednio.
Paralakty znazmianawysoko± iprzenosisinainnewsp óªrzdne. Wpªywparalaksy
na wsp óªrzdne równikowe dla du»y h o dlegªo± i d (Sªo« e, planety, gwiazdy) zwykle
0
=
8;794 00
d
os'
osÆ sint
(2.11)
Æ Æ 0
=
8;794 00
d
( osÆsin' sinÆ os' ost)
gdzieprimami( 0
)ozna zonowsp óªrzdnetop o entry zne.
Rys. 2.8 Rze zywista wysoko±¢obiektuniebieskiegojestmniej-
szao d geo entry znej ok¡t,p(paralaksy), p o djakimwida¢z niego
promie«wo dz¡ yp oprowadzonyze±ro dkaZiemidoobserwatora
Dla obiektówbli»szy h (np.dlaKsi»y a) oraz gdywymaganajestbardzodu»ado-
kªadno±¢wªa± iw¡pro edur¡b dzietransforma ja± isªa,któramap osta¢:
d osÆ os = d 0
osÆ 0
os 0
+ R os' 0
osT
?
d osÆsin = d 0
osÆ 0
sin 0
+ R os' 0
sinT
?
(2.12)
dsinÆ = d 0
sinÆ 0
+ Rsin' 0
gdzie T
?
jest zasemgwiazdowym,R | promieniemZiemiw miejs uobserwa ji, a' 0
|szeroko± i¡geo entry zn¡.
2.4.4 Paralaksa ro zna
Wwikszejskali,przyzmiana hp oªo»eniaobserwatoranaorbi ieokoªosªone zej,mamy
tzw. paralaksro zn¡ alb ohelio entry zn¡. Je±li o dlegªo±¢gwiazdywynosid jednostek
astronomi zny h (AU) i widzimy j¡ p o d k¡tem wzgldem Sªo« a to jej przesuni ie
paralakty znewynosi
p=ar sin sin
d
(2.13)
wkierunkuSªo« a. Maksymalnawarto±¢paralaksyhelio entry znej w i¡ gurokuprzy-
padadla =90 Æ
:
p
Æ
=ar sin 1
1
rad=
206265 00
1
;
gdzieprzezDozna zyli±mydwyra»onewparseka h(1p =206265AU=3;0857 10 13
km
=3;26lat±wietlny h;jesttowi o dlegªo±¢,zktórej1AUwido znajestp o dk¡tem1 00
).
Gwiazdanajbli»szaSªo« a,Proxima Centauri,manajwiksz¡ paralaksro zn¡: 0;751 00
(o dlegªo±¢4,34lat±wietlny halb o1,33p ). Sp osóbp omiaruo dlegªo± ibli»szy hgwiazd
zanalizyi hro zny hru hówparalakty zny hnatlegwiazdo dlegªy hnazywasimeto d¡
paralakstrygonometry zny h.
2.4.5 Pre esja
Zp owo du grawita yjnego o ddziaªywaniaKsi»y a,Sªo« a iplanet naniesfery zn¡ Zie-
mi,takw ru hu wirowymwokóªwªasnejosi, jaki p oeklipty e, zmieniaj¡swe p oªo»e-
niezarównorównikniebieski(rota japunkturównono ywzdªu»ekliptykizokresemok.
26000latprzyzgrubszaustalonymna hyleniurównikadoekliptyki)jakiekliptyka(os y-
la jepªasz zyznyz amplitud¡ok.0;85 Æ
wokóª±redniego p oªo»enia). Zmianyte o dbijaj¡
siwe wsp óªrzdny h równikowy hieklipty zny h.
Rys. 2.9 Wpªywpre esji(k¡ty
A
; z
A oraz
A
)nawsp óªrzdne
równikowe ( ; Æ;wska¹nikÆozna zawarto± iprzed pre esj¡)
Pre esyjnezmianywsp óªrzdny hrównikowy h(dlaeklipty zny histniej¡innezwi¡z-
ki;np.Montenbru k1989,Connaissan edesTemps1991)midzydwomaep okamiokre±-
lonymiprzez datyjulia«skie(patrzp.3.3)JD
Æ
(stare wsp óªrzdne) i JD (p oszukiwane
nowewarto± i)mo»nawp eªnis harakteryzowa¢trzemak¡tami:
A
= (2306;218+1;397T
Æ
)T+0;302T 2
+0;018T 3
z
A
=
A
+0;793T 2
(2.14)
A
= (2004;311 0;853T
Æ
)T 0;427T 2
0;042T 3
gdzieT
Æ
=(JD
Æ
2451545)=36525lubilo±¢ wiekówjulia«ski h,które upªynªyo d roku
2000(np., dlaep oki 1950T
Æ
= 0;5),T =(JD JD
Æ
)=36525, awszystkie wsp óª zyn-
nikili zb owe wyra»ono w sekunda h ªuku(wty h jednostka h dostaje site» warto± i
obli zany hk¡tów). Peªnewzory(Lieskeiin.1977)zawieraj¡jesz zekilkaskªadnikówo
warto± ia h mniejszy hni»0,0004 00
razyT 2
T lubT
Æ T
2
.
