IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU W DYFUZJI PRZECIWKIERUNKOWEJ W TEKSTYLIACH KOMPOZYTOWYCH

MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 173-180, Gliwice 2008

IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU W DYFUZJI PRZECIWKIERUNKOWEJ W TEKSTYLIACH KOMPOZYTOWYCH

R

YSZARD

K

ORYCKI

Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej, Politechnika Łódzka e-mail:ryszard.korycki@p.lodz.pl

Streszczenie. Część opatrunków zawiera mikrokapsułowany czynnik leczniczy.

Dyfuzja płynu ustrojowego z rany inicjuje reakcję chemiczną i uwalnia czynnik z mikrokapsuł. Membrana półprzepuszczalna zapobiega jego dyfuzji na zewnątrz, płyn dyfunduje swobodnie. Zachodzi dyfuzja przeciwkierunkowa, którą analizuje się w 2D przekroju opatrunku. Zmienne stanu to stęŜenia płynu ustrojowego i czynnika leczniczego. Określono równania stanu, warunki brzegowe i początkowe. Analizowano wraŜliwość pierwszego rzędu dowolnego funkcjonału, wykorzystano ją do identyfikacji kształtu opatrunku. Wykorzystano metodę róŜnic skończonych.

1. WSTĘP

W niektórych tekstyliach kompozytowych zachodzi dyfuzja przeciwkierunkowa, np.

w opatrunkach włókienniczych zawierających mikrokapsułowany aktywny czynnik leczniczy.

Dyfuzja czynnika aktywującego implikuje dyfuzję czynnika kompleksotwórczego w kierunku przeciwnym. Sterylny opatrunek umieszcza się na ranie, stęŜenie płynu ustrojowego jest początkowo pomijalnie małe. Płyn ustrojowy dyfunduje z rany przez strukturę, nieustalony proces charakteryzuje gradient prędkości dyfuzji płynu rosnący w czasie. Reakcja chemiczna jest inicjowana w mikrokapsułach przy określonym stęŜeniu płynu. Proces uwalniania czynnika leczniczego zaczyna się po określonym martwym czasie, gradient prędkości dyfuzji czynnika rośnie. Czynnik dyfunduje z mikrokapsuł do rany, membrana półprzepuszczalna zapewnia tylko ten kierunek, płyn dyfunduje swobodnie. Wyciek płynu spada po pewnym czasie, gradient prędkości dyfuzji płynu maleje. Jednak stęŜenie płynu jest duŜe i zapewnia duŜą prędkość dyfuzji czynnika leczniczego. Po nasyceniu płynem opatrunek naleŜy usunąć.

Zakładając takie same warunki dyfuzji w kaŜdym przekroju, problem redukuje się do układu 2D, czyli dowolnego przekroju opatrunku. Zmienne stanu to stęŜenia płynu ustrojowego i czynnika leczniczego. Równania stanu to zaleŜności drugiego rzędu z uwagi na zmienne projektowania i pierwszego rzędu z uwagi na czas. Warunki brzegowe są inne dla obu procesów, membrana hamuje dyfuzję czynnika leczniczego. Na brzegu zewnętrznym płyn ustrojowy podlega konwekcji, a czynnik leczniczy ma pomijalne stęŜenie dzięki membranie.

Na styku opatrunku i skóry płyn ustrojowy ma określone stęŜenia dla skóry normalnej i zranionej, strumień czynnika leczniczego ma określoną gęstość. Pozostałe powierzchnie są zaizolowane.

Parametry projektowania b to współrzędne punktów w warstwach materiału kompozytu.

Zdefiniowano dowolny funkcjonał stowarzyszony z problemem dyfuzji, jego wraŜliwość analizowano metodą bezpośrednią. Warunki stacjonarności identyfikacji definiuje się za pomocą wyraŜenia wraŜliwości. UŜyto funkcjonału „odległości” między zmiennymi stanu identyfikowanego problemu i konstrukcji rzeczywistej. Problem rozwiązano, wykorzystując metodę róŜnic skończonych. Zmienne stanu (stęŜenia obu składników) mierzy się na części Γm brzegu zewnętrznego. Analizowana literatura dotycząca dyfuzji w opatrunkach włókienniczych nie zawiera zbliŜonych sposobów rozwiązania problemu identyfikacji.

2. PROBLEM PODSTAWOWY DYFUZJI CZYNNIKA

Zmiennymi stanu są stęŜenia czynnika aktywnego C₁ (płyn ustrojowy) dyfundującego od rany na zewnątrz oraz czynnika leczniczego (substancja w mikrokapsułach) C₂ dyfundującego do skóry. Istnieją dwa róŜne procesy, naleŜy sformułować osobne równania stanu i warunki dla kaŜdego z nich. Rozpatrzono równania ciągłości czynników w roztworze dyfundującym, otrzymując równania ciągłości strugi płynu. Dyfuzja substancji to w przypadku ogólnym problem 3D. ZałóŜmy, Ŝe opatrunek jest symetryczny, z raną pośrodku. Upraszcza to model, redukując wymiar z 3D do jego płaskiego poprzecznego przekroju 2D. Ponadto z uwagi na symetrię układu opatrunek – rana, rozpatruje się jego połowę. Równanie stanu płynu fizjologicznego dyfundującego z rany na zewnątrz określa się, zakładając brak reakcji płynu w kontakcie ze składnikami opatrunku i roztworu. Dla 2D problemu nieustalonego jest postaci

; opatrunku obszarze

2D w C

D

; dt

div ₁=dC¹ ₁ = ₁∇ ₁+ ^*₁ Ω

− q q q (1)

gdzie D₁ to współczynnik dyfuzji płynu, C₁ to stęŜenie płynu, q₁,q ^*₁ towektory strumienia dyfuzji i wstępnego strumienia dyfuzji płynu, ∇ to operator Hamiltona, t to czas rzeczywisty.

y Γ2 góra q_n=0

Γ1 ciało 01 1

1 C

C = Γ3 zewn C_1∞

^q_n ^=q_{n konw}

( )

^t

ciało otoczenie

Γ_{1 rana} C1∞

( )

^t

C C₁= ₁⁰²

Γ2 sym qn=0 x

Rys.1 Warunki brzegowe dla dyfuzji płynu fizjologicznego w opatrunku

Warunki brzegowe dyfuzji płynu z rany na zewnątrz konstrukcji kompozytowej są pokazane na rys.1. Na styku z raną Γ1 rana jest określone stęŜenie płynu fizjologicznego odpowiadające nieustalonemu wysiękowi z rany C₁ =C₁⁰²

( )

t . Wysięk płynu początkowo znaczny, w krótkim czasie jeszcze rośnie. Po osiągnięciu maksimum (w zaleŜności od rany kilkanaście – kilkadziesiąt godzin) stopniowo zmniejsza się i zanika. Na zdrowej części skóry Γ1 ciało jest określony poziom stęŜenia płynu mniejszy niŜ dla rany. Jego poziom jest stały

w czasie C =₁ C₁⁰¹,C <₁⁰¹ C₁⁰², dla duŜego wysięku rany jest pomijalny w stosunku do stęŜenia płynu fizjologicznego dla rany. Zjawiska te modelują warunki pierwszego rodzaju.

Brzeg dolny to granica symetrii Γ_{2 sym}, zakłada się brak przepływu czynnika. Jest to warunek drugiego rodzaju, gęstość strumienia masy normalna do brzegu jest pomijalna qn=0.

Brzeg górny moŜna zabezpieczyć przed dyfuzją płynu (np. nieprzesiąkalnym opatrunkiem), przepływ strumienia masy jest wówczas pomijalny. Jest to teŜ warunek drugiego rodzaju, gęstość strumienia masy na fragmencie Γ_{2 góra} jest zero q_n=0.

Brzeg zewnętrzny Γ3 zewn ma duŜą powierzchnię, nie jest zaizolowany przed dyfuzją. Jest tu określony warunek trzeciego rodzaju definiujący nieustaloną konwekcję masy, ^q_n ^=q_{n konw}

( )

^{t .}

Początkowa jej wartość jest równa zero, po pewnym czasie rośnie. Utrzymuje na znacznym poziomie do zdjęcia opatrunku. Warunki te moŜna przedstawić w postaci

Γ_{1 ciało}: C =₁ C₁⁰¹; Γ_{1 rana}: ^C₁^=C₁⁰²

( )

^{t ; Γ}2 góra: q_n=0;

Γ_{2 sym}: q_n=0; Γ_{3 zewn}: ^q_n ^=q_{n konw}

( ) (

^{t =h C}₁^−C_1∞

)

^{. (2)}

Warunki czwartego rodzaju są określone na brzegach wewnętrznych opatrunku. Zakładają ciągłość zmiennej stanu (stęŜenia płynu fizjologicznego) i gęstości strumienia płynu dla sąsiednich warstw i oraz i+1. Oba parametry są nieustalone, co pozwala zapisać

( )

_{i 1}

( )

_{i 1 n1}

( )

_{i n1}

( )

_{i 1}

1 ,t C ,t ; q ,t q ,t

C x = x ₊ x = x ₊ (3)

Równanie stanu środka leczniczego uwzględnia reakcję chemiczną uwalniania czynnika z mikrokapsuł pod wpływem płynu ustrojowego z rany [2], [5]

; opatrunku obszarze

2D w C

D

; dt R dC

div ₂ + ₂ = ² ₂ = ₂∇ ₂+ ^*₂ Ω

− q & q q (4)

gdzie dodatkowo D2 to współczynnik dyfuzji czynnika leczniczego, C2 to stęŜenie czynnika leczniczego,R& to szybkość reakcji chemicznej dyfundującego czynnika. ₂

Warunki brzegowe dla dyfuzji czynnika leczniczego zostały pokazane na rys.2. Przepływ czynnika jest w jednym moŜliwym kierunku od mikrokapsuł do skóry, dyfuzję na zewnątrz uniemoŜliwia membrana. Na brzegu dotykającym ciała Γ_{2 ciało} naleŜy zapewnić określoną gęstość strumienia w kierunku normalnym dla uzyskania efektu terapeutycznego, zmienną w czasie ^q_n ^=q0_n

( )

^t . Początkowa wartość gęstości strumienia jest równa zeru, nie ma reakcji chemicznej uwalniania. Po martwym czasie gęstość szybko rośnie do osiągnięcia maksimum.

Następnie stale maleje, utrzymującsię na pewnym poziomie aŜ do zmiany opatrunku.

Brzeg dolny to granica symetrii Γ2 sym z warunkiem drugiego rodzaju qn=0.

Brzeg górny Γ2 góra moŜna zaizolować przed dyfuzją, z warunkiem drugiego rodzaju qn=0.

Membrana uniemoŜliwia transport czynnika leczniczego na zewnątrz. Stąd na brzegu zewnętrznym Γ_{1 zewn} zakłada się warunek pierwszego rodzaju, stęŜenie czynnika leczniczego jest pomijalne C2=0. Wszystkie warunki moŜna zapisać następująco

Γ_{2 ciało}: ^q_n ^=q0_n

( )

^{t ; Γ}2 góra: q_n=0; Γ_{2 sym}: q_n=0; Γ_{1 zewn}: C₂=0. (5) Na brzegach wewnętrznych są spełnione warunki czwartego rodzaju, czyli równość stęŜeń czynnika leczniczego oraz gęstości strumieni czynnika w kierunku normalnym do brzegu dla warstw leŜących między membraną a skórą. Membrana zatrzymuje ruch czynnika leczniczego na zewnątrz. Zakłada się, Ŝe oba parametry są nieustalone, co moŜna zapisać

( )

_{i 2}

( )

_{i 1 n2}

( )

_{i n2}

( )

_{i 1}

2 ,t C ,t ; q ,t q ,t

C x = x ₊ x = x ₊ (6)

Dla problemu nieustalonego naleŜy określić następujące warunki początkowe

( )

x,0 =C ; C

( )

x,0 =C ; x∈

(

Ω∪Γ

)

C_{1 10 2 20} (7)

y Γ_{2 góra} q_n=0

Γ2 ciało

( )

t q

q_n = ⁰_n Γ1 zewn

C₂=0

ciało otoczenie

Γ_{2 sym} q_n=0 x

Rys.2 Warunki brzegowe dla dyfuzji czynnika leczniczego w opatrunku

Poszczególne etapy dyfuzji obu składników są ze sobą związane i przebiegają następująco.

Etap 1. Sterylny opatrunek z mikrokapsułowaną substancją leczniczą jest nakładany na ranę, rozkład początkowy stęŜeń obu czynników jest pomijalny. Płyn dyfunduje przez opatrunek na zewnątrz, wydatek wysięku i jego gradient prędkości rosną. Zostaje zainicjowana reakcja chemiczna w mikrokapsułach i uwalnianie czynnika leczniczego.

Etap 2. Wydatek i prędkość przepływu płynu fizjologicznego stale rosną. Wysokie stęŜenie płynu zapewnia i podtrzymuje reakcję w mikrokapsułach, substancja lecznicza dyfunduje do skóry dzięki membranie. Wydatek i gradient prędkości przepływu czynnika leczniczego rosną.

Etap 3. Wydatek i prędkość przypływu płynu ustrojowego na zewnątrz maleją. Trwa reakcja chemiczna w mikrokapsułach dzięki wysokiemu stęŜeniu płynu. Środek leczniczy stale dyfunduje do skóry i rany, jego wydatek i gradient prędkości przepływu rosną.

Etap 4. Wydatek i prędkość przypływu płynu fizjologicznego maleją. Wygasa reakcja chemiczna w mikrokapsułach, bo maleje stęŜenie płynu w tej warstwie i mikrokapsuły są rozpuszczone. Środek leczniczy dyfunduje jednak do skóry, jego prędkość przepływu maleje.

Etap 5. Wydatek i prędkość przypływu płynu na zewnątrz maleją, wreszcie wygasają. Brak reakcji chemicznej w mikrokapsułach, zostały one rozpuszczone w płynie. Środek leczniczy dyfunduje do skóry i rany, wydatek i prędkość przepływu maleją, po czym wygasają. StęŜenie płynu fizjologicznego w opatrunku osiąga stan nasycenia, opatrunek zdejmuje się z rany.

3. ANALIZA WRAśLIWOŚCI PIERWSZEGO RZĘDU

Dowolny funkcjonał stowarzyszony z nieustalonym problemem dyfuzji jest postaci

. dt d ) C , q , C ( d

) C , R , , C , C (

dt d ) C , q , C ( d

) C , , C , C ( F

f f

t

0

2 n2 2 2 2

2 2 2 2 2 t

0

1 n1 1 1 1

1 1 1 1

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫



 



 Ψ ∇ Ω+ Γ

 +



 



 Ψ ∇ Ω+ Γ

=

Γ

∞ Ω

Γ

∞ Ω

γ γ

&

&

&

q q

(8)

gdzie Ψ₁, Ψ₂, γ₁, γ₂ to ciągłe i róŜniczkowalne funkcje swoich argumentów. WraŜliwość pierwszego rzędu to pochodna materialna funkcjonału F po parametrach projektowania Fp=DF/Dbp. Analizowano ją metodą bezpośrednią, co jest dogodne dla małej liczby zmiennych projektowania b. Wprowadza się dodatkowe problemy dyfuzji stowarzyszone z wariacją parametrów projektowania. Charakter dyfuzji jest taki sam w układach podstawowym i dodatkowym. Problem dodatkowy opisują równanie stanu, warunki brzegowe

i początkowe, otrzymane ze zróŜniczkowania równań problemu podstawowego z uwagi na zmienne bp. Zmienne stanu to stęŜenia czynników C₁^p =∂C₁/∂b_p;C₂^p =∂C₂/∂b_p. Rozwiązanie problemu dodatkowego wymaga uwzględnienia dodatkowych pól stanu w konstrukcji.

Równanie stanu dla płynu fizjologicznego otrzymuje się z zaleŜności (1) w postaci

; opatrunku obszarze

2D w C

D

; dt

div dC ₁^p _{1 1}^p ₁^*p

p p 1

1 = = ∇ + Ω

− q q q (9)

Warunki na odpowiednich odcinkach brzegu zewnętrznego otrzymuje się, róŜniczkując zaleŜności dla problemu podstawowego. Wykorzystując związki (2), powstaje

Γ_{1 ciało}:

( ) ( )

x ^p

01 p 1 01 1 01 p

1 p

1 C C C ,

C = = − ⋅v ; Γ_{1 rana}:

( ) ( )

x ^p

02 p 1 02 1 02 p

1 p

1 C C C ,

C = = − ⋅v ;

Γ2 góra: q^p_n = ; 0 Γ2 sym: q^p_n = ; 0 Γ3 zewn:

( ) (

1^p

)

p 1 konw

n

n q t hC C

q = = − _∞ .

(10)

Analogicznie określa się warunki czwartego rodzaju na brzegach wewnętrznych opatrunku, dla sąsiednich warstw i oraz i+1. Mają one postać przy wykorzystaniu związku (3)

( ) ( ) ( ) ( )

1 i p i n1 p

1 n1 i p i 1 p

1 ,t C ,t ; q ,t q ,t

C x = x + x = x + (11)

Równanie stanu czynnika leczniczego formułuje się, wykorzystując związek (4) jako

; opatrunku obszarze

2D w C

D

; dt R dC

div ^p_{2 2} ^p₂ ^*₂^p

p p 2 2 p

2 + = = ∇ + Ω

− q & q q (12)

Warunki na odpowiednich odcinkach brzegu zewnętrznego otrzymuje się przez materialne zróŜniczkowanie zaleŜności dla problemu podstawowego. Po wykorzystaniu związków (2) jest

Γ_{2 ciało}:

( )

x ^p

0 p n 0 n 0p n p

n q q q , v

q = = − ⋅ ; Γ_{2 góra}: q^p_n = ; 0

Γ_{2 sym}: q^p_n = ; 0 Γ_{1 zewn}: C^p₂ = . 0 (13)

Warunki czwartego rodzaju na brzegach wewnętrznych formułuje się, róŜniczkując (6)

( ) ( ) ( ) ( )

1 i p i n2 p

1 n2 i p i 2 p

2 ,t C ,t ; q ,t q ,t

C x = x + x = x + . (14)

Dla problemu nieustalonego naleŜy określić warunki początkowe zgodnie z (7)

( )

x,0 ⁼C ⁼

( )

C ⁻C , ^⋅ ; C

( )

x,0 ⁼C ⁼

( )

C ⁻C , ^⋅ ; x^∈

(

^Ω∪Γ

)

C₁^p ₁₀^p _{10 p 1 x} v^p _{2 20}^p _{20 p 2 x} v^p . (15)

Przekształcając związek (8), róŜniczkując odpowiednie składniki przez części i w czasie oraz korzystając z twierdzenia Gaussa, otrzymuje się ostateczną postać wyraŜenia wraŜliwości

 +



 



 Ψ Ω

 +



 



 Ψ Ω

=

∫ ∫

Ω Ω

f

2 f

1

t

0 p C 2 1 t

0 p C 1 1

P , C d , C d

F _{& &}

( )

⁺



  Ω



 



  +∇ Ψ ⋅∇ +∇ Ψ ⋅



 



Ψ − Ψ

∫ ∫

Ω

∇

f

1 1 1

1

t

0

p 1 1 p

1 1 C p C 1 C

1 , C C d

dt , d

_{& q} q

( )

⁺



  Ω



 



  +∇ Ψ ⋅∇ +∇ Ψ ⋅ +Ψ



 



Ψ − Ψ

∫ ∫

Ω

∇

f

2 2 2 2

2

t

0

p R 2 p 2 2 p

2 2 C p C 2 C

2 , C C , R d

dt , d

_{& q} q _& &

[ ( ) ( ) ]

T p n 1

p n1 q 1 p n n 0 1 p 0 1 0

1p C

1, C C C , v , q v d

T

n1

1 −∇ ⋅ − + − ⋅∇ Γ

Γ

∫

Γ Γ Γ

Γ v γ q

γ +

( ) ( )

[

^{−∇ ⋅ − + − ⋅∇}

]

^{Γ +}

Γ

∫

Γ Γ Γ

Γ T

p n 2

p n2 q 2 p n n 0 2 p 0 2 0

2p C

2, C C C , v , q v d

T

n2

2 v γ q

γ

[ ( ) ]

q

p n n 0 n1 p 0 n1 0

n1p q 1 p 1 C

1, C , q q q , v d

q

n1

1 + −∇ ⋅ − ⋅ Γ

Γ

∫

Γ

Γ v

γ

γ +

_∫ [

⁺

(

^{−∇ ⋅ − ⋅}

) ]

^{Γ +}

Γ

Γ

Γ q

p n n 0 n2 p 0 n2 0

n2p q 2 p 2 C

1, C , q q q , v d

q

n2

2 γ v

γ

_∫ [

⁺

(

⁻

) ]

^{Γ +}

_∫ [

⁺

(

⁻

) ]

^{Γ +}

Γ

∞ Γ

∞ C

p 2 p 2 q 2 p 2 C 2 C p 1 p 1 q 1 p 1 C

1, C , hC C d , C , hC C d

C

n2 2

C

n1

1 γ γ γ

γ

_∫ [ ( ) ( ) ]

Γ

Γ

− + Ψ +

− +

Ψ₁ γ₁,_n 2Hγ₁ v^p_{n 2} γ₂,_n 2Hγ₂ v_n^p d

_∫ ( )

Γ

∞

∞ + Γ

+ ₁,_C∞ C₁^p ₂,_C∞C^p₂ d

2

1 γ

γ

+

] [ ]

2 ^p

[

^dt

p

1 

⋅ +

⋅

∫

∫

Σ Σ

υ v υ

v γ

γ ; p = 1, 2, ... P. (16)

WraŜliwość pierwszego rzędu to suma całek obliczanych w czasie, w objętości, na brzegach konstrukcji i wzdłuŜ linii nieciągłości brzegu. Pierwsze dwa składniki to całki oznaczone obliczane w czasie od 0 do tf. Rozwiązanie tą metodą wymaga rozwiązania problemu podstawowego i tylu dodatkowych, ile jest zmiennych projektowania. Istnieją dwa problemy dyfuzji. Dyfuzję płynu ustrojowego opisują równanie stanu (9) i warunki brzegowe (10) i (11). Dyfuzja czynnika leczniczego jest charakteryzowana równaniem stanu (12) oraz warunki brzegowe (13) i (14). Warunki początkowe obu problemów opisują związki (15).

4. IDENTYFIKACJA KSZTAŁTU OPATRUNKU WŁÓKIENNICZEGO

Identyfikuje się kształt wielowarstwowego opatrunku z materiału włókienniczego.

Warstwy są ze sobą ściśle złączone, opatrunek dolega do rany dla zapewnienia efektu terapeutycznego, stąd zakłada się brak powietrza między sąsiadującymi warstwami opatrunku oraz opatrunkiem i skórą. Na styku warstw wewnętrznych stosuje się warunki czwartego rodzaju. Podstawowy materiał uŜywany na opatrunki to włóknina (rys.3). Dobrze odprowadza płyn ustrojowy z rany i transportuje czynnik leczniczy do skóry, jest tania, prosta do łączenia przez igłowanie, prosta do naniesienia apretury, łatwo umieścić w niej warstwę mikrokapsuł.

Warstwy wewnętrzna przylegająca bezpośrednio do skóry oraz zewnętrzna za membraną są wykonane z włókniny. Warstwa środkowa ma naniesioną apreturę i dodatkowo mikrokapsuły z czynnikiem leczniczym. Określmy współczynniki dyfuzji obu problemów transportu, opisując zjawisko w stałym materiale porowatym według [5]

[

^E/

( )

^{R T}

]

exp K

D= − _g , (17)

gdzie E to energia aktywacji, K to współczynnik ekspotencjalny, Rg to stała gazowa, T to temperatura w jakiej zachodzi dyfuzja. Dla dyfuzji płynu ustrojowego przyjmuje się według Eksteina [1] E=12,14 kJ/kmol; K=2⋅10^-7 m²/s i zakłada temperaturę stanu podgorączkowego człowieka T=310 K. Wówczas współczynnik dyfuzji jest według (17) D₁=1,9904⋅10^-7 m²/s.

W przypadku czynnika leczniczego przyjmuje się E=15 kJ/kmol; pozostałe wartości są bez zmian. Zgodnie z (17) otrzymuje się D2=2,02⋅10^-7 m²/s.

W rzeczywistości oba procesy dyfuzji są zaleŜne od siebie, współczynniki dyfuzji są teŜ zaleŜne. Związek między nimi jest określony przez energię aktywacji, pozostałe parametry są

bez zmian. Z uwagi na brak opublikowanych danych dotyczących energii aktywacji dla opatrunków z róŜnym stęŜeniem czynnika leczniczego przyjęto taką samą energię aktywacji.

Warunki brzegowe problemów transportu rozpatrzy się w okresie końcowym dyfuzji, gdy wydatek wysięku płynu z rany i jego gradient prędkości maleją. Wartości zmienne w czasie są mierzone dla czasu t0=0; tk=600 s; ∆t=120 s. Konwekcja dyfuzyjna na brzegu zewnętrznym jest opisana współczynnikiem h=10^-3m. StęŜenie płynu ustrojowego w otoczeniu zostało przyjęte C∞=0,1C1, czyli 10% stęŜenia na brzegu Γ3 zewn. Warunki brzegowe z uwagi na związki (2) są postaci

Γ_{1 ciało}: C₁=C₁⁰¹=0,01 kmol/m³; Γ_{1 rana}: C₁=C₁⁰²

( )

t =0,05

[

1−0,2 t/3600

]

kmol/m³; Γ_{2 góra}: qn=0; Γ2 sym: qn=0; Γ3 zewn: q_n ⁼q_{n konw}

( ) (

t ⁼h C₁⁻C_1∞

)

. (18)

1 2 3 4

x

Rys.3 Problem identyfikacji kształtu opatrunku włókienniczego

1 – warstwa wewnętrzna (włóknina), 2 – warstwa środkowa (włóknina z apreturą i mikrokapsułami), 3 – membrana półprzepuszczalna, 4 – warstwa zewnętrzna (włóknina) Dyfuzja czynnika leczniczego zmniejsza się w okresie końcowym i jest pomijalnie mała wstosunku do poprzednich etapów. Dlatego przyjęto w przybliŜeniu stałą gęstość strumienia czynnika leczniczego. Warunki brzegowe są z uwagi na związki (5) postaci

Γ_{2 ciało}: ^qn ^q0n

( )

^{t 1,5 10 4 kmol/}

( )

^m2s

⋅ −

=

= ; Γ_{2 góra}: qn=0; Γ2 sym: qn=0; Γ1 zewn: C2=0. (19)

Warunek początkowy dla płynu ustrojowego przyjmuje się w postaci rozkładu parabolicznego na szerokości przekroju. Wykorzystując (7), moŜna napisać

( )

x,0 ⁼C ⁼

[

0,05g x 0,1g x⁺0,05

]

kmol/m ; C

( )

x,0 ⁼C ⁼0; x^∈

(

^Ω∪Γ

)

C_{1 10} ^{-2 2}- ^{-1 3} _{2 20} ; (20)

gdzie g to szerokość opatrunku, x to współrzędna wysokości x∈<0,10^-2>m. ZałoŜono stałe współczynniki materiałowe, niezaleŜne od czasu i zmiennych stanu.

Identyfikacja to minimalizacja funkcjonału celu bez ograniczeń, warunki stacjonarności problemu DF/Db_p=0 określa się, stosując wyraŜenie wraŜliwości (18). Zmienne stanu w konstrukcji rzeczywistej mierzy się na fragmencie brzegu zewnętrznego Γm∈Γ_{3 zewn}. Dlatego moŜna identyfikować kształt wyłącznie przez pomiar stęŜenia płynu ustrojowego, bo stęŜenie czynnika leczniczego jest pomijalne. Wykorzystano funkcjonał „odległości”

zmiennych stanu identyfikowanego modelu i konstrukcji rzeczywistej dla płynu

( )

∫ ∫

Γ

Γ

f

m

t

0

m 2 1m

1-C d dt

2 C

=1

F (21)

Zmienne projektowania to współrzędne wybranych węzłów na granicy warstw wewnętrznej i środkowej. Z uwagi na konstrukcję opatrunku nie zmienia się kształtu warstw membrany i zewnętrznej. Obliczenia prowadzono dwustopniowo procedurą analizy-syntezy.

Kształt konstrukcji dyskretyzowano siatką 100 elementów czterowęzłowych. Rozwiązanie problemu podstawowego i dodatkowego w danej konfiguracji etapu analizy uzyskano metodą

róŜnic skończonych. W etapie syntezy zaimplementowano metodę najszybszego spadku, gradientową pierwszego rzędu. Kształty początkowy i zidentyfikowany w 15 iteracjach pokazano na rys.4.

y=10^-2

początkowy zidentyfikowany punkty węzłowe y=0

x=0 x=10^-2

Rys.4. Początkowe i zidentyfikowane połoŜenia granic warstw materiału w opatrunku NiezaleŜnie od identyfikacji kształtu powyŜsze metody moŜna wykorzystać jako dogodne i efektywne narzędzie optymalizacji kształtu przekroju poprzecznego opatrunku.

Współczynniki dyfuzji moŜna przyjąć z literatury lub wyznaczyć doświadczalnie.

LITERATURA

1. Ekstein H.J.: Heat treatment of the solid structures (in German). Leipzig : VEB, 1971.

2. Kącki E.: Równania róŜniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki i technik. Warszawa:

WNT, 1995.

3. Korycki R.: Shape optimization and shape identification for transient diffusion problems in textile structures. “Fibres and Extiles in Eastern Europe” 2007,Vol.15, No.1, p. 43-49 4. Li Y.: The science of clothing comfor. “Textile Progres” 2001, Vol.15, No.1,2.

5. Tomeczek J.:Termodynamika. Gliwice: Wyd. Pol.Śl., 1999.

Praca wykonana w ramach grantu nr No 3955/TO2/2007/32 Departamentu Badań Naukowych Polskiego Rządu

SHAPE IDENTIFICATION IN OPPOSITELY DIRECTED DIFFUSION WITHIN COMPOSITE STRUCTURES

Summary. Some dressings have the microcapsulated therapeutic agent. Diffusion of body fluid from the wound initiates the chemical reaction and releases the agent from microcapsules. The semi-permeable membrane stops the outside transport of therapeutic agent, whereas the fluid diffuses normally. The problem is analyzed in the 2D cross-section of dressing. State variables are the concentrations of body fluid and therapeutic agent. State equations, boundary and initial conditions are defined. The sensitivity of an arbitrary functional is analyzed and implemented into the shape identification of dressing. The Finite Difference Method was used.