36, s.301-306, Gliwice 2008
OPTYMALNA MODYFIKACJA KSZTAŁTU OSI WŁÓKIEN W STRUKTURACH KOMPOZYTOWYCH
J
ACEKW
IŚNIEWSKI, K
RZYSZTOFD
EMSKatedra Mechaniki i Informatyki Technicznej, Politechnika Łódzka e-mail: jacek.wisniewski@p.lodz.pl, krzysztof.dems@p.lodz.pl
Streszczenie. Praca przedstawia wyniki badań nad projektowaniem optymalnego kształtu osi włókien wzmacniających w materiałach kompozytowych pod kątem uzyskania przez element konstrukcyjny wykonany z tego materiału wymaganych własności mechanicznych. W poszukiwaniu optymalnych rozwiązań zastosowano opracowaną metodę optymalizacyjną opartą na algorytmie ewolucyjnym.
1. WSTĘP
Analiza zachowania się pod obciąŜeniem roboczym elementów konstrukcyjnych wykonanych z materiałów kompozytowych jest ściśle związana z budową kompozytu, gdyŜ charakterystyki materiałowe, a w konsekwencji stan napręŜenia, odkształcenia i przemieszczenia takiego elementu zaleŜą od cech charakterystycznych składników jego materiału. MoŜna więc powiedzieć, Ŝe kaŜda, a szczególnie odpowiedzialna konstrukcja wymaga indywidualnego zaprojektowania odpowiedniego dla niej materiału kompozytowego poprzez dobór najlepszego zestawu parametrów strukturalnych takich jak: własności mechaniczne matrycy i włókien, udział i kształt wzmocnienia w poszczególnych warstwach, czy teŜ liczba i grubość warstw.
Z rozeznania literatury technicznej wynika jednak, Ŝe problem optymalnej modyfikacji kształtu osi włókien wzmacniających pozostaje nadal niezauwaŜalny lub jest dość sporadycznie rozpatrywany, chociaŜ, jak pokazują przeprowadzane badania, jest to jeden z parametrów strukturalnych, który znacząco wpływa na własności mechaniczne kompozytowych konstrukcji. I temu właśnie zagadnieniu jest poświęcona niniejsza praca.
2. OBIEKT BADAŃ
W pracy zostały rozpatrzone płaskie, dwuwymiarowe i liniowo-spręŜyste elementy konstrukcyjne obciąŜone statycznie siłami: masowymi f0 w obszarze A i obciąŜeniem T0 na brzegu ST, działającymi w ich płaszczyźnie oraz poddane działaniu przemieszczeń wstępnych u0 na brzegu SU (rys.1). Analizowane elementy konstrukcyjne wykonane są z materiału kompozytowego w postaci laminy zbudowanej z matrycy wzmocnionej włóknami o wyŜszych niŜ matryca własnościach mechanicznych. ZałoŜono, Ŝe matryca jest jednorodna, izotropowa i liniowo-spręŜysta o określonym module Younga Em i liczbie Poissona νm, zaś włókna są długie, jednorodne, izotropowe i liniowo-spręŜyste o module Younga Ew i liczbie Poissona νw, a ich udział objętościowy w kompozycie wynosi ρw. Ponadto włókna są
równomiernie i jednokierunkowo rozłoŜone w matrycy, a ich ułoŜenie jest określone poprzez kąt orientacji θ zawarty pomiędzy osią włókien a osią x globalnego układu odniesienia.
Rys.1. Kompozytowy element konstrukcyjny poddany obciąŜeniu i warunkom brzegowym Pod wpływem działania obciąŜeń roboczych w kompozytowym elemencie konstrukcyjnym, przedstawionym na rys.1, powstaje pole przemieszczeń u oraz związane z nim pole odkształceń e i napręŜeń σσσσ. Zachowanie struktury moŜna więc opisać poprzez [4]:
– równanie równowagi:
0 =0 + f σ σ σ σ
div , (1)
– związki kinematyczne:
u B
e= ⋅ (2)
gdzie B jest operatorem róŜniczkowym wiąŜącym przemieszczenia z odkształceniami, – związki konstytutywne:
D⋅e
= σσ
σσ (3)
gdzie D jest macierzą sztywności tarczowej kompozytu, – warunki brzegowe:
=
=
⋅
U T
S S brzegu
0 na
0
u u
brzegu na
T σ n σ σ
σ (4)
gdzie n jest normalną do brzegu zewnętrznego S konstrukcji.
Rozwiązanie układu równań (1-4), prowadzące do wyznaczenia parametrów stanu w postaci pól przemieszczeń u, odkształceń e i napręŜeń σσσ, stanowi etap analizy pracy σ konstrukcji w procesie jej projektowania. Do celów analizy pracy ten mikroskopowo niejednorodny materiał kompozytowy został zastąpiony, w skali makroskopowej, jednorodnym materiałem ortotropowym (rys.2).
Rys.2. Modelowanie kompozytu
h matryca (Em, νm)
włókno (Ew, νw, ρw)
1
x θ
) , , , , ,
(Em νm Ewνwθ ρw D
D=
– macierz sztywności kompozytu ) , (x b θ θ =
xi
yi
matryca (Em, νm) włókna (Ew, νw, ρw) T0
SU
ST
A
f0 materiał kompozytowy
u0
x y
Dla tak określonego materiału jego macierz sztywności tarczowej D moŜna wyrazić następującą zaleŜnością [2]:
−T
− ⋅ ⋅
=T C T
D 1 (5)
gdzie macierz C jest macierzą sztywności dla kompozytu w układzie osi ortotropii 1-2 wyznaczonym przez kierunek włókien i kierunek prostopadły do włókien i ma postać:
−
−
−
−
=
12 21
12 2 21
12 12 2
21 12
21 1 21
12 1
0 0
1 0 1
1 0 1
G E
E
E E
ν ν ν
ν ν
ν ν
ν ν
ν
C (6)
zaś T jest macierzą transformacji związaną z obrotem układu odniesienia o kąt θ zawarty między kierunkiem osi włókien, a osią x globalnego układu współrzędnych:
−
−
−
=
θ θ
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ
2 2
2 2
2 2
sin cos
cos sin cos
sin
cos sin 2 cos
sin
cos sin 2 sin
cos
T (7)
Macierz C, opisana związkiem (6), jest wyraŜona w stałych inŜynierskich modelu kompozytu, przy czym E1 i E2 są odpowiednio podłuŜnym i poprzecznym modułem Younga, ν12 i ν21
oznaczają większy i mniejszy współczynnik Poissona, zaś G12 jest modułem ścinania. Według modelu zaprezentowanego w pracy [2] stałe te wynoszą:
+ − + + +
+
+ + + + −
=
=
− +
=
−
−
−
+ −
+ −
−
+
=
− +
=
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1 ( )
1 ( 2
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1 (
) 1 (
) 1 ( 1
1 ) 1 (
1 1
) 1 (
12
) 12 1 ( 1
) 1 ( 2 21 12 2 2 1
w w w
m m w m
w w w
m m w m
w m w w
w w w m w m w m w w
m w w
w m w w
w m w w
E E
E E E G
E E
E E E
E E
E
E E E
E
E E
E
ρ ν
ρ ν
ν
ρ ν
ρ ν
ν ν
ρ ν ρ ν ν
ρ ρ ν ν
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
i zaleŜą od własności mechanicznych i geometrycznych składników kompozytu.
3. PROJEKTOWANIE KSZTAŁTU OSI WŁÓKIEN
KaŜdy z parametrów strukturalnych kompozytu w róŜnym stopniu decyduje o własnościach mechanicznych kompozytu, a w konsekwencji takŜe wykonanego z niego elementu konstrukcyjnego i moŜe być traktowany jako zmienna decyzyjna w procesie (8)
etap 1 etap 2 włókno
wzorcowe θopt
y
x
y
x )
, ( 0 0
0 x y
P
) , ( 2 2
2 x y
P n
) , ( 1 1
1 x y
P
projektowania optymalnej struktury tego materiału. W niniejszej pracy zajęto się problemem projektowania optymalnego kształtu osi włókien, pod kątem uzyskania określonych własności mechanicznych kompozytowego elementu konstrukcyjnego.
Jak pokazano na rys.1, ułoŜenie rodziny włókien wzmacniających jest zdefiniowane poprzez kąt orientacji θ zawarty pomiędzy osią tzw. „włókna wzorcowego” w dowolnym i-tym punkcie kompozytu a osią x globalnego układu odniesienia. W obszarze kompozytu parametr ten moŜe być stały i wówczas włókna są ułoŜone prostoliniowo w matrycy lub moŜe być zmienny i wtedy włókna w matrycy są ułoŜone krzywoliniowo. Tak więc ułoŜenie włókien zaleŜy od zbioru parametrów kształtu b określających krzywą przyjętą do opisu kształtu osi włókna wzorcowego, tzn. θ = θ (x, b).
Projektowanie całkiem dowolnego, a przy tym skomplikowanego kształtu osi włókien wzmacniających jest oczywiście niewskazane z technologicznego punktu widzenia. Dlatego teŜ do kształtowania osi włókien zaproponowano rozwiązanie polegające na dwustopniowej modyfikacji włókna wzorcowego (rys.3).
Rys.3. Dwustopniowe projektowanie kształtu osi włókna wzorcowego
Jak pokazano na rys.3, w pierwszym etapie projektowania ustalany jest optymalny kąt orientacji θopt dla rodziny prostoliniowych włókien wzmacniających opisanych równaniem:
2
1x b
b
y= + (9)
Następnie to optymalnie ułoŜone, prostoliniowe włókno wzorcowe jest modyfikowane, w drugim etapie, włóknem krzywoliniowym opisanym krzywą Beziera [3]:
1 0 : )
1 2 ( )
, (
) ,
( 2 2
0
≤
≤
−
=
−
∑
= yx j t t gdzie tt y
t
x j j
j j
j
b
b (10)
Podstawę konstrukcji tej krzywej stanowią współrzędne {xj, yj} trzech wierzchołków wieloboku Beziera, przy czym współrzędne punktu początkowego P0 i końcowego P2 tego wieloboku są określone ułoŜeniem optymalnego, prostoliniowego włókna wzorcowego.
Kształt pozostałych włókien w rodzinie uzyskiwany jest w wyniku przesunięcia po normalnej włókna wzorcowego, co ma zapewnić zachowanie ich równomiernego rozłoŜenia w matrycy. W efekcie generowana jest następująca rodzina włókien:
+ +
=
− + +
=
2 , 2 ,
,
2 , 2 ,
,
) ( ) ( )
, (
) ( ) ( )
, (
t t
t k
t t
t k
y x
kd x t y y
y x
kd y t x x
b b
(11)
gdzie k jest numerem włókna w rodzinie, zaś d odległością pomiędzy sąsiednimi włóknami.
4. PRZYKŁAD NUMERYCZNY
Przedstawione w poprzednich rozdziałach rozwaŜania zilustrowano przykładem numerycznym. Obiekt rozwaŜań stanowiła prostokątna tarcza (rys.4) wykonana z matrycy epoksydowej wzmocnionej szklanymi włóknami o parametrach podanych w tabeli 1.
Rys.4. Kompozytowa tarcza poddana obciąŜeniu i warunkom brzegowym Tabela 1. Parametry składników kompozytu moduł Younga
[GPa]
liczba Poissona
zawartość [%]
włókna (szklane E) Ew = 75 νw = 0.22 45 matryca (epoksyd) Em = 3.5 νm = 0.38 55
Rozpatrywany problem dotyczy takiego zaprojektowania kształtu osi włókien w kompozycie, aby wykonana z niego tarcza charakteryzowała się największą sztywnością przy jednoczesnym spełnieniu kryterium wytrzymałościowego. Problem ten moŜna przedstawić w postaci następującego zadania optymalizacyjnego:
. min )
( →
=
∫
ST
T
c dS
F bopt. uTT (12)
przy spełnieniu ograniczeń lokalnych:
(
2 33 122)
1 02 2 22 2 1 12 2
1 11 2 2 1 1
1 1
≤
− +
+ +
+ +
∑∑
== =
τ σ
σ σ σ
σ
σ W W W W W
W G
e
i k
j ij
g
(13) gdzie b jest wektorem zmiennych projektowych opisujących kształt osi włókna wzorcowego, Fc funkcjonałem celu będącym pracą wykonywaną przez siły zewnętrzne na wywołanych przez nie przemieszczeniach, zaś Gij ograniczeniem wytrzymałościowym dla ortotropowych materiałów wg kryterium Tsaia-Wu [5] określanym w kaŜdym punkcie Gaussa elementów skończonych na które podzielono tarczę. Zadanie rozwiązano przy wykorzystaniu opracowanej przez autorów do tego celu metody optymalizacyjnej opartej na algorytmie ewolucyjnym [1], a wyniki optymalizacji przedstawiono na rys.5.
Uzyskane wyniki pozwalają stwierdzić, Ŝe pełne zalety kompozytowych elementów konstrukcyjnych moŜna uzyskać w przypadku optymalnego modyfikowania kształtu osi włókien wzmacniających w procesie optymalizacji miary jakości kompozytu. Ponadto zaproponowana metoda modyfikacji moŜe być z powodzeniem stosowana przy projektowaniu konkretnej konstrukcji pracującej pod zadanym obciąŜeniem, pozwalając tym samym uniknąć
300
200 T0 = 62 MN/m2
T = 62 MN / mT0 = 62 MN / m2 T0 = 62 MN / m2
dopuszczalna wart. wytrzymałości
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
tarcza po 1 etapie projektowania – włókna prostoliniowe Fc = 448.26 [J]
stan wytęŜenia Φmax = 0.99 Φmin = -0.51
tarcza po 2 etapie projektowania – włókna krzywoliniowe Fc = 413.77 [J]
stan wytęŜenia Φmax = 0.99 Φmin = -0.55
kosztownych badań doświadczalnych, które moŜna ograniczyć do końcowych badań eksperymentalnych gotowej konstrukcji.
Rys.5. Wyniki optymalnej modyfikacji kształtu osi włókien w tarczy
LITERATURA
1. Dems K. Wiśniewski J.: Design of fibre layout in multilayer composites using hybrid algorithms. FCEE, 7, 2006, p.53-77.
2. Jones R.M.: Mechanics of composite materials. Washington: Scripta Book Company, 1975.
3. Kiciak P.: Podstawy modelowania krzywych i powierzchni. Warszawa: WNT, 2000.
4. Timoshenko S, Goodier J.N.: Teoria spręŜystości. Warszawa: Arkady, 1962.
5. Tsai, S.W., Wu, E.M.: A general theory of strength for anisotropic materials. “Journal Composite Materials” 1971.
OPTIMAL MODIFICATION OF FIBRES SHAPE IN COMPOSITE STRUCTURES
Summary. The results of investigation in the area of designing of fibre shape in composite materials so that the structure should satisfy assumed requirements in the range of mechanical properties is discussed. properties is discussed.
The optimisation method based on evolutionary algorithm is applied during design process.
Praca została wykonywana w ramach Grantu nr 501 060 32/3955 Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa WyŜszego
