OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI KOMPOZYTOWEJ OBCIĄśONEJ TERMICZNIE Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GRADIENTOWEGO
K
RZYSZTOFD
EMS, E
LśBIETAR
ADASZEWSKA Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej, Politechnika Łódzka e-mail: krzysztof.dems@p.lodz.pl, elzbieta.radaszewska@p.lodz.plStreszczenie. Celem pracy było optymalne zaprojektowanie struktury kompozytu, tak aby materiał ten spełniał stawiane wymagania w zakresie określonych własności termicznych. Do rozwiązania sformułowanego zadania zastosowano gradientową metodę optymalizacyjną opartą na analizie wraŜliwości funkcjonału celu w sposób bezpośredni rozszerzoną o metodę elementów skończonych analizy przepływu ciepła.
1. WSTĘP
W pracy rozpatrzono dwuwymiarowe płaskie elementy konstrukcyjne obciąŜone termicznie, wykonane z materiału kompozytowego w postaci laminatu składającego się z warstw macierzy wzmocnionych włóknami.
Celem pracy było optymalne zaprojektowanie struktury kompozytu, tak aby materiał ten spełniał stawiane wymagania w zakresie określonych własności termicznych. W tym celu wykorzystano model zastępczy kompozytu, a następnie na jego bazie podjęto próbę ustalenia najbardziej korzystnej orientacji, ułoŜenia włókien w warstwie kompozytu w funkcji uzyskania maksymalnej lub minimalnej wartości strumienia ciepła. To zadanie optymalizacyjne było rozpatrywane przede wszystkim z uwagi na kształt i orientacje włókien wzmacniających w matrycy, które to cechy przyjęto jako zmienne parametry projektowania.
Jako funkcjonał celu została zbadana maksymalna lub minimalna wartość strumienia ciepła na brzegu ciała. Do poszukiwania optymalnych rozwiązań zastosowano gradientowy system optymalizacyjny oparty na metodzie zmiennej metryki, przy czym wraŜliwość I rzędu funkcjonału celu została wyznaczona przy uŜyciu metody bezpośredniej analizy wraŜliwości.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
RozwaŜmy (rys.1) element konstrukcyjny, wykonany z materiału kompozytowego, składającego się z matrycy wzmocnionej jednokierunkowo włóknami. Matryca i włókna są materiałami jednorodnymi izotropowymi o współczynnikach przewodzenia ciepła wynoszącymi odpowiednio: λm i λw. Ponadto załoŜono, Ŝe zawartość objętościowa włókien wzmacniających w kompozycie wynosi ρw.
Rys.1. Kompozytowy element konstrukcyjny poddany obciąŜeniu
Proces optymalnego projektowania struktury kompozytowej obciąŜonej termicznie został poprzedzony budową modelu [3]. Celem modelowania było określenie macierzy przewodności materiału konstrukcyjnego w funkcji charakterystyk materiałowo – geometrycznych jego składników, a opracowany model stanowił punkt wyjścia do sformułowania zadania optymalizacji w procesie jego projektowania.
Przy budowie modelu kompozytu mikroskopowo niejednorodny materiał, będący mieszaniną matrycy i włókien, został zastąpiony w skali makroskopowej jednorodnym, materiałem o własnościach ortotropowych.
Własności cieplne tego materiału zaleŜą od własności termicznych macierzy i włókien wzmacniających oraz od objętościowego udziału i kształtu przekroju włókien wzmacniających oraz orientacji ułoŜenia włókien w warstwie kompozytu. [4].
Wykorzystując model zastępczy kompozytu, podjęto próbę takiego zaprojektowania kształtu linii włókien wzmacniających w warstwie kompozytu, aby uzyskać maksymalną lub minimalną wartość gęstości strumienia ciepła na brzegu obciąŜonym cieplnie mniejszą temperaturą.
Kształt linii, na których kierunkach ułoŜone są włókna w matrycy, moŜna określić poprzez wektor θ =
[
θ1,θ2,...,θm]
, którego elementy są kątami orientacji włókna lub parametrami definiującymi te kąty w dowolnym k-tym punkcie kompozytowego materiału konstrukcji (rys.2). W obszarze warstwy parametr ten moŜe być stały i wówczas włókna są ułoŜone prostoliniowo w matrycy lub moŜe być zmienny i wtedy włókna w matrycy są rozmieszczone krzywoliniowo. W przypadku włókien krzywoliniowych ich orientacja zaleŜy od załoŜonego kształtu osi włókien wzmacniających, przy czym kształt ten moŜe zaleŜeć od przyjętych wartości zmiennych projektowych [7].Rys.2. Orientacja włókna w materiale kompozytowym
W pracy rozpatrywano przypadek włókien prostoliniowych oraz krzywoliniowych, dla których kształt osi „włókna wzorcowego” jest opisany krzywą Beziera.
PoniewaŜ dla prostoliniowego włókna, jego orientacja jest bezpośrednio określona przez kąt nachylenia θk osi tego włókna do osi x globalnego układu odniesienia w „k-tej” warstwie (rys.3), to w takim przypadku kąt ten jest traktowany jako parametr kształtu:
x y
xk
yk
θk
y
x materiał kompozytowy:
matryca - λm włókno - λw ; ρw
k
k θ
s
Rys.3. Włókna prostoliniowe o dowolnej orientacji
W pracy rozpatrzono równieŜ przypadek włókien krzywoliniowych, dla których kształt osi
„włókna wzorcowego” jest opisany krzywą Beziera (rys.4). Współrzędne tej krzywej określa związek parametryczny (2) zaś
i
n oznacza symbol Newtona [5]:
1 0 : )
1 ( )
, (
) , (
0
≤
≤
−
=
−
∑
= ni t t gdzie ty x t
y t x
i n i n
i k
i k i
k k
s s
(2)
Wartości xik
i yik
są współrzędnymi wierzchołków Pik
wieloboku zwanego wielobokiem Beziera, który stanowi podstawę konstrukcji krzywej Beziera w „k-tej” warstwie kompozytu.
Zbiorem parametrów kształtu dla tej krzywej są natomiast niezaleŜne współrzędne wierzchołków Beziera określone zaleŜnością (3):
=
= =
n i
m dla k
y xi i k
k 0,...,
, ...
, } 1
, {
s (3)
gdzie m jest ilością warstw, zaś n liczbą wierzchołków wieloboku Beziera osi „włókna wzorcowego” w „k-tej” warstwie.
Rys.4. Włókna krzywoliniowe o osi opisanej krzywą Beziera
Wymienione parametry będą stanowić wektor zmiennych projektowych b ={sk} w procesie optymalnego projektowania struktury materiału kompozytowego.
y
x b
ax y= +
θk ∈ 〈00; 1800 〉
y
x P3 (x3, y3)
P0 (x0, y0)
wielobok Beziera
krzywa Beziera P1 (x1, y1)
P2 (x2, y2)
xi
yi
3. ANALIZA WRAśLIWOŚCI
W celu zastosowania metod gradientowych do rozwiązywania zadań optymalizacji elementów konstrukcyjnych trzeba dysponować zarówno algorytmem wyznaczania wartości funkcjonałów celu jak i algorytmem wyznaczania wraŜliwości pierwszego rzędu z uwagi na zmianę wartości parametrów projektowania.
Określenie wektora wraŜliwości dowolnego funkcjonału będącego lokalną lub globalną miarą zachowania się obciąŜonej termicznie konstrukcji wymaga znajomości jej pochodnych pól stanu ze względu na składowe wektora zmiennych projektowych. W celu określenia wraŜliwości pierwszego rzędu metodą bezpośrednią naleŜy rozwiązać problem dodatkowy przewodzenia ciepła, stowarzyszony z kaŜdym parametrem projektowania.
Równanie przewodzenia dla problemu dodatkowego określa się, róŜniczkując równanie przewodzenia w układzie podstawowym. Warunki brzegowe na fragmentach brzegu zewnętrznego, w układzie dodatkowym stowarzyszonym z p-tym parametrem projektowania, moŜna otrzymać przez zróŜniczkowanie równań dla układu podstawowego [2].
Szukane wraŜliwości pól stanu konstrukcji podstawowej wyraŜają się przez odpowiednie pola stanu konstrukcji dodatkowej.
Rys.5. Problem podstawowy ustalonego przewodzenia ciepła
Równanie przewodzenia ciepła oraz warunki brzegowe w układzie podstawowym mają następującą postać dla ustalonego przewodzenia ciepła [8]:
T 0 f div
∇
−
=
= +
− λ q
q
)]
( T ) h[T(
) ( q
) ( q ) ( ) ( q
( T ) T(
n
0 n n
0
x x
nq x
x x
nq x
x) x
− ∞
=
=
=
=
=
(4)
gdzie:
T- pole temperatury,
q- natęŜenie strumienia przewodzonego ciepła, λ - macierz współczynników przewodzenia, f- wewnętrzne źródło ciepła.
Postać ogólna dowolnego funkcjonału analizowanego dla problemu ustalonego przewodzenia ciepła wyraŜa się następującą zaleŜnością [2].
( ) ( )
∫
Γ ∇ Ω+∫
Γ= T T d T q d
Fc , ,φp γ , n (5)
Po zróŜniczkowaniu równań w układzie podstawowym równanie przewodzenia i równania opisujące warunki brzegowe określające pola na odpowiednich brzegach zewnętrznego układu dodatkowego w metodzie bezpośredniej wyraŜają się następującymi zaleŜnościami dla problemu dodatkowego:
Γ=ΓT∪Γq∪Γc
qn
Γc T0
n0 q
Γq
Ω f
λλλλ ΓT
• równanie przewodzenia w układzie dodatkowym:
T ,
q T, ,
0 f, , div
p
*
* p p
p p
∇
−
=
+
∇
−
=
= +
−
A q
A q
q
gdzie: p - p-ty parametr projektowania
• warunki brzegowe w układzie dodatkowym:
(
∞)
∞
∞
−
=
−
=
=
=
=
=
T h T
T h,
] T h[T, ,
, q
0 , , q
0 ) ( T,
p p
p p p
p n
p p n
p
nq nq x
(6)
ZaleŜność opisującą wraŜliwość dowolnego funkcjonału wyznaczoną metodą bezpośrednią moŜna zapisać następująco dla ustalonego przewodzenia ciepła:
T q
i i
c d
p q d q
p T d T
p p T T p T T p
F ⌡ Γ
⌠
∂
∂
∂ + ∂
∂ Γ
∂
⌡
⌠
∂ + ∂
Ω
⌡
⌠
∂ Γ +∂
∂
∂
∂ Γ + ∂
∂
∂
∂ Γ
= ∂ γ γ
δ
δ ,
, (7)
4. OPTYMALNE PROJEKTOWANIE – METODY GRADIENTOWE
W procesie projektowania optymalnych struktur kompozytów włóknistych, do poszukiwania minimum funkcjonału celu bez ograniczeń, została uŜyta metoda zmiennej metryki rozszerzona o metodę bezpośrednią analizy wraŜliwości słuŜącą do wyznaczania w kolejnych iteracjach gradientu funkcjonału celu ∇Fc z uwagi na zmienne projektowe.
Podstawową ideą metody zmiennej metryki jest konstrukcja ciągu macierzy {Vk} stanowiących przybliŜenia odwrotności macierzy drugich pochodnych funkcji celu Fc.
Macierze te wyznacza się na podstawie znajomości zmian gradientu funkcji celu w poprzednich iteracjach metody [6].
KaŜda iteracja metody polega na wyznaczeniu kierunku poprawy dk, w kolejnych punktach bk generowanych przez algorytm korzystając z zaleŜności:
) ( k
c k
k V F b
d =− ∇ (8)
a następnie, w wyniku minimalizacji w tym kierunku, otrzymuje się punkt bk+1.
W pierwszej iteracji jako V0 stosowana jest macierz jednostkowa I. W następnych iteracjach macierz Vk obliczana jest na podstawie metody Davidona-Fletchera-Powella (DFP) według następującego schematu:
) ( )
( ,
1 1
−
−
∇
−
∇
=
−
=
k c k
c k
k k k
F
F b b
r
b b
s (9)
oraz oblicza się nową macierz Vk , zgodnie ze wzorem:
k k k
k k k k k k
k k k
k r V r
V r r V r s
s V s
V
1 1 1
1 ( )
) ( )
( ) (
−
−
− + − −
= T
T T
T
(10)
WaŜnym elementem algorytmu jest odnowa, polegająca na podstawieniu macierzy jednostkowej I jako aktualnej macierzy Vk, co prowadzi do uŜycia kierunku największego
spadku dk = –∇Fc(bk). Odnowę przeprowadza się wówczas, gdy kierunek dk opisany wzorem (8), nie jest kierunkiem poprawy lub gdy od czasu ostatniej odnowy wykonano 2p + 1 iteracji, gdzie p jest liczbą zmiennych projektowania. Za podstawowe kryterium zatrzymania omówionej metody przyjęto warunek (11), gdzie ε jest dokładnością obliczeń.
ε
≤
∇F bc( k) (11)
5. PRZYKŁAD ILUSTRACYJNY
Do rozwiązania sformułowanego zadania zastosowano, opracowaną do tego celu, metodę optymalizacyjną opartą na analizie wraŜliwości funkcjonału celu rozszerzoną o metodę elementów skończonych analizy układów termicznych [1]. Do poszukiwania optymalnych rozwiązań zastosowano gradientowy system optymalizacyjny, a następnie podjęto próbę ustalenia najbardziej korzystnej orientacji, ułoŜenia włókien w warstwie kompozytu w funkcji uzyskania maksymalnej lub minimalnej wartości strumienia ciepła.
∫
ΓΓ
= qd
Fc → max lub
∫
Γ
Γ
= qd
Fc → min (12)
Optymalnemu projektowaniu został poddany materiał kompozytowy elementu konstrukcyjnego przedstawionego na rys.6 w postaci laminatu zbudowanego z warstwy epoksydowej matrycy wzmocnionej jednokierunkowo włóknami szklanymi o danych materiałowych zestawionych w tabeli 1.
Tabela 1: Dane materiałowe składników warstwy kompozytu współczynnik przewodzenia ciepła [W/(mK))] zawartość [%]
włókna (szklane E) λw = 0.3 30 matryca (epoksyd) λm = 0.04 70
Aby ocenić jakość zaprojektowanego elementu konstrukcyjnego, porównano jego wartość strumienia ciepła z wartością strumienia ciepła identycznej konstrukcji, ale wykonanej z kompozytu wzmocnionego jednokierunkowo, prostoliniowymi włóknami ułoŜonymi w kierunku osi x.
Rys.6. Warunki brzegowe kompozytowego kątownika
200
h k
150
mm 300
mm
100
mm
T=200
T=2000 x
y z
konstrukcyjnego po procesie optymalizacji przedstawiono na rys.7 i na rys.8.
Rys.7. Element konstrukcyjny po optymalizacji wzmacniany prostoliniowymi włóknami
Rys.8. Element konstrukcyjny po optymalizacji wzmacniany włóknami o osi opisanej krzywą Beziera
∫
ΓΓ
= qd
Fc → max θ1 = 25,662 0
Fopt = 0,54 W
∫
ΓΓ
= qd
Fc → min θ1= 110.6470
Fopt = 0.41 [W]
Fpor= 0.46 [W]
17 .
=1 Fpor
Fopt
89 .
=0 Fpor
Fopt
∫
ΓΓ
= qd
Fc → max Fopt = 0.63 [W]
37 .
=1
por opt
F F
Przeprowadzona analiza wskazuje, Ŝe moŜna tak dobierać kształt i orientacje włókien w kompozycie, aby osiągnąć optymalne parametry materiału z uwagi na realizowany w nim przepływ ciepła.
Wyniki badań mogą jednocześnie stanowić punkt wyjścia do projektowania optymalnych izolatorów lub radiatorów.
Pracę wykonano w ramach Grantu nr N 501 06032/39/58 Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa WyŜszego.
LITERATURA
1. Chandrupatla T.R., Belegundu A.D.: Introduction to finite elements in engineering.
Prentice Hall 1991.
2. Dems K., Mróz Z.: Sensitivity analysis and optimal design of external boundaries and interfaces for heat conduction systems. „J. Thermal Stresses” 1998, No. 21, 3-4, s.461- 488.
3. Dems K., Radaszewska E.: Modelowanie własności termicznych w wielowarstwowym materiale kompozytowym.. „Modelowanie InŜynierskie” 2006, Vol.1 nr 32, s. 97-104.
4. German J.: Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych. Kraków: Wyd. Pol. Krak.
1996.
5. Kiciak P.: Podstawy modelowania krzywych i powierzchni - zastosowania w grafice komputerowej. Warszawa: WNT, 2000.
6. Kręglewski T., Rogowski T., Ruszczyński A., Szymanowski J.: Metody optymalizacji w języku Fortran. Warszawa: PWN, 1984.
7. Wiśniewski J.: Optymalne projektowanie struktur kompozytowych obciąŜonych mechanicznie. W: Materiały krajowego sympozjum „Modelowanie i symulacja komputerowa w technice”. Łódź 2005, s.227-232.
8. Wiśniewski S.: Wymiana ciepła. Warszawa: PWN, 1988.
OPTIMAL DESIGN OF COMPOSITE STRUCTURE THERMALLY LOADED USING THE GRADIENT ALGORITHM
Summary. The purpose of this work was the optimal designing of composite structure in order to obtain the material that fulfils imposed requirements on thermal properties. The gradient oriented algorithm was applied, in which the desired first order sensitivities of objective functional were calculated using the direct approach. To analyse the problem of heat transfer within structure domain, the finite element method was utilised.
This work was supported by Grant N 501 06032/39/58 of Ministry of Science and Higher Education.
