MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, str. 105-112, Gliwice 2006
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ
WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI ŻEBRAMI
KRZYSZTOF DEMS
JAN TURANT
Katedra Inżynierskich Zastosowań Informatyki, Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi
Streszczenie. W pracy rozpatrywany jest problem optymalnej dystrybucji materiału wzmacniającego w konstrukcjach tarczowych. Założono, że rozkład materiału wzmacniającego następuje wzdłuż linii o dowolnym kształcie, które tworzą linie funkcjonalnie odpowiadające żebrom. W etapie analizy konstrukcji wykorzystano metodę elementów skończonych, a w etapie syntezy wykorzystano hybrydowy algorytm ewolucyjny, w którym zastosowano gradientowe metody uczenia się osobników populacji macierzystej.
1. WSTĘP
Ze względu na potrzebę zapewnienie korzystnych własności wytrzymałościowych i relatywnie niskich kosztów materiałowych, konstrukcje mechaniczne charakteryzują się często nierównomiernością rozłożenia materiału, a w konsekwencji własności wytrzymałościowych ich elementów. Nierównomierność ta ma na celu efektywne wykorzystanie materiału konstrukcji pracującej w zadanych warunkach eksploatacyjnych.
Intuicyjne projektowanie odpowiedniego rozłożenia materiału jest przedsięwzięciem trudnym i zależy w dużej mierze od doświadczenia i wyczucia projektanta. W efekcie powstała konstrukcja musi oczywiście spełniać wymagane kryteria funkcjonalne natomiast nie musi być rozwiązaniem najlepszym spełniającym dodatkowe kryteria, np. ekonomiczne. W konsekwencji, aby zbliżyć się do rozwiązań najlepszych z określonego punktu widzenia i równocześnie spełniających kryteria funkcjonalne, konieczne jest wykorzystywanie technik optymalizacyjnych realizujących proces odpowiedniej dystrybucji materiału w obszarze konstrukcji.
Spośród metod optymalizacyjnych na szczególną uwagę zasługują metody bezgradientowe oparte na mechanizmach ewolucyjnych, które w połączeniu ze standardowymi metodami gradientowymi tworzą efektywne algorytmy hybrydowe poszukiwania rozwiązań najlepszych.
W prezentowanej pracy rozpatrywany jest problem dystrybucji materiału wzmacniającego w konstrukcjach tarczowych. Problem optymalnego kształtowania dyskretnych linii wzmocnień był analizowany między innymi w [2,3,4]. W prezentowanej pracy założono, że rozkład materiału wzmacniającego następuje wzdłuż linii o dowolnym kształcie, które tworzą linie funkcjonalnie odpowiadające żebrom. Skokowa zmiana własności mechanicznych materiałów, z którą mamy do czynienia wprowadzając materiał wzmacniający wzdłuż
określonych linii, wywołuje skok sił wewnętrznych w tarczy przy równoczesnym zachowaniu ciągłości przemieszczeń.
Istotą efektywnego kształtowania wprowadzonych linii wzmocnień jest przejęcie przez nie obciążeń przenoszonych przez konstrukcję przy równoczesnym ich równomiernym wytężeniu.
Celem przeprowadzonego procesu optymalnego projektowania jest określenie kształtu linii wzmacniających żeber, które powodować będą możliwie równomierne wytężenie konstrukcji tarczowej.
W etapie analizy pracy konstrukcji wykorzystano metodę elementów skończonych. W trakcie dyskretyzacji obszaru konstrukcji wykorzystano dwa typy elementów skończonych.
Obszary tarczy wykonane z materiału słabszego pokryto siatką serendipowskich ośmiowęzłowych elementów tarczowych a linie wzmocnień modelowano jednowymiarowymi dwuwęzłowymi elementami typu cubic-cubic Hermit C1.
W etapie syntezy, bazującej na algorytmie optymalizacyjnym, wykorzystano hybrydowy algorytm ewolucyjny, w którym zastosowano gradientowe metody uczenia się osobników populacji macierzystej.
Podejście zaprezentowane w pracy zilustrowano przykładami optymalizacji kształtu wzmocnień w tarczach obciążonych siłami w swojej płaszczyźnie środkowej.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
Rozpatrzmy tarczę, pokazaną na rys. 1, zajmującą obszar Ω ograniczoną brzegiem zewnętrznym S. Założymy, że tarcza jest podparta na brzegu Su i obciążona na brzegu ST siłami T0 i w obszarze tarczy siłami masowymi f. W obszar tarczy wprowadzono wzmocnienia, których linie środkowe Γi mogą być poddane procesowi modyfikacji kształtu. Zachowanie się takiej tarczy opisane jest poprzez równania równowagi, związki kinematyczne i równanie konstytutywne dane odpowiednio w postaci:
( )
(
mn imn mni)
ij ij
i j j i ij
i j ij
F u u f
σ ε ε σ
ε σ
, ,
w ,
2 , 1
0 ,
=
Ω +
=
= +
(1)
oraz dodatkowymi warunkami wzdłuż linii wzmocnień, w których założono ciągłość przemieszczeń i skok sił wewnętrznych (rys.2). Warunki te wzdłuż dowolnej linii wzmocnienia można zapisać w postaci:
Γi
=
−
=
Γ
Γ Γ
Γ na
0
1 2
u
T T
T (2)
Ω T0
u0 Su
ST
x2
x1
Γi
f
Γi
Γi
T1Γ
T2Γ
<TΓ>=T2Γ−T1Γ
Rys.1. Tarcza wzmocniona wieloma żebrami Rys.2. Dekompozycja tarczy
Skok sił wewnętrznych <TΓ> wywołany wprowadzeniem żebra wzdłuż linii Γi generuje w nim uogólnione naprężenia spełniające równania równowagi krzywoliniowego elementu łukowego (rys 3).
t n
<T >nn
<T >ns
M1 M2
N1 N2
Q1 Q2
Rys.3. Łuk żebra obciążony siłami wewnętrznymi tarczy
Równania te oraz związki kinematyczne i równanie konstytutywne dla takiego elementu uzupełniają równania opisujące zachowanie się użebrowanej tarczy. Związki te (por. [1]) można zapisać w postaci:
( )
κ θ( )
εε
ε
κ N L
L M
Ku u
Ku u
T K M NK T
K M N
i s
s n n
s s
nn ss
ns s
s
=
= − = + Γ
=
= +
−
= +
− Γ Γ
,
na ,
, ,
0 ,
, 0 ,
,
(3)
gdzie (.),s i (.),n oznaczają odpowiednio pochodną cząstkową po naturalnym parametrze łukowym oraz w kierunku do niego prostopadłym, a K oznacza krzywiznę łuku żebra.
Dodając do układu równań (1-3) warunki na brzegu podpartym Su i obciążonym ST zapisane w postaci:
u T
S S na na
0 0
u u
T T
=
= (4)
otrzymujemy komplet zależności opisujących badaną konstrukcję.
3. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU OPTYMALIZACYJNEGO
Głównym celem prowadzonego procesu optymalizacyjnego jest optymalne, z kreślonego punktu widzenia, ukształtowanie linii żeber. Jako zmienne projektowania przyjęto współrzędne wierzchołków wieloboku Beziera przy pomocy, którego opisano kształt linii żeber.
W procesie optymalnego projektowania tarcz wzmocnionych wieloma żebrami rozpatrywano dwa różne problemy optymalizacyjne, pozwalające na poszukiwanie konstrukcji najmniej wytężonej oraz konstrukcji najsztywniejszej. W pierwszym przypadku problem optymalizacyjny sformułowano w postaci:
( )
V constV
l d A d
G
f
k k
ż żred k k
t red t
=
=
Γ
+
Ω
=
∫ ∫
0
1
0 1
0 1
iu ograniczen przy
1 min 1
b
σ σ σ
σ
(5)
gdzie A jest polem tarczy, l długością żeber, σt red i σż red oznaczają odpowiednio naprężenia zredukowane w tarczy i żebrach, a σ0t i σ0ż ich poziomy dopuszczalne, k oznacza zaś parzystą liczbę naturalną. Zauważmy, że gdy k → ∞ funkcjonał G1 staje się miarą maksymalnych lokalnych naprężeń zredukowanych. W problemie optymalizacyjnym (5) wprowadzono ograniczenie na całkowitą objętość materiału wzmacniającego.
W przypadku projektowaniu sztywnościowego wykorzystano funkcjonał opisujący pracę sił zewnętrznych, a problem optymalizacyjny zapisano w formie:
( )
V constV dS G
f T
=
=
=
∫
0 0
2
iu ograniczen przy
min
b u
T (6)
stawiając podobne ograniczenie jak w problemie (5).
4. STRATEGIA OPTYMALIZACYJNA
W procesie rozwiązania problemów optymalizacyjnych (5) i (6) wykorzystano hybrydowy algorytm ewolucyjny z kodowaniem zmiennoprzecinkowym. Zaproponowany schemat algorytmu został przedstawiony na rysunkach 4 i 5.
Selekcja deterministyczna
Mutacja
gaussowska niejednorodna Krzyżowanie heurystyczne
STOP TAK Populacja początkowa
Najlepszy osobnik Ocena przystosowania
Gradientowe uczenie wybranych osobników
populacji (rys.5)
NIE
Gradientowe uczenie wybranych osobników
populacji
Wyznacz kierunek najszybszego wzrost
Wykonaj jedną iterację metodą interpolacji kwadratowej
Rys.4 Schemat zastosowanego algorytmu ewolucyjnego
Rys.5. Schemat gradientowego procesu uczenia się osobników
W zaproponowanym algorytmie ewolucyjnym zastosowano standardowe, dla kodowania zmiennoprzecinkowego, operatory genetyczne, takie jak krzyżowanie heurystyczne i mutację gaussowską niejednorodną. W etapie uczenia osobników zastosowano metodę najszybszego spadku wykonując jedną iterację metodą interpolacji kwadratowej w wyznaczonym kierunku poprawy. Procesowi uczenia poddano 10% najlepszych osobników każdej populacji.
Jako funkcję przystosowania wybrano funkcję wykładniczą w postaci:
( )
( )
−
− −
= max min
min
G G
G a G
e
f (7)
gdzie G jest funkcjonałem celu wprowadzonym w (5) lub (6), a Gmax i Gmin oznaczają odpowiednio maksymalną i minimalną wartość tego funkcjonału w aktualnym pokoleniu.
Współczynnik a ma tutaj znaczenie skalujące i pozwala mniej lub bardziej uwypuklić maksimum globalne, zaś znak minus przy tym współczynniku zamienia oryginalny problem minimalizacyjny na problem poszukiwania maksimum.
5. PRZYKŁADY ILUSTRACYJNE
Na podstawie strategii przedstawionej w punkcie 4. zrealizowano dwa przykłady optymalnego kształtowania linii żeber ze względu na dwa różne kryteria optymalizacyjne wprowadzone w punkcie 3.
5.1. Wytężeniowe projektowanie tarczy
Jako pierwszy przykład rozpatrzmy tarczę wirującą ze stałą prędkością kątową, zamocowaną na brzegu wewnętrznym Sw w ten sposób, że odebrane zostały styczne przemieszczenia punktów tego brzegu (rys.6). Jako zmienne projektowania wybrano 5 współrzędnych biegunowych wieloboku Beziera opisującego kształt każdego żebra tarczy.
Jako miarę jakości takiej tarczy przyjęto jej wytężenie przy zadanym obciążeniu. Tak więc tarcza optymalna będzie konstrukcją, której można nadać najwyższe obroty, co w prosty sposób przekłada się na ilość energii kinetycznej gromadzonej w takiej tarczy i jej jakość jako akumulatora energii. Zatem problem optymalizacyjny przyjęto w postaci (5). Wprowadzone w (5) ograniczenie zrealizowano, zakładając, że przekrój poprzeczny żebra jest prostokątny o stałej szerokości równej grubości tarczy, zaś jego wysokość zmienia się tak, aby przy zmieniającej się w procesie optymalizacyjnym długości żebra jego objętość pozostawała niezmienna.
Obliczenia przeprowadzono metodą elementów skończonych, wprowadzając w obszar tarczy 8, 16 lub 32 żebra. W procesie optymalizacyjnym gradienty funkcji przystosowania były obliczane metodą różnic skończonych centralnych. Optymalne kształty linii żeber, naniesione na zastosowaną siatkę elementów skończonych, przedstawiono na rysunkach 7. Porównując wyniki otrzymane przy różnej liczbie żeber otrzymano 2.5% zmniejszenia poziomu maksymalnych naprężeń zredukowanych przy przejściu z 8 do 16 żeber i kolejne 3.2%
zwiększając ich liczbę do 32, przy zachowaniu stałej objętości materiału wzmacniającego.
Rys.6. Wirująca tarcza wzmocniona zebrami, opis kształtu żebra – wielobok Beziera
Rys.7. Optymalne kształty linii żeber na zastosowanej siatce elementów skończonych dla różnej liczby żeber
5.2. Sztywnościowe projektowanie tarczy
W przykładzie tym rozpatrzono obecnie tarczę pokazaną na rysunku 8, obciążoną rozciągającymi siłami q1 i q2 wzdłuż krótszych boków i podpartą wzdłuż boków dłuższych. W obszar tarczy zostały wprowadzone żebra, które zaczynają się i kończą na brzegach obciążonych. Celem projektowania było takie ukształtowanie zadanej liczby żeber, aby sztywność całej konstrukcji była jak największa. W konsekwencji jako zmienne projektowania zostały wybrane 4 niezależne współrzędne wierzchołków wieloboku Beziera (rys.8) opisujące kształt pojedynczego wzmocnienia. W efekcie w zależności od liczby żeber zmieniała się całkowita liczba zmienny projektowania. I tak dla konstrukcji z trzema żebrami wynosiła ona 12, z siedmioma 21, aż wreszcie dla konstrukcji z piętnastoma żebrami wynosiła ona 60 zmiennych projektowania.
Problem optymalizacyjny przyjęto tym razem w postaci (6). Ograniczenie występujące w sformułowaniu (6) zostało wyeliminowane podobnie jak w przykładzie poprzednim. Gradienty funkcji przystosowania, niezbędne w procesie uczenia osobników były pozyskane przy pomocy różnic skończonych.
Obliczenia przeprowadzono dla dwóch wariantów obciążeń, a mianowicie: 1. q1 =q2 oraz 2. q1 =10q2
q1
q2
b1
b2
b3
b4
Rys.8. Tarcza wzmocniona żebrami i opis kształtu żeber
Wyniki przeprowadzonych obliczeń dla przypadku 1 i 2 pokazano odpowiednio na rysunkach 9 i 10. Otrzymany kształt linii żeber naniesiono ponownie na rzeczywistą siatkę elementów skończonych zastosowaną w trakcie analizy pracy konstrukcji. Porównując, w przypadku obciążenia pierwszego, wyniki otrzymane przy rozkładzie całkowitej objętości materiału wzmocnień na różną liczbę żeber otrzymano zwiększenie sztywności konstrukcji o 4.2% przy przejściu z 3 do 7 żeber i dalsze 6.3 % przy zwiększeniu ich liczby do 15. Dla przypadku drugiego obciążenia podobne porównania dały wyniki 2.0% i 9.0%.
Rys.9. Optymalne kształty linii żeber dla przypadku q1 =q2
Rys.10. Optymalne kształty linii żeber dla przypadku q1 =10q2
6. PODSUMOWANIE
Przeprowadzone obliczenia wykazały skuteczność zaproponowanego algorytmu optymalizacyjnego do rozpatrywanej klasy zadań. Skuteczność zaproponowanej metody, jak wykazują symulacje na funkcjach testowych, jest silnie zależna od dokładności wyznaczania gradientów funkcji celu co, może wskazywać na sensowność wykorzystania bardziej precyzyjnych i efektywnych mechanizmów obliczania gradientów funkcji przystosowania bazujących np. na metodzie sprzężonej analizy wrażliwości. Metoda ta wymaga, bez względu na liczbę zmiennych projektowania, rozwiązania tylko jednego problemu dodatkowego.
Wyniki obliczeń potwierdziły ogólnie przyjęty pogląd, że większa równomierność rozłożenia materiału wzmacniającego w konstrukcji wpływa korzystnie na jej parametry użytkowe.
LITERATURA
1. Dems K., Mróz Z,: ”A variational approach to sensitivity analysis and structural optimization of plane arches”, Mech. Struct. Mach., 15(3), 297-321, 1987
2. Dems K., Mróz Z., Szeląg D.: „Optimal design of rib-stiffeners in disks and plates”, Int. J. Solids Structures, 25, 973-998, 1989
3. Mróz Z., Dems K.: „Discret and continuous reinforcement of materials”(in Optimal Design in Advanced Materials, Ed. P. Pedersen), Elsevier, Amsterdam 1993.
4. Turant J., Dems K., Sensitivity and Optimal Design of Reinforcing Interfaces in Composite Disks, FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe, Vol.9, No.32, p.57-62, 2001
THE OPTIMAL DESIGN OF DISKS REINFORCED WITH UNIFORMLY SPACED RIBS
Summary. In the paper the problem of reinforcing material distribution in disk like structures is considered. It was assumed that reinforcing material is distributed along lines of arbitrary shape corresponding functionally with ribs. In analysis step of the structure behaviour the finite element method was used. In synthesis step, based on optimization algorithm, hybrid evolutionary algorithm was used, in which gradient learning methods of parent population individuals were incorporated. The presented approach was illustrated with some examples of optimal design of reinforcements in disks loaded in their plane.
