Algorytmy wykorzystujące filtrację dolnoprzepustową

Schemat blokowy jednego z algorytmów wykorzystujących filtrację dolnoprzepustową przedstawia rysunek 6.12. Jego zasada działania wykorzystuje fakt, że wyniki uzyskiwane przez model A, przy kolejnych coraz mniejszych częstotliwościach próbkowania, począwszy od f_p = ⋅4 f_smax są zbieżne do wartości

rzeczywistej f_s, wyznaczonej przy optymalnej częstotliwości próbkowania f_p = ⋅7 f_s. Wynika to z faktu, że błąd pomiaru w najbardziej niekorzystnym przypadku

(fsmin=5Hz) osiągnie, dla f_p= ⋅4 f_smax =800Hz szacunkową wartość 250-300% i jest to

błąd dodatni, jak wykazano w poprzednim rozdziale. Oznacza to, że maksymalnie zafałszowany wynik będzie miał wartość kilkunastu herców. Dobierając dla np. fs’=15Hz optymalną gęstość próbkowania k=7 otrzymamy, fp=105Hz, co dla rzeczywistej fs=5Hz daje k=21. Otrzymana wartość k należy nadal do optymalnego zakresu dla modelu A, stąd wynik uzyskany w drugim kroku powinien być obarczony

błędem nie przekraczającym wartości 1%. Rzeczywista liczba kroków obliczeniowych zależy od przyjętej wartości różnicy wyników uzyskanych w kolejnych krokach (eps), dzięki czemu, przy właściwie przeprowadzonej filtracji jest możliwe uzyskanie niższego błędu niż δ=1%.

próbkowanie decymacja dodatkowa (fp=7fs) f_s− 'f _s <eps wynik (fs) N T filtracja zgrubna i dolnoprzepustowa

START

decymacja podstawowa (fp=4fsmax)

wyznaczenie fs (model A)

fp, fsmin, fsmax, eps, fil1, fil2

STOP

Rysunek 6.12. Schemat blokowy algorytmu do pomiaru częstotliwości f_s, wykorzystującego filtrację

dolnoprzepustową oraz decymację, z adaptacyjnym doborem częstotliwości próbkowania f_p.

Oznaczenia: eps- założona różnica wyników uzyskanych w kolejnych krokach, f_smax,f_smin- zakres

pomiarowy metody, f’_s – wynik uzyskany w kolejnym kroku obliczeniowym, fil1, fil2- parametry filtrów;

zgrubnego i dolnoprzepustowego.

Dolna granica błędu jest ograniczona przez poziom szumu w badanym sygnale, po jego filtracji. Nie jest zatem zalecane ustalenie bardzo niskiej wartości eps (np. 0,001), gdyż nie spowoduje to znacznego ograniczenia błędu, natomiast może doprowadzić do „rozbiegania” algorytmu. Przedstawiony algorytm został zaprojektowany dla zakresu pomiarowego, opisywanego w niniejszej pracy, jednak nie istnieją przesłanki uniemożliwiające wykorzystanie go do zakresu rozszerzonego do kilkuset herców. Jedynym ograniczeniem wartości f_smax jest skuteczność filtracji dolnoprzepustowej przy rozszerzeniu pasma przepustowego. Ograniczeniem

zakresu od dołu jest trudność z pierwotnym rozpoznaniem częstotliwości fs przy wysokiej wartości k (np. k=1000). W takiej sytuacji wynik może być przypadkowy, co uniemożliwia poprawne działanie algorytmu. Dla wybranego zakresu pomiarowego oraz częstotliwości próbkowania należy dobrać parametry filtrów, zgrubnego i dolnoprzepustowego, oznaczonych na schemacie fil1, fil2. Dla obu prezentowanych filtrów zgrubnych ustawiono wartości graniczne U_max=±500 V, natomiast dodatkowo dla filtru z rysunku 6.5 wartość dUmax=50V. Takie ustawienia sprawdziły się dla większości badanych sygnałów. Wartość eps może zostać wprowadzona na stałe na optymalnym poziomie - w praktyce eps=0,05-0,1. Proponowany algorytm może współpracować zarówno z próbkowaniem techniką pasmową, jak również z filtracją zgrubną, lecz zastosowanie techniki pasmowej wiąże się z ograniczeniem możliwości rozszerzenia zakresu pomiarowego. Na uwagę zasługuje sposób doboru liczby próbek pomiarowych M. W pierwszym pomiarze, gdy nieznana jest wartość częstotliwości f_s, należy założyć wariant najbardziej pesymistyczny, t.j. f_s=5Hz, dla którego należy pobrać największą liczbę próbek (dla fp=5kHz, m=1, M=1000). Częstotliwość otrzymaną w pierwszym pomiarze można wykorzystać do określenia liczby próbek potrzebnych do wykonania kolejnego pomiaru. Błędy spowodowane takim założeniem mogą być znaczące, szczególnie w przypadku prezentowanych algorytmów działających w trybie offline. Trudna bądź niemożliwa do wyznaczenia jest bowiem maksymalna szybkość zmian częstotliwości sygnału napięcia dla danego przekształtnika, w trakcie kolejnych pomiarów. Błędy takie mogą być jednak łatwo wykryte, gdyż w przypadku zbyt małej liczby próbek następuje utrata zbieżności wyników do wartości rzeczywistej fs, wyznaczonej przy optymalnej częstotliwości próbkowania. W takim przypadku można powrócić do domyślnej liczby próbek, odnoszącej się do początku zakresu pomiarowego. Z doświadczeń wynika, że powyższy algorytm wykonuje 4-7 kroków do momentu ustalenia wartości ostatecznej fs. W programie zastosowano blokadę uniemożliwiającą przekroczenie 10 kroków obliczeniowych, co zapobiega ewentualnemu „rozbieganiu” algorytmu. W dalszej części pracy opisany powyżej algorytm będzie nazywany algorytmem P1. Uproszczoną wersję tego algorytmu przedstawia schematycznie rys. 6.13.

próbkowanie decymacja (fp=125Hz) f_s>30 wynik (fs) N T

filtracja zgrubna i dolnoprzepustowa

START decymacja (fp=800Hz) wyznaczenie fs (model A) STOP wyznaczenie fs (model A) fp, fil1, fil2 decymacja (fp=7fs) wyznaczenie fs (model A)

Rysunek 6.13. Schemat blokowy algorytmu do pomiaru częstotliwości fs, wykorzystującego filtrację

dolnoprzepustową oraz decymację, z rozdzieleniem zakresu pomiarowego f_p. Oznaczenia: fil1, fil2-

parametry filtrów; zgrubnego i dolnoprzepustowego.

Metoda ta została zaprojektowana dla zakresu pomiarowego f_s=5-200Hz. Dodatkowym celem było ograniczenie liczby wykonywanych kroków pomiarowych. Dla prawidłowego działania algorytmu podzielono zakres pomiarowy na możliwie niewielką liczbę podzakresów, w których pomiar, przy stałej częstotliwości próbkowania fp nie spowoduje wykraczania wartości k poza optymalny zakres dla modelu A. Przykładowy podział przedstawiono w tabeli 6.6.

zakres >> 1 2

f_smin [Hz] 5 32

f_smax [Hz] 32 200

f_p [Hz] 125 800

Tabela 6.6 Podzakresy działania metody (model A), obejmujące stałą częstotliwość próbkowania.

Sygnał jest poddany obróbce wstępnej podobnie, jak w przypadku pierwszego algorytmu. Po pierwszym pomiarze, przy częstotliwości próbkowania fp=800Hz błąd poniżej 1% uzyskany zostanie dla częstotliwości fs>32Hz. Niższe częstotliwości będą

obarczone błędem dodatnim, zależnym od współczynnika k. Granica fs’=30Hz

pozwala rozróżnić „klasę” częstotliwości (zakres 1 lub 2), W przypadku informacji o wyznaczaniu częstotliwości z zakresu pierwszego, częstotliwość próbkowania zostaje dostosowana do tego zakresu (fp=125Hz). Częstotliwość fs jest wyznaczana po zastosowaniu metody według modelu A. Następnie wykonywany jest pomiar kontrolny, którego wynik jest ostateczny. Wynik zakwalifikowany do zakresu drugiego jest również potwierdzany pomiarem kontrolnym z częstotliwością próbkowania dostosowaną do otrzymanej częstotliwości f_s. Zaletą tego rozwiązania jest prostota i szybkość działania, spowodowana znaną liczbą kroków obliczeniowych, równą 2 lub 3 oraz faktem, że badanie warunku wykonywane jest tylko raz. Dodatkowo, w algorytmie tym nie zakłada się wartości eps, która jest główną przyczyną dużego rozrzutu szybkości działania algorytmu P1. Wadą metody jest dostosowanie tylko do prezentowanego zakresu pomiarowego. W obu proponowanych algorytmach przyjęto optymalną wartość k=7. Wartość tę otrzymano uwzględniając ewentualny błąd ∆k, spowodowany dyskretyzacją częstotliwości próbkowania po decymacji sygnału. Algorytm ten będzie w dalszej części pracy oznaczony P2.