Algorytmy wykorzystujące filtrację selektywną (notch filter)

W celu zastosowania filtracji selektywnie wycinającej poszczególne składowe zakłócające, należy wykorzystać metody działające w sposób dwuetapowy. W pierwszym etapie należy przeprowadzić rozpoznanie zakłóceń znaczących w badanym sygnale, natomiast drugi etap obejmuje filtrację sygnału oraz właściwy pomiar metodą pierwszego rzędu. W niniejszej pracy przedstawiono dwa przykładowe algorytmy, działające w opisany sposób. Różnią się one jednak narzędziem określającym widmo badanego sygnału.

N START wyznaczenie Ak, φk,fk, fs’ metodą Prony'ego rzędu p T fs’<fsmin fs’=fsmin definiowanie zakłóceń na podstawie znanych amplitud

Ak zapamiętane fs’ Wyznacz fk (1) Pomiar fs (2) 1 2 zapamiętanefk próbkowanie M=f(fs’)

filtracja zakłóceń według wyznaczonych fk fs STOP decymacja dodatkowa (fp=7fs) eps f f_s− '_s < N T wyznaczenie fs (model A) decymacja (fp=4fsmax) filtracja zgrubna próbkowanie (M=1000) filtracja zgrubna

Rysunek 6.14 Algorytm wyznaczania częstotliwości z filtracją selektywną, wykorzystujący model

Prony’ego rzędu p. Oznaczenia: M- liczba próbek, fp- częstotliwość próbkowania, fp2-częstotliwość po

podpróbkowaniu, f_s- częstotliwość badanego sygnału, f_s’-wyznaczona wstępnie częstotliwość

podstawowa m- liczba okresów w oknie, k- liczba próbek na okres, Ak, φk,fk– parametry pozostałych

składowych, eps- założona różnica wyników uzyskanych w kolejnych krokach obliczeniowych.

W pierwszym algorytmie (rys. 6.14) do wstępnego (skalującego) badania częstotliwości składowych zakłócających zastosowano metodę opartą na modelu Prony’ego rzędu p. Ponieważ metoda ta, podobnie jak model A, wykazuje znaczny błąd dla wysokiej wartości współczynnika k, wiarygodne wyniki dotyczą tylko składowych zakłócających, gdyż posiadają one częstotliwości podobnego rzędu co częstotliwość próbkowania. W przypadku, gdy rzeczywista częstotliwość fs jest wyższa od około 30 Hz, błąd jest nie większy od 50%. Pozwala to na określenie rzędu tej wartości, co ułatwia dobór liczby próbek w kolejnym pomiarze. W przypadku badania sygnału o częstotliwości składowej podstawowej niższej niż 30Hz wynik może być przypadkowy. Może się zdarzyć wówczas, że metoda aproksymuje

składową modulowaną poprzez składową aperiodyczną, dla której częstotliwość

fs’=0. W celu zapobieżenia takiej sytuacji, wartości fs’<fsmin są zastępowane dolną

granicą zakresu pomiarowego, równą fsmin. Wybór składowych zakłócających polega na znalezieniu wszystkich składowych o częstotliwościach wyższych od fsmax, których stosunek amplitudy Ak do współczynnika tłumienia αk jest maksymalny. W praktyce, zaleca się brać pod uwagę co najwyżej 10 składowych o największym współczynniku

A/α. Dodatkowo przyjęto warunek dotyczący amplitudy, która dla znaczącego

zakłócenia powinna być większa od 1% amplitudy największej wykrytej składowej oraz warunek dotyczący częstotliwości. Ten ostatni ma na celu pominięcie zakłóceń, których częstotliwości leżą blisko wykrytej składowej podstawowej. Dotyczy to szczególnie częstotliwości leżących blisko fsmax, gdyż mogłyby one zostać odfiltrowane przy okazji filtracji zakłóceń, wyznaczonych jako wstęga boczna składowej podstawowej. Etap drugi obejmuje filtrację cyfrową oraz właściwy pomiar metodą opartą na modelu pierwszego rzędu. Liczba próbek potrzebnych do wykonania każdego kolejnego pomiaru jest, podobnie jak w metodach P1 i P2, obliczana na podstawie wyniku otrzymanego w pomiarze poprzednim. Takie postępowanie jest słuszne jedynie wówczas, gdy kolejne pomiary wykonywane są z częstotliwością kilku herców oraz gdy jest znany charakter pracy zasilanego napędu. W metodzie tej właściwy blok pomiarowy jest identyczny z zastosowanym w algorytmie P1, stąd łatwe są do wykrycia ewentualne błędy oszacowania

częstotliwości zakłóceń fk oraz wymaganej liczby próbek M. W przypadku wykrycia takiego błędu, następuje pomiar skalujący, na podstawie którego ustalane są współczynniki filtrów zerujących oraz wymagana liczba próbek. Dobór rzędu modelu Prony’ego w bloku skalującym jest problemem rozwiązanym doświadczalnie. Czas odpowiedzi metody, podczas pomiaru skalującego nie musi spełniać przyjętych rygorów dotyczących szybkości właściwego pomiaru. Czas ten nie jest zatem czynnikiem ograniczającym wysokość rzędu modelu. Należy jednak pamiętać, że maksymalny rząd nie może przekroczyć wartości równej połowie liczby próbek M [13]. Wysokość rzędu ustalana na poziomie kilkuset nie jest jednak zalecana, gdyż wówczas metoda Prony’ego aproksymuje wysokoamplitudowe zakłócenia funkcjami aperiodycznymi. Uniemożliwia to ustalenie ich częstotliwości wymaganej do późniejszej filtracji. Rząd modelu użytego w zastosowanej metodzie powinien odpowiadać podwojonej liczbie oczekiwanych składowych, gdyż wyniki podawane są w postaci zespolonej. W toku przeprowadzonych doświadczeń stwierdzono, że

optymalnym zakresem wartości p jest przedział 20-30, w którym odnotowano najmniej znaczących pomyłek. Opisany algorytm został oznaczony jako P3. W alternatywnym rozwiązaniu zastosowano zamiast modelu Prony’ego rzędu p, krótkoczasową transformatę Fouriera FFT. W przypadku liczby próbek, obejmującej niepełny okres składowej modulowanej, jej częstotliwość nie zostanie poprawnie rozpoznana. Ponieważ jednak składowe zakłócające mają częstotliwości znacznie wyższe, można przyjąć, że ich wartości zostaną rozpoznane z dokładnością umożliwiającą wykorzystanie ich do doboru filtrów wycinających. Schemat blokowy tego algorytmu przedstawia rysunek 6.15.

START wyznaczenie Ak, fk metodą FFT próbkowanie (M=1000) definiowanie znaczących zakłóceń na podstawie znanych amplitud Ak Wyznacz fk (1) Pomiar fs (2) 1 2 zapamiętane fs’ zapamiętane fk próbkowanie (M=f(fs’))

filtracja zakłóceń według wyznaczonych fk fs STOP decymacja dodatkowa (fp=7fs) eps f f_s− '_s < N T wyzaczenie fs (model A) decymacja (fp=4fsmax) filtracja zgrubna filtracja zgrubna

Rysunek 6.15 Algorytm wyznaczania częstotliwości z filtracją selektywną, wykorzystujący algorytm FFT. Oznaczenia zgodne z rysunkiem 6.14.

Blok skalujący, wyposażony w algorytm Fouriera, nie musi zawierać warunku dotyczącego minimalnej wartości fs’, gdyż niezależnie od wartości współczynnika k,

wyniki otrzymane tą metodą korespondują rzędem wielkości z wartościami rzeczywistymi fs. Poprawniejszy niż w algorytmie P3 jest również wybór znaczących

składowych zakłócających, gdyż algorytm FFT wyznacza widmo sygnału bez dodatkowych składowych aperiodycznych. Ten wybór polega na wychwyceniu założonej liczby harmonicznych o największych amplitudach. Prezentowana metoda oznaczona została jako P4. W metodzie tej zastosowano ten sam blok pomiarowy jak w algorytmach P1 i P3. Dobór początkowej liczby próbek oraz sposób próbkowania sygnału analogowego jest identyczny jak w metodzie P3.