Analiza niepewności systematycznych

Podczas wyznaczenia poszczególnych stosunków rozgałęzień, błędy systematyczne rozwa-żono jedynie dla rozpadów B+→ Ds^(∗)−K+π+, natomiast nie zostały one oszacowane dla

kanałów kontrolnych B+ → Ds^(∗)+_D¯0. Wzięto pod uwagę źródła niepewności systema-tycznych wynikające z niejednoznaczności rekonstrukcji poszczególnych cząstek, metody analizy danych oraz sposobu określania liczby przypadków sygnału w każdym z bada-nych kanałów. Poszczególne przyczynki składające się na całkowity błąd systematyczny wymieniono oraz zwięźle opisano poniżej.

• ∆BB ¯B - niepewność wyznaczenia liczby par B ¯B zawartych w wykorzystanej próbce danych doświadczalnych.

Liczba ta jest wyznaczana w eksperymencie Belle przy pomocy dopasowania do zmiennej R2, której rozkład zawiera przypadki zawierające parę mezonów B oraz komponentę continuum [35]. Rozkład zmiennej R2 jest sporządzany dla wstępnie wyselekcjonowanej próbki danych, w której zredukowany został przyczynek pocho-dzący od przypadków niehadronowych. Charakterystyki składowej continuum są przy tym wyznaczane z próbki zebranej w zderzeniach przy energii poniżej progu na produkcję rezonansu Υ(4S). Oszacowana w odpowiedni sposób kombinacja nie-pewności statystycznej i systematycznej powyższego dopasowania pozwala uzyskać ostateczną niepewność szacowania liczby par mezonów B w danej próbce. Wartość tej niepewności podawana przez współpracę Belle wynosi [35]:

∆B^{B ¯B} = 1.4%.

• ∆Btrck - niepewność rekonstrukcji torów naładowanych.

Jej miarą jest różnica pomiędzy efektywnością wyznaczenia torów obliczoną dla danych eksperymentalnych oraz dla próbki Monte Carlo. Analizy tej dokonano w ramach współpracy Belle i wartość tej niepewności została oszacowana na 1% dla po-jedynczego toru cząstki naładowanej. Sumując liniowo przyczynki od pięciu cząstek w stanie końcowym dla badanych rozpadów, uzyskano niepewność systematyczną o wartości:

∆B^trck= 5%. • ∆Bid - niepewność związana z identyfikacją cząstek.

Dotyczy ona błędów systematycznych związanych z wyznaczeniem wartości względ-nego prawdopodobieństwa PK/π, na podstawie którego rozróżnia się naładowane kaony od pionów. W eksperymencie Belle standardową wartość tej niepewności osza-cowano na 1% dla każdej cząstki naładowanej , co w przypadku opisywanej analizy po liniowym zsumowaniu wszystkich przyczynków daje sumaryczną wartość:

∆B^id= 5%. • ∆B^K0S

rec - niepewność rekonstrukcji mezonu K0

S.

Za miarę tej niepewności przyjęto wartość oszacowaną przez współpracę Belle (4.9%) [36]. Przy jej obliczaniu wzięto przy tym pod uwagę przyczynek związany z rekon-strukcją torów dwóch naładowanych pionów powstających w procesie K0

S → π+π−.

Ze względu na fakt, że w niniejszej analizie przyczynek ten został już uwzględniony i wchodzi w zakres wielkości ∆Btrck, ostateczną wartość niepewności rekonstrukcji mezonu K0

S otrzymano odejmując w kwadracie błąd rekonstrukcji torów pary π+π−

∆B^KS⁰

rec =p(4.9%)2− (2%)2 = 4.5%. • ∆Bγ

rec - niepewność rekonstrukcji fotonu.

Wydajność rekonstrukcji kwantów gamma silnie zależy od ich energii i w ekspery-mencie Belle dla „szybkich fotonów” (E ≈ 1 GeV) przyjmuje się niepewność rzędu 2% [37]. Jednak fotony pochodzące z rozpadu D∗

s → Dsγ charakteryzują się sto-sunkowo niską energią (średnio 200 MeV) i z tego względu w przeprowadzanych badaniach niepewność ich rekonstrukcji oszacowano przy wykorzystaniu wyników innej analizy współpracy Belle. Dotyczy ona rozpadu D0∗ → D0π0, dla którego rozkład pędu mezonu π0 jest zbliżony do rozkładu pędu dla fotonu w rozpadach badanych w niniejszej rozprawie [38]. Uzyskana w cytowanej pracy niepewność re-konstrukcji mezonu π0 wynosi 7% przy czym dominujący przyczynek pochodzi od niepewności rekonstrukcji powolnego fotonu z rozpadu π0 → γγ.

Ostateczną wartość błędu ∆Bγ

rec oszacowano jako różnicę niepewności rekonstrukcji neutralnego pionu i wydajności rekonstrukcji „szybkiego fotonu”:

∆B^γrec= 7% − 2% = 5%.

• ∆Bε - niepewność związana z oszacowaniem wydajności rekonstrukcji rozpadów B+ → Ds^(∗)−K+π+.

Na wielkość tą składają się dwa niezależne przyczynki. Pierwszym z nich jest błąd wyznaczonej w poprzednim rozdziale wydajności ważonej, obliczony metodą róż-niczki zupełnej. Biorąc pod uwagę wzór (4.9) oraz wszystkie zmienne wraz z ich niepewnościami wyznaczonymi z odpowiednich dopasowań, niepewność uzyskanej wartości wydajności ważonej wyraża się wzorem:

∆B^ε(1) = v u u t 5 X i=1 ∂ε ∂εi 2 · (∆εi)2+ 5 X i=1  ∂ε ∂Ni sig 2 · (∆Ni sig)2+^{ ∂ε} ∂NT OT 2 · (∆NT OT)2. Drugim przyczynkiem do niepewności oszacowania wydajności jest czynnik, który został dodatkowo wprowadzony w celu uwzględnienia możliwej rozbieżności pomię-dzy wydajnością dla danych (która określa stosunek zrekonstruowanych przypadków danego rozpadu w danych do rzeczywistej liczby tych przypadków), a wydajnością dla próbki Monte Carlo (stosunek liczby zrekonstruowanych przypadków rozpadów z próbki MC do liczby wygenerowanych przypadków). Różnica między tymi war-tościami może pochodzić od wszelkich niedoskonałości symulacji Monte Carlo pro-cesów fizycznych zachodzących w poszczególnych detektorach spektromentu Belle. Wartość tej niepewności oszacowano przy użyciu próbki GMC. W tym celu dla próbki e+e⁻→ Υ(4S) → B+B⁻ zastosowano odpowiednie kryteria selekcji zdarzeń kalibracyjnego łańcucha rozpadów B+ → D+

s_D¯0, D+

s → φπ+, a następnie obliczo-no liczbę zrekonstruowanych przypadków stosując procedurę opisaną w rozdziale 4. Wykorzystując obliczoną wydajność dla tego procesu, oraz wartości stosunków rozgałęzień dla rozpadów rezonansów pośrednich φ oraz ¯D0 (tabela 4.2) uzyskano:

przy czym pod uwagę wzięto jedynie niepewności statystyczne tego pomiaru. Porównując otrzymany rezultat z wartością stosunku rozgałęzień rozpadu B+ → D+

s _D¯0 użytą przy generacji próbki Monte Carlo BGEN(B+ → D+

s _D¯0) = 9.06 × 10−3, oszacowano konserwatywnie szukany przyczynek do błędu systematycznego jako względną różnicę pomiędzy wartościami BMC oraz BGEN powiększoną o wartość błędu statystycznego wartości obliczonej dla próbki MC:

∆B^ε(2) = (9.28 + 0.23 − 9.06)/9.06 × 10^{−3 ∼}= 0.05× 10⁻³. Powyższy wynik uzyskany dla łańcucha rozpadów B+ → D∗−

s K+π+, D_{s→ φπ} przy-jęto następnie jako wartość przyczynka ∆Bε(2) dla wszystkich badanych procesów. Całkowitą wartość niepewności związaną z oszacowaniem wydajności uzyskano su-mując w kwadracie dwa opisane powyżej przyczynki:

∆B^ε = q

(∆Bε(1))2+ (∆Bε(2))2.

• ∆Brng - niepewność związana z zakresem wartości zmiennych użytych w dopasowa-niu.

Aby oszacować ten przyczynek, dla każdego badanego łańcucha rozpadów wykonano ponowne dopasowanie opisane w podrozdziale 4.4, przy czym zakres tego dopaso-wania do zmiennej ∆E rozszerzono od (-0.08 GeV - 0.2 GeV) do (-0.12 GeV - 0.2 GeV). Ostateczny przyczynek do niepewności systematycznej uzyskano obliczając względną różnicę między liczbą przypadków sygnału dla nowego zakresu dopasowa-nia Nrng a liczbą przypadków uzyskaną z nominalnego dopasowania (wartości NS

z tabeli 4.1):

∆B^rng = (NS− N^rng)/NS.

• ∆BΓ - błąd związany z parametryzacją kształtu sygnału używaną podczas dopaso-wania.

W celu oszacowania tej niepewności dla rozpadu B+ → D^∗−s K+π+ dokonywano modyfikacji ustalonych wcześniej szerokości funkcji Gaussa dla zmiennych ∆E, Mbc

oraz mD∗

s (4 parametry) a także stosunków tych szerokości dla rozkładu mD∗ s (fS

D∗

s

i fB

D∗

s), co daje w sumie 6 parametrów poddanych wariacji. Dla każdej zmiennej z osobna dane parametry były modyfikowane o najpierw o dodatnią a następnie o ujemną wartość odpowiedniej niepewności statystycznej (+σ i −σ) uzyskanej z do-pasowania do danych dla rozpadów kontrolnych B+ → D^∗+s _D¯0, po czym dla każ-dego przypadku wykonano odpowiednie dopasowanie w celu oszacowania różnicy w wielkości uzyskanego sygnału w stosunku do rezultatów przedstawionych w tabe-li 4.1. Wartości ∆BΓ obliczono jako pierwiastek sumy kwadratów odchyleń od NS

dla poszczególnych dopasowań, odpowiadających zmianom wartości pojedynczego parametru w zakresie ±σ: ∆B^Γ±= v u u t 6 X k=1 NS− Nk^Γ± NS 2 , (4.11)

gdzie NΓ±

k oznacza liczbę przypadków sygnału uzyskaną dla dopasowania przy zmia-nie wartości k-tego parametru kształtu o odpowiednią wartość jego zmia-niepewności sta-tystycznej ±σ. W analogiczny sposób dokonano oszacowania powyższej niepewności systematycznej dla rozpadów B+ → Ds⁻K+π+. W tym przypadku wariacji poddano 4 parametry (σ(1) Ds, σ(2) Ds, fS D∗ s i fB D∗

s), które zostały uprzednio ustalone z dopasowania do próbki kontrolnej B+ → D+

s_D¯0.

R

N

/ε

Rysunek 4.12: Zależność stosunku N_S/ε od granicznej wartości parametru R₂. Błędy zmiennej NS/ε obliczono metodą różniczki zupełnej.

• ∆Bsel - niepewność związana z procedurą selekcji przypadków.

Dominującym źródłem niepewności systematycznej tego rodzaju jest ewentualna za-leżność czynnika NS/εod wybranej granicznej wartości zmiennej R2 (formuła (3.2)). Wykres tej zależności przedstawiono na rysunku 4.12. Zaobserwowano, iż jest ona stosunkowo słaba w dość szerokim przedziale 0.35 < R2 < 0.45 wokół wybranej wartości 0.4. Jako miarę niepewności systematycznej, dla powyższego przedziału wybrano największe odchylenie wartości N_S/ε od wartości odpowiadającej punkto-wi R2 = 0.4:

∆B^sel = ^(NS/ε)

R2=0.4− (NS/ε)σmax

(NS/ε)R2=0.4 .

Wszystkie powyższe przyczynki do niepewności systematycznej potraktowano jako nie-zależne, w związku z czym całkowitą wartość tej niepewności ∆Bsyst uzyskano sumując poszczególne przyczynki w kwadracie. Wartości wymienionych powyżej cząstkowych błę-dów systematycznych a także wartości całkowitych niepewności systematycznych zostały zebrane w tabeli 4.3.

Źródło stan końcowy D− s stan końcowy D∗− s niepewności φπ− K∗0K− K0 SK− φπ−γ K∗0K−γ K0 SK−γ Rekonstrukcja torów (∆Btrck) 5 5 5 5 5 5 Identyfikacja hadronów (∆Bid) 5 5 5 5 5 5 Rekonstrukcja K0 S (∆B^KS⁰ rec) - - 4.5 - - 4.5 Rekonstrukcja fotonu (∆Bγ rec) - - - 5 5 5

Liczba par mezonów B (∆BB ¯B) 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 Kryterium selekcji (∆Bsel) 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 3.7 Przedział dopasowania (∆Brng) 0.6 1.1 1.1 0.3 0.2 1.5 Parametryzacja sygnału (∆BΓ) +1.2

−1.3 ^+3.4−3.4 ^+5.6−6.3 ^+5.6−6.7 ^+6.9−7.4 ^+9.7−7.8

Wydajność rekonstrukcji (∆Bε) 7.6 7.0 7.7 14.8 14.5 14.8 Całkowita niepewność systematyczna +11.2

−11.2 ^+11.3−11.3 ^+13.3−13.6 ^+18.5−18.8 ^+18.6−18.9 ^+20.7−19.8

Tabela 4.3: Przyczynki do niepewności systematycznych dla rozpadów B+ → D^(∗)−s K+π+, podane w procentach.

Oprócz opisanych powyżej błędów systematycznych jako osobny błąd podano niepew-ność wyznaczenia stosunków rozgałęzień dla szukanych rozpadów związaną z precyzją pomiaru wartości stosunków rozgałęzień dla rezonansów pośrednich (tabela 4.2). Dla k rezonansów obecnych w danym łańcuchu rozpadu, względną wartość szukanej niepewności oszacowano jako: ∆Bint = v u u t k X j=1 ∆B^jint Bint^j 2 , gdzie ∆Bj

intjest niepewnością wyznaczenia wartości stosunku rozgałęzień dla j-tego rezo-nansu, podawaną przez PDG [3].

Dla każdego z badanych procesów można oszacować statystyczną znaczącość zaobser-wowanego sygnału S według formuły:

S =p−2ln(L0/L), ^(4.12) gdzie L oznacza obliczoną dla danego dopasowania funkcję wiarygodności, a L0 jest funk-cją wiarygodności dla dodatkowego dopasowania, w którym liczbę przypadków sygnału ustalono na wartość zero.

W tabeli 4.4 zostały zebrane wartości stosunków rozgałęzień dla wszystkich badanych procesów wraz z ich niepewnościami oraz odpowiednimi znaczącościami zmierzonych sy-gnałów.

badany łańcuch _B niepewności znaczącość rozpadu _×10−4 stat.(±) syst.(±) ∆Bint stat. S[σ]

B+ → Ds⁻(φπ⁻)K+π+ 1.63 +0.11 −0.10 ^+0.18−0.18 0.25 31.5 B+ → D− s(K⋆0K−)K+π+ 1.74 +0.15 −0.15 ^+0.20−0.20 0.27 26.5 B+ → D− s(K0 sK−)K+π+ 1.82 +0.17 −0.16 ^+0.24−0.25 0.11 20.4 B+ → D⋆− s (φπ⁻)K+π+ 1.24 +0.20 −0.18 ^+0.23−0.23 0.19 11.0 B+→ D⋆− s (K⋆0K−)K+π+ 1.33 +0.23 −0.21 ^+0.25−0.25 0.21 9.3 B+ → D⋆− s (K0 sK−)K+π+ 1.39 +0.30 −0.27 ^+0.29−0.28 0.08 8.0 B+ → D+ s (φπ+) ¯D0 82.31 +3.45 −3.35 - 12.50 56.8 B+ → D+ s( ¯K⋆0K+) ¯D0 83.80 +4.28 −4.14 - 12.94 53.3 B+ → D+ s(K0 sK+) ¯D0 78.61 +4.74 −4.56 - 4.86 38.9 B+ → D⋆+ s (φπ+) ¯D0 72.15 +7.52 −7.12 - 10.98 19.0 B+→ D⋆+ s ( ¯K⋆0K+) ¯D0 78.67 +7.83 −7.43 - 12.16 20.8 B+ → D⋆+ s (K0 sK+) ¯D0 87.27 +11.32 −10.63 - 5.43 15.0

Tabela 4.4: Wartości stosunków rozgałęzień dla wszystkich badanych procesów wraz z ich

względnymi niepewnościami: statystycznymi, systematycznymi oraz związanymi z błęda-mi wyznaczenia stosunków rozgałęzień rezonansów pośrednich. Ostatnia kolumna zawiera statystyczne znaczącości rekonstrukcji sygnału dla poszczególnych rozpadów (sposób ich wyznaczenia podano w tekście).