5.1. Z a le ż n o ś c i o g ó ln e
Równanie H elm holtza jest jed n ym z fundamentalnych równań fizyki m a
tem atycznej. Do rozw iązania tego równania sprowadza się m iędzy innymi rozwiązanie problemu wyznaczania funkcji własnych i wartości własnych za
gadnienia S tu rm a-Liouville’a, problemu w ym iany ciepła w żebrach, analizy drgań, problemu rozprzestrzeniania się fal itp.
N ie precyzując problemu fizycznego, przyjm iem y dla ustalenia uwagi, że równanie H elm holtza dotyczy pola tem peratury T . Równanie H elm holtza przyjm ie wówczas postać
V 2T + 72 T = 0 (5.1)
gdzie: 7 - stały współczynnik.
Porównując równania (5.1) i (1.6) stwierdzamy, że równanie H elm holtza m ożna interpretować jako równanie opisujące ustalone przewodzenie ciepła ze źródłem , którego wydajność jest liniowo zależna od tem peratury. Doko
nując więc następujących podstawień
6(0) = > T (5.2)
k = > - 2 (5.3)
7
m ożem y wprost w ykorzystać rezultaty przedstawione w rozdziałach 1 oraz 2. W szczególności mamy
, d T 1 d T
86 5. Za tosowanie W Z W do analizy równania H elm holtza
j( U = V 2 6(o) = V 2T = _ 7 2 T ( g g )
* U)(ł) = - k ^ — = - y 2 q (5.7) Przekształcając całkę po obszarze, otrzym ujem y więc
Do = y2
J
( T * w q - ?*(1> Г ) d r + D x (5.8) R óżnica pom iędzy całkami D\ i D o sprowadza się do innego mnożnika i innego rzędu rozwiązania podstawowegoD l = - y 2 f T ' ( x ) T d S l (5.9)
J n
Kontynuując proces całkowania przez części autor rozprawy sprowadził całkę Do po obszarze f i do następującego szeregu całek po brzegu Г [58]
oo ,
D 0 = V ( - l ) V (i+1) / ( T * {j+ 1 )q - q ^ +1^ T ) d r (5.10)
i- o Jl
P o prostych przekształceniach algebraicznych i uwzględnieniu równań (5.10) oraz (1.9) otrzym uje się następującą brzegową reprezentację równania H elm holtza [58]
—2 Ci Ti + V ( - l [ q*b) T d r — ] P ( - 1 ) V J' [ T mW q d T (5.11)
7 i=o Jr i=o Jr
D yskretyzację równania (5.11) przeprowadza się w zw yk ły sposób, dzie
ląc brzeg T na elem enty brzegowe i wprowadzając macierze wpływu. W ten sposób równanie całkowe (5.11) przekształca się w układ równań algebra
icznych, który w zapisie m acierzowym przybiera postać
{ £ ( - 1 ^ * } T = { E ( - i) V iG>} q (5-12)
” Zbierając” odpowiednio m acierze w pływ u H j i G j , m ożna równaniu (5.12) nadać następującą ostateczną form ę
H T = G Q (5.13)
W arto zauważyć, że w analizowanym problem ie człon źródłow y nie ge
neruje m acierzy kolumnowej w yrazów wolnych, lecz m odyfikuje macierze wpływ u.
W prow adzając warunki brzegowe, równanie (5.13) przekształcam y do postaci (1.29) i rozw iązujem y ze względu na nieznane tem peratury T i stru
mienie ciepła q.
Przedstaw ioną m etodykę zastosujemy teraz do rozwiązania prostego p rzy
kładu.
5.1. Zależności ogólne 87
P r z y k ł a d 5.1. R ozw iązanie równania Helm holtza
R ozw iązania równania Helm holtza poszukiwać będziem y m etodą W Z W w prostokącie o wym iarach 1x0.2, którego dyskretyzację pokazano na rys.5.1.
W zd łu ż boków A B i C D założono jednorodny warunek brzegow y II rodzaju q = 0, zaś w zdłuż boków A D i BC zadano wartość temperatury.
A
D
B C
Rys. 5.1. Dyskretyzacja brzegu przy rozwiązywaniu równania Helmholtza F ig. 5.1. Boundary discretization when solving H elm holtz equation
współrzędna x.
Rys. 5.2. Porów nanie wyników W Z W z rozwiązaniem analitycznym równa
nia Helmholtza
Fig. 5.2. C om parison o f M R M results with analytical solution f o r H elm holtz equation
Lin ie ciągłe na rys.5.2 reprezentują rozwiązanie analityczne problemu dla dwóch różnych wartości współczynnika 7. Kółeczka i kwadraciki ozna
czają rezultaty obliczeń numerycznych przeprowadzonych m etodą W Z W . Jak wynika z rys.5.2, bardzo dobrą dokładność obliczeń osiągnięto przy
8 8 5. Zastosowanie W 7. W do analizy równania Ilclm h o ltza
uwzględnieniu jedynie trzech wyrazów szeregów w równaniu (5.12). Jedno
cześnie należy zaznaczyć, że dla większych wartości współczynnika 7 potrze
bna m oże być drobniejsza dyskretyzacja brzegu oraz większa liczba wyrazów szeregu w równaniu (5.12).
5.2. O b lic z a n ie w a rt o ś c i w ła s n y c h
N a początku niniejszego rozdziału zakładaliśmy, że współczynnik 7 w rów
naniu Helm holtza jest znany. Dla zadanych warunków brzegowych poszuki
waliśmy rozkładu tem peratury T i strumienia ciepła q.
Obliczanie wartości własnych zagadnienia brzegowego polega na poszu
kiwaniu takich wartości (zw yk le nieskończonego ciągu wartości) współczyn
nika 7, które pozwalają otrzym ać nietrywialne rozwiązania równania (5.1) spełniające jednorodne warunki brzegowe.
Pierw szym krokiem analizy jest uzyskanie równania (5.13). Następnie grupujemy oddzielnie warunki brzegowe Dirichleta i Neumanna. Warunek brzegow y I I I rodzaju jest liniową kombinacją dwóch poprzednich i jako nie wnoszący zasadniczych trudności nie będzie tutaj dyskutowany. Celem uproszczenia notacji przyjm iem y, że warunek brzegowy Dirichleta sformuło
wany jest na tej części brzegu, której odpowiada pierwsza część m acierzy kolumnowych T i Q . Warunek brzegowy Neumanna sformułowany jest na pozostałej części brzegu. Wówczas układ równań (5.13) zapisze się schema
tycznie w następujący sposób
{ H T H , } | £ J = { G T G , } | Q0T } (5.14)
P o prostym przekształceniu otrzym ujem y układ równań jednorodnych
A X = 0 (5.15)
przy czym bloki m acierzy głównej A zbudowane są z bloków m acierzy w pływ u zgodnie ze schematem
A = { — Gt H , } (5.16)
W skład m acierzy niewiadomych X wchodzą odpowiednio
x = {
t
} <5 1 7 >Warunkiem koniecznym otrzym ania nietrywialnych rozwiązań układu (5.15) jest zerowanie się wyznacznika głównego macierzy A
d e t A = 0 (5.18)
5.2. O bliczanie wartości własnych 89
N ależy podkreślić, że w przeciwieństwie do klasycznego sformułowania brzegowego [12], w którym konieczne jest prowadzenie obliczeń w prze
strzeni zmiennej zespolonej, przedstawione podejście wykorzystuje jedynie zm ienne rzeczywiste. Elementy m acierzy A są wielomianami ze względu na współczynnik . Innymi słowy. ”, pojawia się w uzyskanych równaniach bez
pośrednio, nie zaś jak w sformułowaniu klasycznym, wpływa na współczyn
niki m acierzy A w sposób pośredni (poprzez całkowanie wzdłuż brzegu).
W szystko to prowadzi do znacznego uproszczenia analizy i oszczędności czasu obliczeń.
W szczególnych wypadkach równanie (5.18) może być numerycznie kło
potliw ym warunkiem do poszukiwania wszystkich wartości własnych. W pracach [28]. [29] i [30] zaproponowano jego modyfikację, która choć nieco bardziej rozbudowana, jest efektywna numerycznie i wciąż obowiązuje w przestrzeni zm iennej rzeczywistej.
P r z y k ł a d 5.2. Częstotliwości własno przekroju poprzecznego tunelu
Zagadnienia obliczania wartości własnych zilustrowano problemem wyzna
czania częstotliwości własnych tunelu, którego przekrój pokazany jest. na rys.5.3.
Rys. 5.3. M odel yiom ctryczny lin iflii: u) dyskn tyzucjn MICH: b) dyskrety- ziicjti M E S
Fig. 5.3. G eom etrie m od il o f Ilu lunni.l: n) H E M discrcliztition: b) E E M discretizalion
A n alizy dokonano, przeszukując przedział 0 < * ,< 9 i stosując jed yn ie 18 stałych elem entów brzegowych. Ta sama analiza przeprowadzona m etodą
90 5. Zastosowanie W Z W do analizy równania JleJmholtza
elementów skończonych w ym agała 45 elementów kwadratowych ze 158 węzłami.
Na podstawie rys.5.3 widać istotne oszczędności na etapie generacji modelu geom etrycznego ciała. Oszczędności te stają się jeszcze bardziej widoczne w przypadku zadań trójwym iarowych.
Tablica 5.1 Częstotliwości własne tunelu [Hz]
R ozw iązanie W Z W 22.01 25.35 36.73 41.04 48.48 53.34 55.55 R ozw iązanie M ES 22.00 25.35 36.65 41.14 48.71 53.38 55.54
R ezu ltaty obliczeń m etodą W Z W [28] przeliczono na częstotliwości w ła
sne, przyjm ując jako prędkość dźwięku 343.51 m/s. Tablica 5.1 zawiera po
równanie rezultatów W Z W z rezultatam i M ES.