Celem rozprawy było opracowanie w pełni brzegowego sformułowania m e
tody elementów brzegowych pozwalającego rozwiązywać zagadnienia inży
nierskie bez dyskretyzacji wnętrza obszaru. Opracowana przez autora me
toda, nazwana wielokrotną zasadą wzajemności, zachowuje zatem najcen
niejszą zaletę M E B i jest jej pierwszą, w pełni brzegową wersją. Z punktu widzenia użytkownika programu komputerowego oznacza to istotne uprosz
czenia na etapie tworzenia siatki podziału numerycznego. Dyskretyzacji na
leży poddać tylko brzeg obszaru.
Podstawy m etody przedstawione zostały w rozdziale 2 pracy. Z m ate
matycznego punktu widzenia W Z W polega na wykonaniu całkowania przez części nieskończoną liczbę razy przy wykorzystaniu tzw. rozwiązań podsta
wowych wyższych rzędów. W pracy zaprezentowano rozwiązania podsta
wowe wyższych rzędów' dla zagadnień potencjalnych, zagadnień sprężystości i termosprężystości oraz wskazano publikacje, w których rozwiązania te są podane dla innych rodzajów problemów brzegowych. W Z W jest m etodą ogólną i nowe zastosowania wymagać będą jedynie wyznaczenia nowych rozwiązań podstawowych. W arto również zauważyć, że w wielu przypadkach znalezione już rozwiązania podstawowe mogą być z powodzeniem wykorzys
tane do analizy problemu.
W ielokrotna zasada wzajemności jest m etodą alternatywną do cieszącej się już dużą popularnością podwójnej zasady wzajemności. P Z W w ykorzy
stując jedynie standardowe rozwiązanie podstawowe, wymaga zw ykle zna
cznej liczby tzw. biegunów wewnętrznych, których położenie i liczba za
leżą od analizowanego problemu. Tak jak w W Z W odpowiedni dobór liczby wyrazów szeregu decyduje o dokładności metody, tak w przypadku P Z W czynnikami tym i są liczba i położenie biegunów wewnętrznych.
Kom puterowa implementacja W Z W jest naturalna i prostaka kody kom
puterowe realizujące tę metodę są jedynie niewielkimi modyfikacjami stan
dardowych programów M EB. Ponieważ rozwiązania podstawowe wyższych
8. Podsumowanie i wnioski końcowe 101
rzędów są funkcjami regularnymi (nie zawierają punktów osobliwych), ich całkowanie numeryczne nie przedstawia, żadnych problemów. Również w sposób bezpośredni wykorzystuje się w programach W Z W klasyczne proce
dury uwzględniania warunków brzegowych oraz rozwiązywania końcowego układu równań. Staje się więc jasne, że generując dane dla W Z W , można również wykorzystywać opracowane dla M E B preprocesory, zaś istniejące postprocesory ułatwiają wizualizację wyników obliczeń.
Najpoważniejszą wadą zaprezentowanej m etody jest konieczność wyzna
czenia ciągu laplasjanów funkcji źródła (uogólnionego obciążenia). Proces ten, choć niełatwy, można już dziś zautom atyzować, wykorzystując współcze
sne oprogram owanie pozwalające na operacje symboliczne. W ten sposób można uzyskać nie tylko analityczne wyrażenia dla kolejnych laplasjanów funkcji źródła, ale nawet golow e procedury komputerowe.
W Z W jest m etodą dość efektywną numerycznie. Najbardziej czasochłon
ną operacją jest obliczenie macierzy wpływu, które następnie mnożone przez macierze kolumnowe dają prawą stronę równania. N ie jest zatem w ym a
gane żadne odwracanie ani mnożenie m acierzy kwadratowych. Faktoryzacji poddawana jest tylko macierz główna końcowego układu równań.
Transformacja całek po obszarze w całki brzegowe m etodą W Z W nie w y
m aga przyjm owania żadnych dodatkowych założeń upraszczających. Uprosz
czenia są dla zagadnień liniowych wprowadzane jedynie na etapie dyskrety- zacji równania całkowego. W konsekwencji W Z W pozwala, przy prawidłowej dyskretyzacji, uzyskać bardzo wysoką dokładność obliczeń.
Problem em nie do końca rozwiązanym jest problem zbieżności szeregu W Z W . W wielu sytuacjach praktycznych szereg ten redukuje się do sumy skończonej i problem zbieżności nie występuje. W y d a je się jednak konieczne bardziej formalne od strony matematycznej zbadanie zbieżności szeregu i opracowanie ogólnych kryteriów tej zbieżności. W pracy podano bowiem jed yn ie ogólne wskazówki, jak kontrolować wym aganą liczbę sumowanych wyrazów i pewne oszacowania reszty szeregu.
W Z W była ju ż z powodzeniem stosowana do rozwiązywania wielu zagad
nień inżynierskich. W e wszystkich wypadkach stwierdzono bardzo wysoką dokładność metody. Świadczą o niej choćby zamieszczone w pracy wybrane przykłady obliczeniowe. Również literatura M E B dostarcza dowodów na to, że W Z W jest metodą efektywną i dokładną. Jej przydatność jest szczegól
nie widoczna przy rozwiązywaniu zagadnień potencjalnych oraz w analizie drgań. W tych ostatnich problemach uzyskane sformułowania charaktery
zują się stałym i, niezależnymi od częstotliwości macierzami wpływu.
B ibliografia
[1] E. Alarcon and A . Reverter. P-adaptive Boundary Elements. In te r
national Journal f o r N um erical Methods in Engineering, 23, 801-829, 1986.
[2] J.P.S. A zeved o and C'.A. Brebbia. An efficient technique for redu
cing domain integrals to the boundary. In C .A . Brebbia, editor, B o
undary Elements M ethod X - Vol. I M athem atical and Com putational Aspects, pages 347-365, Berlin, 1988. Com p. Mech. Publications and Springer-Verlag.
[3] P .K . Banerjee and R . Butterfield. Boundary Elem ent Methods in E n gineering Science. M cG raw -H ill, London, 1981.
[4] M. Benjamin. Heat generation and tem perature distributions in cylin
drical reactor pressure vessels. Nuclear Engineering Design, 11, 1-15.
1969.
[5] R. Białecki, R. Nahlik, and A.J. Nowak. Zastosowanie M etod y Brze
gowych Równań Całkowych w teorii przewodzenia ciepła. Mechanika i K om pu ter, 6 (1 ), 154 205, 1986.
[6] R. Białecki and A.J. Nowak. Boundary value problems for nonlinear material and nonlinear boundary conditions. Applied M athem atical M odelling, 5, 417-421, 1981.
[7] B .A . Boley and J.H. Weiner. Theory o f Therm al Stresses. John W iley L: Sons, New York, I960.
[8] C .A . Brebbia. The Boundary Element M ethod f o r Engineers. Pen tech Press, London, 1978.
[9] C .A . Brebbia and J. Dominguez. Boundary Elements - An Introduc
tory Course. Com p. Mech. Publications anil M e G raw -11 ill Book Co..
Southampton and Boston, second edition. 1992.
[10] C .A . Brebbia and A.J. Nowak. A new approach for transforming do
main integrals to the boundary. In R. Gruber. J. Periaux. and R.P.
B ib lio g ra fia 103
Shaw, editors. Proceedings o f tin fifth In ti m o tio n a l Symposium on N u m erical Methods in Engineering - V ol.!.. pages 73-85. Com p. Mech.
Publications and Springer-Y'erlag. 198!). Lausanne. Switzerland, 11 19 Sep. 1989.
[11] C .A . Hrobbia and A. I. Nowak. Solving heat transfer problems by the Dual R eciprocity H EM . In L.C . W robel ami C .A . Brebbia, editors, Boundary Elements M ethod f o r Heat Transfer, chapter 1. pages 1-32.
Com p. Mech. Publications and Elsevier A pplied Science. 1992. Inter
national Series on Com putational Engineering.
[12] C .A . Hrebbia. J.C .F. Telles, and L.C. W robel. Boundary Element Tr- chniqut.s - Theory and Applications in Engineering. Springer-Verlag, 1981.
[13] C .A . Brebbia and S. Walker. The Boundary Elem ent Technique in Engineering. Newnes-Butterworths, London. 1979.
[11] T . Burczyński. Metoda elementów brzegowych w wybranych zagad
nieniach analizy i optym alizacji układów odkształcalnych. Mechanika, Z.97. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej. N r 1050, 1989. Praca ha
bilitacyjna.
[15] T .A . Cruse. Boundary Integral Equation M ethod for three di
mensional elastic fracture mechanics analysis. Technical Report A F O S R -T R -7 5 -0 8 I3 , P ra tt and W h itn ey Aircraft Group. 1975.
[16] T .A . Cruse. M athem atical foundations o f the Boundary Integral Equa
tion M ethod in olid mechanics. Technical Report AFOSR-TR-77-1002, Pratt and W h itn ey Aircraft Group, 1977.
[17] T .A . Cruse, S.T. Rnveondra. and B .ll. Thacker. HIE solutions for ther- m oplasticitv by collocation. Ili G. Kuhn and II. Mang. editors. D is cre ti
zation Methods in Structural Mechanics, pages 29-38. Springer-Verlag, 1990. H T A M / IA C M Symposium. Vienna. Austria, 5-9 June 1989.
104 Bibliografia
[21] M . Itagaki and C .A . Brebbia. Generation o f higher order fundamental solutions to the two-dimensional modified H elm holtz equation. Engi
neering Analysis with Boundary Elements, in press.
[22] M . Itagaki and C .A . Brebbia. M ultiple R eciprocity Boundary Element formulation for one-group fission neutron source iteration problems.
Engineering Analysis with Boundary Elements, in press.
[23] M . Itagaki and C .A . Brebbia. Rem edy for round-off error accumulation observed in a neutron diffusion calculation using the M u ltiple Recipro
city Boundary Elem ent M ethod. Engineering Analysis with Boundary Elements, submitted for publication.
[24] M . Itagaki and C .A . Brebbia. Round-off error accumulation observed in a neutron diffusion calculation using the M ultiple R eciprocity Bou
ndary Element M ethod. Boundary Elements Abstracts and Newsletter.
research note in press.
[25] M . Itagaki and C .A . Brebbia. Boundary Element M ethod applied lo neutron diffusion problems. In C .A . Brebbia, editor, Boundary Eleme
nts Method X - Vol.2 llcat Transfer. Fluid Flow and Electrical A p p li
cations. pages 15 53. Comp. Mecli. Publications and Springer-Verlag.
1088.
[26] M . Itagaki and C .A . Brebbia. Dual and M ultiple R eciprocity Formu
lations applied to Fission Neutron. Source Problems. In C .A . Brebbia.
.1. Dominguez, and F. Paris, editors. V ol.I - Field Problem s and A p p li
cations. pages 25 38. Com p. Mecli. Publications and Elsevier Applied Science. 1992, Boundary Elements Method XI V.
[27] M .A . Jaswon and G .T . Symm. In ltyra l Equation M ethod in P otential Theory and Elasloslalirs. Academ ic Press. London. 1977.
[28] N. kam iya and E. Andoli. Eigenvalue analysis by Boundary Element M ethod. Journal o f Sou nil anil Vihration. in press.
[29] X. Kam iya and E. Andoh. Robust Boundary Element scheme for Hel
m holtz eigenvalue equat ion. In C .A . Brebbia and G.S. Gipson, editors.
Boundary Elem ent.* Method A III. pages 839 850. Com p. Mecli. Pu bli
cations and Elsevier Applied Science. 1991.
[30] N. Kam iya and 1C. Andoh. Eigenvalue analysis by Boundary Element M ethod. In ( '. A . B reb b ia..!. Dominguez, and F. Paris, editors. Vol. 2 - S tiis s Analysis and C om putational Aspicls. pages (i73 690. Comp.
Mecli. Publications and Elsevier Applied Science. 1992. Boundary Ele
ments Met hod N IV.
Bibliografia 105 o f International Centre for Mechanical Sciences.
[34] O .A . Ladyzhenskaya. The M athem atical Theory o f Voscous Im c o m - pressible Flow. Gordon and Breach, New York, 1963.
[35] A .E .H . L ove. A Treatise o f the M athem atical Theory o f Elasticity.
C am bridge U niv. Press, Cam bridge, 1927.
[36] W . Łukaszek. W yznaczanie rozkładów wydajności wewnętrznych źródeł ciepła w układzie osłonnym reaktora jądrow ego generowanych w w y niku oddziaływ ań prom ieniowania gam m a i neutronów. Sprawozdanie z pracy naukowo-badawczej NB-100/RAu-2/RM E-3/88, IT C , G liw ice, 1990. Praca nie publikowana.
[37] E. Majchrzak. Zastosowanie metody elementów brzegowych w te rm o dynamice procesów odlewniczych. Mechanika, Z .102. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, N r 1108, 1991. Praca habilitacyjna.
[38] P.M . Morse a id H. Feshbach. Methods o f Theoretical Physics.
M cG raw -H ill Book Com p., 1953.
[39] 11. Nahlik. Zastosowanie melody elementów brzegowych do rozwiązywa
nia nieliniowych zagadnień przepływu ciepła. P raca doktorska, Instytut Techniki Cieplnej Politechniki Śląskiej, 1989.
[40] D. Nardini and C .A . Brebbia. A new approach to free vibration analysis using Boundary Elements. In C .A . Brebbia, editor, Boundary Elem ent Methods in Engineering, pages 312-326. Springer-Verlag, 1982. P roce
edings o f the fourth International Seminar, Southampton, England.
[41] D. Nardini and C .A . Brebbia. Boundary Integral Form ulation o f Mass Alatrices f o r D ynam ic Analysis, volum e 2 o f Topics in Boundary E le
ments Research, chapter 7, pages 191-208. Springer-Verlag, 1985. C .A . Brebbia, editor.
106 liibliograCia
[42] A .C . Neves. The M ultiple R eciprocity Method Applied to Stendy-Stah and Transient Problem *. PhD thesis, Wessex Institute o f Technology, U niversity o f Portsm outh, U K , O ctober 1992.
[43] A .C . Neves and C .A . Brebbia. T h e M u ltiple R eciprocity Boundary Elements M ethod in elasticity: New approach for transform ing domain integrals to the boundary. In ternational Journal f o r N u m erica l Methods in Engineering, 31(4). 709 727, 1991.
[44] A .C . Neves arid C .A . Brebbia. T h e M u ltiple R eciprocity M ethod ap
plied to thermoelastic problems with concentrated and distributed heat sources. In C. A. Brebbia, editor, Boundary Elements Technology VI, pages 201-214. Comp. Mech. Publications and Elsevier A pplied Scie
nce, 1991.
[45] A .C . Neves and C .A . Brebbia. T h e M u ltiple R eciprocity M ethod ap
plied to thermal stress problems. International Journal f o r N um erical Methods in Engineering, 35, 443-455,-1992.
[46] A .C . Neves and A.J. Nowak. Steady-state therm oelasticity by M ultiple and Elsevier A pplied Science, 1992. Advanced Com putational Methods in Heat Transfer II, M ilan, 1992.
[49] W . Nowacki. Therm oelasticity. Pergamon Press and Polish Scientific Publishers, Warsaw, second edition, 1986.
[50] A.J. Nowak. Tem perature fields in domains with heat sources using boundary-only formulation. In C .A . Brebbia, editor, Boundary Elem e
nts M ethod X - Vol.2 Heat Transfer, Fluid Flow and Electrical Applica
tions,pages 233-247. Com p. Mech. Publications and Springer-Verlag, 1988.
B ibliografia 107
[51] A .J. Nowak. T h e M u ltiple R eciprocity M ethod o f solving heat condu
ction problems. In C .A . Brebbia and J.J. Connor, editors, Advances in Boundary Elem ents - Vol.2. F ield and F lu id Flow Solutions, pages 81-95. Com p. Mech. Publications and Springer-Verlag, 1989. P roce
edings o f the eleventh International Conference on Boundary Element M ethods, Cam bridge, Massachusetts, U S A , August, 1989.
Mech. Publications and Elsevier A pplied Science, 1992. International Series on Com putational Engineering.
[57] A .J. Nowak and C .A . Brebbia. T h e M u ltiple R eciprocity M ethod - A new approach for transforming B E M domain integrals to the boundary.
E ngineering Analysis with Boundary Elem ents, 6 (3 ), 164-167, 1989.
[58] A.J. Nowak and C .A . Brebbia. Solving H elm holtz equation by Boun
dary Elements using the M u ltiple R eciprocity M ethod. In G .M . Carlo- magno and C .A . Brebbia, editors, Com puters and Experim ents in Fluid Flow, pages 265-270. Com p. Mech. Publications and Springer-Verlag, 1989. Proceedings o f the fourth International Conference on C om pu
tational M ethods and Experim ental Measurements, C apri, Italy, May, 1989.
108 Bibliografia
[59] A.J. Nowak and C .A . Brebbia. Solving transient heat conduction by B E M w ith global energy balance incorporated. In L.C . W robel, C .A . Brebbia, and A .J. Nowak, editors, V o l.l - Heat Conduction, Conve
ction and Radiation, pages 119-127. Com p. Mech. Publications and Springer-Verlag, 1990. 1st International Conference on Advanced Co
m putational M ethods in Heat Transfer, Portsm outh, 1990.
[60] A .J. Nowak and C .A . Brebbia. Num erical verification o f the M u ltiple
Academ ische Verlagsgesellschaft, Leip tzig, 1927.
[63] M .N . Ozi§ik. Boundary Value Problem s o f Heat Conduction. Interna
tional Texbook Com p., Scranton, 1968.
[64] P .W . P artridge and C .A . Brebbia. Com puter im plem entation o f the B E M Dual R eciprocity M ethod for the solution o f Poisson type equa
tions. Software f o r Engineering Workstations, 5 (4 ), 199-206, 1989.
[65] P .W . P artridge and C .A . Brebbia. Com puter im plem entation o f the B E M Dual R eciprocity M ethod for the solution o f general field problem.
Com m unications in Applied N u m erica l Methods, 6, 83-92, 1990. International Conference on Advanced Com putational M ethods in Heat Transfer, Portsm outh, 1990.
[68] H. Pow er and B.F. Power. M u ltiple R eciprocity M ethod for external problems: w ith application to non-permanent Stokes flow past a body o f arbitrary shape. In C .A . Brebbia, J. Dom inguez, and F. Paris, edi
tors, Vol.2 - Stress Analysis and C om putational Aspects, pages 651-661.
Com p. Mech. Publications and Elsevier A p p lied Science, 1992. Boun
dary Elements M ethod X IV .
Bibliografia 109
nical Engineering, 73, 295-316, 1989.
[72] V . Sladek, J. Sladek, and M . Tanaka. M u ltip le R ecip rocity M ethod Elem ents. Comp. Mech. Publications, 1986.
[79] J.C .F. Telles. A self-adaptive co-ordinate transform ation for efficient numerical evaluation o f general Boundary Element integrals. In te r
national Jou rn a l f o r N u m erica l Methods in Engineering, 24, 959-973, 1987.
[80] S. W olfram . M athem atica - A System f o r D o in g M athem atics by C o m puter, 1988.
[81] L.C . W rob el and C .A . Brebbia. T h e Dual R eciprocity Boundary E le
ment form ulation for nonlinear diffusion problems. C om pu ter Methods in Applied M echanical Engineering, 6 5 (2 ), 147-164, 1987.
110 B ibliografia
[82] L .C . W rob el and C .A . Brebbia. Boundary Elements for non-linear heat conduction. Com m unications in Applied N u m erica l Methods, 4, 617-622, 1988.
[83] O .C . Zienkiewicz. The F in ite Elem ent Method. M e G raw -H ill, New York, third edition, 1977.