Asymptotyczna ostro±¢

|G|δ 2 ^≥ m 2 ^{+ (n + 1 − κ)} mδ 2(m − κ)^. (35) Rozwa»my funkcj¦ f(m) := m/2 + (n + 1 − κ) δm 2(m−κ), m > κ. Nietrudno obliczy¢, »e f ma minimum globalne w punkcie m0 =pδκ(n + 1 − κ) + κ. St¡d, kGk ≥ f(m0) = ₂^δ(n − κ + 1) +pδκ(n − κ + 1) +κ

2, co ko«czy dowód.

2.4.2 Asymptotyczna ostro±¢

Poka»emy teraz, »e dla dowolnie ustalonego parzystego δ istnieje graf H o stopniu minimalnym δ, spójno±ci κ = δ i dowolnie du»ego rz¦du n, dla którego warto±¢ stab(H; 1) jest bliska oszacowania dolnego (28) z twierdzenia 2.24, w sensie zbie»no±ci asymptotycznej ze wzgl¦du na n.

Ponadto, dla dowolnie ustalonego parzystego κ i dowolnego stopnia mi-nimalnego δ ≥ κ istnieje pseudograf o podobnej wªasno±ci.

Przykªad 2.25 Ustalmy dowolne parzyste κ, dowolne caªkowite p ≥ 2. Konstruowany graf H = H(p, κ) b¦dzie rz¦du p2κ², spójno±ci wierzchoª-kowej κ oraz stopnia minimalnego δ = κ. Zwró¢my wi¦c uwag¦, »e ustalaj¡c dowolnie spójno±¢ wierzchoªkow¡ κ mo»emy, poprzez dobór parametru p, uzyska¢ dowolnie du»y rz¡d grafu H.

Niech t = p2κ. Deniujemy

V (H(p, κ)) := V₀∪ V₀⁰∪ V₁∪ V₁⁰∪ . . . ∪ V_t−1∪ V_t−1⁰

gdzie |Vi| = |V_i⁰| = κ/2 dla wszystkich i = 0, . . . , t − 1. Zauwa»my w tym miejscu, »e |(H(p, κ)| = tκ.

Zdeniujemy teraz zbiór kraw¦dzi. Dla ka»dego i = 0, . . . , t − 1: 1. Na wierzchoªkach Vi∪ V0

i zbudowana jest klika Kκ. 2. Pomi¦dzy V0

i a Vi+1 (i + 1 brane modulo t) utworzone jest peªne sko-jarzenie (patrz rysunek 11).

Rysunek 11: Konstrukcja grafu H(2, 4) odnosz¡cego si¦ do przykªadu 2.25. Lemat 2.26 ([3]) Graf H(p, κ) z powy»szego przykªadu 2.25 speªnia poni»-sze:

A) H(p, κ) jest κ-regularny.

B) Spójno±¢ grafu H(p, κ) wynosi κ. C) Je±li n oznacza rz¡d grafu H(p, κ), to

lim n→∞  stab(H(p, κ); 1) −^κ 2^{(n − κ + 1) + κ} √ n − κ + 1 +^κ 2  = C(κ), gdzie C(κ) jest pewn¡ funkcj¡ zale»n¡ wyª¡cznie od κ.

Dowód.

Ad. A) Niech v b¦dzie dowolnym wierzchoªkiem grafu H(p, κ). Je±li v ∈ Vi

dla pewnego i, to v ma κ−1 s¡siadów w Vi∪ V0

i. Poza tym v jest incydentny tylko z dokªadnie jednym wierzchoªkiem z V0

i−1. Analogicznie, je±li v ∈ V0 i

dla pewnego i, to v ma κ − 1 s¡siadów w Vi∪ V0

i oraz dokªadnie jednego w V_i+1 (operacje na indeksach brane modulo t).

Ad. B) We¹my dowolne x, y ∈ V (H(p, κ)). Poka»emy, »e istnieje κ wierz-choªkowo rozª¡cznych ±cie»ek mi¦dzy x i y. Niech x ∈ Vi∪ V0

i i y ∈ Vj∪ V0 j, i ≤ j. Najpierw rozpatrzmy przypadek i 6= j. Wiemy, »e Vi ∪ V_i⁰ two-rz¡ klik¦ rz¦du κ, wi¦c ka»dy z wierzchoªków tego zbioru mo»e by¢ u»yty w innej ±cie»ce. Poªow¦, czyli κ

2 tych ±cie»ek mo»emy poprowadzi¢ wierz-choªkowo niezale»nie, tak by przechodziªy one przez wierzchoªki ze zbiorów Vi+1, V_i+1⁰ , Vi+2, V_i+2⁰ . . . , V_j−1⁰ . Analogicznie pozostaªe ±cie»ki prowadzimy niezale»nie przez wierzchoªki z V0

i−1, V_i−1, V_i−2⁰ , V_i−2. . . , V_j+1 (indeksy brany modulo t). Wszystkie te ±cie»ki docieraj¡ ostatecznie do kliki zbudowanej na wierzchoªkach z Vj ∪ V_j⁰ i ostatecznie do wierzchoªka y. Je±li i = j, to ªatwo zauwa»y¢, »e w samej klice na wierzchoªkach Vi∪ V0

i znajdziemy κ − 1 niezale»nych ±cie»ek od x do y. Ostatni¡ brakuj¡c¡ ±cie»k¦ ªatwo znajdziemy na jeden z dwóch sposobów:

• je±li x, y ∈ Vi to ±cie»ka (x, x0, y⁰, y) gdzie x0 ∈ V_i−1⁰ oraz y0 ∈ V_i−1⁰ s¡ wierzchoªkami s¡siednimi odpowiednio z x i y jest ±cie»k¡ niezale»n¡ od pozostaªych. Sytuacja jest analogiczna, gdy x, y ∈ V0

i. • je±li x ∈ Vi za± y ∈ V0

i, to istnieje ±cie»ka

(x, u⁰_i−1, u_i−1, u⁰_i−2, u_i−2, u⁰_i−3, . . . , u_i+1, y), gdzie poszczególne ur, u⁰_r na-le»¡ odpowiednio do Vr, V_r⁰. Jest ona oczywi±cie wierzchoªkowo nieza-le»na od pozostaªych ±cie»ek. Analogicznie post¦pujemy, gdy x ∈ V0

i i y ∈ V_i.

Ad. C) Dowód konstrukcyjny. Poka»emy istnienie (H; 1)-stabilnego grafu G o rozmiarze pozwalaj¡cym na realizacj¦ punktu C). Rozwa»my mianowicie graf G = G(p, κ) zdeniowany w nast¦puj¡cy sposób. Zbiór wierzchoªków deniujemy jako

V (G) = V0∪ V₀⁰∪ V₁∪ V₁⁰∪ . . . ∪ V_t+p−1∪ V_t+p−1⁰ ,

gdzie |Vi| = |V_i⁰| = ^κ₂ dla i = 0, . . . , t + p − 1, gdzie konsekwentnie przyjmu-jemy t = p2κ.

Zbiór kraw¦dzi tworzony jest w poni»szy sposób:

1. Dla ka»dego i = 0, . . . , t + p − 1 wierzchoªki ze zbioru Vi∪ V0

i tworz¡ klik¦ rz¦du κ.

2. Dla ka»dego i = 0, . . . , t+p−1 pomi¦dzy V0

i a Vi+1(indeksy brane modulo t + p) utworzone jest peªne skojarzenie.

3. Dla ka»dego i = 0, . . . , pκ pomi¦dzy V0

ip a Vip+p+1 (indeksy brane modulo t + p) równie» utworzone jest peªne skojarzenie (patrz rysunek 12).

Rysunek 12: Konstrukcja grafu G(2, 4) odnosz¡cego si¦ do lematu 2.26. Najpierw wyka»emy, »e G jest w istocie (H; 1)-stabilny, a nast¦pnie ob-liczymy jego rozmiar.

Bez straty ogólno±ci mo»emy rozwa»a¢ graf G − x, gdzie x ∈ Vi ∪ V_i⁰ , i ∈ {1, . . . , p}. Mo»na zauwa»y¢, »e (wykorzystuj¡c w szczególno±ci

kraw¦-dzie skojarzenia mi¦dzy V0

0 a Vp+1) mamy

H ⊂ G − {V1∪ V₁⁰∪ . . . ∪ V_p∪ V_p⁰} ⊂ G − x.

W celu oszacowania rozmiaru G, odnotujmy na pocz¡tek, »e |G(p, κ)| = (t + p)κ. Gdyby chwilowo zignorowa¢ kraw¦dzie skojarzenia pomi¦dzy V0

ip a Vip+p+1, i = 0, . . . , pκ to graf G byªby κ-regularny. St¡d, ostatecznie

kGk = ^{(t + p)κ}

2

2 ⁺

(t + p)κ 2p ^. Wiedz¡c (z denicji grafu H(p, κ)), »e p =^qt

κ otrzymujemy kGk = ^tκ 2 2 ⁺ κ^√tκ 2 ⁺ κ^√tκ 2 ⁺ κ 2 ⁼ nκ 2 ^{+ κ} √ n + ^κ 2^. Zauwa»my wi¦c, »e

stab(H(p, κ); 1) − κ 2^{(n − κ + 1) + κ} √ n − κ + 1 + ^κ 2  ≤ (36) nκ 2 ^{+ κ} √ n +^κ 2 ⁻ κ 2^{(n − κ + 1) + κ} √ n − κ + 1 + ^κ 2  ≤ (37) κ ^√n −^√n − κ + 1
+ C(κ), (38) gdzie C(κ) = κ2−κ

2 jest funkcj¡ zmiennej κ. Wystarczy ju» jedynie zauwa»y¢, »e dla dowolnie ustalonego κ mamy

lim

n→∞κ ^√n −^√n − κ + 1
= 0,

co ko«czy dowód lematu, uzasadniaj¡c poprawno±¢ konstrukcji u»ytej w przykªadzie 2.25.

Na podstawie powy»szego mo»emy wysun¡¢ nast¦puj¡cy wniosek. Wniosek 2.27 Dla dowolnie ustalonego parzystego κ i odpowiednio du»ego n₀istnieje graf H, o minimalnym stopniu δ, spójno±ci wierzchoªkowej κ = δ i rz¦dzie n ≥ n0 taki, »e warto±¢ parametru stab(H; 1) mie±ci si¦ w przedziale

 θ(n, κ); θ(n, κ) + ^κ 2− κ 2 ^{+ 1}  , gdzie θ(n, κ) = κ 2(n − κ + 1) + κp(n − κ + 1) +κ 2.

Na koniec poka»emy modykacj¦ u»ytej powy»ej konstrukcji, tak by dzia-ªaªa ona równie» dla pseudografów κ-spójnych, o stopniu minimalnym δ > κ (przy zaªo»eniu, »e κ jest dowoln¡ liczb¡ parzyst¡).

Przykªad 2.28 Niech κ b¦dzie dowoln¡ parzyst¡ liczb¡. Poka»emy kon-strukcj¦ pseudografu P = P (p, δ, κ) o spójno±ci κ, stopniu minimalnym δ ≥ κ i rz¦dzie n = p2δκdla którego stab(P (p, δ, κ); 1) jest bliski ograniczeniu (28). Niech t = p2δ dla dowolnie ustalonego p ≥ 2. Deniujemy

V (P (p, δ, κ)) := V₀∪ V₀⁰∪ V₁∪ V₁⁰∪ . . . ∪ V_t−1∪ V_t−1⁰

gdzie |Vi| = |V_i⁰| = κ/2 dla wszystkich i = 0, . . . , t − 1. Zauwa»my w tym miejscu, »e |P (p, δ, κ)| = tκ.

Zdeniujemy teraz zbiór kraw¦dzi. Dla ka»dego i = 0, . . . , t − 1:

1. Na wierzchoªkach Vi∪ V_i⁰ zbudowana jest klika Kκ. W ka»dej takiej klice wyró»niamy dowolne peªne skojarzenie (z uwagi na parzysto±¢ κ zawsze takie istnieje), a nast¦pnie ka»d¡ kraw¦d¹ tego skojarzenia zast¦pujemy (δ − κ + 1)-krotn¡ multikraw¦dzi¡ (je±li wi¦c δ > κ, mamy istotnie do czynienia z pseudografem).

2. Pomi¦dzy V0

i a Vi+1 (i + 1 brane modulo t) utworzone jest peªne sko-jarzenie.

Lemat 2.29 Pseudograf P (p, δ, κ) z powy»szego przykªadu 2.28 speªnia po-ni»sze:

A) P (p, δ, κ) jest δ-regularny.

B) Spójno±¢ wierzchoªkowa pseudografu P (p, δ, κ) wynosi κ. C) Je±li n oznacza rz¡d pseudografu P (p, δ, κ), to

lim n→∞  stab(P (p, δ, κ); 1) − δ 2^{(n − κ + 1) +} p δκ(n − κ + 1) +^κ 2  = C(δ, κ), gdzie C(δ, κ) jest pewn¡ funkcj¡ zale»n¡ wyª¡cznie od δ oraz κ.

Dowód.

Ad. A) Niech v b¦dzie dowolnym wierzchoªkiem pseudografu P . Wierzcho-ªek ten nale»y do pewnej kliki ze zwielokrotnion¡ kraw¦dzi¡. Rz¡d tej kliki wynosi κ, za± jedna z kraw¦dzi jest (δ − κ + 1)-krotna. Ponadto v ma jeszcze dokªadnie jednego s¡siada poza t¡ klik¡, st¡d degP(v) = κ−1+(δ−κ)+1 = δ. Ad. B) Dowód analogiczny jak w cz¦±ci B) lematu 2.26.

Ad. C) Konstrukcja analogiczna do przedstawionej w dowodzie cz¦±ci C) lematu 2.26, z uwzgl¦dnieniem zwielokrotnienia niektórych kraw¦dzi. Roz-wa»my pseudograf R = R(p, δ, κ) zdeniowany w nast¦puj¡cy sposób. Zbiór wierzchoªków deniujemy jako

V (R) = V0∪ V₀⁰∪ V₁∪ V₁⁰∪ . . . ∪ V_t+p−1∪ V_t+p−1⁰ ,

gdzie |Vi| = |V_i⁰| = ^κ₂ dla i = 0, . . . , t + p − 1, gdzie konsekwentnie przyjmu-jemy t = p2δ.

Zbiór kraw¦dzi tworzony jest w poni»szy sposób:

1. Dla ka»dego i = 0, . . . , t + p − 1 wierzchoªki ze zbioru Vi∪ V_i⁰ tworz¡ klik¦ rz¦du κ. W ka»dej z tych klik wyró»niamy peªne skojarzenie i zast¦puj¦my ka»d¡ kraw¦d¹ skojarzenia (δ − κ + 1)-krotn¡ multikraw¦dzi¡.

2. Dla ka»dego i = 0, . . . , t + p − 1 pomi¦dzy V0

i a Vi+1 (i + 1 brane modulo t) utworzone jest peªne skojarzenie.

3. Dla ka»dego i = 0, . . . , pδ pomi¦dzy V0

ipa Vip+p+1 (ip+p+1 brane modulo t) równie» utworzone jest peªne skojarzenie.

Stosuj¡c rozumowanie jak w dowodzie cz¦±ci C) lematu 2.26 wykazujemy, »e R jest (P ; 1)-stabilny. Ponadto zauwa»amy, »e

kRk = ^{(t + p)δκ}

2 ⁺

(t + p)κ 2p ^.

Podstawiaj¡c, zgodnie ze wcze±niejszym zaªo»eniem, p =^qt

δ otrzymujemy kRk = ^tδκ 2 ⁺ κ^√tδ 2 ⁺ κ^√tδ 2 ⁺ κ 2 ⁼ nδ 2 ⁺ √ δκn +^κ 2^. Zauwa»my wi¦c, »e

stab(P (p, δ, κ); 1) − δ 2^{(n − κ + 1) +} p δκ(n − κ + 1) +^κ 2  ≤ (39) nδ 2 ⁺ √ δκn +^κ 2 ⁻  δ 2^{(n − κ + 1) +} p δκ(n − κ + 1) +^κ 2  ≤ (40) √ δκ ^√n −^√n − κ + 1
+ C(δ, κ), (41) gdzie C(δ, κ) = δκ−κ

2 jest funkcj¡ zmiennych δ, κ. Podobnie jak wcze±niej, dla dowolnie ustalonego δ oraz κ mamy

lim

n→∞

√

co ko«czy dowód lematu, potwierdzaj¡c zasadno±¢ konstrukcji u»ytej w przy-kªadzie 2.28.

Analogicznie, na podstawie powy»szego lematu mo»emy wysun¡¢ nast¦-puj¡cy wniosek.

Wniosek 2.30 Dla dowolnie ustalonego parzystego κ i odpowiednio du»ego n₀istnieje pseudograf H, o minimalnym stopniu δ, spójno±ci wierzchoªkowej κ ≤ δ i rz¦dzie n ≥ n0 taki, »e warto±¢ parametru stab(H; 1) mie±ci si¦ w przedziale  θ(n, κ); θ(n, κ) + ^{δκ − κ} 2 ^{+ 1}  , gdzie θ(n, κ) = δ 2(n − κ + 1) +pδκ(n − κ + 1) +κ 2.

3 (H; k)-stabilne minimalnego rozmiaru

W rozdziale tym zajmiemy si¦ ogólniejszym problemem - (H; k)-stabilno±ci¡ grafów dla dowolnego naturalnego k.

Na pocz¡tek, dla uporz¡dkowania informacji, przedstawimy ogólne osza-cowania wynikaj¡ce z twierdze« 1.12 oraz 1.15. Dla dowolnego grafu H i dowolnego naturalnego k ≥ 2 mamy

kHk + k∆(H) ≤ stab(H; k) ≤ (42) ≤ min  (k + 1)kHk; kHk + k|H| +k 2  . (43) W pracy [6] przedstawiono poni»sz¡ obserwacj¦ i dwa kolejne twierdzenia. Obserwacja 3.1 Nietrudno zauwa»y¢, »e podobnie jak w przypadku k = 1, górne oszacowanie parametru stab(K1,p; k) jest równe dolnemu dla dowol-nego k ≥ 2. st¡d natychmiastowo mamy, »e

stab(K1,p; k) = pk + p.

Graf K1,p jest zarazem jedynym grafem o tej wªasno±ci, za± graf (k + 1)K1,p

jest jedynym grafem (K1,p; k)-stabilnym minimalnego rozmiaru.

W tym miejscu przytoczymy podstawowe, znane wcze±niej, wyniki dla szcze-gólnych klas grafów.

Twierdzenie 3.2 Dla dowolnego naturalnego k stab(C₃; k) = 3k + 3. Twierdzenie 3.3 Dla dowolnego naturalnego k

stab(C₄; k) = 4k + 4.

Grafami, którym po±wi¦cono szczególnie du»o bada« byªy kliki. W isto-cie, problem (Kq; k)-stabilno±ci rozwa»any byª odr¦bnie w kilku w kilku przy-padkach,

• dla niewielkich, ustalonych q i dowolnie du»ych k (prace [6, 9]), • dla dowolnych q, przy k ograniczonym z góry wzgl¦dem q (praca [10]),

• dla dowolnych q, przy dowolnym k z wyj¡tkiem niektórych maªych (wzgl¦dem q) warto±ci k (praca [26]).

Pierwszy tego typu rezultat uzyskany zostaª dla grafu K4przez A. Dudek, A. Szyma«skiego i M. Zwonek [6].

Twierdzenie 3.4 Dla dowolnego naturalnego k ≥ 1 mamy stab(K₄; k) = 5k + 5.

J-L. Fouquet, H. Thuillier, J-M. Vanherpe oraz A.P. Wojda [9] udowodnili ponadto poni»sze,

Twierdzenie 3.5 Je±li graf G jest (K4; k)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru dla dowolnie ustalonego naturalnego k ≥ 1, to jest on izomorczny pK₅∪ qK₆, gdzie p i q s¡ nieujemnymi liczbami caªkowitymi speªniaj¡cymi równanie

2p + 3q = k + 1.

W tej samej pracy znajdziemy peªn¡ charakteryzacj¦ grafów (K4; k)-stabilnych grafem minimalnego rozmiaru.

Twierdzenie 3.6 Je±li graf G jest (K5; k)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru dla dowolnie ustalonego naturalnego k ≥ 5, to

(i) kGk = 7k + 7,

(ii) G = pK7 ∪ qK₈, gdzie p i q s¡ nieujemnymi liczbami caªkowitymi speªniaj¡cymi równanie

3p + 4q = k + 1

Ci sami autorzy [10] rozpatrywali równie» sytuacj¦ odwrotn¡, tj. z dowolnie du»ym rz¦dem kliki q oraz k ograniczonym przez funkcj¦ zmiennej q. Twierdzenie 3.7 Je±li graf G jest (Kq; k)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, gdzie q ≥ 6 i k ≤ q

2 + 1, to G jest izomorczny z Kq+k.

Kluczowe wyniki, w szczególno±ci dla du»ych k przy dowolnie ustalonym q, zostaªy uzyskane nieco pó¹niej przez A. ›aka [26].

Twierdzenie 3.8 Rozwa»my caªkowite liczby q ≥ 2, oraz k ≥ 0. Wówczas stab(Kq; k) ≥ (2q − 3)(k + 1);

gdzie równo±¢ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡ caªkowite nieujemne liczby a, b, dla których k = a(q − 2) + b(q − 1) − 1. W szczególno±ci dla wszystkich k ≥ (q − 3)(q − 2) − 1 zachodzi równo±¢

stab(Kq; k) = (2q − 3)(k + 1).

Ponadto, je±li G jest (Kq; k)-stabilnym grafem rz¦du (2q − 3)(k + 1), to G = aK_2q−3∪bK_2q−2, gdzie a oraz b s¡ takimi nieujemnymi caªkowitymi liczbami, »e a(q − 2) + b(q − 1) = k + 1

Podsumowuj¡c powy»sze wyniki dotycz¡ce klik, okazuje si¦, »e dla do-wolnie ustalonego q dokªadna warto±¢ parametru stab(Kq; k)nie jest znana jedynie dla sko«czonego zbioru warto±ci k. Znane s¡ warto±ci dla nast¦pu-j¡cych k:

• k ≤ q/2 + 1(twierdzenie 3.7)

• k ≥ (q − 3)(q − 2) − 1 (twierdzenie 3.8)

• wszystkich takich k, »e k + 1 jest nieujemn¡ caªkowit¡ kombinacj¡ liniow¡ liczb q − 1 oraz q − 2 (Twierdzenie 3.8).

Zagadnienie (H; k)-stabilno±ci rozwa»ane byªo tak»e w kontek±cie cykli. Wpraw-dzie w ogólnym przypadku nie s¡ znane dokªadne warto±ci parametru stab(Cn; k) to jednak S. Cichacz, A. Görlich, M. Zwonek i A. ›ak [4] uzyskali górne i dolne oszacowania tego parametru.

Twierdzenie 3.9 Niech k ≥ 2 b¦dzie ustalon¡ liczb¡ caªkowit¡. Wtedy dla ka»dego 0 <  < 1/(2k + 4) istnieje takie n(), »e je±li n ≥ n(), to

stab(C_n; k) ≥ n + 2^p(1 − )kn − 1 (44) Twierdzenie 3.10 ([4]) Dla ka»dego k ≥ 1 i n ≥ 3

3.1 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na unie cykli

Uogólniaj¡c temat stabilno±ci dla cykli, przedstawimy teraz górne (konstruk-cyjne) oraz dolne oszacowanie parametru stab(tCn; k), gdzie t jest dowoln¡ dodatni¡ liczb¡ naturaln¡.

Twierdzenie 3.11 Dla dowolnych naturalnych liczb n ≥ 3, t ≥ 1 oraz k ≥ 0 zachodzi nierówno±¢ stab(tCn; k) ≤ min n (t + k)n, tn + 2k^lpt(n − 1) m + θ(k, t) o , (46) gdzie θ(k, t) = ^tk 2+ 3tk + k²− k 2 ^{+ t − 1.}

Dowód. Prawdziwo±¢ twierdzenia dla k = 0 jest oczywista, wobec czego skupimy si¦ na k ≥ 1. Je±li (t + k)n ≤ tn + 2k^lpt(n − 1)^m+ θ(k, t), to wystarczy rozwa»y¢ graf skªadaj¡cy si¦ z t + k rozª¡cznych kopii Cn. Graf ten w oczywisty sposób jest (tCn; k)-stabilny, a jego rozmiar wynosi (t+k)n, speªnia wi¦c zadan¡ nierówno±¢.

W przeciwnym przypadku zastosowanie ma poni»sza konstrukcja grafu (tC_n; k)-stabilnego.

Na pocz¡tek skonstruujemy pomocniczy graf ˜G(k, p), gdzie k oraz p s¡ dodatnimi liczbami caªkowitymi. Graf ten skªada si¦ z t rozª¡cznych ko-pii pewnego (Cn; k)-stabilnego grafu zdeniowanego w pracy S. Cichacz, A. Görlich, M. Zwonek, A ›aka [4] . Mianowicie,

V ( ˜G(k, p)) = V¹∪ . . . ∪ Vt, gdzie Vi= {vⁱ₀, . . . , v_n+kp−1ⁱ }, i = 1, . . . , t oraz E( ˜G(k, p)) = {vⁱ_jv_j+1ⁱ ; j = 0, . . . , n + kp − 1, i = 1, . . . , t} ∪ {vⁱ_jpvⁱ_jp+rp+1, r = 1, . . . , k, j = 0, . . . , l n+kp p m

− 1, i = 1, . . . , t}, gdzie wszystkie indeksy dolne brane s¡ modulo n + kp.

W celu uzyskania grafu G(k, p) z ˜G(k, p) wykonujemy operacj¦ sklejania odpowiednich wierzchoªków. Mianowicie, dla ka»dego j ∈ {0, . . . , kp − 1} wierzchoªki v1

j, . . . , v_j^t zast¦pujemy jednym wierzchoªkiem uj, który ª¡czymy kraw¦dziami ze wszystkimi s¡siadami wierzchoªków v1

j, . . . , vt

j. Formalnie, V (G(k, p)) = {u0, . . . , ukp−1} ∪ {vi

kp, . . . , v_n+kp−1ⁱ , i = 1, . . . , t}. Zbiór kra-w¦dzi grafu G(k, p) deniujemy nast¦puj¡co.

Po pierwsze, je±li dla j ∈ {0, . . . , kp − 1} vi

jvⁱ_l ∈ E( ˜G(k, p)), to do E(G(k, p)) nale»¡ kraw¦dzie:

- ujvi

- ujul (gdy 0 ≤ l ≤ kp − 1)

Ponadto, wszystkie pozostaªe kraw¦dzie zawarte w E( ˜G(k, p)) znajduj¡ si¦ tak»e w E(G(k, p)). St¡d kGk = k ˜Gk − (t − 1)  (kp − 1) +^k(k−1)₂  = t^n + kp + k^ln+kp_p ^m− (t − 1)^(kp − 1) +^k(k−1)₂ ^. Bior¡c p =^lpt(n − 1)m, otrzymujemy kGk ≤ tn + 2k^lpt(n − 1) m +^tk 2+ 3tk + k²− k 2 ^{+ t − 1.}

Pozostaje nam wykaza¢, »e G(k, p) jest (tCn; k)-stabilny. Przypadek k = 0 jest oczywisty. Dla k = 1 zostaªo to udowodnione w twierdzeniu 2.21). Dla dowodu indukcyjnego, zaªó»my prawdziwo±¢ tezy dla k0 = k − 1, tj. »e G(k−1, p)jest (tCn; k−1)-stabilny. Zauwa»my teraz, »e zarówno G(k, p)−uj

dla dowolnego j ∈ {0, . . . , kp − 1}, jak i G(k, p) − vi

l dla dowolnych l ∈ {kp, . . . n + kp − 1} oraz i ∈ {1, . . . , t} zawieraj¡ podgraf izomorczny z G(k − 1, p), co ko«czy dowód.

Twierdzenie 3.12 Niech k ≥ 2 oraz t ≥ 1 b¦d¡ ustalonymi liczbami caªko-witymi. Wtedy dla ka»dego 0 <  < 1/(2k + 4) istnieje takie n(), »e je±li n ≥ n(), to

stab(tC_n; k) ≥ tn + 2^p(1 − )ktn − 1 (47) Dowód. Kluczowe fragmenty dowodu opieraj¡ si¦ na metodzie u»ytej w do-wodzie twierdzenia 3.10 (twierdzenia 9 z pracy [4]). Niech G b¦dzie (tCn; k)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru. Rozwa»my dwa przypadki

I. Graf G zawiera t + 1 wierzchoªkowo rozª¡cznych kopii Cn. Wtedy mamy oczywi±cie kGk ≥ (t + 1)n, co dla odpowiednio du»ych n przekracza oszaco-wanie z tezy twierdzenia.

II. Graf G zawiera jedynie t wierzchoªkowo rozª¡cznych kopii Cn. Niech G zawiera r skªadowych spójno±ci G1, . . . , G_r. Przyjmijmy, »e skªadowa Gi za-wiera ti > 0 rozª¡cznych kopii Cn, gdzie t1+ . . . + tr = t. Šatwo zauwa»y¢, »e dla ka»dego i = 1, . . . , r graf Gimusi by¢ (tiC_n; k)-stabilny. Dla ustalenia uwagi zajmiemy si¦ teraz oszacowaniem liczby kraw¦dzi skªadowej G1.

Na podstawie wniosku 1.10 zauwa»my, »e G1 nie zawiera wierzchoªków stopnia jeden. Co wi¦cej, G1 nie zawiera równie» cykli w skªad których wchodz¡ wyª¡cznie wierzchoªki stopnia dwa, ani takich, do których nale»y

tylko jeden wierzchoªek stopnia wi¦kszego lub równego trzy (w przeciwnym razie ªatwo wykazliby±my, »e G1 zawiera co najmniej t1 + 1 rozª¡cznych kopii Cn). Niech V3+ = {x₁, . . . , x_m ∈ V (G₁)} ⊂ V (G₁) oznacza zbiór wierzchoªków stopnia wi¦kszego lub równego trzy . Warto zauwa»y¢, »e ka»dy wierzchoªek ze zbioru V3+jest poª¡czony (bezpo±rednio lub podzielon¡ kraw¦dzi¡) z innym wierzchoªkiem ze zbioru V3+. Wobec tego nietrudno zauwa»y¢, »e m > k + 1. W przeciwnym razie, usuwaj¡c k wierzchoªków ze zbioru V3+ w pozostaªej reszcie nie znajdziemy cyklu.

Niech A(xi) oznacza liczb¦ wierzchoªków stopnia dwa, które nie nale»¡ do »adnego cyklu w grae G − xi (czyli po usuni¦ciu xi staj¡ si¦ caªkowicie nieprzydatne). Rozwa»my rodzin¦ wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru V3+ i oznaczmy j¡ przez Fk. Niech S ∈ Fk. Wtedy A(S) oznacza liczb¦ wierzchoªków stopnia dwa, które nie nale»¡ do »adnego cyklu w grae G − S M := max{|A(S)|; S ∈ F_k}. Zauwa»my, »e m k  M ≥ ^X S∈Fk |A(S)| =m − 1 k − 1  +m − 2 k − 1  (|G1| − m),

gdy» ka»dy wierzchoªek stopnia dwa w G1 liczony jest dokªadnie m−1 k−1
+

m−2 k−1

razy. Mamy zatem

M ≥ ^{2mk − k}

2− k

m(m − 1) ^{(|G1| − m).} (48) Skoro usuwaj¡c z grafu G1 wierzchoªki ze zbioru S ∈ Fk nieprzydatne staj¡ si¦ wierzchoªki ze zbioru A(S), to

|G₁| − M − k ≥ t₁n. (49) Ponadto

kG₁k ≥ ¹

2^{(3m + 2(|G1| − m)).} (50) Z nierówno±ci (48) - (50) otrzymujemy ostatecznie

kG₁k ≥ ^m 2 ⁺ t1nm(m − 1) − km²+ k²m m(m − 1) − 2mk + k2+ k ^. (51) Ustalmy dowolnie  ∈ (0; 1 2k+4). (i) Je±li m ≥ k+1

mamy

kG₁k ≥ ^m 2 ⁺

t1n(m − 1)

m − 1 − (2 − 2)k ^{− k − 1.}

Traktuj¡c kG1k jako funkcj¦ zmiennej m, gdzie m ≥ k + 2 szukamy jej minimum globalnego. Nietrudno sprawdzi¢, »e ostatecznie

kG₁k ≥ t₁n + 2^p(1 − )kt1n − 1. (ii) je±li m < k+1

2 , to (raz jeszcze korzystaj¡c z dowodu twierdzenia 9 z [4]) mo»na sprawdzi¢, »e dla odpowiednio du»ych n mamy

kG₁k ≥ t₁n(1 + c)

dla pewnej dodatniej staªej c, co dla odpowiednio du»ych n przewy»sza war-to±¢ t1n + 2p(1 − )kt₁n − 1.

Analogicznie otrzymujemy kGik ≥ t_in+2p(1 − )ktin−1dla wszystkich pozostaªych i = 2, . . . , r, co ostatecznie daje nam oszacowanie dla kGk = kG₁k + . . . + kG_rk. Šatwo mo»emy sprawdzi¢, »e rozmiar G jest najmniejszy, gdy r = 1 i t1 = t. Ostatecznie mamy wi¦c kGk ≥ tn + 2p(1 − )ktn − 1, co ko«czy dowód.

Rozdziaª ten zako«czymy przytoczeniem wyniku A. ›aka [27] b¦d¡cego, dla odpowiednio du»ych i spójnych grafów, uogólnieniem twierdzenia 2.24. Twierdzenie 3.13 Niech H b¦dzie grafem rz¦du n, o minimalnym stopniu δ ≥ 1i spójno±ci κ ≥ 1. Je±li δ 2(n + 1 − κ) ≥^√kδκn +^{k(δ+1−κδ)}₂ , to stab(H; k) ≥ ^δ 2^{n +} √ kδκn +^{k(δ + 1 − κδ)} 2 ^. (52)

4 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na klas¦ grafów

4.1 Denicje i podstawowe obserwacje

W rozdziale tym zajmiemy si¦ uogólnion¡ wersj¡ wierzchoªkowej stabilno-±ci grafów. Zamiast stabilnostabilno-±ci ze wzgl¦du na jeden z góry okre±lony graf rozwa»amy stabilno±¢ na zadan¡ klas¦ grafów.

Denicja 4.1 Niech H b¦dzie niepust¡ klas¡ (zbiorem) grafów, za± k do-woln¡ liczb¡ naturaln¡. Mówimy, »e graf G jest (H; k)-wierzchoªkowo sta-bilny, je±li po usuni¦ciu k dowolnych wierzchoªków grafu G pozostaªa reszta zawiera podgraf izomorczny z pewnym H ∈ H.

Je±li zbiór grafów H zawiera dokªadnie jeden graf H, to powy»sza denicja jest to»sama z podstawow¡ denicj¡ wierzchoªkowej stabilno±ci grafu, tj. denicj¡ 1.7. Ponadto deniujemy

stab(H; k) = min{|G|; G jest (H; k)-stabilny}. (53) Stwierdzenie 4.2 Niech H b¦dzie dowoln¡ klas¡ grafów, za± k dowolnie ustalon¡ dodatni¡ liczb¡ caªkowit¡. Wtedy, je±li G jest grafem (H; k)-stabilnym, to dla dowolnego u ∈ V (G) graf G − u jest (H; k − 1)-stabilny.

Obserwacja 4.3 Niech H0, H b¦d¡ dowolnymi klasami grafów, takimi »e H⁰⊂ H. Wówczas je±li G jest (H0; k)-stabilny, to jest te» (H; k)-stabilny. Wobec powy»szego natychmiast otrzymujemy

Stwierdzenie 4.4 Dla ka»dego H ∈ H i dla ka»dego k ∈ N stab(H; k) ≤ stab(H; k).

Dla pewnych klas grafów H i pewnych k mo»liwe jest, »e dany graf G jest (H; k)-stabilny, podczas gdy nie jest (H; k)-stabilny dla »adnego H ∈ H. Co wi¦cej, mo»liwa jest sytuacja, »e stab(H; k) < min{stab(H; k); H ∈ H}. Przykªad 4.5 Niech k = 1 oraz H = {H1; H₂}, gdzie H1 = C₆ a H2 = K2,4− {e₁, e2}, gdzie e1, e2 to dowolne dwie nies¡siednie kraw¦dzie grafu K_2,4. Z pracy [4] wiemy, »e stab(H1; 1) = 11 . Ponadto mo»na ªatwo spraw-dzi¢, »e stab(H2; 1) ≥ 10. Poka»emy teraz konstrukcj¦ grafu G, który jest

(H; 1)-stabilny, a którego rozmiar wynosi 9.

Mianowicie V (G) = {v, u0, . . . , u₅}, za± E(G) = {vu0, vu₂, vu₄}∪{u_ju_j+1; j = 0, . . . , 5}, gdzie indeksy brane s¡ modulo 6 (patrz rysunek 13). Dla wykaza-nia, »e G istotnie jest (H; 1)-stabilny wystarczy zauwa»y¢, »e H1 ⊂ G−v, jak równie» H1⊂ G − u₁(analogicznie dla G−u3 i G−u5) oraz, »e H2⊂ G − u₀ (analogicznie dla G − u2 i G − u4).

Rysunek 13: G nie jest ani (H1; 1)- ani (H2; 1)-stabilny. Jest natomiast ({H₁; H₂}; 1)-stabilny

Lemat 4.6 Niech H b¦dzie dowoln¡ klas¡ grafów. Wtedy dla dowolnego na-turalnego k

stab(H; k) ≥ min

H∈H{kHk + k∆(H)}.

Dowód. Niech G0 b¦dzie (H; k)-stabilnym grafem. W pierwszym kroku usu-wamy z G0 dowolny wierzchoªek maksymalnego stopnia (oznaczmy go przez u1). Z powstaªego grafu G1 = G0− u₁ znów usuwamy wierzchoªek maksy-malnego stopnia w G1, itd. Ogólnie, w j-tym kroku usuwamy wierzchoªek maksymalnego stopnia w Gj−1 := G₀− {u₁, . . . , u_j−1}, a procedur¦ ª¡cznie powtarzamy k-krotnie. Z zaªo»enia o (H; k)-stabilno±ci G0 wynika, »e ist-nieje H0 ∈ H, który jest podgrafem Gk = G0 − {u₁, . . . , u_k}, wi¦c istnieje pewien wierzchoªek v ∈ V (Gk), taki »e degGk(v) ≥ ∆(H₀). Odwoªuj¡c si¦ do procedury wyboru wierzchoªków u1, . . . uk mamy, »e

St¡d ªatwo ju» zauwa»y¢, »e

kG₀k ≥ kH₀k + k∆(H₀), co ko«czy dowód.

W dokumencie Index of /rozprawy2/10830 (Stron 43-60)