Index of /rozprawy2/10830

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie. Wydziaª Matematyki Stosowanej Katedra Matematyki Dyskretnej. Rozprawa doktorska. Wierzchoªkowa stabilno±¢ grafów Mateusz Nikodem. Promotor: dr hab. Antoni Marczyk. Kraków 2014.

(2) Podzi¦kowania Skªadam serdeczne podzi¦kowania mojemu promotorowi dr. hab. Antoniemu Marczykowi za wsparcie merytotyczne i okazan¡ »yczliwo±¢ i cierpliwo±¢ w trakcie pisania pracy, jak równie» za szereg cennych wskazówek edytorkich. Dzi¦kuj¦ promotorowi pomocniczemu dr. Andrzejowi akowi za czas po±wi¦cony na liczne dyskusje zwi¡zane z temtem pracy. Dzi¦kuj¦ równie» Kole»ankom i Kolegom z Katedry Matematyki Dyskretnej za ch¦tne dzielenie si¦ swoim do±wiadczeniem i wspóªtworzeniem atmosfery do twórczej pracy..

(3) Spis tre±ci Streszczenie. 4. Abstract. 5. Wst¦p. 7. 1 Podstawowe denicje i twierdzenia 1.1 1.2 1.3. Preliminaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wprowadzenie do problemu stabilno±ci grafów . . . . . . . . . Podstawowe wªasno±ci grafów (H; k)-stabilnych . . . . . . . .. 2. (H; 1)-stabilne grafy minimalnego rozmiaru 2.1 Ogólne wªasno±ci grafów (H; 1)-stabilnych . . 2.2 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na grafy t-dzielne peªne 2.3 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na unie grafów . . . . . 2.3.1 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na unie ±cie»ek . 2.3.2 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na unie cykli . . 2.4 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na grafy κ-spójne . . . 2.4.1 Ograniczenie dolne . . . . . . . . . . . 2.4.2 Asymptotyczna ostro±¢ . . . . . . . . .. 3. (H; k)-stabilne minimalnego rozmiaru 3.1 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na unie cykli . . . . . . . . . . . . . .. 4 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na klas¦ grafów 4.1 4.2. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. Denicje i podstawowe obserwacje . . . . . . . . . . . . Stabilno±¢ ze wzgl¦du na klas¦ grafów spójnych rz¦du n 4.2.1 (Tn ; 2)-stabilno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 (Tn ; k)-stabilno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Podsumowanie. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . . .. 8. 8 12 13. 16. 16 25 31 32 35 40 40 43. 51. 54. 58. 58 60 61 69. 80. 3.

(4) Streszczenie W pracy omawiane jest zagadnienie wierzchoªkowej stabilno±ci grafów. Je±li H jest dowolnie ustalonym grafem, to graf G nazywamy (H; k)-stabilnym gdy w grae otrzymanym przez usuni¦cie dowolnych k wierzchoªków z G znajdziemy podgraf izomorczny z H . Dla danego grafu H i danego naturalnego k koncentrujemy si¦ na znajdowaniu lub szacowaniu warto±ci parametru stab(H; k) = {kGk : G jest (H; k)-stabilny}. Na pocz¡tek przedstawiamy ostre ograniczenia od doªu na rozmiar grafu (H; k)-stabilnego grafu G w zale»no±ci od |G| − |H|. Wyniki te wykorzystywane s¡ do wyznaczania dokªadnej warto±ci parametru stab(H; 1) dla H b¦d¡cego dowolnym grafem t-dzielnym peªnym. W dalszej cz¦±ci pracy przedstawiamy tak»e asymptotycznie dokªadne oszacowania na stab(H; 1) dla H b¦d¡cego uni¡ cykli lub uni¡ ±cie»ek. Przedstawiamy tak»e oszacowanie od doªu na rozmiar minimalnego (H; 1)-stabilnego grafu, gdzie H jest dowolnym grafem κ-spójnym ustalonego rz¦du, wraz z wykazaniem jego ostro±ci. Wyniki te s¡ uogólnieniami znanego wcze±niej niemal dokªadnego oszacowania parametru stab(Cn ; 1) uzyskanego przez S. Cichacz, A. Görlich, M. Zwonek i A. aka w 2011r. Dla k > 1 przedstawiamy pewne ogólne wªasno±ci parametru stab(H; k), a nast¦pnie pokazujemy jego oszacowanie dla H b¦d¡cego uni¡ cykli. Nast¦pnie wprowadzamy now¡, szersz¡ denicj¦ stabilno±ci - ze wzgl¦du na klas¦ grafów H zamiast na jeden ustalony graf H . Mówimy, »e graf G jest (H; k)-stabilny, je±li w grae otrzymanym przez usuni¦cie dowolnych k wierzchoªków z grafu G znajdziemy podgraf izomorczny z pewnym reprezentantem klasy H, a nast¦pnie przez analogi¦ deniujemy stab(H; k) := {kGk : G jest (H; k)-stabilny}. W sposób szczególny rozwa»amy klas¦ Conn b¦d¡c¡ zbiorem wszystkich spójnych grafów rz¦du n. Znalezienie minimalnego rozmiaru grafu (Conn ; k)stabilnego jest równowa»ne odpowiedzi na pytanie "Ile kraw¦dzi musi mie¢ graf, aby po usuni¦ciu dowolnych k wierzchoªków pozostaªa cz¦±¢ zawieraªa skªadow¡ spójno±ci rz¦du co najmniej n?". Przedstawiamy oszacowania stab(Con; k), przy czym dla k = 1, 2 oszacowania te s¡ dokªadne (ewentualnie z dokªadno±ci¡ do jednej kraw¦dzi), za± dla wi¦kszych k podajemy oszacowanie od doªu i uzyskane konstrukcyjnie ró»ne oszacowania górne.. 4.

(5) Abstract In the thesis we discuss vertex stability of graphs. If H is an arbirary graph then graph G is said to be (H; k)-stable if in a graph obtained from G by removing any k vertices there is a subgraph isomorphic to H . Given graph H and positive integer k we focus on estimating the parameter stab(H; k) = {kGk : G is (H; k)-stable}. First, we present tight lower bounds of a size of (H; 1)-stable graphs G depending on |G|−|H|. Those results are of basic importance for calculating the value of stab(H; 1) for H being any t-partite complete graph. In next parts we show asymptotically exact bounds of stab(H; 1) for H being a union of cycles or union of paths. Moreover, we calculate a lower bound for minimal size of (H; 1)-stable graph, where H is κ-connected graph given order and show its tightness. Those results are generalizations of the one obtained by S. Cichacz, A. Görlich, M. Zwonek and A. ak in 2011 on almost exact bounds of stab(Cn ; 1). For k > 1 we show some general properties of parameter stab(H; k) and show its bounds for H being an union of cycles. Finally, we introduce new, more general denition of vertex stability with regards to class of graphs, say H, instead of one particular graph H . Namely, we say that graph G is (H; k)-stable if in a graph obtained by removing any k vertices from G there is a subgraph isomorphic to some representative of class H. Analogously, we dene stab(H; k) := {kGk : G is (H; k)-stable}. We put special attention on a class Conn being a class of all connected graphs of order n. Finding a minimal order of (Conn ; k)-stable graph is equivalent to answering the question "How many edges needs to be in a graph, that after removing any k vertices the remaining part still has a connected component of order at least n?". We construct the lower and upper bounds of stab(Con; k), where for k = 1, 2 the lower bound is equal to the upper one (or there is a dierence just of one edge) and for larger k we give the lower bound and dierent approaches for constructions of the upper one.. 5.

(6) Wst¦p Tematyka wierzchoªkowej stabilno±ci grafów badana jest od stosunkowo niedªugiego czasu. Poj¦cie grafu (H; k)-stabilnego (gdzie H jest ustalonym z góry grafem, za± k ustalon¡ liczb¡ naturaln¡) po raz pierwszy zdeniowano w pracy A. Dudek, A. Szyma«skiego i M. Zwonek z roku 2008 ([6]). Od tego czasu powstaª szereg prac dotycz¡cy niniejszego problemu. W szczególno±ci J-L. Fouquet, H. Thuillier, J-M. Vanherpe, A.P. Wojda w pracach [9, 10] oraz A. ak w pracy [26] rozwa»ali przypadek H = Kn , A. Dudek i A. ak ([8]) oraz A. Dudek i M. Zwonek analizowali graf H = Kp,q ([7]), za± S. Cichacz, A. Görlich, M. Zwonek, i A. ak w pracy [4] uzyskali interesuj¡ce wyniki dla grafu H = Cn . Jednak nawet dla tak podstawowych grafów, mimo stosowania ró»nych technik, nie zawsze udawaªo si¦ ustali¢ dokªadn¡ liczb¦ kraw¦dzi grafu (H; k)-wierzchoªkowo stabilnego minimalnego rozmiaru. Przykªadowo, dla grafu H = Cn i pewnych niesko«czenie wielu n wskazano dokªadne (tj. górne równe dolnemu) oszacowanie na minimum po rozmiarach grafów (Cn ; 1)-stabilnych. Dla k > 1 powstaje ju» jednak luka mi¦dzy rozmiarami znalezionych konstrukcji grafów (Cn ; k)-wierzchoªkowo stabilnych, a dolnym oszacowaniem na rozmiar grafu o tej wªasno±ci. Mo»e to ±wiadczy¢ o tym, »e problem znajdowania (H; k)-wierzchoªkowo stabilnych grafów minimalnego rozmiaru jest wysoce nietrywialny, co samo w sobie mo»e by¢ motywacj¡ do prowadzenia dalszych bada«. Gªównym celem niniejszej rozprawy jest przedstawienie nowych wyników dotycz¡cych tej tematyki. Rozwa»amy w szczególno±ci stabilno±¢ ze wzgl¦du na grafy t-dzielne peªne, unie ±cie»ek, unie cykli i grafy o ustalonej spójno±ci κ. Przedstawiamy tak»e kilka nowych ogólnych wªasno±ci (H; k)-wierzchoªkowo stabilnych grafów minimalnego rozmiaru, porz¡dkuj¡c zarazem aktualny stan wiedzy. Najistotniejszym wkªadem jest jednak wprowadzenie nowego, ogólniejszego modelu tj. stabilno±ci ze wzgl¦du na klas¦ grafów tj. zbiór grafów speªniaj¡cych okre±lone warunki zamiast na jeden ustalony graf. Przedstawione zostan¡ pewne ogólne wyniki maj¡ce zastosowanie dla dowolnych klas, a nast¦pnie szczegóªowo omówniony zostanie problem stabilno±ci ze wzgl¦du na klas¦ spójnych grafów rz¦du n. Podziaª pracy jest nast¦puj¡cy. • W rozdziale pierwszym wprowadzimy niezb¦dne denicje i przedstawimy ogólne wªasno±ci grafów (H; k)-stabilnych. • Rozdziaª drugi to ju» bardziej szczegóªowe rezultaty dla k = 1. Zajmu6.

(7) jemy si¦ tu zale»no±ci¡ rozmiaru grafu (H; 1)-stabilnego od jego rz¦du, a nast¦pnie przedstawiamy konstrukcj¦ grafu (H; 1)-stabilnego minimalnego rozmiaru (dowodz¡c, »e jest ona optymalna), gdzie H jest grafem t-dzielnym peªnym. W kolejnym podrozdziale omawiamy elementarne wªasno±ci grafów (H; 1)-stabilnych, gdzie H jest uni¡ pewnych grafów H1 , . . . , Ht , prezentuj¡c nast¦pnie oszacowania (z góry i z doªu) na minimalny rozmiar grafu (H; 1)-stabilnego, gdzie H jest uni¡ ±cie»ek, lub uni¡ cykli. Oszacowania te s¡ asymptotycznie dokªadne ze wzgl¦du na rz¡d grafu H . Na zako«czenie rozdziaªu przedstawiamy (znów asymptotycznie dokªadne) ograniczenia na minimalny rozmiar grafu (H; 1)-stabilnego gdzie H jest grafem κ-spójnym ustalonego rz¦du.. • W rodziale trzecim przezentujemy pewne ogólne wyniki dotycz¡ce zagadnienia (H; k)-stabilno±ci dla k > 1, przechodz¡c nast¦pnie do konstrukcji i oszacowa« dla H b¦d¡cego uni¡ cykli. • W rozdziale czwartym wprowadzamy denicj¦ stabilno±ci ze wzgl¦du na klas¦ grafów. Po przedstawieniu ogólnych wyników dotycz¡cych tego poj¦cia skupiamy si¦ na szczegóªowej analizie zagadnienia w odniesieniu do klasy spójnych grafów ustalonego rz¦du n. Dla k ∈ {1, 2} pokazujemy optymalne konstrukcje grafów o minimalnym rozmiarze, które s¡ stabilne ze wzgl¦du na t¡ klas¦. Na koniec przedstawiamy analogiczne oszacowania (górne i dolne) rozmiaru dla k > 2.. 7.

(8) 1 Podstawowe denicje i twierdzenia W tej cz¦±ci wprowadzone zostan¡ denicje poj¦¢ u»ywanych w rozprawie, a tak»e przedstawione zostan¡ podstawowe wyniki zwi¡zane z problemem wierzchoªkowej stabilno±ci grafów. U»yta w pracy notacja jest w wi¦kszo±ci spójna z ksi¡»k¡ R. Diestela [5]. Na samym pocz¡tku przyjmiemy równie», »e przez zbiór liczb naturalnych N rozumiemy zbiór liczb {0, 1, 2, . . .}.. 1.1 Preliminaria Niech V oznacza sko«czony i niepusty zbiór, [V ]2 zbiór wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru V , a E pewien podzbiór zbioru [V ]2 . Par¦ G = (V, E) nazywamy wówczas grafem. Elementy zbioru V nazywamy wierzchoªkami grafu G, za± elementy zbioru E nazywamy jego kraw¦dziami. Dla ustalonego grafu G u»ywamy równie» symboli V (G) i E(G) oznaczaj¡cych odpowiednio zbiór wierzchoªków i zbiór kraw¦dzi grafu G. Moce zbiorów V (G) i E(G) nazywamy odpowiednio rz¦dem i rozmiarem grafu G. Rz¡d grafu oznaczany jest przez |G|, a rozmiar przez kGk. Niech u i v b¦d¡ wierzchoªkami grafu G. Je±li {u, v} ∈ E(G), to powiemy, »e wierzchoªki u i v s¡ s¡siednie (lub te» poª¡czone ) w grae G. Analogicznie, je±li e1 , e2 ∈ E(G), e1 6= e2 i e1 ∩ e2 6= ∅, to mówimy, »e kraw¦dzie e1 i e2 s¡ s¡siednie. Kraw¦d¹ ª¡cz¡c¡ wierzchoªki u i v b¦dziemy oznacza¢ krótko przez uv lub, równowa»nie, vu (kolejno±¢ nie ma znaczenia). Mówimy te», »e je±li e = uv , to wierzchoªki u i v s¡ incydentne z e lub, po prostu, s¡ ko«cami kraw¦dzi e. Równowa»nie e jest kraw¦dzi¡ incydentn¡ z wierzchoªkami u oraz v . Ponadto wierzchoªki u oraz v nazywamy wierzchoªkami pokrywaj¡cymi kraw¦d¹ e. Niech E 0 ⊂ E(G) b¦dzie dowolnie ustalonym zbiorem kraw¦dzi. Wówczas zbiorem pokrywaj¡cym E 0 jest ka»dy zbiór wierzchoªków V 0 ⊂ V (G), dla którego co najmniej jeden koniec ka»dej kraw¦dzi z E 0 nale»y do V 0. Wprawdzie obiektami rozwa»anymi w niniejszej rozprawie s¡ przede wszystkim grafy, to jednak miejscami odniesiemy si¦ do ogólniejszego poj¦cia pseudografu. W odró»nieniu od grafów, w pseudografach dopuszczamy wielokrotne kraw¦dzie mi¦dzy ustalon¡ par¡ wierzchoªków jak równie» p¦tle, czyli kraw¦dzie których oba ko«ce s¡ tym samym wierzchoªkiem. Bardziej formalnie pseudografem nazywamy par¦ M = (V, E) rozª¡cznych zbiorów (wierzchoªków i kraw¦dzi), wraz z odwzorowaniem φ : E → V ∪ [V ]2 przypisuj¡cym ka»dej kraw¦dzi jej ko«ce (jeden wierzchoªek lub par¦ wierzchoªków). Odwzorowanie to nie musi by¢ ró»nowarto±ciowe. Niech x b¦dzie dowolnym wierzchoªkiem grafu G. Zbiór wierzchoªków 8.

(9) s¡siednich dla x (inaczej: s¡siedztwem x) b¦dziemy oznacza¢ przez NG (x). Z kolei przez NG [x] oznaczmy domkni¦te s¡siedztwo x, tj. NG [x] = NG (x) ∪ {x}. Moc zbioru NG (x) nazywana jest stopniem wierzchoªka x w grae G i oznaczana przez degG (x) (lub deg(x) gdy nie ma w¡tpliwo±ci, o którym grae mowa). Innymi sªowy, stopie« wierzchoªka to liczba kraw¦dzi z nim incydentnych. W naturalny sposób deniujemy maksymalny i minimalny stopie« grafu G, odpowiednio ∆(G) = max{degG (x), x ∈ V (G)} oraz δ(G) = min{degG (x), x ∈ V (G)}. Wierzchoªek nazywamy izolowanym, je±li jego stopie« wynosi zero. Je±li ka»dy wierzchoªek grafu G jest tego samego stopnia d, to G nazywamy grafem d-regularnym. Nieco inaczej formalnie deniujemy stopie« wierzchoªka x w pseudograe M , mianowicie. degM (x) = |{e ∈ E(M ) : φ(e) = {x, y}, x 6= y}| + 2 |{e ∈ E(M ); φ(e) = x}| . Podobnie jak w przypadku grafu stopie« wierzchoªka mo»emy interpretowa¢ jako liczb¦ kraw¦dzi (z uwzgl¦dnieniem krotno±ci) z nim incydentnych, przy czym ka»da p¦tla zwi¦ksza stopie« o dwa. Je±li V 0 ⊂ V i E 0 ⊂ E , to graf G0 = (V 0 , H 0 ) nazywamy podgrafem grafu G i oznaczamy G0 ⊂ G. Podgrafem grafu G indukowanym przez podzbiór wierzchoªków V 0 nazywamy graf G[V 0 ], którego zbiorem wierzchoªków jest zbiór V 0 ⊂ V , a zbiorem kraw¦dzi {uv ∈ E(G); u, v ∈ V 0 }. Graf G[V \ W ] b¦dziemy oznacza¢ krótko przez G − W . Analogicznie, je±li G = (V, E) to graf (V, E \ F ) oznaczamy przez G − F . Ponadto, je±li W = {v} to G − W oznaczamy równowa»nie przez G − v . Analogicznie, je±li F = {e}, to G − F oznaczamy przez G − e.. Denicja 1.1. Grafy G i H nazywamy izomorcznymi je±li istnieje bijekcja φ : V (G) → V (H) taka, »e. ∀u,v∈V (G) (uv ∈ E(G) ⇔ φ(u)φ(v) ∈ E(H)) . Bijekcj¦ t¡ nazywamy izomorzmem grafów G i H .. Denicja 1.2 ([15]). Graf G nazywamy wierzchoªkowo tranzytywnym je±li dla dowolnych x, y ∈ V (G) istnieje izomorzm φ : V (G) → V (G), taki »e φ(x) = y .. cie»k¡ w grae G nazywamy sko«czony ró»nowarto±ciowy ci¡g wierzchoªków G, takich, »e ka»de dwa kolejne wyrazy ci¡gu s¡ s¡siednie w G. Je±li ów ci¡g zawiera k wyrazów, to mówimy, »e ±cie»ka jest dªugo±ci k − 1 i 9.

(10) zazwyczaj oznaczamy j¡ przez Pk . Poj¦cie ±cie»ki uto»samiamy z podgrafem grafu G, takim »e zbiór wierzchoªków stanowi¡ elementy ci¡gu deniuj¡cego ±cie»k¦, za± zbiór kraw¦dzi skªada si¦ z kraw¦dzi mi¦dzy s¡siednimi wyrazmi tego ci¡gu. Je±li pierwszym wyrazem ci¡gu jest wierzchoªek u, a ostatnim v , to mówimy, »e u i v s¡ poª¡czone ±cie»k¡.. Denicja 1.3 cie»k¦ w grae G, która skªada si¦, poza wierzchoªkiem pocz¡tkowym i ko«cowym, z samych wierzchoªków stopnia dwa w G nazywamy podzielon¡ kraw¦dzi¡. Graf G nazywamy spójnym je±li dla ka»dych dwóch wierzchoªków istnieje ª¡cz¡ca je ±cie»ka w G. Je±li G jest grafem spójnym, to dla ka»dej pary wierzchoªków u, v ∈ V (G) deniujemy odlegªo±¢ mi¦dzy nimi. Mianowicie, odlegªo±¢ mi¦dzy u i v , oznaczana przez d(u, v), to dªugo±¢ najkrótszej ±cie»ki ª¡cz¡cej u i v . W szczególno±ci d(v, v) = 0. Niech G = (V, E). Je±li V 0 jest maksymalnym w sensie zawierania podzbiorem V takim, »e G[V 0 ] jest grafem spójnym, to G[V 0 ] nazywamy skªadow¡ spójno±ci grafu G. ¯ , dla którego V (G) ¯ = Dopeªnieniem grafu G(V, E) nazywamy graf G ¯ V (G) oraz e ∈ E(G) ⇔ e 6∈ E(G). Graf G nazywamy grafem peªnym (lub klik¡ ), je±li ka»dy jego wierzchoªek s¡siaduje z wszystkimi pozostaªymi. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy przez Kn . Dopeªnie grafu peªnego nazywamy grafem pustym. Graf rz¦du n > k nazywamy k -spójnym je±li usuni¦cie dowolnego zbioru wierzchoªków mocy nie wi¦kszej ni» k − 1 nie rozspójni grafu. Równowa»nie, na podstawie twierdzenia Mengera, mo»emy powiedzie¢, »e graf nazywamy k -spójnym je±li dowolne dwa jego wierzchoªki mo»na poª¡czy¢ k wierzchoªkowo rozª¡cznymi (wewn¦trznie) ±cie»kami ([5]). Ponadto mówimy, »e spójno±¢ grafu H wynosi κ, je±li κ jest maksymaln¡ liczb¡ k, dla której H jest k -spójny, przy czym przyjmuje si¦, »e spójno±¢ kliki Kn wynosi n − 1. Nietrudno zauwa»y¢, »e je±li graf H jest k -spójny, to δ(H) ≥ k . Je±li G i H s¡ grafami o rozª¡cznych zbiorach wierzchoªków to ich uni¡ nazywamy graf G ∪ H = (V (G) ∪ V (H), E(G) ∪ E(H)). Graf b¦d¡cy uni¡ k kopii tego samego grafu G oznaczamy przez kG. Ponadto, dla grafów H1 , H2 o rozª¡cznych zbiorach wierzchoªów deniujemy ich zespolenie, które b¦dziemy oznacza¢ przez H1 ∗H2 . Je±li wi¦c G jest zespoleniem H1 i H2 , to V (G) = V (H1 ) ∪ V (H2 ), E(G) = E(H1 ) ∪ E(H2 ) ∪ {uv; u ∈ V (H1 ), v ∈ V (H2 )}.. 10.

(11) Zdeniowane poni»ej ±ci¡ganie wzdªu» kraw¦dzi jest z kolei przykªadem podstawowego dziaªania, którego argumentem jest jeden graf.. Denicja 1.4. Niech e = uv b¦dzie dowolnie ustalon¡ kraw¦dzi¡ grafu G = (V, E). Mówimy, »e graf G|e jest ±ci¡gni¦ciem G wzdªu» kraw¦dzi e (lub równowa»nie ±ci¡gni¦ciem wierzchoªka u do wierzchoªka v ), je±li. V (G|e ) = V (G) \ {u}, E(G|e ) = E(G − {u, v}) ∪ {vw; w ∈ (NG (u) \ {v}) ∪ (NG (v) \ {u})}.. Skojarzeniem w grae nazywamy niepusty podzbiór zbioru kraw¦dzi skªa-. daj¡cy si¦ albo z jednej kraw¦dzi albo co najmniej dwóch kraw¦dzi, parami nies¡siednich. Je±li |G| jest liczb¡ parzyst¡, to deniuje si¦ skojarzenie peªne, czyli takie skojarzenie, do którego nale»y dokªadnie |G| 2 kraw¦dzi. Graf spójny rz¦du n w którym ka»dy wierzchoªek jest stopnia dwa nazywamy cyklem rz¦du n i oznaczamy go przez Cn . Je±li z cyklu usuniemy dokªadnie jedn¡ kraw¦d¹, pozostawiaj¡c niezmieniony zbiór wierzchoªków, to otrzymany graf nazywamy ±cie»k¡ i oznaczamy przez Pn , gdzie n ≥ 3. Ponadto, dla n ∈ {1, 2} deniujemy Pn = Kn . Graf, który zawiera jako podgraf dokªadnie jeden cykl nazywamy unicyklicznym. Graf, który nie zawiera cyklu jako podgrafu nazywamy grafem acyklicznym, za± spójny graf acykliczny nazywamy drzewem. Wierzchoªki stopnia jeden w drzewie nazywamy li±¢mi. Drzewem spinaj¡cym dany spójny graf G nazywamy dowolny podgraf grafu G b¦d¡cy drzewem o zbiorze wierzchoªków równym V (G). Istotnym poj¦ciem dotycz¡cym drzewa jest jego mediana, któr¡ deniujemy podobnie jak w artykule Gerstela i S. Zaksa [13].. Denicja 1.5. Niech T = (V, E) b¦dzie dowolnym drzewem. Dla ka»dego wierzchoªka v ∈ V (T ) deniujemy jego sumaryczn¡ wag¦ w(v) jako sum¦ odlegªo±ci od v do wszystkich pozostaªych wierzchoªków T , tj. w(v) = P u∈V (T ) d(u, v). Wówczas median¡ drzewa T nazywamy zbiór takich wierzchoªków x ∈ V (T ) dla których sumaryczna waga jest minimalna, czyli. w(x) = min{w(v); v ∈ V (T )}. Znany jest fakt, »e median¡ drzewa jest zbiór skªadaj¡cy si¦ z jednego lub dwóch wierzchoªków ([21]). Niech t b¦dzie dodatni¡ liczb¡ caªkowit¡. Wówczas graf G nazywamy tdzielnym peªnym je±li istnieje podziaª zbioru V na t niepustych podzbiorów V1 , . . . , Vt takich, »e wierzchoªki s¡ s¡siednie w G wtedy i tylko wtedy, gdy nale»¡ do ró»nych podzbiorów wzgl¦dem podziaªu. Je±li |Vi | = ni dla i = 11.

(12) 1, . . . , t, to taki graf oznaczmy przez Kn1 ,...,nt . W szczególno±ci graf Kn jest grafem n-dzielnym peªnym, za± graf 1-dzielny peªny skªada si¦ wyª¡cznie z wierzchoªków izolowanych. Hiperkostk¡ wymiaru q nazywamy graf Q(q) zdeniowany nast¦puj¡co. Zbiorem wierzchoªków hiperkostki jest zbiór wszystkich q -wyrazowych ci¡gów o wyrazach ze zbioru {0, 1}. Dwa wierzchoªki s¡ poª¡czone kraw¦dzi¡ wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj¡ce im ci¡gi ró»ni¡ si¦ dokªadnie na jednej pozycji ci¡gu (patrz: [23]).. 1.2 Wprowadzenie do problemu stabilno±ci grafów Rozró»niamy dwa podstawowe rodzaje stabilno±ci grafów: kraw¦dziow¡ i wierzchoªkow¡. Z chronologicznego punktu widzenia wcze±niej rozpatrywana byªa stabilno±¢ kraw¦dziowa. Pierwszych wzmianek zwi¡zanych z tym poj¦ciem grafów mo»na doszuka¢ si¦ w pracy P. Frankla i G.Y. Katony [11] z 2008 roku, jednak»e formalnie stabilno±¢ kraw¦dziowa zdeniowana zostaªa pó¹niej przez I. Horvatha i G.Y. Katon¦ [16] w nast¦puj¡cy sposób:. Denicja 1.6 Niech H b¦dzie dowolnie ustalonym grafem, za± k dowolnie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡. Mówimy, »e graf G jest (H, k)-kraw¦dziowo stabilny, je±li po usuni¦ciu k dowolnych kraw¦dzi z G pozostaªa reszta zawiera podgraf izomorczny z H . Naturalnym zagadnieniem zwi¡zanym z poj¦ciem stabilno±ci jest poszukiwanie grafów (H, k)-kraw¦dziowo stabilnych o minimalnym rozmiarze. I.Horvath i G.Y. Katona [16] wskazali ile kraw¦dzi musi zawier¢ ka»dy (P4 , k)- kraw¦dziowo stabilny graf dla dowolnie ustalonego naturalnego k . Innym kierunkiem bada« jest rozwa»anie stabilno±ci wierzchoªkowej. Poj¦cie to po raz pierwszy wprowadzone zostaªo przez A. Dudek A. Szyma«skiego oraz M. Zwonek w pracy [6].. Denicja 1.7 Niech H b¦dzie dowolnie ustalonym grafem, za± k dowolnie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡. Mówimy, »e graf G jest (H; k)-wierzchoªkowo stabilny, je±li po usuni¦ciu k dowolnych wierzchoªków z G pozostaªa reszta zawiera podgraf izomorczny z H . Powy»sze denicje nie s¡ interesuj¡ce dla k = 0, jednak»e z formalnego punktu widzenia równie» wtedy s¡ one poprawne.. 12.

(13) Tak jak w przypadku stabilno±ci kraw¦dziowej tak i dla problemu stabilno±ci wierzchoªkowej interesuje nas znajdowanie grafów stabilnych minimalnego rozmiaru. B¦dziemy u»ywa¢ nast¦puj¡cego parametru:. stab(H; k) := min{kGk; G jest (H; k)-wierzchoªkowo stabilny}. (1). Poniewa» gªównym tematem niniejszej rozprawy jest zagadnienie wierzchoªkowej stabilno±ci, ilekro¢ b¦dzie mowa o grafach (H; k)-stabilnych, b¦dziemy mie¢ na uwadze grafy (H; k)-wierzchoªkowo stabilne. Warto zwróci¢ uwag¦, »e dla dowolnego grafu H ªatwo skonstruowa¢ graf (H; k)-stabilny maj¡cy n + k wierzchoªków, gdzie n = |H|. Mianowicie, wystarczy rozwa»y¢ graf peªny Kn+k . Po usuni¦ciu z niego dowolnych k wierzchoªków pozostaje nam Kn - graf zawieraj¡cy H jako podgraf. Oczywi±cie, z drugiej strony, »aden graf (H; k)-stabilny nie mo»e mie¢ mniej ni» n + k wierzchoªków. St¡d te» problem znajdowania grafów (H; k)-stabilnych o minimalnym rz¦dzie jest trywialny. Znacznie bardziej zªo»onym zagadnieniem jest oszacowanie minimalnego rozmiaru jaki musi mie¢ graf (H; k)-stabilny. Motywacj¡ dla znajdywania grafów (H; k)-stabilnych minimalnego rozmiaru mo»e by¢ nast¦puj¡ce zagadnienie optymalizacyjne. Rozpatrzmy sie¢ poª¡czonych ze sob¡ urz¡dze« (czujników, przeka¹ników, itp.). Mo»emy j¡ uto»samia¢ z grafem - wierzchoªkom odpowiadaj¡ urz¡dzenia, a kraw¦dziom - poª¡czenia. Chcemy, aby ustalona z góry struktura (tj. ukªad urz¡dze« wraz z poª¡czeniami) byªa zapewniona, nawet gdy cz¦±¢ urz¡dze« (ale nie wi¦cej ni» k ) ulegnie awarii. Przyjmiemy przy tym, »e gªównym kosztem jest utrzymanie poª¡cze« mi¦dzy urz¡dzeniami, nie za± same urz¡dzenia (ich koszt zaniedbujemy). Zadanie polega na skonstruowaniu struktury o minimalnym koszcie speªniaj¡cej powy»sze zaªo»enia. W najnowszych badaniach podej±cie to zostaªo uogólnione przez A. aka [25]. W pracy tej rozpatrywany jest zarówno koszt poª¡cze« jak i koszt urz¡dze«, a d¡»y si¦ oczywi±cie do minimalizacji kosztu caªej struktury. Wyniki zawarte w niniejszej pracy dotycz¡ grafów (Kq ; k)- stabilnych minimalnego kosztu.. 1.3 Podstawowe wªasno±ci grafów (H; k)-stabilnych Zaczniemy od przedstawienia elementarnych wªasno±ci grafów (H; k)-stabilnych, opieraj¡c si¦ gªównie na wynikach A. Dudek, A. Szyma«skiego i M. Zwonek [6] oraz A. Dudek i A. aka [8].. Obserwacja 1.8. Niech H 0 b¦dzie grafem utworzonym z grafu H poprzez usuni¦cie wszystkich wierzchoªków izolowanych. Wówczas dla dowolnego 13.

(14) naturalnego k speªniona jest równo±¢. stab(H; k) = stab(H 0 ; k). Z uwagi na powy»sze b¦dziemy w dalszej cz¦±ci pracy zakªada¢, »e H nie zawiera wierzchoªków izolowanych, gdy» te nic nie wnosz¡ do zagadnienia minimalizacji rozmiaru. Co wi¦cej, z tego samego powodu rozpatruj¡c grafy (H; k)-stabilne, równie» ograniczamy si¦ wyª¡cznie do grafów bez wierzchoªków izolowanych. Poni»sze stwierdzenie wraz z wnioskiem oraz kolejny lemat pochodz¡ z pracy [6].. Stwierdzenie 1.9 Niech G b¦dzie (H; k)-stabilnym grafem minimalnego roz-. miaru. Wówczas ka»dy wierzchoªek oraz ka»da kraw¦d¹ grafu G jest zawarta w pewnym podgrae grafu G izomorcznym z H .. Wniosek 1.10. Niech G b¦dzie grafem (H; k)-stabilnym minimalnego rozmiaru. Wówczas δ(G) ≥ δ(H).. Lemat 1.11 Niech G b¦dzie grafem (H; k)-stabilnym, gdzie k ≥ 1. Wówczas G − v jest grafem (H; k − 1)-stabilnym dla dowolnego v ∈ V (G).. Zasadnicze znaczenie ma poni»szy, przytoczony wraz z konstrukcyjnym dowodem, wynik A. Dudek i A. aka z pracy [8].. Twierdzenie 1.12 Niech. H b¦dzie dowolnie ustalonym grafem, za± k dowolnie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡. Wówczas. k stab(H; k) ≤ min (k + 1)kHk; kHk + k|H| + , 2 gdzie przyjmujemy, »e 12 = 0.. (2). Dowód. Przedstawimy dwie uniwersalne konstrukcje grafów (H; k)-stabilnych.. Mianowicie, dla dowolnie ustalonego grafu H zarówno G1 = (k + 1)H jak i G2 = H ∗ Kk s¡ grafami (H; k)-stabilnymi. Oczywi±cie kG1 k = (k + 1)kHk, z kolei kG2 k = kHk + k|H| + k2 dla k ≥ 2.. Poni»ej przedstawiamy podstawowe wyniki dotycz¡ce górnego oszacowania parametru stab(H; k), pochodz¡ce ze wspominanej powy»ej pracy A. Dudek i A. aka [8]. 14.

(15) Stwierdzenie 1.13 Je±li graf. H zawiera k wierzchoªków pokrywaj¡cych q kraw¦dzi, to stab(H; k) ≥ kHk + q .. Wniosek 1.14. Dla dowolnego grafu H zachodz¡ oszacowania. stab(H; 1) ≥ kHk + ∆(H). Uogólnieniem powy»szego wniosku jest nast¦puj¡ce twierdzenie.. Twierdzenie 1.15 ([2]) Niech H b¦dzie dowolnie ustalonym grafem, za± k dowolnie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡. Wówczas. stab(H; k) ≥ kHk + k∆(H).. (3). Ponadto, ka»dy graf (H; k)-stabilny ma co najmniej k + 1 wierzchoªków stopnia co najmniej ∆(H). Dowód. (indukcyja ze wzgl¦du na k). k = 0. Trywialnie wynika z denicji; graf (H; 0)-stabilny musi zawiera¢ H jako podgraf. Niech teraz k > 0. Zakªadamy, »e twierdzenie jest prawdziwe dla k 0 = k − 1, tj. »e kHk + (k − 1)∆(H) ≤ stab(H; k − 1), oraz, »e w ka»dym grae (H; k − 1)-stabilnym istnieje co najmniej k wierzchoªków stopnia nie mniejszego ni» ∆(H). Niech G b¦dzie (H; k)-stabilnym grafem. Po pierwsze zauwa»amy, »e oczywi±cie ∆(G) ≥ ∆(H). Niech wi¦c v ∈ V (G) b¦dzie wierzchoªkiem stopnia nie mniejszego od ∆(H). Na podstawie lematu 1.11 G − v jest (H; k − 1)stabilny. Na mocy zaªo»enia indukcyjnego stwierdzamy, »e kG − vk ≥ kHk+(k−1)∆(H). Poniewa» kGk = kG−vk+degG (v) ≥ kG−vk+∆(H), to ostatecznie mamy, »e kGk ≥ kHk+k∆(H). Ponadto, korzystaj¡c raz jeszcze z zaªo»enia indukcyjnego, w grae G − v istnieje co najmniej k wierzchoªków stopnia nie mniejszego ni» ∆(H), wi¦c w grae G takich wierzchoªków musi by¢ co najmniej k + 1.. 15.

(16) 2 (H; 1)-stabilne grafy minimalnego rozmiaru 2.1 Ogólne wªasno±ci grafów (H; 1)-stabilnych Zauwa»my na wst¦pie, »e zgodnie z twierdzeniem 1.12 i wnioskiem 1.14 dla dowolnego grafu H znane s¡ ogólne ograniczenia na minimalny rozmiar grafu (H; 1)-stabilnego, mianowicie:. kHk + ∆(H) ≤ stab(H; 1) ≤ min{kHk + |H|; 2kHk}.. (4). Obserwacja 2.1. Gwiazda H = K1,m jest grafem (ªatwo sprawdzi¢, »e jedynym) dla którego kHk + ∆(H) = 2kHk = min{kHk + |H|; 2kHk}. St¡d, na podstawie (4), natychmiastowo otrzymujemy, »e. stab(K1,m ; 1) = kK1,m k + m. Nie zawsze (H; 1)-stabilny graf minimalnego rozmiaru ma najmniejsz¡ mo»liw¡ liczb¦ wierzchoªków, tj. |H| + 1. Mo»emy to zaobserwowa¢ cho¢by na przykªadzie wspomnianej powy»ej gwiazdy K1,m - jedynym grafem (K1,m ; 1)stabilnym o minimalnym rozmiarze jest bowiem 2K1,m (patrz [6]), czyli graf rozmiaru 2m. Nietrudno znale¹¢ te» przykªad grafu H , dla którego istniej¡ ró»ne grafy (H; 1)-stabilne grafy minimalnego rozmiaru. Je±li H = C4 , to takimi grafami s¡ G1 = 2C4 , G2 = C4 ∗ K1 oraz G3 = K3,3 − e, gdzie e jest dowoln¡ kraw¦dzi¡ nale»¡c¡ do K3,3 ([7]). Ka»dy z grafów G1 , G2 , G3 jest innego rz¦du (odpowiednio 8, 5 oraz 6), a wszystkie s¡ rozmiaru 8. W ogólno±ci wi¦c b¦dziemy przyjmowa¢, »e ka»dy (H; 1)-stabilny graf minimalnego rozmiaru jest rz¦du |H| + s, gdzie s jest pewn¡ dodatni¡ liczb¡ caªkowit¡. Przyjmuj¡c, »e (H; 1)-stabilny graf minimalnego rozmiaru G jest rz¦du |H| + s, zajmiemy si¦ teraz dolnym, ogólnym oszacowaniem kGk w zale»no±ci od s.. Lemat 2.2 Je±li. G jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru i |G| = |H| + s, gdzie s ≥ ∆(H) + 1, to stab(H; 1) = kGk ≥ kHk +. 1 (∆(H) + (s − 1)δ(H)) . 2. (5). Dowód. Niech v b¦dzie wierzchoªkiem maksymalnego stopnia w G. Wów-. czas G − v zawiera podgraf H0 , który jest izomorczny z H . Rozpatrzmy wi¦c zbiór s wierzchoªków nale»¡cych do V (G) \ V (H0 ). Suma stopni tych wierzchoªków w G wynosi co najmniej ∆(H) + (s − 1)δ(H), gdy» degG (v) ≥. 16.

(17) ∆(H), pozostaªe wierzchoªki zbioru V (G) \ V (H0 ) maj¡ stopie« nie mniejszy ni» δ(H) (na podstawie wniosku 1.10). Liczba kraw¦dzi wychodz¡cych z wierzchoªków ze zbioru V (G) \ V (H0 ) jest zatem nie mniejsza od 1 2 (∆(H) + (s − 1)δ(H)), co po dodaniu kraw¦dzi grafu H0 daje nasze oszacowanie.. Twierdzenie 2.3 ([22]) Je±li G jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru i |G| = |H| + s, gdzie s ≥ ∆(H) + 1, to stab(H; 1) = kGk ≥ kHk +. 1 (∆(H) + ∆(H)δ(H)) . 2. (6). Ponadto, je±li s > ∆(H) + 1, to nierówno±¢ (6) jest silna. Powy»sze oszacowanie jest ostre. Dowód. Nierówno±¢ (6) to konsekwencja lematu 2.2 oraz faktu, »e funkcja wyst¦puj¡ca po prawej stronie nierówno±ci (5) jest rosn¡c¡ funkcj¡ zmiennej s. Z tych samych powodów wnioskujemy, »e osi¡gni¦cie warto±ci kGk = kHk + 21 (∆(H) + ∆(H)δ(H)) jest mo»liwe tylko dla s = ∆(H) + 1. Wyka»emy teraz, »e oszacowanie to jest ostre, tj. nie mo»e zosta¢ podwy»szone. Niech H = K1,m i G = 2K1,m . atwo zauwa»y¢, »e G jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru (patrz [6]) oraz |G| = |H| + ∆(H) + 1. Nietrudno sprawdzi¢, »e skoro δ(H) = 1, to kGk = kHk+ 21 (∆(H) + ∆(H)δ(H)). Teraz zajmiemy si¦ przypadkiem (H; 1)-stabilnych grafów minimalnego rozmiaru, których rz¡d jest nie wi¦kszy ni» |H| + ∆(H). Tu rozpatrzymy kilka przypadków.. Twierdzenie 2.4 Niech. δ(H) = 1. Je±li G jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru. Je±li |G| = |H| + s, gdzie s ≤ ∆(H), to kGk = stab(H; 1) ≥ kHk + ∆(H).. (7). Powy»sze oszacowanie jest ostre. Dowód. Sama nierówno±¢ (7) wynika wprost z (4), dowodzimy wi¦c jedy-. nie ostro±ci oszacowania. W tym celu poka»emy przykªad klasy grafów dla których w (7) wyst¦puje równo±¢. Niniejsza konstrukcja skªada si¦ z kilku etapów. Niech H0 = H0 (d) b¦dzie dowolnym grafem d-regularnym o wªasno±ci wierzchoªkowej tranzytywno±ci ró»nym od grafu peªnego (dla dowolnego d taki graf istnieje, np. graf dwudzielny peªny Kd,d , czy te» d-wymiarowa hiperkostka Q(d)). 17.

(18) Niech V (H0 ) = {u1 , . . . , un }. Deniujemy pomocniczo graf H00 = H00 (s) ª¡cz¡c ka»dy wierzchoªek z grafu H0 z s − 1 nowymi wierzchoªkami, odr¦bnymi dla ka»dego ui ∈ V (H0 ). Formalnie mamy wi¦c: V (H00 ) = {u1 , . . . , un } ∪ {v11 , . . . , v1s−1 , . . . , vn1 , . . . , vns−1 } oraz E(H00 ) = E(H0 )∪{ui vij ; i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , s−1}. Ostatecznie, rozpatrzmy graf H = H(d, s) = H0 −{u1 , v11 , . . . , v1s−1 }. Nietrudno zauwa»y¢, »e graf G = H00 jest, w istocie, grafem (H; 1)-stabilnym o rozmiarze równym dokªadnie kHk + ∆(H), za± |G| = |H| + s, gdzie s ≤ ∆(H). Powy»sza konstrukcja jest uniwersalna, tj. mo»e zosta¢ uzyskana dla dowolnie ustalonego ∆(H) i s ≤ ∆(H) (wystarczy przyj¡¢ d = ∆(H) − s + 1 dla ustalonego dowolnie s).. Rysunek 1: Przykªad konstrukcji grafów H i G dla ∆(H) = 5 i s = 3, H0 = K3,3 . Je±li δ(H) > 1, to grafy nieregularne i regularne rozpatrujemy oddzielnie.. Lemat 2.5 Niech H b¦dzie dowolnym grafem dla którego ∆(H) > δ(H) > 1.. Je±li G jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, takim »e s = |G| − |H| ≤ ∆(H), to kGk ≥. kHk + ∆(H) + (s − 1)δ(H) − 2s gdy 1 ≤ s ≤ δ(H). kHk + ∆(H) + 21 (s − 1)(δ(H) − 1) gdy δ(H) + 1 ≤ s ≤ ∆(H). (8) 18.

(19) Dowód. Zaªó»my, »e u jest wierzchoªkiem maksymalnego stopnia w G. Za-. uwa»my, »e w grae G − u zawarty jest podgraf H0 izomorczny z H . Wtedy X degG (v) ≥ ∆(H) + (s − 1)δ(H), (9) v∈V (G)\V (H0 ). gdy» degG (u) ≥ ∆(H), za± pozostaªe wierzchoªki z V (G) \ V (H0 ) maj¡ stopie« nie mniejszy ni» δ(H) (na podstawie wniosku 1.10). Kraw¦dzie grafu G mo»my podzieli¢ na trzy rozª¡czne podzbiory: kraw¦dzie zawarte w E(H0 ), kraw¦dzie maj¡ce jeden koniec w V (H0 ), oraz kraw¦dzie zawarte w E(G − H0 ). Tych ostatnich jest nie wi¦cej ni» 2s . St¡d, bazuj¡c na nierówno±ci (9), wnioskujemy »e s . kGk ≥ kHk + ∆(H) + (s − 1)δ(H) − 2 Powy»sze jest prawdziwe dla dowolnego s, jednak je±li δ(H)+1 ≤ s ≤ ∆(H), to mo»emy uzyska¢ dokªadniejsze (wy»sze) ograniczenie w nierówno±ci (8). Zauwa»my, »e co najmniej ∆(H) kraw¦dzi jest incydentnych z wierzchoªkiem u ∈ V (G) \ V (H0 ). Ka»dy z pozostaªych s − 1 wierzchoªków zbioru V (G) \ V (H0 ) jest stopnia co najmniej δ(H), jest wi¦c s¡siedni z co najmniej δ(H)−1 wierzchoªkami innymi ni» u. St¡d ju» ªatwo wnioskujemy, »e kGk ≥ kHk + ∆(H) + 21 (s − 1)(δ(H) − 1).. Twierdzenie 2.6 Niech. H b¦dzie grafem, takim, »e 1 < δ(H) < ∆(H). Je±li G jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, takim, »e s = |G| − |H| ≤ δ(H), to  gdy s = 1  kHk + ∆(H) kHk + ∆(H) + δ(H) − 1 gdy 2 ≤ s ≤ δ(H) kGk ≥  1 kHk + ∆(H) + 2 δ(H)(δ(H) − 1) gdy δ(H) + 1 ≤ s ≤ ∆(H). (10) Powy»sze oszacowanie jest ostre. Ponadto, równo±¢ w (10) jest osi¡galna tylko dla s ∈ {1, 2, δ(H) + 1}.. Dowód. Nierówno±¢ (10) to konsekwencja lematu 2.5 oraz faktu, »e funkcje. wyst¦puj¡ca po prawej stronie nierówno±ci (8) s¡ rosn¡cymi funkcjami zmiennej s (w zacie±nieniu do dziedzin odpowiadaj¡cych poszczególnym przypadkom). St¡d te» wnioskujemy, »e je±li s 6∈ {1, 2, δ(H) + 1}, to w (10) nie mo»e zachodzi¢ równo±¢. Zajmiemy si¦ teraz ostro±ci¡ oszacowa«. 19.

(20) (i) s = 1. Dla wykazania ostro±ci oszacowa« przedstawimy odpowiedni przykªad. Niech H0 b¦dzie dowolnym grafem wierzchoªkowo tranzytywnym ró»nym od grafu peªnego, a H grafem otrzymanym z H0 poprzez usuni¦cie ze« dowolnego wierzchoªka (patrz rysunek 2). Zauwa»my, »e G = H0 jest grafem (H; 1)-stabilnym, |G| = |H| + 1 oraz kGk = kHk + ∆(H), gdy» ∆(H) = ∆(H0 ). Poniewa» dla ka»dego d istnieje d-regularny graf wierzchoªkowo tranzytywny, to powy»sza konstrukcja mo»e zosta¢ zastosowana dla dowolnie ustalonego ∆(H).. Rysunek 2: Przykªad konstrukcji grafów H i G dla przypadku (i); d = 3. (ii) s = 2. Rozpatrzmy najpierw dowolny graf H 0 , który speªnia nast¦puj¡ce wªasno±ci:. • dokªadnie jeden wierzchoªek u ∈ V (H 0 ) jest stopnia δ(H 0 ), • δ(H 0 − u) = δ(H 0 ) + 1. Zdeniujmy teraz graf H jako uni¦ grafów H 0 − u i H 0 ∗ K1 (patrz rysunek 3). Graf G = 2(H 0 ∗ K1 ) w istocie jest (H; 1)-stabilny, co nie trudno zauwa»y¢ zwa»ywszy na fakt, i» H 0 ∗K1 jest (H 0 −u; 1)-stabilny. Obliczymy teraz rozmiar G wzgl¦dem kHk, δ(H) i ∆(H). Zauwa»my najpierw, »e kHk = 2kH 0 k + |H 0 | + degH 0 (u), degH 0 (u) = δ(H 0 ) = δ(H) − 1 oraz ∆(H) = |H 0 |. Mamy zatem. kGk = 2(kH 0 k+|H 0 |) = kH 0 k+degH 0 (u)+|H 0 | = kHk+δ(H)−1+∆(H).. (iii) s = δ(H) + 1. Dokªadno±¢ oszacowania wykazana zostanie poprzez poni»sz¡ konstrukcj¦, podobn¡ do tej z dowodu twierdzenia 2.4. Niech 20.

(21) Rysunek 3: Przykªad konstrukcji grafów H i G dla przypadku (ii); δ(H) = 2, ∆(H) = 5.. H0 = H0 (d) b¦dzie dowolnym grafem d-regularnym o wªasno±ci wierzchoªkowej tranzytywno±ci ró»nym od grafu peªnego. Niech V (H0 ) = {u1 , . . . , un }. Deniujemy pomocniczo graf H00 = H00 (s) w nast¦puj¡cy sposób: V (H00 ) = {u1 , . . . , un } ∪ {v11 , . . . v1s−1 , . . . vn1 , . . . vns−1 } oraz E(H00 ) = E(H0 ) ∪ {ui vij ; i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , s − 1} ∪ ∪ {vij vik ; i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , s − 2, k = 2, . . . , s − 1, j < k}. Innymi sªowy, ka»dy wierzchoªek z grafu H0 ª¡czymy kraw¦dziami z s − 1 nowymi wierzchoªkami, odr¦bnymi dla ka»dego ui ∈ V (H0 ). Ponadto, ka»de z s − 1 nowych wierzchoªków przypisanych do danego ui tworzy klik¦. Ostatecznie, rozpatrzmy graf H(d, s) = H = H0 − {u1 , v11 . . . v1s−1 } (patrz rysunek 4). Jego maksymalny stopie« to ∆(H) = d + s − 1, z kolei minimalny wynosi δ(H) = s − 1 Nietrudno zauwa»y¢, »e graf G = H00 jest, w istocie, grafem (H; 1)-stabilnym o rozmiarze równym dokªadnie kHk + ∆(H) + 21 (s − 1)(δ(H) − 1), za± |G| = |H| + s, gdzie δ(H) + 1 ≤ s ≤ ∆(H). Powy»sza konstrukcja jest uniwersalna, tj. mo»e zosta¢ uzyskana dla dowolnie ustalonego δ(H) i ∆(H) (wystarczy przyj¡¢ d = ∆(H) − δ(H) dla s = δ(H) − 1). Teraz przeprowadzimy analogiczne rozwa»ania dla grafów regularnych.. Lemat 2.7 Niech H b¦dzie grafem regularnym o stopniu d > 1. Je±li G jest. (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, takim »e s = |G| − |H| ≤ d,. to. kGk = stab(H; 1) ≥. gdy s = 1 kHk + |H|+d+1 2 s kHk + sd − 2 + 1 gdy 2 ≤ s ≤ d. 21. (11).

(22) Rysunek 4: Przykªad konstrukcji grafów H i G dla przypadku (iii); d = 3, s=4. Dowód. Przypadek s = 1 udowodnimy metod¡ nie wprost. Niech H b¦dzie. grafem d-regularnym, a G grafem (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru takim, »e |G| = |H| + 1. Zaªó»my wi¦c, »e kGk ≤ kHk + |H|+d = 2 (d+1)(n+1)−1 . Wówczas istnieje wierzchoªek y ∈ V (G), o stopniu mniejszym 2 od d + 1. Rozpatrzmy teraz graf G − y 0 , gdzie y 0 jest dowolnym s¡siadem y . Zauwa»my, »e stopie« wierzchoªka y w grae G − y 0 jest mniejszy ni» d. Zatem y nie mo»e by¢ zawarty w »adnej kopii H . Bior¡c pod uwag¦, »e |G − y 0 | = |H| wnioskujemy, »e G − y 0 nie zawiera podgrafu izomorcznego z H , co daje sprzeczno±¢ z zaªo»eniem, »e G jest (H; 1)-stabilny. Dla 2 ≤ s ≤ d dowód równie» przeprowadzimy metod¡ nie wprost. Zaªó»my, »e istnieje graf (H; 1)-stabilny graf G rz¦du |H|+s i rozmiaru nie wi¦k s szego ni» kHk+sd− 2 . Nietrudno zauwa»y¢, »e je±li kGk < kHk+sd− 2s , to który± z wierzchoªków jest stopnia mniejszego od d w grae G, wi¦c nie nale»y do »adnej kopii H w G , sprzeczno±¢ z minimalno±ci¡ G. Zaªó»my s wi¦c, »e kGk = kHk + sd − 2 . Wyró»nijmy podgraf H0 b¦d¡cy pewn¡ kopi¡ H zawart¡ w G. Wówczas wszystkie wierzchoªki ze zbioru V (G) \ V (H0 ) s¡ wzajemnie poª¡czone i s¡ dokªadnie stopnia d w G (co wynika z zaªo»enia o rozmiarze G). Jednocze±nie wiemy, »e ka»dy z s wierzchoªków ze zbioru V (G) \ V (H0 ) ma s¡siada w V (H0 ) (bo s ≤ d). Rozwa»my dowolny wierzchoªek u ∈ V (H0 ) ∩ N (x), gdzie x jest dowolnym wierzchoªkiem nale»¡cym do V (G) \ V (H0 ). Zauwa»my, »e wierzchoªek x nie nale»y do »adnej kopii H zawartej w G − u, gdy» w tym grae jego stopie« jest mniejszy od δ(H) = d. 22.

(23) Konsekwentnie, równie» pozostaªe wierzchoªki nale»¡ce do V (G) \ V (H0 ) nie nale»¡ do »adnej kopii H w G − u. Istotnie, wierzchoªki te s¡siaduj¡ z wierzchoªkiem x, wi¦c ich stopie« liczony po zignorowaniu kraw¦dzi ª¡cz¡cej je z x jest mniejszy od d. W tym momencie dostajemy sprzeczno±¢, gdy» pozostaje nam mniej ni» |H| wierzchoªków, które mogliby±my wykorzysta¢ do znalezienia kopii H w G − u.. Twierdzenie 2.8 Niech H b¦dzie grafem regularnym stopnia d > 1. Je±li G. jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, takim »e s = |G|−|H| ≤ d, to stab(H; 1) = kGk ≥. kHk + |H|+d+1 2 kHk + 2d. gdy s = 1 gdy 2 ≤ s ≤ d,. (12). przy czym równo±¢ w (12) zachodzi¢ mo»e jedynie dla s = 1 i s = 2. Dowód. Nierówno±¢ (12) to konsekwencja lematu 2.7 oraz faktu, »e funkcja wyst¦puj¡ca po prawej stronie nierówno±ci (11) jest rosn¡c¡ funkcj¡ zmiennej s. Z tych samych powodów wnioskujemy, »e osi¡gni¦cie równo±ci w (12) jest mo»liwe tylko dla s = 1 i s = 2. Wyka»emy teraz, »e oszacowanie to jest ostre, tj. nie mo»e zosta¢ podwy»szone. Dla dowodu ostro±ci niniejszego oszacowania dla s = 2 wystarczy rozpatrzy¢ graf H = Kd,d oraz G = Kd+1,d+1 − e, gdzie e jest dowoln¡ kraw¦dzi¡ Kd+1,d+1 , za± d dowolnie ustalonym z góry stopniem grafu (rysunek 5). Poprawno±¢ tej konstrukcji (tj. (H; 1)-stabilno±¢ grafu G) wykazana zostaªa przez A. Dudek i A. aka w pracy [8]. Ostro±¢ oszacowania w przypadku s = 1 mo»na wykaza¢ na przykªadzie nast¦puj¡cej rodziny grafów. Niech H0 b¦dzie klik¡ rz¦du d (przykªad dla d = 2 zilustrowany na rysunku 6). Konstruujemy graf H00 poprzez zast¡pienie ka»dego wierzchoªka v ∈ V (H0 ) trzema wzajemnie poª¡czonymi wierzchoªkami v1 , v2 , v3 oraz zast¡pieniem kraw¦dzi uv ∈ E(H0 ) trzema kraw¦dziami u1 v1 , u2 v2 , u3 v3 . H00 jest wi¦c grafem wierzchoªkowo tranzytywnym stopnia d + 1. Zauwa»my, »e po usuni¦ciu z H00 dowolnego wierzchoªka x ∈ V (H00 ) pozostaªe wierzchoªki w H00 − x s¡ stopnia d + 1 lub d. Co wi¦cej, mo»na znale¹¢ skojarzenie M zawieraj¡ce wyª¡cznie kraw¦dzie ª¡cz¡ce wierzchoªki stopnia d + 1 w H00 − x, takie »e ka»dy wierzchoªek stopnia d + 1 w H00 − x jest incydentny z pewn¡ kraw¦dzi¡ skojarzenia M . Ostatecznie deniujemy H = (H00 − x) − M i widzimy, »e graf ten jest d-regularny. Wówczas G = H00 jest (H; 1)-stabilny, za± kGk = (d + 1)(|H| + 1)/2 = kHk + (|H| + d + 1)/2.. 23.

(24) Rysunek 5: Przykªad konstrukcji grafów H i G w dowodzie twierdzenia 2.8; d = 3.. Rysunek 6: Przykªad konstrukcji grafów H i G obrazuj¡cy ostro±¢ oszacowania z twierdzenia 2.8; d = 2. Na koniec tej cz¦±ci przytoczymy kilka warto±ci parametru stab(H; 1) dla podstawowych rodzin grafów. Jako bezpo±rednie konsekwencje oszacowa« (4) mamy nast¦puj¡ce wyniki.. Stwierdzenie 2.9 stab(Pn ; 1) =. 2 dla n = 2, n + 1 dla n ≥ 3.. Dowód. Zauwa»my najpierw, »e graf 2P2 jest (P2 ; 1)-stabilny, za± Cn+1 jest. (Pn ; 1)-stabilny dla n ≥ 3. Bior¡c pod uwag¦, »e ∆(P2 ) = 1 oraz ∆(Pn ) = 2 dla n ≥ 3, wystarczy zastosowa¢ wniosek 1.14. 24.

(25) Stwierdzenie 2.10 Dla n ∈ {2, 3} oraz dowolnego naturalnego t stab(tPn ; 1) = (t + 1)(n − 1).. Dowód. Aby wykaza¢, »e stab(tPn ; 1) ≤ (t + 1)(n − 1), wystarczy wskaza¢ (tPn ; 1)-stabilny graf rozmiaru (t + 1)(n − 1). Takim grafem jest (t + 1)Pn . Dla udowodnienia, »e stab(tPn ; 1) ≥ (t+1)(n−1) zaobserwujmy najpierw, »e ∆(tP2 ) = 1 oraz ∆(tP3 ) = 2. Zatem dla n ∈ {2, 3} mamy ktPn k + ∆(tPn ) = (t + 1)(n − 1). Zastosowanie wniosku 1.14 ko«czy dowód.. Dwa poni»sze twierdzenia zostaªy udowodnione przez A. Dudek, A. Szyma«skiego i M. Zwonek (patrz [6]) dla dowolnego naturalnego k , jednak»e dla zachowania przejrzysto±ci struktury rozprawy w tym miejscu przytoczymy je dla k = 1.. Twierdzenie 2.11 Dla n ∈ {3, 4} stab(Cn ; 1) = 2n.. Twierdzenie 2.12 Dla dowolnego naturalnego p stab(K1,p ; 1) = 2p. Problemem grafów stabilnych ze wzgl¦du na kliki zajmowali si¦ mi¦dzy innymi J-L Fouquet, H Thuillier, J-M Vanherpe oraz A.P Wojda ([9]). W szczególno±ci wykazali poni»sze. Twierdzenie 2.13 Dla dowolnego caªkowitego n ≥ 4 n+1 stab(Kn ; 1) = . 2. Ponadto, jedynym grafem (Kn ; 1)-stabilnym minimalnego rozmiaru jest Kn+1 .. 2.2 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na grafy t-dzielne peªne Wyniki zawarte w tej sekcji pochodz¡ w wi¦kszo±ci z pracy [22]. Dotycz¡ one problemu znajdowania grafów (H; 1)-stabilnych minimalnego rozmiaru, gdzie H jest grafem t-dzielnym peªnym. Wyniki te s¡ uogólnieniem uzyskanych wcze±niej wyników dotycz¡cych grafów dwudzielnych peªnych. A. Dudek i A. ak w pracy [8] rozwi¡zali - w ogólnej wersji - problem znalezienia grafów (Kp,q ; 1)-stabilnych minimalnego rozmiaru. Szczególne 25.

(26) przypadki jak Kp,p , Kp,p+1 rozwi¡zane zostaªy wcze±niej przez A. Dudek i M. Zwonek [7], za± wspominany ju» przypadek gwiazdy K1,q , gdzie q ≥ 3 przez A. Dudek, A. Szyma«skiego i M. Zwonek [6]. Dla przejrzystej prezentacji wzmiankowanych powy»ej wyników, podobnie jak w pracy [8], posªu»ymy si¦ tabel¡. p, q stab(Kp,q ; 1) wszystkie (Kp,q ; 1)-stabilne grafy minimalnego rozmiaru p = 1, q = 1 2 [7] 2K1,1 p = 1, q = 2 4 [7] K2,2 , 2K1,2 p = 1, q ≥ 3 2q [6] 2K1,q p = 2, q = 2 8 [7] 2K2,2 , 2K3,3 − e, K1 ∗ K2,2, p ≥ 2, q = p+1 q 2 [7] Kq,q p ≥ 3, q = p p2 + 2p [7] K1 ∗ Kp,p , Kp+1,p+1 − e p ≥ 2, q ≥ p+2 pq +p+q [8] K1 ∗ Kp,q , Kp+1,q+1 − e Na powy»sze wyniki mo»emy spojrze¢ w kontek±cie ogólnych oszacowa« (4). Niech H = Kp,q , gdzie 1 < p ≤ q . Wtedy kHk + ∆(H) dla q = p + 1, stab(H; 1) = kHk + |H| w przeciwnym przypadku. Innymi sªowy, w zale»no±ci od zwi¡zku mi¦dzy p i q parametr stab(H; 1) przyjmuje górne lub dolne ogólne oszacowanie (4), w »adnym wypadku nie przyjmuj¡c warto±ci po±rednich. Oka»e si¦, »e do podobnych wniosków mo»na doj±¢ rozpatruj¡c grafy t-dzielne peªne, gdzie t ≥ 2 jest dowoln¡ licz¡ naturaln¡. Udowodnienie poni»szego twierdzenia dotycz¡cego dowolnych grafów t-dzielnych peªnych z wyj¡tkiem gwiazdy ([22]) b¦dzie zasadnicz¡ cz¦±ci¡ tego podrozdziaªu.. Twierdzenie 2.14 Niech. H = Kn1 n2 ...nt b¦dzie grafem t-dzielnym peªnym,. ró»nym od gwiazdy i grafu pustego. Wtedy stab(H; 1) =. kHk + ∆(H) kHk + |H|. dla n1 = n2 = . . . = nt−1 = nt + 1 w przeciwnym przypadku.. Dowód. W dowodzie pomijamy przypadek t = 2 jako udowodniony przez A.. Dudek i A. aka w pracy [8]. Zaªó»my zatem, »e t ≥ 3. I. Niech H = Kn1 n2 ...nt b¦dzie grafem t-dzielnym peªnym takim, »e n1 = n2 = . . . = nt−1 = nt + 1. Zauwa»my, »e wówczas graf G = Kn1 n1 ...n1 jest (H; 1)-stabilny. Skoro kGk = kHk + ∆(H) to, zgodnie z wnioskiem 1.14, otrzymujemy, »e G jest (H; 1)stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, co ko«czy dowód tego przypadku. 26. [7] [7] [8] [7] [7] [7] [8].

(27) II. Niech H = Kn1 n2 ...nt b¦dzie dowolnym grafem t-dzielnym peªnym takim, ró»nym od gwiazdy i nienale»¡cym do rodziny grafów zdeniowanych w punkcie I. Zauwa»my, »e δ(H) = |H| − n1 > 1 oraz ∆(H) = |H| − nt , zatem ∆(H) + δ(H) ≥ |H| + 1. Niech G b¦dzie grafem (H; 1)-stabilnym. Z twierdze« 2.3, 2.6 oraz 2.8 mo»na wywnioskowa¢, »e je±li |G| > |H| + 1, to kGk ≥ kHk + |H|, jak w tezie twierdzenia. Zatem wystarczy rozpatrywa¢ przypadek |G| = |H| + 1. Dla uªatwienia dalszych rozwa»a« dokonamy teraz transformacji naszego problemu do innego, równowa»nego. Skoro dla dowolnie ustalonego x ∈ V (G) mamy |G−x| = |H|, to w istocie mo»na przyj¡¢, »e V (G−x) = V (H 0 ) gdzie H 0 ⊂ G − x jest pewnym grafem izomorcznym z H . Zatem. (H 0 ⊂ G − x) ⇔ (H 0 ⊃ G − x). Interesuje nas teraz znalezienie maksymalnego rozmiaru grafu G takiego, »e dla dowolnego x ∈ V (G) graf G − x zawiera si¦ w grae H . Poniewa» H jest rozª¡czn¡ uni¡ t grafów peªnych (rz¦dów n1 , n2 , . . . , nt ), to. ∀x ∈ V (G) graf G − x ma co najmniej t skªadowych spójno±ci.. (13). Wobec tego G te» ma co najmniej t skªadowych spójno±ci. Istotnie, je±li G jest grafem pustym, to ma on n1 +. . .+nt +1 > t skªadowych spójno±ci. W przeciwnym razie w grae G mamy co najmniej dwu-wierzchoªkow¡ (czyli nietrywialn¡) skªadow¡ spójno±ci. Je±li x0 jest li±ciem dowolnego drzewa spinaj¡cego dowoln¡ nietrywialn¡ skªadow¡ spójno±ci, to liczba skªadowych spójno±ci grafów G i G − x0 jest taka sama. Wobec (13) mo»emy wnioskowa¢ wi¦c, »e G tak»e skªada si¦ co najmniej z t skªadowych spójno±ci (o rz¦dach, powiedzmy, r1 , . . . , rt+τ , takich »e r1 ≥ . . . ≥ rt+τ , gdzie τ ≥ 0). Oczywi±cie mamy, »e. |G| = |H| + 1 = n1 + . . . + nt + 1 = r1 + . . . rt+τ .. (14). Przez podziaª multizbioru, analogicznie jak w przypadku podziaªu zbioru, rozumiemy rodzin¦ niepustych, rozª¡cznych podmultizbiorów danego multizbioru daj¡c¡ w sumie caªy multizbiór. Przykªadowo rodzina {2, 3, 3}, {2, 2}, {3, 4} jest podziaªem multizbioru {2, 2, 2, 3, 3, 3, 4}. Rozwa»my multizbiór Rj := {r1 , . . . , rj−1 , rj −1, rj+1 , . . . , rt+τ }. Warunkiem równowa»nym temu, »e dla ka»dego x ∈ V (G) graf G − x zawiera si¦ w 27.

(28) H jest to, »e dla ka»dego j ∈ {1, . . . , t + τ } musi istnie¢ podziaª multizbioru Rj na t podmultizbiorów Rj1 , . . . , Rjt takich, »e dla ka»dego i = 1, . . . , t suma elementów multizbioru Rji wynosi ni . Wyka»emy teraz, »e τ > 0. Dla dowodu nie wprost zaªó»my, »e τ = 0 (czyli G skªada si¦ dokªadnie z t skªadowych spójno±ci). W tym przypadku podziaª t-elementowego multizbioru Rj na t podmultizbiorów jest jednoznaczny - ka»dy podmultizbiór skªada si¦ dokªadnie z jednego elementu. Zatem musi by¢ speªniony warunek r1 = . . . = rt . Istotnie, je±li rj 6= rl to Rj 6= Rl i co najmniej jeden z multizbiorów Rj , Rl nie odpowiada danemu ci¡gowi rz¦dów skªadowych spójno±ci grafu H . Równo±¢ wszystkich liczb r1 , . . . , rt implikuje równo±¢ n1 = . . . = nt−1 = nt + 1, co jest przypadkiem rozwa»anym w punkcie I (i wykluczonym z punktu II). Wobec powy»szego dalsze rozumowanie mo»emy przeprowadzi¢ wyª¡cznie dla τ > 0. Wówczas r1 rt+τ kGk ≤ + ... + . (15) 2 2 Rozwa»my teraz podziaª Rt+τ odpowiadaj¡cy G − x, gdzie x nale»y do (t+τ )-tej (czyli najmniej licznej) skªadowej spójno±ci G. Oczywi±cie nie wi¦cej ni» n2i kraw¦dzi grafu G − x mo»e by¢ zawartych w skªadowej spójno±ci H rz¦du ni ; i = 1, . . . , t. Zatem n1 nt kG − xk ≤ + ... + . (16) 2 2 (i) Je±li ka»da skªadowa G jest klik¡, τ = 1, rt+1 = 1 oraz ri = ni dla i = 1, . . . , t, wtedy mamy n1 nt kGk = kG − xk = + ... + , (17) 2 2 i w konsekwencji: |G| |H| n1 nt kGk = −kGk = |H|+ − −. . .− = |H|+kHk. 2 2 2 2 Skonstruowany w ten sposób graf G jest izomorczny z K1 ∗ H , jest wi¦c H -stabilny ([8]). 28.

(29) l (ii) Je±li (i) nie jest speªnione, to pewien multizbiór Rt+τ skªada si¦ z co najmniej dwóch elementów. Innymi sªowy, w l-tej skªadowej spójno±ci grafu H (powiedzmy Hl ) zawarte s¡ co najmniej dwie rozª¡czne skªadowe spójno±ci grafu G − x. Zatem w tej»e skªadowej istniej¡ kraw¦dzie H które nie nale»¡ do G − x. Nietrudno zauwa»y¢, »e liczba takich kraw¦dzi (czyli nale»¡cych do E(Hl ) \ E(G − x) ) jest najmniejsza, gdy w l-tej skªadowej spójno±ci H zawarte s¡ dwie skªadowe G − x b¦d¡ce klikami. Je±li rz¦dy tych klik to odpowiednio a i b, to istnieje ab kraw¦dzi nale»¡cych do H i nienale»¡cych do G − x. Rz¦dy dwóch najmniejszych klik grafu G − x s¡ nie mniejsze od, odpowiednio, 1 i rt+τ . Zatem n1 nt kG − xk ≤ + ... + − rt+τ , 2 2. i ostatecznie. kGk = kG − xk + rt+τ − 1 ≤. n1 nt + ... + −1 2 2. co jest mniejsz¡ liczb¡ kraw¦dzi ni» w (17). Podsumowuj¡c, w przypadku II nie istnieje H -stabilny graf o rozmiarze mniejszym ni» |H| + kHk, co ko«czy dowód.. Twierdzenie 2.15 Niech H b¦dzie grafem t-dzielnym peªnym; H = Kn1 ,n2 ,...,nt gdzie t ≥ 3 oraz n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nt ; H 6= Km,1 oraz H 6= K3 . Je±li n1 = n2 = . . . = nt−1 = nt + 1, to jedynym (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru jest Kn1 ,...,n1 . W przeciwnym przypadku jedynym (H; 1)stabilnym grafem minimalnego rozmiaru jest graf H ∗ K1 . Dowód.. Przyoadek I: n1 = n2 = . . . = nt−1 = nt +1. Niech G b¦dzie (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, tj. kGk = kHk + ∆(H). Je±li |G| > |H| + 1 to wtedy, na podstawie twierdze« 2.3 oraz 2.6, mamy »e kGk > kHk + ∆(H) - sprzeczno±¢. Rozwa»my wi¦c sytuacj¦, gdy |G| = |H| + 1. Poka»emy najpierw, »e δ(G) = ∆(G) = ∆(H). Istotnie, je±li δ(G) ≤ ∆(H) − 1 = δ(H), to usuwaj¡c dowolnego s¡siada wierzchoªka stopnia δ(G) otrzymamy graf o minimalnym stopniu mniejszym od δ(H) (i rz¦dzie |H|). Taki graf nie zawiera wi¦c H jako podgrafu. Z drugiej strony, je±li ∆(G) > ∆(H), to kGk > 21 (|H| + 1)∆(H) = kHk + ∆(H) - sprzeczno±¢. Zatem dla dowolnego u ∈ V (G) mamy kG − uk = kHk czyli, w istocie, G − u jest izomorczny z 29.

(30) H . Jedynym grafem speªniaj¡cym powy»sze jest G = Kn1 ,...,n1 . Przypadek II: Zale»no±¢ n1 = n2 = . . . = nt−1 = nt + 1 nie jest speªniona. Niech G b¦dzie (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, t.j. kGk = kHk + |H| 1. Je±li |G| = |H| + 1 to, na podstawie dowodu twierdzenia 2.14, mo»emy zauwa»y¢ »e graf G = H ∗ K1 jest jedynym grafem (H; 1)-stabilnym minimalnego rozmiaru. 2. Zaªó»my zatem (dla dowodu nie wprost), »e |G| = |H| + s gdzie s > 1. Zauwa»my, »e δ(H) + ∆(H) = 2|H| − n1 − nt ≥ |H| + 1, przy czym równo±¢ zachodzi tylko je±li t = 3, n2 = n3 = 1. Na podstawie twierdze« 2.4, 2.6 oraz 2.8 wnioskujemy, »e rozmiar G mo»e by¢ nie wi¦kszy od kHk + |H| tylko je±li t = 3, n2 = n3 = 1 i speªniony jest jeden z poni»szych warunków: a) s = 3, gdy ∆(H) = 2, b) s = 2, c) s = 3, gdy ∆(H) ≥ 3. Poka»emy, »e w istocie »aden z tych przypadków nie da nam (H; 1)-stabilnego grafu rozmiaru nie wi¦kszego ni» kHk + |H|. Zauwa»my, »e skoro t = 3 i n2 = n3 = 1, to δ(H) = 2 oraz ∆(H) = |H| − 1. Ad a) Mamy ∆(H) = δ(H) = 2, co oznacza, »e H = K3 . Jest to przypadek wykluczony w zaªo»eniach twierdzenia (mo»na ªatwo zauwa»y¢, »e jedynymi (K3 ; 1)-stabilnymi grafami minimalnego rozmiaru s¡ K4 oraz 2K3 ). Ad b) Jak powy»ej, mo»emy zaªo»y¢, »e ∆(H) ≥ 3. Je±li ∆(G) ≥ ∆(H)+1 = |H|, to rozpatruj¡c wierzchoªek u0 taki, »e degG (u0 ) = ∆(G) otrzymujemy kG − u0 k ≤ kHk. Skoro wi¦c G − u0 zawiera nie wi¦cej ni» kHk kraw¦dzi incydentnych z |H| + 1 nieizolowanymi wierzchoªkami, to nie mo»e zawiera¢ H jako podgrafu. Niech wi¦c ∆(G) = ∆(H) = |H| − 1. Mo»na przyj¡¢, »e V (G) = V (H) ∪ {x, y}. Co wi¦cej, na bazie wniosku 1.10 oraz twierdzenia 1.15, bez straty ogólno±ci mo»na zaªo»y¢, »e degG (x) ≥ 2 i degG (y) = ∆(G) = ∆(H) = |H| − 1 (patrz rysunek 7). Skoro n2 = n3 = 1, to w grae H (a wi¦c i G − {x, y}) musz¡ istnie¢ dwa wierzchoªki u i u0 o stopniu ∆(H). St¡d ux, u0 x, uy, u0 y 6∈ E(G) (w przeciwnym razie mieliby±my ∆(G) > ∆(H)). Zatem wierzchoªek y jest s¡siedni ze wszystkimi wierzchoªkami grafu G 30.

(31) oprócz wierzchoªków u i u0 (w szczególno±ci y jest s¡siadem wierzchoªka x). Mo»na z tego wywnioskowa¢, »e δ(G − u) ≥ 2.. Rysunek 7: Schematyczna ilustracja do przypadku b) dowodu twierdzenia 2.15. Skoro G − u zawiera H jako podgraf i |G| − |H| = 2, to musi istnie¢ wierzchoªek v ∈ V (G−u) taki, »e H jest podgrafem G−{u, v}. Mamy jednak, kG − {u, v}k ≤ kG − uk − δ(G − u) ≤ kHk + |H| − (|H| − 1) − 2 = kHk − 1 - co daje oczywist¡ sprzeczno±¢. Ad c) Mo»na przyj¡¢, »e V (G) = V (H 0 ) ∪ {x, y, z}, gdzie degG (x) ≥ 2, degG (y) ≥ 2 i degG (z) ≥ ∆(H) = |H| − 1 (patrz rysunek 8). atwo sprawdzi¢, »e wierzchoªki x, y, z s¡ wzajemnie s¡siednie w G. W przeciwnym razie kGk ≥ kHk + 2 + 2 + |H| − 1 − 2 > kHk + |H| - sprzeczno±¢. Poniewa» G jest (H; 1)-stabilnym grafem minimalnego rozmiaru, kraw¦d¹ xy jest zawarta w pewnej kopii H (powiedzmy H 0 ), b¦d¡cej podgrafem G. Wtedy x i y s¡ w ró»nych skªadowych podziaªu H 0 . St¡d musi wynika¢, »e co najmniej jeden z wierzchoªków x, y nale»y do skªadowej rz¦du jeden, wi¦c jest stopnia co najmniej ∆(H) ≥ 3. Ostatecznie wi¦c znów mamy sprzeczno±¢, gdy» kGk ≥ kHk + 2(|H| − 1) + 2 − 32 > kHk + |H|, co ko«czy dowód.. 2.3 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na unie grafów Wyniki tego podrozdziaªu w wi¦kszo±ci pochodz¡ z pracy [2].. 31.

(32) Rysunek 8: Schematyczna ilustracja do przypadku c) dowodu twierdzenia 2.15. Niech H = H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Ht . Na pocz¡tek przedstawimy kilka ogólnych oszacowa«, które nie wymagaj¡ specjalnego dowodzenia. Oszacowanie dolne jest nast¦puj¡ce,. stab(H, 1) ≥ max{stab(H1 , 1), stab(H2 , 1), . . . , stab(Ht , 1), kHk + ∆(H)}. (18) Z kolei z drugiej strony mamy stab(H, 1) ≤ min{stab(H1 , 1) + stab(H2 , 1) + . . . + stab(Ht , 1), kHk + |H|}. (19) W przypadku, gdy H1 = H2 = . . . = Ht , to mo»emy uzyska¢ dokªadniejsze oszacowanie górne, mianowicie stab(H, 1) ≤ min{(t + 1)kH1 k, kHk + |H|}.. (20). 2.3.1 Stabilno±¢ ze wzgl¦du na unie ±cie»ek W tej cz¦±ci rozwa»amy stabilno±¢ ze wzgl¦du na graf H = Pn1 ∪ . . . ∪ Pnt . Zaczniemy od podstawowych faktów.. Stwierdzenie 2.16 Dla dowolnego naturalnego t ≥ 1 stab(tP2 ; 1) = t + 1.. Ponadto, jedynym grafem (tP2 ; 1)-stabilnym rozmiaru t+1 jest graf (t+1)P2 . 32.

(33) Dowód. Graf G = (t + 1)P2 jest w oczywisty sposób (tP2 ; 1)-stabilny. Z. drugiej strony, na podstawie (18), nie istnieje graf (tP2 ; 1)-stabilny rozmiaru mniejszego ni» t + 1 = kGk. Teraz poka»emy, »e graf G = (t+1)P2 jest jedynym grafem (tP2 ; 1)-stabilnym rozmiaru t + 1. Rozpatrzmy (tP2 ; 1)-stabilny graf G0 6= G = (t + 1)P2 . Je±li |G0 | > |G| = 2t + 2, to kG0 k > kGk = t + 1, gdy» zgodnie z zaªo»eniem dotycz¡cym caªej pracy, nie dopuszczamy wierzchoªków izolowanych. Je±li |G0 | ≤ |G|, to ªatwo sprawdzi¢, »e ∆(G0 ) ≥ 2. Wówczas kG0 k ≥ t + ∆(G0 ) > t + 1, co ko«czy dowód.. Stwierdzenie 2.17 Niech. n1 , . . . , nt b¦d¡ liczbami caªkowitymi, takimi »e 2 ≤ n1 ≤ . . . ≤ nt , gdzie nt ≥ 3. Ponadto niech r := mini=1,...,t {ni − i}, T := {j ∈ {1, . . . , t}, nj ≤ j + 1}, za± niech s oznacza maksimum zbioru T (je±li T 6= ∅). Wówczas. N − t + 2 ≤ stab(H; 1) ≤.  . N +1 gdy T = ∅, N − t + nt − 1 gdy T 6= ∅ oraz r = s = t,  N − r + nr gdy T 6= ∅ oraz r < t,. gdzie N = n1 + . . . + nt . Dowód. Dolne ograniczenie jest natychmiastow¡ konsekwencj¡ twierdzenia 1.15. Górne ograniczenie jest prawdziwe, gdy» a) G1 = CN +1 jest (H; 1)-stabilnym grafem rozmiaru N + 1. b) G2 = H ∪ Pnt jest (H; 1)-stabilnym grafem rozmiaru (n1 − 1) + . . . (nt − 1) + nt = N − t + nt . c) G3 = Pn1 ∪ . . . ∪ Pnr−1 ∪ 2Pnr ∪ C(nr+1 +...+nt )+1 jest (H; 1)-stabilnym grafem rozmiaru (n1 − 1) + . . . (nr−1 − 1) + 2(nr − 1) + (nr+1 + . . . + nt ) + 1 = N − (r + 1) + nr + 1 = N − r + nr .. Lemat 2.18 ([2]) Je±li G jest spójnym (tPn ; 1)-stabilnym grafem, gdzie n ≥. 2 oraz t ≥ 1, to. kGk ≥ tn + 1.. (21). Ponadto, je±li n ≥ 3 to równo±¢ w (21) jest zachowana tylko, gdy G = Ctn+1 . Dowód. Niech G b¦dzie spójnym (tPn ; 1)-stabilnym grafem. Oczywi±cie rz¡d. G musi by¢ nie mniejszy od tn + 1. Je±li δ(G) ≥ 2, to kGk ≥ tn + 1, gdzie równo±¢ jest zachowana tylko dla G = Ctn+1 . 33.