Niech X będzie taką przestrzenią zwartą Hausdorffa zerowy- zerowy-miarową, że rodzina wszystkich podzbiorów domknięto-otwartych tej

prze-strzeni ma własność FNS. Wówczas przestrzeń X jest otwarcie generowana.

Wniosek 3.3 ([5, Theorem 5]). Jeśli przestrzeń zwarta Hausdorffa zerowy-miarowa ma własność FNS na pewnej bazie złożonej ze zbiorów funkcyjnie otwartych, to rodzina wszystkich podzbiorów domknięto-otwartych tej prze-strzeni ma także własność FNS.

Dowód. Na mocy twierdzenia 3.2 wnosimy, że przestrzeń X jest przestrze-nią otwarcie generowaną. Z twierdzenia 3.1 wynika, że rodzina CO(X) ma własność FNS.

Twierdzenie 3.2 można także udowodnić korzystając z języka gier topo-logicznych, co przedstawimy w dalszej części rozprawy.

3.2 Przestrzenie szkieletowo generowane

Analogicznym pojęciem do przestrzeni otwarcie generowanej jest pojęcie prze-strzeni szkieletowo generowanej. Pojęcie odwzorowania szkieletowego wpro-wadziliśmy już w poprzednim paragrafie.

Przestrzenią szkieletowo generowaną nazywamy przestrzeń zwartą Haus-dorffa, która jest homeomorficzna z lim←−{Xσ, p^σ_ρ, Σ}, gdzie

(1) X_σ jest przestrzenią zwartą metryzowalną dla σ ∈ Σ, (2) funkcja p^σ_ρ: X_σ → X_ρ jest szkieletowa dla ρ ¬ σ, (3) system odwrotny {X_σ, p^σ_ρ, Σ} jest σ-zupełny.

W następnym twierdzeniu wykorzystamy następujący fakt:

Lemat 3.15 ([19, Proposition 7]). Niech B będzie π-bazą przestrzeni Y . Od-wzorowanie f : X → Y jest szkieletowe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otwartego niepustego podzbioru V przestrzeni X istnieje taki zbiór U ∈ B, że jeśli W ∈ B oraz W ⊆ U , to f⁻¹(W ) ∩ V 6= ∅.

Kolejne twierdzenie opisuje związek między przestrzeniami z własnością π-FNS oraz przestrzeniami szkieletowo generowanymi, podobnie jak twier-dzenie 3.2 opisywało związek między przestrzeniami z własnością FNS oraz przestrzeniami otwarcie generowanymi.

Twierdzenie 3.3 ([5, Theorem 7]). Jeśli przestrzeń zwarta Hausdorffa ma własność π-FNS na pewnej π-bazie złożonej ze zbiorów funkcyjnie otwartych, to przestrzeń ta jest szkieletowo generowana.

Dowód. Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia 3.2.

Niech rodzina B ⊆ coZ(X) będzie π-bazą, przestrzeni zwartej Hausdorffa X, mającą własność FNS. Przypomnijmy, że przestrzeń zwarta Hausdorffa jest przestrzenią całkowicie regularną. Rodzina wszystkich zbiorów funkcyjnie ot-wartych jest bazą tej przestrzeni. Dla każdej niepustej rodziny przeliczalnej A ⊆ coZ(X) zbiorów niepustych istnieje taka rodzina przeliczalna P zbiorów niepustych, że A ⊆ P ⊆ coZ(X) oraz rodzina P spełnia następujące warunki:

(a) s(V ) ⊆ P ∩ B dla V ∈ P ∩ B, (b) (∗) z lematu 3.8,

(c) dla każdego zbioru V ∈ P istnieje zbiór W ∈ P ∩ B zawarty w zbiorze V .

Z lematu 3.8 wynika, że przestrzeń X/P jest metryzowalna a odwzoro-wanie qP: X → X/P jest ciągłą surjekcją. Pozostaje jedynie pokazać, że odwzorowanie qP jest szkieletowe. Topologię w przestrzeni X/P wprowadza-my przez zadanie bazy postaci {q_P(V ) : V ∈ P}, rodzina ta jest więc również π-bazą przestrzeni X/P. Zgodnie z lematem 3.15 wystarczy więc pokazać, że

P = {q_P⁻¹(qP(V )) : V ∈ P}

jest taką rodziną, że dla dowolnego otwartego niepustego zbioru V istnieje taki zbiór U ∈ P, że dla dowolnego zbioru W ∈ P zachodzi implikacja:

W ⊆ U ⇒ W ∩ V 6= ∅.

Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje taki zbiór otwarty niepusty V , że dla dowolnego zbioru U ∈ P istnieje taki zbiór W_U⁰ ∈ P, że

W_U⁰ ⊆ U oraz W_U⁰ ∩ V = ∅.

Istnieje więc taki zbiór V⁰ ∈ B, że V⁰ ⊆ V oraz z warunku (c) dla każdego zbioru W_U⁰ ∈ P istnieje taki zbiór W_U ∈ P ∩ B, że W_U ⊆ W_U⁰. Wobec tego

∃_V⁰∈B ∀_{U ∈P} ∃_WU∈P∩B W_U ⊆ U oraz W_U ∩ V⁰ = ∅.

(∗∗) Niech

P⁰ = {W ∈ P ∩ B : W ∩ V⁰ = ∅}.

Ustalmy zbiór W ∈ P⁰ ⊆ P ∩ B, wtedy s(W ) ⊆ P ∩ B. Ponieważ V⁰ ∈ B, więc

∅ 6= s(W ) ∩ s(V⁰) ⊆ P ∩ B.

Połóżmy

U = {U ∈ s(V⁰) ∩ P : V⁰ ⊆ U }.

Z warunku (b) istnieje taki ciąg {A_n: n ∈ ω} ⊆ [P]^<ω, że

\U =^[{^[A_n: n ∈ ω}.

Istnieje więc taki zbiór W⁰ ∈ P, że W⁰ ⊆^TU . Z warunku (∗∗) istnieje taki zbiór W⁰⁰ ∈ P ∩ B, że

W⁰⁰ ⊆ W⁰ ⊆^\U oraz W⁰⁰∩ V⁰ = ∅.

Wówczas^TU ∩^SP⁰ = ∅. Istotnie, jeśli x ∈^SP⁰, to istnieje taki zbiór W ∈ P⁰, że x ∈ W. Z określenia rodziny P⁰ wynika, że W ∩ V⁰ = ∅. Istnieje więc zbiór

V⁰⁰ ∈ s(V⁰) ∩ s(W ) ⊆ s(V⁰) ∩ P o tej własności, że

V⁰ ⊆ V⁰⁰ oraz W ∩ V⁰⁰ = ∅.

Ponieważ V⁰⁰ ∈ U , to ^TU ⊆ V⁰⁰. Wobec tego W ∩^TU = ∅, czyli x /∈ ^TU , co dowodzi, że ^TU ∩^SP⁰ = ∅. Ponieważ W⁰⁰⊆^TU , więc W⁰⁰∩^SP⁰ = ∅. Z drugiej strony

W⁰⁰∈ P ∩ B oraz W⁰⁰∩ V⁰ = ∅,

więc W⁰⁰ ∈ P⁰. Uzyskana sprzeczność dowodzi szkieletowości odwzorowania qP.

Niech

Σ = {P ∈ [B]^¬ω: P spełnia warunki (a)–(c)}.

Zbiór Σ jest skierowany przez relację inkluzji oraz dla dowolnej rodziny A ∈ [B]^¬ω istnieje taka rodzina P ∈ Σ, że A ⊆ P. Jeśli P ⊆ R, gdzie P, R ∈ Σ, to z lematu 3.2 wnosimy, że odwzorowanie q_P^Rjest szkieletowe. Jeśli {P_n: n ∈ ω} ∈ Σ jest łańcuchem, to przestrzeń X/P jest homeomorficzna z granicą

lim←−{X/P_n, q^P_Pⁿ⁺¹_n , ω},

gdzie P = ^S{P_n: n ∈ ω}, na mocy lematu 3.10. Wówczas system odwrotny {X/P, q_P^R, Σ} jest σ-zupełny, wszystkie przestrzenie X/P są zwarte i me-tryzowalne oraz wszystkie odwzorowania q_P^R są szkieletowymi surjekcjami.

Odwzorowanie h : X → lim←−{X/P, q_P^R, Σ} dane wzorem h(x) = {[x]_P}_P∈Σ

jest homeomorfizmem na mocy lematu 3.11.

3.3 Gry topologiczne a przestrzenie otwarcie genero-wane oraz szkieletowo generogenero-wane

W rozdziale tym przedstawimy związki między własnościami π-FNS, FNS, a pewnymi grami topologicznymi. W 1994 roku w pracy [9] P. Daniels, K.

Kunen oraz H. Zhou wprowadzili grę, którą nazywać będziemy grą otwarto-otwartą. Grę rozważamy dla dowolnej przestrzeni topologicznej X. Udział w niej bierze dwóch graczy rozgrywających przeliczalnie wiele rund. W każdej z rund, gracz I wybiera otwarty niepusty zbiór U ⊆ X a gracz II odpowiada poprzez wybór otwartego niepustego zbioru V ⊆ X zawartego w zbiorze U . Gracz I wygrywa rozgrywkę, jeśli suma zbiorów wybranych przez gracza II tworzy zbiór gęsty w przestrzeni X, w przeciwnym przypadku rozgrywkę wygrywa gracz II. Oznaczmy tę grę przez G(X). Powiemy, że gracz I ma strategię wygrywającą w grze G(X) jeśli istnieje taka funkcja σ, że:

(V₀, V₁, . . . , V_n) 7→ σ(V₀, V₁, . . . , V_n),

gdzie każdy V_n oraz σ(V₀, V₁, . . . , V_n) jest takim podzbiorem otwartym nie-pustym przestrzeni X, że dla każdej rozgrywki

σ(∅), V₀, σ(V₀), V₁, σ(V₀, V₁), V₂, . . . , V_n, σ(V₀, . . . , V_n), V_n+1, . . .

zbiór ^S{Vn : n ∈ ω} jest gęsty w przestrzeni X. Powiemy, że gracz II ma strategię wygrywającą w grze G(X), jeśli istnieje taka funkcja s, że:

(U₀, U₁, . . . , U_n) 7→ s(U₀, U₁, . . . , U_n),

gdzie każdy Un oraz s(U0, U₁, . . . , U_n) ⊆ Unjest takim podzbiorem otwartym niepustym przestrzeni X, że dla każdej rozgrywki

U₀, s(U₀), U₁, s(U₀, U₁), U₂, . . . , U_n, s(U₀, . . . , U_n), U_n+1, . . . zbiór ^S{s(U₀, . . . , U_n) : n ∈ ω} nie jest gęsty w przestrzeni X.

Rozważmy następującą modyfikację gry G(X). W n-tej rundzie gracz I wybiera rodzinę skończoną niepustą Cn złożoną z podzbiorów otwartych niepustych przestrzeni topologicznej X. Gracz II odpowiada wybierając taką rodzinę skończoną niepustą D_npodzbiorów otwartych niepustych przestrzeni X, że dla każdego zbioru U ∈ C_n istnieje taki zbiór V ∈ D_n, że V ⊆ U . Podobnie jak w grze G(X), gracz I wygrywa rozgrywkę, jeśli suma zbiorów wybranych przez gracza II tworzy zbiór gęsty w przestrzeni X, w przeciwnym przypadku rozgrywkę wygrywa gracz II. Oznaczmy tę grę przez G_fin(X).

Opisana gra była także rozważana w pracy [9] pod nazwą G₄. Powiemy, że

gracz I ma strategię wygrywającą w grze G_fin(X), jeśli istnieje taka funkcja σ, że:

(D₀, D₁, . . . , D_n) 7→ σ(D₀, D₁, . . . , D_n),

gdzie każda rodzina D_n oraz σ(D₀, D₁, . . . , D_n) jest skończona oraz złożona z takich podzbiorów otwartych niepustych, że dla każdej rozgrywki

σ(∅), D₀, σ(D₀), D₁, σ(D₀, D₁), D₂, . . . , Dn, σ(D₀, . . . , Dn), Dn+1, . . . zbiór ^S{^SD_n : n ∈ ω} jest gęsty w przestrzeni X. Powiemy, że gracz II ma strategię wygrywającą w grze G_fin(X), jeśli istnieje taka funkcja s, że:

(C0, C1, . . . , Cn) 7→ s(C0, C1, . . . , Cn),

gdzie każda rodzina C_noraz s(C₀, C₁, . . . , C_n) jest skończona, każdy zbiór z ro-dziny C_nzawiera zbiór z rodziny s(C₀, C₁, . . . , C_n) oraz rodziny C_n, s(C₀, C₁, . . . , C_n) są złożone z takich zbiorów otwartych niepustych, że dla każdej rozgrywki

C₀, s(C₀), C₁, s(C₀, C₁), C₂, . . . , C_n, s(C₀, . . . , C_n), C_n+1, . . . zbiór ^S{^Ss(C₀, . . . , C_n) : n ∈ ω} nie jest gęsty w przestrzeni X.

Niech B będzie π-bazą przestrzeni topologicznej X. Jeśli obaj gracze wy-bierają w grze G(X) lub G_fin(X) zbiory pochodzące z rodziny B, to grę taką oznaczać będziemy odpowiednio przez G(B) lub G_fin(B). Dwie gry nazywamy równoważnymi jeśli istnienie strategii wygrywającej dla gracza I w pierwszej grze jest równoważne istnieniu strategii wygrywającej dla gracza I w drugiej grze oraz istnienie strategii wygrywającej dla gracza II w pierwszej grze jest równoważne istnieniu strategii wygrywającej dla gracza II w drugiej grze.

Grę G(B) (G_fin(B)) nazywać będziemy niezdeterminowaną, jeśli nie istnieje strategia wygrywająca dla gracza I ani dla gracza II w grze G(B) (G_fin(B)).

Oczywiście, jeśli dwie gry są równoważne, to niezdeterminowanie jednej z gier jest równoważne niezdeterminowaniu drugiej z gier.

W dalszych rozważaniach wykorzystamy poniższe lematy dotyczące wła-sności opisanych gier.

Lemat 3.16. Niech B będzie π-bazą przestrzeni topologicznej X. Gry G(B)