Niech B będzie π-bazą przestrzeni topologicznej X. Gry G(B) oraz G fin (B) są równoważne

Dowód. Niech σ będzie strategią wygrywającą dla gracza I w grze G(B).

Połóżmy ρ(∅) = {σ(∅)}. Istnieje wówczas taki zbiór V₀ ∈ D₀, że V₀ ⊆ σ(∅).

Połóżmy ρ(D0) = {σ(V0)}. Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już

ρ(∅), D₀, ρ(D₀), D₁, ρ(D₀, D₁), D₂, . . . , D_n−1, ρ(D₀, . . . , D_n−1), D_n,

gdzie każda rodzina D_i ⊆ B jest skończona oraz złożona ze zbiorów otwartych niepustych. Dla każdego i < n istnieje taki zbiór V_i+1 ∈ D_i+1, że V_i+1 ⊆ σ(V₀, V₁, . . . , V_i), gdzie

ρ(D₀, D₁, . . . , D_i) = {σ(V₀, V₁, . . . , V_i)}.

Istnieje wówczas taki zbiór V_n ∈ D_n, że V_n⊆ σ(V₀, V₁, . . . , V_n−1). Połóżmy ρ(D₀, D₁. . . , D_n) = {σ(V₀, V₁, . . . , V_n)}.

Wówczas ^S{^SD_n : n ∈ ω} jest zbiorem gęstym, ponieważ ^S{V_n : n ∈ ω} ⊆

S{^SD_n: n ∈ ω} oraz ^S{V_n : n ∈ ω} jest zbiorem gęstym. Wobec tego ρ jest strategią wygrywającą dla gracza I w grze G_fin(B).

Załóżmy teraz, że ρ jest strategią wygrywającą dla gracza I w grze Gfin(B).

Zdefiniujemy strategię wygrywającą σ dla gracza I w grze G(B). Jeśli ρ(∅) = C₀, to elementy rodziny C₀ ustawiamy w ciąg C₀ = {A⁰₀, . . . , A⁰_j0} i kolejno przez j0 + 1 rund zadajemy jako wartości strategii σ, tzn. połóżmy σ(∅) = A⁰₀, następnie gracz II wybiera zbiór otwarty niepusty B₀⁰ ⊆ σ(∅). Połóżmy σ(B₀⁰) = A⁰₁. Jeśli mamy wybrane przez gracza II w grze G(B) takie zbiory otwarte niepuste {B₀⁰, . . . , B_j⁰₀}, że B_i+1⁰ ⊆ σ(B₀⁰, . . . , B⁰_i) = A⁰_i+1 dla i < j0, to rozważamy ruch gracza II w grze G_fin(B):

D₀ = {B₀⁰, . . . , B⁰_j

0}.

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już rozgrywkę

σ(∅), B₀⁰, σ(B₀⁰), B₁⁰, σ(B₀⁰, B₁⁰), B₂⁰, . . . , B_j⁰₀, σ(B₀⁰, . . . , B_j⁰₀), . . .

. . . , σ(B₀⁰, . . . , B_j⁰₀, B₀¹, . . . , B_jⁿ_n−1), B_jⁿ_n, gdzie rodziny C_i = ρ(D₀, . . . D_i−1) = {Aⁱ₀, . . . Aⁱ_j

i} oraz D_i = {B₀ⁱ, . . . B_jⁱ

i} dla i ¬ n są odpowiednio kolejnymi ruchami graczy w grze G_fin(B). Wówczas używając strategii ρ otrzymujemy rodzinę C_n+1 = ρ(D₀, . . . , D_n). Elemen-ty rodziny C_n+1 ustawiamy w ciąg C_n+1 = {Aⁿ⁺¹₀ , . . . , Aⁿ⁺¹_jn+1} i kolejno przez następnych j_n+1+ 1 rund zadajemy jako wartości strategii σ, tzn. połóżmy σ(B₀⁰, . . . , B_j⁰

0, B₀¹, . . . , B_jⁿ

n) = Aⁿ⁺¹₀ , następnie gracz II wybiera zbiór otwarty niepusty B₀ⁿ⁺¹ ⊆ Aⁿ⁺¹₀ . Połóżmy σ(B₀⁰, . . . , B_j⁰₀, B₀¹, . . . , B_jⁿ_n, B₀ⁿ⁺¹) = Aⁿ⁺¹₁ . Jeśli mamy wybrane przez gracza II w grze G(B) takie zbiory otwarte nie-puste {Bⁿ⁺¹₀ , . . . , B_jⁿ⁺¹_n+1}, że

B_i+1ⁿ⁺¹ ⊆ σ(B₀⁰, . . . , B_j⁰₀, B₀¹, . . . , B_jⁿ_n, B₀ⁿ⁺¹, . . . , B_iⁿ⁺¹) = Aⁿ⁺¹_i+1 dla i < j_n+1,to rozważamy ruch gracza II w grze G_fin(B):

D_n+1= {B₀ⁿ⁺¹, . . . , B_jⁿ⁺¹

n+1}.

Ponieważ ρ jest strategią wygrywającą w grze G_fin(B), to ^S{^SD_n : n ∈ ω}

jest zbiorem gęstym w X. Skoro

[D_n=^[{Bⁿ_i : i ∈ {0, . . . , j_n}}

dla dowolnego n ∈ ω, to σ jest strategią wygrywającą w grze G(B).

Niech s będzie strategią wygrywającą dla gracza II w grze G(B). Zdefi-niujemy strategię wygrywającą r dla gracza II w grze G_fin(B). Niech C₀ = {U₀⁰, U₁⁰, . . . , U_k⁰₀} oznacza pierwszy ruch gracza I. Połóżmy

r(C₀) = {s(U₀⁰, U₁⁰, . . . , U_i⁰) : i ¬ k₀}.

Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już

C₀, r(C₀), C₁, r(C₀, C₁), C₂, . . . , C_n−1, r(C₀, . . . , C_n−1), C_n,

gdzie rodzina C_i = {U₀ⁱ, U₁ⁱ, . . . U_kⁱ_i} ⊆ B jest złożona ze zbiorów otwartych niepustych oraz

r(C₀, C₁, . . . , C_i) = {s(U₀⁰, U₁⁰, . . . , U_k⁰

0, . . . , U₀ⁱ, U₁ⁱ, . . . , U_jⁱ) : j ¬ k_i} dla każdego i < n. Niech C_n= {U₀ⁿ, U₁ⁿ, . . . , U_kⁿ_n} oznacza (n + 1)-ruch gracza I. Połóżmy

r(C₀, C₁, . . . , C_n) = {s(U₀⁰, U₁⁰, . . . , U_k⁰₀, . . . , U₀ⁿ, U₁ⁿ, . . . , U_jⁿ) : j ¬ k_n}.

Wówczas zbiór

[ n [

r(C₀, C₁, . . . , C_n) : n ∈ ω^o=

=^{[ n [ n}s(U₀⁰, U₁⁰, . . . , U_k⁰₀, . . . , U₀ⁿ, U₁ⁿ, . . . , U_jⁿ) : j ¬ k_n^o: n ∈ ω^o nie jest gęsty. Wobec tego r jest strategią wygrywającą dla gracza II w grze G_fin(B).

Niech r będzie strategią wygrywającą dla gracza II w grze G_fin(B). Zdefi-niujemy strategię wygrywającą s dla gracza II w grze G(B). Niech U₀ oznacza pierwszy ruch gracza I. Istnieje wówczas zbiór V0 ∈ r({U₀}), który jest pod-zbiorem U₀. Połóżmy s(U₀) = V₀. Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już

U₀, s(U₀), U₁, s(U₀, U₁), U₂, . . . , U_n−1, s(U₀, . . . , U_n−1), U_n, gdzie U_i ∈ B jest zbiorem otwartym niepustym oraz

s(U₀, . . . , U_i) = V_i,

gdzie V_i ∈ r({U₀}, {U₁}, . . . , {U_i}) jest ustalonym podzbiorem U_i dla każdego i < n. Ustalmy zbiór V_n ∈ r({U₀}, {U₁}, . . . , {U_n}) zawarty w zbiorze U_n. Połóżmy

s(U₀, . . . , U_n) = V_n.

Wówczas ^S{V_n : n ∈ ω} nie jest zbiorem gęstym, bo ^S{V_n : n ∈ ω} ⊆

S{^Sr({U₀}, {U₁}, . . . , {U_n}) : n ∈ ω} oraz ^S{^Sr({U₀}, {U₁}, . . . , {U_n}) : n ∈ ω} nie jest zbiorem gęstym. Wobec tego s jest strategią wygrywającą dla gracza II w grze G(B).

Lemat 3.17. Jeśli gracz I (odpowiednio gracz II) ma strategię wygrywającą w grze G(B), gdzie B jest pewną π-bazą, to gracz I (odpowiednio gracz II) ma strategię wygrywającą na dowolnej π-bazie przestrzeni.

Dowód. Załóżmy, że rodzina B jest taką π-bazą, że istnieje strategia wygry-wająca

σ : [B]^<ω → B

dla gracza I. Ustalmy dowolną π-bazę C. Niech f₁: C → B będzie takim przyporządkowaniem, że f₁(V ) ⊆ V dla dowolnego zbioru V ∈ C oraz niech f₂: B → C będzie takim przyporządkowaniem, że f₂(V ) ⊆ V dla dowolnego zbioru V ∈ B. Zdefiniujemy teraz strategię

ρ : [C]^<ω → C

dla gracza I w grze G(C). Połóżmy ρ(∅) = f1(σ(∅)). Załóżmy, że zdefiniowa-liśmy już

ρ(∅), V₀, ρ(V₀), V₁, ρ(V₀, V₁), V₂, . . . , V_n−1, ρ(V₀, . . . , V_n−1), V_n,

gdzie każdy Vi jest zbiorem otwartym niepustym, Vi+1 ⊂ ρ(V₀, V₁, . . . , V_i) dla każdego i < n oraz

ρ(V₀, . . . , V_i) = f₁(σ(f₂(V₀), . . . , f₂(V_i))).

Połóżmy

ρ(V₀, . . . , V_n) = f₁(σ(f₂(V₀), . . . , f₂(V_n))).

Wówczas ^S{V_n : n ∈ ω} jest zbiorem gęstym, ponieważ

[{f₂(V_n) : n ∈ ω} ⊆^[{V_n : n ∈ ω}

oraz ^S{f2(Vn) : n ∈ ω} jest zbiorem gęstym. Wobec tego ρ jest strategią wygrywającą dla gracza I w grze G(C).

Załóżmy teraz, że istnieje strategia wygrywająca s : [B]^<ω → B

dla gracza II. Określimy teraz strategię wygrywającą r : [C]^<ω → C

dla gracza II w grze G(C). Niech U₀ ∈ C oznacza pierwszy ruch gracza I.

Połóżmy r(U₀) = f₁(s(f₂(U₀))). Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już U₀, r(U₀), U₁, r(U₀, U₁), U₂, . . . , U_n−1, r(U₀, . . . , U_n−1), U_n, gdzie U_i jest zbiorem otwartym niepustym oraz

r(U0, U1, . . . , Ui) = f1(s(f2(U0), . . . , f2(Ui))) dla każdego i < n. Połóżmy

r(U₀, U₁, . . . , U_n) = f₁(s(f₂(U₀), . . . , f₂(U_n))).

Wówczas ^S{f₁(s(f₂(U₀), . . . , f₂(U_n))) : n ∈ ω} nie jest zbiorem gęstym, bo

S{f₁(s(f₂(U₀), . . . , f₂(U_n))) : n ∈ ω} ⊆ ^S{s(f₂(U₀), . . . , f₂(U_n)) : n ∈ ω}

oraz ^S{s(f₂(U₀), . . . , f₂(U_n)) : n ∈ ω} nie jest zbiorem gęstym. Wobec tego r jest strategią wygrywającą dla gracza II w grze G(C).

Następujący lemat łatwo wynika z dwóch poprzednich.

Lemat 3.18. Jeśli gracz I (odpowiednio gracz II) ma strategię wygrywającą w grze G_fin(B), gdzie B jest pewną π-bazą, to gracz I (odpowiednio gracz II) ma strategię wygrywającą na dowolnej π-bazie przestrzeni.

Dowód. Załóżmy, że rodzina B jest taką π-bazą, że istnieje strategia wygry-wająca σ dla gracza I w grze G_fin(B). Ustalmy dowolną π-bazę C. Korzystając z lematu 3.16 stwierdzamy, że istnieje strategia wygrywająca σ⁰ w grze G(B), teraz korzystając z lematu 3.17 otrzymujemy strategię wygrywającą ρ⁰ w grze G(C). Ostatecznie korzystając ponownie z lematu 3.16 otrzymujemy strate-gię wygrywającą ρ dla gracza I w grze G_fin(C). Podobnie prowadzimy dowód dla strategii wygrywającej dla gracza II.

Twierdzenie 3.4 ([5, Theorem 6]). Jeśli przestrzeń X ma własność π-FNS, to gracz I ma strategię wygrywającą w grze G(X).

Dowód. Niech B będzie π-bazą przestrzeni X dla której istnieje operator s : B → [B]^<ω świadczący o własności π-FNS. Zdefiniujemy strategię wygry-wającą dla gracza I w grze G_fin(B). Ustalmy zbiór U ∈ B, następnie połóżmy σ(∅) = {U }. Załóżmy, że zdefiniowaliśmy już

σ(∅), D₀, σ(D₀), D₁, σ(D₀, D₁), D₂, . . . , D_n−1, σ(D₀, . . . , D_n−1), D_n, gdzie każda rodzina D_i ⊆ B oraz σ(D₀, D₁, . . . , D_i) ⊆ B jest skończona oraz dla każdego U ∈ σ(D0, D₁, . . . , D_i) istnieje zbiór V ∈ Di+1 zawarty w zbiorze U . Niech

W_n =^[{s(V ) : V ∈ D₀∪ D₁∪ . . . ∪ D_n}.

Dla każdej takiej rodziny W ⊆ W_n, że ^TW 6= ∅ ustalmy taki zbiór VW ∈ B, że V_W ⊆^TW. Połóżmy

σ(D₀, . . . , D_n) = {VW ∈ B : W ⊆ W_n oraz ^\W 6= ∅}.

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że ^SS{D_n : n ∈ ω}^ nie jest zbiorem gęstym w przestrzeni X. Istnieje więc taki zbiór W ∈ B, że

W ∩^{[  [}{D_n : n ∈ ω}^= ∅.

Dla każdego zbioru V ∈^S{D_n : n ∈ ω} istnieje taki zbiór U ∈ s(W ) ∩ s(V ), że V ∩ U = ∅ oraz W ⊆ U. Istnieje więc takie k ∈ ω, że

R = {U ∈ s(W ) : ∃_{V ∈}^S_{Dn:n∈ω} U ∈ s(V ) oraz W ⊆ U } ⊆ W_k. Istnieją wówczas takie zbiory VR ∈ σ(D0, . . . , Dk) oraz V_R⁰ ∈ Dk+1, że V_R⁰ ⊆ VR⊆^TR. Z drugiej strony

\R ∩^{[  [}{D_n : n ∈ ω}^= ∅.

Istotnie, jeśli x ∈ V dla pewnego m ∈ ω oraz V ∈ D_m, to istnieje zbiór U⁰ ∈ R rozłączny ze zbiorem V . Stąd x /∈ U⁰. Zatem x /∈^TR. Uzyskana sprzeczność kończy dowód, że gracz I ma strategię wygrywającą w grze Gfin(B). Na mocy lematu 3.18 gracz I ma strategię wygrywająca w grze G_fin(X). Korzystając z lematu 3.16 stwierdzamy, że gracz I ma strategię wygrywającą w grze G(X).

Przypomnijmy następujące twierdzenie z pracy [19].

Twierdzenie 3.5 ([19, Theorem 12]). Jeśli X jest przestrzenią zwartą Haus-dorffa w której gracz I ma strategię wygrywającą w grze G(X), to przestrzeń ta jest szkieletowo generowana.

Z twierdzenia 3.4 oraz twierdzenia 3.5 wynika twierdzenie 3.3. Zauważmy, że w rzeczywistości otrzymaliśmy twierdzenie ogólniejsze niż twierdzenie 3.3, ponieważ nie zakładamy, że π-baza o własności FNS jest złożona ze zbiorów funkcyjnie otwartych.

Twierdzenie 3.6 ([5, Theorem 7]). Jeśli przestrzeń zwarta Hausdorffa ma własność π-FNS, to przestrzeń ta jest szkieletowo generowana.

Rozważmy kolejną modyfikację gry otwarto-otwartej. Gra przebiega w ten sam sposób co gra otwarto-otwarta. W n-tej rundzie gracz I wybiera zbiór otwarty niepusty U_n, a gracz II odpowiada wybierając zbiór otwarty niepusty Vn zawarty w zbiorze Un. Niech

P = {V_n: n ∈ ω} ∪ {U_n : n ∈ ω}.

Gracz I wygrywa rozgrywkę jeśli spełniony jest warunek (∗) z lematu 3.13, tzn.:

dla dowolnej rodziny S ⊆ P oraz dowolnego punktu x /∈ cl^[S istnieje taki zbiór W ∈ P, że x ∈ W oraz W ∩^[S = ∅.

(∗)

W przeciwnym przypadku grę wygrywa gracz II. Oznaczmy tę grę przez G^!(X). Powiemy, że gracz I ma strategię wygrywającą w tej grze jeśli istnieje taka funkcja σ, że:

(V0, V₁, . . . , V_n) 7→ σ(V0, V₁, . . . , V_n) = Un+1,

gdzie każdy V_n oraz U_n jest takim podzbiorem otwartym niepustym prze-strzeni X, że dla każdej rozgrywki

U₀ = σ(∅), V₀, U₁ = σ(V₀), V₁, U₂ = σ(V₀, V₁), V₂, . . . , V_n,

U_n+1 = σ(V₀, . . . , V_n), V_n+1, . . . spełniony jest warunek (∗) z lematu 3.13.

Wprowadzimy teraz modyfikację gry opisanej w powyższym akapicie. W n-tej rundzie gracz I wybiera rodzinę skończoną C_n złożoną z podzbiorów otwartych niepustych przestrzeni topologicznej X. Gracz II odpowiada wy-bierając taką rodzinę skończoną D_n podzbiorów otwartych niepustych prze-strzeni X, że dla każdego zbioru U ∈ C_n istnieje zbiór V ∈ D_n zawarty w zbiorze U oraz |Dn| ¬ |Cn|. Niech

P =^[{C_n: n ∈ ω} ∪^[{D_n : n ∈ ω}.

Gracz I wygrywa rozgrywkę jeśli spełniony jest warunek (∗) z lematu 3.13. W przeciwnym przypadku grę wygrywa gracz II. Oznaczmy tę grę przez G^!_fin(X).

Powiemy, że gracz I ma strategię wygrywającą w tej grze jeśli istnieje taka funkcja σ, że:

(D0, D1, . . . , Dn) 7→ σ(D0, D1, . . . , Dn) = Cn+1,

gdzie |Dn+1| ¬ |σ(D₀, D₁, . . . , D_n)|, każda rodzina Dnoraz σ(D0, D₁, . . . , D_n) jest skończona oraz złożona z takich zbiorów otwartych niepustych, że dla każdej rozgrywki

C₀ = σ(∅), D₀, C₁ = σ(D₀), D₁, C₂ = σ(D₀, D₁), D₂, . . . , D_n,

C_n+1 = σ(D₀, . . . , D_n), D_n+1, . . . spełniony jest warunek (∗) z lematu 3.13.

Niech B będzie bazą przestrzeni topologicznej X. Jeśli obaj gracze wy-bierają w grze G^!(X) lub G^!_fin(X) zbiory pochodzące z rodziny B, to grę taką oznaczać będziemy odpowiednio przez G^!(B) lub G^!_fin(B).

Lemat 3.19. Niech B będzie bazą przestrzeni topologicznej X. Gry G^!(B) oraz G^!_fin(B)są równoważne.

Dowód. Dla dowodu tego lematu odpowiednie strategie wygrywające można zdefiniować w ten sam sposób co w dowodzie lematu 3.16.

Twierdzenie 3.7. Niech X będzie przestrzenią zwartą Hausdorffa oraz niech