tami trójkąta, dogodnych do rachunku logarytmicznego. Niemniej jednak wzór kosinusów oddawać nam nieraz będzie wielkie usługi, bądź jako ogniwo pośrednie w rachunku, bądź w zadaniach, nie wymagających obliczeń logarytmicznych.
Ćwiczenia XVI. 1. Czy wzór kosinusów jest prawdziwy w zastosowa
niu do trójkąta prostokątnego?
2. Z nierówności — 1 < cos A < 1 i z wzoru na cos A wysnuć, że suma dwóch boków trójkąta jest większa, różnica zaś mniejsza od trze"
ciego boku.
3. Dwa punkty poruszają się ruchem jednostajnym po okręgach spół- środkowych, których promienie równają się odpowiednio 5 m. i 9. m. Pro
mienie, poprowadzone do tych punktów, obracają się dokoła środka z pręd
kością: mniejszy 30° na minutę, większy 40° na minutę. W pewnej chwili oba punkty znajdują się na jednym promieniu większego koła. Po ilu se
kundach odległość między niemi wynosić będzie 6 m., jeżeli ruch obu punktów odbywa się w tym samym zwrocie?
4. Wykazać, że kąty dwuścienne foremnego czworościanu i forem
nego ośmiościanu spełniają się. Obliczyć następnie te kąty z dokładno
ścią do 1'.
[Wskazówka: przez krawędź czworościanu poprowadzić płasz
czyznę, prostopadłą do krawędzi przeciwległej).
5. Obliczyć kąt dwuścienny w dwudziestościanie foremnym.
6. Czworościan foremny ABCD przecięto płaszczyzną, przesuniętą przez AB i prostopadłą do CD. Pole przekroju równa się S. Obliczyć obję
tość czworościanu.
7. Dany jest ostrosłup prosty o podstawie sześciokątnej foremnej.
Bok podstawy = a, wysokość ostrosłupa = h. Obliczyć kosinus kąta, pod którym ściana boczna jest nachylona do podstawy.
8. Dany jest trójkąt ABC, w którym .4 = 30’. W wierzchołku A wy
stawiamy prostopadłą do płaszczyzny trójkąta i na niej obieramy taki punkt D, że < BDA — 60°, CD A = 45°. Dowieść, że AD = BC.
9. Siły 16 dyn i 42 dyn, działające na ten sam punkt, tworzą kąt 35° 20'. Obliczyć ich wypadkową.
10) Rozwiązać trójkąt, mając dane A = 45°, b = 4, c = j/2.
11. Kąty trójkąta tworzą postęp arytmetyczny; znaleźć prostą za
leżność między jego bokami.
12. Jeżeli w trójkącie prostokątnym równoramiennym, w którym C = 90°, obierzemy dowolny punkt D na przedłużeniu boku AB, wówczas musi być
2 CD2 — AD2 4- BD2.
Czy związek ten pozostanie prawdziwy, jeżeli punkt D znajdzie się w wierzchołku B? jeżeli znajdzie się na boku AB?
13. Dane są dwa koła (rys. 76), z któ
rych jedno ma promień r, drugie ir. Odle
głość ich środków = łr. Po okręgach kół poruszają się w tym samym zwrocie ru
chem jednostajnym dwa punkty, które wy
ruszają jednocześnie z położeń A i B i w tym samym czasie dokonywują całkowitego obie
gu. Wyrazić każdorazową odległość między punktami jako funkcje kąta a, o który obrócił się promień AO. Z wzoru tego od
czytać, kiedy odległość między niemi jest największa lub najmniejsza.
14. Jeżeli punkty A, B, C leżą na
jednej prostej, punkt zaś O nie leży na niej, wówczas mamy związek OA2 ■ BC -+- OC2 ■ AB = OB2 • AC 4- AB ■ BC ■ AC.
Jest to t. zw. twierdzenie Stewarta.
Czy twierdzenie pozostanie prawdziwe, jeżeli 0 obierzemy na pro
stej AC?
16. Jeżeli boki trójkąta ABC tworzą postęp geometryczny, wówczas trójkąt, zbudowany z trzech jego wysokości, jest podobny do trójkąta ABC.
16. Dwa koła o promieniaah r i r' przecinają się pod kątem a; obli
czyć odległość d ich środków oraz ich spólną cięciwę m.
17. Dane są dwie proste, przecinające się w punkcie O pod kątem a.
Na jednej z nich obieramy po obu stronach punktu O dwa punkty A i B takie, że AO = a, BO = b, gdzie a i b są to liczby dane. Ile można zna
leźć na drugiej prostej takich punktów M, żeby było AMO — BMO?
18. Punkty A i B na kuli ziemskiej leżą oba na równoleżniku 52°, różnica zaś ich długości geograficznych wynosi 32°15'. Obliczyć: 1) pro
mień równoleżnika; 2) długość odcinka AB prostej; 3) długość luku koła wielkiego na ziemi, przechodzącego przez punkty A i B.
Promień kuli ziemskiej = 6350 kim.
18. Dowieść, że w trójkącie mamy a2 — ( b •+• c)2 — 4bc cos- g
a2 = (6 — c)2 -4- 4 be sin2 .
[Wskazówka: wprowadzić do rysunku odcinek b -+- c].
29. Opierając się na własnościach funkcyj jednorodnych ’), do
wieść, że
1 ' 1 l 2 cos A l'„- - Vb2 4’ Fe2 “ Vb Fe ’
*) Pnnkcja jednorodna n-tego stopnia zmiennych .r, y, z . .. posiada tę własność charakterystyczną, że jeśli zmienne x, y, Z . . , zastąpimy przez
gdzie przez Va, Vb, Ve oznaczyliśmy objętości brył, które trójkąt ABC zakreśla, jeżeli obracamy go dokoła boków a, b, c.
21. Dowieść, że pole S dowolnego czworoboku wypukłego wyraża się wzorem
S2 = (p — a) (p — b) (p — c) (p — d) — abcd cos2 a,
gdzie 2a = A -ł- C.
[Wskazówka: wyrazić dwoma sposobami przekątną BD zapomocą boków i kątów czworoboku],
22. W jaki sposób zmieni się wzór powyższy, jeżeli na czworoboku można opisać koło?
23. Pole czworoboku opisanego wyraża się wzorem:
S2 = abcd sin2 a.
24. Jeżeli czworobok jest tego rodzaju, że można zarówno wpisać w niego koło, jak na nim opisać koło, wówczas pole czworoboku wyraża się wzorem
S2 = abcd, promień zaś koła = —2|M6c<7
’ r a-hb-t-c-i-d
25. Dany jest czworobok przegubowy o bokach a, b, c, d (stałej długości). Opierając się na zadaniu 21, odpowiedzieć na następujące pyta
nia: (I) czy pole jego jest zmienne czy stałe? (II); jeżeli pole zmienia się, to w jaki sposób? czy osiąga kiedykolwiek wartość największą lub naj
mniejszą?
26. W czworoboku wpisanym mamy
(I) b2 - c2 - d2
2 (ab -+- cd)
(II) 8in Bl/lp-a) (p-b)
2 y ba -+- cd
(III) ef ac -+- bd
* '
(IV) e ad -t- bc
f ab -ł- cd
§ 53. Twierdzenie odwrotne (względem § 52). Jeżeli mamy
dane sześć liczb dodatnich, mianowicie miary trzech odcinków
wielkości proporcjonalne, t. j. jeżeli położymy x — XX, y = \Y, z = kZ, ...
wówczas funkcja nie zmieni kształtu, lecz zostanie pomnożona przez /.«, gdzie n oznacza stopień funkcji. Np. funkcja jednorodna c.K2 — ary ■+- by2 zamieni się po podstawieniu w ).2 (cX2 — aXY -+- bY‘).
Opierając się na tej własności, możemy zastąpić w równaniu jedno- rodnem wszystkie zmienne przez wielkości proporcjonalne — nie zmieni to pierwiastków równania.